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CAPITULO 1

NUMEROS REALES

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1.1 LOS NUMEROS REALES. En el presente captulo suponemos conocidos los sistemas numricos y las operaciones en ellos definidas. Sin embargo revisaremos entre otros, propiedades de los nmeros reales, valor absoluto, desigualdades e intervalos, conceptos con los cuales trabajaremos a lo largo del curso. Los nmeros reales se representan geomtricamente como puntos de una recta. Hay una correspondencia biunvoca entre los puntos de una recta (concepto geomtrico) y los nmeros reales (concepto algebraico). Esto quiere decir que a cada nmero real se le asocia un punto sobre la recta y a cada punto de la recta le corresponde un nmero real. Llamamos a ese nmero coordenada del punto. Esa recta se denomina recta real. Con esta correspondencia queda definido un sistema coordenado.

FIGURA 1.1 Dibujamos un punto de referencia O (el origen del eje coordenado) y le signamos el numero 0. Asignamos una direccin, tomando el sentido positivo hacia la derecha y el negativo hacia la izquierda. Decimos que estamos trabajando en una dimensin. Los nmeros que se encuentran a la derecha del origen son los nmeros reales positivos, mientras que los que se encuentran a la izquierda son los negativos. El nmero 0 no es positivo ni negativo. Cuando nos movemos en dos dimensiones, por ejemplo cuando necesitamos trazar un grfico en el plano, tambin necesitamos un sistema de referencia. Un sistema de ejes coordenados del plano queda definido por dos rectas reales perpendiculares (ejes coordenados), que se intersecan en el punto de coordenada 0. La posicin de todos los puntos del plano puede medirse respecto a este sistema. El plano, como ente geomtrico, dotado de un sistema de referencia como el definido, se denomina plano coordenado.

FIGURA 1.2

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Si P es un punto cualquiera del plano, trazando rectas paralelas a los ejes coordenados, si el corte con el eje x es a y el corte con el eje y es b, el par (a,b) determina las coordenadas del punto P. La unidad usada para medir la distancia sobre cada eje no necesariamente debe ser la misma, depende de las magnitudes con las que se est trabajando. Propiedades fundamentales de los nmeros reales

(i) Si a.b = a.c y a 0, entonces b = c Esto nos permite eliminar un factor que se encuentra en ambos miembros de una igualdad.

(ii) Si a.b = 0 y a 0, entonces b = 0 Podemos usar tambin el enunciado : Si a.b = 0, entonces b = 0 o a = 0.

Nota: La partcula o usada en la propiedad (ii) no excluye el caso a = b = 0. Ejemplo 1

Deseamos hallar el o los un nmeros x que satisfacen (x -1 )(x-2) = 0

Se sigue entonces que o bien x -1 = 0 o x - 2 = 0; de donde x = 1 y x = 2 son los dos nicos valores que pueden satisfacer la ecuacin.

Pueden enunciarse y demostrarse otras propiedades, pero resaltamos (i) y (ii) porque son de uso corriente en la resolucin de ecuaciones. Desigualdades. Decimos que un nmero real a es mayor que un nmero real b si a - b es positivo. Escribimos

a > b si a - b es positivo (1) Como a 0 = a resulta que

a > 0 si y slo si a es positivo Con esto podemos escribir el enunciado (1) como

a > b si y slo si a - b > 0 Nota: Decir a es mayor que b ( a > b ) es lo mismo que decir b menor que a ( b< a ) Propiedades de las desigualdades.

(i) Si a > b y b > c, entonces a > c (ii) Si a > b, entonces a + c > b+ c (iii) Si a > b, entonces a - c > b - c (iv) Si a > b y c es positivo, entonces ac > bc (v) Si a > b y c es negativo, entonces ac < bc

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Hay casos especiales que conviene destacar: Si a > b y c = -1, entonces - a < - b

En particular cuando b = 0

Si a > 0, entonces - a < 0 Si a < 0, entonces - a > 0

Si a > 0, entonces a1 > 0

Siendo a y b ambos positivos o ambos negativos, Si a < b, entonces

ab11 <

De la propiedad iv) y v) colocando a < 0 se deduce: Si a > 0, entonces a 2 > 0 Si a < 0, entonces a 2 > 0

Esto dice que el cuadrado de cualquier nmero distinto de 0, es positivo. Nota:

Para la expresin a b decimos que a es mayor o igual a b y significa que a > b o bien a = b.

