Bericht zur Prfifung im Mai 2006 fiber Bausparmathematik (Grundwissen)

Hans Laux ( K o r n w e s t h e i m )

Am 6. Mai 2006 fand in KSln die Prfifung fiber das Grundwissen der Bausparmathematik statt. Der Klausur unterzogen sich 123 Teilnehmer, yon denen 106 die Priifmlg bestanden haben. Die Klausur umfasste vier Aufgaben, fiir die maximal die jeweils angegebene Zahl yon Punkten, insgesamt 90 Punkte, erzielbar waren. Die Klausur war auf 90 Minuten ausgelegt und galt als bestanden, wenn 40 Punkte erreicht wurden. Hilfsmittel waren auger einem Taschenreehner nicht zugelassen.

1. Aufgabe (21 Punkte)

Ein Bausparer fiihrt nach demselben Tarif, der ein 50%iges Mindestsparguthaben aufweist und u.a. auch unproportionale Teilungen zulgsst, zwei Bausparvertr/ige mit folgenden Merk- malen:

Bauspar- Bauspar- Bauspar- Habensalden- Bewertungs- vertrag (BV) summe (BS) guthaben (BG) summe (HSS) zahl (BZ)

A 80.000 60.000 800.000 10,000 B 200.000 60.000 600.000 3,000

Die Bausparkasse wendet die Habensaldenmethode an (bei Bewertungsstichtagen an den Kalenderquartalsenden und deIn Bewertungszahlfaktor BZF = 1) und sprieht Zuteilungen bis auf weiteres zu einem Quartalsende 3 Monate naeh Erreiehen der Mindestbewertungs- zahl MBZ = 6 und des tarifliehen Mindestsparguthabens aus. Der Bausparer benStigt ein Quartal naeh deal ngehsten Bewertungsstiehtag Bausparvertrags-Finanzierungsmittel in HShe von 200.000 ~ . Sehlagen Sie eine optimate Vertragsgestaltung vor, bei der - bezo- gen auf die Vertragsdaten vor den Vertrags/inderungen - weder Geld (BG) noeh Zeit-mal- Geld (BZ) ,,versehenkt" wird und der Vertrag A voll in den Finanzierungs-Bausparvertrag eingeht. Welehe Bausparvertr/ige C1 und C2 ffihrt der Bausparer naeh den erforderliehen Vertrags/inderungen?

LSsung:

Optimal ist hier eine Vertragsgestaltung, die nach Zusammenlegung tells gefinderter Ver- tr£ge zu einem Finanzierungsvertrag C1 mit BS(C1) = 200.000 g , BG(C1) = 100.000 und BZ(C1) = 6 ffihrt. Aus

folgt

BZ(Cl)- HSS(Cl) HSS(Cl) BS(C1) - 200.000 - 6 (1.1)

HSS(C1) = 1.200.000. (1.2)

Da der Vertrag A voll in die Finanzierung einfliefien soil, ,fehlen" an dem Bansparvertrag C1 noch ein Teilvertrag B1, dessen Hauptmerkmale durch Differenzbildung hergeleitet wer- den kSnnen und der aus einer unproportionalen Teilung hervorgeht, eben in B1 und den

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Restvertrag B2. Nach der Teilung sind die Vertr/ige A und B1 zum Finanzierungsvertrag C1 zusammenzulegen. Die Vertrags/inderungen gehen aus der naehstehenden Ubersieht hervor:

BV B S BG H S S B Z

C1 200.000 100.000 1.200.000 6,000 A 80.000 60.000 800.000 10,000 B1 120.000 40.000 400.000 3,333 B 200.000 60.000 600.000 3,000 B2 = C2 80.000 20.000 200.000 2,500

Die unproportionale Teilung entspricht der hierffir geltenden Regel, dass die H S S im glei- chen Verhgltnis wie die BG aufzuteilen sind. Von beiden GrSBen entfallen je 2/3 auf B1. Die B Z errechnet sich nicht durch Addition oder Subtraktion, sondern analog der Formel (1.1). Der Bausparer hglt nach der Neugestaltung den Finanzierungsvertrag C1 und den wesentlich schw/icher entwickelten Restvertrag C2.

