documento de trabajo - connecting repositories · 2017-05-05 · documento de trabajo issn...
TRANSCRIPT
Documento de TrabajoISSN (edición impresa) 0716-7334
ISSN (edición electrónica) 0717-7593
On Reputational Rents as an Incentive Mechanism in Competitive Markets
Bernardita VialFelipe Zurita
Nº 354June 2009
www.economia.puc.cl
Versión impresa ISSN: 0716-7334 Versión electrónica ISSN: 0717-7593
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE INSTITUTO DE ECONOMIA Oficina de Publicaciones Casilla 76, Correo 17, Santiago www.economia.puc.cl
ON REPUTATIONAL RENTS AS AN INCENTIVE MECHANISM
IN COMPETITIVE MARKETS
Bernardita Vial* Felipe Zurita**
Documento de Trabajo Nº 354
Santiago, Junio 2009
INDEX ABSTRACT 1 1. INTRODUCTION 1 2. THE MODEL 3 2.1 Preliminaries 3 2.2 Strategies and payoffs 6 2.3 High-quality equilibrium 7 2.3.1 Bayesian updating 7 2.3.2 Steady state and entry-level reputation 9 2.3.3 Equilibrium 10 3. EQUILIBRIUM WITH POTENTIAL, BUT NOT ACTUAL, ENTRY 12 4. EQUILIBRIUM WITH ENTRY AND EXIT FLOWS 16 5. FURTHER REMARKS 18 REFERENCES 18 APPENDICES 19
�� ���������� ����� �� �� ������� �������� �
�������� �������∗
���������� ��† ����� �����‡
��������� ����������� ������� �� ����
���� ��� ����
��������
���� ����� ��� ���� ��� � �� �� �������� ��� ������� ������ ��� ������� ��� ��� ���
���� � ������ �� � ������� �� �� � ������� ������� ��� ������� ������ �� � ������ ��
������������ ����� � ����� � ��� ���� ���� � �� ����� �������� ���� ����� ��� �������� ��
�� �� ��������������������� ��� � �� ����� �� ��� ������� � ���� �������� ��� ������� ��
���� � ������ ����� � �� ����� ��� ������� �� ����� ������ ����� � �������
� ����������
����� ��� ��� �� ��� �������� ��� ����� �� ��� ����������� ��������� �� ��� �������� �� ��������� ������ �� ��������� ������ ���� � ��!�� ���� ��� ��������� �� � ���� ������ � ��� ����������� "�� �� ���� ��� ����� �� ����!���� ���� ������� �������� ����# �� ����� �� ��� ���� ���� ���� ������� �� �� ��"� ��� ����� �� �� ��� ���� ��# ������ ��� ������$� ������� �� ��� ��!� ����� ����� ������ ��%����� ��� ��������� ��������� &�'�!�# �� � �����(������� ���������)���������� ����) ��� ��� �� �������� ������ ���� ������� ����'��� �� ���� ���� ������� ����� ��*���� ���� �������!�� �������# �� ���� �� ��� ������� ����� ���� �� ���� ������ �� ���������� �� �����+������� ���� �� ���� ��������
,��������� ���� ������� ��������� ������ ���������# ����# ������ ��� ��������� �� ����� -���������� ������ �� ���� �� ���������!� ����� ���� ����� ��'�# ���� �� ����� �.�(/���� ����������# 011��� /� '���� ����# ����# ���� ����������� ������� �������!��# ���� � ������� ������������!� ��������� �� ���� ������� ��!�� ��� ���� ����� ����� ��� ��� �� ����� ���� ������!�������� �� �������� �� ���� ��������� �� ������# ������ ���� ����� �� ���� �� ���� ����!��� ����� ��� ������� �� ������� ������
���� ���� ����� ���� ���� �� ��� ���������� � ����(�+ ��'��� ����������� ��� �������!��� /�����#�� ������� � ��������� �� '����# �� ����������� ��'� "��� ��� ����� ����# ���� �� ������ ���������!�� �� ���� ������� ��������� �� �����������# ��� ��������
��� ����������� �� ���� ������ �� � �'�(���� �������� ��� "�� ��� ����� � ������2�� �� 3�������!�������� ����� �� ��� � ��� ��!���# �� � ��� ��+�������4 /� ��� ����������� �� ������� ��' ������� ���� � ����� �� ����� ��'� �����# ���� ��� ������ ��'��� ���� ��� ��' ��������� �� ��������� �
∗�� ��� ������� � ���� ��������� ��� ����� ����� �� ����� � ����� �� � ��� ���� ���� � ��� ������ ���� ��� ��� ���� � ����� �� ��� �� � �� ���� ��� ���� �� �� �� � ��� �� ���� ��� �� ��� �� �� �� � �� �������!
†"��� ��� �� #���$�! %&� �'��!�(‡"��� ��� �� #���$�! %���� ��'��!�(
�
��� ���� ��+�������� /� ���� �������# ��� ���� ��!�� ������ �� ��� ������������ ��������# ��� �� ���������� ������� ��� ������ ������� �� ��� � ��!����� ����# �� ������� �� � ����� ����# ���� � ������ ��� ����� �� ��� ��������� ����� �� �� ������� �� ��� ���� ��+������� ��'��� ��� ��'��� ��� ���������� ���������� ���� �� �� ������ ��� ������!� ������ �+��� ���� ��� ���� ��� ������ �������� ���'���������� �� ��� �� ������� �� ��� ������ ����� �������# '� ��� ���� ��� �!���� �+��� �� ������������������� �� �� ����!� �������!�� ������� �� ������� �� ��� ���� ��+������� ��'��� ���������#������� � ��� ���� �� ���� �� ��� ���������� �� ���� ������� ���������# ��� ������ �����
�� �����2� ����� ������# '� ������� � ����� '��� � ��������� �� ����(��!�� "�� �� ������������� �� ����� �������� � � �������� �� �������� �� ����(��!�� ��������# �� �� 5��� �011��� /� ��������� ��� '� ����� ��# �� ��� ���� ��� ���� � "� ��� ����� �� ��������� �� ��� ���������# '���� ����� �� ��������� � ��� �� ��� ������� -� � ����� �� ����# �� ���� ����# ��� ���( ���!�� � �������"�� '���� �� ��� ������ ����� ��� �� � �� �� �������� � � ��� �� ��� ����# �%������ �������������� ���������� ��� ����������� ����� �����# ��� ���� ��+������� ��'��� ��� �'� �����������!���� �� ��� � ����������� ����� ��������# '�� ���� � ����+���� ����� ��� ����!� ����������� ���� ��!��# �� ��� ���� ����# �� ��������� � ��' ���������!� ��� ������� ��� /� ���# ��������� ��� ��� ������ ����� �� ��� ����� �� �� ��� ���� ��2�# ���� ���� �� � ������ �� 6����������� ���������� -� ��� ���� ������# �� ��� ������ ���� �� ��� ���� ���)��� �������� ���������!������)# ���� ��� ���� ��!�� �� ��'# ��������� � � 2�� ��"� ���������)�� � ������ !���� �����)�� ���"�� '��� �� ������ �����# ����� ���� �� ����� ������� � �(��������� /� ���� �������# �� �� ����� ���� ���� � ����� �����������7 �������!� ������� ����� ������� �� ��� ����� �� ��� ���� ��������# '���������������� ������� �� ��� ��!���
/� ���� �������� �� ����������� '��� ������������ ����������# �������!� ������� ����� ���� �������� ��� ���� ��!��� ���� �� �� ������ ��� ���������� �� ��� ������� � ���( ���!�� "�� '������������ � �� ������� �� �� �� ��� �� �������# ������� � ���� ������� ��� ���� ��'���� 8���������# �� ����� ��� ��� �� ��� ��� 9������ �� � � ��� "�� ���� ��������� � �� ��������!��� ���� ����# '��� ��� ���������� ��� �� ��������� ��'� �� 1� ,�������# �� &:�� �0110�)'����������� ��!��� ���������)��� ����� �� �� �� ������ ��� '��� ��� �������� ���!� ��� "� ���� � �� �������� /� ��� ����� �����# ��# �� � ��!�� ����# �������!� ������� ����� �����# ���� �� ���� ����� ���!�� ����� ����� .� '�� �� �������# �� �� ����� "�� ���� �� ������� ���� � �� �������7 �������������� �� � �������� �� ����� &����# '����� �������!� ������� ����� ����� � ��� ������� ����� ��2� �� ��� ���� ��� �����'��� � �� �������# ��� ��� �� ��' ���� � ��' ��� ������� ���� �������!� ���� /� �����'� ���� �������!� ������� ����� ��� ���� �� � ��!�� ���� ��� ��� ���� �� ����������� ����� ���� �� '��� '� ���� '��� '� ��� ���� �������!� ������� ����� �� � ��� ��+������# ���� ��� ��!����
6� ������� ���� ����� ���������� �� � ��� ���������� �������� /� ������� '� �� � ��!� "������ �������� ��������� ���� �� ���������� '��� ���� �� ���� �������; ������# ���� ����� �� ���� ��� �� ��� ����������� ��!���� �����# �� &:��� ������ ���� - ������ ������ �� ��� ���������������� ��'��� ��� ��� ��������� ���� ��� ��� ������������� ����� ������; �� ���� ��� �������� ��� ���� �� ���������� '� �����# ���� ����������� ���� ��'��
8�� � ��������� !��'�����# ����� ��� ��� �� ��� ��� 9������ �� � � �� �� ��� �������� �� ���"�� �� ��� ��������� ������ �� ��������� �����# <����� ��� =� ���# � �0; 8���� �� ��� ��!���#� � �# '��� ��� ����� ���� '���� �� ����� ��� ���� ����� >��# �� ���# �� � ����� '��� �������� ���� '���� �� ������� ������ ��� ��� �� ����# �� �� <������ ��� ,�������� �011��� 6� ����������� ���������� ���� ��������� ��������# �� �����(���� ������������ ���� ���������� ?�����������'� �� � �� �� �������2� ��� ��������� �� ���� ��+������# �� ������� �� ���� ��!����
- ������ �������� ��������# � # <������ ��� ,��������# 011�# ��� �������# 0110� ����� �� �����(����� �����# ������ �� ���� �� ������� ���� ���� � ������ ��� ���� ����� ������
�)�� ��� � �� ���� *����+� �� �! ,-.../ ���� �� �� ������� ����� � � � ��� ��� ���� ��� ������ ��� ������ � ��� �01����� �� ������ �����!
�23���� ,4554/� ��! 677!
