charakterisierung lokalkonvexer räume mit hilfe von tensornormtopologien

Math. Nachr. 106 (1982) 347-374

Charakterisierung lokalkonvexer Raume mit Hilfe yon Tensornormtopologien

Von JAKOB HARKSEN in Kiel

(Eingegangen am 30.12.1980)

Hauptgegenstand dieser Arbeit sind lokalkonvexe Topologien auf dem Tensor- produkt E@ F lokalkonvexer Raume E , F , die grober als die n- und feiner als die s-Topologie sind. Die n- und die s-Topologie wurden von A. GROTHENDIECK genaue- stens in [ 131 untersucht. Eine wichtige Eigenschaft des n-Tensorprodukts ist seine Stabilitat bei Quotientenbildung, d. h.

Fur E , F , Q lokalkonvex und e : P-Q surjektiv und offen ist auch ( Q ) id,@e: E@,P-E@.,Q surjektiv und offen. Man sagt auch: n erfullt

die (r)-Quotientenraumeigenschaft.

Ebenso erfullt die s-Topologie die ,,dualel' Eigenschaft : Fur E , G c F lokalkonvex ist E@,,G ein topologischer Teilraum von

( U ) E8.F. Man sagt auch : E erfullt die (r)-Unterraumeigenschaft. Naturlich erfullt n nicht die (r)-Unterraumeigenschaft, aber FLORET zeigte in [9], da13 in dem Spezialfall, falls E ein 91-Raum ist, die Eigenschaft ( U ) gilt. (Man sagt : (E , n) erfullt die (r)-Unterraumeigenschaft.) Dual hierzu zeigte KABALLO in [19], da13 fur einen Y-Raum E und die E-Topologie (Q) gilt ( ( E , E ) erfullt die ( r ) - Quotientenraumeigenschaft ) .

Unser Ziel ist es nun, diese Eigenschaften der z- und 6-Topologie fur eine grol3e Klasse von Topologien zwischen n und E , den sogenannten Tensornormtopologien, zu untersuchen. Dazu stellen wir in 5 1 einige Ergebnisse uber Tensornormen auf dem Tensorprodukt von normierten Riiumen bereit, die ohne Beweis von GRO- TIIENDIECK in [15] angegeben wurden. In 4 2 wird mit Hilfe eines projektiven Pro- zesses die zu einer Tensornorm a gehorende Tensornormtopologie (auch a-Topolo- gie) auf dem Tensorprodukt lokalkonvexer Riiume eingefuhrt. Dieser ProzeB liefert fur die E - und n-Norm die E - und n-Topologie.

Von grundlegender Bedeutung ist die Rolle, die die endlich-dimensionalen normierten Raume in dieser Theorie spielen. So ist fur e k e Tensornormtopologie a die (r)-Quotientenraumeigenschaft schon dann erfullt, falls die Aussage (Q) in

einer isometrischen Form schon fur endlich-dimensionale Riiume gilt. Entspre- chendes gilt fur die (r)-Unterraumeigenschaft. Da nicht jede a-Topologie die (r)-Quotienten- (bzw. (r)-Unterraumeigenschaft) erfullt, fuhrt man eine , ,benach-

348 Harksen, Charakterisierung lokalkonvexer Raume

barte“ Topologie a/ (bzw. u\) mit dieser Eigenschaft ein. ul (bzw. a\) lafit sich nun mit Hilfe der endlich-dimensionalen ZL- (bzw. Z l - ) Raume charakterisiereh, woraus unmittelbar die von GROTHENDIECK in [ 151 fur den BANAcHraumfall angegebene Charakterisierung folgt. Eine weitere wichtige Rolle spielen die endlich-dimensionalen Raume beim Studium von Dualitatsfragen. Da fur endlich-dimensionale E , F (E@aF”=E’@aJ’’ (a’ die zu u duale Tensornorm) gilt, folgt deshalb, daB eine Topologie u die Aussage ( Q ) genau dam erfiillt, falls U’ ( U ) erfiillt, obwohl fur heliebige E , F im allgemeinen (Em El@ ..F‘ gilt. Die Inklusion ist in vielen Fallen nicht einmal topologisch.

Diese Ergebnisse haben nun zahlreiche Anwendungen. In $ 4 werden zurn Beispiel durch Vergleich von a mit a / diejenigen lokalkonvexen Raume E’ charsk- terisiert, fur die ( E , u) die (r)-Quotientenraumeigenschaft erfiillt. Entsprechende Ergebnisse erhalten wir durch Vergleich von u und u\. Speziell fur E erhalten wir ein Ergebnis, das auch von HOLLSTEIN in [17] angegeben wurde.

Allgemeiner charakterisieren wir in fj 5 durch Vergleich der E - mit der wp-Topo- logie (siehe [5]) die SP-Raume fur 1 ~p 500.

Die vorliegende Arbeit ist eine Zusammenfassung von Teilen der Dissertation des Verfassers. Herrn Professor Dr. KLAUS FLORET mochte ich fur Gesprache uber den Gegenstand dieser Arbeit herzlich danken.

5 0: Allgemeine Bemerkungen

0.1. Wir betrachten stets separierte lokalkonvexe Raume E , F, G , H uber K = R oder C. gE heil3t definierendes Halbnormensystem (def. HNS) von E , falls fur jede stetige Halbnorm p auf E ein qc gE existiert mit p s q . 1st p eine stetige Halbnorm auf E , so bezeichnen wir mit Ep den Quotientenraum EIKern p , ausgestattet mit der von p induzierten Norm. p p bezeichne die kanonische Abbildung von E nach Ep. Falls q & p ist, dann bezeichnen wir die kanonische Abbildung pp ,q : Eq+Ep, pqz+Qpp2 als Spektralabbildung des kanonischen Netzes (Ep)pcBE

0.2. Ein ldkalkonvexer Raum E heiDt a-ZokaZtopoZogisch ([l]), falls E ein ab- zahlbares Fundamentalsystem beschrankter Mengen besitzt und fur beliebige lokalkonvexe F und T : E - F linear gil;, da13 T stetig ist genau dann, falls T I stetig ist fur alle beschrankten Bc E. (DF)-Raume also insbesondere normierte Raume sind o-lokaltopologisch.

0.3. Fur projektive und induktive Limites sei auf [lo], J 6 und J 23, oder [21], $ 19, oder [36], S. 51-60, verwiesen. Fur projektive und induktive Limites rnit ZdE verweisen wir auf [20] und [7].

0.4. Fur zwei normierte Raume E , E’ bezeichnen wir mit

d(E, F ) : =inf (llTl1 . IIT-111 I T : E - F Isom.}

den Isomorphieabstand von E und F.

Harksen, Charakterisierung lokalkonvexer Raume 349

Ein RANAcHraum E heiI3t g;-Raum ([25], [26], [27]), wobei 1 s p s - und I s L c: 03, wenn es zu jedem Teilraum N von E mit dim N -= 00 einen Teilraum h', mit dim N1-=-, N c N l c E und d(N,, ZZiimN,) S L gibt. E heil3t P-Raum, falls E ein .9;-Raum fur ein 2 Z 1 ist. Die LEBEsauE-R&ume LP(p), 1 s p SCQ, insbesondere die verallgemeinerten Folgenraume Z p ( I ' ) , r eine Menge, sind 5?:+E-R&ume fur jedes E > O .

0.5. Ein lokalkonvexer Raum E erfiillt die Approximationseigenschaft (A.E.), falls gilt : Fur alle Kc E kompakt, fur alle p C 8, und fur alle .s=- 0 existiert ein T c L ( E , E ) mit T(E) endlich-dimensional und sup p ( x - Ts) 5 8 . Falls man fur lk:

normiert T zusktzlich so wahlen kann, da13 l lTl l~2 (bzw. I lTl l~l) gilt, wobei L unabhangig von K und E ist, dann hat E die beschrankte Approximationseigen- schaft (b. A. E.) (bzw. die metrische Approximationseigenschaft (m. A. E.)). P- Raume haben die (b. A. E.). Lp(p), Z p ( I ' ) und C ( K ) haben die (m. A. E.) (siehe A. GROTHENDIECK, [13]).

0.6. Fur das 8-Tensorprodukt und das n-Teosorprodukt sei auf [13] oder [36] gerwiesen. Wir erinnern hier nur an zwei Eigenechaften, die wir im folgenden fur beliebige Tensornormtopologien genauer untersuchen wollen : Die E-Topologie erfiillt die Unterraumeigenschaft, d. h. : Fur alle lokalkonvexen RBume E, F und E l c E bzw. Pic P Teilraum ist El@ &Fi (topologischer) Teilraum von E@J ,P. Fur normierte E, F und isometrische Unter- raume El, PI ist Ei@eFl sogar isometrischer Unterraum.

Die n-Topologie erfiillt die Quotientenraumeigenschaft, d. h. : Falls El , Q1, E2, Q2 lokalkonvexe RLume und el : El-Ql bzw. e2 : E2+Q2 surjektive Homomorphis- men sind, dann ist

SEX

PI@ ne2 El@ nE2 +Qi@nQ2

ein (surjektiver) Homomorphismus. Falls im normierten Fall el und e2 Quotienten- abbildungen sind (d. h. E,/Kern el ist isdmetrisch zu Qi), dann ist ei@ n ~ 2 auch eine Quotientenabbildung .

5 1. Tensornormen

In diesem Paragraphen erinnern wir an die von A. GROTHENDIECK in [I51 eingefuhrten Tensornormen und geben einige z. T. verallgemeinerte Ergebnisse an, Fur einige Beweise verweisen wir auf [2] und [15].

Falls E , F normierte Raume sind, dann bezeichnen wir mit &(.; E, F ) oder auch nur mit a eins Norm auf E @ F . Mit E @ .F bezeichnen wir den Raum E @ F ausgestattet mit der Norm a( . ; E , P). Mit EGaF wird die VervoIlstBndigung von E@@,F bezeiclinet. Falls E'@F'c (E@=F)' (mit ,,c " ist die natiirliche Einbettung gemeint), dann wird die durch (E8.F)' auf E'@F' induzierte duale Norm rnit ;'(.; E', P') bzw. a' bezeichnet.

350 Harksen, Chttrakterisierung lokalkanvexer Riiume

1.1. Definition. Seien E , F normierte Raume. Eine Norm a auf E @ F heifit vernunftig, falls gilt: (a) a ( s @ y ; E , F ) =11z11 llyll filr alle z~ E und y~ F (b) E ’ @ F ‘ C ( E @ ~ F ) ‘ und

a’ ( d @ y ’ ; E’, F’) =11z’11 - Ily’ll filr alle z’EE‘ und y‘CF‘. Unmittelbar aus der Definition der E- und der n-Norm folgt, daB E(. ; E , F ) die

kleinste und n(. ; E , P ) die groBte vernunftige Norm auf E @ F ist. Insbesondere gilt, daB jede Norm auf E @ P , die zwischen E und z liegt, vernunftig ist.

