doc. rndr. josef dal´ık, csc
TRANSCRIPT
VYSOKE UCENI TECHNICKE V BRNEFAKULTA STAVEBNI
doc. RNDr. Josef Dalık, CSc.
MATEMATIKA IVNUMERICKA ANALYZA
STUDIJNI OPORYPRO STUDIJNI PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Obsah
1 Predmluva 5
2 Uvod 6
2.1 Co je to numericka analyza? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Co je to chyba? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Chyby v numerickych vypoctech 8
3.1 Zaznam cısel v pameti pocıtace . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Chyby, ovlivnujıcı vysledky numerickych vypoctu . . . . . . . 9
4 Jedna rovnice pro jednu neznamou 12
4.1 Metody pro urcenı pocatecnı aproximace . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Metoda proste iterace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3 Efektivnı zpresnujıcı metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3.1 Newtonova metoda (linearizace) . . . . . . . . . . . . . 19
4.3.2 Geometricky vyznam Newtonovy metody . . . . . . . . 20
4.3.3 Analyza chyby Newtonovy metody . . . . . . . . . . . 20
4.3.4 Fourierovy podmınky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3.5 Modifikace Newtonovy metody . . . . . . . . . . . . . 22
5 Normy matic a vektoru 23
6 Resenı systemu linearnıch rovnicprımymi metodami 27
6.1 Gaussova eliminace s (castecnym) vyberemhlavnıch prvku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.2 LU–rozklad matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.3 Vypocet matice inverznı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.4 Specialnı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.4.1 Symetricke pozitivne definitnı matice . . . . . . . . . . 33
6.4.2 Rıdke matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.5 Cıslo podmınenosti matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7 Resenı systemu linearnıch rovnic iteracı 39
7.1 Jacobiova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.2 Gaussova–Seidelova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.3 Relaxacnı metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3
8 Resenı systemu nelinearnıch rovnic 45
8.1 Metoda proste iterace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.2 Newtonova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9 Aproximace funkce 51
9.1 Uloha Lagrangeovy interpolace . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9.1.1 Interpolacnı polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9.1.2 Interpolacnı kubicke splajny . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.2 Uloha Hermiteovy interpolace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9.2.1 Hermiteuv interpolacnı polynom . . . . . . . . . . . . . 60
9.2.2 Hermiteovy kubicke interpolacnı splajny . . . . . . . . 62
9.3 Diskretnı metoda nejmensıch ctvercu (MNC) . . . . . . . . . . 63
10 Numericky vypocet derivace 70
11 Pocatecnı problemy pro ODR (obycejnediferencialnı rovnice) 73
12 Aproximace resenı okrajovych ulohpro ODR 2. radu metodou sıtı 85
12.1 Klasicka formulace ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.2 Fyzikalnı vyznam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.3 Existence presneho resenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12.4 Standardnı metoda sıtı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
13 Numericka integrace 92
13.1 Obdelnıkove, lichobeznıkove aSimpsonovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13.2 Gaussova kvadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
13.3 Rombergova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
13.4 Integrace funkcı dvou promennych . . . . . . . . . . . . . . . . 100
14 Aproximace resenı okrajovych uloh pro ODR metodou konecnychprvku (MKP) 104
14.1 Okrajova uloha pro ODR 2. radu . . . . . . . . . . . . . . . . 105
14.2 Okrajova uloha pro ODR 4. radu . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4
1 Predmluva
Tato studijnı opora je urcena studentum predmetu Matematika IV navazujı-cıho magisterskeho studijnıho programu Stavebnı inzenyrstvı jako uplny pod-klad pro prednasky, cvicenı i pro samostatnou praci.
Numericke metody umoznujı priblizne resenı mnoha prakticky dulezitychuloh, ktere je v soucasne dobe siroce vyuzıvano v technickych a prırodnıchvedach, v ekonomii, medicıne, spolecenskych vedach a v oblasti spravy spolec-nosti. V dusledku rozvoje numerickych metod a rychleho rustu vykonnostii prıstupnosti pocıtacu vznikla rada univerzalnıch programovych systemu,schopnych efektivne a s uzivatelskym komfortem resit vetsinu zakladnıchtypu techto tzv. numerickych uloh. Jde naprıklad o systemy MATLAB, Math-ematica, MAPLE, na aproximaci resenı okrajovych uloh pro diferencialnırovnice orientovane systemy ANSYS, ALEPH, COMSOL, FLUENT, ceskysystem pro automaticke projektovanı stavebnıch konstrukcı NEXIS a dalsı.Tyto systemy jsou stale casteji vyuzıvany pro resenı numerickych uloh naukor univerzalnıch programovacıch jazyku.
Cılem teto studijnı opory je ucebnı text, ktery studentum umoznı pocho-penı zakladnıch numerickych uloh a myslenek, na nichz jsou zalozeny algo-ritmy jejich resenı. Ve sve praxi budou potom schopni posoudit pouzitelnostnumerickych metod pro resenı technickych problemu a efektivne pouzıvatzmınenych programovych systemu i jejich budoucıch zdokonalenı. Studentimohou uvedeneho cıle dosahnout tım snaze, cım lepsı jsou jejich znalostielementarnıch funkcı, linearnı algebry, diferencialnıho a integralnıho poctu,ktere lze zıskat v bakalarskem studijnım programu Stavebnı inzenyrstvı.
Predkladany text je inovacı skripta Dalık: Numericke metody, ktere bylona Fakulte stavebnı vyuzıvano po dobu 20 let. Pokusil jsem se jej zjednodusittım, ze pouzıvam co nejmene matematickych pojmu a vyklad doprovazımrozsahlejsımi komentari. K temto i jinym upravam jsem byl inspirovan kla-sickymi ucebnicemi jako [12] nebo [9], [10]. Vyklad jsem zjednodusil a provedljsem obsahove zmeny, vyvolane zkusenostmi z vyuky, z aplikacı numerickychmetod a ze studia literatury, zejmena skript [4] (doporucuji jako zajımavydoplnek tohoto textu), [7], [5] a [3].
Je mou milou povinnostı podekovat svemu kolegovi Mgr. Otto Pribyloviza zpracovanı obrazku a za pomoc pri graficke uprave textu.
V Brne dne 24. 11. 2008
Josef Dalık
5
2 Uvod
2.1 Co je to numericka analyza?
V dnesnı dobe je pouzitı matematickych prostredku pro resenı problemunenahraditelne nejen v tradicnıch technickych a prırodnıch vedach, ale i vekonomii, medicıne, spolecenskych vedach a ve verejne sprave.
Z mnoha charakteristik pojmu ”numericka analyza” lze povazovat zanejvystiznejsı tuto: Predmetem numericke analyzy je zprostredkovat vyuzitırozsahleho a sofistikovaneho teoretickeho aparatu, vytvoreneho ”abstraktnımatematikou” pro resenı praktickych problemu.
Zduvodnenı teto charakteristiky vyplyne z analyzy obecneho schematuresenı problemu matematickymi prostredky, ktere sestava z kroku 1 – 4 :
Krok 1. Formulovat dany problem: Jde zpravidla o ulohu zıskat”objektivnı poznatky” o konkretnım technickem, prırodnım, ekonomickemnebo spolecenskem procesu.
Prıklad 2.1. Urcete deformaci telesa, najdete vektor toku kapaliny neboplynu, vytvorte vyhled hospodarenı podniku, chovanı spolecenske skupiny.
Krok 2. Vytvorit matematicky model: Presny matematicky popispodstatnych vztahu urcujıcıch dany proces.
Prıklad 2.2. Pocatecnı nebo okrajova uloha pro diferencialnı rovnici,funkcional, system rovnic nebo nerovnic, urcity integral.
Tyto modely jsou studovany ruznymi matematickymi disciplınami s cılemzıskat co nejvıce poznatku o jejich ”resenı”, tj. o nezname funkci, vektoru,jedne cıselne hodnote apod. Vysledkem jsou zasadnı informace o danem mo-delu jako existence nebo jednoznacnost resenı, jeho kvalitativnı vlastnosti avyjimecne tez popis presneho resenı. Vzhledem ke slozitosti prakticky dulezi-tych modelu vsak s tım, ze presne resenı modelu lze popsat, nelze pocıtat.Mısto snahy o nalezenı presneho resenı se proto pozornost soustred’uje naalgoritmy pro konstrukci tzv. aproximacı presneho resenı.
Krok 3. Vytvorit numericky problem (diskretizaci), charakteri-zovany jednoznacne urcenou
– konecnou mnozinou vstupnıch dat,
– konecnou mnozinou vystupnıch dat a
– konecnou posloupnostı kroku, ktere dana vstupnı data transformujı na
6
vystupnı data (algoritmem).
Krok 4. Vypocet konkretnıch vystupnıch dat pro dana vstupnıdata.
Numericka metoda je zpusob, jak matematickym modelum prirazovatdiskretizace, jak je zjednodusovat a jak transformovat dana vstupnı datana data vystupnı. Numericka analyza je matematicky obor, jehoz cılem jenavrhovat nove numericke metody, studovat existujıcı numericke metody anavrhovat vhodne struktury vstupnıch dat (preprocessing) a vystupnıch dat(postprocessing). Kvalita numericke metody je zpravidla urcena jejı
– vypoctovou slozitostı (efektivitou),– presnostı vysledne vypoctene aproximace,– velikostı trıdy matematickych modelu, na nez lze numerickou metodu
uspesne aplikovat (robustnostı).
2.2 Co je to chyba?
Resıme-li konkretnı problem, pak v kazdem z kroku 1 – 4 vznika chyba jinehodruhu : Rozdıl mezi
– realnym procesem a presnym resenım matematickeho modelu nazyvamechybou modelu,
– presnym resenım matematickeho modelu a numericke ulohy (diskretizace)nazyvame chybou numericke metody (chybou diskretizace),
– presnym resenım numericke ulohy (diskretizace) a skutecne vypocte-nym vysledkem nazyvame zaokrouhlovacı chybou.
Intuitivnı vyznam chyby jako omylu (prehlednutı) je nutno tez vzıt v uvahu.Jejı vliv na kvalitu resenı problemu klesa, kdyz casovy plan resenı je umernynarocnosti ulohy, resitele jsou dobre odborne pripraveni, pracujı v dobrychpodmınkach atd.
Pri resenı technickych uloh se chyby vsech uvedenych typu vyskytujısoucasne a celkova chyba je v jistem smyslu jejich souctem. Postup resenıulohy je efektivnı, kdyz velikost chyb vsech typu je zhruba stejne velka.Naprıklad nenı rozumne hledat velmi presnou diskretizaci modelu, ktery jejen hrubym popisem daneho realneho procesu. V tomto textu se budemezabyvat chybami numerickych metod a v dulezitych prıpadech i chybamizaokrouhlovacımi. Protoze se budeme venovat jen problemu diskretizace nej-casteji se vyskytujıcıch typu matematickych modelu nebo jejich castı, chybymodelu predmetem naseho zajmu nebudou.
7
3 Chyby v numerickych vypoctech
Pro vypocetnı postupy numericke analyzy je typicke, ze mısto s presnoucıselnou hodnotou x pocıtame s pribliznou hodnotou x. Cıslu x rıkame aprox-imace cısla x. Rozdıl
ex = x− x
se nazyva (absolutnı) chyba aproximace x. Cıslo ε(x), o kterem je znamo, ze
|x− x| < ε(x)
je odhad (absolutnı) chyby. Tato nerovnost se symbolicky zapisuje ve tvarux = x± ε(x), ktery se nazyva neuplne cıslo. Cıslo
ex/x = (x− x)/x
(pro x 6= 0) se nazyva relativnı chyba aproximace x. Cıslo δ(x), o nemz jeznamo, ze
|(x− x)/x| ≤ δ(x)
je odhad relativnı chyby. Relativnı chyba a jejı odhad se casto udavajı vprocentech.
Prıklad 3.1. Cıslo x = 3,14 je aproximacı Ludolfova cısla x = π =3,141592653 . . . Absolutnı chyba aproximace x je ex = 0,001592653 . . . a jejımodhadem je naprıklad cıslo ε(x) = 0,002, nebot’ |ex| ≤ ε(x). Relativnı chybaaproximace x je ex/x = 0,000507214 . . . Za odhad relativnı chyby lze zvolitcıslo δ(x) = 0,0006. Platı totiz |ex/x| ≤ δ(x).
3.1 Zaznam cısel v pameti pocıtace
I pri uvahach o chybach je nutno vychazet ze skutecnosti, ze vypocetnı pos-tupy numericke analyzy jsou navrhovany se zretelem k jejich implementacina pocıtaci. V pameti pocıtace jsou realna cısla zaznamenavana jednım znıze uvedenych zpusobu a), b).
a) Zapis cısel v pohyblive radove carce je zalozen na zaznamu libovolnehorealneho cısla c v semilogaritmickem tvaru
zn(c) ·mantisa · 2exponent,
kde zn(c) je znamenko cısla c. V pocıtacıch, vyvıjenych po roce 1985 jsoucısla v pohyblive carce zaznamenavana temer vyhradne v souladu s normouIEEE nıze popsanym zpusobem a1) a a2).
8
a1) Jednoducha presnost. Zde
mantisa = (1, c1c2 . . . c23)2 = 1 +c1
2+ . . . +
c23
223
je tzv. normalizovana mantisa ve dvojkove soustave, tj. c1, . . . , c23 jsou libo-volne dvojkove cıslice 0 nebo 1 a exponent muze nabyvat hodnot od -126do 127. Zaznamenana priblizna hodnota c vznikne prevedenım presne hod-noty c do dvojkove soustavy a zaokrouhlenım na 24 dvojkovych cıslic. Pritomto zaokrouhlenı muze vzniknout relativnı chyba ve vysi nejvyse 1, 2·10−7.Proto rıkame, ze toto zobrazenı je s presnostı na 7 platnych desıtkovychcıslic. V pameti pocıtace zaujıma znamenko 1 bit, mantisa 23 bitu a expo-nent 8 bitu. Tedy nejmensı kladne cıslo, ktere lze takto v pameti pocıtacezobrazit je 2−126 .
= 1,2 · 10−38 a nejvetsı kladna zobrazitelna hodnota je(2−2−23)2127 .
= 3,4 ·1038. Cıslo 0 se zobrazuje tak, ze vsech 32 bitu zaznamuje obsazeno nulami.
Z tohoto popisu plyne, ze nenulova cısla, jejichz absolutnı hodnota jemensı, nez 2−126 .
= 1,2 · 10−38 nebo vetsı, nez (2− 2−23)2127 .= 3,4 · 1038, nelze
do pameti korektne ulozit. Je tedy treba se vyvarovat pocıtanı s takto prılismalymi a prılis velkymi cısly. Dojde-li ke zkreslenı hodnoty v prvnım nebodruhem prıpade, mluvıme o podtecenı nebo o pretecenı.
a2) Dvojnasobna presnost. Zaznam cısla v pameti zaujıma 64 bitu, lzeukladat cısla, jejichz absolutnı hodnota je priblizne v rozsahu od 2,2 · 10−308
do 1,8 · 10308 a zobrazenı je priblizne s relativnı presnostı 2,2 · 10−16, tedy na16 platnych desıtkovych cıslic.
b) Zapis cısel v pevne radove carce. V tomto prıpade jsou vsechna cıslazaznamenavana s konstantnım poctem desetinnych mıst. V pevne radovecarce jsou naprıklad zaznamenavana cısla typu ”integer” v rade univerzalnıchprogramovacıch jazyku. Zde je pocet desetinnych mıst roven nule.
Prıklad 3.2. Lze snadno ukazat, ze zaznam cısla c = 1/3 v pohybliveradove carce s jednoduchou presnostı je
c = +(1, 0101010101010101010101)2 · 2−2 = 0,33333331346 . . .
a naprıklad zaznam cısla c v pevne radove carce s konstantnım poctem 3desetinnych mıst je c = 0,333.
3.2 Chyby, ovlivnujıcı vysledky numerickych vypoctu
Vysledky numerickych vypoctu ovlivnujı :
9
a) Chyby vstupnıch dat. Jiz vstupnı cıselne udaje jsou zatızeny chybou,naprıklad chybou merenı nebo zaokrouhlovacı chybou, vzniklou v prıpadnychpredchazejıcıch vypoctech. Dalsı chyby vznikajı pri ukladanı vstupnıch datdo pameti pocıtace, jak je vysvetleno v odstavci 3.1.
b) Zaokrouhlovacı chyby behem vypoctu. Z odstavce 3.1 je zrejme, ze kevzniku chyby z duvodu zaokrouhlenı (zaokrouhlovacı chyby) dochazı prak-ticky po provedenı kazde aritmeticke operace. Zaokrouhlovacı chyby jsou tedyv numerickych vypoctech vsudyprıtomne a jde jen o to, aby se jejich velikostneumerne nezvetsila. Algoritmy, v nichz je kumulativnı velikost zaokrouhlo-vacıch chyb omezena, se nazyvajı stabilnı. Nasledujıcı prıklad ukazuje, zestability algoritmu muze byt dosazeno vhodnou organizacı vypoctu.
Prıklad 3.3. Cısla
yi =∫ 1
0
xi
x + 5dx
pocıtejte pro i = 0, 1, . . . , 8. Zaokrouhlujte na 3 desetinna mısta.
