documento potenciacion
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18/04/2023 1
AREA: MATEMATICAS
ARITMETICA
PERIODOPRIMERO
18/04/2023 2
TEMATICA
TEMA Nº 1: POTENCIACIONSUBTEMAS:ConceptoTérminosLectura y escrituraCubos y cuadradosPropiedades
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TEMA Nº 2:OPERACIONES INVERSASRadicación (Concepto, términos,
relación entre potenciación y radicación, situaciones problemicas)
Logaritmación (Concepto, términos, situaciones problemicas)
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LOGROS
• Reconocer los elementos de la potenciación en los números naturales y solucionar correctamente situaciones utilizando las propiedades.
• identificar la radicación como una operación inversa a la potenciación y solucionar situaciones problemicas
• Reconocer la Logaritmación como otra operación inversa a la potenciación y solucionar correctamente problemas.
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TEMA Nº 2FRACCIONARIOS
SUBTEMAS
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LA POTENCIACION
MUY PRONTO LO SABRAS, SOLO NECESITAS PRESTAR MUCHA ATENCION
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En matemáticas, la potenciación entre números naturales, es una expresión de la forma an (a, a la n),que representa una multiplicación o producto abreviado de factores iguales.
El producto de factores iguales, se puede expresar como potencias indicadas, y estas a su vez también se pueden expresar como productos de factores iguales
En la expresión an se trata de multiplicar la cantidad a, n veces.
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Ejemplos
2. Se expresa como 21 2
2.2 22 4
2.2.2 23 8
2.2.2.2 24 16
2.2.2.2.2 25 32
2.2.2.2.2.2 26 64
2.2.2.2.2.2.2 27 128
2.2.2.2.2.2.2.2. 28 256
2.2.2.2.2.2.2.2.2 29 512
2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 210 1..024
POTENCIAPOTENCIA INDICADA
PRODUCTO DE FACTORES IGUALES
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51 se expresa como 5. 5
52 5.5 25
53 5.5.5 125
54 5.5.5.5 625
55 5.5.5.5.5 3.125
56 5.5.5.5.5.5
57 5.5.5.5.5.5.5
58 5.5.5.5.5.5.5.5
59 5.5.5.5.5.5.5.5.5
510 5.5.5.5.5.5.5.5.5.5
POTENCIA INDICADA
PRODUCTO DE FACTORES IGUALES
POTENCIA
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Completar el siguiente cuadro
POT. IND
LECTURA
PRODUCTO DE FACTORES
IGUALES
BASE
EXPON
POTENCIA
97
12.12.12.12.12
15 3
Siete a la cuatro
38
28 2
35.35.35.35.35.35
39
Siete a la diez
101
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TERMINOS DE LA POTENCIACION
54 =625
EXPONENTE
BASE
POTENCIA
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La base 5, es el factor que se repite.
El exponente 4, es el número más pequeño que se escribe en la parte superior derecha de la base e indica el número de veces que se repite la base 5.Los anteriores términos conforman la potencia indicada, que se lee: Cinco elevado al exponte 4 o simplemente 5 a la 4
La potencia, es el resultado de multiplicar la base tantas veces lo indica el exponente
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Para no olvidar
Para hallar el valor de una potencia indicada, se debe multiplicar la base tantas veces lo indique el exponente.
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Ejemplos
• 43 = 64 porque: 4 . 4. 4 = 64, donde 4 es la base, 3 el exponente y 64 la potencia y se lee cuatro al cubo o cuatro a la tres o cuatro elevado a la tercera potencia.
• 25 = 32, porque 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32, donde 2 es la base, 5 el exponente y 32 la potencia y se lee dos elevado a la cinco o dos elevado a la quinta potencia.
• 46 =?• 103 =?• 58 =?
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LECTURA Y ESCRITURA DE POTENCIAS
Para leer una potencia indicada, se nombra primero el número de la base, luego el número del exponente, separados por la expresión “elevado a la”.
