domagoj terziĆ - mathos.unios.hrmdjumic/uploads/diplomski/ter07.pdf · 1akon integriranja prvog...
TRANSCRIPT
I
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
ODJEL ZA FIZIKU
DOMAGOJ TERZIĆ
GREENOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI
Završni rad
Osijek, 2015.
II
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
ODJEL ZA FIZIKU
DOMAGOJ TERZIĆ
GREENOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI
Završni rad
Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku
radi stjecanja zvanja prvostupnika fizike
Osijek, 2015.
III
Ovaj završni rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom doc.dr.sc. Zvonka Glumca u״
sklopu Sveučilišnog preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku Sveučilišta
Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku. ״
IV
Sadržaj
1. Uvod ...................................................................................................................................... 1
2. Teorijski dio ........................................................................................................................... 1
2.1 Greenove funkcije u jednoj dimenziji .............................................................................. 2
2.1.1 Osnovna svojstva ................................................................................................................... 2
2.1.2 Oblik Greenovih funkcija ...................................................................................................... 4
2.1.3 Ostali rubni uvjeti .................................................................................................................. 6
2.1.4 Povezanost s integralnim jednadžbama .................................................................................. 6
2.2 Greenove funkcije u dvije i tri dimenzije ......................................................................... 7
2.2.1 Osnovne značajke .................................................................................................................. 7
2.2.2 Razvoj po svojstvenim funkcijama ......................................................................................... 8
2.2.3 Oblik Greenovih funkcija ...................................................................................................... 9
2.3 Primjene Greenovih funkcija ......................................................................................... 11
2.3.1 Kvantno-mehaničko raspršenje: Bornova aproksimacija ...................................................... 11
2.3.2 Temperatura Zemlje (zagrijavanje radioaktivnim raspadom) ................................................ 12
2.3.3 Schrӧdingerova jednadžba s impulsnim izvorom .................................................................. 16
3. Literatura .............................................................................................................................. 19
4. Životopis .............................................................................................................................. 20
V
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad
Odjel za fiziku
GREENOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI
DOMAGOJ TERZIĆ
Sažetak
Uvod u Greenove funkcije započinje sa problemom određivanja elektrostatskog potencijala čija
je namjena da se upoznamo sa načinom upotrebe Greenovih funkcija pri konstrukciji rješenja
problema u fizici. Nakon toga slijede značajke Greenovih funkcija, prvo u jednoj, a zatim u dvije
i tri dimenzije. Greenove funkcije primjenjuju se pri traženju rješenja mnogih problema u fizici,
a na kraju rada nalaze se tri primjene: u jednoj dimenziji (temperatura Zemlje), u tri dimenzije
(kvantno-mehaničko raspršenje) i u N dimenzija (Schrӧdingerova jednadžba).
(18 stranica, 1 slika, 1 literaturni navod)
Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku
Ključne riječi: diferencijalne jednadžbe/ Greenove funkcije/ kvanto-mehaničko raspršenje/
Schrӧdingerova jednadžba/ simetričnost / temperatura Zemlje
Mentor: doc.dr.sc. Zvonko Glumac
Ocjenjivači:
Rad prihvaćen:
VI
University Josip Juraj Strossmayer Osijek Bachelor of Physics Thesis
Department of Physics
GREENOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI
DOMAGOJ TERZIĆ
Abstract
First we deal with the problem of electrostatic potential which purpose is to get impression of
how we are going to use Green's function to construct solutions for problems in physics. After
that we deal with the properties of Green's functions, first in one dimension and then in two and
three dimensions. We can apply Green's functions in wide variety of problems in physics and we
end this paper with three applications: in one dimension (Earth's temperature), in three
dimensions (quantum mechanical scattering) and in N dimensions (Schrӧdinger equation).
(18 pages, 1 figure, 1 reference)
Thesis deposited in Department of Physics library
Keywords: differential equations/ Earth's temperature / Green's functions/ quantum mechanical
scattering/ Schrӧdinger equation/ symmetry
Supervisor: doc.dr.sc. Zvonko Glumac
Reviewers:
Thesis accepted: :
1
1. UVOD
Općenito govoreći, Greenove funkcije nam omogućavaju rješavanje različitih tipova
diferencijalnih jednadžba uključujući one jednostavnije kao što je obična diferencijalna
jednadžba s početnim ili rubnim uvjetima, a i one teže kao što je nehomogena parcijalna
diferencijalna jednadžba s rubnim uvjetima. Greenove funkcije imenovane su po britanskom
matematičaru i fizičaru Georgeu Greenu (1793. - 1841.).
2. TEORIJSKI DIO
Primjer 1.
