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CAPITULO 2

FUNCIONES

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2.1 FUNCIONES. Qu es una funcin? Miremos un ejemplo concreto. Verano de 2005 en San Luis. La siguiente tabla muestra las temperaturas mximas registradas en la ltima quincena de enero.

Fecha (Enero 2005) 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Temperatura C 27 28 31 32 27 14 17 18 29 31 31 31 30 29 28

Estas dos cantidades, temperatura, que denotaremos por T y fecha, denotada por d, estn relacionadas. Observemos que cada da registra una nica temperatura mxima. Esta caracterstica hace que la temperatura sea funcin de la fecha y escribimos,

T = f (d) Definimos funcin de la siguiente manera DEFINICIN 1: Decimos que f es una funcin de t si cada valor de t tiene asociado un nico valor H = f(t). Decimos que H es el valor de la funcin o variable dependiente y t, es el argumento o variable independiente. Escribimos H = f (t), cuando el nombre de la funcin es f. En el ejemplo anterior, T = f (d). La cantidad d = 20 (correspondiente al da 20) tiene asociada la temperatura T = 14. Decimos, T = f(20) = 14. En este curso tanto la variable dependiente como la variable independiente, toman valores en los nmeros reales. DEFINICIN 2: El dominio de una funcin es el conjunto de valores posibles

para la variable independiente. El rango es el correspondiente conjunto de valores de la variable

dependiente. Observacin

Un valor r ( o nmero) pertenece al rango de una funcin f si existe algn valor x en el dominio de f tal que r = f (x).

En el ejemplo de la temperatura, la variable independiente es d la cual representa la fecha y el dominio son todas las fechas posibles, en este caso, esas fechas estn representadas por el conjunto de nmeros enteros del 15 al 29. La variable dependiente es la temperatura T y el rango es el conjunto de temperaturas mximas registradas en aquellas fechas. La funcin asigna a cada fecha una temperatura. Las funciones juegan un rol importante en las ciencias. Frecuentemente, se observa mediante un experimento que una cantidad es una funcin de otra y luego, se trata de encontrar una frmula razonable para expresar esa funcin.

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Por ejemplo, hasta cerca de 1590 no haba forma de medir la temperatura. Las personas slo tenan una idea relativa de ella, ms fro o ms calor, pero no se saba qu nmero representaba a esa temperatura ( no exista el termmetro). Hasta que apareci el genio de Galileo. l fue el primero en pensar a la temperatura como funcin del volumen de un fluido, afirmndose en el hecho de la expansin de los fluidos cuando estos se calientan. Estableci la relacin y de esa manera hoy podemos medir la temperatura . Cuando se encuentra una funcin que representa una situacin de la vida real, se dice que se ha realizado un modelo matemtico. Estos modelos muestran ms claramente la relacin entre variables y ayudan a hacer predicciones, es decir, predecir el valor correspondiente a un valor no tabulado de la variable independiente. Representacin de funciones: Tablas, Grficos y Frmulas. Las funciones pueden ser representadas de diferentes maneras : por tablas, por grficas, por frmulas y descripciones en palabras. La funcin que da la temperatura como funcin de la fecha, est representada por una tabla y tambin puede ser representada por una grfica como la de figura 2.1 a) o b).

FIGURA 2.1 a) FIGURA 2.1 b) En el grfico 2.1 b), el trazo es continuo y se podra pensar que entre dos lecturas de la tabla, representa el comportamiento de la temperatura entre la mxima de un da y la mxima del da siguiente. Otras funciones surgen naturalmente como grficas. Por ejemplo, un electrocardiograma (ECG). En la figura 2.2 se muestra las grficas de pulsaciones de dos pacientes. En el de la izquierda las pulsaciones son normales, mientras que en el de la derecha se observan

FIGURA 2.2: a) sano b) enfermo

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perturbaciones. An cuando es posible construir una frmula para aproximar una funcin de un ECG, y cada ECG representa una funcin que muestra la actividad elctrica como funcin del tiempo, rara vez se hace. El mdico necesita conocer un patrn de repeticiones y esto es ms fcil de observar en una grfica que en una frmula. Como otro ejemplo de funcin, consideremos el grillo del pino. Investigadores de la biologa han comprobado que la rapidez con que se repite el chirrido de este grillo, es la misma para todos los grillos que se encuentran a igual temperatura. Esto significa que puede establecerse una relacin funcional entre el ritmo del chirrido y la temperatura. En otras palabras, si conocemos la temperatura podemos determinar cuantos chirridos por minuto suceden. Mas sorprendente es que ese ritmo que llamaremos C, aumenta uniformemente con la temperatura T. En grados Fahrenheit y usando alto grado de precisin en las mediciones, se ha hallado una frmula que representa ese fenmeno.

C = 4T 160 Cuando expresamos a C como una funcin de T, escribimos C = f (T) = 4T 160. La grfica de esta funcin est en la figura 2.3.

0 20 40 60 80 100 1200

50

100

150

200

250

300

350

400

T ( grados Farenheit)

C

( cru

jido

por m

inut

o )

C = 4T - 160

FIGURA 2.3 Es importante interpretar la informacin que nos brinda la grfica de una funcin. Cuando observamos la grfica de una funcin, podemos describir el comportamiento de las variables a partir de ella. Por ejemplo, supongamos que una persona X, debe caminar desde su casa a un lugar fijo (3000 metros) en 40 minutos. La representacin de la distancia recorrida desde su casa, en funcin del tiempo que demora en recorrerla, est dada por la siguiente grfica

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20

25

30

t (tiem po en m inutos )

d (1

00xd

= di

stan

cia

desd

e el

hog

ar)

FIGURA 2.4

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Qu podramos decir acerca del comportamiento de esta persona durante el recorrido? Leyendo la grfica, multiplicando por 100 las marcas en el eje y, podramos decir que en los primeros 20 minutos (en los que ha avanzado 1000 metros), ha mantenido un ritmo (una velocidad) constante; luego por 10 minutos ha descansado ( no hay avance en la distancia) y por ltimo ha debido acelerar la marcha para llegar a horario a destino. En lo que sigue, vamos a un aspecto ms algebraico del tema y el objetivo es determinar algebraicamente los conjuntos en los cuales se mueven las variables. Dominio y rango. Ejemplos. Si el dominio no est especificado, usualmente tomaremos el mayor conjunto posible de nmeros reales. Por ejemplo, usualmente pensamos que el dominio de la funcin

f(x) = x2es todo el conjunto de todos los nmeros reales, mientras que el dominio de la funcin

g(x) =x1

es el conjunto todos los nmeros reales excepto el cero. A veces, sin embargo, podemos especificar o restringir el dominio. Por ejemplo, si la funcin f(x) = x2 es usada para representar el rea de un cuadrado de lado x, consideramos slo valores no negativos de x, luego el dominio queda restringido a los nmeros reales positivos y el cero.

Ejemplo 1 En los productos farmacuticos debe especificarse la dosis para adulto y para nio. Una frmula sugerida para obtener la dosis para nios a partir de la de adultos es

atN24

1+= donde a denota la dosis para adultos (mg) y t indica la edad del nio (en

aos). Cul es el dominio para esta funcin ? Solucin Si consideramos la ecuacin

atN24

1+= simplemente como una relacin matemtica entre N y t, cualquier valor de t

es posible. Sin embargo, si pensamos en ella como la edad del nio, t debera tomar valores entre 0 y 12 (aproximadamente).

Por lo tanto, para N = f ( t ), se tiene Dominio : todos los valores de t entre 0 y 12. Escrito en notacin de conjunto:

D(f) = {t R tales que , 0 t 12} En notacin de intervalos

D(f) = [0,12] Decimos que la funcin N = f ( t ), est representada por la frmula

atN24

1+= sobre el dominio 0 t 12

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Considerando el dominio determinado, cual ser el rango de esa funcin f? Nuevamente, si miramos la relacin N = f(t), simplemente como una relacin matemtica, su rango son todos los nmeros reales. Sin embargo si interpretamos la cantidad N como la dosis en mg., la funcin predice

cantidades entre 24a (cuando t = 0) y a

2413 (cuando t = 12). Por lo tanto, el

rango de f es el conjunto de todos los valores N, entre 24a y a

2413 , escrito en

trmino de conjunto

R(f) = {N R tales que 24a N a

2413 }

Si a = 100mg, el rango es el intervalo [4.17, 54.16]. Con valores aproximados a dos dgitos.

Observacin:

Nosotros hemos considerado la edad como variable independiente, es decir, hemos usado la edad t, para predecir la dosis N. Sin embargo, podramos haber usado N para determinar la edad y en este caso N es la variable independiente y t la dependiente. As, cul es la variable independiente y cul la dependiente, depende de nuestro punto de vista.

Ejemplo 2. Sea y = f(x) = 1x . Hallar el dominio y rango de f. Solucin. El dominio de f sern todos los nmeros reales para los cuales esa raz est

definida. Estar definida significa: el resultado de calcular 1x es un nmero

real, para lo cual se requiere x - 1 0 Podemos escribir:

D(f) = {x R tales que , x 1} En notacin de intervalos

D(f) = [1, ) El rango de f son todos los valores y que resultan de evaluar f en x, es

decir, todos los nmeros reales positivos o cero, ya que la raz cuadrada de cualquier nmero es no-negativa.

Ejemplo 3. Sea y = h(t) = 2

1+t . Hallar el dominio y el rango de h.

Solucin. El dominio de f son todos los nmeros reales para los cual ese cociente est definido. Eso significa, denominador no nulo. Podemos escribir:

D(h) = {t R tales que , t -2} En notacin de intervalos

D(h) = (-,-2) (-2, ) El rango de h son todos los valores y que resultan de evaluar h en t cuando t

recorre el dominio D(h). Aqu no es tan simple determinar a ojo estos

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valores pero s es evidente que y nunca es cero. Salvo el valor cero, cualquier nmero real puede obtenerse a partir de la expresin de h.

Mostraremos como hallar el rango en este ejemplo. Si y es un nmero real distinto de cero, la idea es hallar el t del cual proviene y eso se logra despejando la variable independiente en trminos de la dependiente (cuando es posible hacerlo). En este caso,

y = 2

1+t (t + 2) y = 1 t +2 = y

1 t = y1 - 2

Por ejemplo y = 5 proviene de t = 1/5 - 2 = -9/5. Dado cualquier nmero real

y no cero, ste proviene del nmero y1 - 2.