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POTENCIA INDICADA
FORMAS CORRECTAS DE LECTURA
32
Tres elevado a la dosTres elevado ala al cuadradoTres elevado a la a la tercera potencia
43
Cuatro elevado a la tresCuatro elevado al cuboCuatro elevado a la tercera potencia
74
Siete elevado a la cuatroSiete elevado a la cuarta potencia
105 Diez elevado a la cincoDiez elevado a la Quinta potencia
86 Ocho elevado a la seisOcho elevado a la sexta potencia
57 Cinco elevado a la sieteCinco elevado a la séptima potencia
98 Nueve elevado a la ochoNueve elevado a la octava potencia
69 Seis elevado a la nueve Seis elevado a la novena potencia
210 Dos elevado a la diezDos elevado a la décima potencia
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CUADRADOS Y CUBOSCUADRADOSEs la potencia que resulta de multiplicar un número por si mismo dos veces
2 veces 2 = 2 x 22 x 2 = 22
22 = 4Lectura: Dos al cuadrado
2 veces 3 = 3 x 33 x 3 = 32
32 = 9Lectura: Tres al cuadrado
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CUBOSEs la potencia que resulta de multiplicar un número por si mismo tres veces3 veces 2 = 2 x 2 x 22 x 2 x 2 = 23
23 = 8Lectura: Dos al cubo 3 veces 3 = 3 x 3 x 33 x 3 x 3 = 33
33 = 27Lectura: Tres al cubo
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CUBOS Y CUADRADOS DE LOS 10 PRIMEROS NÚMEROS NATURALES
N P/I PRODUCTO DE FACTORES IGUALES
BASE EXPONENTE POTENCIA
1 12 13
2 22 23
3 32 33
4 42 43
5 52 53
6 62 63
7 72 73
8 82 83
9 92 93
10 102 103
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PROPIEDADESDE LA
POTENCIACIÓN
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1. Propiedad de un número elevado a cero
Todo número natural elevado al exponente cero, da como resultado uno. a0 = 1La base debe ser una cantidad diferente de cero (a )
Ejemplos
60 = 130 = 1
90 = 1
150 = 1
320 = 1
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2. Propiedad de cero elevado a cualquier numero natural
Cero elevado a cualquier numero natural, da como resultado cero. 0n = 0
Ejemplos
08 = 002 = 006 = 003 = 0
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3. Propiedad de un número elevado al exponente uno
Todo número natural elevado al exponente uno, da como resultado el mismo número. a1 = a
Ejemplos
61 = 6 101 = 10 321 = 32181 = 18
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4. Propiedad de uno elevado a cualquier numero natural
Uno levado a cualquier número natural, da como resultado uno 1n = 1
Ejemplos17 = 1110 = 113 = 115 = 1112 = 1
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5. Propiedad de cero elevado al exponente cero
Cero elevado al exponente cero, no esta definido en ningún sistema numérico y constituye en matemáticas una indeterminación.
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6. Propiedad de un producto de potencias de igual base
Para multiplicar dos o más potencias de igual base, se deja la misma base y se adicionan los exponentes. am . an = am + n
Ejemplos
35 . 32 = 37
93 . 95 = 98
24 . 26 = 210
57 . 52 = 59
74 . 72 . 73 = 79
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7. Propiedad del cociente de potencias de igual base
Para dividir potencias de igual base, se deja la misma base y se sustraen los exponentes. Siempre el exponente del dividendo menos el exponente de divisor.
am ÷ an = am - n
Ejemplos
35 ÷ 32 = 35 - 2 = 33
106 ÷ 103 = 106 - 3 = 103
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8. Propiedad de la potencia de una potencia
Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes (am)n = am · n
Ejemplos
(35)3 = 35 · 3 = 315
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9. Propiedad de la Potencia de un producto
La potencia de un producto es el producto de las potencias de cada uno de sus factores. (a·b)n = an · bn
Ejemplos
(5·2)6 = 56·26
(2·4)5 = 25 . 45
(9·3)2 = 92 . 32
(7·5)3 = 73 . 53
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10. Propiedad de la Potencia de un cociente
La potencia de un cociente es el cociente de las potencias de cada uno de sus factores (a÷b)n = an ÷ bn
Ejemplos (6÷3)4 = 64 ÷
34
(10÷2)2=102÷22
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OPERACIONES INVERSAS DE LA POTENCIACIÓN
Loga b=n=a
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RADICACIÓNUN NUEVO RETO. PARA AFRONTARLO Y SUPERARLO NECESITO: INTERÉS, ESFUERZO, DEDICACION, ATENCION Y MUCHA PRACTICA. ¡VAMOS!, YO PUEDO, TU PUEDES.
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RADICACIÓN
Es una operación inversa a la potenciación, que permite hallar o encontrar la base cuando se conoce el exponente y la potencia.La radicación se simboliza con el signo que se lee radical.
=a si y solo si an = b
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Ejemplos 2 =16 en radicación = 4; porque 42 = 4.4 = 16
Lectura: Raíz cuadrada de 16 igual 4
?
4 =625 en radicación = 5; porque 54 = 5.5.5.5 = 625Lectura: Raíz cuarta de 625 igual a 5
?
3 = 1.000 en radicación = 10; porque 103
= 10.10.10 = 625
Lectura: Raíz cubica de 1.000 igual a 10
?
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8 = 6.561 en radicación = 3; porque 38 = 3.3.3.3.3.3.3.3 = 6.561Lectura: Raíz octava de 6,561 igual a 3
?