Resenı. Vypocet bude efektivnı, kdyz vyuzije tohoto rekurzivnıho vztahu:
yi + 5yi−1 =∫ 1
0
xi + 5xi−1
x + 5dx =
∫ 1
0xi−1x + 5
x + 5dx =
∫ 1
0xi−1 =
1
i,
tj. yi = 1/i− 5yi−1 pro i = 1, . . . , 8. Tedy, vypocteme-li
y0 =∫ 1
0
1
x + 5dx = [ln |x + 5|]10
.= 0,182
a pouzijeme-li rekurzivnıho vztahu postupne pro hodnoty y1, y2, . . ., dostane-me tento vysledek:
y1 = 1− 5y0.= 0,090
y2 = 1/2− 5y1.= 0,050
y3 = 1/3− 5y2.= 0,083
y4 = 1/4− 5y3.= -0,165
Protoze zrejme hodnoty yi jsou vsechny kladne, vypoctena hodnota y4 jenesmyslna.
Algoritmus je nestabilnı z tohoto duvodu: Na zacatku jsme nahradilipresnou hodnotu y0 = ln 1, 2
.= 0,182322 aproximacı y0 = 0,182 s chy-
bou e0.= 0,000322. Pomineme-li jine zdroje chyby, vidıme, ze pri kazdem
pouzitı rekurzivnı formule se chyba vynasobı cıslem -5, takze e1.= -0,00161,
10
e2.= 0,00805, e3
.= -0,04025 a e4
.= 0,20125. Je zrejme, ze pro indexy
i = 4, 5, . . ., hodnoty chyb zcela znehodnotı vypoctene hodnoty yi.
Uzijeme-li odvozeneho rekurzivnıho vztahu pro vypocet yi−1, tj. ve tvaru
yi−1 = (1/i− yi)/5,
pak se chyba predchozı aproximace yi v kazdem kroku petkrat zmensuje,takze jejı vliv klesa. Z definice integralu yi je zrejme, ze jejich kladne hodnotyse s rostoucım indexem i zmensujı a vzajemne se k sobe priblizujı. Protoje rozumne polozit y10
.= y9. Ze vztahu y9
.= (0, 1 − y9)/5 pak dostaneme
y9.= 0, 017. Nynı aplikace upraveneho rekurzivnıho vztahu poskytne
y8 = (1/9− y9)/5.= 0,019,
y7 = (1/8− y8)/5.= 0,021,
...
y0.= 0,182,
coz jsou vesmes hodnoty, vznikle z presnych hodnot yi zaokrouhlenım na 3desetinna mısta.
Prıklad 3.3 ilustruje nebezpecı spocıvajıcı v nasobenı pribliznych hodnotvelkymi cısly nebo ekvivalentne jejich delenı malymi cısly. Ucelem Pr. 3.4 jezduraznit, ze pri operaci odecıtanı dvou priblizne stejne velkych cısel dochazık narustu relativnı chyby.
Prıklad 3.4. Kvadraticka rovnice x2 − 56x + 1 = 0 ma koreny
x1 = 28 +√
783 a x2 = 28−√
783.
Zaokrouhlıme-li√
783 na 3 desetinna mısta, tj. polozıme-li√
783 = 27,982±0,0005, pak dostaneme
x1 = 55,982± 0,0005 a x2 = 0,018± 0,0005.
Tedy aproximace korenu jsou x1 = 55,982, x2 = 0,018 a odhad chyby je vobou prıpadech ε = 0,0005. Vidıme, ze v aproximaci korene x2 jsou platnejen dve cıslice, prestoze jsme stale pocıtali s cısly s peti platnymi cıslicemi.Odhady relativnıch chyb pak jsou∣∣∣∣∣ x1 − x1
x1
∣∣∣∣∣ ≤ 0,0005
55,982= 0,000009,
∣∣∣∣∣ x2 − x2
x2
∣∣∣∣∣ ≤ 0,0005
0,018= 0,028.
11
Obecny postup, jak se vyhnout odecıtanı dvou priblizne stejnych cısel, jepouzitı Taylorovy vety. V nasem prıpade polozıme f(x) =
√x a dostaneme
28−√
783 = −(√
783−√
784).= −f ′(784)(−1) =
1
2√
784=
1
56= 0,017857.
[x2 = 0,01786284]
Cvicenı.
1. Zaokrouhlenım na 3 desetinna mısta najdete aproximaci e presne hod-noty Eulerova cısla e = 2,718281828459.... Najdete co nejmensı odhadabsolutnı i relativnı chyby. e = 2,718, ε(e) = 0,0003, δ(x) = 0,00012
2. Pro yi =∫ 10 xi/(x+10)dx najdete rekurzivnı vztah mezi yi a yi+1 a uzijte
jej pro stabilnı vypocet hodnot y0, y1, . . . , y6.Rekurzivnı vztah: yi =(1/(i + 1)− yi+1) /10 a pro y7 = 0 lze spocıtat y6 = 0,014, y5 = 0,015,y4 = 0,018, y3 = 0,023, y2 = 0,031, y1 = 0,047 a y0 = 0,095. Vsechnyvypoctene hodnoty s vyjimkou y6 jsou shodne s presnymi hodnotami,zaokrouhlenymi na 3 desetinna mısta.
3. Retezec +(1, 00100100100100100100101)2·2−3 predstavuje zaznam cısla1/7 v pameti pocıtace v pohyblive radove carce s jednoduchou presnostı.Urcete presnou hodnotu tohoto zaznamu na 10 platnych cıslic a porovne-jte ji s presnou hodnotou 1/7. Hodnota zaznamu je 0,1428571492,1/7 = 0,1428571428
4 Jedna rovnice pro jednu neznamou
Uvazme realnou funkci f , definovanou na nekterem intervalu I ⊆ <. Ulohouje najıt cıslo x ∈ I, pro nez platı
f(x) = 0. (1)
Cıslo x s touto vlastnostı se nazyva koren rovnice (1). Budeme predpokladat,ze koren rovnice (1) vubec nelze z dane rovnice ”vypocıtat”, tj. nelze jejvyjadrit pomocı vzorce, nebo jej lze vyjadrit vzorcem prılis slozitym. V techtoprıpadech je nutne (nebo efektivnı) pocıtat koren pomocı nektere numer-icke metody, spocıvajıcı v tom, ze se v jednotlivych krocıch vypoctu pos-tupne zıskavajı stale presnejsı aproximace hledaneho korene. Nektere z techtometod jsou stabilnı. To znamena, ze pro zajistenı toho, ze vypoctene aprox-imace se k hledanemu korenu skutecne priblizujı stacı zadat interval o nemz
12
je znamo, ze v nem alespon jeden koren lezı. Jine metody vyzadujı zadanıpocatecnı aproximace dostatecne blızko korene; za to je potom vypocet efek-tivnı, tj. vypoctene aproximace se ke korenu priblizujı velmi rychle. Je vhodnenejprve urcit hrubou pocatecnı aproximaci stabilnı metodou a tuto potomzpresnit metodou efektivnı. Budeme predpokladat, ze dana funkce f ma naintervalu I spojite vsechny derivace, ktere budeme potrebovat a hledanykoren x je jednonasobny, tj. f ′(x) 6= 0.
4.1 Metody pro urcenı pocatecnı aproximace
Predstavu o poctu korenu a jejich hrube pocatecnı aproximace lze v mnohaprıpadech zıskat graficky.
Prıklad 4.1. Urcete priblizne vsechny koreny rovnice
f(x) ≡ ex − 2x− 2 = 0. (2)
Resenı. Protoze grafy funkcı ex a 2x+2 lze snadno schematicky nakreslit,je vyhodne napsat rovnici (2) ve tvaru ex = 2x + 2. Z Obr. 1 lze odhad-nout, ze rovnice ma koreny x
.= −0,8 a y
.= 1,5. Presnejsı informaci lze
Obrazek 1: Pocatecnı aproximace korenu
zıskat vypoctem nekolika hodnot funkce f , naprıklad v bodech z nıze uve-dene tabulky. Z jejıho poslednıho sloupce lze usoudit, ze x ∈ (-0,8; -0,7) ay ∈ (1,5; 1,7). Usudky tohoto typu jsou zalozeny na skutecnosti, ze spojita
13
funkce f ma na intervalu (a, b) alespon jeden koren, jakmile f(a) · f(b) < 0.
x ex 2x + 2 f(x)-0,8 0,4493 0,4 > 0-0,7 0,4966 0,6 < 01,5 4,4817 5,0 < 01,7 5,4739 5,4 > 0
Na opakovanem pouzitı tohoto tvrzenı jsou zalozeny nıze uvedene metodypulenı a regula falsi. Obe jsou pouzitelne, je-li zadan interval (a0, b0) s vlast-nostı f(a0) · f(b0) < 0. V obou se konstruuje posloupnost intervalu
(a0, b0) ⊃ (a1, b1) ⊃ . . .
s vlastnostı f(ai) · f(bi) < 0 pro i = 1, 2, . . . Interval (ai, bi) se najde takto: Vintervalu (ai−1, bi−1) se vybere bod xi. Jestlize f(xi) = 0, je xi hledany korena vypocet koncı. Jestlize f(xi) 6= 0, pak vzhledem k predpokladu f(ai−1) ·f(bi−1) < 0 platı prave jedna z podmınek
f(ai−1) · f(xi) < 0, f(xi) · f(bi−1) < 0.
V prvnım prıpade polozıme ai = ai−1, bi = xi a ve druhem ai = xi, bi = bi−1.
Metoda pulenı (intervalu). Za bod xi se volı stred intervalu (ai−1, bi−1).Konvergence metody pulenı je pomala. Na zacatku vıme, ze alespon jedenkoren x lezı v intervalu (a0, b0). Polozıme tedy
x = x1 ± d0, kde d0 = (b0 − a0)/2
je odhad chyby. Po i krocıch vıme, ze alespon jeden koren lezı v intervalu(ai, bi) o velikosti
bi − ai = (bi−1 − ai−1)/2 = . . . = (b0 − a0)/2i.
Polozıme tedy
x = xi+1 ± di, kde di = (bi − ai)/2 = (b0 − a0)/2i+1
je odhad chyby. Tedy i kroku metody pulenı zmensı odhad chyby 2i–krat.
Podmınka ukoncenı. Pro dane male kladne cıslo ε rekneme, ze rovnice jevyresena s chybou mensı nez ε, jakmile di < ε. Pak x = x(i+1) ± di.
14
Prıklad 4.2. Pro zıskanı jedne platne cıslice aproximace korene je trebaodhad chyby zmensit desetkrat. Kolik kroku metody pulenı je k tomu za-potrebı?
Resenı. Je treba najıt nejmensı cele cıslo i s vlastnostı 10 ≤ 2i. Protoze10
.= 23,3, je zisk jedne platne cıslice aproximace korene zarucen po 4 (v
prumeru po 3,3) krocıch.
Prıklad 4.3. Urcete, kolik kroku metody pulenı je treba provest proaproximaci korene y rovnice (2) z intervalu (1,5, 1,7) s chybou, mensı nez0,005 a tuto aproximaci najdete.
Resenı. Pro a0 = 1,5, b0 = 1,7 je x1 = 1,6, d0 = 0,1 a koren y = 1,6± 0,1.Hledame index i tak, aby
di = (b0 − a0)/2i+1 ≤ 0,005.
To je ekvivalentnı s 40 ≤ 2i+1 a tato podmınka je splnena pro i ≥ 5. Vypocet5 kroku metody pulenı je zaznamenan v tabulce:
i ai−1 f(ai−1) bi−1 f(bi−1) xi f(xi)1 1,5 < 0 1,7 > 0 1,6 < 02 1,6 < 0 1,7 > 0 1,65 < 03 1,65 < 0 1,7 > 0 1,675 < 04 1,675 < 0 1,7 > 0 1,6875 > 05 1,675 < 0 1,6875 > 0 1,68125 > 06 1,675 < 0 1,68125 > 0 1,678125
Nasli jsme tedy koren y = 1,678125± 0,003125.
Metoda regula falsi. Bod xi z intervalu (ai−1, bi−1) se vybıra jakoprusecık prımky prochazejıcı body (ai−1, f(ai−1)) a (bi−1, f(bi−1)) s osou x,tj.
xi = ai−1 − f(ai−1)bi−1 − ai−1
f(bi−1)− f(ai−1).
Z graficke ilustrace vypoctu metodou regula falsi na Obr. 2 je patrne, zerychlost konvergence zavisı na charakteru funkce f . Jestlize se graf f(x) prılisnelisı od prımky, konverguje metoda velmi rychle – viz Obr. 2 (a). Jinak muzebyt konvergence i velmi pomala, jak je patrne z Obr. 2 (b). Obr. 2 rovnezilustruje skutecnost, ze zpravidla delka intervalu (ai, bi) nekonverguje k nulepro i rostoucı k nekonecnu. Proto se pro metodu regula falsi doporucuje jinapodmınka ukoncenı nez pro metodu pulenı.
Podmınka ukoncenı. Zvolı se maly parametr δ > 0 a za aproximaci korenese bere prvnı bod xi s vlastnostı |f(xi)| ≤ δ.
15
Obrazek 2: Ilustrace rychlosti konvergence metody regula falsi
Prıklad 4.4. Metodou regula falsi aproximujte koren y rovnice (2) z Pr.4.1. Polozte y
.= xi jakmile |f(xi)| ≤ 0, 5 · 10−3.
Resenı. Tabulka ukazuje, ze vysledku je dosazeno jiz po dvou krocıch.
i ai−1 bi−1 f(ai−1) f(bi−1) xi f(xi)1 1,5 1,7 -0,518311 0,073947 1,675029 -0,0111082 1,675029 1,7 -0,011108 0,073947 1,678290 -0,000191
4.2 Metoda proste iterace
Resit rovnici (1) iteracı znamena prevest ji na ekvivalentnı ulohu najıt pevnybod funkce F , tj. bod x splnujıcı
x = F (x), (3)
zvolit pocatecnı (nultou) aproximaci x0 a vytvorit posloupnost postupnychaproximacı (iteracnı posloupnost) (xi)
∞i=0 podle predpisu
xi+1 = F (xi) pro i = 0, 1, . . .
Ma-li iteracnı posloupnost limitu x, pak za predpokladu spojitosti F platı
x = limi→∞
xi = limi→∞
xi+1 = limi→∞
F (xi) = F ( limi→∞
xi) = F (x),
takze x je pevny bod zobrazenı F . Zakladnı otazkou tedy je, zda pro danoufunkci F a danou pocatecnı aproximaci x0 iteracnı posloupnost konverguje.
16
Je dobre znama tato vlastnost funkcı F , zarucujıcı konvergenci: Zobrazenı Fse nazyva kontrakce na intervalu 〈a, b〉 s koeficientem α, jestlize F (x) ∈ 〈a, b〉pro vsechna x ∈ 〈a, b〉, 0 ≤ α < 1 a
|F (x)− F (y)| ≤ α|x− y| pro vsechna x, y ∈ 〈a, b〉.
Otazky existence a jednoznacnosti pevneho bodu a rychlosti konvergenceiteracnı posloupnosti zodpovıda toto tvrzenı.
Veta o kontrakci. Jestlize F je kontrakce na intervalu 〈a, b〉 s koeficien-tem α, pak
(a) v intervalu 〈a, b〉 existuje jediny pevny bod x funkce F ,
(b) x je limitou posloupnosti postupnych aproximacı (xi)∞i=0 pro libovolne
zvolenou pocatecnı aproximaci x0 ∈ 〈a, b〉,
(c) |xi − x| ≤ αi|x0 − x| pro i = 1, 2, . . .
Dukaz.
(a) EXISTENCE PEVNEHO BODU: Z F (a) ∈ 〈a, b〉 plyne a ≤ F (a)a analogicky platı F (b) ≤ b. Tedy (a − F (a))(b − F (b)) ≤ 0. Odtud a zespojitosti funkce x− F (x) plyne, ze v intervalu 〈a, b〉 existuje resenı rovnicex− F (x) = 0.
JEDNOZNACNOST PEVNEHO BODU: Jestlize x = F (x) a y = F (y)pro x, y ∈ 〈a, b〉, pak platı |x− y| = |F (x)−F (y)| ≤ α|x− y|. Tato nerovnostmuze byt splnena jen v prıpade, ze x = y.
(c) Pro libovolny bod x0 z intervalu 〈a, b〉 a pro i ≥ 1 je
|xi − x| = |F (xi−1)− F (x)| ≤ α|xi−1 − x| ≤ . . . ≤ αi|x0 − x|.
(b) Z (c) a z 0 ≤ α < 1 plyne 0 ≤ |xi − x| ≤ αi|x0 − x|. Odtud a zαi|x0 − x| −→ 0 pro i −→∞ plyne |xi − x| −→ 0 pro i −→∞.
Jednoduchy prakticky zpusob, jak zjistit, zda dana funkce F je kontrakcev blızkosti korene rovnice (3), poskytuje tato skutecnost:
Veta 1. Predpokladejme, ze x je pevny bod funkce F , δ > 0, α splnujepodmınku 0 ≤ α < 1 a |F ′(x)| ≤ α pro vsechna x ∈ (x − δ; x + δ). Pak Fje kontrakce s koeficientem α na intervalu I = 〈x− δ; x + δ〉.Dukaz. Jsou-li x, y ∈ I libovolna, pak
|F (x)− F (y)| = |F ′(ξ)(x− y)| ≤ α|x− y|
17
podle Lagrangeovy vety o prırustku funkce. Bod ξ lezı mezi body x, y a tedy|F ′(ξ)| ≤ α. Odtud pro libovolne x ∈ I plyne |F (x)− x| = |F (x)− F (x)| ≤α|x− x| ≤ αδ < δ. Tedy F (x) ∈ I.
Pri resenı rovnice (1) prostou iteracı se dana rovnice prevede na ek-vivalentnı tvar (3), zvolı se nulta aproximace x0 a pocıtajı se aproximacexi+1 = F (xi) pro i = 0, 1, . . ..