Kao osnovni primjer razmatramo problem određivanja elektrostatskog potencijala ψ( r
) koji
stvara raspodjela naboja gustoće ρ( r
). ψ( r
) zadovoljava Poissonovu jednadžbu
).(1
)(0
2 rr
Primjena Coulombova zakona na elektrostatski potencijal u točki 1r
koji stvara svaki element
naboja ρ( 2r
)d3r2 i pretpostavka da se u prostoru nalazi samo navedeni naboj daje nam
.)(
4
1)(
21
22
3
0
1rr
rrdr
Integriramo po pdručju u kojemu je 0)( 2 r
. Na desnu stranu gornje jednadžbe možemo
gledati kao da je integralni operator koji pretvara ρ u ψ. Jezgru integralnog operatora možemo
napisati kao Greenovu funkciju (Greenovu funkciju označavamo sa G)
,1
4
1),(
210
21rr
rrG
tako da jednadžba za elektrostatski potencijal u točki 1r
sada poprima oblik
).(),()( 2212
3
1 rrrGrdr
Greenova funkcija nam opisuje odziv sustava na djelovanje vanjskog proizvoljnog izvora. U
ovom slučaju, G( 1r
, 2r
) je doprinos elektrostatskom potencijalu ψ u točki 1r
koji stvara točkasti
izvor u točki 2r
. Činjenica da pomoću integracije možemo odrediti ψ u bilo kojoj točki
posljedica je toga što je Poissonova jednadžba linearna pa se doprinosi svakog elementa izvora
zbrajaju. Greenova funkcija se pojavljuje i kao odziv rješenja parcijalnih diferencijalnih
jednadžbi na impulse u određenom trenutku i položaju.
2
2.1 Greenove funkcije u jednoj dimenziji
Pogledajmo samoadjungiranu nehomogenu običnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda
,)()()( xfyxqdx
dyxp
dx
dy
L
(1)
koja je zadovoljena za x na intervalu [a,b] s time da su rubni uvjeti homogeni (rješenje je nula na
rubovima). Greenova funkcija za ovaj problem treba zadovoljavati rubne uvjete i običnu
diferencijalnu jednadžbu
,)(),( txtxG L
(2)
tako da rješenje jednadžbe (1) može biti napisano kao
b
a
dttftxGxy )(),()(
(3)
Pokažimo da y(x) zaista je rješenje jednadžbe (1):
b
a
b
a
xfdttftxdttftxGxy ),()()()(),()( LL
gdje smo koristili svojstvo Diracove delta funkcije
.)()()( afdxaxxf
2.1.1 Osnovna svojstva
Prvo ćemo promotriti rezultat integriranja jednadžbe (2) po x na malom intervalu koji uključuje
x = t
t
t
t
t
t
t
dxxtdxtxGxqdxdx
txGdxp
dx
d.)(),()(
),()(
Nakon integriranja prvog člana i korištenja svojstva Diracove delta funkcije za treći član
1)( dxxt
dobivamo:
.1),()(),(
)( |
t
t
t
t
dxtxGxqdx
txGdxp
Ukoliko su i G(x,t) i dG(x,t)/dx kontinuirane u x = t prethodna jednadžba ne može biti
zadovoljena za malo područje oko x = t tj. za interval tt , jer bi u tom slučaju oba člana
3
na lijevoj strani gornje jednadžbe isčezavala. Ono što možemo je tražiti da G(x,t) bude
kontinuirana, a da dG(x,t)/dx ima prekid u točki x = t. Integral koji sadrži q(x) iščezava za mali ε,
a to je posljedica toga što je G kontinuiran. Preostaje nam zahtjev
.)(
1),(),(lim ||0 tpdx
txGd
dx
txGd
txtx
(4)
Kako bismo pokazali još jedno važno svojstvo Greenovih funkcija razvit ćemo Greenovu
funkciju po svojstvenim funkcijama. Pretpostavljamo da rješenje nehomogene ODJ (1)
,)()( xfxy L
y(x) možemo napisati kao linearnu kombinaciju svojstvenih funkcija yn(x)
,)()( xycxy
n
nn
(5)
gdje su s cn označene konstante razvoja.
Svojstvena funkcija je bilo koja funkcija različita od nule koja nakon što operator djeluje na nju
ostaje istog oblika, pomnožena skalarom kojeg nazivamo svojstvenom vrijednošću operatora. Za
naš slučaj to bi bilo ),()( xyxy nnn L gdje su s λn označene svojstvene vrijednosti operatora L.
Za svojstvene funkcije vrijedi svojstvo ortonormiranosti koje ćemo koristiti kasnije:
b
a
mnmn dxxyxy ,)()( ,
gdje je mn, Kroneckerov simbol za koji vrijedi
mn, 1, ,
, .
Početna jednadžba poprima sljedeći oblik
,)()( xycxyc
n
nn
n
nn nL
Dobiveni oblik jednadžbe pomnožimo s ym(x), prointegriramo od a do b i koristimo svojstvo
ortonormiranosti svojstvenih funkcija
b
a n
b
a
mmnnm cdxxyxycdxxyxf mn )()()()( .
Za cn dobivamo
b
a
n
n
n dxxyxfc ')'()'(1
4
pa vraćanjem cn u (5) imamo
.)(')'()'(1
)(
n
b
a
nn
n
xydxxfxyxy
Usporedbom gornje relacije s relacijom (3) očitavamo Greenovu funkciju
).',()'()(1
)',( xxGxyxyxxG
n
nn
n
(6)
Ovim postupkom pokazano je svojstvo simetričnosti Greenove funkcije.
2.1.2 Oblik Greenovih funkcija
Promatramo diferencijalne jednadžbe na intervalu (a,b) s homogenim rubnim uvjetima.