0
��� ��� �� ��� ���� �� �����2�� �� �����'�� ,������ 0 ���� ��� ��� �����# ��� ����!�� �'� ����������������� ���������7 ��� /� ���� � ������ ����� ����� ����� �� ����������# �� ���� �������� ��� ���������� ��� ������ ����� ����� ���� ����� �����@# ��� �0� /� ���� � ��������� ��!�� ���� ������� '��� ������������ ��� ��!�# ���� '���� �������� '��� ��� ������� �� ���������� �� ��� ���������� �� �������#�� ���� ���� ����� �� � ������� �����������@ ��� ���'� �� ��� ����� �� �*����!�� ,������ A ��������� ��� ���� �� '���� ������� '���� ���� '��� ��� '��� ����� �� ���������# �� ���� �� "� '�����!� '��� �� 3'��� ��� ���� ����4 ���� ���� �� ���������� ���������� ������ �� �� ��� ��������#�� ���� ��� ������ '� �� ��������� �� �� ������ �������� ���� ������� �������� �� ���� �������,������ B ������� ���� ����������� � ���������� ��� ���� '��� ������� ��!� ���� �������������# ������������# ���� �� ��%�'� ��� ���%�'� �� "��� ,������ C ����������
� � � �����
��� �����������
6� ������� �� ��"������ ������� ���� �� '����# �� �!�� ����# � ����� �� � ��!�� ��!���)����� � � ��������� �� �������� ��� "��)������ 8��� �� ���� �� ������ ���� ���� �� ��"���� ���������� ���������� �� ����(��!�� ���������
��� ��!��� �� �� ��������� ���� �� �� D����� �� E1�7 ��� ������� �� �� ���� ��� ��!� �� �� �����D�!��������# �� �!�� ���� ��� �� ���� "�# � �������� ������ �� �� �������� ������ �� ���� ����������� �� ����� �!���� ��# ����# ��������� �� �������� ��� �� ���� >� ��� ���� ����# ���� ����!����� ���������� � ������ �� ���� ��� �����
���� �� �'� ����� �� "�# ��������� (C) ��� ����� (I)� ?�������� "�� �� � �� �� ������# �� ��������# �� ��!��� ����� � ��'(������� ��!��� (L) � � ����(������� ��� (H)# ��� ���� ���� �������� ������ ���� ��� ������ /���� "��# �� ��� ���� ����# ��� ���� ��!��� ��' �������� ����� ����!����� � ��!��� &����# ��� ����� ������� ��!��� ��������� ���� ��!� �� ������ ��� ���� ��2������ ��!� �� ������� ��������� >� ��� ���� ����# ��!����� ���� ������� ����� �� ��� ������ ������� "� � ����� � ����� �� ��� ������� D��� ���� ��������� "�� ��� ��'��� ���!� �� ����� "����# �� ���� ���� ������ ��� ����+� '��� ��'��� � �� ����� �� ���� �� ������
?������� '��� ��� ���� "�$� �� ��� ������ �� ������ ��� �� � ����� ���� �� �� � ��������� �������� ��!� � ������ ��� �� ���� "� ��� � ��!� ��� ���� ��������� ?����������� ���� �������� ���� "� ��� ���� �� � ����� �� ���� ���������# '���� '� ������ � µ ��� ��� �� �� ��� "�$����������� > ��!� ���� �������� ���� ��!� �� ��� �����# �� ���� ��� ���������� ���� ��� � ��������� ��������� ��� ��!��� �� ��� �������� �� ��� ���� ���������# �� ���� ����������
-���!� "�� �� �� F��� �� ��� ����� ����� �� �����# ���� �� '���� ���� �� ������� � � ��'�� ��"��� ���� ������ �� ��!����� � ��!�� � ���� "�� -� <������ ��� ,�������� �011�� �������# �������������� ������ ���� ����� ��� ������ ���� �� ��!� ������ �������� � ��� ��� "�$� ����� ��������� �� ������� �� � ������ ����� ���� ��� "��# '��� λ ���� ��� �� � ����� �� �����# ��� θ��� �� � ����� �� ��� ��'�� �� ���� ���������� &����# ����� ��� ������ ��� �� � ����� �� ������������� �� �� ����� λθ ���� �� � ����� ���� � ����� ����� "� ���� ��� �� ������� � � ������������� ��� �� ���� 1 − λ (1 − θ) ���� �� � ����� ���� � ����� ��������� "� �� ��� ������� � ������� ����7 µ ∈ (λθ, 1 − λ+ λθ)� 6� ����� ������ ���� ��� ����� �!���� ����� �� ��������� "�� ������� �����!� �� ��� ����� (θ < 1)# ������ '� �� ��������� �� ��� ���� �� '���� ��!��� ����������� ��������# ����# ���������� �� ������
6� '��� ����� �� � ���� ������� ������ ���# � '���� '� ���� � ��������� '��� ��� ��������� "�������� �� ��!��� ���� �������� 6� '��� �����2� ��� ���������� ���� '���� ��� ����������� �������!�
�"� ���� �� ���� 8��� �� ��&9��� � �� � � �+� ���� ����� 8�� &� ��81&�� ��������� ���� ���� �� ����! ��� � : &�8 � ������� �� � ���� �� �� �0���� �!
A
������� ����� ���������� ���� �� ��� ������� ����# ��� '� '��� ��������2� ��� �����(���� ������ ����� '���� G�!�� ���� ����� "�� ��� ���� ��!��� ��' �������# ��� ������������� �� � ����� �� ������������� ��������� �� ���� ������ ��� '��� ��� ������������� �� � ����� �� ��!����� ���� ��������&����# �������� '���# ������ �����# ������� ���� �� �� ��� �����(������ "��� /� �����'� ������ � ����(������ ������ ���# ��� ���� ��� "� ��� ����� '��� � ������ ��������� � ��� ���������7 ���� ������ "�� '��� � � �� �� ����� ����� ������ 6� '��� ��� ���� ���� �� � ����������������� �� ��� ���� �������� �� ������� ��������� �� µ, ��� "�$� ���������� ��� ��������� �� ������������ ������ �� � �������� ��������� �� ������� ��� ����(������� ������ ���� ��� ����������������� ������ ��� "��$ ������ ��� ����+ �������� �� � ��������� �� ���� ����������
6� ���� �� ��������� ��' ��� ����� �� ���� �+���� ����� ��������# �� �������� ��� ������ ������� ��������� ������� �� ������ ���� �� ���� ���# '� '��� � �������� �'� ���� �����7
�� H������ '��� ��� ����7 ��� ���� �� "�� ��� � ������� � κ� �� ������� ���� ���� ��� ������ �������� �'���� '� ������2� �� 1�7 κ > 1# �� ���� ���� �� ��'��� ������!� "��# ��� �������� �� ���� �� ���� �� ������ ���� �� �� ����� ��!��!�� �� ������� ����!��
0� H������ '������ ��� ����7 ��� ���� �� "�� �� ��� ���� �� "�� ���� ��!� ������ ���� �������� ���!��� ���� ���� ����� ������� ������� ���� �� �������� �κ = 1��
/� ��� ������ ��� '� �������# ��� ��������� "�� ���� �� ���������� ��� ��� �������� �� ��!��#�� ���� ���� �� � ���� θ �� ����!� ��������� "��# � ���� (1 − θ) �� ����!�# ����� "��# ��� � ����(κ− 1) �� ������!� ����� "���
/� � ������ ����� ��� ���� �� ������!� "�� '��� ��� ������ ��� ��� ���� �� ������# �� ��� ���������� ����!� � ������!� "�� ��� ���������� ������� >� ��� ���� ����# ���� "�$� �������� ������ '��������� �� ��� ������������ �� ������� ��+���� ��������� ��!���# � ��� ������������ �� ��������� �������� 8� ����� ������# '� ���� �� ������� '��� ��������� � "� ���� '�� ��!������ ������!�'���� ��!�# ��� '��� '���� ������ �� ��� ��������� �� ����� "�� ���� ���� ��� ������
� ������ ���� �������� �� ��������� ������� ��� ���� ��� ����� ��� ������� �� ���� ����������� ���� �� ���� ������ ��� ����� ��� ���� ���������
����# '� ������ ���� ��' ������� �� �����!�� ����� � ��������7 �� �� ��� ����� �� �� ���� ������� ��� ��� ���� ��� �������# ��� ������� ��!� ��� ���� ��������� �������� � µE�� ������ ��� �������� �� '����� ��� ������ ����� �� ���!� ��� ����� �� ��� ��!���� ����� � �� ��� ��� ������!� �� ���� ����7 �� � "� ���!�� ��� ����� �� �+����!��� ������� ��� �� ��� ���� ���#�� �� '�� �� �(���� ��� �����# �� '���� �� �� ���� ��� ���� ���������� �� � "� ���� ��� ��!������� ��� ������ ���� ���� ��� ���������� ��������� ���� �� �� ���� ������� �� ����# '������� ���������� �+����!��� ���� �� �� ��� ��� ��� ����� ����� �� "� ��'��# �� ��� �������� ����������� ����������� ��� �� ��� ����� /� ���� �����# ��� ����� �� ����� �� ��!� �� ������� ����������� ���������� ���(���� ��������2����
���� ���������(��(������� ���������� ������� ���� �� ��������� �� !���� �� �� ��� ����(������� ����(�� ���# �� ����!� "� ��� ��!� � ��'� ��������� ���� �������# ������ ��� "� '���� ������������� ���' ���� ��!�� ��� 3'��� ��� ���� ���4 ������ � ���!��� ��� �(������� ��� ������ &����# �������(��!�� ��������� �� ��� ��'��� ��� ����� ����!� "��)��� ������!� "�� �� ��� ��!� ������������ ���� /� ���# ��� ��!���� ���� ���� �� ���� �� ���������� � �!� ��� ����(��!�� �� ���� ���� '��� � ��� �� � ����(������� ������ ���� ��� ���� ���� �� �� ��� ��%�'� � ���%�'� �� "�� �� �������� '��� � ��� �� � ������ ������# ���� ����� ����7
• /� ���# ���� ��� "�� '��� ��� ��'��� ���������� '��� ����;
• -�� ��������� "�� ���� ���!� '��� �(���� �����������# �������� � ��� ������� �� ����;
B
Competent ( / )Inactive inept (1-1/ )
Active inept ((1- )/ )
Enter
Exit & reenterExit & stay out
8���� �7 8��� � ���� ��� ����(���� ���������
• -���� ��� ����� "��# ��� ��� ������!� ��� ��� '�� ���� '��� � ����+���� ��'��� ������� ����# ���
• ��� ���� �� ����� "�� ���� ���� ��� ��� "�� ���� � ����'���� '��� � ����� �� ��� ���� ������� "�� ���� ���� ��� ����� ��� ��!���� �����
8���� � ���������� ��� ����������� �� ��������� ��� ����� "�� � ���� ���� ��� ���� ����������6��� ����� ����� �� ��� ���� ���� ��������� "�� ���� ����� ��� ����� "�� ���$� �� ��� ����(��!�� ��������� �� ���� ��� ���� �� ��� ������ �� ��� ���� �� ��� ������� ���� ��� �����)��!�������� ���� ��� ����� ���� �� �������� ���� �������)# ��� ������� ���� ���������� ��� 3�����#4 ��� ���������� ������
/� ������������ �� �������# ��� ����(��!�� ��������� µE ���� �������� '��� ��� ������� �� ���������"�� ����� ��� ���� �� �������7
µE =?�������� �������
?�������� ������� I /���� �������, ���
��!���� ���� ���� �� ��������
��� Gt ������ ��� ��� �� ���������� �� ��� �������� �� ����� t �� ����� "�� ���� '�� ����!� �� t−1�,���� t ����� '��� "��$ ���� ��� ���� ��������� Gt ������� ��� ��� �� ���������� �� ����� "������ ����� �� � ����!�� ����# Gt ��� Gt ��+� ������ ���� "�� '���� ��������� ���� ���' µE
'��� �(���� ��� ���� "�� ���� '�� ������!� '��� ���� ���� �'��� � ��������� µE �� ��� �������-��� ��������� "�� ������ ������� ��� ���� ����� �����# ��� ������ � ��!� ��� �� ��� ������ rt�� ��� ����!� "��� 6��� ���� ���������� �� ����# ��� ������ ���� ������� ��� ���� ������ ������#�������� ������ ���� ������� Gt+1 ������� ��� ��� �� ����� ������� ����������� ���� �� ������2���� 8���� 0# ���� ������� ��� ���� ���� �� ��� ����� �����
Gt Gt ,�����rt Gt+1
• • • • • • •H��� ��� H��� J������ ������ ��� ���� ���� ������
8���� 07 ���� ���� �� ��� ����� ����
��� ��� ���������� C ��� I ������ ��� ����������� �� ����������� �� ��������� ��� ����� ����
"��# �� ���� ��� ���$� �� GCt , G
It , G
C
t ��� GI
t .