Podmınka ukoncenı: Polozıme x = xi+1 jakmile |xi+1−xi| ≤ ε pro predemzadane male kladne cıslo ε.
Prıklad 4.5. Metodou proste iterace urcete vsechny koreny rovnice (2)s chybou, mensı nez ε = 0,5 · 10−3. Zaokrouhlujte na 3 desetinna mısta.
Resenı. Podle Pr. 4.1 ma tato rovnice koreny x.= -0,8 a y
.= 1,5. Za
ucelem resenı iteracı je prirozene prevest danou rovnici na ekvivalentnı tvary
(a) x = ex/2− 1 ≡ F1(x) pro vsechna realna cısla x.(b) x = ln(2x + 2) ≡ F2(x) pro vsechna x > −1.
Protoze |F ′1(x)| = ex/2 < 1 prave kdyz x < ln 2
.= 0,69 a |F ′
2(x)| =1/(x + 1) < 1 prave kdyz x > 0, predpoklady Vety 1 splnuje funkce F1
v okolı korene x a F2 v okolı y. Budeme tedy pocıtat podle predpisu
x0 = -0,8, xi+1 = exi/2− 1 a y0 = 1,5, yi+1 = ln(2yi + 2).
Prubeh a vysledky vypoctu jsou uvedeny v tabulce
i 0 1 2 3 4 5 6 7xi -0,8 -0,775 -0,770 -0,768 -0,768yi 1,5 1,609 1,652 1,669 1,675 1,677 1,678 1,678
Poznamka 1. (Zpresnenı extrapolacı – Aitkenuv ∆2 proces.) Lezı-liaproximace (prvek iteracnı posloupnosti) xi blızko korene x, pak platı
ei+1 = x− xi+1 = F (x)− F (xi) = F ′(ξ)(x− xi).= F ′(x)ei a analogicky
ei+2.= F ′(x)ei+1
Eliminacı F ′(x) z techto identit (tento obrat se nazyva extrapolace) vznikne
ei+1
ei
.=
ei+2
ei+1
=⇒ x− xi+1
x− xi
.=
x− xi+2
x− xi+1
.
18
Vyjadrenım x z teto rovnice obdrzıme
x.= xi+2 −
(xi+2 − xi+1)2
xi+2 − 2xi+1 + xi
= xi+2 −(∆xi+1)
2
∆2xi
.
Prıklad 4.6. Zpresnenım aproximacı y0, y1, y2 korene y z Pr. 4.5 Aitkeno-vym ∆2 procesem je hodnota 1,680, ktera je mnohem blıze korene 1,678, nezaproximace y3 = 1,669.
Poznamka 2. Steffensenova metoda je zalozena na opakovanem pouzitıAitkenova ∆2 procesu: x0 se zvolı a pro i = 0, 1, . . . se postupne pocıta
x3i+1 = F (x3i), x3i+2 = F (x3i+1) a x3i+3 = x3i+2 −(∆x3i+1)
2
∆2x3i
.
Overte, ze vypocet korene y z Pr. 4.5 Steffensenovou metodou vyzaduje5 kroku (aproximace s indexy 4 a 5 se po zaokrouhlenı na 3 desetinna mıstashodujı) oproti 7 krokum z Pr. 4.5.
4.3 Efektivnı zpresnujıcı metody
Zakladnı metodou tohoto typu je Newtonova metoda. Dalsı zpresnujıcı meto-dy budou prezentovany jako modifikace Newtonovy metody.
4.3.1 Newtonova metoda (linearizace)
Predpokladejme, ze aproximace xi lezı blızko korene x rovnice f(x) = 0.Potom podle Taylorovy vety existuje bod ξ mezi xi a x tak, ze
0 = f(x) = f(xi) + f ′(xi)(x− xi) +f ′′(ξ)
2(x− xi)
2. (4)
Z (4) lze vyjadrit x ve tvaru
x = xi −f(xi)
f ′(xi)−K(x− xi)
2 pro K =f ′′(ξ)
2f ′(xi). (5)
Zanedbame-li poslednı clen v (5) a nahradıme-li x aproximacı xi+1, vznikne
xi+1 = xi −f(xi)
f ′(xi)(jeden krok Newtonovy metody) (6)
Prıklad 4.6. Newtonovou metodou aproximujte koren x rovnice f(x) ≡ex − 2x− 2 = 0. Polozte x0 = 1,5 pro srovnanı s Prıkladem 4.4.
19
Resenı. Pocıtame tedy
x0 = −1, xi+1 = xi −exi − 2xi − 2
exi − 2.
Z vysledku shrnutych v nıze uvedene tabulce je videt, ze presnosti ”na 6desetinnych mıst” je dosazeno po 4 krocıch a aproximace x4 = x5 jsou presnena 10 desetinnych mıst. V tabulce jsou tucne vyznaceny ”platne cıslice”aproximacı. Jejich pocet se provedenım kazdeho kroku zdvojnasobuje. Nızeuvedena analyza presnosti Newtonovy metody zduvodnuje tuto skutecnost.
i xi
0 1,51 1,7088540972 1,6790691713 1,6783474064 1,6783469905 1,678346990
4.3.2 Geometricky vyznam Newtonovy metody
-
6
x
%%%%%%%
qy
Obrazek 3y = f(x)
x xi+1 xi
[xi, f(xi)]
Mısto nuloveho bodu funkce f(x) se hleda nulovy bod linearnı funkce
f(xi) + f ′(xi)(x− xi),
ktera je linearizacı funkce f(x) ve smyslu z Obr. 3. Presne resenı teto”linearizovane rovnice” oznacıme xi+1, takze
f(xi) + f ′(xi)(xi+1 − xi) = 0. (7)
4.3.3 Analyza chyby Newtonovy metody
Odecteme-li (7) od (4), zıskame identitu
|x− xi+1| = |K| |x− xi|2.
Pro srovnanı, metoda pulenı splnuje podmınku
εi+1 ≤1
2εi
20
pro odhady chyb a prosta iterace splnuje
|x− xi+1| ≤ α |x− xi|
pro vhodne α < 1. Tedy aproximace Newtonovy metody se blızı k nule pod-statne rychleji, nez aproximace zıskane metodou pulenı nebo prostou iteracıza predpokladu, ze chyba x−xi je mala. Na druhe strane, Newtonova metoda
i) konverguje lokalne, tj. jen tehdy, kdyz znama aproximace xi je blızkok presnemu resenı,
ii) potrebuje vetsı hladkost funkce f (existenci prvnı derivace),
iii) v kazdem kroku potrebuje vypocıtat hodnoty f(xi) a f ′(xi).
Rekneme, ze iteracnı metoda je radu r, kdyz odhady chyby εi splnujıpodmınku
εi+1 ≤ C · (εi)r
a C je ohranicenou funkcı argumentu εi pro male kladne hodnoty εi.
Z predchozıch uvah plyne, ze Newtonova metoda je radu 2 a metodapulenı i proste iterace jsou radu 1.
4.3.4 Fourierovy podmınky
Z Obr. 4 je zrejme, ze jsou-li splneny podmınky
a) f, f ′, f ′′ jsou spojite na intervalu 〈a, b〉 a f(a) · f(b) < 0,
b) f ′, f ′′ nemenı znamenka v 〈a, b〉 a f ′(x) 6= 0 ∀x ∈ 〈a, b〉,
pak Newtonova metoda konverguje ke korenu x ∈ (a, b) pro
x0 =
a kdyz f(a) · f ′′(a) > 0b kdyz f(b) · f ′′(b) > 0
-
6
a b = x0 x
%%%%%%
qy
Obrazek 4y = f(x)
x2 x1
q
21
4.3.5 Modifikace Newtonovy metody
a) Zvolıme-li nultou aproximaci x0 a vypocıtame x1 Newtonovou metodou,pak metoda secen je zalozena na aproximaci
f ′(xi).=
f(xi)− f(xi−1)
xi − xi−1
.
Po dosazenı do predpisu (6) vznikne jeden krok metody secen:
xi+1 = xi −f(xi)(xi − xi−1)
f(xi)− f(xi−1)
V kazdem kroku teto metody stacı spocıtat jen hodnotu f(xi). Jeznamo, ze rad teto metody je r = 1.618 = (1 +
√5)/2.
b) Druha modifikace Newtonovy metody spocıva v aproximaci
f ′(xi).=
f(xi + f(xi))− f(xi)
f(xi),
takze
xi+1 = xi −f 2(xi)
f(xi + f(xi))− f(xi)
po dosazenı do (6). Rad teto metody je r = 2.
Cvicenı
1. Urcete pocet k korenu rovnice sin x−0, 4(x+1)2 +0, 5 = 0 a odhadnetejejich priblizne hodnoty. Najdete k disjunktnıch intervalu male delky,z nichz v kazdem lezı prave jedno resenı. k = 2, x ∈ (-0,4; -0,2),y ∈ (0,6; 0,8)
2. Urcete pocet korenu rovnice ex + (x + 1)2− 5 = 0, najdete co nejmensıintervaly, v nichz lezı prave jeden koren a uzijte jich pro aproximacikazdeho korene a) metodou pulenı s chybou mensı nez ε = 0,005, b)metodou regula falsi s chybou mensı nez δ = 0,0005. Rovnice ma 2koreny x ∈ (-3,3; -3,2), y ∈ (0,7; 0,8). Resenı a) x
.= -3,228125, y
.=
0,715625, b) x.= -3,227173, y
.= 0,717646.
3. Overte, ze rovnice f(x) ≡ ex − x2 − x − 1 = 0 ma koren v intervalu(1,7; 1,8). Najdete ekvivalentnı rovnici ve tvaru x = F (x) takovou, zeF je na intervalu 〈1,7; 1,8〉 kontrakce. Aproximujte koren z intervalu(1,7; 1,8) prostou iteracı s pocatecnı aproximacı x0 = 1,75 s chybou
22
mensı nez ε = 0,001 f(1,7) · f(1,8) = -0,00112, takze f ma koren v(1,7; 1,8). f(x) = 0 je ekvivalentnı s x = F (x) pro F (x) = ln(x2+x+1)a |F ′(x)| = (2x + 1)/(x2 + x + 1) < (2 · 1,8 + 1)/(1,72 + 1,7 + 1) =0,8586762075 < 1 pro x ∈ (1,7; 1,8). Polozıme-li x0 = 1,75 a pocıtamexi+1 = ln(x2
i + xi + 1), pak koren je priblizne roven x14 = 1,791952 spozadovanou presnostı.
4. Ulohu ze cvicenı 3 aproximujte Steffensenovou metodou s chybou mensınez ε = 0,0005. Priblizne resenı je x5 = 1,793894.
5. Najdete graficky hrube aproximace vsech korenu rovnice
x4 + 50x2 − 50x− 1000 = 0.
Vsechny tyto aproximace zpresnete Newtonovou metodou s chyboumensı nez 0, 5 · 10−8.x .
= -3,606758962, y.= 4,225109667
6. Oznacme x presne resenı rovnice f(x) = 0. Newtonova metoda jemetoda proste iterace, ktera hleda pevny bod funkce F (x) = x −f(x)/f ′(x). Jaka je hodnota F ′(x)? F ′(x) = 0.
7. Najdete vsechny koreny kazde z rovnic
1− x− e−2x = 0, x ln x− 1 = 0
Newtonovou metodou s maximalnı moznou presnostı. Koreny prvnırovnice jsou 0 a 0,7968121300. Druha rovnice ma koren 1,763222834
8. Urcete pocet k korenu rovnice
x3 + 2x2 + 10x− 20 = 0
a aproximujte kazdy z nich s chybou mensı, nez ε = 0,5 · 10−6 prvnı idruhou modifikacı Newtonovy metody.Existuje jeden koren, lezıcı v intervalu (1; 2). Pro x0 = 1,5 dostanemepozadovanou presnost pro x6
.= 1,3688081 prvnı modifikacı Newtonovy
metody a x4.= 1,3688084 druhou modifikacı Newtonovy metody.
5 Normy matic a vektoru
Norma matic (a ve specialnım prıpade norma vektoru) je cıslo, charakteri-zujıcı velikost prvku matice (vektoru). Vyuzijeme jı v nekolika situacıch,
23
naprıklad pri hledanı odhadu chyb resenı systemu linearnıch rovnic. V tetokapitole se seznamıme se zakladnımi pravidly pocıtanı s normami.
Kazde zobrazenı, ktere libovolne matici A s n radky a m sloupci (maticiA typu (n,m)) prirazuje realne cıslo ‖A‖ a ma vlastnosti
(N1) ‖A‖ ≥ 0 a ‖A‖ = 0 ⇐⇒ A = O
(N2) ‖αA‖ = |α| ‖A‖
(N3) ‖A + B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖ (trojuhelnıkova nerovnost)
a v prıpade m = n
(N4) ‖AB‖ ≤ ‖A‖ · ‖B‖
pro vsechny matice A, B typu (n,m) a pro kazde realne cıslo α se nazyvanorma matic. Symbolem O je oznacena nulova matice (vsechny prvky maticeO jsou rovny nule).
Symbolem aij, bij, . . . budeme znacit prvek v i–tem radku a j–tem sloupcimatice A, B, . . .. Prvek vektoru x, y, . . . z <n, tj. matice typu (n, 1), v i–temradku budeme znacit xi, yi, . . .. Budeme pracovat s normami matic, ktere klibovolne matici A typu (n, m) priradı cıslo
‖A‖1 = max1≤j≤m
n∑i=1
|aij| (maximum sloupcovych souctu)
‖A‖∞ = max1≤i≤n
m∑j=1
|aij| (maximum radkovych souctu)
‖A‖F =
n∑i=1
m∑j=1
a2ij
1/2
(Frobeniova norma)
Ve specialnım prıpade vektoru x ∈ <n mluvıme o norme vektoru. Vyse uve-dene konkretnı prıklady nabudou techto jednoduchych forem:
‖x‖1 =n∑
i=1
|xi|, ‖x‖∞ = max1≤i≤n
|xi|, ‖x‖2 =
(n∑
i=1
x2i
)1/2
.
Kazda z uvedenych norem matic spolecne s odpovıdajıcı normou vektorusplnuje tuto podmınku souhlasnosti:
‖Ax‖ ≤ ‖A‖‖x‖ pro vsechny matice A a vektory x.
24
Podmınka souhlasnosti znamena, ze norma matic je ”dostatecne velka”. Normymatic ‖ · ‖1 a ‖ · ‖∞ jsou navıc mezi temito velkymi normami ty nejmensı.Splnujı totiz podmınku
‖A‖ = maxx 6=o
‖Ax‖‖x‖
.
Symbolem o je oznacen nulovy vektor. Protoze prava strana teto identityzavisı jen na norme vektoru, lze tuto identitu chapat jako prirazenı cısla ‖A‖k matici A pomocı normy vektoru ‖·‖. Lze ukazat, ze toto prirazenı je normamatic. Nazyva se pridruzena k dane norme vektoru.
Skalarnı soucin vektoru je kazde zobrazenı 〈·, ·〉 : <n ×<n −→ < s vlast-nostmi
(S1) 〈x, x〉 ≥ 0 a 〈x, x〉 = 0 ⇐⇒ x = o
(S2) 〈x, y〉 = 〈y, x〉
(S3) 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉
(S4) 〈αx, y〉 = α〈x, y〉
Nejdulezitejsı a dobre znamy prıklad skalarnıho soucinu je
〈x, y〉 = x1y1 + . . . + xnyn.
Uvedeme a overıme dve dulezita obecna tvrzenı o skalarnım soucinu.
I. Schwarzova nerovnost. Pro libovolny skalarnı soucin a pro vsechnax, y ∈ <n platı
〈x, y〉2 ≤ 〈x, x〉 · 〈y, y〉.
Dukaz. Pro x = o je 〈x, x〉 = 0 podle (S1) a 〈x, y〉 = 0 podle (S3), takzetvrzenı platı. V prıpade x 6= o je 〈x, x〉 > 0 a uzitım (S1) – (S4) lze overit, ze
0 ≤⟨
y − x〈x, y〉〈x, x〉
, y − x〈x, y〉〈x, x〉
⟩=〈x, x〉〈y, y〉 − 〈x, y〉2
〈x, x〉. (8)
Vysledna nerovnost je ekvivalentnı s 〈x, y〉2 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉.
II. Norma vektoru vytvorena skalarnım soucinem. Pro libovolnyskalarnı soucin je
‖x‖ =√〈x, x〉 (9)
norma vektoru na <n.
25
Dukaz. Vlastnosti (N1) a (N2) jsou bezprostrednımi dusledky (S1), (S2) a(S4). Vlastnost (N3) plyne ze Schwarzovy nerovnosti tımto zpusobem:
‖x + y‖2 = 〈x + y, x + y〉 = 〈x, x〉+ 2〈x, y〉+ 〈y, y〉≤ ‖x‖2 + 2‖x‖ ‖y‖+ ‖y‖2 = (‖x‖+ ‖y‖)2.
Cvicenı.
1. Vypoctete normy ‖x‖1, ‖x‖∞ a ‖x‖2 vektoru x = [1,−2, 3,−4, 2]>.‖x‖1 = 12, ‖x‖∞ = 4, ‖x‖2 = 5,83.
2. Dokazte, ze libovolny vektor x ∈ <n splnuje nerovnosti
‖x‖∞ ≤ ‖x‖2 ≤√
n‖x‖∞.
3. Pro matici A =
2 7 −31 −2 40 5 8
vypoctete ‖A‖1, ‖A‖∞ a ‖A‖F .
‖A‖1 = 13, ‖A‖∞ = 15, a ‖A‖F.= 13, 115.