En general, dado un numero real y , estar en el rango de f si existe algn x de manera que sea y = f(x). En smbolos

y R(f) si y = f(x) para algn x D(f) Proporcionalidad Una relacin funcional que se presenta a menudo es la siguiente: realizamos una compra, digamos cable. Si un metro de cable cuesta $1.20, w metros cuestan $1.20w. Podemos escribir esta relacin en forma de funcin,

p = f ( w)=1.20 w decimos que el precio que se paga (en pesos) es proporcional a la cantidad de metros que se compra. Otro ejemplo, el rea de un crculo es proporcional al cuadrado de su radio

A = f (r) = r2(pero no es proporcional al radio). El rea A es pi veces el radio al cuadrado. El nmero es una constante.

DEFINICIN 3: Decimos que la variable y es directamente proporcional a x, si existe una constante k distinta de cero, tal que

y = k x La constante k se llama constante de proporcionalidad. Ejemplo 4. La masa del corazn de un mamfero es proporcional a la masa de su

cuerpo. a) Escribir una frmula para la masa del corazn, H, como funcin de la masa del cuerpo B. b) Una persona con una masa corporal de 70 kilogramos tiene una masa de su corazn de 0.42 kilos. Utilizar esta informacin para hallar la constante de proporcionalidad. c) Estimar la masa del corazn de un caballo con una masa corporal de 650 kilos.

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Solucin. a) Como H es proporcional a B, para alguna constante k, se tiene H = k B

b) El hecho de conocer que H = 0.42 kilos cuando B = 70 kilos, nos permite calcular la constante de proporcionalidad k

0.42 = k 70 k =0.42/70 = 0.006

c) Como k = 0.006, para el caso del caballo H = 0.006* 650 = 3.9 kilos

Ejemplo 5. El peso aproximado del cerebro de los seres humanos es directamente al peso

de su cuerpo. Para una persona que pesa 68 kg, el peso cerebral aproximado es de 1.8 Kg

a) Expresar el peso aproximado en kilogramos del cerebro de una persona como funcin del peso corporal.

b) Calcular el peso aproximado del cerebro de una persona cuyo peso es de 80 Kg

Solucin a) Si llamamos PC al peso del cerebro y P al peso del cuerpo

PC = f (P ) = k P Usando el dato dado, 1.8 = k 68, se obtiene k = 1.8/ 68 0. 02647 La funcin que modela ese fenmeno es entonces

PC = f (P ) = 0.02647 P b) Si una persona pesa 80 kg, su cerebro tendr un peso aproximadamente igual a

PC = f (80 ) = 0.02647 *80 =2.1176 kg

En resumen, una funcin de proporcionalidad directa es una funcin lineal y su grfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas. Decimos que una cantidad es inversamente proporcional a otra si una es proporcional al recproco de la otra.

DEFINICIN 4: En trminos generales, la variable y es inversamente proporcional a x si

y = k x1 =

xk

para alguna constante k distinta de cero. Ejemplo 6. El peso w de un objeto es inversamente proporcional al cuadrado de su

distancia, r, al centro de la tierra. Por lo tanto, para alguna constante k,

w = 2rk .

Aqu w no es inversamente proporcional a r, pero s, a r2. Las funciones de proporcionalidad inversa sern estudiadas en detalle ms

delante.

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2.2 FUNCIONES LINEALES Las funciones lineales se usan con asombrosa frecuencia. Estas funciones se caracterizan por aumentar o disminuir con una rapidez constante. DEFINICIN 5: Una funcin lineal tiene la forma

y = f (x) = b + mx Su grfica es una recta m es la pendiente o razn de cambio de y con respecto a x b es la interseccin con el eje vertical o el valor de y cuando x = 0

Cuando la pendiente es cero, m = 0, tenemos una recta horizontal y su ecuacin es y = b. Una recta vertical no es una funcin de x. Su pendiente no est definida. La pendiente de la recta puede ser calculada a partir de los valores de la funcin lineal que la representa

m =avanceascenso =

acafcf

)()(

La cantidad ac

afcf )()( es

llamada cociente de diferencias (por razones obvias). Veremos ms adelante que el cociente de diferencias juega un papel importante en clculo. FIGURA 2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

(c,f(c))

( a, f(a))

a c

avance = c - a

ascenso= f(c) - f(a)

cociente de diferencias = f(c) - f(a)

c - a

Aplicacin 1 Equipos de bsqueda y rescate de excursionistas Consideremos el trabajo de los equipos de bsqueda y rescate de

excursionistas en zonas desoladas. Para buscar un individuo, los miembros del equipo de bsqueda se separan y caminan en forma paralela unos a otros barriendo el rea de bsqueda. La experiencia ha mostrado que la posibilidad de encontrar una persona perdida est en relacin con la distancia d, por la cual los miembros del equipo se separan.

Anlisis Supongamos que disponemos de los datos dados en la tabla 1.

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De los datos de la tabla se desprende que en la medida en que la distancia de la separacin decrece, es mayor el porcentaje de excursionistas perdidos que el equipo ha encontrado, lo cual tiene sentido.

distancia de separacin d

porcentaje de encontrados p

20 90 40 80 60 70 80 60 100 50

FIGURA 2.6 Tabla 1: Porcentaje de xitos vs. Separacin de buscadores

(distancia e pies) Como P = f(d) disminuye cuando d aumenta, decimos que P es una funcin decreciente de d. Puede observarse en la tabla que cada aumento de 20 pies en la distancia, causa una cada de 10 en el porcentaje. Este decrecimiento constante en P cada vez que d aumenta una cantidad fija (20 pies) es la clara indicacin de que la grfica de P contra d es una recta.

La pendiente es 20100

)20()100( ff =

8040 = -

21 . El signo negativo muestra que P

decrece cuando d crece. La magnitud de la pendiente es la rapidez a la cual P decrece cuando d crece. Qu puede decirse acerca de la interseccin con el eje vertical ? Si d = 0, los buscadores estn uno al lado de otro (tocndose), como esperaramos, cada individuo extraviado debera ser hallado, de modo que P = 100. Esto es exactamente lo que se obtiene si la recta es continuada hasta el eje vertical. Por lo tanto la ecuacin de la recta es

P = f(d) = 100 - 21 d

Qu pasa con la interseccin horizontal?

Cuando P = 0, se tiene 0 = 100 - 21 d, entonces d = 200. El valor d = 200 representa la

distancia de separacin a la cual, de acuerdo al modelo, nadie es encontrado. Esto no es razonable, porque aunque los buscadores estn muy separados entre ellos, la bsqueda puede ser exitosa. Esto sugiere que a veces, fuera de los datos tabulados, la relacin lineal puede fallar. An cuando sucede, el modelo representa la generalidad de las situaciones.

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A veces no contamos con una frmula pero es muy frecuente que los datos sean registrados en una tabla y necesitemos averiguar a que tipo de funcin corresponden. A veces esto es posible mediante un procedimiento simple. Ese es el caso de las funciones lineales. Supongamos la tabla de valores

x1 x2 x3 ... xny1 y2 y3 ... yn

Para determinar si una tabla de valores de x y de y proviene de una funcin lineal

y = b + mx, procedemos de la siguiente manera: 1: Observamos si los valores de x son igualmente espaciados. En caso afirmativo, Observamos si las correspondientes diferencias en y son iguales. Si la diferencia es

constante, es una funcin lineal y esa constante es la pendiente. 2: Si los valores en x presentan un espaciado arbitrario, entonces comparamos los

cocientes

12

12

xxyy

; 23

23

xxyy

.... si estos son iguales, es una funcin lineal y ese cociente es la

pendiente de la recta que representa esa funcin. Ejemplo 7

La tabla siguiente muestra tres columnas de datos para la variable dependiente y. Se observa adems que los valores de la variable independiente x estn igualmente espaciados. Haciendo las diferencias correspondientes en las tres ltimas columnas, slo en la titulada h(x) se obtiene una constante c = 0.3, eso indica que slo la funcin h es lineal. Se observa adems que la pendiente es positiva, exactamente es c (porque las diferencias en x son igual a 1).

x f(x) g(x) h(x)

1 23 10 2.2 2 24 20 2.5 3 26 29 2.8 4 29 37 3.1 5 33 44 3.4 6 38 50 3.7

Verifique el alumno. Problema

La relacin entre la temperatura del aire T (en F) y la altitud h (altura en pies, sobre el nivel del mar) es aproximadamente lineal. Cuando la temperatura a nivel del mar es de 60 F, un incremento de

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5000 pies en la altitud, disminuye aproximadamente en 18 F, la temperatura. Con estos datos deseamos hallar una frmula para esa relacin.

Solucin

El hecho de que la relacin sea lineal dice que la funcin es de la forma

T = f(h) = ah + b

Los datos existentes hacen su aporte para hallar los valores de a y b. Cuando h = 0, T = 60, entonces

b = 60; Cuando h = 5000, la temperatura descendi 18 F por lo tanto:

60 - 18 = a 5000 + 60

entonces a = 5000

18 = -9/2500 = -0.0036 La funcin entonces es

T (h) = -0.0036 h + 60

La pendiente es negativa, luego la funcin es decreciente. Esto es lo esperado ya que la temperatura desciende cuando la altura aumenta. Ahora la frmula nos permite saber cul es la temperatura a los 1500 pies.

T(1500) = -0.0036 * 1500 + 60 = 54,6 F. Para el lector: 1. Cul la temperatura a 8000 pies?. 2. Cul la altura si la temperatura es 15 F ?

Funciones crecientes - funciones decrecientes DEFINICIN 6: Decimos que una funcin f es creciente ( decreciente )

si f(a) < f(b) ( f(a) > f(b) ) cada vez que a< b . Esto significa que

f es creciente si los valores de y = f(x) crecen cuando x crece. f es decreciente si los valores de y = f(x) decrecen cuando x crece.

La grfica de una funcin creciente sube cuando nos movemos de izquierda a derecha

La grfica de una funcin decreciente desciende cuando nos movemos de izquierda a derecha

Observacin

Cuando la funcin es lineal, la grfica es una recta. Cuando la pendiente es positiva, la funcin es creciente, cuando la pendiente es negativa, es decreciente.

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Familias de funciones lineales Las frmulas tales como

f(x) = mx y f(x) = b + mx

contienen constantes m y b las cuales pueden tomar muchos valores (infinitos). Ellas definen lo que se denomina, familias de funciones lineales. Las constantes m y b son llamadas parmetros. Agrupar las funciones en familias que comparten caractersticas, es til para la realizacin de modelos matemticos. Las familias de funciones se eligen en base a fundamentos tericos para representar la solucin de diversos problemas. Luego usando datos obtenidos experimentalmente o por algn otro medio, se trata de determinar el valor de los parmetros que corresponde a un problema particular. La figura 2.7 muestra : (a) la familia y = mx, de rectas que pasan por el origen de coordenadas (b) la familia y = m0 x + b, rectas con igual pendiente.