Cuando decimos a positivo significa a > 0 y a no negativo significa a 0. La expresin a < b < c significa que a < b y que b < c y se dice que b se

encuentra entre a y c. Las expresiones a b, a < b c, a b < c etc, pueden interpretarse

mediante las definiciones anteriores.

Comentario

Las propiedades enunciadas se pueden demostrar y sus demostraciones se encuentran en los libros de Clculo.

Valor absoluto Como dijimos al comienzo, cada nmero real a representa la coordenada de un punto sobre la recta real. Pensando en esto, se observa que dado un punto a una distancia a del origen, existe otro a la misma distancia pero en el sentido opuesto al primero. Es necesario definir un concepto que represente esa distancia. El hecho que

- a > 0 cuando a < 0 es la base de ese concepto al que llamamos valor absoluto de un nmero. La definicin algebraica es la siguiente: DEFINICIN 1: Sea a un nmero real. El valor absoluto de a se denota por | a | y se define por

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Geomtricamente, el valor absoluto de a representa la distancia del punto de coordenada a al origen del sistema.

FIGURA 1.3 Observacin

| a | 0 cualquiera sea el nmero real a. Las barras slo indican una manera breve de describir la definicin.

Ahora estamos en condiciones de considerar la definicin de la raz cuadrada (tal como se usa a lo largo de este curso)

DEFINICIN 2: Para cualquier x 0, x por definicin representa el nmero

no negativo que elevado al cuadrado da x. Esto es,

x = a si y slo si a 2 = x Donde a es mayor o igual que cero.

Cmo solucionamos el clculo de 2x ? Como consecuencia de las propiedades de las desigualdades, vimos que, para cualquier nmero real x, es x2 0. Adems, aunque x puede ser negativo, 2x debe ser positivo. Por eso

2x = | x | De manera que, los valores de x que verifican x2 = 2 se encuentran siguiendo el razonamiento Si x2 = 2 entonces 2x = 2 luego 2x = | x | = 2 , por lo tanto x = 2 o x = - 2

Ejercicio para el alumno. a) Porqu es verdadera la siguiente afirmacin ?

Si x 2 = y 2 entonces x = y o x = -y b) Dnde est el fallo en la siguiente demostracin? Sea x = y. Entonces

x 2 = xy, x 2 - y 2 = xy - y2,

( x + y) ( x - y) = y( x - y), ( x + y) = y,

2 y = y, 2 = 1

-5 5

| -5 | = 5 | 5 | = 5

0

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Propiedades del valor absoluto. Para todo nmero real, vale i) | a | = | - a | ii) | ab | = | a | | b |

iii) | a + b | | a | + | b | Resultados importantes que se deducen de la definicin son los siguientes i) | a | < b si y slo si - b < a < b

ii) | a | > b si y slo si a > b o bien a < - b iii) | a | = b si y slo si a = b o bien a = - b

Estas afirmaciones son necesarias al momento de resolver desigualdades que contienen valor absoluto. Distancia entre dos puntos

DEFINICIN 3: Sean A y B dos puntos sobre la recta real, de coordenadas a , b respectivamente. La distancia entre A y B se denota por d ( A, B) y se define por

d ( A, B ) = | b - a | El nmero d ( A, B ) denota la longitud del segmento AB . Observacin:

d ( A, B ) = | b - a | = | - (b- a) | = | a - b | = d ( B, A) d ( O, A ) = | a - 0 | = | a | , lo que coincide con la interpretacin

geomtrica dada al comienzo. Ejemplo 2 Sean A, B, C puntos sobre la recta real con coordenadas 3, -5, 10 respectivamente. Entonces

d ( A, B ) = |-5 -3| = |-8| = 8 ; d ( B, C) = |10 - (-5) | = |15| = 15

d ( A, C ) = |10- 3 |= |5| = 5

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1.2 INTERVALOS. Es muy til tener en mente ciertos conceptos y terminologa sobre conjuntos antes de definir intervalos. Slo daremos los conceptos elementales para entender de qu hablamos.

Un conjunto puede pensarse como una coleccin de objetos de algn tipo y los denotaremos por letra mayscula.

Los objetos son los elementos del conjunto. Para nosotros esos objetos sern, comnmente, nmeros reales. El conjunto de los nmeros reales ser denotado por R.

Generalmente la definicin de un conjunto est dada por alguna propiedad que deben verificar sus elementos. Ejemplo 3

El conjunto de todos los nmeros reales que son cuadrados perfectos. Propiedad: ser un nmero real y ser cuadrado perfecto. En smbolos, escribimos

C = { xR / x = a 2 para algn nmero a } Leemos: C es el conjunto de todos los nmeros reales que son cuadrados perfectos.