Najopćenitiji oblik Greenove funkcije je
.)(),()(),( 11 txthxytxG
(7)
Za navedenu funkciju vrijedi da na intervalu txa G(x,t) sadrži funkciju y1(x) koja je rješenje
homogene jednadžbe 0yL i koja zadovoljava rubni uvjet u točki x = a. Dio h1(t) je za sada
nepoznat. U intervalu bxt , G(x,t) će imati sljedeći oblik
)(),()(),( 22 txthxytxG , (8)
gdje je sada y2(x) rješenje za 0yL koje zadovoljava rubni uvjeti u x = b. Svojstvo
simetričnosti (6) omogućava sustavu jednadžbi koji čine jednadžbe (7) i (8) da bude konzistentan
(rješiv) samo ako vrijedi )()( 12 tAyth i )()( 21 tAyth , gdje je A konstanta koju ćemo odrediti
kasnije. Pretpostavivši da y1 i y2 pripadaju skupu realnih brojeva dolazimo do
),( txG
1( )
2( ), ,
2( )
1( ), ,
(9)
gdje je 0iyL , y1 zadovoljava rubne uvjete u x = a i y2 zadovoljava rubne uvjete u x = b.
Vrijednost konstante A u jednadžbama (9) ovisi o vrijednosti od yi i mora biti takva da jednadžba
(4) ostane zadovoljena. Uvrštavamo jednadžbe (9) u (4):
)(
1)()()()(lim || 2112
0 tpdx
tyxAy
dx
tyxAy
txtx
iz čega slijedi
)(
1)()()()( 2112
tptytytytyA .
Konačno dobivamo vrijednost od A
1
2112 )()()()()(
tytytytytpA . (10)
5
Treba reći kako, iako se tako čini, A ne ovisi o t tj. A je konstanta kao što smo ju ranije definirali.
U relaciji (10) u uglatoj zagradi možemo prepoznati vronskijan pa možemo pisati
,)(
1
)(
1
tApW
WtpA
gdje je 1/A konstanta koja pokazuje vezu između vronskijana i 1/p(t).
Koristeći jednadžbe (9) i (3) dobivamo izraz za y(x)
b
x
x
a
dttftyxAydttftyxAyxy )()()()()()()( 2112. (11)
Vidimo su rubni uvjeti za y(x) zadovoljeni. Ako je x = a prvi integral iščezava, a drugi je
proporcionalan s y1. S druge strane ako je x = b drugi integral iščezava, a prvi je proporcionalan s
y2. Sada ćemo pokazati da jednadžba (11) zadovoljava relaciju fy L . Deriviramo y po x:
)()()()()()()()()()()()()( 21211212 xfxyxAydttftyxyAxfxyxAydttftyxyAxy
b
x
x
a
.
Zbog rubnih uvjeta iščezavaju članovi )()()( 12 afayxAy i )()()( 21 bfbyaAy pa ih nismo pisali.
Na kraju dobivamo .
b
x
x
a
dttftyxyAdttftyxyAxy )()()()()()()( 2112. (12)
Sada računamo )( yp jer će nam to trebati kako bi pokazali da jednadžba (11) zadovoljava
relaciju fy L .
)()()()()()()()()()( 1212 xfxyxyxpAdttftyxyxpAxyxp
x
a
)()()()()()()()( 2121 xfxyxyxpAdttftyxyxpA
b
x
. (13)
Množimo jednadžbu (11) s q(x) i kombiniramo ju s jednadžbom (13). Pri tome otpadne nekoliko
članova zbog 021 yy LL . Koristi se jednadžba (1 ) radi pojednostavljenja izraza.
Dobivamo
)()()()()()()()( 2112 xfxfxyxyxyxyxpAxy L (14)
i time je pokazano da je relacija fy L zadovoljena.
6
2.1.3 Ostali rubni uvjeti
Razmotrimo sada slučaj u kojem imamo nehomogene rubne uvjete. Neka je to opet jednadžba
fy L . Sada su rubni uvjeti y(a) = c1 i y(b) = c2 s time da je barem jedna konstanta ci različita
od nule. Ukoliko napravimo sljedeću zamjenu
ab
axcxbcyu
)()( 21 ,
dobivamo jednadžbu s homogenim rubnim uvjetima, .0)()( buau Analogan postupak se
može primijeniti na nehomogeni rubni uvjet za derivaciju ( cby )( ).
2.1.4 Povezanost s integralnim jednadžbama
Promatramo sljedeću jednadžbu svojstvenih vrijednosti
),()( xyxy L (15)
S pretpostavkom da je L samoadjungiran i da y zadovoljava homogene rubne uvjete
.0)()( byay Jednadžbu (15) možemo promatrati kao nehomogenu jednadžbu čiju desnu
stranu čini partikularna funkcija )(xy . Potrebno je prvo pronaći Greenovu funkciju G(x,t) za
operator L i za dane rubne uvjete. Zatim kao u jednadžbi (3) možemo napisati
b
a
dttytxGxy .)(),()( (16)
Nepoznata funkcija y(x) nalazi s obje strane jednadžbe i uz to nam ne prikazuje moguće
vrijednosti od λ pa zaključuemo da jednadžba (16) nije rješenje jednadžbe svojstvenih vrijednosti
(15). Razlog zbog kojeg nam je potrebna jednadžba (16) je taj da nam ona omogućuje pretvorbu
obične diferencijalne jednadžbe svojstvenih vrijednosti i njezinih rubnih uvjeta u integralnu
jednadžbu pomoću koje možemo tražiti rješenje problema svojstvenih vrijednosti na drugi način.