4. Rozhodnete, zda predpis ‖A‖ = maxi=1,...,n,j=1,...,m |aij| pro libovolnoumatici A typu (n, m) je norma matic. Predpis splnuje podmınky (N1),
(N2), (N3), ale (N4) nesplnuje: Polozte A =
[1 11 1
]= B v (N4).
5. (Podmınka souhlasnosti) Overte, ze pro matici
A =
1 −3 4−1 0 2
1 2 1
a vektor x = [1,−1, 1]> platı ‖Ax‖1 ≤ ‖A‖1‖x‖1, ‖Ax‖∞ ≤ ‖A‖∞‖x‖∞a ‖Ax‖2 ≤ ‖A‖F‖x‖2. ‖Ax‖1 = 9 ≤ 27 = ‖A‖1‖x‖1, ‖Ax‖∞ = 8 =‖A‖∞‖x‖∞, ‖Ax‖2 = 8,062 ≤ 10,536 = ‖A‖F‖x‖2.
6. Vsimnete si, ze ve Cv. 5 platı ‖Ax‖∞ = ‖A‖∞‖x‖∞. Podobne k matici
B =
2 0 −2−4 −2 1
0 4 1
najdete vektor y tak, aby ‖By‖∞ = ‖B‖∞‖y‖∞.
Protoze ‖B‖∞ = | − 4| + | − 2| + |1| = (−4)(−1) + (−2)(−1) + 1 =(−4)y1 + (−2)y2 + 1y3 pro vektor y = [−1,−1, 1]> a ‖y‖∞ = 1, platı‖By‖∞ = 7 = ‖B‖∞‖y‖∞.
26
7. (Norma matic ‖ ·‖∞ je pridruzena k norme vektoru ‖ ·‖∞) Zobecnenımuvahy ze Cv. 6 popiste pro libovolnou matici A typu (n,m) vektorx ∈ <m takovy, ze ‖Ax‖∞ = ‖A‖∞‖x‖∞. Jestlize ‖A‖∞ =
∑mj=1 |akj|,
pak xj = 1 pro akj ≥ 0 a xj = −1 pro akj < 0.
8. Dokazte, ze 〈x, y〉2 = 〈x, x〉〈y, y〉 prave kdyz x = o nebo y = αx proα ∈ <. Jestlize x = o nebo y = αx, pak 〈x, y〉2 = 〈x, x〉〈y, y〉 lzeoverit dosazenım. Jestlize 〈x, y〉2 = 〈x, x〉〈y, y〉, pak x = o nebo x 6= oa vsechny vyrazy v (8) jsou rovny nule. Tedy dle (S1) platı y = αx proα = 〈x, y〉/〈x, x〉.
6 Resenı systemu linearnıch rovnic
prımymi metodami
Pro danou regularnı matici A radu n a dany vektor b ∈ <n hledame vektorx ∈ <n splnujıcı rovnice
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
... (10)
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
Uzitım operace nasobenı matic lze system rovnic (10) zapsat ve tvaru
Ax = b. (11)
Protoze matice soustavy A je regularnı, existuje ke kazdemu vektoru pravychstran b jediny vektor resenı x. Zabyvejme se nejprve jednoduchym prıpadem,kdy matice A je hornı trojuhelnıkova. Pak ma system (10) tvar
a11x1 + a12x2 + . . . + a1,n−1xn−1 + a1nxn = b1
a22x2 + . . . + +a2,n−1xn−1 + a2nxn = b2
... (12)
an−1,n−1xn−1 + an,n−1xn = bn−1
annxn = bn
a v dusledku regularity matice A jsou vsechny hlavnı prvky a11, a22, . . . , ann
ruzne od nuly, takze slozky vektoru x lze vypocıtat v opacnem poradı:
xn = bn/ann
27
xn−1 = (bn−1 − an,n−1xn)/an−1,n−1
...
x2 = (b2 − a23x3 − . . .− a2nxn)/a22
x1 = (b1 − a12x2 − a13x3 − . . .− a1nxn)/a11
Podstatnou charakteristikou slozitosti tohoto algoritmu, ktery se nazyva zpet-ny chod, je pocet operacı ”*” a ”/”:
1 + 2 + . . . + n =n(n + 1)
2≈ n2
2.
Prımy chod je jisty prirozeny algoritmus transformace systemu (10) na systemtvaru (12) opakovanou aplikacı ekvivalentnı operace ”prictenı mji–nasobkui-te rovnice k jine, j-te rovnici”. Jednoducha aplikace tohoto algoritmu jeuvedena v Pr. 6.1.
Prıklad 6.1.
x1 + 4x2 + 3x3 = 1 | ·m21 = (−2)| ·m31 = (−1)
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
−3x2 − 2x3 = 2 | ·m32 = (−−7
−3)
−7x2 − 5x3 = 4
−1
3x3 = −2
3
Koeficienty mji se nazyvajı multiplikatory. Nıze je uvedeno schematickeznazornenı rozsırene matice soustavy v i–te fazi prımeho chodu.
a11 a12 a1n b1
a(1)22 a
(1)2n b
(1)2
. . ....
...
a(i−1)ii a
(i−1)in b
(i−1)i
......
...
a(i−1)ji a
(i−1)jn b
(i−1)j
......
...
a(i−1)ni ai−1
nn b(i−1)n
Toto schematicke znazornenı usnadnuje pochopenı algoritmu prımeho chodu,zapsaneho nazorne pomocı jazyka na bazi PASCALu:
for i from 1 to n− 1 do
28
for j from i + 1 to n do
mji := −aji/aii
bj := bj + mji · bi
for k from i to n do
ajk := ajk + mjiaik
end do
end do
end do
Z tohoto popisu lze snadno odvodit charakteristiku slozitosti, tj. pocet ope-racı ”*” a ”/” v prımem chodu :
n−1∑i=1
n∑j=i+1
(2 + n− i + 1) =n−1∑i=1
(n− i)(3 + n− i)
= 3[(n− 1) + (n− 2) + . . . + 1]
+ (n− 1)2 + (n− 2)2 + . . . + 1
=3
2n(n− 1) +
2n3 − 3n2 + n
6≈ n3
3.
Algoritmus Gaussovy eliminace se sklada z techto kroku :
Krok 1. Prımy chod. ( ≈ n3/3 operacı)Krok 2. Zpetny chod. ( ≈ n2/2 operacı)
System rovnic (10) lze resit Gaussovou eliminacı prave kdyz matice
A(1) = [a11], A(2) =
[a11 a12
a21 a22
], . . . , A(n) = A.
jsou regularnı. Pr. 6.2 ukazuje, ze splnenı techto predpokladu nenı zarukouuspesneho numerickeho resenı ulohy (10) Gaussovou eliminacı.
Prıklad 6.2. Resme system rovnic
x1 + x2 + x3 = 1
0,0001x2 + x3 = 1
x2 + x3 = 0
tak, ze vysledek kazde operace zaokrouhlıme na 4 platne cıslice.
Vysledkem prımeho chodu je system s hornı trojuhelnıkovou maticı 1 1 1 10,0001 1 1
-9999 -10000
29
a zpetny chod poskytne aproximaci
x =
001
, zatımco presne resenı je x =
1−10000/999910000/9999
.
Vysvetlenı: Protoze x3 = 10000/9999 = 1,00010001 . . ., je x3 = 1 aprıslusna zaokrouhlovacı chyba je x3−x3 = 1/9999. Tato chyba se pri vypoctuaproximace x2 delı malym hlavnım prvkem 0,0001, neboli se nasobı cıslem10 000.
Vidıme, ze Gaussova eliminace ztracı stabilitu v prıpadech, kdy maticesoustavy ma v absolutnı hodnote male hlavnı prvky. Proto jsou navrzenymodifikace, jejichz cılem je takovy vyber hlavnıch prvku, aby jejich abso-lutnı hodnoty byly co nejvetsı. S nejcasteji pouzıvanou z techto modifikacı seseznamıme.
6.1 Gaussova eliminace s (castecnym) vyberemhlavnıch prvku
V kazde fazi i = 1, 2, . . . , n− 1 nejprve najdeme |a(i−1)ji | = maxi≤k≤n |a(i−1)
ki | av prıpade j 6= i provedeme vymenu i–te rovnice s rovnicı j–tou. Viz Obr. 5.
0j
i
i@@@@
Obrazek 5
Gaussova eliminace s vyberem hlavnıch prvku resı problem (10) pro vsechnyregularnı matice soustavy A a pro vsechny vektory pravych stran b.
6.2 LU–rozklad matice
Dolnı trojuhelnıkova matice L s jednotkami v hlavnı diagonale a hornı troj-uhelnıkova matice U tvorı LU–rozklad ctvercove matice A, je-li A soucinemmatic L a U , tj. kdyz A = LU .
30
Lze snadno overit, ze pro kazdou ctvercovou matici A radu n, pro niz jsoumatice A(1), A(2), . . . , A(n) regularnı, platı A = LU , kde
L =
1
−m21 1...
.... . .
−mn1 −mn2 . . . 1
, U =
a11 a12 . . . a1n
a(1)22 . . . a
(1)2n
. . ....
a(n−1)nn
.
LU–rozklad matice A je tedy vysledkem prımeho chodu v tom smyslu, zematice L je vytvorena z jednotek a ze vsech multiplikatoru, pouzitych vprımem chodu Gaussovy eliminace a matice U je hornı trojuhelnıkova matice,na niz prımy chod matici A transformuje.
Resıme-li system rovnic Ax = b a zname LU–rozklad A = LU , pakAx = b ⇐⇒ LUx = b. Oznacıme-li y = Ux, muzeme ulohu Ax = b resit vtechto dvou krocıch
1. Ly = b2. Ux = y
Slozitost (pocet operacı ”*” a ”/”) tohoto algoritmu sestavajıcıho ze dvouzpetnych chodu je priblizne n2/2 + n2/2, coz je (zejmena pro velky rad n)podstatne mensı, nez slozitost n3/3 + n2/2 Gaussovy eliminace.
6.3 Vypocet matice inverznı
a) Je-li matice A regularnı, pak matice X je inverznı k A, jestlize AX = E,podrobneji
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
......
an1 an2 . . . ann
x11 . . . x1j . . . x1n
x21 . . . x2j . . . x2n...
......
xn1 . . . xnj . . . xnn
=
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
......
0 0 . . . 1
.
Tato maticova rovnost je ekvivalentnı se soustavou n systemu rovnic
Ax(j) = e(j) pro j = 1, . . . , n, (13)
kde x(j) prıpadne e(j) je j–ty sloupcovy vektor matice X prıpadne E.
Prıklad 6.3. Pro matici A =
1 4 32 5 41 −3 −2
najdete matici inverznı
31
A−1 ”soucasnym” resenım trı systemu rovnic (13) Gaussovou eliminacı.
1 4 3 1 0 02 5 4 0 1 01 -3 -2 0 0 1
-3 -2 -2 1 0-7 -5 -1 0 1
-13
113
-73
1
Tri zpetne chody poskytnou inverznı matici
A−1 =
2 −1 18 −5 2
−11 7 −3
.
Slozitost tohoto algoritmu je nepodstatne vetsı, nez slozitost jednoho prımehochodu a n zpetnych chodu. Tedy pocet operacı ”*” a ”/” pri vypoctu maticeinverznı je nepodstatne vetsı, nez n3/3 + n · n2/2 ≈ n3.
b) Jordanova metoda spocıva v transformaci matice A nejen na hornıtrojuhelnıkovou matici jako v prıpade a), ale na jednotkovou matici. V tomtotvaru je pro kazdy z n ”soucasne” vyresenych systemu vektor resenı rovenmodifikovanemu vektoru pravych stran, takze matice n vektoru pravych stranje rovna matici A−1.
Prıklad 6.4. System rovnic s hornı trojuhelnıkovou maticı, ktery jevysledkem eliminace z Pr. 6.3, transformujte na system rovnic s jednotkovoumaticı.
1 4 3 1 0 0-3 -2 -2 1 0
-13
113
-73
11 4 0 34 -21 9
-3 0 -24 15 -61 -11 7 -3
1 0 0 2 -1 11 0 8 -5 2
1 -11 7 -3
Vysledna matice pravych stran je prave matice A−1, uvedena v Pr. 6.3.
6.4 Specialnı matice
V teto kapitole se seznamıme s nekolika trıdami specialnıch matic, ktere secasto vyskytujı pri resenı technickych problemu a s prıslusnymi modifikacemialgoritmu Gaussovy eliminace.
32
6.4.1 Symetricke pozitivne definitnı matice
Ctvercova matice A radu n se nazyva symetricka pozitivne definitnı (SPD),kdyz je symetricka a pro vsechny vektory x ∈ <n, x 6= o platı x>Ax > 0.
Pro symetrickou matici A platı tato tvrzenı a), b).
a) Matice A je SPD, prave kdyz vsechny hlavnı prvky a11, a(1)22 , . . . , a(n−1)
nn
jsou kladne.
b) Vsechny matice Ak =
a
(k)k+1,k+1 . . . a
(k)k+1,n
......
a(k)n,k+1 . . . a(k)
n,n
vznikle v prımem chodu,
jsou symetricke.
Na rozdıl od definice SPD poskytuje vlastnost a) algoritmus pro rozhod-nutı, zda dana symetricka matice je SPD. Vlastnosti a), b) rıkajı, ze systemyrovnic s SPD maticı lze resit Gaussovou eliminacı tak, ze ve vsech maticıchAk stacı spocıtat jen prvky v a nad hlavnı diagonalou.
Dale lze pro SPD matice ”vylepsit” tvrzenı o LU–rozkladu:
Je-li A SPD matice, pak existuje hornı trojuhelnıkova matice U s kladnymiprvky v hlavnı diagonale takova, ze
A = U>U. (14)
Toto vyjadrenı se nazyva Choleskeho rozklad matice A.
Postupnym porovnavanım prvku matic na obou stranach nıze rozepsanea11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
......
an1 an2 . . . ann
=
u11
u12 u22...
.... . .
u1n u2n . . . unn
u11 u12 . . . u1n
u22 . . . u2n
. . ....
unn
,
identity (14) pro indexy (1, 1), (1, 2), . . . , (1, n),(2, 2), . . . , (2, n), . . . , (n, n)vznikne tato konstrukce matice U :
1. u11 =√
a11 a u1j = a1j/u11 pro j = 2, . . . , n.
2. Pro i = 2, . . . , n−1 : uii =√
aii −∑i−1
k=1 u2ki a uij =
(aij −
∑i−1k=1 ukiukj
)/uii
pro j = i + 1, . . . , n.
3. unn =√
ann −∑n−1
k=1 u2kn.
33
6.4.2 Rıdke matice
jsou matice, v nichz je vetsina prvku rovna nule. Systemy rovnic s mati-cemi tohoto typu se vyskytujı v rade dulezitych aplikacı, zejmena pri resenıokrajovych uloh pro parcialnı diferencialnı rovnice. Systemy rovnic s rıdkymimaticemi jsou resitelne mnohem efektivneji, nez srovnatelne rozsahle systemyrovnic s tzv. plnymi maticemi. Prıme metody jsou vhodne zejmena pro resenısystemu rovnic se specialnımi rıdkymi maticemi, tzv. pasovymi maticemi.Ctvercova matice A radu n se nazyva pasova, existujı-li prirozena cısla p a qtakova, ze
j < i− p =⇒ aij = 0 a j > i + q =⇒ aij = 0
pro i = 1, . . . , n. Pak se cıslo p + 1 + q nazyva sırka pasu. Schema na Obr.6 ilustruje zpusob, jak prımy chod Gaussovy eliminace a ekvivalentne LU–rozklad zachovava pasovost matice A.
A = =
@@@@@@@@@
@@@@@@@
p q
@@@@@@
@@@@@@@@@
@@@@@@@
p q
@@@@@@@@@
@@@@@@
= LU
Obrazek 6
Pasova matice s parametry p = 1 = q se nazyva trıdiagonalnı. Explicitnıpopis algoritmu resenı systemu rovnic s trıdiagonalnı maticı je velmi uzitecny.Uzijeme-li znacenı trıdiagonalnı matice A a jejıho LU–rozkladu z Obr. 7 (ma-tice U ma nad hlavnı diagonalou stejne prvky jako A), pak srovnanım prvku
a1 c1
b2 a2. . .
. . . . . . cn−1
bn an
=
1β2 1
. . . . . .
βn 1
α1 c1
α2. . .. . . cn−1
αn
Obrazek 7
a1 s prvkem soucinu LU zıskame α1 = a1. Z analogickeho vyjadrenı prvkubk obdrzıme βk = bk/αk−1 a z vyjadrenı ak vznikne αk = ak − βkck−1 prok = 2, . . . , n. Tedy algoritmus resenı systemu rovnic Ax = d LU–rozklademtrıdiagonalnı matice A a ”dvema zpetnymi chody” je slozen z techto trı kroku:
34
Krok 1. (Vypocet LU–rozkladu matice A)
α1 = a1 a βk = bk/αk−1, αk = ak − βkck−1 pro k = 2, . . . , n.
Krok 2. (Resenı Ly = d)
y1 = d1 a yk = dk − βkyk−1 pro k = 2, . . . , n.
Krok 3. (Resenı Ux = y)
xn = yn/αn a xk = (yk − ckxk+1)/αk pro k = n− 1, n− 2, . . . , 1.
Lze snadno overit, ze tento algoritmus provadı 5n − 4 nasobıcıch operacı(”*” a ”/”). Tedy resenı systemu rovnic s trıdiagonalnı maticı je radove rych-lejsı, nez Gaussova eliminace pro systemy s plnymi maticemi, ktera potrebujeprovest priblizne n3/3 nasobıcıch operacı.
