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Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Integral Definida Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
Aplicaciones de la Integral Definida (Teoría y Ejercicios Resueltos) Página 1 de 64
Documento elaborado por: Julio César López Zerón
Cálculo I Integral – agosto 2014, 6ªEd
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El documento presentado a continuación tiene como objetivo fundamental, brindar a los
estudiantes el apoyo necesario para facilitar su entendimiento y comprensión analítica sobre el
tema relacionado con la integral definida y sus aplicaciones.
Ésta guía metodológica cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de
los temas que posiblemente serán evaluados en el segundo examen parcial, además, se establece
que en ningún momento este trabajo de recopilación pretende reemplazar el libro de texto y
mucho menos, proporcionar un formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en
determinado examen; fundamentalmente se hace ésta aclaración para evitar especulaciones y
conjeturas desacertadas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo I Integral,
dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes textos de
Cálculo, así como guías, exámenes, pruebas y otros documentos similares tanto de universidades
nacionales como de universidades extranjeras, que a criterio del catedrático, generan un valor
agregado en el conocimiento de los futuros profesionales de la ingeniería.
Espero que este material complementario redactado en el formato más didáctico posible, sea del
agrado de los lectores y agradeceré las observaciones y sugerencias que me puedan facilitar y/o
potenciar el mejoramiento progresivo del trabajo realizado, las mismas pueden ser enviadas a la
dirección: [email protected]
Atentamente.
Julio César López Zerón Ingeniero Civil CICH4363
Máster en Administración de Proyectos Máster en Dirección Empresarial
Catedrático Facultad de Ingenierías Universidad Tecnológica Centroamericana (UNITEC)
Tegucigalpa M.D.C.; Honduras, C.A.
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Contenido Capítulo I: Cálculo de Áreas Planas ......................................................................... 5 Capítulo II: Cálculo de Sólidos de Revolución ....................................................... 17
II.1.-) Método de los Discos y Arandelas ............................................................ 19
II.2.-) Método de los Cascarones Cilíndricos ...................................................... 23
II.3.-) Método de las Secciones Planas Conocidas ............................................. 47 Capítulo III: Longitud de Curva ............................................................................. 52 Capítulo IV: Integrales Impropias ......................................................................... 57
IV.1.-) Integrales con Integrandos no Acotados ................................................ 57
IV.2.-) Integrales con Intervalos de Integración de Longitud Infinita .............. 60
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CapítuloI:CálculodeÁreasPlanas
Figura No.1A – Región limitada por f(x) & g(x) en [a,b]
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Tomando como referencia la figura No.1A y 1B, tenemos una región limitada por las curvas y=f(x) e y=g(x), donde ambas son funciones continuas definidas en (a,b) con f(x)≥g(x) para cada x en (a,b). Para calcular su área se considera por separado las áreas limitadas por y=f(x) & y =g(x), motivo por el cual, el área limitada por dichas funciones en el intervalo presentado esta definido por:
ba
dxxgxfA
Y en el caso contrario, de acuerdo a los esquemas planteados en la figura No.1B, si las curvas que limitan la región son funciones de “y”, por ejemplo x=f(y), x=g(y) definidas en (c,d) con f(y)≥g(y), entonces el área de la región viene dada por:
dc
dyygyfA
Figura No.1C – Región limitada por f(y) & g(y) en [c,d]
Figura No.1B – Desglose de cálculo para región limitada por f(x) & g(x) en [a,b]
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Básicamente el concepto de área entre curvas utilizando el apoyo de integrales definidas, se podría resumir de la siguiente forma: A continuación se presenta un resumen gráfico del proceso matemático relacionado con el cálculo de un área plana entre curvas;
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Ejemplo No.1.1 Determinar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones
4x5
2x52y
192x
y2
24
1
2
b
a
u27235dx1
92x
52x5
2A
dxhA
xhdA
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejemplo No.1.2 Determinar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones
5xy
13xy
1x22xy
2
24
3
23
0
2
b
c 2c
a 1T
u349
3316dx1x22
x5xdx1x22x13
xA
dxhdxhA
xhdA
h
dx
h2h1
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Ejemplo No.1.3 Determinar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones
2xyxy2
21
22
d
c
u29dyyy2A
dyhA
yhdA
--------------------------------------------------------------------------------------------------
h
dy
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Ejemplo No.1.4 Determinar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones
23x;2x
xxseny
2
23
00
2
23
0
0
2
23
2
b
d 3d
c 2c
a 1T
u2211A
xcosxxsenxcosxxsenxcosxxsenA
xsenxcosxdxxcosxcosxxcosvdxdudxxsendvxu
dxxxsen
dxxxsen0dx0xxsendx0xxsendxxfA
dxhdxhdxhA
x;0x0arcsenx0xsen
0xsen;0x0xxsen
Figura No.5 – Región del Ejemplo 1.4
h1 h2
h3
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Ejemplo No.1.5 Determinar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones
2x;0xxcosyxseny
2T
2
45
45
4
40T
2
45
45
4
40T
b
d 3d
c 2c
a 1T
u24122212A
xcosxsenxsenxcosxcosxsenA
dxxsenxcosdxxcosxsendxxsenxcosA
dxhdxhdxhA
45x
4x1arctanx1xtan1
xcosxsen
xcosxsen
Figura No.6 – Región del Ejemplo 1.5
h1
h2 h3
dx
dx dx
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Ejemplo No.1.6 Determinar el área de la región “R” limitada una elipse de semieje mayor a=3, semieje menor b=2 y centro en el origen.