(a) La familia y = mx

y=0

y=0.5x

y=2x

y=-x

y= - 0.5x y=x y=x-1

y=x+2.5

y=x+1

FIGURAS 2.7 (a) (b)

Aplicacin 2

La ley de Hooke

establece que cuando se aplica una fuerza f a un resorte de longitud inicial E

construido con material uniforme, la variacin l que experimenta su longitud es directamente proporcional a f, esto es,

l = k f, donde la lonmediante la ecuacin

kf + E La funcin L pertenece a la familia de funciones lineales f(x) = b + mx; el parmetro b est fijo, supongamos una longitud inicial b = E = 5.3cm; el parmetro k depende del material y un problema a resolver es hallar su

k es una constante asociada al resorte. Podemos entonces expresar gitud total l que adquiere el resorte en funcin de la fuerza f

l = L(f ) =

valor.

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Si para una fuerza especificada f ton medimos en forma precisa = 4 newuna longitud l = 9.4 cm, para ese resorte el valor del parmetro k debe ser

k = fEl = 1.0250

Luego la frmula que repres es

Aplicacin 3

de una barra de metal bajo ios d ura es:

onde l : longitud de la bar

l : longitud inicial a temperatura t =0

Hallaremos la solucin a los siguientes planteos: 1. Identificar los parmetros en la familia dada 2. Determinar la ecuacin correspondiente a los datos: l0 = 100 cm; t0

el problema de la barra?

Solucin

temperatura t, + l0 (1-at0 ) (1)

E 0

t0 = 60 F;

m = * 100 = 10 ; b = l0 (1 - at0 ) = 100 ( 1 10 -5 *60 ) = 99.94 por lo tanto

es la func arra mide 100cm.

3. Supongamos ahora que l0 y t0 estn fijos, con los mismos valores del pro

0 = 100 cm;

enta ese problema

L(f ) =1.0250 f + 5.3

Ahora puede calcularse la longitud total para cualquier fuerza (razonable) que aplique.

Para pequeos cambios en la temperatura, la frmula para la dilatacin camb e temperat

l - l0 = al0 ( t-t0 ) d

ra a temperatura t 0 0 a : constante que depende del tipo de metal

= 60 F; a = 10-5 . 3. Cul es el signo de la pendiente en general, para

1. La longitud l, es una funcin lineal de la tl - l0 = al0 ( t-t0 ) l = al0

s decir, l = m t + b donde m = al

b = l0 (1-at0) 2. Cuando l0 = 100 cm;

a = 10-5 estoy tratando un problema determinado.

al0 =10-5 -3

l =10 -3 t + 99.94 in correspondiente a ese problema especfico.

Verifique el alumno que a 60 F la b

blema anterior l t0 = 60 F;

37

pero no conocemos el valor de la constante a asociada al metal de la e

l = 100 a t + 100 (1- 60a )

cgnitas, a, t, l Experimentalmente,

do este dato, resulta a) 120 = (7000-6000) a + 100

barra. La ecuacin (1) se escrib

Queremos hallar el valor de a. En la ecuacin hay tres inpor lo tanto necesitamos un juego de datos, ms. ponemos la temperatura en 70 F y medimos la longitud, resulta l = 120cm. Ahora usan120 = 7000 a + 100(1-60

0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

minutos

cent

avos

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

a = 02.01000

= La ecuacin para este problema re

20

sulta

l = 1 -20

Funciones d Comnmente podem las figuras siguien

FIGURA 2.8 a) FIGURA 2.8 b) Si bien estas grficas no corresponden a funciones lineales, podemos observar que si dividimos su dominio en intervalos convenientes, en cada uno de ellos es un trozo de recta. A este tipo de funciones se les llama funciones lineales a trozos ( o por parte) y son ampliamente usadas en matemtica para representar diversas situaciones. La figura 2.8 b) podra representar el costo de las llamadas telefnicas en funcin del tiempo. Las frmulas para las correspondientes funciones de la figura 2.8 se escriben como

00 a t + 100 (1- 60a ) = 2 t

efinidas a trozos

os encontrar representaciones grficos como se muestran en tes

38

f(x) =

30201656

201045

xsix

xsix (1) y C(x) =

1, la grfica y = x -2 est por debajo de = 1.

x muy grande (x ), y podemos

de mayor magnitud. Las grficas de y =

y el eje y, como asntotas (figura 2.13). Para xy = x-1 y ambas deben permanecer por debajo de y Lmite al infinito

Cuando consideramos los valores de una funcin para decimos que estamos buscando el lmite para x tendiendo a infinitoescribirlo ms brevemente

)(xflimx La notacin )(xflimx = L tiene el siguiente significado intuitivo: los valores de la

ncin se aproximan a L a medida que los valores de x se hacen ms grandes. Estamos mirando el r ejemplo, decimos fu

comportamiento de la funcin en el infinito. Po

que x1 tiende a cero cuando x tiende a infinito, o que

xx1lim = 0

Cuando la grfica de una funcin se presenta casi como una recta a medida que x tiende asntota. Una definicin ms precisa es la

ontiene expresiones que aclararemos ms adelante. a infinito, decimos que esa recta es una siguiente, aunque c DEFINICIN 10: Una recta y = b es una asntota horizontal de la grfica de una

funcin y = f(x) si bxfx = )( )(xflimlim x = b

es una Una recta x = a asntota vertical de la grfica de una funcin y = f(x) si

= )(xflim ax =+ )(xflim ax Ejemplo 8. La funcin

f(x) = x1

tiene dos asntotas:

=0 porque yxx

lim = 0 1

x = 0 porque

=+ )(0 xflimx y = )(0 xflimx

FIGURA 2.15

43

Aplicacin 4 Cuando hablam son

e eratura constante, para un gas ideal, la ley de Boyle da la relacin e esin y volumen,

p v = k o p

os de proporcionalidad, dijimos que dos cantidades x e yinversamente proporcionales si y = k/ x, para alguna constante k, no

nula. A t mpentr pr

=vk = k v-1 (k > 0)

La relacin p = vk es equivalente a decir que la presin p, es

inversam en v. Cu grande p es pequeo y cuando v es pequeo p es grande. Para cualquier valor positivo de k, la grfica tiene la forma que muestra la figura 2.14. Ambos ejes son asntotas, mostrando que cuando el volumen tiende a infinito la presin tiende a cero y viceversa.

ponente 1. Esta ular.

Comentario uchos fenmenos que ligan dos variables cuya relacin es inversamente

r una lupa y la distancia al foco a que se encuentra el objeto

la frecuen la altura alcanzada por un lquido en un tubo capilar y el dimetro de ste

Comentario

versamente proporcional al cuadrado de su distancia

r ccionarias positivas: y = x1/2; y = x1/3; y = x3/2,...

La funcin qu e su rea A, involucra una raz o potencia

s =

ente proporcional al volumando v es

Una funcin de proporcionalidad inversa es una funcin potencial de ex

ca (figura 2.15) es conocida como hiprbola rectangforma de grfi

Hay mproporcional; mencionamos algunos conocidos: el aumento producido po

cia del sonido y su longitud de onda

la base y la altura de los rectngulos de rea constante

En otros casos una variable es inversamente proporciona al cuadrado de otra, La atraccin entre dos planetas es inversamente proporcional al cuadrado de

la distancia entre ellos. La repulsin de dos cargas elctricas del mismo signo es in

Potencias f a

e da el lado de un cuadrado s, en trminos d fraccionaria:

A = A 1/2Similarmente, edio de especies que se encuentran en i

es el nmero han mostrado que N = k

la ecuacin que relaciona el nmero promuna isla y la superficie de la isla, involucra una potencia fraccionaria. S

N de especies y A es el rea de la isla, las observaciones3 A = k A 1/3

donde k es un la isla.

a constante que depende de la regin del mundo donde se encuentra

44

Estudiaremos

uesto que algunas potencias fraccionarias, como x1/2 estn definidas slo valores de x o negativos, frecuentemente restringiremos el dominio a ese conjunto ( x 0) .

a de y = x1/ 2 est =

101/2 1/3 2.15

las funciones de la forma y = x m / n, en particular cuando m =1.

Pn La figura 2.16 muestra que para valores grandes de x (x > 1), la grfic

or debajo de y = x y que y = x1/ 3 est por debajo de y x1/ 2. Esto es razonable puesto pque, por ejemplo,

3.16 y 10 por lo tanto

101/ 3 < 101/ 2 < 10. Cuando 0 x 1, la situacin se invierte, y = x1/3 es la primera (de las mencionadas). Por qu ?

odo x. 1/2 1/3 , es que

cias ayores que 1).

iende a finito. Mientras ms grande es n, ms rpidamente crecen para 0 , creciendo

Por otro lado, no debera sorprendernos encontrar que y = x3/ 2 est entre y = x e y = x2 para tUna caracterstica importante para resaltar de las grficas y = x , y = xellas se tuercen en direccin opuesta a la de las grficas de y = x2 e y = x3 (potenmSe inclinan lentamente cuando x crece siendo cncavas hacia abajo. Por otro lado, todas estas funciones se hacen infinitamente grandes cuando x t

1 xinlentamente cuando x tiende a infinito.

FIGURA 2.16

45

2.4 FUNCIONES EXPONENCIALES Antes de comenzar la investigacin de ese tipo de funciones, recordaremos definiciones y propiedades que nos permiten un buen manejo de los exponentes. Definicin y propiedades de los exponentes.

Definicin de exponente cero, negativos y fraccionarios Para cualquier nmero real a vale:

paresncuandoacondicinlaconaaaaaa

acuandoa

aa

aa

nn

xx

0, general,en y,,,

01 general,en y,,1,1

/133/12/1

10

===

===

Reglas para el clculo usando exponentes

Para todo nmero x, y 1. ax a y= ax + y2.

yx

aa = a x - y

3. (ax )y = ax . y

n Biologa y Medicina frecuentemente se debe estudiar el comportamiento de una ensemos en bacterias en un tubo

e ensayo bajo ciertas condiciones controladas. Supongamos que un bioqumico mide 3

ad namos con N0 al nmero e 0 o la siguiente,

Tiempo t 0 1 2 3 4 5

Funciones exponenciales Epoblacin en funcin de su edad. Como poblacin pdccada una hora, el nmero de bacterias por cm en un caldo de cultivo, y encuentra en

a lectura, que el nmero anterior se ha duplicado. Si desigbacterias en el momento inicial t = 0, tendramos una tabla comd

Cantidad de bacterias N

N0

2 N0

4N0

8N0

16N0

32N0

para un tiempo ti a la correspondiente al tiempo anterior s d erencias no son iguales. Esto es,

N(ti) - N(ti -1) no es constante. Eso dice que la tabla no corresponde a una funcin lineal.