6.5 Cıslo podmınenosti matice
Uvazujme o resenı problemu (11) za idealnıho predpokladu, ze prvky maticeA jsou dany presne a pri resenı nevznikajı zaokrouhlovacı chyby. Zadame-litedy vektor pravych stran presne, zıskame presne resenı, tj.
Ax = b. (15)
Zadame-li aproximaci b vektoru pravych stran, zıskame aproximaci resenı, tj.
Ax = b. (16)
Za techto podmınek budeme studovat zavislost chyby vektoru resenı ex nachybe vektoru pravych stran eb. Dosadıme-li do (15) vyjadrenı x = x + ex ab = b + eb, obdrzıme A(x + ex) = b + eb. Odtud a z (16) vznikne
Aex = eb. (17)
Oznacıme-li ‖ · ‖ normu vektoru i pridruzenou normu matic pak z (16) a z(N4) plyne
‖b‖ ≤ ‖A‖ ‖x‖.Z (17) obdrzıme ex = A−1eb a odtud
‖ex‖ ≤ ‖A−1‖ ‖eb‖.
Vynasobenım techto dvou nerovnostı vznikne
‖ex‖ ‖b‖ ≤ ‖A‖ ‖A−1‖ ‖eb‖ ‖x‖
35
a vydelenım obou stran cıslem ‖x‖ ‖b‖ dospejeme k nerovnosti
‖ex‖‖x‖
≤ ‖A‖ ‖A−1‖‖eb‖‖b‖
. (18)
Tato nerovnost rıka, ze ”relativnı chyba resenı” na leve strane je ohranicenasoucinem cısla podmınenosti
C(A) = ‖A‖ ‖A−1‖
matice A a ”relativnı chyby prave strany”.
Protoze ‖ · ‖ je pridruzena norma, je ‖A‖ = maxx 6=o (‖Ax‖/‖x‖) a
‖A−1‖ = maxx 6=o
‖A−1x‖‖x‖
=
(minx6=o
‖x‖‖A−1x‖
)−1
=
(miny 6=o
‖Ay‖‖y‖
)−1
,
kde y = A−1x. Tedy cıslo podmınenosti
C(A) =maxx 6=o (‖Ax‖/‖x‖)miny 6=o (‖Ay‖/‖y‖)
udava pomer mezi maximalnım a minimalnım narustem normy vektoru prijeho nasobenı maticı A. Z teto uvahy je zrejme, ze pro vsechny matice A jeC(A) ≥ 1. Protoze jednotkova matice E ma vlastnost Ex = x pro vsechnyvektory x, je C(E) = 1.
Matice A, jejichz cıslo podmınenosti je male, se nazyvajı dobre podmınenea matice s vlastnostı C(A) 1 se nazyvajı spatne podmınene. Vzhledemk nerovnosti (18) je nutno ocekavat, ze resenı systemu rovnic se spatnepodmınenou maticı budou velmi nepresna. Tento nedostatek nelze odstranitvyberem ”lepsı” metody resenı systemu rovnic, ale jen tım, ze se resenıspatne podmınenych soustav vyhneme. Naprıklad tak, ze pro resenı daneulohy pouzijeme jinou numerickou metodu, ktera vede na system linearnıchrovnic s maticı dobre podmınenou.
Nerovnosti jako (18) poskytujı i odhad chyby resenı v dusledku chybkoeficientu matice soustavy. Viz [11], 26.18.
Prıklad 6.5. Pri vypoctu vertikalnıch posuvu v1 a v2 bodu 1 a 2 z Obr.8 vznikne system rovnic[
1 −1−1 1 + a2/(4l2)
] [v1
v2
]= ql2/(Ea2)
[1
0,375
].
36
Obrazek 8: Vyznacenı bodu 1 a 2 nosnıku s posuvy v1 a v2
Naprıklad pro a/l = 1/30 je matice soustavy
A =
[1 −1
−1 1,000278
]a A−1 =
1
0,000278
[1,000278 1
1 1
].
Odtud plyne C(A) = ‖A‖∞‖A−1‖∞ = 2,0002782/0,000278.= 14329,5, takze
system je spatne podmıneny. To je duvodem skutecnosti, ze pri zaokrouhlovanımezivysledku na 6 desetinnych mıst je vypocteny vysledek[
v1
v2
].= ql2/(Ea2)
[4947,0434946,043
]. Presne resenı je ql2/(Ea2)
[49514950
].
Cvicenı.
1. System rovnic
1 2 −3−1 3 2−1 −1 −2
x1
x2
x3
=
28
−8
reste Gaussovou
eliminacı a najdete LU–rozklad matice A. Resenım je vektor x =
[7/3, 7/3, 5/3]> a LU–rozklad A je
1−1 1−1 1/5 1
1 2 −3
5 −1−24/5
2. System rovnic
−1 0 3 2
5 −1 3 21 −1 2 −20 4 1 −2
x1
x2
x3
x4
=
−1
84
−4
reste Gaussovou
eliminacı s vyberem hlavnıch prvku. Zaokrouhlujte na 4 platne cıslice.x = [1, 288, −1, 273, 0, 3453, −0, 3741]>
37
3. Beton je smesı portlandskeho cementu, pısku a sterku. Distributornabızı zakaznıkum 3 serie. Serie 1 obsahuje 1
8m3 cementu, 3
8m3 pısku
a 48
m3 sterku. Serie 2 obsahuje 210
m3 cementu, 510
m3 pısku a 310
m3
sterku a serie 3 je slozena z 25
m3 cementu, 35
m3 pısku a 05
m3 sterku.Najdete objemy x1, x2 a x3 seriı 1, 2 a 3 (v m3), ktere musı zakaznıkkoupit, aby zıskal smes, obsahujıcı 2,3, 4,8 a 2,9 m3 cementu, pısku asterku. Pozadovana smes bude obsahovat x1 = 4, x2 = 3 and x3 = 3m3 serie 1, 2 a 3
4. Najdete LU–rozklad matice A =
2 −1
−1 2 −1−1 2 −1
−1 2
LU–rozklad
matice A je
1
−1/2 1−2/3 1
−3/4 1
·
2 −13/2 −1
4/3 −15/4
5. Pro matice A =
1 0 42 2 −11 1 −3
a B =
4 41 −10 −2
najdete matici
X splnujıcı maticovou rovnici AX = B (a) konstrukcı matice A−1
Jordanovou metodou a vynasobenım obou stran rovnice maticı A−1
zleva a (b) resenım daneho systemu rovnic se dvema vektory pravych
stran Gaussovou eliminacı. X =
3, 2 1, 6−2, 6 −1, 8
0, 2 0, 6
6. Rozhodnete, zda matice A ze Cv. 4 je SPD. V kladnem prıpade najdeteCholeskeho rozklad matice A. Matice A je SPD, nebot’ je symetricka avsechny hlavnı prvky Gaussovy eliminace, umıstene v hlavnı diagonalematice U , jsou kladne. A = L>L pro
L =
√2 −
√1/2√3/2 −
√2/3√4/3 −
√3/4√5/4
38
7. System rovnic Ax = b, kde
A =
2 −1
−1 4 −1−1 4 −1
−1 2
, b =
1221
reste Gaussovou eliminacı. Zaokrouhlujte na 3 desetinna mısta.
2 -1 1 =⇒ x1=1-1 4 -1 2
-1 4 -1 2-1 2 1
3,5 -1 2,5 =⇒ x2=13,714 -1 2,714 =⇒ x3=1
1,731 1,731 =⇒ x4=1
8. Najdete cısla podmınenosti matic
H2 =
[1 1/2
1/2 1/3
]a H3 =
1 1/2 1/31/2 1/3 1/41/3 1/4 1/5
uzitım normy matic ‖ · ‖∞. C(H2) = 27, C(H3) = 748
7 Resenı systemu linearnıch rovnic iteracı
Iteracnı metody jsou vyuzıvany predevsım pro resenı systemu s rıdkymi ma-ticemi, ktere nejsou pasove. Jsou dobre pouzitelne i pro systemy s plnou,spatne podmınenou maticı. Specialnı iteracnı techniky jako naprıklad multi-grid (metoda vıce sıtı) poskytujı optimalne efektivnı algoritmy pro systemyrovnic, ktere jsou diskretizacemi okrajovych uloh pro diferencialnı rovnice.Seznamıme se jen s elementarnımi metodami Jacobiovou, Gaussovou–Seidelo-vou a s relaxacnımi metodami z nich odvozenymi.
V systemu rovnic (11) vyjadreme matici A jako rozdıl M−N . Pak vektorresenı x splnuje
Mx = Nx + b (19)
a lze uvazit iteracnı predpis
Mx(i+1) = Nx(i) + b. (20)
Pro uspesne pouzitı predpisu (20) je treba, aby matice M byla regularnı (tobudeme predpokladat) a aby
39
(a) aproximace x(i) konvergovaly k vektoru x presneho resenı,
(b) vypocet vektoru x(i+1) byl efektivnı (pro to stacı, aby matice M byladiagonalnı, trojuhelnıkova prıpadne ”blızka matici trojuhelnıkove”).
Oznacme e(i) chybu x − x(i) a odecteme rovnost (20) od (19). ObdrzımeMe(i+1) = Ne(i). Vynasobıme-li obe strany maticı M−1 zleva, vznikne e(i+1) =Te(i) pro T = M−1N . Prejdeme-li v teto identite k normam vektoru aodpovıdajıcım souhlasnym normam matic, vznikne nerovnost
‖e(i+1)‖ ≤ ‖T‖‖e(i)‖
a odtud ihned plyne
‖e(i+1)‖ ≤ ‖T‖i+1‖e(0)‖
pro i = 0, 1, . . . Je tedy zrejme, ze ‖e(i+1)‖ = ‖x−x(i+1)‖ −→ 0 pro i −→∞,jakmile ‖T‖ < 1. Nasli jsme tuto postacujıcı podmınku:
Iteracnı posloupnost (x(i)) konverguje k presnemu resenı systemu rovnic(11), existuje-li norma matic ‖·‖ souhlasna s normou vektoru tak, ze ‖T‖ < 1.
Pozadavek (b) bude v nıze uvedenych konkretnıch metodach splnen. Tyodvodıme pomocı rozkladu matice A na soucet L + D + U , kde L ma prvkymatice A prave pod, D v a U nad hlavnı diagonalou.
7.1 Jacobiova metoda
Do rovnic (10) dosad’me aproximaci x(i) a v j–te rovnici zmenme souradnici
x(i)j na x
(i+1)j tak, aby rovnice byla splnena, tj. aby
aj1x(i)1 + . . . + aj,j−1x
(i)j−1 + ajjx
(i+1)j + aj,j+1x
(i)j+1 + . . . + ajnx
(i)n = bj.
Vyjadrıme-li z teto rovnice x(i+1)j pro kazde j, vznikne jeden krok Jacobiovy
metody
x(i+1)1 = ( −a12x
(i)2 . . . −a1nx
(i)n + b1)/a11
x(i+1)2 = (−a21x
(i)1 . . . −a2nx
(i)n + b2)/a22
...
x(i+1)n = (−an1x
(i)1 . . . −an,n−1x
(i)n−1 + bn)/ann
,
40
jehoz maticovy zapis je x(i+1) = Tx(i) + d pro matici
T =
0 −a12/a11 . . . −a1n/a11
−a21/a22 0 . . . −a2n/a22...
...−an1/ann . . . −an,n−1/ann 0
a vektor d = [b1/a11, b2/a22, . . . , bn/ann]>. Tento mechanismus je pro systemdvou rovnic ilustrovan na Obr. 9. Je patrne, ze Jacobiova metoda vznikne
Obrazek 9: Jeden krok Jacobiovy metody
volbou M = D, N = −L − U a ze T = D−1(−L − U). Jacobiova metodakonverguje pro vsechny ryze diagonalne dominantnı matice, tj. matice A svlastnostı
|aii| >n∑
j=1
j 6=i
|aij| pro vsechny radkove indexy i.
Toto tvrzenı plyne z vyse uvedene dostatecne podmınky konvergence a znerovnosti ‖T‖∞ < 1, kterou lze snadno overit.
7.2 Gaussova–Seidelova metoda
Jacobiova metoda pocıta vsechny slozky x(i+1)j vyhradne pomocı souradnic
aproximace x(i). Gaussova–Seidelova metoda pocıta slozky x(i+1)j postupne a
pro j > 1 vyuzıva jiz vypoctenych souradnic x(i+1)1 , . . . , x
(i+1)j−1 . Lze ocekavat,
ze tato uprava Jacobiovy metody prinese zrychlenı konvergence. Tedy jeden
41
krok Gaussovy–Seidelovy metody ma tvar
x(i+1)1 = ( −a12x
(i)2 . . . −a1nx
(i)n + b1)/a11
x(i+1)2 = (−a21x
(i+1)1 . . . −a2nx
(i)n + b2)/a22
...
x(i+1)n = (−an1x
(i+1)1 . . . −an,n−1x
(i+1)n−1 + bn)/ann
;
odpovıda volbe M = L + D a N = U v (20).
Prvnı souradnice aproximace x(i+1) Gaussovy–Seidelovy metody je stejnajako v metode Jacobiove. Zmena j–te souradnice je takova, aby se vektor,splnujıcı (j − 1)–tou rovnici zmenil na vektor, vyhovujıcı j–te rovnici danesoustavy. Tato konstrukce je znazornena pro dve rovnice o dvou neznamychna Obr. 10. Konvergence Gaussovy–Seidelovy metody je zarucena pro ryze
Obrazek 10: Jeden krok Gaussovy–Seidelovy metody
diagonalne dominantnı matice soustavy, ale i pro SPD matice. Gaussova–Seidelova metoda konverguje zpravidla rychleji, nez metoda Jacobiova. Nenıto vsak nutne, existujı i prıpady, kdy Gaussova–Seidelova metoda divergujea Jacobiova metoda konverguje.
7.3 Relaxacnı metody
Nıze uvedene relaxacnı metody jsou zobecnenımi metod Jacobiovy a Gausso-vy–Seidelovy, urcenymi tzv. relaxacnım parametrem ω tımto postupem: Prozadanou nultou aproximaci x(0), postupne pro i = 0, 1, . . ., pocıtame x(i+1) Ja-cobiovou nebo Gaussovou–Seidelovou metodou zpusobem popsanym v odstavci
42
7.1 nebo 7.2. Potom (i + 1)–tou aproximaci relaxacnı metody x(i+1) zıskametak, ze k i–te aproximaci x(i) pricteme ω–nasobek rozdılu x(i+1) − x(i):
x(i+1)j = x
(i)j + ω(x
(i+1)j − x
(i)j ) pro j = 1, . . . , n.
Je znamo, ze pro konvergenci relaxacnı metody je nutne, aby parametr ωlezel v intervalu (0, 2). Pro 0 < ω < 1 mluvıme o dolnı relaxaci, pro ω =1 je relaxacnı metoda prave metoda Jacobiova nebo Gaussova–Seidelova apro 1 < ω < 2 se mluvı o hornı relaxaci, strucne o SOR (Successive OverRelaxation) metodach.
Tedy vsechny zmeny souradnic jsou v jednom kroku relaxacnı metody ω–nasobky zmen v kroku Jacobiovy nebo Gaussovy–Seidelovy metody. Obr. 11znazornuje resenı prıkladu z Obr. 9 relaxacnı metodou, vzniklou z Jacobiovymetody s parametrem ω = 1,2. Srovnanı Obr. 11 s Obr. 9 ukazuje, ze v tomtoprıpade je aproximace x(1) vypoctena relaxacnı metodou blıze k presnemuresenı, nez aproximace x(1) vypoctena Jacobiovou metodou. Vhodnou vol-
Obrazek 11: Jeden krok relaxacnı Jacobiovy metody, ω = 1,2
bou relaxacnıho parametru lze konvergenci zrychlit. Hodnoty optimalnıchrelaxacnıch parametru jsou vsak znamy jen pro nektere typy matic soustavy.
Podmınka ukoncenı: Pro kazdou z uvedenych iteracnıch metod rekneme,ze system rovnic je vyresen s chybou mensı nez ε, jakmile ‖x(i+1)− x(i)‖ < ε(absolutnı podmınka) nebo jakmile ‖x(i+1)−x(i)‖ < ε‖x(i)‖ (relativnı podmınka).Pak polozıme x = x(i+1). Zde ‖ · ‖ je libovolna norma vektoru. V prıkladechbudeme pocıtat s absolutnı podmınkou.
43
Prıklad 7.1. System rovnic
4 −1 −1 0
−1 4 0 −1−1 0 4 −1
0 −1 −1 4
x1
x2
x3
x4
=
1201
reste
postupne Jacobiovou metodou, Gaussovou–Seidelovou metodou a Gaussovou–Seidelovou relaxacnı metodou s parametrem ω = 1, 0718 s chybou mensı nezε = 0, 5 · 10−3. Za nultou aproximaci zvolte vzdy x(0) = [0, 25; 0, 5; 0; 0, 25]>.
Resenı. Prubeh vypoctu Jacobiovou metodou:
i x(i)1 x
(i)2 x
(i)3 x
(i)4
0 0,25 0,5 0 0,251 0,37500 0,62500 0,12500 0,37500
......
8 0,49900 0,74900 0,24902 0,499009 0,49950 0,74950 0,24950 0,49950
10 0,49975 0,74975 0,24975 0,49975
Prubeh vypoctu Gaussovou–Seidelovou metodou:
i x(i)1 x
(i)2 x
(i)3 x
(i)4
0 0,25 0,5 0 0,251 0,37500 0,65625 0,15625 0,45310
......
