Design of Engineering Experiments Part 6 Blocking & Confounding in the 2k

Diseos factoriales fraccionados de dos nivelesHENRY LAMOS D01/04/2014CONSTRUIMOS FUTURO1Motivacin01/04/2014

2Uso frecuenteExperimentos de tamizado o exploracin: se trata de experimentos en los que se consideran muchos factores y el objetivo es identificar aquellos factores (en caso de haberlos) que tienen efectos grandes.01/04/20143Uso exitoso de los diseos fraccionados1. El principio de efectos esparcidos o escasez de efectos2. La propiedad de proyeccin3. Experimentos secuenciales. Es posible combinar las corridas de dos (o ms) diseos factoriales fraccionados para ensamblar secuencialmente un diseo ms grande para estimar los efectos de los factores y las interacciones de inters.01/04/201443. Esto es, se pueden hacer corridas adicionales con el fin de resolver dificultades (ambigedades) en la interpretacin.

01/04/20145La fraccin un medio del diseo 2k 01/04/2014Notacin: dado que el diseo tiene 2k/2 corridas, entonces, se dice que es un diseo a 2k-1 Sea el diseo 23-1 ABC se le llama generador (palabra) de la fraccin.La columna identidad I tambin es siempre positiva, por lo que a I=ABC se le llama la relacin de definicin del diseo

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701/04/20148La Fraccin un medio del diseo 23

Para la fraccin principal, notemos que el contraste para la estimacin del efecto principal A es exactamente el mismo que se usa para estimar la interaccin BC. Por tanto, es imposible diferenciar entre A y BCste fenmeno se denomina alias y ocurre en todos los diseos fraccionalesLos alias se pueden determinar a partir de las columnas en la tabla en los signos de + y - .801/04/2014Montgomery DOX 5E9Alias en la fraccin un medio del diseo 23A = BC, B = AC, C = AB Los alias se pueden determinar a partir de la relacin de definicin I = ABC multiplicando:AI = A(ABC) = A2BC = BCBI =B(ABC) = ACCI = C(ABC) = ABEsto se indica con la notacin para los efectos alias :

901/04/201410La fraccin un medio alterna o complementaria de 23-1Suponga que se elige la otra fraccin un medio I = -ABCImplica que se tienen alias diferentes: A = -BC, B= -AC, and C = -ABAmbos diseos pertenecen a la misma familia, es decir, las dos fracciones un medio forman un diseo 23

Suponga que despus de correr una de las dos fracciones un medio del diseo 23 tambin se corri la otra. Se cuenta con 8 corridas asociadas al diseo 23

1001/04/2014Pueden obtenerse entonces las estimaciones sin alias de todos los efectos analizando las ocho corridas como un diseo completo en dos bloques.1101/04/201412Resolucin del diseoDiseo de Resolucin III: Ninguno de efectos principales es alias de ningn otro efecto principal. En este diseo, los efectos principales son alias de las interacciones de dos factores, y algunas de las interacciones de dos factores pueden ser alias entre s.

Un diseo es de resolucin R cuando ningn efecto del factor p es alias de otro efecto que contiene menos de R-p factores

1201/04/201413Resolucin del diseo Diseos de Resolucin IV :Diseos en los que ninguno de los efectos principales es alias de ningn otro efecto principal ni de las interacciones de dos factores, pero las interacciones de dos factores son alias entre si. I=ABCD

1301/04/2014Diseos de resolucin V :Se trata de diseos en los que ninguno de los efectos principales ni de las interacciones de dos factores son alias de otro efecto principal o interaccin de dos factores, pero las interacciones de dos factores son alias de las interacciones de tres factores

En general, la resolucin de un diseo factorial fraccionado de dos niveles es igual al menor nmero de letras en cualquier palabra de la relacin de definicin.1401/04/201415Construccin de fracciones un medio Se elabora un diseo bsico, que consta de las corridas de un diseo factorial

y luego se agrega el factor k-simo, identificando sus niveles positivos y negativos con los signos positivos y negativos de la interaccin ABC..(K-1) DEL ORDEN MS ALTO.