C
��� ������ ����� ����� ������ '��� � ����!������2�� � ������� ��� ���� �� ������ ����� 0�A ���'��!�� ���� GC ��� GI �� ���������� ��� ���� ������ �� [λθ, 1 − λ+ λθ]�
&����# �� µE > λθ �� ��� ������ ����� ����(��!�� ���������# �� ���� �������7
µE =θGC (µE)
θGC (µE) + (1 − θ)GI (µE). �0�
/� µE ≤ λθ ��� ���������� �� ��� ���� ���� ���� �� H������� 0 !�������# �� ���� �� ����� �� � '�����"���� ����� 0�B ���' ��!�� ���� ��� ����� �� ��� ���� ���� ���� �� H������� 0 '��� µ ���������λθ ��� ��� ���� �� �������� λθ� /�����# �� ��� ����(��!�� ��������� '�� �������� ����� ���� λθ#'� '���� � ��!� ���� "�� '������ �� '��� ���� ������ &�'�!�# �� ���� ��' ��������� ��!��� ���� ������ ������ ���� ��� "� ��� ��� ����� �� ���� ����# �� ����� �� �� ��'��� ����� �� ���� ������� �������# ��� ��������� ���� � ����� �� λθ)��� �� � ����� ���� � ����� ����� "� ���� ��� ��������� � � ��������� ����
>�� ������ �� ������ �� � ����� '��� ��� ����(��!�� ��������� µE �� �������� λθ� /� ���� ����# ������ ������ ���� �� ���� �� "�� ����� �� �� ������� �� �� � ���� � ��������� ��'� ���� λθ# �� �������' �� ��� ������ ��� ��!� ���� �������# �� ���� ������ �� ���� �� �� ����('������ �� ���# ���(GC , GI
)��������� '���
(G
C, G
I)� ��� ��� ���� ��������� ��� ���� ���� ��� �����������)�� ���
�� �������� ���)7 �� ���� � ������� �� ��� ���� ��������# '���� ���� � ���� ���� �� ������!� "���� �� �������!� �� ���� ��� ������ 6��� '� ���� �� ���������# ����# �� ��' ���� ������� �� ������� �������� �+���� ��� ����������� ������ ��� ������ �� ��� ������ ����� �� ��� ���� ������������� ����
��� ��������� �� ������
?�������# ���� ����(�� ������# ���� ������ ��� ������ �� ���� ������# ����� �� ��� .������������� �� � ������ ���� ���� ��!� ��������� ���������� ������� ��������� ��� ������ ��!���� K������������� �� ��� ����������� �� ��� ��!���# �� ��� �������# ��� ��� ����������� �� ���� ���������#��"������ ��!��� �� ���� z# '���� ���� �� ������2�� �� 1� ��� ����� ������� ������� ��������� ���������� z �� ��� ���� ��� ��� ���� �� ��� ��!��� ���� ���� ��� �� � �� ���� ������� (H, z) , � ������� �� ��� ��!��� ���� ���� ��� �� � �� ��' ������� (L, z) , � ��� ��������� ��� �� ��� ��!���7(∅, z) . ��� ���� �� ��� ��!��� ��� � ��!��� �� ��������� µ �� p (µ)# ��� ��� �������$� ������ ��y# �� ���� �� �� �������� ��� ��!���# �� ��� z = y−p (µ) ����� �� ��� �������� ����� ��� ����������.������� �������� �� u (q, z)# '��� q �� ��� ������� �� ��� ��!��� ���� ��������# '���� ��� � ����� ��'# ��� '��� ��� ��������� �� ��������� � ��� ����� �������7 q ∈ {H,L,∅}� 6� ������ ����u (q, z) �� �'���(��+������ �� �� z, '��� � ���������� ������ ���!���!��
6� ���� ������ ��!������ ���� �� � ����(������� ������ ��� ��� �� � ����� �� ������� � ���� ���������!��� �� ��� ���� �� ��� �� � ����� ���� ��� ��!��� �� ���������� &����# �������� ������2�7
E [u] = [µu (H, z) + (1 − µ)u (L, z)] d+ (1 − d)u (∅, z) , �A�
'��� d �� � !��� �� ���� ����� �� ��� !���� 1 �� ��� ������� �������� ��� ��!��� (q ∈ {H,L})# ���0 ����'��� (q = ∅)�
������� ��+���������� H������� A '��� ������ �� z ��� µ ��� ������� d = 1 '� ���7
dE [u] = (u (H, z) − u (L, z)) dµ+(µ∂u (H, z)
∂z+ (1 − µ)
∂u (L, z)∂z
)dz. �B�
/������� dE [u] = 0# '� � ���� ��� ������� ��� �� �� ��������� �<=,� ��'��� �����!�� ������������# ���������� ��� �����������7
MRS ≡∣∣∣∣dzdµ
∣∣∣∣dE[u]=0
=u (H, z) − u (L, z)
µuz (H, z) + (1 − µ)uz (L, z). �C�
L
/� ������� �� ��� ��������$ �� ���# ��� "��$ �� ��� �� ����� ����� �������� 6��� ������� ��������# "�� ���� ��� ���� ���� ���� ������� ��� �����(����� ����+# �� ���� ��� ����(��������������� �� ���� ��������
H��� ������ ������� � ���������� ��������� ������� �����# '����� �� ������ � ���# ��� �� �� ��'���� ��������# ��� � 3 ������ �������4 �����# ���� ��� ���� � '��� �� ��� � ������� ��� �(���������� ������� ��� ���� ���� ��� ���� � "� ��� ����� �� ��������� �� ��� ��������� ����� ��� ������� ������ ������� ��!���7 �� '��� ��� ���� '����!� ��� ��������� ����� ���' µE # ��� ����'��� ������ ���
-� �� ��� ��������� �������# ���� �!�� ������ ��������� "�� ������ qt ��� {H,L,∅} '���� �����"�� ��� {L,∅} , �� �� �� ������2�7
(1 − δ)∞∑
t=0
(1 − λ)tδtE [πt (µt, qt)] , �L�
'��� δ �� � �������� ����� ��� πt �� ��� ���� t ��"�# ��!�� �7
π (µ, q) =
p (µ) − cH �� q = Hp (µ) − cL �� q = L
0 �� q = ∅
�E�
'��� ��� ���� �� ��!����� ���� ������� �� ����� ���� ��� ���� �� ��!����� ��' �������7 cH > cL�
��� ������ ��������� ���� ��������2� ��� ����(������� ������ ��� ��!� ��� ��������� "�� ��������H���� �!�� ������# ��� ����� "�� '��� µ > µE �������� L# ��� � ���� (1 − θ)GI (µE) �� ��� ������������� "�� ���� ���� �� ������ ����� '�� ������ ��� ����� �� ��� ���� ����# ���� �������� L� ,������A ���� ������ ��� ���������� ���� '���� ����� ������ ��������� �� ������ �������� ��� ����������!���� ��������� �� ��������� ��� ����� "�� �� ������� � vC (µ) ��� vI (µ)# �������!����
��� ������������ ����������
���� �� ������� ��� ������ ������� �� ������ ���� /� ��� ����� ����# '� ���� �� � ����(������������ ��� '��� �������� �� ����+���� ����� ��!����# "�� ���!� �������� �� ��� ��������F��� ����� �� �� ��� ��!���� �������# ��� ��� ����� ������ ��� ������� ������� ���# �� �������# �� ��� ���������� ��'��� �������� ��� ������ ���# �� ��� ����# �� ��� ���������� �� "��$������ ���������� /� ��������# � ���(���� ��������� ���� ���� �� �����# ������!� "�� �� ���� ���7vI (µE) = 0# '��� µE �� � ������� ������������
����� ���� �� �������
��� ������ �� ������� � r, ��� ��'� ��� ��� ���� ���� ����!��7 r ∈ (0, 1)� 6��� � "� ��!�������� �������# ���� ��� ������ �� ����� ���� �������� �� ��� ��������!� ������� �������� ����� FH ; '����� ��!���� ��' �������# ���� �� �� ����� ���� �������� �� ��� ��� FL# '��� FH (r) ≤ FL (r) �� ��� r����� �� �� ���# ��� ������ ����������� �� H "��(��� �������������� ��������� ��� ������ ������������� L�� 8� ��������# �� ��� "�� '�� �������# r ����� � ��� ���� ��������� �� � ��������2�� ����;�� ��� "�� '�� ��'���# r ����� � ��� ��������� �� ����� '�� �� � ���; �� ��� "�� '�� ������# r����� � ��� ��!�!�� ��� �� �������� �� � ���# ��� �� ��� .���# FH ��� FL �� ������� �� � ���������������� /� ��������# ���� ��!� ���������# '���� �� �������� '��� � ������� � ��� ��'� ����������� �� ��� ����������� ���$��
<���!�# '� ������ ���� � ����� ������ ����� �� ��� ������ ���� ��� "� ����� ���� �������7
E
� ������ ���� �������� �������� ����� ��� �������� ���� R (r) ≡ fH (r)fL(r) � � ������������
�������� ������� ���� (0, 1) �� (0,∞)�
/� ��� � ����� �� ��� ����(���� ������# ��� �� ��� ��������� "�� ��!��� � ���� ������� ��!���# ����.����$ ��� ��"��� ��� ��+����� �������� ���� ���� "�$� ��������� �����'�7
µt+1 = λθ + (1 − λ)fH (r)µt
fH (r)µt + fL (r) (1 − µt). ���
/� �+���# ��� �� � ����� �� ���� ��������� �� t + 1 �� ���� �� ��� �� � ����� �� ���� � �� ����������� (λθ) ��� ��� �� � ����� �� ���� ��������� �� t ������� �������� �� ��� ������ r �������������� �� ��� ��!��� ��� � ���� �������
6��� ���� �� �� ����(���� ������# ��� "� ������� ��� ��������� '��� µE '����!� �� ����� ���'���� ��������# �� ���� ��� �!������� �� {µt} �� �������� ��"��� � H������� � �� µt �� ������� �max {µt, µE} .9�"�� ��� ����(���� ���� �� H������� � �� ��� �������� ϕ : (λθ, 1 − λ+ λθ)×(0, 1) → (λθ, 1 − λ+ λθ)��!�� �7
ϕ (µ, r) = λθ + (1 − λ)R (r)µ
R (r)µ+ 1 − µ, � �
'��� ��� ��������� ��!� ��� '����� �� ��� ���������� ���� ���� -��������� 0�0 ������ ���� ϕ ��������� ��������� �� r# �� ���� ����� ������ !����� ��'��� ����!� � "�$� ���������� <���!�# �������� �� ϕ �� (λθ, λθ + 1 − λ) ������ ��� ���������� ���� �� ��F����!�7 ϕ ((λθ, 1 − λ+ λθ) × (0, 1)) =(λθ, λθ + 1 − λ) . >� ��� ���� ����# �� �� ������ ���� ���� ϕ �� ������� ��������� �� µ# ��� �����������&����# ���� ����# �� �� � �F������# ��� ��� �����'��� �������� ��������� �� '��� ��"���7
r = r̃ (x, µ) ⇔ x = ϕ (µ, r) , ��1�
µ = µ̃ (x, r) ⇔ x = ϕ (µ, r) . ����
����� ��������� ��� � '����� ��7
r̃ (x, µ) = R−1
(1 − µ
µ
x− λθ
1 − λ+ λθ − x
), ��0�
µ̃ (x, r) =x− λθ
x− λθ +R (r) (1 − λ+ λθ − x). ��A�
��� "�� ��������# r̃ (x, µ)# ���� '��� ��� ������ !���� ������ � �� � "� �� ��������� µ ����� ����!� � ��������� x �����'; � -��������� 0�0 ��� ��!��� �� ��� ���������� ���� �� '��� ��"������� ������ ��������# µ̃ (x, r)# ��������� '��� '�� ��� ��������� �� ��� ��!���� ����� �� � "� '���� ������ r ���� ������� ��F��� � ��������� x� ,�������# ϕ (µ, r) �� ��� ���� �����$� ��������� �� �"� ���� ������ �+ '��� � ��������� µ ��� '���� ������ '�� r.