Ukoliko djelujemo s L na jednadžbu (16) možemo pokazati kako su jednadžbe (15) i (16)
ekvivalentni načini prikaza istog problema svojstvenih vrijednosti. Operator ćemo označiti s Lx
jer operator djeluje na x, a ne na t.
b
a
b
a
b
a
xydttytxdttytxGdttytxGxy ),()()()(),()(),()( xxx LLL
gdje je pri kraju korišteno svojstvo Diracove delta funkcije s početka poglavlja (2.1). Ovime smo
pokazali kako je moguće promijeniti problem svojstvenih vrijednosti iz obične diferencijalne u
ekvivalentnu integralnu jednadžbu. Jedna razlika je ta što se za ODJ rubni uvjeti moraju dodatno
7
napisati dok su kod integralne jednadžbe rubni uvjeti sadržani u granicama. Prethodna pretvorba
se izvodi jer je integralnu jednadžbu moguće riješiti koristeći više različitih matematičkih
postupaka i zbog svojstva da su integralni operatori organičeni, a diferencijalni nisu.
Ograničenost operatora znači da će djelovanje toga operatora na neku funkciju y konačne
vrijednosti, dati isto konačnu vrijednost. Ovim odjeljkom je pokazano da Greenove funkcije čine
vezu između diferencijalnog i integralnog operatora pri formulaciji istog problema.
2.2 Greenove funkcije u dvije i tri dimenzije
2.2.1 Osnovne značajke
Pokazat ćemo da se principi Greenovih funkcija za probleme u jednoj dimenziji mogu proširiti i
na probleme u dvije ili tri dimenzije. Neka je L linearni diferencijalni operator drugog reda u
dvije ili tri dimenzije.
I) Homogena parcijalna diferencijalna jednadžba 0)( 1 r
L i njezini rubni uvjeti definiraju
Greenovu funkciju G( 1r
, 2r
) koja je rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe
)(),( 2121 rrrrG
L
za koju vrijede isti rubni uvjeti koji definiraju Greenovu funkciju.
II) Nehomogena parcijalna diferencijalna jednadžba )()( rfr
L s rubnim uvjetima istim kao
u prethodnoj jednadžbi, ima rješenje
,)(),()( 2
3
2211 rdrfrrGr
gdje se integrira po prostoru odgovarajućem za ovaj problem.
III) Kada operator L i njegovi rubni uvjeti definiraju problem svojstvenih vrijednosti za
hermitske matrice L, L sa svojstvenim funkcijama φn( r) i odgovarajućim svojstvenim
vrijednostima λn, tada vrijedi sljedeće:
Greenova funkcija G( 1r
, 2r) je simetrična
),(),( 1221 rrGrrG ,
Greenovu funkciju je moguće razviti po svojstvenim funkcijama
.)()(
),( 1221
nn
nn rrrrG
IV) Greenova funkcija G( 1r
, 2r
) bit će kontinuirana i derivabilna u svim točkama takvim da je
21 rr
. U točki 21 rr
Greenova funkcija može imati beskonačnu vrijednost pa ne možemo
8
tražiti da u toj točki bude neprekidna. Ono što možemo zahtijevati je da G bude neprekidna u
okolini točke 21 rr
, ali da ne uključuje navedenu točku.
Razlika je ta što u dvije ili tri dimenzije ne možemo koristiti formule koje smo koristili pri
traženju rješenja za razne probleme u jednoj dimenziji.
2.2.2 Razvoj po svojstvenim funkcijama
Već smo u odjeljku 2.1.1 računali razvoj Greenove funkcije po svojstvenim funkcijama kako bi
pokazali svojstvo simetričnosti Greenove funkcije (6). Sada ćemo sličnim postupkom to učiniti
za jednadžbu
)()()( 111 rfrr
L
(λ u gornjoj jednadžbi ne predstavlja svojstvenu vrijednost). Rješenje gornje jednadžbe ψ( 1r
)
možemo napisati kao linearnu kombinaciju svojstvenih funkcija )( 1rn
,)()( 11 n
nn rcr
(17)
gdje su s cn označene konstante razvoja. Uvrštavamo relaciju (17) u početnu jednadžbu ovog
odjeljka i djelujemo operatorom L na svojstvene funkcije )( 1rn
pa dobivamo
).()( 11 rfrc
n
nnn
Sada gornju jednadžbu pomnožimo s )( 1rm
, prointegriramo od a do b i koristimo svojstvo
ortonormiranosti svojstvenih funkcija
.)()()()( 3
111
3
111 mm
n
n
b
a
mnn
b
a
m cdrrrcdrrrf
Dobivamo izraz za cn
.)()(
1 3
222 drrrfc
b
a
n
n
n
Vraćamo cn u relaciju (17) i dobivamo
.)()()(
1)( 1
3
2221
n
n
b
a
n
n
rdrrrfr
Usporedbom gornje relacije s relacijom (3) očitavamo Greenovu funkciju
.)()(
),( 1221
nn
nn rrrrG
9
Red će konvergirati ako je parametar λ različit od svih svojstvenih vrijednosti od L.