I m folgenden bezeichne % die Menge aller normierten endlich-dimensionalen Riiume ( E und F sind identisch, falls sie zueinander isometrisch sind). P,,,, bezeichne die Menge aller Normen auf E @ F. Falls %’ und %” Teilmengen von % sind, 80 sei 8Fn.xw.- - P ( E , F ) . a = ( a ( . ; E , P ) ) c E , F , E w x g , , bezeichne ein Ele-

1.2. Definition. a € gSx8 heifit Tensornorm, falls es die folgenden Bedingungen

17 ment aus 8g.xFnz”. (E,F)€R‘X%”

erfilllt: (a) Jede Komponente a ( . ; E , F ) ist eine vernilnftige Norm auf E @ F . (b) a erfilllt die (metrisehe) Abbildungseigenschft auf % X (32, was folgendes bedeutet:

Falls E,, P i € % , uiEL(E,, Fa) , i = l , 2, dann gilt:

IIUl@uU2 : Ei@e%+Fl@uF*ll ~ I I U i l l * IIu211 *

Fur eine Tensornorm a und ( E , F ) € % X(31 wird durch a’(z; E , 3’): =sup { l ( z , w ) ] 1 WCE’BF’, a(w; E‘, F’) s I }

eine vernunftige Norm auf E@,P definiert. a’: =(a’ ( . ; E , F))(E,,)cgxR ist wiederum eine Tensornorm und wird als die zu a duale Tensornorm bezeichnet.

Entsprechend wird ‘a : = (‘a(. ; E , F)),E,F)cgxFn, wobei fur ( E , F) E % x % und z = x z i @ y i € E @ F ‘ a ( z x i @ y Y 1 ; E , F ) = a ( C y , @ x , ; F , E ) gilt, als die zu a trans-

ponierte Tensornorm bezeichnet. Es gilt :

Falls a=’a, dann heiBt a symmetrisch. E und iz sind symmetrische Tensornormen und E’=Z., also auch d = e .

Fur Tensornormen a , p und 0 -= I E R bedeutet a s I - 6, daf3 fur alle ( E , F ) E % X % a ( . ; E , F ) S I . p ( . ; E , F ) gilt. Zwei Tensornormen a, /!I heil3en Ilquivalent, falls O X & , I,E R existieren mit I , * S a s 1 2 . p. In dieser Ordnung ist E die kleinste und n die groI3te Tensornorm.

Sei A eine beliebige Menge von Tensornormen. Fur ( E , F ) E % X % und x € E@ F ist die durch a ( z ; E , P) =sup P ( z ; E , F) definierte Norm vernunftig und a : =

= ( a ( . ; E , F))(E, , )cRxg ist wiederum eine Tensornorm. a bezeichnen wir als das Supremum der Menge A und schreiben a=sup ‘1. Das Infimum einer Menge A von Tensornormen wird durch inf A : =sup ( a I a s p fur alle A } definiert. Wegen E Z P fur alle /? ist das Infimum wohldefiniert. Unmittelbar aus der Defi- nition folgt das

a

a =‘(‘a), a= (a’)’ und ‘(a‘) = (‘a)’ .

BE A

Harksen, Charakterisierung lokalkonvexer Riiume 351

1.3. Lemma. Sei Aeine (nichtleere) Mengevon Tensornormen. Sei A’={u’ I or€ A } Dann gilt: (sup A)’=inf A’ und (inf A)’=sup A’.

Durch Tensornormen sind Normen auf dem Tensorprodukt von endlich- dimensionalen Riiumen gegeben. Man hat im wesentlichen zwei Moglichkeiten, diese Normen auf das Tensorprodukt beliebiger normierter Rliume zu ubertragen.

1.4. Definition. Seien E , F normierte Rliume. Sei a eine Tensornorm. Mit X ( E ) bzw. %(F) werde die Menge der endlkh-dimensionalen Teilraume von E bzw. F bezeichnet. Mit ‘ B ( E ) bzw. ‘B(F) werde die Menge der endlich-codimenswnalen, abge- schtossenen Teilraume von E bzw. F bezeichnet. Far G€%(E) bezeichne es : E-EIG die kanonische Projektion. Far Z E E @ F setzen wir dann: (a) a ( z ; E , F):=inf {&; M , N ) I ME%(E) , NE%(F), z E M @ N } (b) a(z ; E , F):=s~P (a((ea@pH) (2); F / H ) i GE’%(E), HE‘B(F)}

Def. 1.4 (a) stammt von A. GROTHENDIECK (siehe [15]). Def. 1.4 (b) fiihren wir hier zusatzlich ein, da sie sich fur das folgende als sehr nutzlich erweist.

Fur die Tensornormen E und 7c ergibt Def. 1.4 (a) die alten Normen. Die Eigen- schaften einer Tensornorm werden in naturlicher Weise auf das Tensorprodukt von beliebigen normierten Riiumen ubertragen.

1.5. Satz. Sei a eine Tensornorm. Dann gilt: (a) Far alle E , F normiert sind a( . ; E F) und &(.; E , F ) vernanftige Normen auf

E@F. (b) Fulls E , FE’JZ, dann stimmen a( . ; E , F) und G(.; E , F) mit der durch die Ten-

sornormen a uuf E@F gegebenen Norm aberein. (c) a und G erfcllen die (metrische) Abbildungseigenschaft far beliebige normierte

Raume, d . h.: Far Ei, Pi normiert, T,cL(E,, Fi), i=l, 2, (B=a oder Gc) gilt:

llTl@fi% : [email protected]+Fi@pFzlI ~IlTiIl * IIT211

Fur normierte Riiume E , F und Unterriiume G c E bzw. H c F ist im allgemeinen G C ~ ~ H kein topologischer Unterraum von E@@F, wobei B=a oder a. Fur die naturlichen Inklusionen E

1.6. Satz. Seien E, F normierte Raume. Sei a eine Tensornorm (/?=a oder a). E“ bzw. F ~t F” gilt jedoch

Dann gilt:

E@@F ist isometrische~ ~ n ~ e r r u u m von E“@,F” . Beweis. Sei zunachst @=a. Es reicht zu zeigen, da13 E@#F isometrischer

Unterraum von E”@=F ist. Sei dam Z E E @ F , MEX(E”) und NE%(F) mit zEM@N. Mit M o = M n E gilt dann z c M 0 @ N . Nach dem ,,lokalen Reflexivi- tiitskriterium“ (siehe PIETSCH [32], Seite 196) existiert zu jedem 6 1 0 ein hearer Operator T : M + E mit T lMo=k?xo und llTllsI+6. Hieraus folgt dann: a ( z ; E , F ) ~ a a ( z ; T ( M ) , N ) = a ( ( T @ i d N ) (2); ! 7 ’ ( M ) , N ) ~ ( 1 + 6 ) a ( z ; M , N ) . Da 6 , M , N beliebig, folgt somit a ( z ; E , F) s u ( z ; E”, F ) . Die umgekehrte Unglei- c hung folgt unmittelbar aus der Abbildungseigenschaft .

352 Harksen, Charakterisierung lokalkonvexer Riiume

Sei nun ,6 = a. Wir zeigen zuniichst das folgende Lemma :

1.7. Lemma. Seien E , F normierte Raume. Sei a eine Tensornorm. Sei z ’ c E’@ F’.

cX(z’; E‘, F’)=sup {a((QN@pA-) (2‘); E‘/M, F’IN) I M c E ‘ (bzw. N c F ’ ) end1.-codim. und u(E’, E ) -(bzw. a(F‘, F ) - ) abgesl.}

Dann gilt:

Beweis . Zur Abkurzung bezeichnen wir die rechte Seite der Behauptung mit ,u(z’). Die Ungleichung ,u(z’) ~ & ( z ’ ; E’. 3”) ist unmittelbar klar. Nun zur umgekehrten Ungleichung : Sei ME%R(E’), N € m ( F ’ ) , z‘EE‘@F‘. Sei GE%(E’) und H € % ( F ’ ) , derart daS z’CG@ H . Die zum ,,lokalen Reflexivitatskriterium“ duale Aussage (siehe PIETSCH [32], Seite 31-40 und 383-384) liefert: Fur alle 6=-0 existiert ein endlich-codi- mensionaler. a(E’, E ) - abgeschlossener Teilraum M , c E‘ und ein linearer Ope- rator TEr : E’/M-E’JiM mit den Eigenschaften: llTE.ll 5 1 +6 und Ta, (x’+Mi)= =x’+ fur alle x’EG. Entsprechend seien X, und TFj gewahlt. Aus (TE@ T p ) o

O (PM,@@A-,) (2’) = (PMc3.N) (2’) folgt: .((~af@ 9 N ) (2’) ; E‘IJf, F’IN) sJ/T,y/( . IITE..~~ . a ( ( ~ ~ , @ ’ o , , ) ( 2 ’ ) ; E ’ / J f , , F’INI) s ( l + 6 ) 2 * p(2‘) .