-������� -�� ���'� ���� ��� ���(��(����� ��������� ��� �� ���� ���� �� "� �� ��!�� �7
GCt+1 (x) = (1 − λ+ λθ)
∫ r̃(x,µE)
0
GC
t (µ̃ (x, r)) dFH + λ (1 − θ)∫ r̃(x,µE)
0
GI
t (µ̃ (x, r)) dFL��B��
GIt+1 (x) = λθ
∫ r̃(x,µE)
0
GC
t (µ̃ (x, r)) dFH + (1 − λθ)∫ r̃(x,µE)
0
GI
t (µ̃ (x, r)) dFL ��B �
����� ���$� �� ��������� � ��� ����(���� ������ �� �����'�7
Gτ
t+1 (x) ={
0 x < µE
Gτt+1 (x) x ≥ µE
�� τ = C, I, ��C�
�
����# Gτ
t+1 �� � �������� !����� �� Gτt+1 ������ ����� "�� '�� ���� ���' ��� ����(��!�� ���������
'��� �(����# ��� '��� �� �� '��� ��� ����(��!�� ��������� µE �
��� ������ F��� ����� �� ��������� ��� ���
(G
C
t
GI
t
)����
(G
C
t+1
GI
t+1
)# ���� ��"���� �� ������
�� ��� ��� �� ���� �� ���$�# '���� '��� � ������� � T :(G
C
t+1
GI
t+1
)= T
(G
C
t
GI
t
). ��L�
8� ����� �������# � ��!� ���� ��� ������ T ������� ������������ �� µE �
����� ������ ���� �� �������� ���������
/� � ������(����� ����� �� ��� ����# ��� ��������� ����� ������(GC , GI , G
C, G
I)�� ��������
�!� ����� ���� ��#(G
C, G
I)�� � "��� ����� �� T � <���!�# '� ��!� ���� ��� "��� ����� �� ������
������ T �� � �����������
����� ���� T ��� � ����� ��� ��� ��� ��� ���� µE ∈ [0, 1]� !�������� � µE < 1−λ+λθ ����"
�� GC��� G
I�� ���������� ��� ���� ������ ������ �� [max {µE , λθ} , 1 − λ+ λθ]#
0� GC ��� GI �� ���������� '��� ������ [λθ, 1 − λ+ λθ]# ���
A� �� ��� µ ∈ (λθ, 1 − λ+ λθ) , GC (µ) ≤ GI (µ)�
#����� /� -������� -�0�
��� ���������� �� ��� ��������� ����� ������ ���!�� ��� ��� ���� ���� ��� ������ T ���� ��� ����� ���������� ����� ����� ��������� ���� ������# �� ���� ��� "��� ����� ���� � �� ��� >� ��� ��������# ��� ��������� �� ��������� "�� "��(��� �������������� ��������� ��� ��������� �� �����"�� ������ ��� ������ ����������� �� H "��(��� �������������� ��������� ��� ������ ������������� L�
/� ��� ��!���� �����# µE �� � ������� ������ ��� !���� �� [0, 1]� &�'�!�# �� µE �� � ������������������# �� ������ ���� �� ��� !���� �� ���� ����!��� /� ��������# ��!�� ���� ��������� "����!� �������������� ���� ���������� ���� ����� ����# ���� '��� � ������������� �� ��� ���� ��������� ��� ������� µE ������ � ����� ���� θ# ��� ������������� �� � ����� �� ���� ����������
/� µE > λθ# ��� ������� ������������$ ��������� �� ���"���� '����!� µE �� � "��� ����� �� ��� �����'�����������7
ψ (µ) ≡ θGC (µ)θGC (µ) + (1 − θ)GI (µ)
, ��E�
�� �� H������� 0� > ��!�# ��'�!�# ���� ���� �������� �� ��"��� �� ���� �� GC ��� GI # '���� �������������!�� �� µE �� � �������� &����# ψ �� ��� ������ '����� ψ (µ|µE)� /� ���� ��� ���� ψ ������������ �� ��� ������� µE # ������ �� �� ��� ������ ����� ����� ������)������ �� ���� �� ���"��� ������ �� � ���������� ���� 9� �� 8�����# 0111# ?����� 0# ������ E����� ����# ��� ����������������� µE �� ��� "��� ������ �� ��� �����'��� �����7
µE = ψ (µE |µE) . ����
��� �����'��� ����� ���� �� ��� ���� �� '���� ���� �� ���� ���� ��� ���� %�'�# �� ����� ��'�����# ����# '��� ��� ������� µE �� ���� ���� λθ :
����� ���� $� µE > λθ� ��� ������� ψ (µ|µE) ��� (λθ, 1 − λ+ λθ] ��� (λθ, θ]� !�������� � ��������%�� ������� �����"
∃N <∞ : ∀n < N, f(n)H (0) = f
(n)L (0) = 0 ��� f
(N)H (0) = 0 %��� f
(N)L (0) �= 0�
&%���� f (k)������� ��� kth'�������� �� f(� ���� limµ→λθ+
ψ (µ|µE) = λθ�
#����� /� -������� -�A�
D����� ���� ��� ��������� �� ����� 0�B �� ������� ������ �� ��� ���������� ���� limr→0
R (r) = 0#� ������# ��� ��������� ���� ��� ���������� �������� � ���������� �� r = 0� /� ��������# �� ���� ���� ����� !�� ��'��� ������� ����� �� �� � � ��!��# �� �� ��"������ ��� ������ ���� ����� ������� ���� ���� ��' ������� ��!��� ���� ��� � ���� ������� ���� K��� ���� ���������# ��� �����'��� �������� �� ������� ��������� �� ψ7
ψ∗ (µ|µE) ={
λθ �� µ = λθψ (µ|µE) �� µ ∈ (λθ, 1 − λ+ λθ] , �� �
'��� ψ∗ �� � ���������� �������� ����� limµ→λθ+
ψ (µ|µE) = λθ�
?����� λθ �� � "��� ����� �� ψ∗. -� ����# µE = λθ ��� � ������� �� � �������� ������� �����������7�!�� ������ �� �� �� ���(��(������ ��� �����)����� ���� �� �� ����)# �� �� ��� ����� �� ��� .��������������� ��������� � ψ# ��� �� ���� ����� �� �� � ���������� ������
<���!�# ���� �� ����� �� '���� �� �� ��� ������ ���������� ������ 8� ��������# �� r ��� � .�������� �����# '��� �������� a ��� b '��� ����������� �� H # ��� '��� �������� c ��� d '�������������� �� L# '��� a, b, c, d ∈ N. ��� ������� ��������� �� ���� ��!�� �7
fH (r) =ra−1 (1 − r)b−1
B (a, b)���
fL (r) =rc−1 (1 − r)d−1
B (c, d),
'��� B �� ��� .��� ��������� -��������� 0�0 �� �����"�� �� a > c ��� b < d# �� '���� ���� ��� N ����� ��������� �� ����� 0�B �� N = c� 8���� A��� ���'� ��� ������(����� ��������� ����� ������# ���8���� A� �# ψ∗ (µ|µE) �� µ = λθ# '��� λ = 0.1# θ = 0.5# a = d = 3 ��� b = c = 2� /� �� ���������� A� � ���� λθ �� ��� ������ "��� ����� �� ψ∗# ��� ����� ��� ������ ���������� ������
����� ����������
������� �� � - ����(������� ������ ��� �� ���� ���� ��7
• � ���� ���� p (µ)#
• � ��������� ����� ����� �� ���� ���� �� "�(GC , GI
), ���
• �� ����(��!�� ��������� µE ,
���� ����7
�"� ��� ��� � � � ;���� 4!: � ��� ����� ���� limr→0
R (r) = 0!
�1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Gτ
GC(µ)
GI(µ)
µ
,�/ GC ��� GI �� µE = λθ
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1ψ∗
ψ∗(µ|µE)
µ
,&/ ψ∗ �� µE = λθ
8���� A7 =��������� ����� ������ ��� ���������(�������� ����(��!�� ���������
!�" .������� �������� ��� ,����� ,����7 8���$ ���������� �!��!� � .����$ ��� �������� �� H���(���� �# ��� ��� ���������� ���� �� ���������� �� ��� "��� ����� �� T �� ��"��� �� H��������L;
!��" =������� H�����������7 µE �� � "��� ����� �� ψ∗ ��"��� �� H������� � ;
!���" ?������ ��� ����� �������7 -� p (µ) ��� ��������� "�� ������ q = H # � ���� (1 − θ) �� �����"�� ������� q = L ��� ��� �������� ���� ������ q = ∅# ��� ��� ���� ���� �� ��������������� �� ��# ��� �� ����+���� ����� ����!� ��!�����
8�� ��� "��$ ���!�� �� �� ������ ����# ��� ����� �� ��� ���� �������� p (µ) �� ��������� � ���(�����$ ���������� /� �+���# ����� ��� �������� �� ���������# �� ������ ��� ���� ���� � ����+��������� ��� ����!� �������� ��� ���������� �� �������� �� "�� �� ��� ���������� ����# �� ���#������� ���� ��� ������ ��� ���� �������� ���� ��� ������ �� ��� ��������� ����� ������)��� ���������� �� ��� �����); �������# �� �� ��������� � ��� �������$� ��� �� ����+�����# �� �� ��� ��������#'���� �� ��������� � � ��� ����������
H��� ������� ������� � ��!��� µ ��� ���� � ���� p (µ)� 8�� ��� ������2����� �� �������$�������� �������� �H������� A� '� � ���� ��� "�� ��� ���������7
∂E [u]∂µ
= u (H, z) − u (L, z)− ∂p (µ)∂µ
(µ∂u (H, z)
∂z+ (1 − µ)
∂u (L, z)∂z
)= 0 �01�
<���� ������� ������ ���� H������� 01 ����� �� ��� µ# ����� ����'��� ��� ��������)'�� �����������)'��� ������� ���� ���� ��!���� �!� �����# ��� ��� ����� '���� � ��� �� �� ���� ������!����� &����# H������� 01 ������ � "��(��� ��+������� �������� �� p (µ)� ,��!��� �� ��� ���!�(��!�# '� ���7
∂p (µ)∂µ
=u (H, y − p (µ)) − u (L, y − p (µ))
[uz (H, y − p (µ))µ+ (1 − µ)uz (L, y − p (µ))]. �0��
/� '���# ��� ����� �� ��� ������ ��� ���� �������� �� ��� <=, ��'��� ��� ��!���$� �����!�� ���������� ��� ����������� ����� D����� ���� ���� ����� ���� �� ��� ��!���$� �����!�� ������� µ �� � ���������# ���� ��� ����� �� ��� ���� �������� �������� '��� ������ ��� �������� '��� ��� ���� ��!���
��
H������� 0� ��"��� p (µ) �� �� � ��� ���������# ��� p (µE) = p0� ���� ��# �� ��������� ��� ������� ��� ���� ��������# �� ��� ��� ��!��� ��� �� ������ � p (µ, p0) � ������ ��� � �� ��� ������ ������ ��������� ���� ���!�� H������� 0�# � ������ ���� ������ ������� � p0� ��� �������� p (µ, p0) ������������ �� p0# ��� �� ��� �'� ��+���� !����� p0 ��� p
′0# ��� �� ��� ��������� p (µ, p0) ��� p (µ, p′0)
���� � ������� ����� ���� ��� ���� ���# �� ��� µ� ���� ������� ���� ���# vI ��� vC �� ����������� p0�
/� �� '��� ���'� ���� �� ��� ���������� ����� '��� ����������� !���������# ��� ���� �� �������������� � 6������� ������ ��� �� ��� ����� �� ��� ����� �� �� ��� ���� ��2� ������7 ��� ���� ���� �������� ���(������!� ������ �� ���� ��� ������ '���� � �� ������ ��� ����� /�# �� ��� ���� ����# ������� �� ������ '�� ���� ���� ��� ���� �� ����# ���� ��� ���� '���� ����� ����������# ����#���� '���� � � ������ 6������� ������ ��� ����# ������ ��� ��� ���� ������ �� ������ �� ����������� �� �������� '��� ������� �� ���� ������ /� ��� ��(���� ���� ��� ���� �������� �� ������������7��� �������� p (µ, p0) ���� ������ � ��� ������!� ������ �� ���� ���� �� ��� ����� �� �� ������ ������� ��������� &�'�!�# �� ��� ��� ���� ����# ��� ��'��� �� ���� ��������� �� ��� ���� ��� ���� ��� � � ��!�� �� ������ ���# ������# ��� ��� ���� ������ 2�� ��"�� �� �������� >���'��� � ������� � ������ �� "�� ���� ���� �� �������� '���� '��� �� ����������� ����# ��� �� ��� ������p (µ, p0)# ��� ��� ���� ���������7
vI (µE) = 0 �00�
���� ��'� � �������� !���� �� p0# '����� ��� ������ ��� ���� �������� p (µ)� -�� �������� ��������� ���� ��� ����� ������ ���� ������������ �� ��������# �� '���� ��� ���� ��� ����� ������ ��'���� ������ ��� ��������� ���� �� ��������� /�����# ��� !���� �������� vI (µ) �� ��������� ��µ# ������ p ���� ���� ������� ���� ��� "�� '��� ����� ���������� ������ �� ��� ���� �� µE� '���������� ���� �� ����������# '���� ����� �� ��� ���� '��� ���� <���!�# ����� vC (µ) ≥ vI (µ) � ��������������� "�� ��� ��'��� ��� �� ����� "�� ���# ������������ �� ��� ��������� �� ��������� ������������� �� ��� ������
8������# ������ ��� ���� ������ �������!� ������� ����� �� ��������� "��7 ���� ���� ���� �������� ���� ������� ���� ���� ��' �������� ���� '��� � �� �� ��� ���� ��!���� �������� � ����������' ������� (cH − cL) �� ������ ���� ��� ������� �������� ��"� ���������� '��� ��������� ��������������� ���� ��������� �� ��� ������
� �������� �� ��������� ��� ��� ������ �����
��� ���� �� '���� ��� ����(��!�� ��������� �� ��� ��'��� ����� �� (µE = λθ) �� ���������� ���������� ������ �� ��� �������� � ����� �� ���� ��� ���� %�'�� -� ��������� ����# ���� �� �� ������ !������ '���� ��� ��������� ��� ���� ���' λθ# ��� ���� �� "� �!� ����� ��� ������ ��� ����� �� ��������� ����� ��'�# �� �� ��� ������ ��� ���� ��!� ��������2����
/� ���� ����# H������� � ���������� ��������2�� ��� �!������� �� ��� "�$� ���������# ��� ���������� !���� ��������� �� ��"��� � ��� �����'��� ������� ���������7
vC (µ) = (1 − δ) (p (µ) − cH) + δ (1 − λ)∫ 1
0
vC (ϕ (µ, r)) dFH �0A��
vI (µ) = (1 − δ) (p (µ) − cL) + δ (1 − λ)∫ 1
0
vI (ϕ (µ, r)) dFL �0A �
�<������ ��� ���� ����� � �� �������� ����� vC (µ) , � �� ������ �� ,��� =� � ������� 4555� ������� -4�)����� -!-4/!