2.2.3 Oblik Greenovih funkcija
U jednoj dimenziji smo mogli podijeliti područje koje promatramo na dva intervala koja razdvaja
određena točka (odjeljak 2.1.2, x < t i x > t) i onda za svaki interval tražiti rješenje homogene
jednadžbe koje je u skladu s njezinim rubnim uvjetima. U dvije ili tri dimenzije ne možemo
iskoristiti taj postupak jer dijeljenjem ravnine ili prostora točkom ne postižemo nešto što bi nam
pomoglo u daljnjem računu. Umjesto toga trebalo bi pronaći Greenovu funkciju za operator L i
njegove pripadne rubne uvjete te onda dodati homogenoj diferencijalnoj jednadžbi 0)( r
L
potrebno rješenje kako bi prilagodili Greenovu funkciju rubnim uvjetima nekog drugog
problema.
Promatramo Laplaceov operator u tri dimenzije s rubnim uvjetom da Greenova funkcija iščezava
u beskonačnosti. Tražimo rješenje za nehomogenu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu
)(),( 2121
2
1 rrrrG
(18)
uz .0),(lim 211
rrGr
Indeks kod nabla operatora pokazuje da taj operator djeluje na 1r
. Budući da
Greenova funkcija u beskonačnosti iščezava, a nalazimo se u tri dimenzije, shvaćamo da je taj
rubni uvjet sferno simetričan. Na velikoj udaljenosti od točaka 1r
i 2r
možemo pretpostaviti da je
G( 1r
, 2r
) funkcija samo od 2112 rrr
. Prointegrirajmo jednadžbu (18) po sfernom volumenu
polumjera a sa središtem u 2r
:
.1),(
12
1
3
2111 ar
rdrrG
Nakon integriranja, zbog svojstva Diracove delta funkcije, desna strana jednadžbe je jednaka 1.
Na lijevoj strani ćemo primijeniti Gaussov teorem
,3
)(
drVSdV
S Sv
pa sada integriramo po plohi 1 koja zatvara sferni volumen 1
3rd
.14),( |12
12
12
2
1211
arar
dr
dGadrrG
(19)
Slijedi
.4
1),(
2
12
21
12 rrrG
dr
d
10
Integriranjem gornjeg izraza dolazimo do
.1
4
1),(
21
21 Crr
rrG
Konstantu C možemo izračunati korištenjem rubnog uvjeta da G iščezava u beskonačnosti. U
tom slučaju će i član u nazivniku 21 rr
ići u beskonačnost pa će prvi član s desne strane
iščezavati. Dobivamo da je konstanta C jednaka nuli pa napišemo konačan izraz za G
.1
4
1),(
21
21rr
rrG
(20)
Greenovu funkciju možemo koristiti samo za beskonačne sustave gdje je G = 0 u beskonačnosti,
ali ju možemo pretvoriti u Greenovu funkciju za neki drugi problem tako što ćemo homogenoj
diferencijalnoj jednadžbi (Laplaceovoj) dodati prikladno rješenje. Jednadžbu (2 ) nazivamo
temeljnom Greenovom funkcijom Laplaceove jednadžbe u tri dimenzije jer ju koristimo kao
ishodišnu točku niza problema.
Sada želimo izračunati Greenovu funkciju za Laplaceovu jednadžbu u dvije dimenzije. Pri tome
ćemo koristiti polarne koordinate ).,( r
Sada se za razliku od (19) gdje smo integrirali po
sferi, integrira po kružnoj plohi i dobiva se
,12),( |12
12
12
1211
arar
dr
dGadrrG
A iz toga slijedi
12
21
12 2
1),(
rrrG
dr
d
.
Integriranjem dolazimo do temeljne Greenove funkcije Laplaceove jednadžbe u dvije dimenzije
.ln2
1),( 2121 rrrrG
Za razliku od Greenove funkcije Laplaceove jednadžbe u tri dimenzije gdje G u beskonačnosti
iščezava, u dvije dimenzije Greenova funkciju na velikoj (beskonačnoj) udaljenosti teži u
beskonačnost.
Simetrija Greenove funkcije se očituje na način da je potencijal u točki 1r
koji stvara izvor u
točki 2r
jednak potencijalu u točki 2r
koji bi stvarao sličan izvor u točki 1r
. Ovo svojstvo će
vrijediti i za složenije probleme ukoliko su oni hermitski.
11
2.3 Primjene Greenovih funkcija
2.3.1 Kvantno-mehaničko raspršenje: Bornova aproksimacija
Snop čestica giba po z-osi iz negativnog dijela prema ishodištu. Potencijalna energija V( r
)
rasprši mali dio čestica koje se potom gibaju kao šireći sferni val. Valna funkcija ψ( r
) mora
zadovoljavati vremenski neovisnu Schrödingerovu jednadžbu
).()()()(2
22
rErrVrm
(21)
Jednadžbu (21) možemo drukčije napisati u obliku nehomogene Helmholtzove jednadžbe:
.2
,)()(2
)()(2
2
2
22
mEkrrV
mrkr
(22)
Tražimo rješenje u sljedećem obliku
,),(~)( 0
r
efer
ikr
k
rki
gdje je rkie
0 ulazni ravni val. Indeks 0 kod valnog vektora 0k
pokazuje da je kut θ = 0 tj. da se
ravni val giba po z-osi. Član r
eikr
opisuje šireći sferni val s amplitudom ),( kf . Jednadžba (21)
predstavlja elastično raspršenje pa valni vektor dolaznog vala 0k
mora imati isti iznos kao i valni
vektor raspršenog vala k. Sa 2
),( kf je dana diferencijalna vjerojatnost raspršenja koju
zovemo udarnim presjekom raspršenja.