TABLA 1

Observaciones 1. Si restamos la poblacin

ti -1, esta if

46

)()(

1ii

tNtN , 2. Si efectuamos los cocientes de las mismas cantidades,

todos los cocientes resultan igual a 2. 3. Miremos la segunda fila de la tabla 1. t0 = 0 N0 = 20 N0 t1 = 1 N1 = 2 N 0 = 2 N1 0 t2 = 2 N2 = 4 N0 = 22 N0 ..........

47

tn = n Nn = 2n N0

Luego de t horas, si suponemos que el proceso sigue siendo vlido, la cantidad de bacterias estar dada a

) = Esta es una funcin expo e exponencial porque la variable

iento de esta poblacin tiene una fica como la de la figura 2.17

Como la poblamedida que el tiemcreciente. Noteprincipio crece suavemente pero a medida que el tiempo pfuncin es cada vez mcomportamiento texponencial y esustancial con la funcin lineal, que crece a razn constaexponencial se cncava hacia ar

FIGURA 2.17

La grfica se corr c ento exponencial.

La suavidad de la grfica m igura 2.17 es slo una aproximacin a la

cala que se est usando.

eal en lenguaje matemtico decimos que

permite predecir el comportamiento de la n un tiempo cualquiera. Si queremos saber

cul es la poblacin existente luego de 5 horas 30 minutos, hacemos el siguiente clculo

por la frmulN (t 2t N0

nencial con base 2. Se dicindependiente t est en el exponente. El crecimrepresentacin gr

cin va aumentando a po pasa, la funcin es

mos tambin que en

asa el crecimiento de la s rpido. Este es el

pico de una funcin stablece una diferencia

nte. Como la funcin tuerce hacia arriba, es riba.

esponde con una funcin de cre imi Comentario:

ostrada en la fgrfica verdadera de la poblacin del cultivo. Como no se puede tener fracciones de bacterias, la grfica verdadera presentara saltos en cada tiempo en que una bacteria se reproduce, sin embargo como en general la cantidad es muy grande, esos saltos no seran visibles a la es

Cuando podemos representar el problema rhemos construido un modelo matemtico. Porqu es til un modelo matemtico? Una utilidad sencilla es aquella que nos colonia (hablando del problema anterior) e

N(5,5) = 25.5 N0 = 45.2548 N0

Entonces si N0 =104, luego de 5 horas y media, habr una poblacin de 452548 bacterias. En este problema, cada una hora la poblacin se duplica, ese perodo de tiempo se

cierto tipo de arcilla. Supondremos que esa arcilla est en un tubo y que cada pie de ese

mbustible. Si P0 es la cantidad inicial de

= 0 f (2) = P0 = (0.8)2 P0

ado nrealidad, sin embargo, la funcin exponencial de decaimiento

f (x) = P0 (0.8)x

eal de x, positivo o negativo; la base es

ANALISIS

denomina tiempo de duplicacin. Ejemplo 9

Este es un ejemplo en el cual la cantidad decrece en lugar de crecer como en el caso del crecimiento poblacional. En algunos pases en que el kerosn se usa como un combustible, antes de ser usado, las leyes obligan que sea filtrado con el fin de disminuir la contaminacin. Un tipo de filtrado es hacerlo pasar por un

tubo (30,48 cm) remueve el 20% del contaminante que entra. Por lo tanto cada pie de tubo, retiene el 20% del contaminante que encuentra, quedando

coel 80% del mismo en elcontaminante que entra y P = f (n) es la cantidad luego de pasar a travs de un tubo de n pies, se tiene:

f (0) = P0 f (1) (0.8) P

(0.8)(0.8)f (3) = (0.8)(0.8)2P0 = (0.8)3P0

y as, luego de n pies f (n) = P0 (0.8) n

Para el problema plante debe ser no negativo, es una restriccin de la

tiene sentido para cualquier valor de r0.8. La figura 2.18 muestra el grfico de esta funcin; la tabla muestra algunos valores que toma f para P0 = 1, cuando la variable independiente cambia en una unidad, y las diferencias entre ellas. Las diferencias muestran que el cambio en la funcin es menor a medida que x crece.

x P = (0.8)x diferencias

0 1 1 0.8 0.20 2 0.16 0.64 3 0.13 0.51 4 0.41 0.10

TABLA 2

48

Cada paso kerosn ava r, as cada pie de arcilla toma menos contaminante que el tramo previo, exactamente el 20% de lo hay en ese instante. Observar las diferencias e ltro tiene 4 pies, ha quitado el 90% del contaminante. En este cashacia arribaSiempre la

a funci

DEFINICIN 11 P es una funcin exponencial de t con base a si

P = P0 at donde P0 es la cantidad inicial ( cuando t = 0) y a es el factor por el cual P cambia

cuando t crece en 1. Si a > 1, tenemos una exponencial de crecimiento; si 0 < a < 1, tenemos una

exponencial de decaimiento

xcluimos a 0 en la definicin de la funcin exponencial. l mayor conjunto posible que podemos tomar como dominio de la funcin exponencial s el conjunto de todos los nmeros reales.

ara reconocer una funcin exponencial P = f (t) cuando sus valores estn dados por na tabla de datos, miramos que los cocientes de P den un valor constante para valores e t igualmente espaciados. Esto es, si se tiene la tabla de valores

t1 t2 ... tn

de descenso es menor que el anterior. Esto se debe a que a medida que el nza, se va limpiando, luego hay menos suciedad que remove

n la tabla. Si el fi

o la funcin decrece cuando avanzamos, sin embargo sigue siendo cncava . funcin exponencial es cncava hacia arriba.

FIGURA 2.18 L n exponencial general

E Ee Pud

t3f (t1) f (t2) f (t3) ... f (tn)

49

Para determinar si una tabla de valores proviene de una funcin exponencial P = P0 at,

1: Observamos si los valores de t son te espaciados.

procedemos de la siguiente manera:

igualmen

2: Observamos si los cocientes )()( 2tf ,

1tf )()( 3tf , ...

)()( ntf dan el mismo valor

tf 2 1nconstante k. Si es as, los valores de la tabla describen una funcin exponencial de base a para algn a > 0.

tf

3: Si el espaciado (diferencia entre los t) es 1, f es una funcin exponencial debase igual a esa constante, es decir, a = k.

4: Si el espaciado es t i+1 - ti = h, entonces

haata

kitf

ii

i==== +1

)( luego la base es a = ttai

tf i + 1)1( t + h k Ejemplo 10. Se quiere d rminar l de siguie tabla onder a una

funcin ex cia a nci neal l a ninguna de ellas.

x f (x) g (x) h (x)

ete cu la nte podra correspponen l, cul una fu n li y cu

Para aquellas que podran corresponder a una funcin exponencial o lineal, encontrar una frmula.

Solucin

Lo primero que hacemos es observar el espaciado entre loseste caso es 1.

valores de x. En

0 16 14 5.3 1 24 20 6.5 2 36 24 7.7 3 54 29 8.9 4 81 35 10.1

a) Observamos que f no puede ser line ren s cantidades a medida que x aumenta en 1. Podra ser una funcin exponencial? Para determinarlo hacemos los cocientes o razones de f (x):

al ya que aumenta dife te

5.154362416

Como las razones son todas iguales a 1.5, esta funcin podra corresponder a exponencial de base 1.5. Como f(0) = 16, una frmula para f (x) es

815.1545.1365.124 ====

una

f (x) = 16 ( 1.5 )x

to se comprueba al sustituir x = 0, 1, 2, 3, 4 en esa frmula; deben obtenerse

b 14 a 20); 4 (de 20 a 24); 5 (de 20 a 24); por lo tanto g no es

podra se pon , m s los cocientes

Eslos valores tabulados.

) Ahora veamos los valores para g. A medida que x aumenta en 1, g(x) 6 (deaumenta en

lineal. An r ex encial iremo

50

43.11420 = 2.1

2024 =

Como estas razones son diferentes, tam o pu ser exponencial. c) Para h cada vez qu aum en 1 valo lo hace en 1.2. Por lo tanto h es una funcin line on un ndie m = 1.2. Adems h (0) = 5.3, eso dice que la ecuacin correspondiente es

Comentario

Esta forma de determinar la ecuacin de una funcin lineal y de una funcin

s

APLICA radioactivo Las susttiempo d ecaimiento es dar el perodo de tiempo que le lleva perder la m asa. Este periodo se llama vida media o semivida de la sustancia. Comenta

de tiempo de dos semividas, (0.5)(0.5) = 0.25 es la cantid asa original, luego la sustancia disminuy un 75%.

Una de lasusado para hueso, fue p

diactivo, o, fue carbono-14. na vez que el organismo muere, es despreierde por interaccin con el medio ambiente (por ejemplo, a travs de la respiracin).

bjeto y comparndola con la proporcin el carbono-14 original se ha perdido. La

la funcin exponencial que describe la cantidad de arbono-14 que se encuentra en el objeto cuando ha pasado un perodo de tiempo t.

ngamos que medimos el tiempo en unidades de 5730 aos. Entonces, si C0

unidades (

C = C0

poc ede e x enta , el r de hal c a pe nte

h (x) = 5.3 + 1.2 x

exponencial a partir de una tabla, supone la cantidad suficiente de datos queimplican un comportamiento lineal o exponencial del fenmeno en estudio. Loejemplos tratados en el libro pocos datos por razones obvias.

CIN 5 Decaimiento

ancias radiactivas pierden un cierto porcentaje de su masa en una unidad de ada. El modo ms comn de expresar la rapidez de este d

itad de su m

rio Es importante pensar que dos semividas de una sustancia radioactiva no hacen una vida entera de la misma! Es ms, en el perodo

ad que queda de su m

sustancias ms y mejor conocida es el carbono-14 radiactivo, el cual es datar objetos orgnicos. Cuando el objeto, tal como un trozo de madera o un arte de un organismo viviente, acumula pequeas cantidades de carbono14

de modo que una cierta proporcin del carbono en el objetraU ciable la cantidad de carbono-14 que se pMidiendo la proporcin de carbono-14 en el on la materia viva, podemos estimar cunto de

vida media del carbono-14 es aproximadamente de 5730 aos. As, despus de unos 5000 aos encontraramos que el objeto contiene alrededor de la mitad de carbono-14 que tena cuando estaba con vida. Despus de 10000 aos podramos encontrar 1/4 y despus de 15000 aos, alrededor de 1/8.

odemos hallar una frmula paraPcPrimero supofue la cantidad original de carbono14, la cantidad C de carbono restante luego de T

una unidad equivale a 5730 aos) ser

T 1 2

51

Sin embargo, nosotros usualmente no medimos el tiempo en unidades de 5730 aos,

sino que lo hacemos en unidades de un ao, entonces T = 5730

, donde la unidad para t

es el ao. Por lo tanto C = C

t

0 5730

21

t

. Este razonamiento es aplicable a cualquier fenmeno que sigue la ley de decaimiento exponencial. En general si una sustancia tiene vida media de h aos (o minutos o segundos), entonces la cantidad Q de sustancia restante despus de t unidades de tiempo, es

Q = Q0 ht

1 2

crecimiento exponencial es el tiempo en el que se duplica la pob icial.