�<������ 8� ��9������ ���� ����� � � ���� ��� ����� �����1��� ������� � &������ �� ψ � ������� ������ ����- ,� ��������� ��� � � �� ��� �0 ������ � � ����� �0�� � ��/� ��� ���� � �������� ���� ���� 8�� �0 � 8������ � ��8 ������ ���� ��� ���� � ���� ���� ���� 8�� �0 � �� µE ��������� 8� �� ���������� ��� ���� ���� ������� ���� ����1���� ������� ��� �� ����� ��� ����� �� � ��� ������ �����! 28����� 8� ���� �� &��� �&� ����� �� � �� �!
�0
'��� ��� ����� ����+ �� ��!�� � ��� ��"� �����# ��� ��� �������� ������������ ����+ �� '������� � � �������� ����� δ ����� ��� ��!�!�� �� � ������
��� �����'��� �������!� ��� ������������ ���������� ���� ���� �� ��� µ ∈ [λθ, 1 − λ+ λθ]7
vC (µ) ≥ (1 − δ) (p (µ) − cL) + δ (1 − λ)∫ 1
0
vC (ϕ (µ, r)) dFL �0B�
vI (µ) ≥ 0 �0C�
��� "�� ���������� ���� ���� � ��������� "� '��� � ����� ��������� µ ������ ���� ���� ��������!� ��' �������� ��� ������ ���������� ���� ���� �� ����� "� ������ ���� �� � ����!�� 8������# ������ ���� ��������� ��7
vI (λθ) = 0, �0L�
'��� � ��� ������!� "�� �'��� ��������� λθ� ������ �� ���� ��� ������� ��� ������
?�� ����� H�������� 0A� ��� 0B# ��� ���!��� �� ��� ��+������� ���� �� ���� ��� ��' �������# '�� ����7
cH − cL ≤ δ (1 − λ)1 − δ
(∫ 1
0
vC (ϕ (µ, r)) dFH −∫ 1
0
vC (ϕ (µ, r)) dFL
). �0E�
9�"�� ��� ����(����(���� �� H������� 0E ��7
ξ (µ) ≡ δ (1 − λ)1 − δ
(∫ 1
0
vC (ϕ (µ, r)) dFH −∫ 1
0
vC (ϕ (µ, r)) dFL
). �0��
��� �������� ξ (µ) ������� ��� ���� ��� ��� ���"� �� �������� ���� ������� �� � ��!�� ����� ��������� �� ��!������ �� ��' ������� �� ��� ������ ���� ���"� ����� ��� ��� ������������ ��������� ����� ����� �� �����������
,���� vC ��� ϕ �� ��������� ���������# ��� ����� ��� ������ ���� H "��(��� �������������� ����(����� ��� ��� ���� L# ξ (µ) �� ������ ���(������!�� &�' ���� �� �� ������� �� ��� �� ��' ����� ������������ ��# ����# ��' ���� �� ��� ������� /� ���� ������� �� ��� ����� �� ��� !���� �������� vC # '������ ��� ������� �� ���� �� ��� ���� �������� p (µ)� �� ��� ���� ��� ������# ��� ϕn (µ, rn) ������ ���n−�� ������ �� ��� ������ ϕ ��� ��"��� � H������� �# ���� ��# ��� ��F����� �� � ��������� ��������� �� ��� ��!�� µ ��� ���� � ������ rn ≡ {rt}n
t=1 �� n �������� =�����!� �� ��������� �� H�������0A ��� ��� ����������� �� ��� ��' �� ������� ������������ ������7
vC (µ) = (1 − δ)∞∑
k=1
δk−1 (1 − λ)k−1EHk−1
[p(ϕk−1
(µ, rk−1
))− cH]
�0 ��
vI (µ) = (1 − δ)∞∑
k=1
δk−1 (1 − λ)k−1ELk−1
[p(ϕk−1
(µ, rk−1
))− cL]
�0 �
'��� ��� �� ����� Hn �� ��� ����������� ������ ����� ���� ���� �� ��� �������� �� ������� '��������� �� '���� ��� ����������� �� ����� ��� ��� ��'� ��� ��� ����� ����� FH ; �������� �� Ln
�� ���� �� FL�
��� !���� ��������� ��!� ��� ��� �� �� �������� ������ !���� �� ��"��# '��� ��� �������� ������������� ��� ��!�!�� �� � ����� (1 − λ)� =�������� vC (µ) �� H������� 0E �� �� 0 �# ��� '�����(ϕk−1
(ϕ (µ, r) , rk−1
))�� ��� k)�� ������ �� ��� ������ ϕ# ��� �������� ξ (µ) ������7
ξ (µ) =∫ 1
0
∞∑k=1
δk (1 − λ)kEHk−1
[p(ϕk−1
(ϕ (µ, r) , rk−1
))− cH]dFH
−∫ 1
0
∞∑k=1
δk (1 − λ)kEHk−1
[p(ϕk−1
(ϕ (µ, r) , rk−1
))− cH]dFL, �A1�
�A
'���� ��� � '����� ��� ��������� ��7
ξ (µ) =∫ 1
0
∞∑k=1
δk (1 − λ)k EHk−1
[p(ϕk(µ, rk
))− cH]dFH
−∫ 1
0
∞∑k=1
δk (1 − λ)kEHk−1
[p(ϕk(µ, rk
))− cH]dFL. �A��
/� � "��� ����# '� �������� ��� �������� ���� ��� ���� �� � ����7
ξ (µ) =∞∑
k=1
δk (1 − λ)k (EHk
[p(ϕk(µ, rk
))] − ELHk−1
[p(ϕk(µ, rk
))]). �A0�
'��� LHk−1 ������ �� � �������� �� ������ ��'� ���� ����� '��� L ��� ��������� '��� Hk−1�H������� A0 ���'� ���� ��� ��� ���"� �� �������� ���� ������� ������� �� ��' ������� ����� �� ������������� ����� �� ��� �������� ������� �� ��� ����� ��� "� '��� � � �� �� ����� �� !���� ����� �������������� ����� ���������� ��� �������� ����� �������� ��� ���� �������� δ �� '��� �� �����!�!�� �� � ����� (1 − λ)�
����# ��� �������!� ������� ����� ��������� ��� � '����� ��7
cH − cL ≤ ξ (µ) ∀µ ∈ [λθ, 1 − λ+ λθ] �AA�
��� ��������� ���� ���� �� ��� ����� �� ���� ��� �� ��� ��������� ��!�� ��� �������� ���"� ���������� � ����� ������� ���� ������ ��� ����� ��������� ���� !��� ��� ��� �������!� ������� �������������� ���� ��������� ���� �� ���� ���� �� ��� ���� ��+�������7
cH − cL ≤ minµ∈[λθ,1−λ+λθ]
ξ (µ) �AB�
6��� �������� ��� ��!����� �� ���� ������� �� ������ ��� �� ��� ����������� ������# ������ ����������� ���� ���������� �� �����!��� � �������������� ����� ��������� �� ��� ������ ���� �������� ���"� ������ �� ��� ���� �� ��� ���� �������� �� ��������� �� µ� <���!�# ��� �����'��� ����� ���'����� ��� ��������� �� ���� �������� ���"� �� ������� ������ �� ��� ����� �� p (µ)�
����� ���� ξ (µ) � � ������� �������� ������� �� ∂p(µ)∂µ .
#����� /��������� ��������!��� � ���� ���� -������� -�B �� ��������# H������� A0 ��� � '����� ��7
ξ (µ) =∞∑
k=1
δk (1 − λ)kEHk−1
[∫r1
∂p(ϕk(µ1, rk
))∂µk
∂ϕ(ϕk−1
(µ1, rk−1
), rk)
∂µk−1...
...∂ϕ (µ1, r1)
∂r1(FL (r1) − FH (r1)) dr1
], �AC�
'���∂p(ϕk(µ1,rk))
∂µk= ∂p(µk)
∂µk�� ��� ����� �� p (µ) �� µ = µk�
6� ���' ���� (FL (r) − FH (r)) > 0 ������ ��� ������ ����������� �� H "��(��� ����������������������� ��� ������ ����������� �� L� >� ��� ���� ����# ��� ����� ��� ��� ���������# ��� �����
��� ������� ���� ��� ������ rn, �� ���� ��� ���!���!�� ��!��!���∂ϕ(µ)
∂µ �� ������!�� �������# ��
��� ��!�� µk# ��� ����(���� ���� �� H������� AA)����# ��� �������� ��"� ���������� '��� �����!��� �
�������������� ����� ��������� �� ��� �����)�� ��������� �� ∂p(µ)∂µ �
�B
&����# ��� ������ ��� ����� �� p (µ)# ��� ����� �� ��� ���� ���� �� (cH − cL))��� ��+������� ������ ���� ��� ��' �������)������� � ��� �������!� ������� ����� ���������� ���� ��# ��� ������ �������� �� p (µ)# ��� ����� �� �� �� ��� �������!� ������� ����� ��������� �� � ����
D����� ���� ����� ��� �������� ξ ������� �� ��� ����� �� ��� ���� �������� p (µ)# '���� �� �� ������������ �� ��� ������ ���� �� ��� �����)��� ��������$ ����+�����)# �� � ������ ��� ξ '��������� ������ �� µ� ,���� ξ ������� ��� �������� ��� ���"� ��� �������� ���� �������# ���� ����������� �������!� ������� ����� '��� ��� � ������ �� ��� ��������� ��!�����
>� ��� ���� ����# ��� ��� ���� ��������� ������� � ������� �� p (µ)7 ��� �� ��� ������ �� ������������� ���� ���� �������� ����+���� ����� ��!���� ��� ������� ��� ������������ ��������� ����� µ ∈ (λθ, 1 − λ+ λθ)# ��� ��� ���� ��������� ���� ��'� ��� ��'���� ��� �����'��� ����� ���'����� �� �����!�� ������� �� � ����� ����)����# �� ��� <=, �� ��������� �� z)# ���� ��� ������!� �������+��� ���������� '��� �������� ���� ������� �� ��� ���� �������� �������� ��� ����� �� p (µ)�
����� ���� ��� ��%�� p0� ��� ����� � ∂p(µ,p0)∂µ � ��� ���� � ��� ������)� ������� ������ � �
������ �����
#����� ��� ��+������� �������� �� H������� 0� ���� ��� ����� �� p (µ) ����� �� ��� <=, �!������� ��z = y− p (µ)� .�� �� ��� ��� (p0, p
′0)# �� p0 < p′0 ���� p (µ, p0) < p (µ, p′0) �� ��� µ� ����# �� ��� <=,
�� ��������� �� z# ��� ��'� p0# ��� ����� ��� <=, ��# ��� ��� ������ ��� ����� �� p (µ)�
����� �������# ����� A�0 ��� ����� A�� ����� ����7
#������ ���� $� ��� ������)� ������� ������ � � ������ ����� ���� minµ ξ (µ) � �������� � p0�
-�� ���� �����# '������ ��� ���� ��� ������ ��� ���� ��������� �� �� ����� �� ���� �� ��� ��� '������ ����� G���������# ����# ��� ������ ��� � ��������� '������ ��� ���� �� ������ '��� ��� ������!��!�� � ��� �� p0# ��� �� ���� ����� ��� ���� ������ p0� ���� ����� �� �� �� ���� ������7
$%����� ���� $� ��� ������)� ������� ������ � � ������ ����� ���� ���� ����� �������� ��� �������� �� ��� �*������� ���� �� ��� ������ ��� %��� � ���'������ �������� ��� �� ���������
/�����# �� ���� �� ����# p0 ����� -� � �����������# ��� ���� ���� �� ��� ���� ��+������� minµ ξ (µ)�� H������� 0B ��������� ���� ����� ���� ��� ����(������� ������ ��� ��� � ��������� �� � '������� �� ��+������� ����� �� ���� �������� /� ���� '���# ��� ����(������� ������ ��� �� ����� ����������
-� �� �����������# ������� ��� ������� �� ,������ 0�A�0 ���� ��� ���� �������2����� �� 8���� A#������ a = d = 3# b = c = 2# λ = 0.1� 8���� B��� ������� ��� ������ �� ���� ��������� �� ��+������!��� �� p0# ��� 8���� B� � ��� ���������� ξ (µ) ��������� �� ��� ���� �� '���� ��������$ ����������� ��������� � ��� ��������7
u (q, z) = z (q + 1)
��� y = 1, 000� /� '� ������ cL = 0# ��� ��� ���� ��������� ����� p0 = −76# ��� ��'��� ��!� ��8���� B���� /� 8���� B��� '� ��� ���� ��� ����� ��� ���� ��������# ��� ���� ����� �� ��� /� 8����B� � '� ���"� ���� ��� ������� ��� ���� ��������# ��� ������ �� ��� ���� ���"� �� �������� ����������� �� ������� �� ������ A�B� 8���� C ������� ��� !���� ��������� �� ��������� ��� ����� "��'���� ��� ��'��� ������ ��� ���� ��������# �� ��� ��� ���� ���� (vI (µE) = 0); �� ��������# ���� �� ��� ���������# ��� ��� !����� �� ��������� "�� �� ��'��� ����� ���� �� ����� �����
�23���� ,4554/ ���� �� � ���� � 8� �� � �������� ����� ��������� � ��� � ������� �� ��� �0���� �� >�����&��8��� � �� ��� 8 ?�� � ��! )�� ��� � �� ���� ��+� �� � ��� &� ���� �8����� ���� ���� �! "� � � ���� �� ����� ��� �� �� ����� � � ������ ��� &� ������� �� >������ ���� ����! )�� ��� �&� ���� ��+�� ��� ��9������� ����� ���@� ������ �A ���� ��� �� ����� �� ������ ���! 28����� ���� � �� ���� ����� ���� ����� ���� 8�� +� �! "������� ���� ����� 9��� ��� ���&�� � �������� ���� ������ � &� ��?� ��� �� ���� ��9�������! ���������&� �� �� >������ ��� � � 0�� ��������! <������ 8��� �������� ���� ��� ������� �� � &���+ ���� �� >������ &������ �� �� ���B���� �� �� ��� 8��� ���� �� ��� �� � ��� ��� �� � �� ���� 8��� ���� �� ��� ����� ��B��� ��������@��1�1�?� &� �� &� ���!