2. Aufgabe (14 Punkte) Schildern Sie in Stichworten, was Sie fiber die Vorfinanzierung, auch Vorausdarlehen (VD) genannt, im Bausparen wissen.

LSsung:

Das VD ist ein auf der Basis eines Bausparvertrages (BV) gewghrter vorzeitiger Kredit bis zur H6he yon dessen Bausparsumme (BS). Dazu bedarf es eines gesonderten Vertrages zwischen Darlehensgeber und -nehmer, da die ABB den Anspruch auf den vorzeitigen Kre- dit nicht einrSumen (k5nnen). Kreditgeber ist entweder die Bausparkasse oder ein anderes Kreditinstitut, das in der Regel mit der Bausparkasse zusammenarbeitet. Im Unterschied zum Zwischendarlehen (ZD) weist der BV im Zeitpunkt der Vorfinanzierung noch nicht das tarifliche Mindestsparguthaben (MG) auf. Das erfordert im allgemeinen Sparbeitrgge des Bausparers, die zu den VD-Zinsen hinzutreten. Eine Ausnahme yon der Notwendigkeit, Sparbeitrgge auf den Abl6sungs-BV zahlen zu mfissen, gilt dann, wenn das BG das MG so wenig unterschreitet, dass allein dureh den Zuwachs des BG aus Guthabenzinsen in Kfirze das MG erreicht wird. Jedes VD wandelt sieh gegen Ende seiner Laufzeit, wenn das BG grSBer oder gleich dem MG ist, in ein ZD. Das VD ist (wie das ZD) ein gesamtf~lliger Kredit (auch endf~llig genannt), der nicht laufend getilgt, sondern nur verzinst werden muss. Das VD bzw. ZD wird dureh die zugeteilte BS des der Finanzierung zugrunde liegenden BV ab- geI6st, d.h. in H6he des Bausparguthabens (BG) getilgt und in H6he des Bauspardarlehens (BD) umgesehuldet. Die Zahllast des Bausparers bls zur Zuteilung setzt sich also durchweg aus den VD-Zinsen und den Sparbeitrggen fflr den BV zusammen. Andererseits benStigt der Bausparer ffir ein bestimmtes eigentliches Darlehen (= Differenz zwischen BS und BG bei Finanzierungsbe- ginn) nur eine niedrigere BS als beim ZD. Wegen der durchschnittlich lgngeren Laufzeit der VD (im Vergleich mit den ZD) sind die Konditionen ceteris paribus oft ungfinstiger als die fiir ZD. Ist Geldgeber des VD ein Kreditinstitut spricht man von Bankvorausdarlehen, die selbstverstgndlich aus Marktmitteln refinanziert und yore Darlehensnehmer auch markt- abhgngig zu bedienen sind. Eine Sofortfinanzierung liegt vor, wenn das VD zu einem neu abgeschlossenen BV gewghrt wird. Bausparer prgferieren VD vonder Bausparkasse, allgemein gesagt, Finanzierungen aus el- her Hand. Die Bausparkassen k6nnen zudem oft gfinstigere Konditionen ffir VD (und ZD)

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bieten, weil sie der Refinanzierung {Jberschfisse der Zuteilungsmasse teilweise beimischen dfirfen (ansonsten verwenden sie hierffir aufgenommene Fremdmittel und die noeh nieht gebundenen Eigenmittel). § 1 BsparkV regelt das Maximum der Refinanzierung von VD aus Zuteilungsmitteln. Darin sind VD nach der Laufzeit und dem Anteil an der Summe yon vorzeitigen Krediten (ZD und VD) kontingentiert. Seit einigen Jahren l'gsst die Aufsiehts- behSrde (BAFin) hShere Refinanzierungen von VD aus Zuteilungsmitteln zu als frfiher, und zwar gestiitzt auf § 1 Abs. 4 BsparkV.