La vida media de una cantidad i to exponencial es el tiempo

P(t) = P0

si la cantidad original fue Q0. Resumen El tiempo de duplicacin de una poblacin con

lacin in con decaim en

necesario para que esa cantidad se reduzca a la mitad. La forma exponencial en trminos del perodo de vida media se escribe

ht

1

2

que depende del medicamento. Para la ampicilina antibitica, aproximadamente el 40% del medicamento que se encuentra en el cuerpo, se elimina cada hora, quedando el 60% de lo qu ntrab en ese momento.

s la cantidad de ampicilina, en mg., que se encuentra en el po t (en horas) desde que una dosis de 250 mg. de

ue administrado. Lo descrito se traduce en

Su as

Q 0 (0. )t sta funcin es decreciente y es una funcin de decaimiento exponencial. El uerpo va eliminando el medicamento luego, cuando el tiempo transcurre, es enor la cantidad que queda en el torrente sanguneo y por lo tanto, menor la

APLICACIN 6 Cantidad de un medicamento en sangre. Cuando un paciente recibe un medicamento, este entra al torrente sanguneo y, a medida que pasa por el hgado y los riones, es transformado por el metabolismo y eliminado a un ritmo

e se enco aSupongamos que Q = f (t) etorrente sanguneo en el tiemampicilina f

f (0) = 250 f (1) = 250 (0.6) f (2) = (0.6) f(1) = 250 (0.6)f (3) = (0.6) f(2) = 250 (0.6)

2

3

poniendo un proceso continuo, despus de t hor

= f (t) = 25 6Ecm

52

cantidad que se elimina. Esto ltimo hace que el decrecimiento sea ms lento uando el tiempo aumenta. c

Cmo puede observarse en la grfica 2.19 (tambin en la tabla), cada hora se elimina una cantidad menor que en la hora previa. Tambin se observa que Q se reduce a la mitad de su cantidad original, o sea 125 mg. despus de alrededor de 1.4 horas. Decimos que la vida media de la ampicilina en el cuerpo es de aproximadamente 1.4 horas. Un clculo ms exacto de este tiempo se logra resolviendo la ecuacin

tQQ )6.0(0 = 2 0

lo cual ser resuelto ms adelante.

t Q 0 250 1 150 2 90 3 54 4 32.4 5 19.4

FIGURA 2.19

Crecimiento de la cantidad de droga en la sangre

ar la cantidad de una cierta droga en el cuerpo. aginemos que inicialm

ntamente cuando se inyecta en forma continua por va intravenosa. niendo en mente que ste es un proceso continuo, los estudios demuestran que a

medida que la cantidad de droga que ya est en el cuerpo aumenta, as lo hace la rapidez con el cuerpo la elimina (la rechaza), decayendo esta velocidad a medida que pasa el tiempo. Lo que sugiere que con el paso del tiempo el proceso tiende a estabilizarse llegando a un nivel de saturacin, en una cantidad que llamaremos S. Una grfica de esta situacin podra ser como la de la figura 2.20. Notemos que la cantidad Q comienza en cero y crece hacia S. La lnea que representa el nivel de saturacin es una asntota horizontal debido a que la grfica se acerca ms y

s a la recta Q = S cuando el tiempo crece.

APLICACIN 7 Concentracin de drogas

Supongamos que deseamos modelIm ente hay nada pero que la cantidad comienza a aumentar leTe

que

m

53

Esta funcin es cncava hacia abajo, ienza con un crecimiento rpido que disminuye a medida que pasa el tiempo, est bilizndose cuando la cantidad se acerca al

alor S que es el nivel de saturacin.

situacin, es

porque coma

v

FIGURA 2.20

Supongamos que deseamos hacer un modelo matemtico de la situacin. Esto es, deseamos encontrar una frmula que d la cantidad Q, en trminos del tiempo t. La realizacin de un modelo matemtico, a menudo lleva a mirar una grfica y decidir que clase funcin tiene esa forma. La funcin de la grfica 2.20 se parece a una exponencial de decaimiento reflejadasobre una recta horizontal (mirar la figura 2.19). Lo que realmente decae, en esta

la diferencia entre el nivel de saturacin S y la cantidad Q de droga en lasangre. Supongamos que esa diferencia est dada por la frmula

Diferencia = (diferencia inicial). a t

en horas. Puesto que la diferencia es S -Q, y Q = 0 cuando comienza el proceso, el

con t

FIGURA 2.21

54

valor inicial es S - 0 =S,

Consideremos, por ejemplo, a = 0.6. Podemos escribir esta frmula como

S - Q = S (0.6)t Q = S S (0.6)t

Q = f (t) =S (1 - (0.6)t )

Suponiendo que S = 250 construimos paso a paso la grfica de la funcin (figura 2.21)

Q(t) = 250 (1 - (0.6) t ).

La familia de funciones exponenciales

La frmula P = P0 at

representa una familia de funciones exponenciales con parmetros P0 (la cantidad

inicial) y a (la base, o factor de crecimiento / decaimiento). La base es tan importante para una funcin exponencial como lo es la pendiente para una funcin lineal. Puesto que a es el factor por el cual P cambia cuando t crece en 1, valores grandes de a significan crecimiento rpido, v gnifica decaimiento rpido.

FIGURA 2.22 FIGURA 2.23

alores de a cercanos a 0, si

En las figuras 2.22 y 2.23 estn representadas exponenciales con diversa bases mayores y menores que 1, respectivamente, y en ambos casos, slo para valores positivos de t. Esto se debe a que estamos pensando a estas funciones como modelos matemticos de fenmenos de crecimiento o decaimiento exponencial. Desde el punto de vista matemtico estn definidas para todo nmero real, como se muestra en la figura 2.24

0 1 2 3 4 5 6 70

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100Crecimiento exponencial: P = at, a>0

10

3t

t

(1.5)t

2t

0 2 4 6 8 10 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Decaimiento exponencial: P= a t, 0< a< 1

(0.1)t

(0.95)t

(0.8)t

(0.5)t

(0.9)t

55

FIGURA 2.24

de ecim de la ciudad X est

reciendo en un 2.6% por ao; en otras palabras, el factor de crecimiento es

a = 1+ 0.026 = 1.026

imilarmente, cada pie de arcilla remueve el 20% de contaminante del combustible, de odo que el factor de decaimiento es a = 1- 0.20 = 0.8.

e acuerdo a los datos que se tienen, se obtienen frmulas alternativas para la misma xponencial:

Si r es la tasa o razn de crecimiento anual, entonces a = 1 + r, y P = P0 at = P0 ( 1+ r )t

Si r es la tasa o razn de decaimiento anual, entonces a = 1 - r, y P = P0 at = P0 ( 1- r )t

Por ejemplo, r = 0.05 cuando la razn de crecimiento en porcentaje es 5% anual.

cial de t.

olucin

(a) Si Q = Q0 at entonces 88.2 = Q0 a20.1 y 91.4 = Q0 a20.3

Frmula alternativa para la funcin exponencial El crecimiento exponencial, a menudo se describe en trminos de porcentaje cr iento o porcentaje de decaimiento. Por ejemplo, la poblacin c

Sm De

Ejemplo 11

Supongamos que Q = f(t) es una funcin exponenSe conoce f(20.1) = 88.2 y f(20.3) = 91.4: (a) Hallar la base (b) Hallar la razn de crecimiento en porcentaje (c) Calcular f(21.4)

S

56

dividiendo da 2.03.204.91 aQ1.20

02.88 aQ enton

0 a== de aqu despejamos a ces la base es

2.0/1

2.88

=a = 1.195 4.91

lo tanto

r = a 1 = 1.195 - 1 = 0.195 lo que equivale a 19.5%

(c) ne ades anteriores,

91.4 = Q0 (1.195) Q0 =

y la expresin de la funcin es 1 t.Q = f(t)= Q0 ( .195)

(b) Como a = 1.195 > 1 es una exponencial de crecimiento, por

f(21.4) = Q0 a = Q21.4 21.4 , 0 (1.195)

cesitamos hallar Q , 0 para ello usamos una de iguald

3.20)195.1(4.9120.3 = 2.457.

As estra expoQ = f(t) = 2.457 (1.195)

(1.195)21.4 = 111.19

Ejemplo 12 Suponiendo que el volumen de petrleo extrado de un pozo, decrece a

, nu nencial es exactamente: t.

y f(21.4) = 2.457

razn constante de 10% al volumen actual?

ao Cundo bajar la produccin al 1/5 de su

Solucin

da

1- ) = 9

Deseamos conocer cuanto tiempo debe transcurrir para que sea V = 1/5 V0, l de produccin. Ese valor se obtiene

resolviendo la ecuacin

1

Se tiene como dato una razn constante anual (por cada ao) del 10%, ese to es r.

r = 0.1 Luego la base de la exponencial es

a = ( r ) = ( 1 - 0.1 0.La funcin, entonces es

V = V0 ( 0.9) t

donde V0 indica el volumen actua

/5 V0 = V0 ( 0.9) t

57

2.5 FUNC

os la tabla siguiente en la que se han registrado las distancias corridas por

d (met 0 2000 4000 6000 8000 10000

IONES INVERSAS

Consideremun atleta X y los tiempos que demor en recorrerlas

ros) t (se 1307.00 1528.23 g) 0 325.90 650.10 975.50

A cada dis d). Pero tambin a cada tiempo le corresponde una nica distancia. Observem650.10 seNos estamuncin e lanean competir con X. Ellos saben que fijada una istancia, deben bajar el tiempo que ha logrado X.

hora cambiamos el punto de vista y nos preguntamos: qu distancia corri el atleta X

en 650.1 segundos?, la respuesta es d = 4000. Estamos haciendo el camino inverso, nos preguntamos que distancia recorre en el tiem t y esto define otra funcin, digamos

d = t). El concepto que resume el comportamiento o las del ejemplo, es

efinicin de funcin inversa

tiremos, pero si existe la funcin versa, esta se define como sigue

DEFINICIN 12: Dada una funcin y fu ver fi

, f (t) nos da la cantidad de metros que X

puede llegar a confundirse con un recproco, que no es la funcin inversa, sin embargo es una notacin ya establecida.