Hieraus folgt die Behauptung. // Wir fahren nun mit dem Beweis von Satz 1.6 fur den Fall =& fort: Nach dem

Bipolarensatz besteht ‘%R‘‘(E’’) : =(Moo = M” I M E %R(E)} aus allen endlich-codimensionalen u(E”, E‘) - abgeschlossenen Teilraumen von E”. Wegen E / M = (E/M)”=E‘f/LM’’ fur M ~ % R ( E ) folgt dann die Behauptung mit Lemma 1.7. B,’/

1.8. Korollar. Seien E , F , a, ,8 wie in Sat2 1.6. Seien E , P die Vervollstandigun- gen von E , F . Dann gilt:

E @ I ~ F ist dichter isornetrischer C’nterraum von E @ , E . Beweis . Die Dichtheit folgt aus E @ F dicht in E @ z F . Die Isometrie folgt

Den Zusammenhang zwischen a und a gibt der folgende Satz an:

1.9. Satz. Seien E , F norrnierte Raume. Sei ct eine Tensornorm. Dann gilt:

wegen E” = (I?)’’ aus Satz 1.6. B//

(a) &(.; E , F)z==a(.; E , F ) (b) Falls E und F die (b . A . E.) besitzen mit Konstanten C, und C,, dunn giEt:

a(.; E , F ) S C a * c,. q.; E , F )

(c) Falls E‘ und F die (m. A . E.) besitzen, dann gilt: x ( . ; E , F ) = & ( . ; E , F )

Beweis . Die Abbildungseigenschaft von c( liefert fur ME%R(E), NE%R(F) und z c E @ F : a((p,,l@pex) ( 2 ) ; E / X , F I N ) S a ( z ; E , F ) . Hieraus folgt (a). Nun zu (b):

Sei z = ~ x , @ y , ~ E @ F . Zu b>O giht es ein T,EL(II:. E ) mit M:=T,(E)E%(E) , n

z = 1

Harken, Charakterisierung lokalkonvexer Rlume 353

fur alle 6>0, also a ( z ; E , F ) s C , - C, - &(z ; E , P). ( c ) folgt wegen CE=CF= 1 aus

Im folgenden untersuchen wir die Frage, welche Norm (E@=F)’ auf E’@F’ induziert. Fur E , F E % gilt (E8.F)’ = E’@.,F’. Fur beliebige normierte Raume E , F und eine Tensornorm u zeigen wir

(a ) und @).I/

1.10. Satz. (a) (Z@.,F)’ induziert auf E’@F‘ die Norm a(.; E‘, F’). ( b ) (E’@=,F’)’ induziert auf E @ F die Norm &(.; E , F ) ( c ) (EBa,F’)‘ induziert auf E’@F die Norm &(. ; E‘, F ) Beweis : Sei z‘EE’@F‘. Dann gilt:

sup {I(z’, z)/ 1 xEE@F, a’@; E , F ) < I } =SUP {I@, z ) I I ME%@), N E W F ) , x E M @ N , M.’(z; M , N ) < 1 ) =SUP { a ( ( e ~ p B ~ p ) (2‘); E’IM”, P‘IN”) 1 H € % ( E ) , h7€%(F)} = & ( X I ; E‘, F’)

wegen Lemma 1.7, da M” (bzw. N o ) alle o(E’, E ) - (bzw. @‘, F ) -) abgeschlossenen und endlich-codimensionalen Teilraume von E’ (bzw. J”) durchliiuft .

(b) und ( c ) folgen aus (a) und Satz 1.6 (b).// Fur normierte Raume E , F , von denen einer endlich-dimensional ist, gilt

(E@nF)’=E”@$‘’ und (E@,F)‘=E’@,$”. Mit Satz 1.10 folgt deshalb, daf3 auf E@ F ( E oder F aus %) gilt :

&(.; E , J ’ ) = E ( . ; E , F ) und n(.; E , F)=f i ( . ; E , J ’ ) ,

1.11. Definition. Eine Tensornorm M. heibt passend, falls gilt: a( . ; E , F)=a( . ; E , F )

fur E , F normiert und E oder F aus %. E und n sind also passende Tensornormen. Fur E gilt sogar mehr: Fur beliebige

normierte Raume E , F gilt niimlich wegen Satz 1.9 (a) und E ( . ; E, F ) die kleinste vernunftige Norm auf E @ F :

Fur n gilt diese allgemeinere Aussage nicht : Denn sei E ein Banachraum ohm ( A E ) . Nach GROTHENDIECK [13], Proposition 35, gibt es einen BANAcHraum F ,

&(.; E , F)=F(.; E , F ) .

03 3Intlt. Xachr. Bd. 106

354 Harksen, Charakkrieierung lokalkonvexer RBume

so daB die kanonische Einbettung E 6 Z b (E‘82’)‘ nicht injektiv ist. Mit Satz I . I0 folgt deshalb, da13 die identische Abbildung von E g n F nach E@-,F keine Isometrie sein kann.

1.12. Lemma. Falls a eine passende Tensornorm ist, dann sind auch ta und a’

Beweis . Fur ‘u ist die Behauptung klar. Fur a’ folgt sie folgenderrnaBen : Fur E , F normiert, wobei oBdA EC%, gilt wegen a passend mit Satz 1.10: (E@3,F)’=E‘@aF‘, also wiederum mit Satz 1.10: (E@arF)”=E@z,F’’. Hieraus ergibt sich mit Satz I .6 :

passend.

E @ . t F = E@ ;;.P .I/

Fur passende Tensornormen lafit sich Satz 1.9 unter schwacheren Voraus- setzungen heweisen.

1.13. Satz. Seien E , F normierte Raume. X e i a eine passende Tensornorm. Dann gelten folgende Aussagen: (a) Falls E oder F die (a. A. E.) fmit Konstante C ) besitzen, dann gilt:

x ( . ; E , F ) SC . t C ( . ; E , F )

(b) Falls E oder F die (m. A . E.) besitzen, dann gilt:

z(.; E , F)=a( . ; E, F ) . Zum SchluB dieses Paragraphen erwahnen wir noch die Injektivitat bzw.

Projektivitat einer Tensornorm. Diese Eigenschaften spielen eine zentrale Roll0 heim Studium \-on Lifting- und Fortsetzungsproblemen (siehe KABALLO [ 191, FLORET 191, STEGALL und RETHERFORD [37]).

= E’@ ..F‘ gilt, ist folgendes Lemma unmittelbar klar.

Da fur E , FE % und u eine Tensornorm die Beziehung (E@

1.14. Lemma. Fur eine Tensornorm u sind folgende Aussagen aquivalent: (a) Seien E , F c % und G ein isometrischer Teilraum von F . Dann ist EBaG isome-

trischer Teilraum von E@ .F. (b) Seien E , F € % , Q e k Quotientenraunt von F und g : F-Q d i e entsprechende

Quotientenubbildung. Dann ist id,@@ : E @ I ~ ~ F - E @ ~ , Q eine Quotientenubbildung.

1.15. Definition. Kine Ternornorm u heiPt rechts-injektiv ((r)-injektiv), falls sie eine der beiden tiquivalenten Bedingungen von Lemma 1.14 erfullt. u heipt rechts- projektiv ((r)-projektiv), falls u‘ (r)-injektiv ist.

Fur u ist (r)-injektiv (hzw. (r)-projektiv) sagen wir auch: u erfullt die ( r ) - Unterraumeigenschaft (bzw. die (r)-Quotientenraumeigenschaft) auf %. Entsprechend definiert man links-injektiv ((1)-injektiv) und links-projektiv ((1)-projektiv). a hejl3t jnjektiv, falls a (r)-injektiv und (I)-injektiv ist. Entsprechend definiert man projektiv. GROTHENDIECK zeigt in [15], daB E eine injektive und n eine projektive Tensornorm ist.

Harksen, Charakterisierung lokalkonvexer RLunie 355

Die ,, Unterraumeigenschaft" bzw. ,,Quotientenraumeigenschaft" l%t sich z. T. auf beliebige normierte Raume ubertragen.

1.16. Satz. Seien E , F normierte Raume und se iGc F ein isom. Unterraum. Sei a eine (r)-injektive Tensornorm (/I = a oder a). Dann ist EmpG ein isometrischer Unter- raum von E g p F .

B ewei s . Sei zunachst #?,=a. Die Abbildungseigenschaft liefert unmittelbar fur zEE@G : a ( z ; E , F ) ~ a ( z ; E, G). Nun zur umgekehrtenungleichung: SeiME%(E) N E %( F) mit z E M @ N also z E ( M @ N ) n (B@ G) = M @ ( N f'l G) . Da N n G E %( G ) ein isometrischer Teilraum von N und a (r)-injektiv ist, gilt

a ( ~ ; E , G ) s ~ ( z ; M , N n G ) = a ( z ; M , N ) .

Hieraus folgt nach Definition von a dann a(z: E , G ) s a ( z ; E , P) . Um den Satz fiir /I= a zu beweisen, benotigen wir das folgende

1.17. Lemma. Seien E , F nornaiert und E besitxe die (m. A . E.). Sei a eine (r)-injektive Tensornorm. Dunn gilt:

a ( * ; E , F ) = a ( . ; E , F)

Beweis . F liegt in einem Z=(T)-Raum isometrisch eingebettet. l"(F) hat die (m. A. E.), so daI3 fur zEE@P dann aus Satz 1.9 (a), dem Beweis von Satz 1.16 fur /I=a, Satz 1.9 (c) und der Abbildungseigenschaft fur & folgt:

Also : ; ( z ; E , F ) s ~ ( z ; E , P ) = a ( z ; E , Z-(F))=a(z; E , E - ( ~ ' ) ) S & ; E , F ) .

a ( - ; 8, F)=&( . ; E , F ) .// ilTir konnen nun Satz 1.16 fur /3=& beweieen. Aus der Definition von a folgt

fiir zeE@G:

und a ( z ; E , G) =SUP { G ( ( e M @ i d G ) (2); E / M , GJ I Av€ 9R(E))

&(z; E , F)=SUP {&( (eM@idp) (2) : E/M, 3') I H E ~ ( E ) ) Mit Lemma 1.17 und Satz 1.16 fur / I = a ergibt sich

. ( (eM@idG) ( 2 ) ; EIM, G ) = a ( ( e M @ i d p ) (2); EIN, F ) 9

woraus dann G ( z ; E, G ) = a ( z ; E, F ) folgt.//

Tensornormen beweisen. Es ergibt sich dann. Der entsprechende Satz lafit sich naturlich auch fur (I)-injektive und injektive

1.18. Korollar. Seien E , F normiert und a eine injektive Tensornorm. Dunn gilt:

a ( . ; E , F)=&( . ; E , F). Eine injektive Tensornorm ist also insbesondere passend. Wir kommen nun

zur Quotientenraumeigenschaft. Diese ubertriigt sich fur cc ebenfalls auf beliebige normierte Raume aber scheinbar nicht fur a. 23*

356 Harksen, Charakterisierung lokalkonvexer Rilume

1.19. Satz. Seien E , F normierte Raume. Sei Q ein Quotientenraum von F und Q die entsprechende Quotientenabbildung. Sei a eine (r)-projektive Tensornorm. Dann gilt:

id,@@: E@#F+E@=.& ist cine Quotientenabbildung .