Kako bi dobili ψ( r) i udarni presjek raspršenja trebamo riješiti jednadžbu (22). Počinjemo tako
da rješenje napišemo pomoću Greenove funkcije (onako kako je to pokazano na stranici 2) za
operator na lijevoj strani jednadžbe (22) dobivajući integralnu jednadžbu
.),()()(2
)( 2
3
212221 rdrrGrrVm
r
(23)
Greenova funkcija pridružena Helmholtzovoj jednadžbi u tri dimenzije ima sljedeći oblik1
.4
1),(
21
21
21
rr
errG
rrik
Desnoj strani jednadžbe (23) dodajemo rik
e 0 i dobivamo
.4
)()(2
)( 2
3
21
2221
21
10 rdrr
errV
mer
rrik
rki
1 Str. 463, tablica 10.1 u Arfken, G.B., Weber, H.J., Harris, F.E., Mathematical Methods for
Physicists, A Comprehensive Guide, San Diego: Academic Press, 1995. (VII. izdanje)
12
Dobivena integralna jednadžba je analogna Schrödingerovoj valnoj jednadžbi i naziva se
Lippmann-Schwingerova jednadžba. U posebnom slučaju kada je amplituda neraspršenih čestica
10)( 10
rkier
dominantna, tada možemo unutar integrala aproksimirati ψ(r2) sa ψ0(r2) pa dobivamo
.4
)(2
)( 2
3
21
22120
21
10 rderr
erV
mer
rki
rrik
rki
Aproksimacija koju smo napravili se naziva Bornova aproksimacija i smatra se da je najtočnija
za slabe potencijale i visokoenergetske ulazne snopove.
2.3.2 Temperatura Zemlje (zagrijavanje radioaktivnim raspadom)
U ovom poglavlju ćemo računati temperaturu Zemljine unutrašnjosti i kako radioaktivni raspada
elemenata u Zemljinoj kori utječe na tu temperaturu. Neki radioaktivni elementi se ne uklapaju u
strukturu plašta Zemlje pa bivaju izbačeni prema Zemljinoj kori. Radioaktivni elementi se
nakupljaju u nekom dijelu Zemljine kore koji se zagrijava radioaktivnim raspadom tih
elemenata. Radi pojednostavljenja pretpostavljamo da temperatura T i toplina Q nastala
radioaktivnim raspadom ovise samo o dubini i da možemo zanemariti sferičnost Zemlje. Uz to
pretpostavljamo da proizvodnja topline radioaktivnim raspadom ne ovisi o vremenu i
razmatramo samo ravnotežnu temperaturu (temperatura koju bi Zemlja imala uz zanemarenje
temperaturnog doprinosa atmosfere). Iz ovih pretpostavki možemo zaključiti da temperatura
ovisi samo o z koordinati, T=T(z). Temperaturno polje zadovoljava toplinsku jednadžbu
QTt
T
2 .
Pretpostavljamo da temperatura ne ovisi o vremenu pa gornja jednadžba ima sljedeći oblik
,0 2 QT
a temperatura ovisi samo o koordinati z pa od Laplaceovog operatora u gornjem izrazu ostaje
samo dio s drugom derivacijom po z:
.)(
2
2
zQ
dz
Td
(24)
13
Slika 1 - prikaz iznosa topline i temperature na površini i u unutrašnjosti Zemlje
Tu jednadžbu možemo riješiti nakon što definiramo rubne uvjete. Debljinu kore označimo sa H.
Pretpostavljamo da je temperatura na površini jednaka nuli, a da na određenoj dubini D
temperatura ima vrijednost T0. Možemo napisati rubne uvjete:
.)(,0)0( 0TDzTzT
Sada ćemo koristeći Greenovu funkciju riješiti diferencijalnu jednadžbu (24) s rubnim uvjetima
koje smo malo prije postavili. Prvo određujemo partikularno rješenje TP, a kasnije koristimo
rubne uvjete. Greenovu funkciju G(z,z') koristimo kao temperaturu na dubini z koju uzrokuje
zagrijavanje na dubini z' koje ćemo opisati delta funkcijom
).'()',(
2
2
zzdz
zzGd
(25)
Iz jednadžbi (24) i (25) vidimo da partikularno rješenje koje zadovoljava jednadžbu (24) ima
sljedeći oblik
.')'()',(
1)(
0
D
p dzzQzzGzT
(26)
Sljedeće što moramo napraviti je rješavanjem diferencijalne jednadžbe (25) doći do Greenove
funkcije. U ovom slučaju Greenova funkcija iščezava u rubnim točkama:
.0)',()',0( zDzGzzG (27)
Koristeći svojstvo Diracove delta funkcije da je ona jednaka nuli za točke 'zz vidimo da
Greenova funkcija zadovoljava homogenu jednadžbu
,0)',(
2
2
dz
zzGd
čija su rješenja dana linearnim funkcijama
14
)',( zzG , ,
, .
Uvrštavajući rubne uvjete dobivamo da je konstanta a jednaka nuli, a konstanta c jednaka -dD pa
slijedi:
)',( zzG , ,
, .
Da bi odredili preostale dvije konstante prvo koristimo kontinuiranost Greenove funkcije u točki
z=z'
.'
')'('
Dz
zbdDzdbz
Sada za rješenja imamo
)',( zzG , ,
, .