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TÉRMINOS DE LA RADICACIÓN
= aINDICE
CANTIDAD SUBRADICAL
RAIZ
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En la expresión:=a n recibe el nombre de índice, b recibe el nombre de cantidad subradical y a, recibe el nombre de raíz.
La expresión 53 = 125, en radicación se puede escribir como = 5, donde 3 es el índice, 125 la cantidad subradical y 5 la raíz.
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RELACION ENTRE LOS TERMINOS DE LA RADICACION YLA POTENCIACION
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¿Cómo hallar la raíz de un número?Para encontrar la raíz exacta de un número natural, se busca un número tal que elevado al índice de como resultado la cantidad subradical.Ejemplos= 2 por que 25 = 2.2.2.2.2 = 32
Lectura: Raíz quinta de 32 igual a 2
= 4 por que 43 = 4.4.4 = 64 Lectura: Raíz cubica de 64 igual a 4 =3 por que 34 = 3.3.3.3 = 81Lectura: Raíz cuarta de 81 igual a 3
.
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RAÍCES CUADRADAS Y CUBICAS
Para encontrar la raíz cuadrada de una potencia indicada, se debe hallar un numero que multiplicado por si mismo dos veces de como resultado la potencia.Ejemplos:
RAÍZ CUADRADA
La raíz cuadrada se puede expresar así: o Las raíces cuyo índice es 2 se denominan raíces cuadradas. A diferencia de los demás casos, en este tipo de raíces escribir el índice es opcional: ,
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Se lee: Se lee Se lee Se lee = ? Porque = ? Porque = ? Porque = ? Porque = ? Porque
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RAICES CÚBICAS
Para encontrar la raíz cúbica de una potencia indicada, se debe hallar un numero que multiplicado por si mismo tres veces de como resultado la potencia.Ejemplos:
Las raíces cuyo índice es 3 se denominan raíces cúbicas.
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Se lee Se lee Se lee = ? Porque = ? Porque = ? Porque = ? Porque
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PROPIEDADES DE LA RADICACION
La radicación en el conjunto de los números naturales, cumple las siguientes propiedades:• Raíz n-enesima de un productoLa raíz n-enesima de un producto es igual al producto de las raíces n-enesimas de cada uno de los factores. = x
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= x = 3 x 10 = 30 Raíz n-enesima de un cocienteLa raíz n-enesima de un cociente es igual al cociente de las raíces n-enesimas de cada uno de los factores. = = = 4 2 = 2
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Cuando la cantidad subradical de una raíz indicada esta relacionada con los números 0 y 1 se determinan propiedades como:
• Raíz n-enesima de 1La raíz n-enesima de 1, da como resultado 1= 1
• Raíz n-enesima de 0La raíz n-enesima de 0, da como resultado 0= 0
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LOGARITMACIONLos logaritmos fueron ideados antes de las computadoras actuales que permiten realizar operaciones con números muy grandes o muy pequeños. El logaritmo simplifica el cálculo siempre y cuando no contemos con una calculadora científica. A medida que se analizaron más y más los logaritmos se fueron ideando muchas propiedades que simplifican aun más el cálculo. Es verdad que muchos de dichos cálculos se pueden hacer actualmente con la ayuda de las computadoras. Pero en algunas ocasiones se encontrarán explicaciones de ciertos temas utilizando logaritmos y no podremos entenderlas a menos que tengamos una base sólida en el tema.
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La logaritmación es otra operación inversa a la potenciación que permite hallar o encontrar el exponente, cuando se conoce la base y la potencia. Loga b=n si y sólo si an = b
La anterior expresión se lee: Logaritmo en base a de b, es igual a nLa logaritmación se simboliza con las letras: Log y se lee Logaritmo.
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Ejemplos
4 = 16 en logaritmación Log4 16 = 2 porque 42 =
4.4 = 16
3 = 81
2 = 64
2
4
6
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TERMINOS DE LA LOGARITMACION
Loga b=n
Base del logaritmo
Numero total
Logaritmo
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En la anterior expresión: Loga b=n
a recibe el nombre de base del logaritmo y es el número que elevado al exponente o logaritmo da el numero total, b recibe el nombre de numero total, que puede ser cualquier numero natural y n recibe el nombre de Logaritmo, que es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener el numero total.La expresión 53 = 125, en logaritmación se puede escribir como Log5 125 = 3
donde 5 es el la base del logaritmo, 125 es el numero total, y 3 es el logaritmo.
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• Para calcular un logaritmo, se multiplica la base por si misma tantas veces sea necesario hasta obtener la potencia o numero total
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RELACION ENTRE LOS TERMINOS DE LA POTENCIACION Y LOS
TERMINOS DE LA LOGARITMACION