22
0
2
0
2
0
22
0
2
3
0
23
0
2b
a
2
22
u849.182sen2112d2cos112dcos24dcos3cos8
21arcsen1sensen333x,eriorsuplímite
00arcsen0sensen300x,eriorinfitelimsen3xsi
iablevarlaaregresardebeseylímiteslosmantienensecontrariocaso,originaliablevarlaaregresarquetenernoparaegraciónintdelímitesloscambiarrecomiendaseiablevardecambiounhacerAl
dcos3dx
cosx911sen3x
dxx9118dxx9
1124dxh4A
.planteadaegralintla4pormosmultiplica,total
áreaelencontrarparayelipselade41undeáreaelestoconcalculando,3y0entreegrarlointe
yhdetípicorectánguloeltomarpodemosrsimplificapara,elipseladesimetríaladevistaEn*
x9112yresultadocomodando,"y"iablevarlapara
despejarnecesitase,verticalescostípisrectánguloconostrabajaremComo
14y
9x
brindadasticascaracterislasconelipseunadeEcuación
h=y h=2y
=y - (-y) =2y
+y
-y
Figura No.7 – Región del Ejemplo 1.6
h=-y
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Ejemplo No.1.7 Determinar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones
3xy
3,0Ppuntoelengentetanrectasu&3x4xy 2
2
2
2.1232.1
032
2.122.1
02
2
2.122.1
02
2
2.122.1
02b
c 2c
a 1
22
222
1111
u0667.1490667.0576.0A
x6x25x3
1x31dx6x5xdxxA
dx3x4x3xdx3x4x3x4A
dx3x4x3xdx3x4x3x4dxhdxhA
3,0P0x0x3x43x4x).3
8.1,2.1P59,5
6P56x06x503x3x43x3x4).2
1,2P2x02x0,3P3x03x
06x5x06x5x3x3x4x).1
curvasentrecortedePuntos
3x4y304x4yymxmxyxxmyy40'f4x2x'f
TangentectaRe
Figura No.8 – Región del Ejemplo 1.7
h1
h2
y=4x-3y=-x+3
y=-x2+4x-3
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Ejemplo No.1.9 Determinar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones
2expuntoelengentetanrectasuy;4y;0x;xlny
Figura No.9 – Región del Ejemplo 1.9
y = ln(x)
y = e-2x+1
P(e-4,-4)
P(e2,2)
P(e-4,-4)
Figura No.10 – Ampliación Ejemplo 1.9
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2
e
e
e
e
22
e
0
22
e
e
e
e2e
02
e
e2e
02
22
4
22
222211
112
22
22
und6763.34806.7065.110916.0A
xxlnxx2x
ex52x
eA
egralintúltimaenpartesaplicardxxlndx1xedx5xeA
dxxln1xedx41xeA
genciatandepuntoeleseporque;exesfuncionesdoséstasentreunióndepuntoel1xexln).2
ex4xln).1
curvasentrecortedePuntos
1xey21e
xyelneexeyymxmxy
xxmyypendientedefórmulaUtilizar;ee
1e'fx1x'fxlnxf
eln,ePenTangentectaRe
2
4
2
4
4
2
4
2
4
4
2
4
4
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CapítuloII:CálculodeSólidosdeRevolución Sea f una función definida en el intervalo [a,b], recibe el nombre de sólido de revolución, el sólido generado al girar alrededor del eje X, la región limitada por la gráfica y=f(x), el eje X y las gráficas de x=a y x=b. El eje X es un eje de simetría de dicho sólido (ver figura No.12). Para determinar el volumen de ese tipo de sólidos, se seguirá un procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el volumen de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.
Figura No.12 – Sólido de Revolución
Figura No.11 – Ejemplos de objetos cotidianos cuya elaboración parte de Sólidos de Revolución
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Ahora, si se consideran dos funciones f y g continuas en el intervalo cerrado (a,b), tales que f(x)≥g(x) para x ϵ (a,b). Sea R la región del plano (ver figura No.13) limitada por las curvas con ecuaciones y=f(x), y=g(x) y las rectas con ecuaciones x=a, x=b. Se desea determinar el volumen V del sólido de revolución generado al girar la región R alrededor del eje X. El sólido generado se muestra en la figura No.14.