5 0,49930 0,74965 0,24965 0,499806 0,49980 0,74990 0,24990 0,499957 0,49995 0,75000 0,24998 0,50000
Prubeh vypoctu relaxacnı Gaussovou–Seidelovou metodou:
i x(i)1 x
(i)2 x
(i)3 x
(i)4
0 0,25 0,5 0 0,251 0,38398 0,66988 0,16988 0,475022 0,46540 0,73979 0,23979 0,496323 0,49701 0,74893 0,24895 0,499674 0,49966 0,74991 0,24990 0,499965 0,49998 0,75001 0,24999 0,50001
Cvicenı.
1. System rovnic
[2 −1
−0,5 2
] [x1
x2
]=
[1,52,5
]reste (a) Jacobiovou
metodou, (b) Gaussovou–Seidelovou metodou a (c) relaxacnı Jaco-biovou metodou s parametrem ω = 1,2 s pocatecnı aproximacı x(0) =
44
[3; 2,7]> a s chybou mensı nez ε = 0,001. Metoda (a) poskytuje priblizneresenı x = [1,57178; 1,64312]> po 8 krocıch, (b) x = [1,57156; 1,64289]>]po 5 krocıch a (c) x = [1,57113; 1,64307]> po 10 krocıch. Prvnı krokiterace metodou (a) resp. (b), (c) je ilustrovan na Obr. 9 resp. 10, 11.
2. Ukazte, ze resenı systemu rovnic
5 3 43 6 44 4 5
x1
x2
x3
=
121313
s poca-
tecnı aproximacı x(0) = [0; 0; 0]> (a) Jacobiovou metodou diverguje a(b) Gaussovou–Seidelovou metodou konverguje. Metoda (a) divergujea metoda (b) poskytuje resenı x
.= x(13) = [1,01243; 1,01495; 0,978096]>
s chybou mensı nez ε = 0,01.
3. Ukazte, ze resenı systemu rovnic
1 2 −21 1 12 2 1
x1
x2
x3
=
135
s poca-
tecnı aproximacı x(0) = [0; 0; 0]> (a) Jacobiovou metodou konverguje a(b) Gaussovou–Seidelovou metodou diverguje. Metoda (a) poskytujepresne resenı x = [1; 1; 1]> po 3 krocıch, metoda (b) diverguje.
4. System rovnic
4 1 11 6 21 2 3
x1
x2
x3
=
−101
reste jednak Gaussovou–
Seidelovou metodou a jednak relaxacnı Gaussovou–Seidelovou metodous parametrem ω = 1,5 s chybou mensı nez ε = 0,0005. V obou prıpadechpolozte x(0) = [0; 0; 0]>. Gaussova–Seidelova metoda poskytnex = [-0,35300; -0,11759; 0,52939]> po 7 krocıch a relaxacnı Gaussova–Seidelova metoda s parametrem ω = 1,5 poskytnex = [-0,35283; -0,11761; 0,52925]> po 14 krocıch.
8 Resenı systemu nelinearnıch rovnic
Jen za ucelem formalnıho zjednodusenı se budeme zabyvat resenım dvourovnic pro dve realne nezname ve tvaru
f1(x1, x2) = 0,f2(x1, x2) = 0,
(21)
kde f1, f2 jsou funkce, spojite vcetne vsech potrebnych derivacı, na oblastiΩ0 ⊆ <2. Pri resenı teto ulohy mluvıme o bodu x = (x1, x2) mısto o vektoru.Tento prakticky casto reseny problem lze povazovat za rozsırenı ulohy resitjednu nelinearnı rovnici, viz kapitolu 4. Z metod uvedenych v kapitole 4 sepro systemy pouzıvajı metoda proste iterace a Newtonova metoda.
45
8.1 Metoda proste iterace
Podobne jako v odstavci 4.2 spocıva metoda proste iterace ve volbe funkcı F1
a F2 takovych, ze soustava rovnic
x1 = F1(x1, x2)x2 = F2(x1, x2)
(22)
je ekvivalentnı se soustavou (21). Pouzijeme-li vektoroveho znacenı, dostanemeulohu najıt pevny bod x vektorove funkce F (x) = (F1(x), F2(x)):
x = F (x). (23)
Tato rovnice je formalne shodna s tvarem (3) rovnice pro jednu neznamou.Jako v odstavci 4.2 zvolıme nultou aproximaci x(0) a pocıtame iteracnı posloup-nost podle predpisu
x(i+1) = F (x(i)) pro i = 0, 1, . . .
Podmınka ukoncenı je totozna s podmınkou ukoncenı vypoctu iteracnıchmetod pro resenı systemu linearnıch rovnic, uvedenou v odst. 7.3.
Lze rovnez ukazat, ze prıpadna limita teto iteracnı posloupnosti boduje pevnym bodem vektorove funkce F . Podle Vety 1 z odstavce 4.2 ite-racnı posloupnost konverguje, kdyz je absolutnı hodnota derivace funkce Fz (3) ostre mensı, nez 1. Tato podmınka je v prıpade systemu nahrazenapodmınkou, aby nektera norma matice parcialnıch derivacı
F ′(x) =
[∂F1/∂x1 ∂F1/∂x2
∂F2/∂x1 ∂F2/∂x2
],
souhlasna s normou vektoru, byla v nekterem δ okolı Oδ(x) = x| ‖x−x‖ < δpevneho bodu x ostre mensı, nez jedna:
Veta 2. Problem (23) ma prave jedno resenı na nekterem okolı Oδ(x),kdyz existuje cıslo α < 1 takove, ze platı ‖F ′(x)‖ < α pro vsechna x ∈ Oδ(x)pro nekterou souhlasnou normu matic.
Prıklad 8.1. Z Obr. 12 je patrne, ze soustava rovnic
f1(x1, x2) ≡ x21 + 2x2
2 − 2 = 0f2(x1, x2) ≡ 4x1 − x3
2 + 2 = 0
ma prave dva koreny x.= (-0,7; -0,8), y
.= (-0,2; 0,95). Najdete oba koreny s
chybou, mensı nez ε = 0,005 uzitım normy ‖ · ‖∞.
46
Obrazek 12: Graficka ilustrace resenı rovnic z Pr. 8.1
Resenı. Prevedeme-li tento system rovnic na tvar
x1 = F1(x1, x2) ≡ (x32 − 2)/4, x2 = F2(x1, x2) ≡ ±
√1− x2
1/2,
pak
F ′(x) =
0 3x22/4
∓x1/(2√
1− x21/2
)0
.
Protoze oba koreny lezı v oblasti Ω = (−1, 0)×(−1, 1) a maxx∈Ω ‖F ′(x)‖∞ =max(3/4, 1/
√2) = 3/4 < 1, lze hledat pevny bod vektorove funkce F iteracı.
Pro koren x uzijeme predpisu
x(0) = (-0,7; -0,8), a x(i+1)1 =
((x
(i)2 )3 − 2
)/4, x
(i+1)2 = −
√1− (x
(i)1 )2/2.
Prubeh vypoctu je zaznamenan v tabulce
i 0 1 2 3 4 5
x(i)1 -0,7 -0,62800 -0,66401 -0,67983 -0,67207 -0,66856
x(i)2 -0,8 -0,86891 -0,89600 -0,88292 -0,87688 -0,87986
a aproximace x(0), x(1), x(2) jsou graficky znazorneny na Obr. 13. Pro koreny uzijeme predpisu
y(0) = (-0,2; 0,95), a y(i+1)1 =
((y
(i)2 )3 − 2
)/4, y
(i+1)2 =
√1− (y
(i)1 )2/2.
47
Obrazek 13: Graficka ilustrace aproximacı x(0), x(1), x(2) korene x z Pr. 8.1
Vypocet je zaznamenan v teto tabulce:
i 0 1 2 3 4
y(i)1 -0,2 -0,28566 -0,25746 -0,26514 -0,26233
y(i)2 0,95 0,98995 0,97939 0,98329 0,98227
8.2 Newtonova metoda
Predpokladejme, ze znama aproximace x(i) lezı blızko presneho resenı xsystemu (21). Aproximujeme-li nulove hodnoty f1(x), f2(x) Taylorovym poly-nomem stupne 1 v okolı x(i), zıskame
f1(x(i)) + ∂f1
∂x1(x(i))(x1 − x
(i)1 ) + ∂f1
∂x2(x(i))(x2 − x
(i)2 )
.= 0
f2(x(i)) + ∂f2
∂x1(x(i))(x1 − x
(i)1 ) + ∂f2
∂x2(x(i))(x2 − x
(i)2 )
.= 0
(24)
Rozdıly mezi levou a pravou stranou v (24) jsou nasobky malych hodnot
(x1 − x(i)1 )2, (x1 − x
(i)1 )(x2 − x
(i)2 ), (x2 − x
(i)2 )2.
Nahradıme-li nezname presne resenı x aproximacı x(i+1) a pozadujeme-lipresne splnenı rovnic (24), zıskame jeden krok Newtonovy metody
f ′(x(i))
[d1
d2
]= −
[f1(x
(i))f2(x
(i))
](25)
48
jako system rovnic s maticı parcialnıch derivacı f ′(x(i)) pro neznamy vektord = x(i+1) − x(i).
Newtonova metoda pro systemy ma podobne vlastnosti jako Newtonovametoda pro jednu rovnici. Jejı konvergence je druheho radu, ale metoda kon-verguje jen lokalne, tj. za predpokladu, ze pocatecnı aproximace lezı blızkopresneho resenı.
Prıklad 8.2. Aproximujte koren x systemu rovnic z Pr. 8.1 Newtonovoumetodou s chybou mensı, nez ε = 0,5 · 10−5. Polozte x(0) = (-0,7; -0,8).
Resenı. Matice parcialnıch derivacı je f ′(x) =
[2x1 4x2
4 −3x22
], takze pro
i = 0 ma system rovnic (25) tvar[-1,4 -3,2 0,234 -1,92 0,288
].
Jeho resenım je d = x(1)−x(0) = (0,030992; -0,085434). Tedy x(1) = d+x(0) =(-0,669008; -0,885434). Pro i = 1 je (25) systemem rovnic[
-1,338017 -3,541736 -0,0155584 -2,351979 -0,018141
]
a jeho resenım je vektor d = x(2) − x(1) = (-0,00159743; 0,00499636), takzex(2) = d + x(1) = (-0,670606; -0,880438). Cely vypocet je shrnut v tabulce
i 0 1 2 3 4
x(i)1 -0,7 -0,669008 -0,670606 -0,670612 -0,670612
x(i)2 -0,8 -0,885434 -0,880438 -0,880420 -0,880420
Aproximace x(0), x(1), presneho resenı x a body, v nichz jsou splneny danenelinearnı rovnice i jejich linarizace z kroku pro i = 0 jsou znazorneny naObr. 14. Srovnanı Obr. 13 a 14 naznacuje podstatne rychlejsı konvergenciNewtonovy metody ve srovnanı s metodou proste iterace ve zkoumanemprıkladu.
Jeden krok Newtonovy metody pro resenı n nelinearnıch rovnic je casovenarocny, nebot’ sestavenı systemu rovnic (25) mj. vyzaduje vypocet n2 parcial-nıch derivacı. Proto se casto matice systemu (25) pouzıva beze zmeny provıce, nez jeden krok. Druhe zefektivnenı spocıva v tom, ze se parcialnı derivacez matice f ′(x(i)) pocıtajı priblizne jako v modifikacıch Newtonovy metody,uvedenych v odst. 4.3.5. Rady techto modifikacı zustavajı stejne, jako vprıpade jedne rovnice.
49
Obrazek 14: Graficka ilustrace aproximacı x(0) a x(1) z Prıkladu 8.2
Zlepsenı stability Newtonovy metody se nejcasteji dosahuje tım, ze kaproximaci x(i) se nepricıta vektor d, ktery je resenım rovnic (25), ale jehonasobek λd, kde koeficient λ je zvolen nekterym z mnoha zpusobu zarucujıcıch,ze ‖f(x(i+1))‖ < ‖f(x(i))‖.
Cvicenı.
1. Schematickym znazornenım grafu funkcı x1 = cos x2 + 0,85 a x2 =sin x1 − 1,32 overte, ze system rovnic
f1(x) ≡ x1 − cos x2 − 0,85 = 0, f2(x) ≡ sin x1 − x2 − 1,32 = 0
ma v oblasti Ω = (1,3; 1,9)× (-0,6; 0) jedine resenı. Toto resenı aprox-imujte metodou proste iterace pro x(0) = (1,6; -0,3) s chybou mensı nezε1 = 0, 5·10−3 a tuto aproximaci zpresnete Newtonovou metodou s chy-bou mensı nez ε2 = 0, 5 · 10−8. Prosta iterace x
(i+1)1 = cos x
(i)2 + 0,85,
x(i+1)2 = sin x
(i)1 − 1,32 poskytne aproximaci (1,79138;−0,34424) s chy-
bou mensı nez ε1 po 6 krocıch a jejı zpresnenı Newtonovou metodou(1,791338610; -0,3442210360) ma chybu mensı nez ε2 po 2 krocıch.
50
2. Najdete pocet resenı systemu rovnic
f1(x) ≡ 2x1 + x21x2 − 2 = 0, f2(x) ≡ x2
1 − 3x2 = 0.
Kazde resenı aproximujte nejprve prostou iteracı s chybou mensı nezε1 = 0,5 · 10−2 a tuto aproximaci zpresnete Newtonovou metodou schybou mensı nez ε2 = 0,5 · 10−6.Dosazenım 3x2 za x2
1 do f1 vzniknef1 = 2x1+3x2
2−2 = 0. To je ekvivalentnı s x1 = 1−3x22/2. Schematicky
nakres grafu teto funkce a grafu x2 = x21/3 vede ke zjistenı, ze system
rovnic ma dve resenı x.= (0,9; 0,3) a y
.= (−2; 4/3). Z f2 = 0 vznikne
rovnice x1 = −√
3x2 ≡ F1(x) a z f1 = 0 vznikne x2 =√
2(1− x1)/3 ≡F2(x). Lze snadno ukazat, ze norma ‖F ′‖∞ matice derivacı vektorovefunkce F = (F1, F2) ma v bode (−2; 4/3) hodnotu 3/4 < 1, takzeiterace
x(0)1 = −2, x
(0)2 = 4/3, x
(i+1)1 = −
√3x
(i)2 , x
(i+1)2 =
√2(1− x
(i)1 )/3
konverguje. Chyby mensı nez ε1 je dosazeno po 5 krocıch pro aproximaci(-2,070; 1,431). Tri kroky Newtonovy metody poskytnou aproximaciresenı (-2,072019; 1,431088) s chybou mensı nez ε2. Pro urcenı korene yvyjadrıme x1 = 2/(2+x1x2) ≡ F1(x) a x2 = x2
1/3 ≡ F2(x). Lze snadnoukazat, ze ‖F ′‖∞ = 0, 6 < 1 v bode (0, 9; 0, 3). Pak pouzitı iterace
y(0)1 = 0, 9, y
(0)2 = 0, 3, y
(i+1)1 = 2/(2 + y
(i)1 y
(i)2 ), y
(i+1)2 =
(y
(i)2
)2/3
vede k aproximaci (0, 8934; 0, 268) s chybou mensı nez ε1 po 4 krocıch.Tri kroky Newtonovy metody pak poskytnou aproximaci(0, 893686; 0, 266225) s chybou mensı nez ε2.
9 Aproximace funkce
Ve druhe casti tohoto textu se budeme zabyvat pribliznym vypoctem derivacefunkce, urciteho integralu a pribliznym resenım diferencialnıch problemu.Ve vsech techto ulohach je dana nebo se hleda alespon jedna funkce, takzenejde o numericke ulohy. Nezbytnym prıpravnym krokem je tedy nahradatechto uloh ulohami numerickymi. Ta spocıva predevsım v nahrade danenebo hledane funkce f , definovane na intervalu (a, b), jinou funkcı F , ktera jeurcena konecnym poctem parametru a v nekterem smyslu je lepsı, nez funkcef . Naprıklad lze efektivne pocıtat jejı hodnoty, derivace atd. Z tohoto hlediskajsou nejvyhodnejsı polynomy; symbolem P(n) oznacıme mnozinu vsech poly-nomu stupne mensıho nebo rovneho n. ”Nahradnı” funkce F musı byt k dane
51
funkci f ”co nejblıze”. V prıpade interpolace se teto blızkosti dosahuje tım,ze hodnoty funkcı f a F prıpadne jejich derivace se shodujı v danych bodechx0, x1, . . . , xn. Pri aproximaci metodou nejmensıch ctvercu pozadujeme, abybyl minimalnı soucet druhych mocnin
(f(x0)− F (x0))2 + . . . + (f(xn)− F (xn))2 .
Symbolem Ck〈a, b〉 pro k = 0, 1, . . . budeme znacit mnozinu funkcı, kteremajı na intervalu 〈a, b〉 vsechny derivace do radu k (vcetne k) spojite. Projednoduchost polozıme C〈a, b〉 = C0〈a, b〉.
9.1 Uloha Lagrangeovy interpolace
Pro danou soustavu x0, x1, . . . , xn vzajemne ruznych bodu, ktere budemenazyvat uzly (interpolace), a pro dane hodnoty y0, y1, . . . , yn hledame funkciF , ktera je polynomem nebo je poskladana z polynomu nızkych stupnu napodintervalech, vytvorenych uzly x0, x1, . . . , xn takovou, aby
F (xi) = yi pro i = 0, 1, . . . , n. (26)
Funkce F se nazyva interpolant. Jsou-li yi hodnotami f(xi) funkce f , pakrıkame, ze F je interpolantem funkce f v uzlech x0, . . . , xn.