Las dos funciones f y f transmite a informacin, pero la expresan en

crito con f o con f

.5 o f -1(975.5) = 6000

tancia d le corresponde un nico tiempo t, luego t = f(

os la tercera columna de la tabla i sus primeros 4000 metros en gundos, o sea, f(4000) = 650.10.

os preguntando cunto tiempo demor X en recorrer la distancia d. Esta s til a los atletas que p

. El atleta corr

fd

A

po g ( de dos funciones com

el de funcin inversa. D No siempre una funcin tiene inversa, luego lo discuin

= f (x) su ncin in sa g se de ne por

g (y) = x si y slo si f (x) = y Denotamos por f 1 a la funcin inversa de f. Es decir la funcin g de la definicin, la denotamos por f 1. En la situacin anterior -1recorri en t segundos. Nota: La notacin f -1 no es muy feliz ya que

(el recproco de un nmero es el inverso multiplicativo, por ejemplo el recproco de 2 es 1/2 )

-1 n la mismforma diferente. En el ejemplo anterior, el hecho que X corra 6000 metros en 975.5 segundos puede ser des -1

f(6000) = 975

58

d (metros) f(d) (segundos) t (segundos) f -1 (t) (metros) 0 0 0 0

2000 325.90 325.90 2000 4000 650.10 650.10 4000 6000 975.50 6000 975.50 8000 13 0 8000 07.00 1307.010000 1628.23 1628.23 10000

Observacin

La variable independiente para f es la variable dependiente para f -1 y

l es el rango de f -1. El rango de f son todos los tiempos t, tabulados, entre 0 y -1

d t d La inversa de una funcin f enva cada salida t

viceversa. El dominio y el rango de f y f -1 tambin se intercambian.

En el ejemplo, el dominio de f son todas las distancias d, tabuladas, entre 0 y 10000, el cua1628.23, el cual es el dominio de f .

Observacin

-1 f f

de vuelta a la entrada d de la cual vino. Eso s

f -1(f ( )) = d Adems f 1 t d t Lo que significa

f ( f -1 t) = t

Lahe C) del agua a condiciones

oin f asigna una temperatura de ebullicin del agua a cada altitud, de ue f -1 asigna una altura a esa temperatura.

f -1(90) es la altura a la cual el agua hierve a 90C. La ecuacin f -1(90) = 3000 l agua es de 90C, la altura es de e el mismo significado. Cuando es de 100C, entonces

ignifica d

f

( Ejemplo 13

temperatura a la cual hierve el agua, decrece cuando la altitud crece. Un cho importante para cocinar. Sea f(h) el punto de ebullicin (

na altitud de h metros sobre el nivel del mar, durante uatmosfricas normales. Cul es el significado en trminos prcticos de f -1(90) y de f -1(90) = 3000?

lucin SLa funcmodo q

significa que cuando el punto de ebullicin dea ecuacin f(3000) = 3000 metros. L 90 tien

estamos a nivel del mar, el punto de ebullicinf -1(100) = 0.

59

Frmulas para funciones inversas Si una funcin est definida por una frm a, a veces es posible hallar una ecuacin o frmula para la funcin inversa.

C = f(T) = 4T -160 a temperatura en grados Fahrenheit. Hemos usado esta frmula para

predecir la perfectame Ejemplo 1

de chirridos por minutos; esto es, hallar la funcin inversa f -1 de modo que

Soluci

f 40

undo una funcin tiene inversa?

i una funcin tiene inversa decimos que es inversible.

irar un ejemplo que no cumpla esa condicin. a arriba. Miremos la altura en funcin del tiempo

H = f(t). Entonces, conocido el o desde el lanzamiento, puedo

pelota se ncontraba a 3 metros de altura?

ul

Tomemos la funcin cuya frmula es

donde T es lrapidez del chirrido del grillo del pino a partir de la temperatura, pero es

nte posible hallar la temperatura a partir de la rapidez del chirrido.

4 Hallar la frmula para la funcin que da la temperatura en trminos del nmero

T = f -1(C) n

C = 4T -160 Resolviendo para T, obtenemos

T = C/4 + 40 obteniendo

-1 (C) = C/4 +

C SRepetimos, no todas las funciones tienen inversa, y el mejor modo de entender que es lo que hace que tenga inversa es mPor ejemplo, lancemos una pelota haci

tiempo transcurridpredecir la altura (por ejemplo, para t = 0, la altura H es cero ). Supongamos que la altura se incrementa hasta llegar a una altura mxima de 5 metros, y luego la pelota comienza a caer. Podras responder en qu momento (qu tiempo t) la e


60

En caso que encuentres la respuesta, esta no debera ser nica, ya que cuando asciende hay un tiempo en que la altura es 3 metros y luego al descender, habr otro. Por ese motivo esta funcin no tiene inversa. No podemos definir la funcin inversa porque no sabemos cual de los dos valores debemos asignarle. Una funcin tiene inversa si y slo si su grfica interseca a cualquier recta horizontal a lo ms una vez. Cuando esto sucede decimos que la funcin es uno a uno.

En smbolos uno-a-uno se escribe f(x) = f(y) implica x = y , para cada

As, por ejemplo, la funcin f(x) = x2inversa. Las funciones crecientes y las decrecientesellas tienen funcin inversa. Grfica de funciones inversas. La grfica de f(x) = x3 muestra que esta funcin es crectanto tienen inversa. Para hallar la inversa cuando tenempara la variable independiente. En este caso

y = x3

La funcin f tiene inversa si y solo si f es uno-a-uno.

x, y del dominio de f.

no tiene inversa. La funcin exponencial, s tiene

son funciones 1 -a -1, por lo tanto todas

iente en todo su dominio, por lo os una frmula, resolvemos

resolvemos para x, obteniendo x = 3 y

As, la funcin inversa es f -1 (y) = 3 y

A solo efecto de graficar f y f -1 en un mismo sistema de ejes coordenados, intercambiamos el nombre de las variables y escribimos

f -1 (x) = 3 x

27

FIGURA 2.

61

La grfica de y = x3 e y = x1/3 para ue tran en la figura 2.27. 1/3 1/3

aproximaciones en los valores se debe al cursor utilizado para est m rca). Por comodidad, la grfica se muestra slo para valores no negativos de x. En general La grfica de f -1 es la reflexin de la grfica de f a travs de la recta y = x. Ejemplo 15. Hallar la funcin inversa de la funcin f(x) = 2x + 1 Solucin

Llamemos y = 2x +1. La idea es despejar x en funcin de y, luego

y = 2x +1 implica que x = (y - 1) /2 Intercambiamos el nombre de las variables al slo efecto de trazar un grfico utilizando un nico sistema de coordenadas, resultando as

f -1 (x ) = (x -1 ) /2

FIGURA 2.286

amos su

El dominio de f(x) reales excepto el 0 , o sea

x 0, se m sObservemos, por ejemplo, el punto (8,2) est sobre la grfica de y = x porque 2 = 8 y (2,8) est sobre la grfica de y = x3 porque 8 = 23 . El punto (8,2) y el punto (2,8) son reflexiones uno de otro a travs de la recta y = x ( las

ablecer la a

Ejemplo 1Analizamos la funcin f(x) = 1/x en todo su dominio y encontrinversa.

= 1/x es el conjunto de los nmeros

Df ={ }0, xRx En su dominio la funcin es uno-a-uno. Procedemos como es habitual

y = esulta x = 1/y As la funcin inversa es y) = 1/y, con dominio todos los nmeros reales excepto el 0. Con simple observacin vemos que f(x) coincide con y) en todo su dominio. Comprobemos que realmente son funciones inversas. Esto es,

1/x despejando x rf 1 (

f 1 (

62

(1/x) = 1 / 1/x = x

f ( y) ) = f(1/y) = 1 / 1/y = y

Observacin

La funcin identidad, y la funcin del ejemplo 13, son casos muy particulares en los cuales f(x) coincide con x). Esto no sucede con otras funciones.

Gua para obtener en casos sencillos.

r (de alguna manera) que inio. Por ejemplo si f es al

eje x2. Des

la fox y) .

3. Veri f para Ejemplo 1 2 al h tiene Solucin

La grfica de la nc ce en (1,-1), luego, tiene l intervalo [1,

f 1 1( f(x) )= f

f 1 (

f 1 (

f 1

f es 1-1, en todo su dom1. Verificacreciente o decreciente; si se conoce la grfica, por medio de rectas paralelas

o analticamente. pejar x en trminos de y, de la ecuacin y = f (x), obteniendo una ecuacin de rma

1 ( = f ficar las condiciones

-1(f ( x)) = x y f ( f -1(x)) = x todo x del dominio de f y de 1 , respectivamente. f

7 Sea ( ) = (x-1) - 1. Determinar el dominio mximo en el cu inversa. Hallar la funcin inversa y graficar.

h x

fu in h es una parbola con vrtiinversa en e ). Para hallar su inversa, despejamos de la frmula la variable x.

= (x-1)2 - 1 entonces y x = 1+y +1. Por lo tanto, h-1 (x) = 1+x + 1

FIGURA 2.29

63

2.6 LOGARITMOS

de contaminante que onstruido a ese fin. La

P = f (x x

n el fluido, en funcin de la filtro (la longitud) recorrida y observamos que el 20% del contaminante es

retenidoaproxim Recordem mir = 0.2 p Supongam que en lugar de calcular la proporcin de contaminante que queda, deseamos saber qu longitud debe tener el tubo para que slo quede un 25% del contaminante en el combustible. Es decir, cul es el x para el cual

0 (0.8)x o lo que es lo mismo 0.25 = (0.8)xPor lo pronto sabemos que la exponencial de base 0.8 es decreciente ( la funcin es 1-1), luego ha o valo que satisface esta ecuacin. Cmo se encuentra? El primer intento podra ser por prueba y error.

x 0 1 2 3 4 5 6 7

En el punto 2.4 hallamos una funcin que representaba la cantidaddeja pasar por cada pie de longitud, un filtro con forma de tubo, c

rmula hallada es f) = P0 (0.8)

dnde x es la longitud del filtro (en pies) recorrida por el fluido. Estamos pensando la cantidad de contaminante que queda eporcin de

por el filtro. Por ejemplo, despus de atravesar 3 pies, an queda adamente el 51%.

: Si r es la razn de decai ento, entonces a = 1 - r, y P = P0 ( 1- r )t. En este caso osor lo tanto a = 1 - r = 0.8

os ahora

0.25 P0 =P

y un nic r de x

P= (0.8)x 1 0.8 0.64 0.51 0.41 0.33 0.26 0.21 De acuerdo a la tabla podemos predecir que debe ser un valor entre 6 y 7 pies. Pero, cul es exactamente? Podramos seguir aproximando por prueba y error pero sera

ucho ms fcil si tuviramos una frmula que lo calculara. Quisiramos hallar una independiente represente la proporcin de contaminante

ase 10. Esta es una de las dos bases con la que trabajan las calculadoras.