Figura No.13 – Región de giro
Figura No.14 – Sólido de revolución generado
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II.1.‐)MétododelosDiscosyArandelas
Figura No.14 – Sólido generado por el Método de Discos
Figura No.15 – Sólido generado por el Método de Arandelas
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Figura No.16 – Esquema típico de secuencia para calcular el volumen de una esfera
Figura No.17 – Introducción gráfico/conceptual del Método de Discos para trabajar con sólidos de revolución
Figura No.18 – Introducción gráfico/conceptual del Método de Arandelas para trabajar con sólidos de revolución
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Método de los Discos para Sólidos de Revolución
Figura No.19 – Método de los Discos con eje de revolución horizontal (funciones
e integral en términos de “x”)
Figura No.20 – Método de los Discos con eje de revolución vertical (funciones e integral en términos
de “y”)
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Método de las Arandelas para Sólidos de Revolución Suponga que una región está acotada por las curvas y=f(x) e y=g(x), que su proyección sobre el eje X es el intervalo a x b donde f(x) g(x). Dicha región girará alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de coordenadas X, para generar un sólido hueco (ver figura No.15) llamado sólido de revolución. La sección transversal del sólido correspondiente al intervalo (a,b) es una arandela o circulo, según sea el caso, cuya área es: 22 xrxRxA
Donde R(x) (radio mayor o exterior) y r(x) (radio menor o interior) son respectivamente las distancias de los puntos (x, f(x)) y (x, g(x)) al eje de rotación. El volumen del sólido viene dado por:
ba
22 dxxrxRV
De forma similar, si la región esta acotada en términos de y, el volumen del sólido generado es:
ba
22 dyyryRV
R
r
Figura No.21 – Método de las Arandelas para un eje de revolución horizontal (funciones e integral en términos de “x”)
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II.2.‐)MétododelosCascaronesCilíndricos
Figura No.22 – Descripción Método de Cascarones Cilíndricos
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Consideremos una región plana limitada por las curvas y=f(x), y=g(x) con f(x) g(x) para cada x ϵ (a,b) y supongamos que ésta gira alrededor de una recta paralela al eje Y. Tomemos una banda de ancho dx (ver figura No.22) dentro de la región y paralela al eje de giro, haciéndola girar alrededor del eje de revolución se genera una capa cilíndrica de radio promedio r(x), ancho dx y altura h(x)=f(x)-g(x). El diferencial de volumen de la capa cilíndrica es aproximadamente:
dxxhxr2dV
Donde r(x) es la distancia de la banda cilíndrica al eje de giro y h(x) es su altura. Integrando respecto de x con a x b se obtiene el volumen del sólido que genera la región cuando rota alrededor del eje de revolución:
ba
dxxhxr2V
De forma similar, si la región esta acotada en términos de y, el volumen del sólido generado es:
dc
dyyhyr2V
Figura No.23 – Método de Cascarones con eje de revolución vertical (funciones e integral en términos de “x”)
Figura No.24 – Método de Cascarones con eje de revolución horizontal (funciones e integral en términos de “y”)
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Resumen Gráfico/Conceptual de los Métodos Estudiados para Cálculo de Volúmenes
Figura No.25 – Método de DISCOS con eje de rotación horizontal (integral en términos de “x”)
Figura No.26 – Método de ARANDELAS con eje de rotación horizontal (integral en términos de “x”)
Figura No.27 – Método de CASCARONES con eje de rotación vertical (integral en términos de “x”)
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Aplicaciones de la Integral Definida (Teoría y Ejercicios Resueltos) Página 26 de 64
Ejemplo General No.2.1 (Método de Discos-Arandelas) Determinar el volumen del sólido creado al girar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones
4yrevolucióndeeje;03yx;6x3xy 2 (Recomendable utilizar arandelas)
Figura No.28 – Área plana y sólido de revolución para
ejemplo 2.1
y=-4
-4
ri re x+y-3=0
y=-x2-3x+6
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3
1
3
2345
1
32341
3
234
2223234
222
222
222
2
2
2
u5024,1
5024,1
10791,1
10257
x51x23x4x23x5
1
dx51x46x12x6xdxxAV
51x46x12x6x
xx1449100x30x10x30x9x3x10x3x
xx144910x3x10x3x
x710x3x
4x346x3xxA
1x;3x1x3x03x2x0
6x3xx30
x36x3x
cortedePuntos
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Ejemplo General No.2.2 (Método de Cascarones Cilíndricos) Determinar el volumen del sólido creado al girar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones
7yrevolucióndeeje;19y
25x
22 (Recomendable utilizar cascarones cilíndricos)
Figura No.29 – Área plana y sólido de revolución para
ejemplo 2.2
Importante: El método de cálculo utilizado es cascarones cilíndricos, el esquema 3D está hecho con arandelas porque el programa utilizado no posee la función de elegir método para calcular el sólido.