1501/04/201416Proyeccin de fracciones en diseos factoriales

Cualquier diseo factorial fraccionado de resolucin R contiene diseos factoriales completos (posiblemente diseos factoriales con rplicas) en cualquier subconjunto de R-1 factores1601/04/2014

1701/04/201418Example 8-1

1801/04/201419Ejemplo 8-1Sin evidencia complementaria no hay forma de explicar cul de dos efectos alias proporciona en realidad la influencia en la respuesta. En un sentido comparten un grado de libertad.

1901/04/201420Example 8-1Los efectos principales se pueden estimar si se sabe que las interacciones de 3 factores son insignificante.Los efectos principales A,C y D son grandes.

2001/04/201421Example 8-1Adems, si A,C y D son los efectos principales importantes, entonces es lgico concluir que las dos cadenas de alias de interacciones AC+BD y AD +BCtienen efectos grandes, ya que las interacciones AC y AD tambin son significativas.

2101/04/201422Example 8-1Por tanto, si A, C y D son significativos, entonces lo ms posible es que las interacciones significativas sean AC y AD. Se trata de una aplicacin de la navaja de Ockham.Principio cientfico.

22Guillermo de Ockham.Cuando uno se confronta con varias interpretaciones posibles de un fenmeno, la interpretacin ms simple suele ser la correcta.El factor B no es significativo. El diseo puede proyectarse en una sola rplica del diseo 23 en los factores A,C y D01/04/20142301/04/2014

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25La fraccin un cuarto del diseo 2k01/04/20142601/04/2014El diseo 2k-2 puede construirse apuntando primero un diseo bsico compuesto por las corridas asociadas con un diseo factorial completo k-2 factores y asociando despus las dos columnas adicionales con las interacciones elegidas apropiadamente que incluyan los primeros k-2 factores. Por lo tanto una fraccin un cuarto del diseo 2k tiene dos generadores .Ejemplo 26-2 , I=ABCE, I=BCDF generadores del diseo. La interaccin generalizada es ADEF.2701/04/2014Por lo tanto se trata de un diseo de resolucin IV.En la tabla 8.8 se muestra la estructura completa de los alias del diseo:Para A, el alias se obtiene al multiplicar AI=AABCE=BCEAI=ABCDFAI=AADEF=DEF 2801/04/2014

2901/04/2014ABCDE=ABCF=BCDContraccion observadaResidual-1-1-1-1-1-16-2,51-1-1-11-110-0,5-11-1-11132-0,2511-1-1-11602-1-11-1114-4,51-11-1-11154,5-111-1-1-126-6,25111-11-1602-1-1-11-118-0,51-1-1111121,5-11-111-1341,7511-11-1-1602-1-1111-1167,51-111-1-15-5,5-1111-11374,7511111152-6

3001/04/2014Existen otras tres fracciones alternas del diseo 26-2. Se trata de las fracciones generadoras I=ABCE I=-BCDFI=-ABCE e I=BCDFI=-ABCE e I=-BCDF.Por ejemplo, la fraccin para la que I=ABCE I=-BCDF, entonces en la ltima columna de la tabla se hace F=-BCD 3101/04/2014El diseo 26-2 se proyecta en una sola rplica de un diseo 24 en cualquier subconjunto de cuatro factores que no sea una palabra de la relacin de definicin. Se pliega en una fraccin un medio con una rplica de un diseo 24 en cualquier subconjunto de cuatro factores que sea una palabra de definicin.Por ejemplo, el diseo de la tabla se convierte en dos rplicas de un diseo 24-1 en los factores ABCE, BCDF y ADEF, porque stas son las palabras de la relacin de definicin.3201/04/2014File name: lamos3fraccion un cuarto.sfx

Estimated effects for Concentracion observada----------------------------------------------------------------------average = 27,3125 +/- 1,72414A:Factor_A = 13,875 +/- 3,44828B:Factor_B = 35,625 +/- 3,44828C:Factor_C = -0,875 +/- 3,44828D:Factor_D = 1,375 +/- 3,44828E:Factor_E = 0,375 +/- 3,44828F:Factor_F = 0,375 +/- 3,44828AB+CE = 11,875 +/- 3,44828AC+BE = -1,625 +/- 3,44828AD+EF = -5,375 +/- 3,44828AE+BC+DF = -1,875 +/- 3,44828AF+DE = 0,625 +/- 3,44828BD+CF = -0,125 +/- 3,44828BF+CD = -0,125 +/- 3,44828----------------------------------------------------------------------Standard errors are based on total error with 2 d.f.