La propiedad es la que dice si un elemento est o no est en el conjunto. Los elementos se relacionan con el conjunto mediante el concepto de pertenencia y usamos el smbolo , para afirmar que un elemento pertenece al conjunto o est en el conjunto. El smbolo , para decir que no pertenece. Por ejemplo,

4C, 36C, 144C, 7C, 102C. Una letra que se usa para representar cualquier elemento de un conjunto dado se llama variable. Un smbolo que representa un elemento especfico es una constante. A menudo trabajamos con una parte de los elementos de un conjunto ya definido. Llamamos a esa parte, subconjunto. Por ejemplo, el conjunto C es un subconjunto de R. La relacin entre conjuntos est dada por la inclusin y el smbolo usado es . DEFINICIN 4: Decimos que A es un subconjunto de B ( o A est contenido en B) si cada elemento de A est en B. En smbolos

A B si y slo si ( si x A entonces x B ) Dados dos subconjuntos S y T DEFINICIN 5: S = T si tienen exactamente los mismos elementos. En smbolos S = T si y slo si S T y T S

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Se definen operaciones entre conjuntos, entre ellas, unin e interseccin DEFINICIN 6: Unin: S T = { x / xS o xT} Interseccin: ST = { x / xS y xT} Los elementos que estn en la interseccin son los elementos comunes a ambos conjuntos. Los elementos que estn en la unin estn en alguno de los dos conjuntos o en ambos conjuntos. Ejemplo 4

Sea C el conjunto definido en el ejemplo 3 y A el conjunto de todos los nmeros pares. Entonces,

I = C A = { x / x es un cuadrado perfecto, par} ; elementos de I son 4, 16, 36, 64 ...

U = C A = { x / es un cuadrado perfecto o es par}; elementos de U son 1, 2, 4, 6, 8, 9,...

Entre los subconjuntos de R importantes para el Clculo, se encuentran los intervalos. Dados dos nmeros reales a < b, el conjunto de todos los nmeros reales entre a y b es un intervalo abierto.

( a , b) = {x R / a < x < b} El centro del intervalo ( a , b) es el punto de coordenada

2ba + y la semiamplitud est

dada por el nmero 2

ab . Intervalos cerrados y semiabiertos

[ a, b] ={x R / a x b} [ a, b) ={x R / a x < b} ( a, b] ={x R / a < x b}

Intervalos infinitos

( a, ) = {x R / a < x} [ a, ) = {x R / a x} ( -, b) = {x R / x < b} (- , b] ={x R / x b} (-, -) = R

Observacin: Infinito es slo un smbolo, infinito no es un nmero real. Ejemplo 5

La solucin de la desigualdad | x | < 3/2 , determina un intervalo de centro c = 0 y semiamplitud r = 3/2

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1.3 INECUACIONES. Porqu inecuaciones en medio de este tema de conjuntos? Cuando resolvemos ecuaciones algebraicas, hallamos 0, 1, 2, ...n soluciones, dependiendo de la ecuacin. Si analizamos la inecuacin

x2 - x + 1 > 3x - 3 (2) observamos que cualquier nmero real distinto de 2, satisface la desigualdad. Resolver esta desigualdad (o inecuacin), significa hallar todas las soluciones, todos los nmeros que satisfacen la desigualdad y estos son todos los nmeros reales excepto el 2.

S = { x R / x 2 } Se dice que dos desigualdades son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. Para resolver una desigualdad, se escribe una lista de desigualdades generalmente equivalentes, hasta llegar a una cuya solucin obvia. Ejemplo 6

Resolvemos la desigualdad (2) x2 - x + 1 > 3x - 3

( x - 2)2 > 0 | x- 2 | > 0,

como el valor absoluto siempre es no negativo, slo debemos descartar el caso x - 2 = 0, o sea x = 2, entonces la solucin es el conjunto de todos los nmeros reales x que verifican

x > 2 o x < 2.