y=7
7 radio de
giro rg=7-y
y
x-x
x-(-x)=2x
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32
3
3
23
2232
3
32
32
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
32
3
323
323
32
22222
und210/R
0y9113Cu3
22
9duu29
ydydu29ydy9
2du
y911u
dxy911y
und2102cos2sen22cos2sen2210
cossen210
2sen21210
d2cos12420
dcos3140
dcos3cos140
21arcsen1sensen33
21arcsen1sensen33
dcos3dx
cosy911sen3x
dyy911140
dyy911y20dyy9
11140dyy91110y72V
y7revolucióndeEje
y91110x2alturay9
115x9y
125x19y
25x
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Ejemplo General No.2.3 (Método de Discos-Arandelas) Determinar el volumen del sólido creado al girar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones
Xrevolucióndeeje;0x;xy;xy 3
3
1
0
73
1
0621
0
62
232
u598.0V21
47
13
1V
x71x3
1V
dxxxdxxAV
xx
0x0xxA
y=x y=x3
ri
re
y=0
Figura No.30 – Área plana y sólido de revolución para
ejemplo 2.3
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Ejemplo General No.2.4 (Método de Discos-Arandelas) Determinar el volumen del sólido creado al girar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones
xER;x5y;x41y 22
3
2
0
53
2
042
2
242
2
2
442
2222
u307.184V3
1766380502V
x163x3
10x252V
dxx1615x10252V
dxx1615x1025V
dxxAV
x161xx1025A
0x410x5xA
Figura No.31 – Área plana y sólido de revolución para
ejemplo 2.4
y=5-x2
y=1/4x2
ri
re
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Ejemplo General No.2.5 (Método de Discos-Arandelas) Determinar el volumen del sólido creado al girar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones
1yER;3y;xsec1y
3
30
30
2
3
3
2
3
3
2
22
u436.153342V
03342V
xtanx42V
dxxsec42V
dxxsec4V
dxxAV
xsec4xA
1xsec113xA
Figura No.32 – Área plana y sólido de revolución para
ejemplo 2.5
re
1
3 ri
y=3 y=1+sec(x)
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Ejemplo General No.2.6 (REPASO sobre Método de Discos-Arandelas) Determinar el volumen del sólido creado al girar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones
0yER).1.6.2;x2y;xy 2
32
0
222 und1564
dx0x0x2V
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1yER).2.6.2;x2y;xy 2
32
0
222 und15104
dx1x1x2V
re
y=2x
riy=x2
re
y=2x
ri
y=x2
-1 y=1
Figura No.33 – Área plana para el sólido de revolución, ejemplo 2.6.1
Figura No.34 – Área plana para el sólido de revolución, ejemplo 2.6.2
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4yER).3.6.2;x2y;xy 2
32
0
222 und532dxx24x4V
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0xER).4.6.2;x2y;xy 2
34
0
22und
38
dy02y0yV
re
y=2x
ri
y=x2
4
y=4
re
y=2x
ri
y=x2
Figura No.35 – Área plana para el sólido de revolución, ejemplo 2.6.3
Figura No.36 – Área plana para el sólido de revolución, ejemplo 2.6.4
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3xER).5.6.2;x2y;xy 2
34
0
22
und3
16dyy32y3V
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2xER).6.6.2;x2y;xy 2
34
0
22und8dy22
y2yV
re
y=2x
ri
y=x2
x=3
3
re
y=2x
ri y=x2
x=-2
-2
Figura No.37 – Área plana para el sólido de revolución, ejemplo 2.6.5
Figura No.38 – Área plana para el sólido de revolución, ejemplo 2.6.6
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Ejemplo General No.2.7 (Método de Discos-Arandelas) Determinar el volumen del sólido creado al girar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones
1yER;0y;0x;e,2Pengentetanrectasuyey 2x
2
2
12222xx21
0xx2
2
1
2222x1
0
22x
c
b 2b
a 1
22x
x
2222
22x
2222211
112xx
2
und947.431148.238322.20V
dx1exe1exee2edxe2eV
dx)1(exe)1(edx)1(0)1(eV
dxhdxhV
exeydearribaporestáey,2x1enademás;0ydearribaporestá
eycurvala1x0enporque,porcionesdosentrabajasevolumendeegralintLa
1xexe0exe).2
genciatandepuntoeleseporque;2xesfuncionesdoséstasentreunióndepuntoelexee).1
curvasentrecortedePuntos
exeye2exeyymxmxy
xxmyypendientedefórmulaUtilizar;e2'fex'fexf
e,2PenTangentectaRe
y=ex
-1
h1
h2
y=e2x-e2
Figura No.39 – Área plana para el sólido de revolución, ejemplo 2.7
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Ejemplo General No.2.8 (Método de Cascarones Cilíndricos) Determinar el volumen del sólido creado al girar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones
1xER;0y;0x;e,2Pengentetanrectasuyey 2x
2
2
122x1
0x
2
122x1
0x
c
b 22b
a 11
22x
x
2222
22x
2222211
112xx
2
und9512.30872.13079.17V
dx1xexee2dx1xe2V
dx1xexee2dx1x0e2V
dxrgh2dxrgh2V
exeydearribaporestáey,2x1enademás;0ydearribaporestá
eycurvala1x0enporque,porcionesdosentrabajasevolumendeegralintLa
1xexe0exe).2
genciatandepuntoeleseporque;2xesfuncionesdoséstasentreunióndepuntoelexee).1
curvasentrecortedePuntos
exeye2exeyymxmxy
xxmyypendientedefórmulaUtilizar;e2'fex'fexf
e,2PenTangentectaRe
y=ex h1
h2
y=e2x-e2
Figura No.40 – Área plana para el sólido de revolución, ejemplo 2.8
-1
x
x
radio de giro (rg1) = x-(-1)
radio de giro (rg2) = x-(-1)