�C
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
p0 = −76
p0 = 114
p0 = 304
p0 = 495
p(µ,p0)
µ
,�/ )�� ��� � � �� �� ����� �� p(µ, p0)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
50
100
150
200
250
p0 = −76
p0 = 114
p0 = 304
p0 = 495
ξ(µ,p0)
µ
,&/ )�� ��� � � ξ(µ, p0) ����� ��� ��� ���� &�������� ����� �� � �� ?�� ��!
8���� B7 M��� ��������� ��� ���� ���"� ��� ���� �������
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
50
100
150
200
250
300
350vτ (µ)
µ
vC(µ)
vI(µ)
8���� C7 5���� ��������� ���� ��� ���� �p0 = −76�
� �������� �� ��� ��� ����� ����
���� ������� ��������� ��� ��������� �� ��� ��!���� ������ �� ��� ���� �� '���� ��� ����(��!�� ���(������ �� ���� ������ �� � ������!� ���� �� "�� �� � '������ ���� �����# ����# µE > λθ.
��� "�� ��+����� �� ������ �� ���� H������� � �� ����� ����� �� ��� �!������� �� �� ����!� "�$����������� /������# �� �� ����� �� �7
µt+1 = ϕ∗ (µt, r, µE) , �AL�
'��� ��� �������� ϕ∗ �� ��"��� �7
ϕ∗ (µt, r, µE) = max {ϕ (µt, r) , µE} , �AE�
��� �%���� ��� ���� ���� "�� ������ �� �(���� ���� � ��������� µE '����!� ��� �� ��� ���������� ��� �� �� ���� ���� ��������� ����� ���' ��� �������� µE � ��� !���� ��������� ��� � '�����
�L
������ �� ����# ������ �������� ϕ � ϕ∗. ����# ��� �������� ξ (µ) �� ��"��� �7
ξ (µ) ≡ δ (1 − λ)1 − δ
(∫ 1
0
vC (ϕ∗ (µ, r, µE)) dFH −∫ 1
0
vC (ϕ∗ (µ, r, µE)) dFL
)�A��
����� A�� ����� ������ ��� ����� �� ������ �� ���� �!�� ������ ϕ∗ �� %�� �� ��� ����!�� (λθ, µE)
��� ������� �� �� ��� ���!���!�� �� ��� ���∂ϕ∗(ϕ∗k−1(µ1,rk−1),rk)
∂µk−1!�����# ���� �� ��'��� ����!���
'��� ������!� ���� '��� ����� ���!���!�� �� ������� ������!�# �������� � ������� ������!� ������������/������!���# ��� �� � ����� �� ���� � �� �� ����� ����� ����� �� ��� ����� ��'��� �������� '������ �� � ����� �� ������� ���� �� ��� �������# ������ ���� �� ��'��� � ������!� �� � ����� ���� ���������� '��� ����� ���������� ����� ���� µE �
-� ����� A�� ����� �����# �� ���� ������ A�B# �� ���� ������
���� �� �� ���������� ���� '��� ��� ����(��!�� ��������� ���� � ����� ���� λθ# ������# '������ ���� ����!� �� ���� ������!� "�� �� �� F��� �� ���� ������� �� � ����� �������� ��� �����+��� �� ����'��� �� ���� �� ��� ����!������ �� ��� ��!��� ��������� �+��� ���� ������!� "�� ���� �����#�� ��� ���� ������� ������ ��� ���� ������������# ���� ����� "�� ��� ���� �� ����� ������!����� ���� ���� ����� ����� "�� ���� ������� ������!� ��� ����� ��������� ������������� ����!������ ���������# ���� � ������� ��� ����� ����� �� �� ������ ��� �� '���� ���� ��� ���� �� ����#����# µE > λθ.
��� φa � ��� �� � ����� �� ������� ��������� ����������� �� ��!��� ���� ����!� ��� �������� ����#��� φi ��� ����������� �� � ����� ����������� �� ��!��� ���� ������!�� /� ��� ��!���� ��������#'� ��� φa = θ ��� φi = 0; ���� ���� ���������# ��� ���� �� ��������� "�� ������� �������� ����� ��!�� θ� D�'# ��'�!�# ��� ���� �� ��������� "�� �� ��� ��� ��7
����!� ���������� ���� ����$� ������ : θ (1 − λ+ λφa)����!� ������ ���� ������� : (1 − θ) λφa
������!� ������ ���� ������� : (κ− 1)λφi
��� ���� �� ��������� "�� '��� ���� ����� �������� �� θ ��7
θ = θ (1 − λ+ λφa) + (1 − θ) λφa + (κ− 1)λφi, �A �
'���� �� ����!����� ��7φa = θ − φi (κ− 1) �B1�
6� ������ ���� (1 − λ+ λφa)# ��� ������ ��������� �� ����!� "� ��� ����# �� ���� ���� θ;����'���# ���� ��������� "�� '���� ���� ��� ��� ���� �� ������!� "��# ��� ��� ����(��!����������� '���� � ��� ���� �� ��� "� �� '��� �� ���� ��� �'��
��� ����"�� !����� �� H������� # �� ��!�� �7
ϕ (µ, r) = λφa + (1 − λ)µfH (r)
µfH (r) + (1 − µ) fL (r). �B��
6� ����� ��!� ���� ��� ��+����� �������� �� ��� "�$� ��������� �� ��"��� �7
µt+1 = ϕ∗ (µt, r, µE) . �B0�
����'���# ��� ����"�� !����� �� H������� �E ��7
ψ (µ) ≡ αGC (µ) + β
αGC (µ) + (1 − α)GI (µ), �BA�
�E
'��� α ≡ (θ (1 − λ) + λφa) ��� β ≡ λ (θ − φa)� > ��!� ���� α ≤ θ ��� ���� β ��� � '����� ��β = θ−α � β = λφi (κ− 1)# ��� ���� �� ��'��( �� ���������� ����� ������!� "��� /� �� ����������� λθ ��� �� ����� � � "��� ����� �� ψ# ������ limx→λθ+ ψ (x) = ∞� /� �+���# ��� ���� �� �����'��( �� ���������� ����� ������!� "�� ������ ��������������� ���� '��� ������� '��� ������� �� "�� ���� ������ �� ��� ����� ������ �������
>� ��� ���� ����# ����� ψ �� ���������� ��� ψ (1 − λ+ λθ) = θ# �� ��� �� ����� ��� "��� �����µE ∈ (λθ, 1 − λ+ λθ)� <���!�# H������� BA ��� ��� ���� �������� �� ��� ��!���� !����� �H��������E� '��� ���� �� ��� ���������� �� µE ��� ��� ��������� �� � �������� �� H������� ��� &����# '�������� ������ ���� ����� ������!� "��# ��� ������ ��� ����(��!�� ��������� �� ������� ����� ������� ������� �����!� �� ��������� �µE > λθ�# �� ���� �� ��� ����� ���� �� ���� ��� ���� %�'� �� ��� ��������� ��� ����� "���
� ���� �� ����� �
/� ��� ���� �� �'� ������# ��� "�� '��� ���� ���� ��������� ��� ��' ����# ��� ��� ������ '�����' ���� ��������� ��� ���� ����# '���� �� ��� �'� �� ��� ������ �� � ������� �� ���� ����������������@ >� ������ ������� ���� ��� "�� ���� H!�� ������ ��� ���� �� ������# �������!�� �� ���� ������� ������ ��� ����������� ������ �� �����
��� ���������� ���� �������"�� ����������� ��'�� ����� �� �������� ��� ���� ��+������ �������������� ��!��� ��� � ���� �� ��� ����� �� � ��������!� ������ �������# ������7 6��� '���������� '��� �������!�� '��� ��� ����� ���� �� ��� ����� �'������ ��� ���� ��� ������ ���� �� ���� ��� ������ ����@
���� �� ���� ���������� ��������!� ������ ������ �� '���� ����# �� �������# ��� ���� �� �� ��������� ��������$ ������� .���� � ����� ����# ���� '���������� �� ��� �� ���������� '���� ���# ��������������� ��� ���� �������� '���� ����� ������� <���!�# ����� ����� '���� ������ ����#�� ���� � ���� ������ �+��� ��� ���� �������� '���� ��!� �� �������# �������� � ����� ��������� ��� ������ &����# �������!� ������� ����� '���� ����� ���� �������� ����!�� /� ���� ��� ���� ���+���� ����� �� ������� �� ������# ������ ��� ������� �� ��� ���� �� �������� �� �!����� ������ �������# '���� ��!� ��� �������� �+���)������ �!��� ����� �� �� ������ ���������
-� �� � �������# '� ��� '���� � ��� ��� ���������� ���� ��� �������� �� �����# � ������"���������� ��� ��� ����������� ���� ��� ����� �� ��� ���� �������� �� ������ ��������� � ������# ���������$ ����+������ 5��� �011�� �������� ��� ���� �� ������������ ��������# '��� ��� ���������� ���� ����!���� �� ��� ������������7 ����� ���� �� ������ ��� ��������!� �������� �� ���������� "��� &�'�!�# � ��� ������ �+��� ��� ��'� 6������� ���� ��������� �� �������
!�"������
.�(/����# &�# �������# ,�# 011�� ,���� ���������� 8���������� ��� ����� �© �� <������������ B#0EA)AC��
9� �� 8�����# -�# 0111� <����������� ������� ��� ������ �� ����������� ?�� ���� K��!����� M����
9������# 9� 6�# � � � =��������� ����������� �� �� � ������� ��� N����� �� M�������� H������ E �B�# �0�)�L0�K=� ������������������� �����������
8���� ��# 9�# ��!���# 9� ��# � � � =��������� ��� ������ ��� ��������� �� ����� '��� � ������������� H���������� CE �B�# EC )EE��K=� ������������������� �����������
��
G�����# D�# >����# N�# O���# 6�# � � M����� ?���������� �� ��� ?��������� -��������� <�����N����� �� H������� ����� �� ���# L1)����
&:��# N�# 0110� =��������� ��� ������������ ��� -������ H������� =�!��' 0 �A�# LBB)LLA�K=� ������������������� �����������
�����# .�# ���# �� .�# � ��� ��� ��� �� ����� ����� �� ������� ���������� ���������� ���N����� �� M�������� H������ � �B�# L�C)LB��K=� ������������������� �����������
<������# G� N�# ,��������# ��# 011�� 6�� '���� � ���� ���������@ ��� =�!��' �� H������� ,������L� �0�# B�C)BB��K=� ������������������� �����������
<�����# M�# =� ���# N�# � �0� ����� ������ ��� ���� ���� ���������� ����������7 -� ������ ������������ H���������� C1 �0�# BBA)BC �K=� ������������������� �����������
D�����# M�# � E1� /��������� ��� ������� ���!��� ��� N����� �� M�������� H������ E� �0�# A��)A0 �K=� ������������������� �����������
�������# ,�# � � 6���$� �� � ����@ ��������� �� � ����� �� ������ ��� -������ H������� =�!��'� �A�# CB�)CLA�K=� ������������������� ����������
�������# ,�# 0110� ��� ����� �� ���������� �� �� �������!� ���������� ��� N����� �� M��������H������ ��1 �B�# �CB)��0�K=� ������������������� �����������
5���# .�# 011�� ?��������!� ������ ��� ��� ��������� ���� �������� �� ��� ���������� 9����������� �� �F� A0E# /�������� �� H�����P�� M����"��� K��!������ ?��Q���� �� ?�����K=� ���������� ������������������� ���������
# #�������
��� ��������� �� ��� ��������� ������������
���� ������� ���!�� H������� �B# '���� ��!�� ��� ����� ������ �� ��������� �� ��������� ��� ����������# Pr (µt+1 ≤ x|τt+1) = G
τt+1t+1 (x)�
��� H ������ ��� F���� ��� �� ��� ����� !��� ��� (µt+1, µt, τt+1, τt, rt) ���� ��� ����(t ��������������� �����# ��� ��� �������� � ��� ���� ��� ���� ���������� ��� ���� ��� ����(t + 1 ���������������� H �� � ����� ����� �����7 '���� µt ��� µt+1 �� ���������� ����� !��� ���# τt ��� τt+1 ���������� <���!�# µt ��� � ����� ���� �� µE � ��� ������� ��� �� H �!� µt �� ������� � Gt (µt);������ ���� �� �� ������������� �� µE � Gt+1 (µt+1) �� ��� �������� !����� �� Gt+1 (µt+1)# ����# ������� ���� ��� ���� ������7 �� µt+1 ≥ µE # Gt+1 (µt+1) = Gt+1 (µt+1) , ����'���# Gt+1 (µt+1) = 0�8������# ��� ������� ��� �� H �!� rt ����������� �� τt �� ������� � Fτt # ��� ������� �� ��!� ��������� D��� ���� ��� ����� ����� �� rt ���� ������� �� ����� ���� τt�
&����# ��� ����� ������ ��
�"� ��� � ��1?�� �� �?� &� ��� � �������� ���� ��� ��� ��� � � �� ?�� �� � ���� ��� � ������ ��� ���8� ���FH , 8� � ���� ����@ ������ ��� ���8� ��� FL! 2����� 8� ��� � �� �� ��� ���� � &� 8� � �� FC ������ � FH ���� FI ������ � FL� � ���� �� �� ��� ���� ��� ������� �� ��� ���� ��� �&�! )��� � 8�� 8� 8� �� Fτt .