Ejemplo 7 Resolver 4x + 3 > 2x - 5

Solucin Las siguientes desigualdades son equivalentes

4x + 3 > 2x - 5 4x > 2x - 8

2x > - 8 x > - 4

El conjunto solucin es el intervalo infinito ( - 4, ) Ejemplo 8

Resolver -5 1234

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Los x que verifican la desigualdad (3) constituyen el intervalo (- , 14/3] Los x que verifican la desigualdad (4), el intervalo (3/2, ) La solucin de la desigualdad original es la interseccin de estos dos intervalos

S = (- , 14/3] (3/2, ) = ( 3/2, 14/3] Ejemplo 9 Sean a y dos nmeros reales, con > 0. Resolver la desigualdad

0 < | x- a | < Solucin Hay nuevamente hay dos desigualdades que resolver

(1) 0 < | x - a | , cuyas soluciones son todos los nmeros reales excepto x = a . (2) | x - a | < para lo cual deben usarse la propiedad de valor absoluto | a | < b si y slo si -b < a < b Aplicada a nuestro problema,

| x - a | < si y slo si - < x- a < - + a < x < + a

Teniendo en cuenta (1) y (2), la solucin es el intervalo (- + a, + a ) sin el punto x = a, y puede escribirse

S = (- + a, a ) ( a, + a )

Ejemplo 10 Resolver | 2x- 7 | > 3 Solucin

x es solucin de | 2x - 7 | > 3 si y slo si (1) 2x - 7 > 3 o bien (2) - (2x - 7 ) >3 lo que implica 2x - 7 < -3 de (1) resulta x > 5 y de (2) , x < 2 luego la solucin es la unin

S = (5, ) (- , 2) Problema para el alumno. 1. Para las siguientes inecuaciones

a) Resuelva b) Exprese el conjunto solucin como intervalo o como unin de intervalos c) Use el resultado 2x = | x | donde resulte apropiado

22 =x 94 2

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PROBLEMAS Y EJERCICIOS DEL CAPITULO 1

NMEROS REALES. ECUACIONES. INECUACIONES.

Nota : En la columna de la derecha se encuentra la solucin del correspondiente

ejercicio.

En los ejercicios de 1 a 20, resuelva las ecuaciones dadas y verifique las soluciones.

1) ( ) 781523 += xx x = -1 2) ( )

211

43

21 =++ xxx 1=x

3) t,,t, 104090 += 50,t = 4) ( ) 16123 = xx sin solucin 5) ( ) 281242 =+ xx Inf. soluciones (identidad) 6)

52

323

+= xx 21=x

7) 4283

1476

+=

+tt

tt

3920=t

8)3

333 =+ xx

x Sin solucin real

9) ( ) ( )25105322 +++= xxxx 6=x 10)

93

31

9 22 =++ xxxx Sin solucin real

11) 2

14

44

222 += xxx x = 4

12) ( ) ( ) ( ) 2117 +=+ xx.x 2=x 13) xx 1294 2 =+ 2

3=x

14) ( ) 0127 =+xx { }4,3=S 15) 0242 =+ xx { }22,22 +=S 16) 024 2 =+ yy Sin solucin real 17) 752 = xx sin solucin real 18) 312 =x { }12 = ,S 19) ( ) 30243 =+ x { }23,S = 20) 12 =x

21

En los ejercicios de 21 al 34, resuelva las desigualdades dadas y exprese la solucin en

trminos de intervalos.

21) xx + 313 [ )= ,2S 22) ( ) 832

22

39)

==

4222

yxyx

infinitas

soluciones 40)

=+=

3142

yxxy

( ){ }3,2 =S

41)

=+=

145263

yxyx

=

61,

31S 42)

==++432

0864yx

yx

infinitas soluciones

43)

=+=

3255

yxyx

Sin solucin

44)

+==+

121)1(

2

2

xxyxy

45) La relacin entre las escalas de temperatura Fahrenheit y Celsius est dada por

C = 5/9 ( F 32 ). Exprese los valores de C correspondientes a 60 F 80 por medio de una doble desigualdad.

46) Para cierto gas, la ley de Boyle afirma que pv = 200, donde p denota la presin ( en N/cm2 ) y v el volumen ( en cm3 ). Si 25 v 50, cules son los valores correspondientes de p ?

47) Para un circuito elctrico la ley de Ohm afirma que I = V/R, donde R es la resistencia (en ohms, ), V es la diferencia de potenciales (en volts, V) e I es la corriente ( en amperes, A). Si la tensin es de 110 V, qu valores de la resistencia producen una corriente que no excede de 10 A ? 48) Si en un circuito elctrico se conectan dos resistores R1 y R2 en paralelo, la

resistencia neta R est dada por 21

111RRR

+= . Si R1 =10 , qu valores de R2 dan por resultado una resistencia neta de menos de 5 ?