9.1.1 Interpolacnı polynomy
Pozadujeme-li, aby interpolantem byl polynom z P(n), pak je uloha Lagrange-ovy interpolace vzdy jednoznacne resitelna. Resitelnost overıme konstrukcıinterpolacnıho polynomu v Lagrangeove tvaru: Polozıme
L(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + . . . + ynLn(x),
kde
Li(x) =(x− x0) . . . (x− xi−1)(x− xi+1) . . . (x− xn)
(xi − x0) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn)
pro i = 0, 1, . . . , n. Je zrejme, ze Li ∈ P(n) a Li(xj) =
1 pro j = i0 pro j 6= i
.
Odtud ihned plyne, ze L ∈ P(n) a F = L splnuje podmınku (26).
Jednoznacnost interpolacnıho polynomu: Jestlize polynomy P, Q ∈ P(n)
splnujı podmınku (26), pak (P − Q)(xi) = 0 pro i = 0, 1, . . . , n a tedypolynom P −Q stupne mensıho nebo rovneho n ma n + 1 vzajemne ruznychkorenu. Odtud plyne, ze P −Q je nulovy polynom a tedy P = Q.
52
Prıklad 9.1. Najdete interpolacnı polynom v Lagrangeove tvaru pro data
i 0 1 2 3xi -1 0 2 3yi 5 10 2 1
Resenı. Polozıme
L0(x) =(x− 0)(x− 2)(x− 3)
(−1− 0)(−1− 2)(−1− 3)= − 1
12x(x− 2)(x− 3)
L1(x) =(x + 1)(x− 2)(x− 3)
(0 + 1)(0− 2)(0− 3)=
1
6(x + 1)(x− 2)(x− 3)
L2(x) = −1
6(x + 1)x(x− 3) L3(x) =
1
12(x + 1)x(x− 2)
a tedy L(x) = 5L0(x) + 10L1(x) + 2L2(x) + L3(x).
Konstrukce interpolacnıho polynomu v Lagrangeove tvaru je velmi nazor-na, ale naprıklad vypocet jeho hodnoty je slozity: vyzaduje priblizne n2 ope-racı. Proto se interpolacnı polynom v tomto tvaru pouzıva vetsinou jen vteoretickych uvahach. Pro jine pouzitı jsou vyhodnejsı interpolacnı polynomyv Newtonove tvaru: Hledame polynom
N(x) = a0 + a1(x− x0) + . . . + an(x− x0)(x− x1) . . . (x− xn−1) (27)
a koeficienty a0, . . . , an urcıme tak, aby byly splneny podmınky (26). Proi = 0, 1, . . . , n tak postupne dostaneme
a0 = y0
a0 + a1(x1 − x0) = y1
a0 + a1(x2 − x0) + a2(x2 − x0)(x2 − x1) = y2
...
a0 + a1(xn − x0) + . . . + an(xn − x0) . . . (xn − xn−1) = yn
Resenı teto soustavy rovnic s dolnı trojuhelnıkovou maticı lze navıc popsatrekurzivnım zpusobem. Zrejme
a0 = y0, a1 =y1 − y0
x1 − x0
a lze overit, ze
ai = y(x0, x1, . . . , xi) pro i = 1, 2, . . . , n,
53
kde se postupne vyrazy
y(xi, xi+1) =yi+1 − yi
xi+1 − xi
pro i = 0, . . . , n− 1,
y(xi, xi+1, xi+2) =y(xi+1, xi+2)− y(xi, xi+1)
xi+2 − xi
pro i = 0, . . . , n− 2,
...
y(x0, . . . , xn) =y(x1, . . . , xn)− y(x0, . . . , xn−1)
xn − x0
nazyvajı pomerne diference prvnıho, druheho, . . ., n–teho radu. Tedy
N(x) = y0 + y(x0, x1)(x− x0) + y(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)
+ . . . + y(x0, x1, . . . , xn)(x− x0) . . . (x− xn−1) (28)
je interpolacnı polynom v Newtonove tvaru. Pr. 9.2 ilustruje vhodny grafickyzpusob vypoctu koeficientu polynomu N(x).
Prıklad 9.2. Najdete interpolacnı polynom v Newtonove tvaru pro dataz Pr. 9.1.
Resenı. Nutne pomerne diference se zıskajı vyplnenım nıze uvedene tab-ulky pomocı rekurzivnı formule.
i xi yi y(xi, xi+1) y(xi, xi+1, xi+2) y(x0, x1, x2, x3)0 -1 5 5 -3 11 0 10 -4 12 2 2 -13 3 1
Tedy N(x) = 5 + 5(x + 1)− 3(x + 1)x + (x + 1)x(x− 2).
Poznamka 3. Konstrukce interpolacnıho polynomu N(x) je efektivnıstejne jako dalsı operace, naprıklad vypocet hodnoty tzv. zobecnenym Horne-rovym schematem. Toto schema pocıta hodnoty polynomu N(x) z Pr. 9.2postupem, vyznacenym zavorkami:
N(x) = 5 + (x + 1) (5 + x (−3 + (x− 2))) .
Zobecnene Hornerovo schema pocıta hodnotu libovolneho polynomu stupnen ve tvaru (27) uzitım n operacı nasobenı.
Vyhodou interpolacnıch polynomu v Newtonove tvaru je i jejich staveb-nicovy charakter. Naprıklad pridanı uzlu x4 = 1 a hodnoty y4 = 9 k datum
54
z Pr. 9.2 znamena pro interpolacnı polynom v Lagrangeove tvaru zmenupolynomu L0, . . . , L3 a konstrukci L4. Naproti tomu interpolacnı polynom vNewtonove tvaru vyzaduje pouze doplnenı jedne diagonaly do trojuhelnıkovetabulky a rozsırenı polynomu N(x) o clen 0, 5(x + 1)x(x− 2)(x− 3).
Uvedeme jeste specialnı tvar interpolacnıho polynomu v Newtonove tvarupro casto se vyskytujıcı tzv. ekvidistantnı uzly.
Uzly x0, x1, . . . , xn se nazyvajı ekvidistantnı, existuje-li kladny krok h tak,ze xi = x0 + ih pro i = 1, . . . , n. Pro ekvidistantnı uzly je interpolacnıpolynom v Newtonove tvaru jednodussı. Vyrazy
∆yi = yi+1 − yi, i = 0, . . . , n− 1
∆2yi = ∆yi+1 −∆yi, i = 0, . . . , n− 2...
∆ny0 = ∆n−1y1 −∆n−1y0
nazyvame postupne prvnımi, druhymi,. . . , n-tymi (obycejnymi) diferencemi.Jejich srovnanı s pomernymi diferencemi poskytne
y(xi, xi+1) =∆yi
hpro i = 0, . . . , n− 1
y(xi, xi+1, xi+2) =∆2yi
2!h2pro i = 0, . . . , n− 2
...
y(x0, . . . , xn) =∆ny0
n!hn
Tedy interpolacnı polynom v Newtonove tvaru pro ekvidistantnı uzly ma tvar
N(x) = y0 +∆y0
h(x− x0) + . . . +
∆ny0
n!hn(x− x0) . . . (x− xn−1).
Obycejne diference lze pocıtat vyplnenım analogicke trojuhelnıkove tabulkyjako pro pomerne diference. Podstatnou informaci o chybe aproximace hladkefunkce jejım interpolacnım polynomem poskytuje toto tvrzenı:
Veta 3. Uvazme interpolacnı polynom P ∈ P(n) funkce f ∈ Cn+1〈a, b〉 vuzlech a ≤ x0 < x1 < . . . < xn ≤ b. Pak pro kazdy bod x ∈ 〈a, b〉 existuje bodξ ∈ (a, b) takovy, ze
f(x) = P (x) +f (n+1)(ξ)
(n + 1)!ω(x). (29)
55
Obrazek 15: Graf funkce y = ω(x) pro uzly xi = −1 + i/4, i = 0, . . . , 8
Zde ω(x) = (x− x0)(x− x1) . . . (x− xn).
Uvedeny tvar chyby interpolace indikuje tuto nevyhodu interpolacnıchpolynomu vyssıch stupnu, zvanou Rungeho jev: Jsou-li uzly x0, x1, . . . , xn
blızke ekvidistantnım a je-li hodnota n velka, jsou hodnoty funkce ω(x) pro xblızko k bodu a nebo b podstatne vetsı, nez hodnoty ω(x) pro x blızko streduintervalu 〈a, b〉. Tato vlastnost se prenası i na hodnoty chyby f(x) − P (x).Pro ilustraci je na Obr. 15 uveden graf funkce ω(x) prirazene ekvidistantnımuzlum −1 = x0 < x1 < . . . < x9 = 1. Jednım ze zpusobu, jak se tomuto jevuvyhnout je volba specialnıch tzv. Cebysevovych uzlu. Devet Cebysevovychuzlu na intervalu 〈−1, 1〉 ma hodnoty xi = cos ((2i + 1)π/18) pro i =0, 1, . . . , 8. Graf funkce ω(x) prıslusne temto uzlum je na Obr. 16. Je zrejme,ze maximum |ω(x)| na kazdem podintervalu je stejne. Protoze uzly interpo-lace jsou zpravidla pevne dany a jsou blızke uzlum ekvidistantnım, je nutnohledat i jine zpusoby, jak se Rungeho jevu zbavit.
9.1.2 Interpolacnı kubicke splajny
Je-li interval 〈a, b〉 dlouhy a pocet uzlu a = x0 < x1 < . . . < xn = b velky, pakmısto interpolacnıho polynomu stupne n poskladame interpolant na intervalu〈a, b〉 z (obecne vzajemne ruznych) polynomu nızkeho stupne na podinter-valech 〈xi−1, xi〉. Je-li tento nızky stupen roven jedne, mluvıme o linearnımsplajnu. Obr. 17 ilustruje jednoznacne resenı problemu Lagrangeovy interpo-lace linearnım splajnem.
56
Obrazek 16: Graf funkce y = ω(x) pro 9 Cebysevovych uzlu na 〈−1, 1〉
-x
6y
y0
x0
y1
x1
y2
x2
y3
x3
Obrazek 17
Vıce pozornosti budeme venovat tzv. kubickym splajnum a zduvodnenıjejich vyznamu. Uvazme uzly a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Kubicky splajn suzly x0, . . . , xn je kazda funkce s na intervalu 〈a, b〉 takova, ze platı
a) s(x) = si(x) pro xi−1 ≤ x ≤ xi a si ∈ P(3) pro i = 1, . . . , n a
b) s ∈ C2〈a, b〉.Podmınka b) je ekvivalentnı s pozadavky
si(xi) = si+1(xi)
s′i(xi) = s′i+1(xi)
s′′i (xi) = s′′i+1(xi)
57
pro i = 1, . . . , n− 1.
Budeme se zabyvat problemem, jak zkonstruovat kubicky splajn s(x) suzly x0 < x1 < . . . < xn, ktery pro dana y0, y1, . . . , yn splnuje podmınku
s(xi) = yi pro i = 0, 1, . . . , n. (30)
Splnuje-li s podmınku (30) [a platı-li yi = f(xi)], nazyva se interpolacnıkubicky splajn [funkce f ].
Resenı problemu: Polozme hi = xi − xi−1 pro i = 1, . . . , n. Pak
si(x) = Ci−1(xi − x)3
6hi
+ Ci(x− xi−1)
3
6hi
(31)
+
(yi−1 −
Ci−1h2i
6
)xi − x
hi
+
(yi −
Cih2i
6
)x− xi−1
hi
pro i = 1, . . . , n a parametry C0, C1, . . . , Cn jsou resenım systemu rovnic
hi
6Ci−1 +
hi + hi+1
3Ci +
hi+1
6Ci+1 =
yi+1 − yi
hi+1
− yi − yi−1
hi
(32)
pro i = 1, . . . , n− 1.
Strucne zduvodnenı resenı: Je-li s(x) kubicky splajn, pak s′′(x) je linearnısplajn. Existujı tedy konstanty C0, C1, . . . , Cn tak, ze
s′′(xi) = Ci pro i = 0, 1, . . . , n a
s′′i (x) = Ci−1xi − x
hi
+ Cix− xi−1
hi
pro x ∈ 〈xi−1, xi〉, i = 1, . . . , n. (33)
Dvojı integracı s′′i z (33) vznikne
si(x) = Ci−1(xi − x)3
6hi
+ Ci(x− xi−1)
3
6hi
+ αi(xi − x) + βi(x− xi−1),
kde αi, βi ∈ < jsou libovolne integracnı konstanty. Pozadujeme-li, abysi(xi−1) = yi−1 a si(xi) = yi, zıskame vyjadrenı (31). Ukazali jsme, zes ∈ C〈a, b〉 a ze s splnuje (30). Derivovanım (31) vznikne
s′i(x) = −Ci−1(xi − x)2
2hi
+ Ci(x− xi−1)
2
2hi
+yi − yi−1
hi
− Ci − Ci−1
6hi.
Protoze
s′i(xi−1) = −Ci−1hi
3− Ci
hi
6+
yi − yi−1
hi
,
s′i(xi) = Cihi
3+ Ci−1
hi
6+
yi − yi−1
hi
,
58
je rovnost s′i+1(xi) = s′i(xi) ekvivalentnı s rovnicı (32) pro i = 1, . . . , n − 1.Platı-li (32), pak s′ ∈ C〈a, b〉.
Protoze (32) je system n− 1 rovnic pro n + 1 neznamych C0, C1, . . . , Cn,splajn s nenı urcen jednoznacne. Nejcasteji se soustava (32) doplnuje o rovnice
C0 = 0 = Cn. (34)
Takto doplneny system rovnic (32) ma matici silne diagonalne dominantnı azaroven trı–diagonalnı. Kubicke splajny splnujıcı podmınky (34), tj.
s′′(a) = 0 = s′′(b),
se nazyvajı prirozene.
Nıze uvedene tvrzenı rıka, ze krivost kubickeho splajnu je nejmensı mezivsemi interpolanty stejnych hodnot ve stejnych uzlech. Tato vlastnost vylucujeRungeho jev a je hlavnım duvodem, proc je interpolace uzitım kubickychsplajnu popularnı.
Veta 4. Uvazme uzly a = x0 < x1 < . . . < xn = b a funkci f ∈ C2〈a, b〉.Je-li s prirozeny interpolacnı kubicky splajn funkce f v uzlech x0, x1, . . . , xn,pak ∫ b
a(s′′(x))2 dx ≤
∫ b
a(f ′′(x))2 dx.
Prıklad 9.3. Urcete prirozeny interpolacnı kubicky splajn s(x), ktery vuzlech x0, . . . , x3 nabyva hodnot y0, . . . , y3 z teto tabulky:
i 0 1 2 3xi -1 0 2 3yi 5 10 2 1
Resenı. Je zrejme, ze h1 = 1, h2 = 2 a h3 = 1. Najdeme nejprve koeficientyC0, C1, C2, C3 jako resenı systemu rovnic (32) a vzhledem k pozadavku, abykubicky splajn s byl prirozeny polozıme C0 = 0 = C3. Rovnice (32) majı tvar[
1 1/31/3 1
] [C1
C2
]=
[−9
3
]
a jejich resenım jsou koeficienty C1 = -11,25, C2 = 6,75. Dosazenım techtohodnot do predpisu (31) vznikne interpolacnı kubicky splajn
s(x) =
s1(x) = 10 + 1,25x− 5,625x2 − 1,875x3 pro x ∈ 〈−1, 0〉s2(x) = 10 + 1,25x− 5,625x2 + 1,5x3 pro x ∈ 〈0, 2〉s3(x) = 31− 30,25x + 10,125x2 − 1,125x3 pro x ∈ 〈2, 3〉
59
9.2 Uloha Hermiteovy interpolace
Pro danou soustavu uzlu interpolace x0 < x1 < . . . < xn a pro dane hodnotyy0, y1, . . . , yn, y′0, y
′1, . . . , y
′n, hledame funkci F , ktera je polynomem nebo je
slozena z polynomu nızkych stupnu na podintervalech, vytvorenych uzlyx0, x1, . . . , xn takovou, aby
F (xi) = yi a F ′(xi) = y′i pro i = 0, 1, . . . , n. (35)
Jestlize yi = f(xi) a y′i = f ′(xi) pro nekterou funkci f , pak rıkame, ze F jeHermiteuv interpolant funkce f v uzlech x0, . . . , xn.
9.2.1 Hermiteuv interpolacnı polynom
Pozadujeme-li, aby Hermiteovym interpolantem byl polynom H(x) ∈ P(2n+1),pak je uloha (35) jednoznacne resitelna a resenı H(x) se nazyva Hermiteuvinterpolacnı polynom. Uvedeme dve standardnı konstrukce polynomu H(x).
Konstrukce Hermiteova interpolacnıho polynomu v zakladnım tvaru: Hle-dame koeficienty a0, . . . , a2n+1 tak, aby polynom
H(x) = a0 + a1x + . . . + a2n+1x2n+1 (36)
splnoval podmınky (35). Koeficienty a0, a1, . . . , a2n+1 urcıme resenım 2n + 2rovnic, ktere vzniknou dosazenım polynomu (36) do (35).
Prıklad 9.4. Urcete Hermiteuv interpolacnı polynom funkce f v uzlechz tabulky
i xi f(xi) f ′(xi)0 -1 2 01 1 -2 0
Resenı. Protoze n = 1, existuje jediny Hermiteuv interpolacnı polynomH(x) ∈ P(3). Hledame tedy koeficienty a0, . . . , a3 tak, aby polynom H(x) =a0 + a1x + a2x
2 + a3x3 splnil podmınky (35) z tabulky. Dosazenım x0 = −1
a x1 = 0 do (35) vznikne system rovnic
a0 − a1 + a2 − a3 = 2
a1 − 2a2 + 3a3 = 0
a0 + a1 + a2 + a3 = −2
a1 + 2a2 + 3a3 = 0
Lze snadno overit, ze a0 = 0, a1 = −3, a2 = 0, a3 = 1, takze H(x) = −3x+x3.