3. Aufgabe (25 Punkte) Es existieren bei den Bausparkassen X und Y Bausparvertr/ige (BV) fiber eine Bauspar- summe (BS) yon je 100.000 4g, die beide ZUln 31.12.01 ein Bausparguthaben (BG) yon 45.000 4g und eine Bewertungszahl (BZ) yon 150 aufweisen. Einheitlich sind die Quartals- enden Bewertungsstiehtage und betrggt der Guthabenzinssatz 2% j/ihrlieh. Beim BV X, ffir den die B Z nach der Habensaldenmethode berechnet wird, bel/iuft sieh zum 31.12.01 die Habensaldensumme (HSS) auf 375.000 4g. Der BV Y, bei dem die Zinsenmethode der BZ-Bereehnung angewendet wird, weist am 31.12.01 eine Zinsensumme (ZS) von 1.500 ~g auf.

a) Mit welchen Bewertungszahlfaktoren mfissen die zwei Bauspartarife ausgestattet sein, damit alle angegebenen Parameter Gfiltigkeit haben?

b) Rechnen Sie die zwei Bausparkonten einschliet31ich der Bewertungszahlen vom 31.12.01 ohne neue Sparbeitr£ge quartalsweise bis zum 31.12.02 weiter.

LiJsung:

Zu a)

Da BZ = 150 ist, mfissen die Tarife Bewertungszahlfaktoren (BZF) aufweisen, die folgen- den Gleiehungen erffillen:

B Z F ( X ) . H S S -- 150 (3.1)

BS

bei der Habensaldenmethode und

BZF(Z). SGZ BS

= 150 (3.2)

bei der Zinsenmethode. Mithin ergeben sich numerisch

150.100000 B Z F ( X ) - - 40 (3.3)

375000

und 150. 100000

B Z F ( Y ) 1500 10.000. (3.4)

Zu b)

Die Bausparkonten weisen zu den Bewertungsstichtagen von 31.12.01 bis 31.12.02 folgende Werte auf:

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Valuta BG ohne H S S Verdiente Zinsen- B Z ( X ) B Z ( Y ) verd. Zinsen Zinsen summe

31.12.01 45.000,00 375.000,00 225,00 1.500,00 150,00 150,00 31.03.02 45.000,00 420.000,00 225,00 1.725,00 168,00 172,50 30.06.02 45.000,00 465.000,00 225,00 1.950,00 186,00 195,00 30.09.02 45.000,00 510.000,00 225,00 2.175,00 204,00 217,50 31.12.02 45.900,00 555.900,00 225,00 2.400,00 222,36 240,00

4. Aufgabe (30 Punkte)

a) Wie verSndert sich die Kassengleichung des statischen Beharrungszustandes von Ra- tensparern mit dem Vierteljahressparbeitrag A, wenn nicht alle zugeteilten Bausparer im Zeitpunkt s die Zuteilung sofort annehmen und sich die volle Bausparsumme (BS) auszahlen lassen, sondern Bausparer mit einem BS-Anteil von a(V) im Zuteilungs- zeitpunkt s auf das Bauspardarlehen (BD) verzichten und nur das Bausparguthaben (BG) abrufen sowie ein weiterer Anteil von a(K) den Bausparvertrag nur mit A/2 bespart und ihn zur Zeit s kiindigt.

b) Fiir einen 2%/4,5%-Tarif ohne Dar]ehens- und Kontogebiihren mit einem Darlehens- anspruch in H5he der Differenz zwischen B S und BG im Zeitpunkt der Zuteilungsan- nahme, ferner mit A : 1, 2% der B S und dem Quartalstilgungsbeitrag von 1,8% der B S spricht die Bausparkasse seit 1/ingerem die Zuteilungen nach 36 Quartalen aus. Sie ist dazu in der Lage, well auf Dauer ein BS-Anteil a(V) = 15% von Darlehens- verzichten und a(K) : 25% von Kiindigungen vorliegt. Wie hoch ist der/~lberschuss der Zuteilungsmasse im Verh/iltnis zu dem Gesamtbestand an BG?

LSsung:

Zu a) Die Kassengleichung des statischen Beharrungszustandes ohne Kiindigungen und Darle- hensverzichte lautet

SL = S B G - G(s) s . A _ t . B - D(O) _ S B D = KL. (4.1) r - 1 q - 1

Daraus kann das unbekannte s, die mittlere Wnrtezeit des Tarifs durch ein Iterationsver- fahren berechnet werden. Bei der mittleren Wartezeit stimmen Sparerleistung SL und Kas- senleistung K L fiberein. Die Gleichung (4.1) ~ndert sich, wenn in dem Bausparkollektiv auf Dauer gleich hohe Kiindi- gungen und Darlehensverzichte auftreten. W~hrend ffir die darlehensnehmenden Bausparer, kurz mit D bezeichnet, weiterhin die Formel (4.1) gilt, erbringen

die Darlehensverzichter die gleiche SL wie die D, nehmen aber keine K L in Anspruch, und

die Kiindiger nur eine (ira Beispiel auf die H~lfte) reduzierte SL, kommen dadurch nicht zur Zuteilung und lassen sich bei Ktindigung das Bausparguthaben zuriickzahlen, ohne natiirlich ein Bauspardartehen beanspruchen zu k6nnen.