Beweis . Sei zuniichst EC%: Nach Satz 1.10 ist (idE@=@)’ idenfisch mi6 der Abbiidung i d E @ g t p ‘ : E@=Q’ -+E@pF‘. Da Q’ eine Isometrie und a’ (r)-injektiv ist, ist nach Satz 1 . I 6 i d E # @ ; < @ ‘ eine Isometrie, also idE@=p Quotientenabbildung. Sei nun E ein beliebiger normierter Raum. Fur z c E@Q gilt nach Definition von a :

a(z; E , Q)=inf {a (z ; M, &) I ME%(E), ZEN@&}. Mit dem obigen Teil des Beweises folgt dann weiter:

a ( z ; E , &)= inf ( inf a ( w ; 31, F ) ) M E W E ) W E M O P zEM@Q (idMOe)(w)=z

Hieraus folgt die BehauptungJl

Satz 1.10 folgt

(r)-projelctive Tensornorm. Dann gilt:

Aus Lemma 1.17 und mit ahnlichen Beweismethoden wie in Satz 1.9 und

1.20. Lemma. Seien E , F normiert und E besitze d ie (m. A . E.). Sei a eine

a ( * ; E, F)=&(*; E , F) . Insbesondere folgt hieraus, daB eine projektive Tensornorm passend ist. Die

fur eine injektive Tensornorm geltende schiirfere Aussage von Korollar 1.18 ist fur projektive Tensornormen falsch. Als Gegenbeispiel nehme man die Tensornorm ,z (siehe die Bemerkung nach Definition 1.11) .

Zum SchluB noch einige Beispiele von Tensornormen: Falls E ein normierter Rauin ist, dann bezeichne p(E) den Raum der endlichen Folgen aus E. Nit

N”((YJJ : = (C IIY*IIp)P-l A7AYt )J : = S U P llvzll

1 SP

k

\t ol)ei (yJitp(E) ist, worde die p-absolutsummierende Norm auf v(E) bezeichnet und mit

-I.;T,((y,)~):=sup ((c I (yt3 ~ ’ ) l ” ) ” - ‘ I y’EE’, l I ~ ’ l l ~ 1 ) 1 s p < - a

- U ( Y * ) i ) : = SUP SUP I(!/%, Y’)i =N.-((y,),) l l l ‘ i l Sl a

\v-ohei (yJ, q(E) ist, werde die schwach-p-summierbare Norm auf q ( E ) bezeichnet. Seien E , F normierte Raume und z c E@ F . \Yir setzen dann:

Harksen, Charakterisierung lokalkonvexer RLume 357

Hierbei ist 1 ~p S- und p' der zu p konjugierte Exponent. a,(.; E, F ) , g,(.; E . F ) und w,(.; E , F ) sind vernunftige Normen auf E @ F (siehe [4], [5] und [34]). d,: = = (d,(-; E , F)) (E,F)cRxg, g, und top sind Tensornormen. d, ist sogar (r)-projektiv und g,(Z)-projektiv. Diese Normen Stehen in engem Zusammenhang zu den p-ahso- lutsummierenden , stark p -absolu t su mmierenden und CoHEN-p-nuklearen Ah 1 ) il- dungen (siehe [4], [5] und [34]).

8 2: Das a-Tensorprodukt lokalkoiivexer Raume

Seien ( E , gE) und ( F , gF) lokalkonvexe Raume. Sei a eine Tensornorm, /?=a oder a, p~ gE und qE gF. Das ,,/?-Tensorprodukt" von p und q sei folgendermaBen definiert :

(P@& ( 4 : =B((e,@e,) (4; E p , F*), ZEE63.P *

p@@q ist eine Halbnorm auf E@F. Unmittelbar aus der Definition des B-Tensor- produkts zweier Halbnormen folgen die Eigenschaften :

I.) FUrpE8E, qE8F, XEE und YEP gilt:

(P@@P) ( X @ Y ) " P W P(Y)

P@,q s%@sq1

(2 * P)@& * q)=A * p - (P@& *

11.) Fi i rp ,p icdEundq, qlEgF r n i t p ~ p , u n d q ~ q , g i l t :

111.) Fur 1, ~ z O , p c 8E und q C gF gilt:

IV.) Fur Tensornormen a, a1 mit a s a l @ = a oder bzw. p1=ai oder a,) und PE @E, q E 8 p gilt:

P@@q %?@@,4 . Aus I.), 11.) und 111.) folgt, da13 die Menge der Halbnormen

@h!@@@p:=(p@@q 1pE8E, BESF)

eine lokalkonvexe Topologie auf E@ F definiert, die unabhiingig von dem defi- nierenden H N S 8'E bzw. 8, ist. Diese Topologie bezeichnen wir als B-Topologie. E@ F , ausgestattet mit der ,&Topologie, bezeichnen wir mit E@@, die T'ervoll- standigung mit EGpF. Fur normierte Raume E , F erhalten wir unser urspriing- liches B-Tensorprodukt. Aus IV.) folgt, da13 fur a s a l die B-Topologie groher als die B,-Topologie ist. Man zeigt leicht, da13 die durch 8B@e8F bzw. durch gEBXgF definierte Topologie mit der von A. GROTHENDIECK' in [I31 eingefuhrten E- bzw. n-Topologie ubereinstimmt.

358 Harksen, Charakterisierung lokalkoiivexer RIiume

Die Eigenschaften einer Tensornorm a, die wir im 1 . Paragraphen angegeben haben, ubertragen sich zum groBten Teil auch auf beliebige a-Tensorprodukte von lokalkonvexen Raumen. Ohne Beweis notieren wir die beiden folgenden Satze.

2.1. Satz. Sei Q eine Tensomom und p = u oder a. Dann erfullt die B-Topologie d ie Abbildungseigenschaft f u r beliebige lokalkonvexe Raume, d . h.: Fur E, , Fi lokalkonvex, T i E L ( E , , F?) , i = 1 , 2, gilt:

ist stetig. 2.2. Satz. Seien E , F lokalkonvexe Raume. S'eien E r bzw. Fk' die Bidualraume

von E bzw. F ausgestattet mit der naturlichen Topologie (Topologie der gleichmaj3igen Konvergenz auf d e n gleichstetigen Hengen von E' bzw. F') . Sei a eine Tensornorm (p= x oder &). Dann g i l t :

T,@,TI Ei@pE?+Fi@pF?

E@,F ist topologkcher Unterraum von E:QpF; . Die ,,Unterraumeigenschaft" und ,,&uotientenraumeigenschaft" iihertrggt

2.3. Satz. Seien E , F lokalkonvexe Raume. Sei Gc F ein topologischer GTnter- sich auch auf lokqlkonvexe Raume.

raurn. Sei (X eine (r)-injektive Tensornorm (B=a oder a). Dann gilt: E@,G ist ein (topol.) Unterraum von E @ @ F

Heweis. gG::{q Ic4 1 qCgF} ist ein def. HNS' von G . Fur q c 8 p ist GqIG ein isninetrischer Teilraum \-on F,. Fur pE&TE, qEgF und zE E @ G folgt dann wegen cc (r)-injektiv aus Satz 1.16:

(p@@q Ic) ( z ) = p ( ( g p @ ? q \ G ) ('); ' p 3 GIIG)

= B ( ( ! ? p @ e q ) (2): E p l F q )

=(P@pP) (2)

d. h. (p@,q) 1 EOG=p@,(g Ic) und Satz 2.3 ist bewiesen./l Zum Reweis der , ,&uotientenraumeigenschaft" henotigen wir die folgenden

Hilfssiitze : 2.4. Lemma. Seien F , Q Vektorraume und g : F+Q eine lineare, szcrjektive Ab-

bildung. Sei p eiiie Halbnorm auf F und q eine Halbnorm auf Q derart, clap das folgende Diagrainnz komniutativ is f :

0 F A Q

p p -Qq

.oP,P

9,1 p.

Fur XCQ sefxen zuir: pe(x ) : = inf { p ( y ) 1 y c F, p(y) = x } . Dan% sind folgende Aussagen tiquivabent:

(b) Kern p?= Kern q und Q~,, ist Quotientenabbildung. ( a ) p e = q

Harksen, Charakterisierung lokalkonvexer RLume 359

B e w ei s . Mit rs bezeichnen wir den Quotienten einer Halbnorm r bezuglich der linearen Abbildung 8. ,,pe=q" ist dann aquivalent zu ,,Kern pe=Kerk q und

deutend damit, da8 Q ~ , ~ Quotientenabbildung ist. Hieraus folgt das Lemma.//

2.5. Lemma. Seien E , F, Q Vektorraume und Q : F-Q eine surjektive, lineare Abbildung. p sei eine Halbnorm auf E und q eine Halbnorm auf F. Sei u eine Tensor- norm (B = u oder a). Dann gilt:

(pe))"q = qeQ ''. (p@))"q = qeP ist aber wegen (pQ)'q ,peg O e =peP~qoeP = (peP)eP*q gleichbe-

idzOe Kern ((I)@& )=Kern (p@fi(q")) .

B e wei s . Aus der Kommutativitat des Diagramms

idE@e und aus lie woraus sich Kern ( (pBPq) Inklusion : Sei zEKern (p@@(qe)=Kern ( p p @ e q , ) =(Kernp@Q)+(E@Kern qe)

11 = 1 folgt mit Hilfe der Abbildungseigenschaft p,@ (qQ) s (p@'8q) , )cKern (p@@(qe) ergibt. Nun zur umgekehrten idE@e P7PQ

\v W

wobei wir ohne Beschrankung der Allgemeinheit p(xJ =- 0 fur n + 1 5 i s m anneh- men konnen. Fur 6 > 0 existieren z,EF mit e(zi)=yi, 1 ~ i ~ r n , und

q(zi) 5d(mp(xi))-l fur n+ 1 si s m . m

i = I Damit folgt fur w = xi@ zi :

m n m

i = I i = l i = n + l (P@& ( w ) 2 (P@& (Xi@ZXi) 5 c Phi) * + 2 P(%) q ( 4 5 6 *

Wegen ( i d B @ @ ) (w) = z und 6 > O beliebig folgt:

((p@@qP@)") (z)=O, d. h. zcKern ((p@@qPBe) ./I 2.6. Satz. Seien E , F, Q lokalkonvexe Raume. Sei e : F-Q ein surjektiver

Homomorphismus. Sei cz eilze (r)-projektive Tensornorm. Dann gilt:

ist ein surjektiver Homomorphism,us.

in 1133, Kapitel 1, bewiesen.

idz@e: E@3,F+-E@aQ

Fur das n-Tensorprodukt wurde ein enhprechender Satz von A. GROTHERDIECK

Beweis. Es reicht zu zeigen, da8 fur pegE und gilt:

360 Harksen, Charakterisierung lokalkonvexer RLume

Dazu betrachten wir das im Beweis von Lemma 2.5 angegebene Diagramm fur B=a. Da pq,@ eine Quotientenabbildung ist, ist nach Satz 1.19 idEp@aeg,,, eine Quotientenabbildung. Wegen

( E @ 2 ' ) ~ ~ a q = E p @ 2 ' g bzw. (E@aQ)pBb~=Ep@aQge

folgt die Behauptung dann aus Lemma 2.5 und Lemma 2.4.11 I m letzten Teil dieses Paragraphen zeigen wir einige allgemeine Vertauschungs-

satze von projektiven bzw. induktiven Limiten mit dem E . Tensorprodukt. Fur das n-Tensorprodukt wurden diese Fragestellungen von A. GROTHENDIECK in [ 131 behandelt. Fur das E-Tensorprodukt wurden einige Satze von G. KOTHE in [ 2 2 ] oder auch von R. HOLLSTEIN in [ 171 angegeben.