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Ejemplo General No.2.9 (Método de Cascarones Cilíndricos) Determinar el volumen del sólido creado al girar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones
0xER;0y;1xxy 2
2
1
022
1
0
2
b
a
und151
V
dx1x2xx2V
dxx01xx2V
dxrgh2V
y=x(x-1)2
h
radio de giro (rg)=x
y=0
x=0
Figura No.41 – Área plana para el sólido de revolución, ejemplo 2.9
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Ejemplo General No.2.10 (Método de Arandelas) (REFERENCIA EJERCICIO 1.7) Determinar el volumen del sólido creado al girar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las siguientes funciones alrededor de la recta y = – 4
3xy
3,0Ppuntoelengentetanrectasu&3x4xy 2
3
2
2.1
2222.1
0
222
22i
e
22i
e
2
2.12
i2
e2.1
02
i2
e
und75736v
dx1x4x7xdx1x4x1x4V
1x4x43x4x2r
7x43x2r
1x4x43x4x1r
1x443x41r
dx2r2rdx1r1rV
Figura No.42 – Área plana para el sólido de revolución, ejemplo 2.10
h1
h2
y=4x-3y=-x+3
y=-x2+4x-3
re1
ri1
re2
ri2
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Ejemplo General No.2.11 (Método de Cascarones) (REFERENCIA EJERCICIO 1.7) Determinar el volumen del sólido creado al girar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las siguientes funciones alrededor de la recta x = – 4
3xy
3,0Ppuntoelengentetanrectasu&3x4xy 2
3
2
2.122.1
02
22
22
2
2.1
2.1
0
und75824v
dx6x5x4x2dxx4x2V
6x5x3x4x3x2h
4x4x2rg
x3x4x3x41h
4x4x1rg
dx2h2rg2dx1h1rg2V
Figura No.43 – Área plana para el sólido de revolución, ejemplo 2.11
h1
h2
y=4x-3y=-x+3
y=-x2+4x-3
x
rg1
x=-4
rg2
x
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Ejemplo General No.2.12
Esquemas Gráficos Detallados y Resumen Final de Casos Típicos Cálculo de Áreas Planas entre Curvas
Cálculo de Sólidos de Revolución → Arandelas y Cascarones Cilíndricos Ejercicio Resuelto No.2.12.1 Determinar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones presentadas;
5xy
13xy
1x22xy
2
2
4
3
23
0
2
b
c 2c
a 1T
u349
3316A
dx1x22x5xdx1x22
x13xA
dxhdxhA
xhdA
h1
h2
dx
dx
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Ejercicio Resuelto No.2.12.2 Determinar el volumen generado en la rotación del área limitada por las gráficas de las ecuaciones presentadas y alrededor de la recta y = 5
5xy
13xy
1x22xy
2
3
4
32
22
3
0
222
b
c22c
a22
T
u15988V
60673
201093V
dx5x51x22x5
dx13x51x22
x5V
dx2ri2redx1ri1reV
h1h2
re1
ri1
re2
ri2
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Ejercicio Resuelto No.2.12.3 Determinar el volumen generado en la rotación del área limitada por las gráficas de las ecuaciones presentadas y alrededor de la recta y = -5
5xy
13xy
1x22xy
2
3
4
3
222
3
0
222
b
c22c
a22
T
u5404V
20309
201307V
dx51x22x55x
dx51x22x513
xV
dx2ri2redx1ri1reV
h1h2
re1 ri1
re2
ri2
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Ejercicio Resuelto No.2.12.4 Determinar el volumen generado en la rotación del área limitada por las gráficas de las ecuaciones presentadas y alrededor de la recta x = 0
5xy
13xy
1x22xy
2
3
4
3
23
0
2
b
c 22c
a 11T
u392V
2410728
872V
dx1x22x5xx2dx1x22
x13xx2V
dxhrg2dxhrg2V
h1h2
rg2=x
x
x
rg1=x
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Ejercicio Resuelto No.2.12.5 Determinar el volumen generado en la rotación del área limitada por las gráficas de las ecuaciones presentadas y alrededor de la recta x = 5
5xy
13xy
1x22xy
2
3
4
3
23
0
2
b
c 22c
a 11T
u3128V
245328
1532V
dx1x22x5xx52dx1x22
x13xx52V
dxhrg2dxhrg2V
h1h2
rg2=5-x
x
x
rg1=5-x
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Ejercicio Resuelto No.2.12.6 Determinar el volumen generado en la rotación del área limitada por las gráficas de las ecuaciones presentadas y alrededor de la recta x = -2
5xy
13xy
1x22xy
2
3
4
3
23
0
2
b
c 22c
a 11T
u60V
85728
1832V
dx1x22x5x2x2dx1x22
x13x2x2V
dxhrg2dxhrg2V
h1h2
x
x
rg1=x-(-2)
rg2=x-(-2)
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II.3.‐)MétododelasSeccionesPlanasConocidas Si se corta un sólido transversalmente con un plano perpendicular al eje X que pase por un punto x entre “a” y “b”, se obtiene un corte del sólido denominado sección transversal del sólido. Supongamos que el área de la sección es una función A(x) que varía continuamente con x, donde x ϵ (a,b). Así se tiene la siguiente definición: Sea un sólido que se proyecta en el eje X desde x=a hasta x=b. Si A(x), con a x b, es el área de la sección transversal del sólido correspondiente al punto x, entonces el volumen del sólido es:
ba
dxxAV
Figura No.44 – Esquema de un volumen y su sección transversal conocida
Figura No.45 – Esquema de un volumen y su sección transversal conocida
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Ejemplo General No.2.3 Calcular el volumen del sólido de forma piramidal, cuya base es un triángulo rectángulo isósceles de cateto “a” y de sección en forma triangular semejante a la base, el sólido tiene altura “h”.