Bezeichnet man die SL unter der Geltung yon Kiindigungen und Darlehensverzichten mit SL(K , V) und analog die K L mit K L ( K , V), ferner die Sparintensitgt der Kfindiger mit

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s (K) , so gilt:

S L ( K , V) = S B G . [(1 - a (K)) + a ( K ) . s(K)] S B G . [1 - a ( K ) . (1 - s(h'))] (4.2)

und K L ( K , V) = S B D . [1 - a(K) - a(V)] (4.3)

Aus der so erweiterten Kassengleichung

S L ( K , V) = K L ( K , V) (4.4)

kann ebenfalls eine mit t lere Wartezeit s r errechnet werden, die wegen der wartezeitverkfir- zenden Mornente der K und V kfirzer ist als s.

Zu b) Da im Beispielsfall die Sparzeit s mit 36 Quartalen vorgegeben ist, s t immen sowohl in (4.1) als auch in (4.4) linke und rechte Seite der Kassengleichung nicht iiberein. Ist die linke Seite grSfier als die rechte, verzeichnet die Zuteilungsmasse dauerhaft einen 1Jberschuss. Im umgekehrten Fall besteht ein Defizit. Zur konkreten LSsung der Kassengleichungen bzw. zur Berechnung der Guthabensummen S B G und der Darlehenssummen S B D benStigt man zus£tzlich die folgenden Gleichungen:

r 8 - 1 G(s) = A . - - (4.5)

r - 1 ffir Ratensparer,

D(O) = B S - G(s) (4.6)

bei einem Tarif mit Darlehensanspruch in HShe der Differenz zwischen B S und B G und

t - l n Q (4.7) In q

mit dem Zwischenwert B

Q = (4.8) B - ( q - 1 ) . D ( 0 ) "

Zahlenm~fBig zeigt sich fiir B S = 1 und s = 36 mi t r = 1,005, q = 1,01125, A = 0,012, B = 0,018 und d = 0 folgendes Bild mit den wartezeitverkiirzenden Faktoren aus a(V) -= 0, 15 und a(K) = 0, 25:

G(36) = 0,012. 1, 196685 - 1 _ 0,47200, (4.9) 0,005

S L = S B G = 0,47200 - 36- 0,012 = 8,000, (4.10) 0, 005

D(0) = 1 0,47200 = 0,52800, (4.11)

Q = 0,018 = 1,492537, (4.12) O, 018 - O, 01125. O, 52800

t - ln(1,492537) _ 35,7979, (4.13) In(l, 0112.5)

K L = S B D = 35, 7 9 7 9 . 0 , 0 1 8 - 0,52800 = 10,343, mit (4.14) 0,01125

1 - a ( K ) . ( 1 - s ( K ) ) = 1 - 0 , 2 5 . 0 , 5 = 0 , 8 7 5 , (4.15)

S L ( K , V ) = 0 ,875 .8 ,000 = 7,000 und (4.16)

K L ( K , V ) = 0 , 6 . 1 0 , 3 4 3 = 6 , 2 0 6 . (4.17)

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Der/Jberschuss der Zuteilungsmasse beliiuft sich der absoluten HShe nach auf

SL(K, V) - EL(K, V) = 7,000 - 6,206 - 0,794, (4.18)

d.h. relativ auf 0,794/7,000 = 11,34% s~mtlicher BG, d.h. der SL(K, V). (Im klassischen Kollektiv nach Gleichung (4.1) ohne K und V ist die Zuteilungsmasse defizit~ir, da die SBD = 10,343 die SBG = 8, 000 mn 2,343 oder 29,3% der SBG fibersteigen.)

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