DEFINIC c

remos la notacin log x en lugar de log 10 x, notacin

ra obtener x.

mfuncin en la que la variableque queda, y la dependiente, longitudes. La funcin que nos soluciona el problema se denominar logaritmo. As como las exponenciales tienen una base, tambin la tiene el logaritmo. Comenzamos por b

Definicin y propiedades del logaritmo de base 10. Definimos la funcin logaritmo decimal, log 10 x, como la funcin inversa de la funcin exponencial 10x. Por lo tanto

IN 13: log 10 x = c si 10 = x

ecimos que 10 es la base y usa

Dque usa la calculadora. Podemos expresar en palabras la definicin como sigue:

El logarit mo en base 10 de x es la potencia de 10 que se necesita pa

64

As, por ejemplo, log 1000 = 3 porque 103 = 1000; log 0.1 = -1 porque 0.1 = 1/10 = 10 1. Sin embargo, trate de buscar log (-3) en la calculadora y vea que pasa. ... La razn es que ninguna potencia de 10 es negativa o cero. Por lo tanto,

3. log A = p log A

5. 10 = x

e 10 = 1

ralmente usados cuando debemos resolver una incgnita que es

olucin

t = log7 licando las reglas enunciadas

entonces

log x no est definido para x negativo o cero

En el trabajo con logaritmos se necesitarn las siguientes propiedades

Reglas de clculo para el uso de logaritmos

1. log (AB) = log A + log B 2. log(A/B) = log A log B

p

4. log (10x) = x log x

adems log 1 = 0 porqu 0

Resolucin de ecuaciones usando logaritmos. Los logaritmos son geneun exponente. Ejemplo 18

Encontrar t tal que 2t =7 S

Lo primero que debe notarse es que, como 22 = 4 y 23 = 8, t debe estar entre 2 y 3. Para encontrar t exactamente tomamos logaritmo en base 10:

log 2ap

t log 2 = log 7

65

t = 2log7log

= 301.0845.0 2.81

Eje de k solucin de la siguiente ecuacin : 38 = 18 + 80 e -5k Solucin Haciendo los pasajes de trminos correspondientes llegamos a

mplo 19 Hallar el valor

801838 = e -5k 1/4 = e -5k -5k log(e) = log (1/4) = - log(4)

k = )log(5

)4log( 0e

.2773

Volvamos a nuestro problema inicial para resolver 0.25 = (0.8)x

(0.8)x log 0.25 = x log (0.8) x =

Ejemplo 20

Solucin

0.25 =log(0.8)

0.25) ( log 6.2125o se esperaba el valor est entre 6 y 7. Para el problema de contaminacin,

ubo que contiene el filtrante tiene 6,21 pies, el go de atravesar ese tubo, contendr el 25% del

Ejemplo 21

taminante tratado. Esto es, resolver la ecuacin

Comesto significa que si el t

mbustible que sale luecocontaminante.

(a) Hallar la semivida del con

20P = P0 (0.8)x

(b) Hallar una frmula para la inversa de la funcin P = f (x) = P0 (0.8)x

Solucin

(a) 2

0P x x = P0 (0.8) entonces 1/2 = (0.8)

0.5 = (0.8)x log(0.5) = x log(0.8) x =)8.0log()5.0log( = 3.10

a vida media es 3.1. En trminos prcticos significa que pasando el kerosn a travs de una pies, el kerosn que sale ha perdido la mitad de sus impurezas.

(b) Debemos encontrar una frmula que exprese a x como funcin de P.

P = P0 (0.8)x log(P) = log( P0 (0.8) ) = log(P0) + log((0.8)x)

Lpipeta de 3.1

x

log(P) - log(P0) = x log (0.8) entonces x = )8.0log()8.0log(

0 )log()log( PP

f -1 (P) = )8.0log()8.0log(

Si P

)log()log( 0PP

0 = 1, entonces f -1(P) = )8.0log()1log()log( P

)8.0log(

mo log (1) = 0, f -1 (P)= 0969.0

)log(

P co

66

Observacin importante No siempre pueden usarse los logaritmos para resolver

o ejemplo muestra ecuaciones que en forma numrica o usando una

grfica, porque ellas contienen ambos, trminos lineales y

Solucin in ms

log(1+x) = log (2x) = log(2) x = (0.301) x

Lo prximo que podemos hacer (debido a las herramientas matemticas onocidas) es adivinar. Cuando x = 0 o x = 1, se satisface la ecuacin. Luego

la grfica nos confirma que son los nicos valores de x que lo hacen. El trabajo con r s muy til en estos casos pero es recomendable usar omputadora debido a la precisin necesaria para obtener resultados ms onfiables. (Ver figura 2.30a).

(b) Los logaritmos no son de ayuda aqu tampoco y adivinar no es fcil. a grfica .30b nos muestra que hay otra.

a un zoom en el lugar adecuado. Se observa que -0.65 es tambin solucin.

FIGURA 2.30b

CoEn lo rabajar con la

exponentes. El prximslo pueden resolverse

exponenciales. Ejemplo 22

Resolver (a) 1+ x = 2x ; (b) 1 + x = 5x

(a) tomar logaritmos no nos ayuda porque no obtenemos una ecuacfcil que la original:

c

g ficas ecc

Nuevamente x = 0 es solucin y l 2Podemos llegar a aproxim rla haciendo

x

FIGURA 2.30a

mentario

s clculos numricos, es aconsejable tmxima cantidad de dgitos posibles hasta llegar al resultado final. Este ltimo puede ser redondeado a una menor cantidad de dgitos

67

La grfic Graficamos f(x) = log(x) y lo comparamos con g(x) = 10x

x lo

a del logaritmo decimal

g(x) 10x0 indefinido 1 1 0 10 2 0.3 100 3 0.5 10 34 0.6 10 4|

10 1 10 10

Anlisis de la g

os valores del logaritmo que figuran en la tabla pueden hallarse con calculadora. ebido a que ninguna potencia de 10 d cero, el logaritmo no est definido para 0.

Obsrvese que ambas funciones f(x) = log(x) y g(x) = 10x, son crecientes. La diferencia est en que, mie ncial crece rpidamente el logaritmo lo hace muy lentamente. Por supuesto estotiende a infinito. La funcin logaritmo nCuando x se acerca a cero por la derecha ( escribimos ) la grfica cae a - . Adems el logaritmo cruza el eje x en x = 1 porque log(1) = 0, en otras palabras, (1,0)

ertenece a su grfica. n funciones inversas, las grficas de las dos

nciones son el reflejo, una de la otra, a travs de la recta y = x. Por ejemplo, log(10) = 1

consecuencia (1,10) est sobre tos (10,1) y (1,10) son reflexin uno del otro a travs de y = x. Un argumento

sim r m ue l punto (a,b) est sobre la grfica de la exponencial, entonces (b,a) est sobre la grfica del logaritmo. El nmer os naturales. Todos los clculos en la seccin anterior fueron hechos con logaritmos de base 10, sin em go en lculos cientficos se usa frecuentemente como base el famoso nmero e =

e lo conoce como logaritmo natural y se lo denota por ln. Una funcin exponencial puede ser expresada usando la base e o cualquier otra base a

FIGURA 2.31

rfica

LD

ntras la expones dos hechos estn directamente relacionados y ambas tienden a infinito cuando x

o est definida para x 0 y tiene como asntota vertical a x = 0. + 0x

pPuesto que f (x) = log(x) y g(x) = 10x sofu1 de modo que (10,1) est sobre la grfica de log(x) y esto significa que 10 = 10, como

la grfica de la exponencial. Los pun

ila uestra q si e

o e y los logaritm

bar c2.71828....S

(siem 0). Sin embargo, la base e es generalmente usada cuando hay clculos involucrados. en ser definidos para cualquier base a (con a>0) a pesar que la mayora de las calculadoras contienen logaritmos slo en base 10 y e. En

estas dos bases.

pre que a>Los logaritmos pued

este curso slo usaremos

68

l logaritmo en base a se define de manera similar al logaritmo en base 10, como la

n que utilicemos logaritmo s. La razn es que el

logaritmo en base a

Efuncin inversa de ax:

loga x = c si a c = x

En particular cuando a = e (e = 2.71828...) se obtiene el logaritmo natural. Las reglas para operar con el logaritmo natural o logaritmo en base a son similares a las ya enunciadas. En particular para el logaritmo natural las reglas se escriben

Reglas de clculo para el logaritmo natural

6. ln (AB) = ln A + ln B 7. ln(A/B) = ln A ln B

p8. ln A = p ln A 9. ln (ex) = x 10. e ln x = x

adems ln 1 = 0 porque e0 = 1 La grfica de ln x , como la de log(x), crece lentamente cuando x tiende a infinito.

FIGURA 2.32 Observacin

Cuando usamos logaritmo para resolver una ecuacin no necesitamos una base en particular por lo cual es muy comnatural o decimal en la mayora de los caso

( cualquier a >0) puede escribirse en trminos del ula que deduciremos a

= c si y slo si a c= x

atural en ambos miembros de la segunda igualdad y icin, se tiene

) c ln (a) = ln (x) loga x ln (a) = ln (x) ce

logaritmo natural de acuerdo a la frmcontinuacin. Por definicin

loga x

tomando logaritmo nusando la defin

c x

69

ln (a ) = ln (nton s e

)ln()ln(

ax loga x =

Ejemplo 23

Verificam log 2

ln (4) = ln (22 ) = 2 ln(2)

os la frmula dada para a = 2 y x = 4 (4) = 2 ( primer miembro de la igualdad)

)2ln()4ln( =

)2ln()2ln(2 = 2 ( segundo miembro )

jemplo 24 Hallar el valor de k solucin de la siguiente ecuacin: (ek)2 e 2-3k =2

a en

Aplic

Relacin en En la seccin

a t

donde P0 es el valor inicial de P y a es el factor de crecimi po. El caso a>1 representa crecimiento exponencial, el caso 0 < a < 1, decaimiento exponencial. Para cualquier nmero positivo a, podemos escribir

ln(a) s

siendo Si a

o P = P0 a = P0 (ek) t = P0 e kt

sitivo ( k = s =ln(a) ).

n el caso 0 < a < 1, s = ln(a) < 0, escribimos s = -k, donde k es una constante positiva,

As, si Q es una cantidad que decae exponencialmente y Q0 la cantidad inicial, en el empo t tendremos

0 0 0n valor de k, positivo.