Da bi odredili konstantu b integriramo jednadžbu (25)
1)'(lim)',(
lim
'
'
0
'
'
2
2
0
dzzzdz
dz
zzGdz
z
z
z
.1)',()',(
0'0'
zzzz dz
zzdG
dz
zzdG
Uvrštavamo rješenja Greenove funkcije za z>z' i z<z' pa dobivamo
,)',0'(
,'
')',0'(
0'0'
bdz
zzdG
Dz
bz
dz
zzdG
zzzz
.'
1'
'
D
Dzbb
Dz
bz
Konačan oblik Greenovih funkcija je sljedeći
)',( zzG
, ,
, .
(28)
Pretpostavljamo da je iznos topline Q različit od nule samo u Zemljinoj kori. Razlog tomu je što
se neki radioaktivni materijali kao što je U235 uglavnom nakupljaju u kori Zemlje kao što je već
objašnjeno na početku ovog odjeljka. Pretpostavit ćemo radi jednostavnosti da je iznos topline u
kori konstantan
)(zQ , ,
, H . (29)
15
Sada možemo uz pomoć (28) i (29) odrediti partikularno rješenje (26)
.')'()',(1
')'()',(1
)(
0
D
H
H
p dzzQzzGdzzQzzGzT
U intervalu (H,D) iznost topline Q jednak je nuli pa će onda drugi član s desne strane biti jednak
nuli i u slučaju kada je z u intervalu (0,H) i u slučaju kada je z u intervalu (H,D). Prvo rješavamo
slučaj kada je z u intervalu (0,H). Budući da granice integracije za z' idu od 0 do H moramo
integral rastaviti jer Greenova funkcija ima različit oblik za slučajeve z<z' i z>z'
.0,22
''
1''1)(
22
00
0
0 HzD
H
H
z
H
zHQzdz
D
zQdzz
D
zQzT
H
z
z
p
Za slučaj kada je z u intervalu (H,D) integral ne treba rastavljati jer je z>z' (z' je u intervalu od 0
do H) pa imamo
.,12
''1)(
0
2
00 DzHD
zHQdzz
D
zQzT
H
p
Ovo partikularno rješenje ne zadovoljava rubne uvjete 0)(,0)0( TDzTzT koje smo
već ranije zadali. Zato je potrebno ovome rješenju dodati dio koji dolazi od rješavanja homogene
diferencijalne jednadžbe
02
0
2
dz
Td.
Rješavanjem dobivamo
.,,)(0 constfefezzT
Iz rubnih uvjeta dobivamo da je konstanta f jednaka nuli, a konstanta e jednaka T0/D. Konačna
rješenja za jednadžbu (24) koja zadovoljavaju rubne uvjete imaju sljedeći oblik
)(zT
, ,
, .
U ovome primjeru smo koristili Greenovu funkciju za konstrukciju partikularnog rješenja i da
bismo dobili rješenje koje zadovoljava rubne uvjete morali smo partikularnom rješenju dodati
rješenje homogene diferencijalne jednadžbe. Ukoliko rubni uvjeti problema nisu homogeni,
uvijek ćemo doći do toga da na kraju partikularnom moramo dodavati homogeno rješenje. Iz
ovoga proizlazi da je Greenovu funkciju koja zadovoljava rubne uvjete problema najbolje
koristiti u slučaju kada su ti uvjeti homogeni. U ostalim slučajevima neizbježan je korak
16
dodavanja rješenja homogene jednadžbe partikularnom rješenju da bi se zadovoljili rubni uvjeti i
u tome slučaju bi trebalo koristiti Greenovu funkciju koju je najlakše izračunati.
2.3.3 Schrӧdingerova jednadžba s impulsnim izvorom
U ovom odjeljku proučavati ćemo Greenovu funkciju za Schrӧdingerovu jednadžbu. Prvo ćemo
napisati Schrӧdingerovu jednadžbu:
).,()(),(2
),( 22
trrVtrmt
tr
i
Rješenja ove jednadžbe poznata su za mali broj problema kao što su harmonijski oscilator,
Coulombov potencijal i slučaj slobodne čestice. Mi ćemo razmatrati slučaj slobodne čestice tj.
slučaj kada je potencijel V( r
) jednak nuli
.0),(2
),( 22
tr
mt
tr
i
Greenova funkcija zadovoljava sljedeću parcijalnu diferencijalnu jednadžbu
.)()(),(2
),( 22
trtrGmt
trG
i
(30)
Za 0,0 tr
Greenova funkcija je rješenje Schrӧdingerove jednadžbe jer će tada, prema
svojstvu Diracove delta funkcije, desna strana biti jednaka nuli. Uspoređujući početnu
Schrӧdingerovu jednadžbu s jednadžbom (3 ) vidimo da |G|2 kao i |ψ|
2 daje gustoću vjerojatnosti
pronalaska čestice na mjestu r u trenutku t. Za r
= 0 i t = desna strana će imati beskonačnu
vrijednost što možemo protumačiti na način da je u početnom trenutku t = čestica postavljena u
ishodište te tako desna strana predstavlja impulsni izvor vjerojatnosti pronalaska čestice. Nakon
trenutka t = čestica će se gibati u skladu sa zakonima kvantne mehanike, a to gibanje je opisano
jednadžbom (3 ).