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3801/04/2014ABCDEFS(+)3,84,015,74,644,173,88S(-)4,64,411,633,594,254,52 AB=CEAC=BEAE=BC=DFS(+)4,333,683.85S(-)4,14,534.33

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DISEOS DE RESOLUCION III01/04/2014Es posible construir diseos de resolucin III para investigar hasta k=N-1 factores en slo N corridas, donde N es un mltiplo de 4.4 corridas para hasta 3 factores.8 corridas para hasta 7 factores16 corridas para hasta 15 factores.Si k=N-1, se dice que el diseo factorial est saturado.

Un analista de desempeo humano conduce un experimento para estudiar el tiempo de enfoque del ojo y ha construido un aparato en el que puede controlarse varios factores durante la prueba. A- agudeza visual, B- la distancia del objetivo, C-la forma del objetivo, D- el nivel de iluminacin, E- el tamao del objetivo, G- la densidad del objetivo y F el sujeto. Se consideran dos niveles de cada factor.El analista sospecha que slo algunos de estos siete factores son de importancia principal y que pueden omitirse las interacciones de orden superiores entre los factores.4101/04/201401/04/2014ABCD=ABE=ACF=BCG=ABCTiempo-1-1-1111-185,51-1-1-1-11175,1-11-1-11-1193,211-11-1-1-1145,4-1-111-1-1183,71-11-11-1-177,6-111-1-11-19511111-1141,8

El diseo es una fraccin un dieciseisavo del diseo 27Se construye como aparece en la tabla.Los generadores del diseo son I=ABD,I=ACE,I=BCF,I=ABCG.La relacin de definicin completa de este diseo se obtiene multiplicando entre s los cuatro generadores de dos en dos, de tres en tres y los cuatro a la vez.4201/04/2014I=ABD=ACE=BCF=ABCG=ABDACE=ABDBCF=ABDABCG=ABDACEBCF=ABDBCFABCG=ACEBCFABCG=ABDACEBCFABCG.Para encontrar los alias de cualquier efecto, se multiplica el efecto de cada palabra de la relacin de definicin.Los alias de B:B=BABD=AD=ABCE=CF=ACG=CDE=ABCDF=BCDG=AEF=EG=ABFG=BDEF=ABDEG=BCEFG=DFG=ACDEFGSi se asume que las interacciones de tres o ms factores son insignificantes , la estructura del alias es ms simple.4301/04/2014

01/04/2014Para separar los efectos principales y las interacciones de dos factores se corre una segunda fraccin con todos lo signos invertidosLa doblez se muestra en la tablaABCD=- ABE=- AC F= -BC G=ABCTiempo+++---+91,3-++++--136,7+-++-+-82,4--+-+++73,4++--++-94,1-+-+-++143,8+--++-+87,3-------71,901/04/2014

Al combinar esta segunda fraccin con la original se obtienen las siguientes estimaciones de los efectos

01/04/2014IAA=1.48BD+CE+FG19.5BB=38.05AD+CF+EG=0.33CC=-1.8AE+BF+DG=1.53DD=29.8AB+CG+EF=-0.5EE=0.13AC+BG+DF=-0.4FF=0.5BC+AG+DE=1.53GG=0.13CD+BE+AF=-2.55

Los dos efectos ms grande son B y D. Adems, el tercer efecto ms grande es BD*CE*FG, por lo tanto se puede atribuir esto a la interaccin BD. Este tipo de doblez rompe los vnculos de alias entre los efectos principales y las interacciones de dos factores.