�
���������� ��� ������� ����� �� H �� �����'�7
Gτt+1t+1 ≡ H (µt+1|τt+1) Gt+1 ≡ H (µt+1)
Gτt
t ≡ H (µt|τt) Gt ≡ H (µt)Fτt ≡ H (rt|τt)
>� ��� ���� ����# ��� ��������� ����(������ ������ �� ����������� �� ��� ���� !��� ��# ��� ������� ����� �� � ��� F���� ����� ����� �� �� �� �7
.���� (τt)C I <������
-��� C θ (1 − λ+ λθ) λθ (1 − θ) θ(τt+1) I λθ (1 − θ) (1 − λθ) (1 − θ) 1 − θ
<������ θ 1 − θ
�� �� �7 N���� ����� ����� �� �����
��� ������� ����� ������ �!� µt+1 � ���� ����������# ����������� �� τt+1# �� ��� ����������� ��H (µt+1|τt, rt, µt, τt+1) �!� τt# rt# ��� µt� 8� ��������# �� ��� ���� �� τt+1 = C# '� ��!�7
GCt+1 (x) = Pr (µt+1 ≤ x|τt+1 = C)
= H (µt+1|τt+1 = C)= Eτt [Ert [Eµt [H (µt+1|τt, rt, µt, τt+1 = C)]]]
���� �� ��+���� '��� �� '���� '� ��� ������� ���� �����������# ��������� �� ��� ��� �� ����(������ '� ������� /� ��� ����# ������ ���� ���� �� � ���������� ������� ��'��� µt+1 ��� (µt, rt)# ������ ������ � H������� 7
µt+1 = ϕ (µt, rt)
���� ������� ���� '��� ������������ �� (rt, µt)# H ������ ��� �������� ��������7
H (µt+1|rt, µt) = 1{ϕ(µt,rt)≤µt+1}
����# '� ��� '���7
GCt+1 (x) = Eτt
[Ert
[Eµt
[1{ϕ(µt,rt)≤x}|τt, τt+1 = C
]]]/� '� ���� '��� ��� ����������� �!� ��� ����� ����# '� ���7
GCt+1 (x) =
∑τt
Pr (τt|τt+1 = C)Ert
[Eµt
[1{ϕ(µt,rt)≤x}|τt, τt+1 = C
]]=����� ��� H�������� �A ��� �0 ���� '� '���7
µt = µ̃ (x, rt)rt = r̃ (x, µt)
�� ��� �������� ��������� �� µt ��� rt ��� x = ϕ (µt, rt)� &����7
Eµt
[1{ϕ(µt,rt)≤x}|τt, τt+1 = C
]= G
C
t (µ̃ (x, rt))
�� ���� '� ���7
GCt+1 (x) = (1 − λ+ λθ)Ert
[G
C
t (µ̃ (x, rt)) |τt = C, rt
]+ λ (1 − θ)Ert
[G
I
t (µ̃ (x, rt)) |τt = I, rt
]01
>� ��� ���� ����# ��� ����������� Ert
[G
C
t (µ̃ (x, rt)) |τt = C, rt
]���� � �������� ����� �� ����
���� r ������� � ������������� ����� ����� �!� GC
t (µ̃ (x, rt))# '��� ����� ���� �� 1� ����# '� ����� ������ ��� �'� �!���� �������� � ��� ����� �� �������������7
Ert
[G
C
t (µ̃ (x, rt)) |τt = C, rt
]= Pr (rt > r̃ (x, µE))Ert
[G
C
t (µ̃ (x, rt)) |τt = C, rt > r̃ (x, µE)]
+ Pr (rt ≤ r̃ (x, µE))Ert
[G
C
t (µ̃ (x, rt)) |τt = C, rt ≤ r̃ (x, µE)]
'��� Ert
[G
C
t (µ̃ (x, rt)) |τt = C, rt > r̃ (x, µE)]R1# �� ����7
Ert
[G
C
t (µ̃ (x, rt)) |τt = C, rt
]= (1 − Fτt (r̃ (x, µE))) ∗ 0 +
∫ r̃(x,µE)
0
GC
t (µ̃ (x, rt)) dFH
M������� ���� ��� �������� �� GCt+1 (x)# '� ���7
GCt+1 (x) = (1 − λ+ λθ)
∫ r̃(x,µE)
0
GC
t (µ̃ (x, rt)) dFH + λ (1 − θ)∫ r̃(x,µE)
0
GI
t (µ̃ (x, rt)) dFL �BB�
-� ��������� �������� �� � ������ �� GIt+1 (x) :
GIt+1 (x) = λθ
∫ r̃(x,µE)
0
GC
t (µ̃ (x, rt)) dFH + (1 − λθ)∫ r̃(x,µE)
0
GI
t (µ̃ (x, rt)) dFL �BC�
,���� Gτ
t (µ̃ (x, rt)) = Gτt (µ̃ (x, rt)) �� ��� rt ≤ r̃ (x, µE)# '� ��� ������ G
τ
t (µ̃ (x, rt)) � Gτt (µ̃ (x, rt))
�� H�������� BB ��� BC# ��� � ���� H������� �B# �� �������
��� ����� �� ��� ���
6� ���� � ���� ������� ���� ��� ������ T ��"��� � H������� �L �� � ���������� ������� �� ���
��� �� ���� �� ���$� (GC, G
I) ����'�� '��� ��� �����'��� �����7
ρ((G
C, G
I),(H
C, H
I))
= max{ρ∞(G
C, H
C), ρ∞
(G
I, H
I)}
,
'���;
ρ(G
τ, H
τ)
= supx∈[λθ,1−λ+λθ]
∣∣∣Gτ(x) −H
τ(x)∣∣∣
��� τ ∈ {C, I} . ��� ������� �� ����� �!� x ∈ [λθ, 1 − λ+ λθ] ����� ��� ������� �� G ��� H ����'��� ��������� �� ���� ����!���
=����� ���� ��� ������ T �������� ��� ���(G
C
t , GI
t
)���� � ���
(G
C
t+1, GI
t+1
)�������� ��7
Gτ
t+1 (x) ={
0 x < µE
Gτt+1 (x) x ≥ µE
�� τ = C, I,
'���7
GCt+1 (x) = (1 − λ+ λθ)
∫ r̃(x,µE)
0
GC
t (µ̃ (x, rt)) dFH + λ (1 − θ)∫ r̃(x,µE)
0
GI
t (µ̃ (x, rt)) dFL,
GIt+1 (x) = λθ
∫ r̃(x,µE)
0
GC
t (µ̃ (x, rt)) dFH + (1 − λθ)∫ r̃(x,µE)
0
GI
t (µ̃ (x, rt)) dFL,
0�
'��� µE ∈ (λθ, 1 − λ+ λθ) �� ������ �� � ���������
8��� ������ ����# �� ���� �� �� "�� '��� ��������� ����� ���' µE � � �!� (1 − λ)+λθ# '� ��!�7
Gτ
t (µ) = Hτ
t (µ) = 0 �� µ < µE ���
Gτ
t (µ) = Hτ
t (µ) = 1 �� µ > (1 − λ) + λθ
�� ��� ����� ����� �� ���������� Gτ
t � <���!�# ��� ��"������� �� r̃ (x, µ) ��� µ̃ (x, r) ����� ����7
�� µ̃ (x, r̃ (x, µE)) = µE #
0� µ̃ (x, r) < µE ⇔ r > r̃ (x, µE) ������ '�� ��!� � ��������� x ����� ��� ��� � ��������� ��'����� µE ��� ��!���� ����� �� ����� '�� � ������ ������� �� �� ����� r̃ (x, µE)�# ���
A� µ̃ (x, r) > 1−λ+λθ ⇔ r < r̃ (x, 1 − λ+ λθ) ������ '�� ��� � ����� ��������� ���� 1−λ+λθ��� ��!���� ����� ��� ��!� � ��������� x ����� �� ����� '���� ������� '�� ��'� ����r̃ (x, 1 − λ+ λθ)��
&����#
Gτ
t (µ̃ (x, rt)) = Hτ
t (µ̃ (x, rt)) = 0 �� r > r̃ (x, µE) ���
Gτ
t (µ̃ (x, rt)) = Hτ
t (µ̃ (x, rt)) = 1 �� r < r̃ (x, 1 − λ+ λθ) .