Greenovu funkciju možemo konstruirati pomoću prostorne Fourierove transformacije. Koristimo
Fourierovu transformaciju za svaku od N prostornih dimenzija
.),()2(
1),(
kdetkgtrG Nrki
N
(31)
Transformacija je ovdje izvršena samo za N prostornih dimenzija, a ne i za vrijeme. Da bi
pronašli diferencijalnu jednadžbu koju zadovoljava g trebamo uvrstiti Fourierovu transformaciju
(31) u jednadžbu (3 ), no prvo trebamo izračunati djelovanje laplasijana na Fourierovu
transformaciju (31)
.),()2(
1),( 22
kdetkgktrG Nrki
N
17
Fourierova transformacija za delta funkciju δ( r
) je
.)2(
1)(
kder Nrki
N
Sada ubacujemo sve transformacije u (30):
,)2(
1)(),(
)2(
1
2
),(
)2(
1 22
kdetkdetkgk
mkde
t
tkg
i
Nrki
N
Nrki
N
Nrki
N
.0)(),(2
),(
)2(
1 22
kdettkgk
mt
tkg
i
Nrki
N
Zagrada mora biti jednaka nuli jer su svi ostali članovi različiti od nule pa dobivamo jednadžbu
koju zadovoljava g
.)(),(
2
),( 22
ttkgm
k
t
tkg
i
(32)
Sada smo olakšali račun jer je jednadžba (3 ) bila parcijalna, a jednadžba (32) je obična
diferencijalna jednadžba. Za 0t imati ćemo
.0),(2
),( 2
tkg
m
ki
t
tkg
Lako se određuje da je rješenje ove jednadžbe oblika
.),( 2
2
tm
ki
etkg
(33)
Sada pomoću tog rješenja možemo zapisati Greenovu funkciju:
.
)2(
1),( 2
2
kdetrG Nrkit
m
ki
N
(34)
Da bi pronašli Greenovu funkciju moramo riješiti Fourierov integral u jednadžbi (34). Jednadžbu
(34) možemo raspisati na sljedeći način
N
xiktm
kixikt
m
kixikt
m
ki
NdkedkedketrG
NNN
22
21
2
2
22
22
11
21
...)2(
1),(
.
Svaki integral ima isti oblik pa se jednadžba može napisati kao
,),(...),(),(),,...,,( 2121 txItxItxItxxxG NN
gdje je I(x,t) oznaka za
.2
1),( 2
2
dketxIikxt
m
ki
(35)
18
Kada riješimo integral u (35) lako ćemo doći do konačnog oblika za Greenovu funkciju.
Primijetimo da je eksponent u integralu kvadratna funkcija od k. Ukoliko bi zapisali eksponent u
obliku -αk2 tada bi mogli riješiti problem. Trebamo eksponent nadopuniti na kvadrat
t
imx
t
xmk
t
mxkt
m
ik
t
mxkt
m
iikxt
m
ki
2
2
2
2
22
2 2
22
2222
.22
22
t
imx
t
mxkt
m
i
Sada u (35) mijenjamo eksponent s izrazom koji smo dobili u prethodnom redu i koristimo
zamjenu
,'kt
mxk
pa imamo
t
mx
t
mx
tkm
i
t
imx
dkeetxI
.'2
1),(
22
'22
Pretpostavit ćemo da član tmx / nema veliki utjecaj na granice integracije tj. da ga u odnosu na
beskonačno možemo zanemariti. Nakon toga radimo sljedeću zamjenu
.2'2
2ztkm
i
Ovom supstitucijom bi u granice integracije došla imaginarna jedinica, no integral će imati istu
vrijednost i ako se integrira po realnoj osi pa imamo:
.2
2
1),(
2
2
2 dzeeti
mtxI zt
imx
(36)
Dobili smo Gaussov integral čije rješenje je . Sređivanjem izraza (36) dolazimo do
t
imx
eti
mtxI
2
2
2),(
.
Sada možemo napisati izraz za Greenovu funkciju
t
imrN
eti
mtrG
2
2/ 2
2),(
.
Dobili smo Greenovu funkciju koja zadovoljava Schrӧdingerovu jednadžbu i koja opisuje širenje
vala materije od trenutka t=0. Ovaj oblik Greenove funkcije igra bitnu ulogu u formuliranju
Feynmanovih integrala po putanji koji se primjenjuju u kvantnoj mehanici jedna čestice,
statističkoj mehanici, fizici kondenzirane materije, kvatnoj teoriji polja itd.
19
3. LITERATURA
1. Arfken, G.B., Weber, H.J., Harris, F.E., Mathematical Methods for Physicists, A
Comprehensive Guide, San Diego: Academic Press, 1995., VII.izdanje
2. Glumac, Z., Ma e a ičke e o e fi ike: kratak uvod, book-website.com, 2007.
3. Snieder, R., A Guided Tour of Mathematical Physics, Samizdat Press, 1994.
4. Young, P., Solution of inhomogeneous differential equations using Green functions,
2013., URL: http://young.physics.ucsc.edu/116C/gf.pdf
20
4. ŽIVOTOPIS
Domagoj Terzić rođen je 13.3.1993. godine u Slavonskom Brodu, Republika Hrvatska. Pohađao
je Klasičnu gimnaziju fra Marijana Lanosovića u Slavonskom Brodu, klasa 2 8./2 12. Nakon
završene srednje škole, upisao je preddiplomski studij fizike na Odjelu za fiziku, Sveučilišta
Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku, gdje trenutno studira.