Das folgende Lemma folgt unmittelbar aus der entsprechenden Aussage fur normierte Raume.

2.7. Lemma. Seien E , F lokalkonvexe Raume. Seien E , c E bzw. F , c F dichte Teilraume. Sei a eine Tensornorm (B=a oder k). Dann ist E,@,P, dichter topologischer Teilraum von E@,F.

Fur reduzierte projektive Limiten ergibt sicb folgender Satz :

2.8. Satz. Seien E = proj (E,,, e,) und F = proj (Fa, ed) reduzierte projektive

Linzites det lokalkonvexen Raume E,, y e .AE und Fa, 6E A,. Sei a eine Tensornorm, ( B = x oder a). Dann gilt:

Y € AE ~ € A F

E%,P= Proj (EyG6Fs9 @,,@pes) ( Y J ) E AE X AF

Beweis . (E,@$'s)(y,d)cAEx,,F ist ein projektives Netz mit den Spektralabbil- dungen @,,,'@@@a,s#, wobei y s y ' , 6 s d f und pr,yr : E,,+E, und es,s. : F,,+F, die entsprechenden Spektralabbildungen der Netze ( EJYE AE bzw. (Fa)aE AF sind. Falls 8 . bzw. gl", definierende H N S von E, bzw. F, sind, dann ist

E ,

bzw. ' E : = { P i ~ , ~ e y 1 p y E g h ' , , )

' F : = { q d 0 @ S 1 q6E8Fg}

ein definierendes HATS von E bzw. F. Die Definition des p-Tensorprodukts ergibt unmittelbar

E,,&@'&= proj (EY)py6iS(FB)qd fur (r , 6)E &X P y ~ B E y " & 5 f B F g

E&F= proj E ( P Y 0 e,) F(Pg e6)

Da E , 6 reduzierte projektive Limiten sind, folgt mit Lemma 2.7 : ~ , o e ~ i d ~ , ~ g o e d E @ p

Hieraus folgt dann die Rehauptung.//

Harksen, Charekterisierung lokalkonvexer RLume 361

2.9. Korollar. Sei E = n By, P = n P, mit E,, y c Az bzw. P,, 6c A, lokal- Y € AE B E AF

konvexe Raume. Sei a eine Tensornorm (B =a oder a). Dann gilt:

E%,F= E y g p F , . ( Y A C A E X A ~

Wir zeigen nun einige Ergebnisse uber induktive Limiten, die z. T. Ergebnisse von A. GROTHENDIECK fur das n-Tensorprodukt verallgemeinern.

2.10. Satz. Seien E ein a-lokaltopologischer, Fi, ic N , lokalkonvexe Raume. Sei x eine Tensornorm (B = a oder a). Dann gilt:

se

Beweis. DieAbbildungO: E @ @ Fi -, 6 ( E @ F i ) ( i = i ) i=l

c q@ (Yi,j)i+(&@Yi,Ji i 3

ist eine wohldefinierte algebraische Isomorphie. Da die Einbettung

E@fiF,-E@, (pi Pi) ee

wegen der Abbildungseigenschaft steiig ist und ,@ (E@@Fi) die induktive Topolo- gie der EBfiFk tragt, ist r = l

se

@-* : 6 @@,Pi) -E@p Pi) i= l

stetig.

bzw. Fi. Da fur jedes k(F&c ( @

Projektion Norm 1 hat, folgt mit der Abbildungseigenschaft :

Nun zur Stetigkeit von 0 : Seien zunachst p bzw. qi stetige Halbnormen auf E komplementiert liegt und die naturliche

z

(*) (P@fi9k) (4 Z P @ ’ B ( C qi) ((%I<) (Zi)iEE@(OFi) *

Sei nun DaE a-lokaltopologisch ist’, gibt esnach HOLLSTEIN [16], Satz 1.1, einp,E6TEund C,>O mitpoisCi ‘ p . Mi6 qi: = 2i C, * T i , der Abbildungseigenschaft und (:%) folgt fur (E@@’,) :

(p iaf i r i ) eine definierende Halhnorm auf @ (E@

2 (pi@pri) (xi) -,&’ ( (Ci~)@fir i ) (zi) = C 2 - i ( ~ ~ f i ( 2 ~ c i r i ) ) (zi) i a i

-c 2-< ( P @ @ ( C c&)) C ( Z j k ) = ( P @ p ( ’ E 9J ) ( ( Z j f j ) i i j

Da p @ @ ( C qi) eine definierende Halbnorm auf E@’B(@Fi) ist, folgt somit die Ste- tigkeit von @.I1

2.1 1. Korollar. Sei a eine Tensornorm, E a-blcaltopologisch und eine induktive lokalkonvexe Sequenz. Dann gilt:

362 Harksen, Charakterisierung lokalkonvexer RIume

(a) Ist a (r)-projektiv, dann folgt: E@,(ind Fi) =ind (E@,.F,)

L a

(h) Hat (FJi eine Zerlegung der Eins, dann folgt fu r p = a oder X:

E@.,(ind F,) =ind (EQPaFi) . 1 2

Beweis . Da ein induktiver Limes in naturlicher Weise ein Quotient der di- rekten Summe seiner Stufen ist, ist in dem kommutativen Diagramm

idE@Q W@,$’J =E@&@Fi) -- EQPa (ind F,)

die algebraische Isomorphie I genau dann topologisch, falls id,@@ ein Homomor- phismus ist.

Im Falle (a) ist id,@p nach Satz 2.6 ein Homomorphismus. Im Falle ( 1 ) ) ist Q eine Projektion. Mit Hilfe der Abbildungseigenschaft folgt, daIJ auch id,@@ eine Projektion also insbesondere ein Homomorphismus ist.//

8 3. Injektivitiit und Projektivitat von Tensornormen

Im folgenden werden stets (r)-injektive bzw. (r)-projektive Tensornormen be- trachtet. Die gewonnenen Ergebnisse ubertrageri sich ausnahmslos auf (l)-injek- t i re bzw. (2)-projektive Tensornormen. Zusatzliche Aussagen fur injektive bzw. projektive Tensornormen werden angegeben.

Unmittelbar aus der Definition 1.15 folgt

3.1. Lemma. Das Supremunz (bzw. In f imum) einer Menge von (r)-injekfiven (bzw. (r)-projektiven) Tensornormen ist (r)-injektiv (bzw. (r)-projektiv).

3.2. Definition. X e i a eine Tensornor?n. Dann heipt (a) K\ :=sup {p 1 p za, p (r)-injektiv) d i e zu a assoziierte (r)-injektive Tensornorm. (11) x l : = inf (/I j x s p , p(r)-projektiv} die zu a assoziierte (r)-projektive Tensornorm.

x\ist die groIjte unterhalb x liegende (r)-injektive Tensornorm. a/ ist die kleinste oherhalb a liegende (r)-projektive Tensornorm. Entsprechend werden /z. \,z, / x \ , \a/ definiert. Unmittelbar aus der Definition folgt

3.3. Lemma. Fur eine Tensornorm x gilt (a\)’ -(a’)/ und (a/)’ = (a’)\. Uni a\ hzw. a/ herechnen zu konnen, benotigen wir folgende Hilfsmittel:

3.4. Definition. Sei 91’ eine Teilnienge von 9?. Wir sagen, 91’ liegt dichf i n ‘?R,

Fur alle E ~ 9 1 und fur alle 6 =-O existiert ein G E T ‘ mit falls folgendes gilt:

d ( E . G ) z l + d .


Folgende Mengen liegen dicht in %:

'3- : = {G 1 G E % und es ex. n C N mit G c Z; isometrisch)

!,Xi : = {G 1 GE '31 und es ex. n E N und H c 1; mit G'= lAlH isometrisch} . Einfache Rechnungen zeigen nun, da13 eine Tensornorm a durch seine Einschran- kung auf das Produkt von dicht liegenden Teilmengen von % eindeutig bestimmt ist.

3.5. Lemma. Seien %' und '3'' dicht liegende Teilmengen V O ! ~ %. Sei ao: =

= (ao(* ; G, H))(B,A)EwXW, eine Familie vernunftiger Normen aus @'w.xxz., die auf %" X %' die Abbildungseigenschaft erfullt. Dann gilt: Es existicrrt genau eine Tensornorm a mit a = ao.

B e w e i s . Es reicht, dies fur den Fall %" = % zu zeigen. Seien E , F E % und fur nEN sei F,E%' mit d(F,, F)-=l+n-l und sei TnEL(F,F,) mit ~ ~ T , J ~ l und IlTi'i! 2 1 +n-L Sei zEE82I'. Mit der Abbildungseigenschaft folgt, daIj die Folge

CAucHYfolge ist, deren Limes unabhangig von den gewahlten F,E 2' und Opera- toren T, ist. Wir setzen dann:

a ( z ; E , P): =lim ao((idE@ T,) (2); E, F,) . n

Einfache Rechiungen zeigen nun, da13 a ( - ; E , F ) eine vernunftige Norm ist, dr*B a : =(a(-; E , F))(,,,,,,xW die Abbildungseigenschaft erfullt unddaB a I R n x R r =ao ist.//

Die in % dicht liegenden Teilmengen %- und 8, sind zueinander dual in dem Sinne, daB gilt :

EE%- genau dann, falls E'E!Ri.

Deshalb ist fur eine Familie vernunftiger Normen a0= (ao(* ; E , F))(z,F)EWxW- die Familie der dualen, vernunftigen Normen cxi = (a;(. ; E , F))(E, , )cWxzf wohldefiniert. Aus Dualitatsgrunden gelten die folgenden Aussagen : {a) Falls a. die Abbildungseigensch2ft auf !,X x 9?- erfullt, dafln erfiillt sie a; auf

(b) a. erfullt auf % X '$2- die (r)-Unterraumeigenschaft genau d a m , falls a; die (r)-Quotientenraumeigenschaft auf !,X X erfullt.

(c) Die Tensornorm a ist Fortsetzung von a. (d. h. K 1% x x , = ao) genau dann, falls a' die Fortsetzung von a; ist.

Aus der Tatsache, da13 gegen Unterraumbildung abgeschlossenist (d. h. EC %,, G c E ein isom. Unterraum *Ge%-) , folgt unmittelbar, da13 die Fortsetzung x (r)-injektiv ist, falls a. auf '31 x %- die (r)-Unterraumeigenschaft besitzt.