�������# ��� �������� ��'��� GC
t+1 ��� HC
t+17
ρ∞(G
C
t+1, HC
t+1
)= sup
x
∣∣∣GC
t+1 (x) −HC
t+1 (x)∣∣∣
��� � �'����� ��7
ρ∞(G
C
t+1, HC
t+1
)= sup
x
∣∣∣∣∣(1 − λ+ λθ)∫ r̃(x,µE)
r̃(x,1−λ+λθ)
(G
C
t (µ̃ (x, rt)) −HC
t (µ̃ (x, rt)))dFH
+λ (1 − θ)∫ r̃(x,µE)
r̃(x,1−λ+λθ)
(G
I
t (µ̃ (x, rt)) −HI
t (µ̃ (x, rt)))dFL
∣∣∣∣∣ .K���� ��� �������� �� ��� ��� ��� |·| �������# ��� ��� ��"������ �� ρ∞
(G
τ
t , Hτ
t
)# '� ���� ���'
00
����7
ρ∞(G
C
t+1, HC
t+1
)≤ (1 − λ+ λθ) sup
x
∣∣∣∣∣∫ r̃(x,µE)
r̃(x,1−λ+λθ)
(G
C
t (µ̃ (x, rt)) −HC
t (µ̃ (x, rt)))dFH
∣∣∣∣∣+λ (1 − θ) sup
x
∣∣∣∣∣∫ r̃(x,µE)
r̃(x,1−λ+λθ)
(G
I
t (µ̃ (x, rt)) −HI
t (µ̃ (x, rt)))dFL
∣∣∣∣∣≤ (1 − λ+ λθ) sup
x
∫ r̃(x,µE)
r̃(x,1−λ+λθ)
∣∣∣GC
t (µ̃ (x, rt)) −HC
t (µ̃ (x, rt))∣∣∣ dFH
+λ (1 − θ) supx
∫ r̃(x,µE)
r̃(x,1−λ+λθ)
∣∣∣GI
t (µ̃ (x, rt)) −HI
t (µ̃ (x, rt))∣∣∣ dFL
≤ (1 − λ+ λθ) supx
∫ r̃(x,µE)
r̃(x,1−λ+λθ)
ρ∞(G
C
t , HC
t
)dFH
+λ (1 − θ) supx
∫ r̃(x,µE)
r̃(x,1−λ+λθ)
ρ∞(G
I
t , HI
t
)dFL
= (1 − λ+ λθ) ρ∞(G
C
t , HC
t
)sup
x
∫ r̃(x,µE)
r̃(x,1−λ+λθ)
dFH
+λ (1 − θ) ρ∞(G
I
t , HI
t
)sup
x
∫ r̃(x,µE)
r̃(x,1−λ+λθ)
dFL
.��∫ r̃(x,µE)
r̃(x,1−λ+λθ)dF = F (r̃ (x, µE)) − F (r̃ (x, 1 − λ+ λθ)) < 1 �� ��� x ∈ [λθ, 1 − λ+ λθ]� ��� ��
��"�� β �� �����'�7
β = max
{sup
x∈[λθ,1−λ+λθ]
FH (r̃ (x, µE)) − FH (r̃ (x, 1 − λ+ λθ)) ,
supx∈[λθ,1−λ+λθ]
FL (r̃ (x, µE)) − FL (r̃ (x, 1 − λ+ λθ))
}< 1.
����#
ρ∞(G
C
t+1, HC
t+1
)≤ (1 − λ+ λθ) ρ∞
(G
C
t , HC
t
)β
+λ (1 − θ) ρ∞(G
I
t , HI
t
)β
≤ βρ((Gt
C, Gt
I),(Ht
C, Ht
I))
8����'��� � ������ �������# '� ��� ���' ���� ��� �������� ��'��� GI
t+1 ��� HI
t+1 �����"��7
ρ∞(G
I
t+1, HI
t+1
)≤ βρ
((Gt
C, Gt
I),(Ht
C, Ht
I))
,
6� ���� �������� ����7
ρ((G
C
t+1, HC
t+1
),(G
I
t+1, HI
t+1
))≤ βρ
((Gt
C, Gt
I),(Ht
C, Ht
I))
,
��� ����� T �� � ���������� ��������
0A
<���!�# ��� ��� �� ����� ����� ��������� G '��� ������ ��������� �� ��� ����!�� [λθ, λθ + (1 − λ)]����'�� '��� ��� ��� �����# ρ∞# �� � �������� ����� ������ �������# ��� ��� �� ���� �� ����� �������������� '��� ��� ����� ��"��� � �!� �� ���� � �������� ����� �����# ��� ����� .�����$� 8����(M���� ������ �������� -� � �����# '� ���' ���� T ��� � ������ "��� ����� �� ���� ���# ��� �� ��� � ������ �������� ��� ��� ��� �� ����� ����� ����������
D����� ����7
��� �� '� ��� ���� λθ ������� �� µE �� ��� ��'� ���� �� ���������� �� ��� ����# '� '���� ��!�� ������ � ����� ������� β) �� '� '���� ����� � � �� �� ��!� ���� T �� � ���������� �������);
���� µE ��� ���� �+���� ��� ������� �� ��� ����������# �� ���� ��� �������� ����� ������
����# ��� ���� �� ��� ��������� �� � ������ ����� ����� ����� �� ���������� �� ��� �+����� � ��� ��(�������� ����(���� ������ �� ���� �� µE �� "���# �� ��� ����� �� ��� ������ ����� ����� ����� ��� ������������� �� FH �� FL ������� ���� GC ��� GI �� ���������� '��� ������ ������ [λθ, 1 − λ+ λθ]�/� ���# ��� ���� ���� FH "��(��� �������������� ��������� FL ������� ���� GC "��(��� �������(������� ��������� GI � �� ��� ����# ������ ���� �� '� ���� �� t = 0 '��� GC
0 = GI0# ���� G
Ct ≤ GI
t ����� t > 0# ��� ������� GC ≤ GI �
��� ����� �� ��� ��
=���� � ���� '� ��"��� ψ �� �����'�7
ψ (x) ≡ θGC (x)θGC (x) + (1 − θ)GI (x)
,
'���� ��� ������ ����� ����� ������ �������7
GC (x) = (1 − λ+ λθ)∫ r̃(x,µE)
0
GC
(µ̃ (x, r)) dFH + λ (1 − θ)∫ r̃(x,µE)
0
GI(µ̃ (x, r)) dFL
GI (x) = λθ
∫ r̃(x,µE)
0
GC
(µ̃ (x, r)) dFH + (1 − λθ)∫ r̃(x,µE)
0
GI(µ̃ (x, r)) dFL
��� �� ��"�� ��� �������� ��7
IC (x) ≡∫ r̃(x,µE)
0
GC (µ̃ (x, r)) dFH .
II (x) ≡∫ r̃(x,µE)
0
GI (µ̃ (x, r)) dFL.
6� ��� �$&������� ��� �� � ����7
limx→λθ+
IC (x)II (x)
= limx→λθ+
∂IC(x)∂x
∂II(x)∂x
= limx→λθ+
∂r̃∂xG
C (µE) fH (r̃ (λθ, µE)) +∫ r̃(x,µE)
0∂GC(µ̃)
∂µ̃∂µ̃∂xdFH
∂r̃∂xG
I (µE) fL (r̃ (λθ, µE)) +∫ r̃(x,µE)
0∂GI(µ̃)
∂µ̃∂µ̃∂xdFL
,
'��� '� ��� ��� ���� ���� µ̃ (x, r̃ (x, µE)) = µE � &�'�!�# r̃ (λθ, µE) = 0� &����# �� fH (0) = 0 ���
fL (0) �= 0 '� ���' ���� limx→λθ+IC(x)II (x) = 0� /� ��� fH (0) ��� fL (0) �� 2��# ���� '� ��� �����
0B
�$&������� ����� �� � ����7
limx→λθ+
IC (x)II (x)
= limx→λθ+
(
∂2r̃∂x2G
C (µE) fH (r̃) +(
∂r̃∂x
)2GC (µE) ∂fH (r̃)
∂r(∂2r̃∂x2GI (µE) fL (r̃) +
(∂r̃∂x
)2GI (µE) ∂fL(r̃)
∂r
∂r̃∂x
∂GC(µ̃)∂µ̃
∂µ̃∂x
∣∣∣r̃(x,µE)
fH (r̃) +∫ r̃(x,µE)
0
(∂2GC(µ̃)
∂µ̃2∂µ̃∂x + ∂GC(µ̃)
∂µ̃∂2µ̃∂x2
)dFH
)∂r̃∂x
∂GI(µ̃)∂µ̃
∂µ̃∂x
∣∣∣r̃(x,µE)
fL (r̃) +∫ r̃(x,µE)
0
(∂2GI(µ̃)
∂µ̃2∂µ̃∂x + ∂GI(µ̃)
∂µ̃∂2µ̃∂x2
)dFL
)
����# �� ∂fH (r̃)∂r
∣∣∣r̃=0
= 0 ��� ∂fL(r̃)∂r
∣∣∣r̃=0
�= 0# '� � ���� ��� ������ ������ /� ���# '� ����� �$&�������$�
��� �����# ����� '� ��!� f(n)H (r̃)
∣∣∣r̃=0
= 0 ��� f(n)L (r̃)
∣∣∣r̃=0
�= 0 �� ���� n�
�� !���"���� �� #������ �$ � ��� ���
��� �������!� ������� ����� ��������� ��7
cH − cL ≤∞∑
k=1
δk (1 − λ)kEHk
[p(ϕk(µ, rk
))]− ∞∑k=1
δk (1 − λ)kELHk−1
[p(ϕk(µ, rk
))]��� "�� ����������� � �!� ��� � '����� ��7
EHk
[p(ϕk(µ, rk
))]=∫
rk
...
∫r1
p (ϕ (...ϕ (µ1, r1) ...rk)) dFH (r1) ...dFH (rk) .
6��� ���������� � ���� ��� "�� ������� ��� � �����7∫rk
...
∫r2
{∫r1
p (ϕ (...ϕ (µ1, r1) ...rk)) dFH (r1)}...dFH (rk)
=∫
rk
...
∫r2
{(p (ϕ (...ϕ (µ1, r1) ...rk))FH (r1))|10
−∫
r1
∂p (ϕ (...ϕ (µ1, r1) ...rk))∂µk
∂ϕ(ϕk−1
(µ1, rk−1
), rk)
∂µk−1...∂ϕ (µ1, r1)
∂r1FH (r1) dr1
}...dFH (rk)
=∫
rk
...
∫r2
{p (ϕ (...ϕ (1 − λ+ λθ, r2) ...rk))
−∫
r1
∂p (ϕ (...ϕ (µ1, r1) ...rk))∂µk
∂ϕ(ϕk−1
(µ1, rk−1
), rk)
∂µk−1...∂ϕ (µ1, r1)
∂r1FH (r1) dr1
}...dFH (rk)
M�������� '��� ��� ������ ���7∫rk
...
∫r3
{∫r2
p (ϕ (...ϕ (1 − λ+ λθ, r2) ...rk)) dFH (r2)}...dFH (rk)
=∫
rk
...
∫r3
{(p (ϕ (...ϕ (1 − λ+ λθ, r2) ...rk))FH (r2))|10
−∫
r2
∂p (ϕ (...ϕ (1 − λ+ λθ, r2) ...rk))∂µ
...∂ϕ (1 − λ+ λθ, r2)
∂r2FH (r2) dr2
}...dFH (rk)
0C
��� �������� �� ��� �������� ��������7
EHk
[p(ϕk(µ, rk
))]=
−∫
rk
...
∫r1
∂p (ϕ (...ϕ (µ1, r1) ...rk))∂µk
...∂ϕ (µ1, r1)
∂r1FH (r1) dr1...dFH (rk)
−∫
rk
...
∫r2
∂p (ϕ (...ϕ (1 − λ+ λθ, r2) ...rk))∂µk
...∂ϕ (1 − λ+ λθ, r2)
∂r2FH (r2) dr2...dFH (rk)
− ...+ p (1 − λ+ λθ)
-������� ��� ���� ������� �� ELHk−1
[p(ϕk(µ, rk
))]��� ���������� ����# ��� �������!� �������(
����� ��������� ��� � '����� ��7
cH − cL ≤∞∑
k=1
δk (1 − λ)k∫
rk
...
∫r1
∂p (ϕ (...ϕ (µ1, r1) ...rk))∂µk
∂ϕ(ϕk−1
(µ1, rk−1
), rk)
∂µk−1...
...∂ϕ (µ1, r1)
∂r1(FL (r1) − FH (r1)) dr1...dFH (rk)
=∞∑
k=1
δk (1 − λ)kEHk−1
[∫r1
∂p(ϕk(µ1, rk
))∂µk
∂ϕ(ϕk−1
(µ1, rk−1
), rk)
∂µk−1...
∂ϕ (µ1, r1)∂r1
(FL (r1) − FH (r1)) dr1
]
0L