E Solucin

Aplicando las propiedades de los exponentes, el miembro izquierdo se transform

e 2k e 2-3k = e 2k + 2 - 3k = e 2-k = 2

ando logaritmo natural a la ltima igualdad

(2-k) ln(e) = ln (2) k = 2 - ln(2) = 1.30685

1

tre at y e kt

2.4 vimos la familia de funciones exponenciales P = P0

ento por unidad de tiem

a = e = e

ln a. s = >1, s es positivo; si 0 < a < 1, s es negativo. As la funcin que representa

crecimiento exponencial puede escribirse comt

donde k es po Eentonces

a = e -k

tiQ = Q at =Q (e-k) t = Q e kt

para alg

70

Resumiendo

crecimiento exponencial puede escribirse P = P0 a t o bien P = P0 e

siendo a > 1 y k > 0. decaimiento exponencial puede escribirse

P = P0 a t o bien P = P0 e -kt

ente, en el pargrafo 2.4, tasa anual, r, sta se usa cuando onencial en la for

Cualquier funcin de

kt

Cualquier funcin de

siendo 0 < a < 1 y k > 0.

La constante k es llamada tasa continua y se usa cuando escribimos la exponencial con base e. La justificacin escapa a este curso y est relacionada al tema de capitalizacin continua en un contexto econmico-financiero. Anteriorm hablamos de

ma escribimos la expP = P0 (1 r) t .

a que e kt sea igual a (1+r) t, y e kt , debe ser

k = ln (1+r)

tn prximos.

La grfic o usar la tasa anual que la tasa co exponencial en trminos de la base natural e.

porque r = 0.2; k = log(1.2) = 0.18232

Es necesario mostrar que est as dos tasas son diferentes. Par

de la relacin entre atde acuerdo a lo establecido al hablar

lo que muestra que k es distinto de r. En la figura 2.33, se observa que aunque la tasa continua y la tasa anual son distintas, slo para valores de r muy cercanos a cero, r y ln(1+r) es

FIGURA 2.33

a de la figura 34, pone en tinua cuando escribimos la

evidencia que no es lo mismn

Ejemplo 26 Supongamos que una poblacin crece a una tasa anual del 20%. La funcin exponencial que modela el problema es

P(t) = P0 (1+r) t = P0 (1.2) t = P0 e0.18232 t

Observamos, grficamente que sucede cuando se coloca directamente la tasa anual en el exponente

71

jemplo 26 Hemos vist o del carbono-14 poda ser

D 05 Expresaremos esta funcin en trminos de e.

olucin

FIGURA 2.34 En el ejemplo siguiente se muestra como hacer un cambio de base en una funcin exponencial. E

o que el decaimiento radioactivmodelado por la funcin

t /5730C = C0 (1/2) onde C es la cantidad de carbono-14 en el tiempo t, C la cantidad inicial y 730 el tiempo de semivida.

SDeseamos escribir esa funcin en trminos de la exponencial natural.

C = C0 (21 ) t /5730 = C0 ekt

Cancelando C0, tenemos

(21 ) t /5730 = ekt

tomando logaritmo natural a ambos lados obtenemos

(t /5730) ln (21 ) = ln ( ekt ) = kt

cancelando t

k =5730

1 ln (21 ) = -0.000121.

Por lo tanto la funcin es C = C0 e (-0.000121)

t

jemplo 27

E

72

Midiendo la poblacin de un cierto pas en millones y el tiempo t en aos, se ha obtenido la funcin que da el crecimiento de la poblacin en funcin del tiempo

0 en el ao 1984.

o llarla aos

(t = 2) del registro inici millones.

Usando = 19.5 2 k entonces

P = P0 ekt = 19.5 e kt

donde P = 19.5 es el valor inicial de P,

En problemas de este tipo se sabe que la familia que lo modela es la familia de exponenciales correspondiente al crecimiento exponencial, lque no se conoce es el valor de la constante (parmetro) k. Para hausamos algn dato adicional, por ejemplo, se sabe que en 1986, a dos

al, la poblacin fue de 21.2

5.192.21 eeste dato, 21.2 = 1.087 179 = e2 k

tomando logaritmo a ambos miem

ln ( 1.087) = ln ( k = 0.041793 0.042

por lo tanto, la funcin correspondiente a este problema particular es:

P

anual? Pu

k = 0.041793 = ln (1 + r) entonces

r = ek -1 = 0.04267899527107

r 0.043 y decimos que esta poblacin crece a razn del 4.3%

En este ejemtercer dgito, esto es coherente con el grfico de la figura 2.32 ya que el valor de r est relativamente prximo a 0.

bros

e ) 0.0835867 = 2k 2 k

= 19.5 e0.042 t

Cul es el crecimiento esto que

luego anual.

plo, observamos que la tasa continua k y la tasa anual r difieren a partir del

73

2.7 CONSTRUCCIN DE FUNCIONES A PARTIR DE OTRAS YA CONOCIDAS

itirn el conocimiento de otras, y crear otras, al des Desplazamientos

ms grandes que las coordenadas y correspondientes de la funcin y = x2. Por lo tanto


a grfica tambin se puede desplazar hacia la derecha o hacia la izquierda. Para

La grfica de y = f(x) + k es la grfica de y = f(x) desplazada k unidades hacia a k unidades a la

k unidades a la izquierda si k 0, k unidades hacia abajo si k 0,

Ejemplo 28

Utilice la grfica de la funcin ms sencilla para trazar cada una de las siguientes:

1)2()3)

2 63

)2()1)

+=+=

xybxya ex

=

74

Solucin

FIGURA 2.37

ccin y dilatacin de la coordenada y

Para obtener la grfica de y = c f (x) para algn n e por c la coordenada y de los puntos de la grfica duplica la ordenada; y = f (x) mu

FIGURA 2.

Contra

mero real c, puede multiplicarsy = f (x). Por ejemplo y = 2f (x),

ltiplica por la ordenada y = f(x).

38

75

76

En general

Si c1, la grfica de y = cf(x) multiplica por c la coordenada y de y = f(x). Si c>1 la grfica de y = x) se dilata. Si 0< c

xby +=

ax

xbabay +=

Reacciones enzimticas

s V0 de las reacciones catalizadas por enzimas pueden ser

(M-M) [S]0 = concentracin del sustrato inicial = variable independiente V0 = velocidad inicial = variable dependiente KM, Vmax :constantes

Con algn manejo de expresiones algebraicas podemos transformarla en Esta es una expresin ms conocida desde el punto de vista matemtico y corresponden al tipo de curvas denominanadas hiprbolas). En este caso es, a = Vmax ; b = KM.este caso es la funcin z = 1/x la que ha sido multiplicada por nmeros y trasladada. En la figura 2.43 se muestra el paso a paso de la construccin de la grfica. Desde el punto de vista de la qumica, un tema de anlisis en este tipo de funciones es el comportamiento asint siderablemente. En la reaccin enzim max za cuando la enzima inicial est totalmente combinada. Matem camente se observa que cuando x crece al infinito, el denominador aumenta y por lo tanto el segundo trmino tiende a a = Vmax.

mada onstante de Michaelis.

APLICACIN de las operaciones con funciones: APLICACIN de las operaciones con funciones: Las velocidades iniciale Las velocidades inicialeexplicadas mediante la ecuacin hiperblica de Michaelis-Menten

Vo=Vmax[S]0 / (KM+ [S]0)

explicadas mediante la ecuacin hiperblica de Michaelis-Menten

V

S Si pensamos a [S]0 como una variable x y a V0 como y la ecuacin (M-M) es del tipo

. En . En

tico cuando la variab ependiente crece contica, ese valor de asntota es V y se alcantico cuando la variab ependiente crece contica, ese valor de asntota es V y se alcan

le indle ind

titi

La figura 2.44 muestra el comportamiento para diferentes valores de KM, llaLa figura 2.44 muestra el comportamiento para diferentes valores de Kcc

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xby +=

ax

xbabay +=

Reacciones enzimticas

s V0 de las reacciones catalizadas por enzimas pueden ser

(M-M) [S]0 = concentracin del sustrato inicial = variable independiente V0 = velocidad inicial = variable dependiente KM, Vmax :constantes

Con algn manejo de expresiones algebraicas podemos transformarla en Esta es una expresin ms conocida desde el punto de vista matemtico y corresponden al tipo de curvas denominanadas hiprbolas). En este caso es, a = Vmax ; b = KM.este caso es la funcin z = 1/x la que ha sido multiplicada por nmeros y trasladada. En la figura 2.43 se muestra el paso a paso de la construccin de la grfica. Desde el punto de vista de la qumica, un tema de anlisis en este tipo de funciones es el comportamiento asint siderablemente. En la reaccin enzim max za cuando la enzima inicial est totalmente combinada. Matem camente se observa que cuando x crece al infinito, el denominador aumenta y por lo tanto el segundo trmino tiende a a = Vmax.

mada onstante de Michaelis.

o=Vmax[S]0 / (KM+ [S]0)

i pensamos a [S]0 como una variable x y a V0 como y la ecuacin (M-M) es del tipo

M, lla

FIGURA 2.43

77

FIGURA 2.44

Suma de funciones Supongamos dos funciones f(x), g(x) definidas sobre un mismo dominio. Se define la funcin suma de la siguiente manera: DEFINICIN 14 Sea h la funcin suma. Entonces

h(x) = f(x) + g(x) para cada x del dominio

uponemos aqu que ambas funciones tienen igual dominio. Si no es as, la suma se

define en la interseccin de los dos do La sum ndos. Por ejem

plo, en x asiado

.

Soluc

iremos primero las grficas por separado. Luego imaginemos los valores de y ulados uno encima del otro y obtendremos la grfica de s(x).

Notemos que cerca de cero ( cuando x fica de s se parece mucho a la de 1/x s grande que 2x2 ). Para x grande ( cuando x ) la grfica er las grficas 2.45

Sminios.

a de funciones nos permite descubrir propiedades a partir de los sumaplo si se tiene la expresin

p = f(x) = x3 + x + 50 se dice que p se comporta como x3 para valores grandes de x. Pensemos, por ejem

=10, 103 es mucho mayor que 10 ( y eso que 10 no es un nmero demgrande). Para valores grandes de x, los dos ltimos trminos de f son despreciables

Ejemplo 29 Graficamos la funcin y = s(x) = 2x2 + 1/x para x > 0.

in

Macum

0) la gr(porque 1/x es mucho m

e s(x) se parece a x2 . Vd

78

.

FIGURA 2.45 a) FIGURA 2.45 b)

1 + 3|; f2 (x) = | x -1|; f3 (x) = - | 2x +

doc3n

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