% X %I.

Dual hierzu gilt : Falls at auf x die (r)-Quotientenraumeigenschaft erfiillt, dann ist die

Fortsetzung cc (r)-projektiv. Mit diesen Hilfsmitteln sind wir nun in der Lage, eine genaue Beschreibung von a\ (bzw. a / ) anzugeben. Sei (E , G)E%X%L. Sei nEX

364 Harksen, Charakterisierung lokalkonveser Kauina

derart, daB gilt G c l l isometrisch. Fur zEE@G setzen wir dann:

a,(z; E , G ) : =a(z; E , 1:) . 3.6. Lemma. (a) a,(.; E , G) ist eine wohldefinierte, vernunftige Norm auf E@G.

( b ) a,: = (a,(. ; E , G))(,,G,,%X(n, erfullt d ie Abbildungseigenschaft auf % X %, . ( c ) a, erfullt d ie (r)-Cnterpaumeigenschaft auf 97 x 97-. (4 a z a I%X%,'

Reweis . Seien EEY?, G, H E % , mit G c H isometrisch. Seien n, E E N derart, daB gilt : G c 1; und Hc 1; isometrisch. Tn dem kommutativen Diagramm

hat die Fortsetzung S (nach HAHN-RANACH) Norm 1 . Somit gilt fur zE E@G: a,(z; E , G) :=a (z ; E , 1;) s a ( z ; E , $)= : x , ( z ; E , H ) .

Fur G = H folgt, falls wir die Rolle von G und H in dem obigen Diagramm vertauschen, da13 die Definition von a- auf '3 X 9i%37, unabhangig vom gewiihlten Oberraum ist ( ( a ) ) ; also gilt weiter (wieder fur GcH):

a,(z ; E , G) = r ( z ; E , 2;) = a,(z ; 8, H ) d. h. die (r)-Unterraumeigenschaft ist auf Y2 x 92, erfullt ( ( c ) ) . Ebenso folgt aus

H -2;

G "1," u2 .T fGii2 //U?II = llG211

die Abbildungseigenschaft von a, auf 91 x $Im( ( c ) ) . (d) folgt aus der Abbildungs- eigenschaft von a .

Fur eine (r)-injektive Tensornorm gilt offenbar a, = cc IsXs,, aber vie1 mehr ist wahr:

3.7. Satz. Sei a eine Tensornorni. Dann ist die Fortsefxung von a, auf %X% gerade die Tensornorm a\.

Beweis . Zur Abkurzung bezeichnen wir die Fortsetzung von a, mit B. Nach Lemma 3.6 (c) ist p (r)-injektio. Aus Lemma 3.6 (d) folgt ~ S U . Sei nun PI eine beliebige (r)-injektive Tensornorm mit ( a . Fur EE92, GE97, mit GcZ," isometrisch und Z E E @ G gilt d a m :

pi@; E , G)=pi(z; E , Z i ) z a ( z ; E , I,")='A,(Z; E , G)

Hieraus ergibt sich P,sP d. h. @=u\. /I Nur eine Uinformulierung von Satz 3.7 ist

3.8. Korollar. Seien x, ,5 Tensornorinen und ,5 (r)-injektiv. Dann sind aquivalent: (a) B=a\

Harksen, Charakterisierung lokalkonvexer Raume 3 65

Durch Dualisieren folgt unmittelbar :

3.9. Korollar. Seien a, /3 Tensornormen und /3 (r)-projektiv. Dann sind liquivalent: (a) B=a/

(b) B '%x{r;lnca)=" 'RX{l:lncN} . Entsprechende Aussagen gelten fur (I)-in jektive, (I)-projektive, injektive und

projektive Tensornormen. Als Anwendung geben wir folgendes Beispiel :

3.10. Satz. (a) &/=d, (b) /d ,=E.

Aus (a) und (b) folgt : / ( E / ) = E .

Beweis v o n ( a ) . Da d, (r)-projektiv ist, reicht es nach Korollar 3.9 zu zeigen, da13 d, und E auf % X {li 1 n c N } iibereinstimmen. Sei also E E %, n E N und

zEE@Zk. Wahle fur z die spezielle Darstellung x = xi@ei, wobei xiC E und ei= = (S,)jC 2;. Wir erhalten dann:

12

i=l

E ( 2 ; E , l:)=sup {lC (X<, X')y:l j X ' E E ' , ~ ~ x ' ~ ~ s 1 ; (y;)&l;, sup ly;l si} ="up {C I@i, X'>I I Z'EE', 1 1 X ' 1 1 ~ ~ ]

=Mi((xi)t) d,(z; E,l:)=inf {Ml((~i) i ) - N,((yi)i) [ ~ X : @ Z J ; Darst. von z } .

d W i ( ( ~ i ) i ) - N,((ei) i )=Ml((xi) i )=E(x; E , 1;) . Da E die kleinste Tensornorm ist, folgt somit

d,(*; E , l;)=&(*; E , ZA) . Beweis von ( b ) : Da E insbesondere (2)-injektiv ist, reicht es nach Korollar

3.8 zu zeigen, da13 E und d, auf {Zz I nEN)x!.R iibereinstimmen. Dies folgt mit einer ahnlichen Rechnung wie im Beweis von (a).//

Wir weisen darauf hin, daD sich mit Hilfe dieser Methoden das allgemeinere Ergebnis ,,a; =g,.\(bzw. gi =Id,,), 1 s p s-," zeigen laat. Dieses Ergebnis wurde von P. SAPHAR in [34] mit Hilfe mafitheoretischer Methoden gezeigt.

5 4. Ubereinstimmung von Tensornormtopologien auf dem Tensorprodukt lokalkonvexer Raume

Die Rolle, die die ZE- (bzw. ZA-) RLume im endlich-dimensionalem Fall spielen, ubernehmen im unendlich-dimensiohalem die L"-(bzw. Sf-) Riiume. Wir zeigen zunachst zwei einfache Hilfssiitze.

4.1. Lemma. Sei F c 92 m d d ( F , ITimp) =A. Sei CI eine Tensornorm. Dann gilt fur alle E E 3:

a\(.; B, F ) S a ( * ; E , 8') 5 2 * a\(.; E , F ) Beweis. Sei S > O beliebig und TcL(Z~i,,, F ) mit IlTl] - IIT-lll s 2 + 6 . Sei

xcE@ F. Die Ahbildungseigenschaft von a bzw. a\ und Korollar 3.8 liefern dann: a(z : E , F ) =a( ( idE@ T- J ) o ( idE@ T ) ( 2 ) ; E, F )


sII!!'-'Il * a ( ( i d ~ @ ' ) (2); E , l&F)=\lF-'l/. x\((idE@T) (2); E, Z&p)

sIIT-~\I . llTjl * u\(z; E , F ) s ( A + d ) * u\(z ; E , F ) , woraus sich a ( . ; E , F ) &I. . a\(* ; E , F ) ergibt. Die andere Ungleichung folgt aus %\ S U J I

Durch Dualisieren von Lemma 4.1 ergibt sich

4.2. Lemma. Sei FE 92 und d ( F , ZAinlF) =A. Sei a eine Tensornorm. Dann gilt fur alle E E 92:

x(*; E , E ' ) - c ~ / ( . ; E , F ) s A * a (.; E , F ) . Mit Lemma 4.1 erhalten wir

4.3. Satz. Sei E ein lokalkonvexer Ruurn. Sei E' ein 9Y-Raum. Sei a eine Tensor- norm. Dann gilt:

E @ c F = E @ a , F .

Fulls E normiert ist, gilt zusutzlich auf E@ F:

x\(*; E , F ) SX(*; E , F ) s A . a\(*; E , F ) Mit Lemma 4.2 erhalten wir den zu Satz 4.3 ,,dualen"

4.4. Satz. Sei E ein lokalkonvexer Rauna. Sei F ein 9$Raum. Sei a eine Tensor- norm. Dann gilt:

E @ .F = E @ .,F . Falls E normiert ist, gilt zusatzlich auf E @ F :

a ( . ; E , F ) S U / ( . ; E , F ) S A * a ( . ; E , F ) . Bew eis von Satz 4.3. Sei zunachst E normiert. Die erste Ungleichung folgt

aus a \ s a . Sei z E E @ F und N € 9 2 ( E ) , N € % ( F ) mit ZE.V@N. Da F ein 2T-Raurn ist, existiert ein ;Z',E9?(F) mit XcN, und d(Xl, lgloN1) sA. Aus Lemma 4.1, der Definition von a( . ; E , F ) und der Abbildungseigenschaft von a\ folgt dann:

z(z : E , F ) ~ a ( z ; N, 3 '1 ) 5 2 . a\(z; 111, Sl) 51. * a\(z; M , N ) , woraus folgt: a(.; E , F ) ~ 1 . a\(.; E , F ) . Falls E lokalkonvex und p€&TX, so folgt die Ayuivalenz der Halbnormen p@,,q und p@.,q ( q bezeichne die Norm auf F ) unmittelbar aus der aquivalenz der zugehorigen Normen a( . ; E, , F) und z\(.; E,, F ) It

Satz 4.4 folgt mit denselben Beweismethoden aus Lemma 4.2. Als Korollar erhalten wir die von A. GROTHEXDIECK angegebene Charakterisierung der Normen z\(.; h', E ) h w . a/(.; E , F ) fur beliebige 13axAcHraiunie E . F (siehe [I51 und [2]).

4.5. Korollar. Seien E . F UAxAcmaunze. 8ei K cine Tensornorm. Sei I' eine X e n g e , so dab FcZ"(I') isonietrisch. Dann ist die Lion E @ J " ( r ) auf E @ F induzierte Sorn i gerade z\(., E , F)

4.6. Horollar. Sc ien E , F RaxAcHruwnze. S e i u ekte Tensornornz. Sei F eine Jlenge und H c l l ( T ) mit F : l ~ ( I J / H isonietrisch und p bexeichne die entsprechende

Harksen, Charakterisierung lokalkonvexer Riiume 367

Quotientenabbildung. Dann ist d i e von E@ Jl(r) mit Hilfe der Abbildung i d E @ @ auf E @ F ubertragene Norm gerade a / ( . ; E , F ) .

Die Korollare folgen aus der Tatsache, daij l”(F) (bzw. Zl(r)) ein 2T+e- (bzw. 9i+s-) Raum fur alle E > O ist, und daij a\ (bzw. a / ) (r)-injektiv (bzw. (r)-projektiv) ist.