32
3332
2h
0
3222
2
h
022
2
2h
0 2
22h
02
2
h
0
u6ha
h31hh
h2a
y31hyyh
h2a
dyyhy2hh2a
dyh
yh2a
dyx21V
hyha
xha
yhx
semejantetriángulohastapirámidedebaseladesdealturay
pirámidedealturahsemejantetriángulodeladoxtriangularbasedeladoa:sea
x21xx2
1bh21isóscelestriánguloA
dy)y(AV
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Figura No.46 – Sólido y sección plana conocida para el ejemplo 2.3
Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Integral Definida Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
Aplicaciones de la Integral Definida (Teoría y Ejercicios Resueltos) Página 49 de 64
Ejemplo General No.2.4 La base de un sólido es un triangulo rectángulo isósceles de lado “a”. La sección del sólido es un semicírculo cuyo plano que lo contiene es perpendicular a uno de los lados de este triángulo y la base.
3
2333a
0322
a
022a
02a
02
22
2
a
0
u12a
a31aa
4x3
1axxa4
dxxax2a4
dxxa4
dxy4V
xay0ax1y1a00amhipotenusacomosirvequectaRe
y42yrdiámetroes"yeje"dondesemicirculdelArea
dxosemicírculáreadx)x(AV
Figura No.47 – Sólido y sección plana conocida para el ejemplo 2.4
Figura No.48 – Plano XY donde se desplazan los semicírculos, la franja vertical sombreada representa un semicírculo viendo la figura No.47 desde arriba o en dirección al eje Z
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Ejemplo General No.2.5 La base de un sólido es la región acotada por y = x2, y = 4; la secciones transversales son triángulos rectángulos isósceles cuya hipotenusa está en el plano XY, su plano es perpendicular al plano XY.
34
0
24
0
4
02
2
4
0
u82y
ydydyxV
º45deánguloelconricastrigonométrelacionestrabajarpuedeseoespecialteoremaconencontrada"h"altura
x2xxseríafórmulaladonde1.nofiguralaenrojocolordegruesalíneaconresaltadaciatandislareferenciacomotomandocalculada"b"base
xxx221bh2
1triánguloA
dytriánguloáready)y(AV
Figura No.51 – Sólido y sección plana conocida para el ejemplo 2.5
Figura No.50 – Triángulo rectángulo isósceles que representa la sección plana conocida
Figura No.49 – Plano XY donde se desplazan los triángulos, la línea horizontal resaltada representa un triángulo viendo la figura No.51 desde arriba o en dirección de eje Z
-x x
x-(-x)=2x
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CapítuloIII:LongituddeCurva En matemáticas, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos. Siguiendo el esquema de procedimientos para determinar áreas de regiones planas y volúmenes de sólidos de revolución, se hacen infinitas particiones de la curva y se establece una suma infinita. La longitud del diferencial ds, está dada por:
22 dydxds 1) Si y=f(x), entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma:
dxx'f1dxdxdy
1dxdx
dydxdx
dxdydx
ds 22
2
2222
Finalmente; ba
2dxx'f1L
2) Si x=f(y), entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma:
dyy'f1dxdydx
1dydy
dydxdy
dydydx
ds 22
2
2222
Finalmente; dc
2dyy'f1L
Figura No.52 – Esquema del fragmento de una curva y su partición diferencial
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Ejemplo No.3.1
.l.u254.52401261
807
631
101
61
801
632x10
1x61
dxx103
x65
dxx103
x65
L
x103
x65
x1009
21x
3625
x1009
21x
3625
1dxdy
1
x103x6
5dxdy
x101
6xy
2x1;x10
16
xy
2
1
35
2
1442
1
244
244
88
882
443
5
35
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejemplo No.3.2
.l.u667.103
323
642
1
38242
11213232273
22
1y2y32
21
dyy21
y21
dyy21
y21
L
y21
y21
y41
21y
41
y41
21y
41
1
y21y2
11dydx
1
y21y2
1dydx
yy31x
9y1;3yy31x
9
1
21
23
9
12
12
19
1
22
12
1
22
12
11
1
22
12
12
21
21
21
23
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Ejemplo No.3.3
.l.u2x2dxx
1dx
x1
L
x1
xx1
1x
x11
dxdy
1
xx1
xx1
x1x
1x1x
x1x1x2
x12x1x2
x22x1x2
1x1x2
x21
x1x21
xx2
x21dxdy
xarcsenxxy
1x0;xarcsenxxy
10
1
0
1
0
22
211
2
2
2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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Ejemplo No.3.4
.l.u0035.2
1sec1sec
ln21sec
1w1w
ln21w
1wln211wln2
1wdw1w2
11w2
1dw
21B
21A
1BA0BA
1w1wBABAw
1w1w1wB1wA
1wB
1wA
1w1wdw
dwdw1w1w
11
1
1w0w
1w1w1
11w
11
11w0w0w0wdw
1ww
dtansecdwsecw
d1sectansecsec
dtan
tansecsec
dtantan
tansec
dtan
secdsec
tansec
dsecdu
80.69eu451u