Aus Korollar 4.5 und 4.6 folgt 4.7. Lemma. Sei a eine passende Tensornorm. Dann sind a\ und a/ passende

Tensornormen. Fur a\ gilt zusatzlich: a$.; E , F)=a\(-; E , F ) fiir alle E , F normiert.

Beweis . Wir zeigen zunachst die Ausesge fur a\. Seien E, F normiert und Pcl- (r ) isometrisch. Nach Korollar 4.6 gilt: a’(.; E’, ll(r)) =a’/(*; E , lI(T)). Mit Satz 1.10 folgt deshalb .(.; E , l-(r)) =a\(.; E, lw(F)) . Da Z-(r) die (m. A. E.) loesitzt und a passend ist, ergibt sich mit Satz 1.13: a(.; E , l - (F))=&(-; E , Z-(T)), SO daIJ sich mit Satz 4.3 insgesamt ergibt: a\(-; E , Z-(T))=&\(.; E , l-(r)). Da sowohl cz\ als auch &\ auf beliebigen normierten Raumen die (r)-Unterraumeigen- schaft besitzen, folgt somit: a\(.; E , F)=a\(-;’E, F) . Fur a/ folgt die Behiwptung &us a/= (a’$’ und Lemma 1.12.11

Ohne Beweis notieren wir ein Ergebnis von P. SAPHAR (siehe [34]) :

4.8. Satz. (a) Sei a eine Tensornorm and ,8 gleich / ( a / ) , (\a)\ oder /a\. Dann gilt: ; E , F ) =B(* ; E , 3)

fur alle E , F normiert. Insbesondere ist ,6 passend. (b) X e i a eine Tensornorm und ,8 gleich $a$, ( / a ) / oder \a/. Dann ist ,3 passend.

Wir kominen nun zu den beiden Hauptsiitzen dieser Arbeit :

4.9. Satz. Sei E ein lokalkonvexer Raum. Sei u eine Tensornorm. Dann sind folgende Aussagen aquivalent: (a) Ist G ein Unterraum eines lokalkonvexen (normierten) Raumes F, so ist E@,Q

ein (topologischer) Unterraum von E@ .F. (b) Sei G ein BANACHraum und r e k e Menge, so dafi G c l”(T) isometrisch. Dann

ist E@,G ein Unterraum von [email protected](r). ( c ) Bur alle lokalkonvexen (normierten) Raume F gilt:

E@ .I1 = E@ .,F . Falls zusatzlich E normiert ist, d a m sind (a)-(c) noch iiguivaleizt zu (d) Es existiert ein A s I , so dafi fur alle normierten F gilt:

a\(.; E, F) ~ a ( . ; E , F) S A . ..\(a; E , F) . Und der ,,duale Satd‘ :

4.10. Satz. Sei E ein lokalkonvexer Raum. Sei a eine Tensornorm. Dann sind f olgende Aussagen Ciguivalent: (a) E’ur lokalkonvexe (normierte) Raume P, Q und einen surjektiven Homomorphis-

m u s e : F-Q ist id E @ @ : [email protected]@=Q ein (surjektiver) Homomorphismus.

368 Harksen, Charakterisierung lokalkonvexer Riiuine

(b) Sei Q ein BANAcHraum und I' eine X e n g e , so dab Q ein Quotient von P(r) kt (p die entspr. Quotientenabb.). Dann ist id,@@ : E@ull(F)-+E@uQ ein Homo- morphismus.

( c ) Fur alle lokalkonvexen (normierten) Raume F gilt: E@IUF=E'mu.,F.

Falls zusatzlich E normiert ist, dann sind (a)-(c) noch apuivaleizt zu (d) Es existiert ein A s 1, so dap fur alle normierten F gilt:

a ( . ; E , F ) s a / ( . ; E , F ) s i . a(*; E', F ) . 4.11. Definition. Sei E lokalkonvex und a eine Tensornorm. Dann sagen wir :

(a) Das Paar ( E , a) erfullt die (r)-Cnterraumeigenschaft, falls die Aussage ( a ) von Satz 4.9 fur E und a gilt.

(b) ( E , a ) erfullt die (r)-Quotientenraunjeigenschaft, falls d i e Aussage ( a ) von Satz 4.10 fur E und a gilt.

Die Aussage (a) von Satz 4.9 spielt eine wichtige Rolle bei Liftingsatzen fur lineare Operatoren (siehe z. R. fur das n-Tensorprodukt [9]), wahrend die Aus- sage (a) von Satz 4.10 (fur das E-Tensorprodukt siehe z. B. [19]) Liftingsatze fur viele Funktionsklassen liefert. In der Praxis scheint es nun einfacher zu sein, fur (E , a) die Aussage (c) von Satz 4.9 bzw. 4.10 nachzuweisen (siehe dazu auch die nachfolgenden Korollare).

Satz 4.10 wurde speziell fur das 8-Tensorprodukt auch von R. HOLLSTEIN in [ 171 bewiesen. Ein Raum E , fur den ( E , E ) die (r)-Quotientenraumeigenschaft erfullt, heiBt in seiner Notation &-Raum. W. KABALLO bezeichnet in [19] einen lokalkonvexen Raum E als (EL)-Rauni, falls er folgende Eigenschaft erfullt : Fur BANAcHr%umeF,Q undg : $'+Q surjektirer Homomorphismysist id,Gep : E&F -t

--t E&Q surjektiv. Mit Hilfe des open-mapping-theorems folgt, daIJ fur FRECHET- raume E die Begriffe 8-Raum und (EL)-Raum ubereinstimmen.

Heweis von Satz 4.9. Die Implikation , ,(a) +(b)" ist klar. ,,(b) *(c)" : Falls F ein BAwACHraum ist und Fc l-(r) isometrisch,dann folgt aus B@ &-'(r) = E@ u\lm(r), &us (b) und aus x\ (r)-injektiv:

Sei nun F lokalkonvex und 5, ein definierendes H N S . \Vegen P=yroj p , folgt Em .F =E@I =,F ,

mit Satz 2.8: 9c PF

EG.P=proj (EG.E,)=pmj (EGz\Fp) =EG,,,E . P€ bp PF PF

Mit Lemma 2.7 folgt dann ( c ) . ,,(c) +(a)" : Folgt unmittelhar aus X\ (r)-injektiv und Satz 2.3. Fur normierte E. folgt die Aquivalenz von (c) und (d) nus dern Lemma 4.12.//

Der Reweis von Satz 4.10 verlauft ahnlich. An Stelle der Eigenschaften von a\ werden die entsprechenden dualen Eigenschaften von a/ benutzt.

4.12. Lemma. Sei E ein nomiierter Raunz. Sei a , eine Tensornorm, Bi=a, oder u,, i= 1, 2. Dann sind aquiaalent: -

HarkBen, Charakterisierung lokalkoiivexer Kiume 369

(a) Far alle r~ormierten Raume F gilt: E@,IE'= EB,~F. (b) Es existiert ein C 2 1, so dab fur ulle normierfen 1' gilt:

C-'-/91(.; E , E')&B>(*; E, F ) % C . ~ ~ ( * ; E , F). Beweis . ,,(b)*(a)'': Offensichtlich. ,,(a)-(b)": Es reiclit zu zeigen, daB ein

(22 1 existiert mit p 2 ( * ; E', P) ?I2 pi(.; E , F) fur alle normierten F. Die andere Ungleichung folgt durch Vertauschen der Rollen von Pi und p2. Wir fuhren den Reweis durch Widerspruch :

Zu nC Nexistiert dann ein normierter Raum F, und ein zn~E@F, , mit

(,.)

Sei F die algebraisch direkte Summe der P, ausgestattet mit der Norm BAz, ; E', F%) =-n - /91(z,; E , a',) .

ll(xL)zllP: = c IIXtIlF,> (X,),€ 0 F, . 2

Nach (a) existiel% ein C , s l mit /I1(.; E , F ) cCF 9 PI(.; E , 3'). Da die kanonische Projektion von P auf F, Norm 1 hat, folgt mit der Abbildungseigenschaft :

BL(z,; E , P,)=BJ((z~~~,)~; E , 3) ~ c p + Pi((z$ifi),; 8, F)=CpBi(zfi; Z, Fn). Dies ergibt einen Widerspruch zu ( e ) ./I

valenz zmischen Satz 4.9 und Satz 4.10:

(a) (E , a ) hat die (r)-Unterraurneigcnschaft geneu darhn, falls (E', a') die (r)-Quo- tientenraunzeigenschnft hat.

(b) (E , a ) hut die (r)-Quotientenraurneigensehuft geneu dann, fulls (E' , a') die ( r ) - Unterraumeige?aschaft hat.

Keweis von ( a ) . Falls (E , a ) die (r)-Unterraumeigenschaft hat, folgt niit Satz 4.9 (d): Es existiert ein 1s 1, so da13 fur alle normierten F gilt: a\(.; E', F) s --a(.; - E , F) > I , a\(-; E , F) . Mit a passend sind auch a', a\ und a'/ passend. Fur

E l € % ergiht sich dann aus Satz 1 . l o :

Falls E normiert und a eine passendo Tensornorm ist, Imteht folgende Aqui-

4.1 3. Satz. Sei E nomi icrt und a eine passende Tensornorin.

a'(+; E', F) ;a'/(*; E', F) SA . a ' (* ; E', F) . Diese NormabschMzung 1aBt sich leicht auf E'@ F fur beliebige normierte F uber- tregen. Mit Satz 4.10 (d) folgt dann, daB (E', a') die (r)-Quotientenraumeigenschaft besitzt. Umgekehrt folgt mit denselben Argumenten, daB (E", a ) die (r)-Unter- raumeigenschaft hat. Dann besitzt sie nach Sata 1.6 aber auch ( E , a) . (b) folgt ent- sprechcnd ./I

Als Polgerung geben wir Permanenzeigenschaften fur die (r)-Unterraumeigen- schaft (bzw. (r)-Quatientenraumeigenschaft) an.

4.14. Korollar. Sei a eine Tensornorm. In folgenden Fullen hat ( E , a) die (r)- Unterraumeigenschaft (bzw. (r)-Quotientenrauweeigenscha/t): (a) E ist ein dichter oder kompbmentierter Teilraum, (b) E ist reduzierter projektiver Limes eines Netzes, ( c ) E ist die abzahlbare direkte Sumrne, 24 Math. Narhr. Bd. 10G

370 Harksen, Charakterisierung lokalkonvexer Riiume

(d) E k t abzahlbarer induktiver Limes nzit ZdE von lokalkonvexen Raurnen F , fur die aEle ( F , u ) d i e (r)- Unterraumeigenschaft (bzw. (r)-Quotientenraumeigen- schaft) besitzen.

Reweis. Fiir ( E , a) weisen wir jeweils die Aussage (c) von Satz 4.9 (bzw.

(a) folgt fur E dicht in F aus Lemma 2.7 und fur E komplemeiitiert in P direkt

(b) folgt aus Satz 2.8. (c) folgt aus Satz 2.10 und der Tatsache, daf3 jeder normierte Raum insbe-

sondere a-lokaltopologisch jst. (d) folgt nus ( c ) uiid (a).//

Satz 4.10) nach.

aus der Ahbildungseigenschaft.

Q 5. Charakterisierung voii fp-Rauruen rnit Iiilfe von Tensornormtopologien

Die folgenden beiden Satze sind Spezialfalle von Satz 4.13 fur das E- und n-

5.1. Satz. A%; E ein BANACHraUnb. Folgende Aussagen sind iiquivalent: Tensorprodukt .

(a) E &t e i n L--Raum. (b) (E , E ) besitzt die (r)-Quotientenraumeigenschaft. (c) Far alle lokalkonvexen (normierten) Raunze F gilt:

E @I ,El = E @ ,o-F (d) Piir alle lokalkonvexen (normierten) Raume F gilt:

E'@I~F=E'@,,F (e) (El, x) besitzt die ( r ) - Unterraumeigenschaft.

(siehe [19]).

(a) E ist ein 21-Raunz. (b) (E' , E ) besitzt die (r)-Quotientenrau?neigenschajt. ( c ) Fur alle lokalkonvezen (norniierten) Raunae F gilt:

Die Aquivalenz von (a) und (b) ist gerade der Liftingsatz von W. KABALLO

5.2, Satz. Xei E ein BaxAcHruum. Folgende Aussngen sind iiquivalent:

E'@$= E'@,_F (d) Fiir alle lokalkoncexen (normierten) Kauine F gilt:

E @ ,F = E @ ,,F (0) ( E , z) besitzt die (r)- rinterraul?beigenschaft.

Die Aquivalenz von (a) uiid (1)) wurde auch von G. K ~ ~ T H E (siehe [22]) gezeigt. Eeweis von Satz 5.1. tVegen w,=d,=e/ folgt die dquivalenz von (b), ( c ) , (d)

und (e) aus Satz 4.13, 4.9 und 4.10. ,,(a)*(c)": Wegen / ( E / ) = E (Satz 3.10) und E ein "-Ram1 folgt &us Satz 4.3 :

E @ ,F = E@,(81,F= E @ 7

worms hich (c) ergibt.

Harksen, Charakterisierung lokalkonvexer Raume 37 1

,,(e)*(a)": JVegen h = z folgt aus (e) fur G c F :

i @ i d F : G@J'+F@nE' ist eine (isomorphe) Einbettung, d. h. die duale Abbildung

( i @ i d E , ) ' : (F@$')'=L(F, E")+(G@JC')'=L(G, 37') T - T o i

ist surjek'biv, woraus nach [6], Seite 94, folgt, daB E' injektiv ist. Nach [26] ist F: also ein L--Raum.

Der Beweis von Satz 5.2 verlauft entsprechend, falls wir die Rollen von E' und E' vertauschen.

Wir bemerken hier noch, daB mit Korollar 4.14 folgt : Falls E red. projektiver Limes oder abzahlbare direkte Summe oder ein abzahlbarer induktiver Limes mit ZdE iron g."-Raumen (bzw. 91-Raumen) ist, dann hat (E , F ) die (r)-Quotienten- raumeigenschaft (bzw. ( E , n) die (r)-Unterraumeigenschaft). Der Vollstandigkeit halber geben wir noch zwei Satze an, die z. T. aus Satz 4.3 untl 4.4 folgen und die auch schon von J. NOEL in [28] erwahnt wurden.

6.3. Satz. h'ei 8 ein BANACHrUUm. Folgende Aussagen sind aquivalent: (a) E' is€ ein 21-12aum. (b) F2r alle lokalkonuexen (norrnierten) Raume F gi l t :

E@ 2' = E @ wlF (c) Fur alle lokalkonvexen (normierten) Raume F gilt:

E' @ ,F = E @ /,F . 5.4. Satz. Se i E ein BANAcHraum. Folgende Aussagen 8ind QuivaIlent:

(a) E ist ein $?-Haurn. (b) Far alle lokalkonvexen (normierten) Raume F gilt:

E" @ EF = E" @ wiP

( c ) Far alle lokalkonvexen (normierten) Raume F gilt:

E @ n F = E @ / Z .

Beweis von Satz 5.3. ,,(a)*(b)'': Wegen wl=g-=\& folgt (b) aus Satz 4.4. ,,(b)+(c)": Wegen w,\ = ( \ e ) \ = ~ (siehc Satz 3.10), also .I; =In und w;/=n, folgt die Aquivalenz aus Satz 4.13 mit cc=wl. ,,(c)*(a)": Nach [26] reicht es zu zeigen, daB IT injektiv ist. Sei dazu H ein BANAcHraurn und i : El-H eine isomorphe Einbettung. Da H @ B auf E'@F eine zwischen in und TL Iiegende Topologis induziert, gilt wegen (c), daD E"@,E' ein topologischer Unterraum von H @ J ist. Hieraus folgt, daB die Abbildung

(i@idE)' : L ( H , E')-L(E' , E') T -To i

surjektiv ist. Somit existiert eke Projektion von H auf E", d. h. E" ist injektiv.// 24.


Entsprechend wircf 8atz 5.4 l m s iesen. Ahnlich wie ein S?--Raum durch die w,-Norni (Satz 5.1) und eiri 21-Raum

durch die w,-Norm (Satz 5.3) lasseii sich die P-Raume (1 < p ~ O Q ) ciurch die wp- Tensoriiormen charakt erisieren .

5.5. Lemma. h’ei I s p 1 a. D a m gilt fisr alle 7tt-A‘ und E C 91. &(.: 1;, E)=w*(.; 1;, E ) .

Beweis . F u r p = l u n d p = - = ist dies Satz 3.10. Sei nun l-=p<= ( p ‘ d e r z u p duale Exponent), n~ S, E’c91 und zcZ:@E. Fur z nehmen wir die spezielle Dar- stelluiig

11

z = 2 e f @ z 4 . nohcbt e t = ( d i j ) j c Z : t inct z , ~ f i , 1 k i t n . 1 = I

Es gilt :

& ( Z ; z:, E:)

=sup {iC.r: ( z L 3 y ’ )

=-&( ( :J , ) .

, I

( . r : ) $ c ~ ; , C lx%l* 21; ~ ’ E E ’ , I\.//’~\=I)

wP(z; Z:, E ) =in€ { N p , ( ( . c J h ) . X p ( ( g L ) L ) 1 C x z g ! / L Darst. von z }

= - ~ ~ p 4 e J J . J q ( Z J J .

il’egen Xp.( ( e J L ) 1, uiid da E die kleinste Tensornorm ist, folgt tlann die Behaup- tung.//

5.6. Lemma. S e i 1 - p LO=. Se i E t 91 inif d(h’, =A. Dann gilt /ur E’E 92:

& ( - ; E , E’) L W p ( . : E , F ) & I . . & ( a ; F:, 1’) .

B e w e i s . Nach Leniina 5 .5 st i inmen F und wp auf {z: 1 n E N ) x Irt iiberein. Mit dieser Bemerkung lafit hieh tlann der Keweis von Lemma 4.1 auf Lemma 5.6 iiber- tragen ./I

i\?r komnien iiun zur Charakterisierung der TP-Riiume :

6.7. Satz. S e i I ~p _a. Xei E ein RANACHmU?n. Dann sind dpuiualoLt: (a) Falls 1 -==p

(1 ) ) Eiir rrlk loknlkomexeiL (normierten) Rauwe F gilt:

03: E ist eii t S?p-Raum oder isomorph xu einem Hilbertraum. Palls p = 1 otler . E ist ein gP- IZaum.

E@,F = EBtlPF .

Fur dell Fit11 1 < p < 03 w i d di, Kichturig ,,(a) -> ( I ) ) such veil J. S. COHEN in 151 fur E ein 9p-It;tu~n gezciyt.

ISewois. , . (a ) - ( 1 ~ ) ‘ ‘ : Fur p = l uiid 03 ist schon alles gezeigt. Sei deshalb 1 < p <-. Falls E; eiii S?*-llauni ist, IBBt sich, falls wir Lemma 5.6 beriicksichtigen, der Bcneis von Satz 4.3 direkt ubertragen. Falls E isomorph zu einem HILBERT- raum ist, tlanii folgt leicht mit Hilfe voii [%I, Example 8.2, da13 H : = P @ E ein


!f,p-Raum is t , a h H@,F = H @ B’ fur alle lokalkonvexen F . Da h’ eiri komple- mentierter Teilraum voii H ist, folgt soniit (b). ,,(b) +(a)‘‘ : Wichtigstes Hilfs- mittel ist hier eine voii J. LINDENSTRAUSS und H. ROSENTHAL angegebene Charak- terisierung der 2”-Raume (siehe [2G], Theorem 4.3). Aus ( t i ) und Lemma 4.12 folgt zunachst :

wP

Es existiert ein A s 1 , so da13 fur alle normierten F gilt :

(*) w p ( - ; 3, F ) SA . & ( a ; E’, F ) . Sei nun NE92(E), {xi}:=1 eine Basis voii N und {zi}:=, die duale Basis in AT‘ (d. h. (xi, xk)=aij, 1 s i , j 5%). Die zu x = ~ x i @ x : E E : @ N N ’ gehijrendo lineare Ahhildung

T, 1 X-E’

ist gerade die Einbettung i, : iV-+Id, so daB gilt :

E ( Z ; E , N‘) = /\T,\l= lliryll = 1 . Wegen (*) gilt dann wP(z; h’, N ’ ) &A. Nach Def. der wp-Norm existiert sorriit eine

Darstellung z = 2 y%@ yi, fur die gilt : m

1

?uP(z; E , N ’ ) s X ~ ~ ( ( Z J ~ ) ~ ) . L V J ( ~ ; ) ~ ) 5 2 * I, . Wir betrachten nun die Abhildungen

Einfache Rechnungen zeigen : //TI/ = Mp((y: )L) untl I/S// = MP,( (yL)%). il’eiter gilt fiir Y E N :

( S O T ) ( y ) = C ( Y > Y : ) % = c ( Y > + i = i , ( y ) = y . Insgesamt gilt somi t :

i, = S o T und llS\l . /\T\j = MP.( (yi),) * &Ip( (y:),) zs 2 . A . Da 3, unabhangig von N ist, folgt deshalb mit [SS], Theorem 4.3, die Ausssge (a).//

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