uarctantanusecu1tanu
duu
u1
ududx
eu1x1u0x
euulnxeudxe1L
e1e1dxdy
1edxdy
ey
1x0;ey
80.69
45
2
2
22
2
2
80.69
45 2
280.69
45 2
2
80.69
45
380.69
45
380.69
452
2
2
e
1
2
xx1
0x2
x22x2
xx
x
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CapítuloIV:IntegralesImpropias Anteriormente se afirmó que si la función f(x) es continua y positiva en el intervalo [a,b] con a y b finitos, entonces:
ba
dxxf
Representa el área bajo la curva, usando el Teorema Fundamental del Cálculo para poder obtener su valor numérico. Sin embargo, en muchas aplicaciones, físicas o matemáticas, se formulan integrales donde no se cumplen ciertas condiciones expuestas anteriormente. A continuación se describen algunas de ellas: a) El integrando f(x) es tal que
xflim
rx con r ϵ [a,b], tomando límite lateral de ser el caso.
b) El intervalo de integración no es finito, por ejemplo:
1. [a, +∞) 2. (-∞,a] 3. (-∞, ∞
Las integrales con alguna de las condiciones anteriores se conocen con el nombre de Integrales Impropias. En general, la técnica es transformar la integral impropia en un límite con una integral definida sobre un intervalo finito donde se pueda aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo. IV.1.‐)IntegralesconIntegrandosnoAcotados Caso No.1 Si f(x) es continua en [a,b) y
xflim
bx , entonces
rabr
ba
dxxflimdxxf
Figura No.53 – Figura del Caso No.1 sobre Integrales con Integrados no Acotados
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Caso No.2 Si f(x) es continua en (a,b] y
xflim
ax , entonces
brar
ba
dxxflimdxxf
Caso No.3 Si f(x) es continua en [a,b] excepto en r ϵ (a,b), donde se tiene
xflim
rx , entonces
br
ra
ba
dxxfdxxfdxxf
En los casos 1 y 2, si los límites existen y son finitos se dirá que la integral impropia de la izquierda converge, en caso contrario divergen. En el caso 3, si las integrales impropias de la derecha convergen ambas, se dirá que la integral impropia de la izquierda converge; si alguna de las integrales impropias de la derecha diverge se dirá que la integral impropia de la izquierda diverge. Ejemplo No.4.1 Calcule la siguiente integral impropia
econvergent333
w1333lim3w13limx13limx13lim
x1
dxlim
x1
dxlim
x1
dx
x1
dx
izquierdalaporcomoderechalaportotan,1xaacercarnosdebemosporquepartesdosenegralintladividirdebemosqueasí
egrandointelaminerdetinporqueprohibidovalorunes1x,casoesteen;x1
dx
3
33
1w
3
1ww
43
1w0
w3
1w
4
w3
21w
w
03
21w
4
13
2
1
03
2
4
03
2
Figura No.54 – Figura del Caso No.2 sobre Integrales con Integrados no Acotados
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Ejemplo No.4.2 Calcule la siguiente integral impropia
divergente202lim
0arcsenwarcsenlimxarcsenlimx1
dxlim
x1
dx
1w
1w0
w
1w
w
0 21w
1
0 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ejemplo No.4.3 Calcule la siguiente integral impropia
divergenteestotalegralintla,divergenteesIComo
divergente04
ln1ln41
1151
ln1u5u
lnlim41
1x5x
lnlim41
C1x5x
ln41C1xln4
15xln41dx
1x4
1
5x4
1dx
1x5x1
41B4
1A
1B5A0BA
1x5xB5ABAx
1x5xB5BxAAx
1x5x5xB1xA
1xB
5xA
1x5x1
dx1x5x
1
dx1x5x
1limdx
1x5x1
dx1x5x
1dx
1x5x1
dx1x5x
1dx
5x6x1
1
1u
u
11u
u
01u
1
0
3
1
1
0
3
0
3
0 2
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Ejemplo No.4.4 Calcule la siguiente integral impropia
)divergemte(e1e1
ln21
02
ln21
e1e1
ln21
1111
ln21
e1e1
ln21
e1e1
ln21
e1e1
ln21
e1e1
ln21
lime1e1
ln21
lim
e1e1
ln21
limee
dxlim
eedx
:Entonces
dxedu
eu
Ce1e1
ln21
Cu1u1
ln21
1udu
dx1e
e
dx1e
eee
eedx
eedx
0
0
w
w
0w1
1
0w
w
1
x
x
0w
1
w xx0w
1
0 xx
x
x
x
x
2x2
x
1
0 x2
x1
0 x
x
xx
1
0 xx
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ IV.2.‐)IntegralesconIntervalosdeIntegracióndeLongitudInfinita Caso No.1
Si f(x) es continua en [a,+∞) entonces:
wawa
dxxflimdxxf
Caso No.2
Si f(x) es continua en (-∞, a] entonces:
aww
a dxxflimdxxf
Caso No.3
Si f(x) es continua en (-∞, +∞] entonces:
a
a dxxfdxxfdxxf
En los casos 1 y 2, si los límites existen y son finitos se dirá que la integral impropia de la izquierda converge, en caso contrario diverge. En el caso 3, si las integrales impropias de la derecha convergen ambas, se dirá que la integral impropia de la izquierda converge, en caso contrario diverge.
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Ejemplo No.4.5 Calcule la siguiente integral impropia
econvergent088
20arctan
2warctan
lim2
warctan2
0arctanlim
2xarctan
lim2
xarctanlim
dx1x
xarctanlimdx
1x
xarctanlim
dx1x
xarctandx
1x
xarctan
dx1x
xarctan
22
22
w
22
w
0
w2
ww
02
w
w
0 2w
0
w 2w
0 2
0
2
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejemplo No.4.6 Calcule la siguiente integral impropia
e1
e1lim
0e1
limH'Lew
limwelimlímitesdesolución
econvergente1
e10e
1limwelim
ee11limeew1lim
eex1lim
eex1dxeex1Ievdxdu
dxedvx1udxex1
dxex1limdxex1
w
wwww
w
w
w
w
w
11
w
ww
w
1
wxx
w
xxxxx
xx
w
1x
w1x
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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Ejercicios Misceláneos de Repaso para los diferentes casos de Integrales Impropias Ejemplo No.4.7
econvergent;1eI
1e0101ucosulimusen
ulim
usenucosu
limu
usenucos
limH'Lu
usenlnlimI.F
u1
usenlnlim
I.F0usenlnulimeelimI
eelimI
elimelimeelimelim
dxxsenlnxcotxxsenlim
Ceedwe
dxxcotxxsenlndw'xsenlnxxsenln'xdw
xsenlnxw
dwedxxsenlnxcotxe
dxxsenlnxcotxxsen
eA
xsenlnxAlnxsenlnAln
xsenA
dxxsenlnxcotxxsen
dxxsenlnxcotxxsenlimI
totanlopor,0tipodel.I.Funaproduce)egraciónintdeeriorinfpunto(0x
dxxsenlnxcotxxsen).1
2722.0
0
0u0u
2
0u20u10u0u
0u
usenlnulimusenlnu
0uB
2722.04senln40u
A
usenlnu
0u4senln4
0u
usenlnu4senln40u
4u
xsenlnx
0u
4u
x
0u
xsenlnxww
wxsenlnx
x
xsenlnx
x
x
x
4u
x
0u
0
40
x
0u
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Ejemplo No.4.8
econvergent;612e2I
1e0ulimu
ulim
u21
u1
lim21H'L
u
ulnlim2
1I.F
u1
ulnlim2
1
I.F0ulnulim21eelimI
eelimI
elim2elim2eelim2elim2
dx1xlnxlim
Ce2Ce2dwe2dxx
1x2xln
e
dxx
1x2xln
dw2dxxx
x2xln
21dw
'xlnxxln'x21dw
xln21xw
dxx
1x2xln
e
dx1xln21
x1
e
dx1xln21
x1
e
dx1xlnx
xln21xlnxln
x1
eeA
xlnxAln
xlnAln
xA
x1
xxxx
cosebraílgaTrabajos
dx1xlnx
dx1xlnxlimdx1xlnx
2ln2
0
0u
23
0u230u2
10u0u
0u
uln21ulimuln2
1u
0uB
2ln24ln214
0uA
uln21u
0u
4ln214
0u
uln21u4ln2
14
0u
4
u
xln21x
0u
4
u
1x
0u
xln21xwwxln2
1x
xln21x
xln21x
xln21x
1x
21
xln21xxln2
1x
x
x
x1x1x
1x
4
u
1x
0u
4
0
1x
0u
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Ejemplo No.4.9 Calcule la siguiente integral impropia
econvergent4222042
1arctan2warctan2limwarctan21arctan2lim
xarctan2limxarctan2lim
1xxdx
lim1xx
dxlim
x2dx
du
xu
Cxarctan2Cuarctan21u
du2dx
1xxdx
1xxdx
1xxdx
1xxdx
w0w
1
w
ww
1
0w
w
1w
1
w0w
2
1
1
00
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bibliografía Utilizada en la Conformación Teórica y Selección/Solución de los Ejercicios Planteados 1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación. 2. Sánchez, G.; Castro, J. (2001). Cálculo Integral (Ejercicios y Problemas), 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey (ITESM). México. Thomson Editores 3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores. 4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana. 5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning Editores. 6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación. 7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación. 8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de Chile.
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Anzoátegui”. República Bolivariana de Venezuela. 14. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001. Santiago de
Chile, Chile. 15. Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores. JCLZ1209® D.R.2015