60
Konstrukce Hermiteova interpolacnıho polynomu v zobecnenem Newtonovetvaru: Predpokladejme, ze H(x) je Hermiteuv interpolacnı polynom funkcef . Protoze v kazdem uzlu jsou dany dve hodnoty, vlozıme kazdy uzel dotabulky pro pomerne diference dvakrat. Pocıtame-li vsak pomerne diferencestandardnım postupem, objevı se y(xi, xi), coz nema smysl. Vyjadrıme-li vsaktuto pomernou diferenci jako limitu y(xi, x) pro x konvergujıcı k xi, zıskame
y(xi, xi) = limx→xi
y(xi, x) = limx→xi
f(x)− f(xi)
x− xi
= f ′(xi) = y′i.
Polozıme tedy y(xi, xi) = y′i, takze Hermiteuv interpolacnı polynom nabudetvaru
H(x) = y0 + y(x0, x0)(x− x0) + y(x0, x0, x1)(x− x0)2
+y(x0, x0, . . . , xn, xn)(x− x0)2 . . . (x− xn−1)
2(x− xn).
Prıklad 9.5. Pro data z nıze uvedene tabulky vyjadrete Hermiteuv in-terpolacnı polynom v zobecnenem Newtonove tvaru.
i xi f(xi) f ′(xi)0 -1 2 11 1 0 12 2 1 3
Resenı. Zobecnene Newtonovo schema je zrejme z nasledujıcı tabulky
xi f(xi) . . .-1 2 1 -1 1 -4
91127
-1 2 -1 1 -13
79
1 0 1 0 21 0 1 22 1 32 1
a tedy vysledny Hermiteuv interpolacnı polynom je
H(x) = 2 + x + 1− (x + 1)2 + (x + 1)2(x− 1)
− 4
9(x + 1)2(x− 1)2 +
11
27(x + 1)2(x− 1)2(x− 2).
Nynı se seznamıme s velmi uzitecnym typem Hermiteova interpolantu,poskladanym z obecne ruznych kubickych polynomu.
61
9.2.2 Hermiteovy kubicke interpolacnı splajny
Hermiteuv kubicky splajn s uzly x0 < x1 < . . . < xn je funkce s takova, ze
a) s = si ∈ P(3) na 〈xi−1, xi〉 pro i = 1, . . . , n a
b) s ∈ C1〈a, b〉.
Jestlize s navıc pro dane hodnoty y0, y1, . . . , yn, y′0, y′1, . . . , y
′n splnuje
s(xi) = yi, s′(xi) = y′i pro i = 0, 1, . . . , n,
pak rıkame, ze s je Hermiteuv kubicky interpolacnı splajn.
Poznamka 4. Pro i = 1, . . . , n je kubicky polynom si jednoznacne urcenpodmınkami
si(xi−1) = yi−1 s′i(xi−1) = y′i−1
si(xi) = yi s′i(xi) = y′i.
Kazdy polynom si(x) lze tedy zkonstruovat jednou z procedur z odstavce9.2.1.
Prıklad 9.6. Najdete Hermiteuv kubicky interpolacnı splajn pro data znıze uvedene tabulky.
i xi yi y′i0 -1 2 11 1 0 12 2 1 3
Resenı. Kubicke polynomy zkonstuujeme naprıklad pomocı zobecnenychNewtonovych schemat: Ze schematu
xi yi y(xi, xi+1) y(xi, xi+1, xi+2) y(x0, x1, x2, x3)-1 2 1 -1 1-1 2 -1 11 0 11 0
vznikne s1(x) = 2 + (x + 1)− (x + 1)2 + (x + 1)2(x− 1) a ze schematu
xi yi y(xi, xi+1) y(xi, xi+1, xi+2) y(x0, x1, x2, x3)1 0 1 0 21 0 1 22 1 32 1
62
obdrzıme s2(x) = (x−1)+2(x−1)2(x−2). Tedy hledany Hermiteuv kubickyinterpolacnı splajn je funkce
s(x) =
s1 (x ) pro x ∈ 〈−1, 1〉s2 (x ) pro x ∈ 〈1, 2〉
9.3 Diskretnı metoda nejmensıch ctvercu (MNC)
V mnoha situacıch, v nichz je treba danou funkci f nahradit ”jednodussı”funkcı F , je nevhodne nebo vubec nelze pouzıt interpolace. Jsou-li naprıkladv uzlech interpolace x0, x1, . . . , xn dany hodnoty funkce f nepresne, prenasıse nepresnost i na interpolant. Interpolace je nepouzitelna v prıpadech, kdyje pozadovana aproximace funkcı jisteho typu a pritom zadna funkce tohototypu interpolantem nenı. Proto v tomto odstavci pozadavek F (xi) = f(xi)pro i = 0, . . . , n nahradıme slabsım pozadavkem, aby soucet
(F (x0)− f(x0))2 + . . . + (F (xn)− f(xn))2
byl minimalnı. Obr. 18 ilustruje hodnotu tohoto souctu graficky. Od tohotografickeho vyznamu je nazev metody odvozen.
-
6
brbr
br br br
x0
f(x0)
x1
f(x1)
x2
f(x2)
x3
f(x3)
x4
f(x4)
y = F (x)
x
y
Obrazek 18
Obecna formulace ulohy: Pro dane vektory ϕ z <k a ϕ(1), . . . , ϕ(n) z <k
v poctu n < k najdete koeficienty c1, . . . , cn takove, ze pro vektor ϕ∗ =c1ϕ
(1) + . . . + cnϕ(n) je norma
‖ϕ− ϕ∗‖2 (37)
minimalnı.
Podmınka (37) je ekvivalentnı s podmınkou, ze je minimalnı druha moc-nina ‖ϕ−ϕ∗‖2
2. Vzhledem k identite (9) a vlastnostem (S1) – (S4) skalarnıhosoucinu je tedy treba najıt koeficienty c1, . . . , cn, pro nez funkce
G(c1, . . . , cn) = 〈ϕ−ϕ∗, ϕ−ϕ∗〉 =n∑
i,j=1
cicj〈ϕ(i), ϕ(j)〉 − 2n∑
i=1
ci〈ϕ, ϕ(i)〉 (38)
63
nabyva sveho minima. Nutnymi podmınkami minima jsou rovnice
∂G
∂ci
= 0 ⇐⇒n∑
j=1
cj〈ϕ(j), ϕ(i)〉 − 〈ϕ, ϕ(i)〉 = 0 pro i = 1, . . . , n. (39)
Tyto rovnice pro nezname koeficienty c1, . . . , cn se nazyvajı normalnı. Jejichmaticovy zapis je
〈ϕ(1), ϕ(1)〉 〈ϕ(2), ϕ(1)〉 . . . 〈ϕ(n), ϕ(1)〉〈ϕ(1), ϕ(2)〉 〈ϕ(2), ϕ(2)〉 . . . 〈ϕ(n), ϕ(2)〉
......
...〈ϕ(1), ϕ(n)〉 〈ϕ(2), ϕ(n)〉 . . . 〈ϕ(n), ϕ(n)〉
c1
c2...cn
=
〈ϕ, ϕ(1)〉〈ϕ, ϕ(2)〉
...〈ϕ, ϕ(n)〉
. (40)
Je dobre znamo, viz napr. [6], ze za predpokladu, ze vektory ϕ(1), . . . , ϕ(n)
jsou linearne nezavisle, je matice systemu rovnic (40) symetricka a pozi-tivne definitnı. To znamena, ze soustavu (40) lze resit efektivne naprıkladCholeskeho metodou. Zıskane resenı minimalizuje hodnotu normy (37).
Nynı uvedeme 3 prıklady jako ilustrace typickych aplikacı MNC. V Pr. 9.7bude MNC pouzita pro priblizne resenı tzv. preurcenych systemu linearnıchrovnic a zadanı Pr. 9.8 je treba nejprve preformulovat do tvaru vhodneho propouzitı MNC. Pr. 9.9 poskytuje aproximaci funkce, jejız hodnoty jsou znamyjen v konecne mnoha bodech, funkcı daneho typu.
Prıklad 9.7. Za ucelem stanovenı nadmorskych vysek vA, vB, vC boduA, B, C bylo provedeno merenı techto sesti vyskovych rozdılu:
vA = 1−vA +vC = 1
vB = 2−vB +vC = 2
vC = 3−vA +vB = 1
Najdete co nejpresnejsı aproximace nadmorskych vysek vA, vB, vC .
Resenı. Nelze ocekavat, ze tento system 6 rovnic pro 3 nezname ma presneresenı. Zapıseme-li jej vektorove ve tvaru
vA
1−1
000
−1
+ vB
001
−101
+ vC
010110
=
112231
64
a oznacıme-li ϕA resp. ϕB, ϕC vektor, nasobeny neznamou vyskou vA resp.vB, vC a ϕ vektor pravych stran, pak mısto snahy o presne resenı budemehledat vektor ϕ∗ = vAϕA + vBϕB + vCϕC tak, aby norma ‖ϕ − ϕ∗‖2 bylaminimalnı. Resenım normalnıch rovnic 3 -1 -1 -1
-1 3 -1 1-1 -1 3 6
jsou aproximace vA = 1,25, vB = 1,75, vC = 3 vysek bodu A, B, C.
Prıklad 9.8. Kometa Tentax se pohybuje po elipticke draze. Pouzitımpolarnıch souradnic byly namereny tyto polohy komety:
α 48o 67o 83o 108o 126o
r 2,70 2,00 1,61 1,20 1,02
Kepleruv zakon rıka, ze
r ≡ r(α) =p
1− e cos α, (41)
kde neznamy parametr p charakterizuje velikost elipsy a e jejı excentricitu.Urcete hodnoty parametru p a e metodou nejmensıch ctvercu.
Resenı. V MNC aproximujeme dany vektor ϕ vektorem ϕ∗, ktery jelinearnı kombinacı c1ϕ
1 + . . . + cnϕn danych vektoru ϕ1, . . . , ϕn s parametry
c1, . . . , cn. V teto uloze jsou neznamymi parametry c1 = p, c2 = e. Nevidımevsak dany vektor ϕ ani dvojici vektoru, jejichz linearnı kombinace s koe-ficienty p, e by mela vektor ϕ aproximovat. Vynasobıme-li vsak obe stranyidentity (41) jmenovatelem 1− e cos α, zıskame
r = p + e r cos α. (42)
Tuto identitu chapeme jako ulohu aproximovat danou funkci f = r linearnıkombinacı danych funkcı f1 = 1 a f2 = r cos α. Vyse uvedena tabulka posky-tuje hodnoty funkcı f, f1, f2 pro 5 hodnot argumentu α. Z tohoto duvodubudeme mısto s funkcemi pracovat s vektory 5 hodnot
ϕ =
2,702,001,611,201,02
, ϕ1 =
11111
, a ϕ2 =
1,810,780,20-0,37-0,60
.
65
Vysledne normalnı rovnice jsou[5 1,82 8,53
1,82 4,42 5,71
]
a jejich resenı je p = 1,45, e = 0,69. Tedy Kepleruv zakon pro tuto kometuma priblizne tvar
r(α) =1,45
1− 0,69 cos α.
Prıklad 9.9. Funkci f , jejız hodnoty jsou dany v uzlech z tabulky
i 1 2 3 4 5xi -1 -0,5 0 0,5 1
f(xi) 0,36788 0,60653 1 1,64872 2,71828
aproximujte (a) linearnım, (b) kvadratickym a (c) kubickym polynomem.
Resenı. Linearnı polynom p1(x) = c1+c2x, je linearnı kombinacı f1(x) = 1a f2(x) = x. Funkcım f , f1 a f2 priradıme vektory hodnot ϕ, ϕ(1) a ϕ(2), kde
ϕ =
0,367880,60653
11,648722,71828
, ϕ(1) =
11111
, ϕ(2) =
−1-0,50
0, 51
.
Pak normalnı rovnice jsou systemem rovnic A1c(1) = b(1), kde
A1 =
[〈ϕ(1), ϕ(1)〉 〈ϕ(2), ϕ(1)〉〈ϕ(1), ϕ(2)〉 〈ϕ(2), ϕ(2)〉
]=
[5 00 2,5
],
b(1) =
[〈ϕ(1), ϕ〉〈ϕ(2), ϕ〉
]=
[6,341412,871495
].
Jejich resenım je vektor c(1) = [1,268282, 1,148598]>, takze hledany polynom1. stupne je
p1(x) = 1,268282 + 1,148598x.
Analogicky lze ukazat, ze hledany polynom 2. stupne je
p2(x) = 0,994415 + 1,148598x + 0,547734x2
a polynom 3. stupne je
p3(x) = 0,994415 + 0,997853x + 0,547734x2 + 0,177347x3.
66
Koeficienty techto polynomu jsou postupne resenımi normalnıch rovnic
A2c(2) =
5 0 2,50 2,5 0
2,5 0 2,125
c(2) =
6,341412,8714953,649973
= b(2),
A3c(3) =
5 0 2,5 00 2,5 0 2,125
2,5 0 2,125 00 2,125 0 2,03125
c(3) =
6,341412,8714953,6499732,480674
= b(3).
Poznamka 5. Protoze vsechny hodnoty f(xi) z tabulky jsou rovny exi ,porovname v Obr. 19 grafy aproximacı p1(x) a p2(x) s grafem funkce ex. Grafyp3(x) a ex nejsou opticky odlisitelne. Skutecnost, ze s rustem stupne poly-nomu se kvalita aproximace rychle zlepsuje, doklada i rychly pokles chyby‖ϕ−ϕ∗‖2 s rustem stupne pouziteho polynomu. Pri aproximaci ex polynomemp1 prıpadne p2, p3 je velikost chyby 0,5193 prıpadne 0,08448, 0,007787.
Obrazek 19: Grafy funkcı ex (plne), p1 (carkovane) a p2 (teckovane)
Cısla podmınenosti matic A1, A2, A3 rychle rostou: C(A1) = 2, C(A2) =12,857 a C(A3) = 61,667. Tato skutecnost naznacuje nedostatek normalnıchrovnic, totiz rychlou ztratu stability s rustem poctu n vektoru. Naprıkladpri aproximaci polynomy v zakladnım tvaru je cıslo podmınenosti neumerne
67
velke jiz pri stupni 10. Priblizne resenı preurcenych systemu linearnıch rovnicje pomocı popsanych normalnıch rovnic nejjednodussı. Jejich nestabilite selze vyhnout pouzitım ortogonalnıch bazı v P(n) nebo pouzitım jinych metod,naprıklad QR–rozkladu. Viz [6] nebo [5].
Cvicenı
1. Najdete interpolacnı polynom dane funkce f v uzlech x0 = a, x1 = b
a) v Lagrangeove tvaru,
b) v Newtonove tvaru.
a) L(x) = f(a)(x − b)/(a − b) + f(b)(x − a)/(b − a), b) N(x) =f(a) + (x− a)(f(b)− f(a))/(b− a)
2. Najdete interpolacnı polynom funkce f v uzlech z tabulky
x 1 2 4 5f(x) 1 2 12 27
a) v Lagrangeove tvaru,
b) v Newtonove tvaru.
a) L(x) = L0(x) + 2L1(x) + 12L2(x) + 27L3(x), L0(x) = −(x− 2)(x−4)(x− 5)/12, L1(x) = (x− 1)(x− 4)(x− 5)/6, L2(x) = −(x− 1)(x−2)(x− 5)/6, L3(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 4)/12,b) N(x) = 1 + (x− 1) + 4(x− 1)(x− 2)/3 + (x− 1)(x− 2)(x− 4)/2
3. Rozsirte tabulku ze cvicenı 2 o uzel 3 a hodnotu f(3) = 5. Zkonstruujteinterpolacnı polynom Q funkce f v uzlech 1, 2, 3, 4, 5
a) doplnenım interpolacnıho polynomu N(x) ze cvicenı 2,
b) ve tvaru Newtonova interpolacnıho polynomu pro ekvidistantnıuzly 1, 2, 3, 4, 5.
a) Q(x) = N(x)+ (x− 1)(x− 2)(x− 4)(x− 5)/12, b) Q(x) = x+(x−1)(x− 2) + (x− 1)(x− 2)(x− 3)/3 + (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)/12
4. Uvazte ekvidistantnı uzly −1 = x0 < x1 < . . . < xn = 1 s krokemh a interpolacnı linearnı splajn ϕ(x) funkce f(x) = cos x v uzlechx0, . . . , xn. Uzitım odhadu chyby z Vety 3 najdete maximalnı hodnotukroku h tak, aby max−1≤x≤1 |f(x)− ϕ(x)| ≤ 0, 5 · 10−3.h ≤ 0,004
68
5. Rozhodnete, zda funkce
s(x) =
s1(x) = 2,2− 4,87x + 3,2x2 − 0,53x3 pro x ∈ 〈2; 3〉s2(x) = −30,2 + 27,53x− 7,6x2 + 0,67x3 pro x ∈ 〈3; 4〉s3(x) = 21− 10,87x + 2x2 − 0,13x3 pro x ∈ 〈4; 5〉
je prirozeny kubicky splajn.s je prirozeny kubicky splajn, nebot’ s1, s2, s3 ∈ P(3), s1(3) = 2 =s2(3), s2(4) = 1 = s3(4), s′1(3) = 0, 2 = s′2(3), s′2(4) = −2, 2 = s′3(4),s′′1(3) = −2, 4 = s′′2(3), s′′2(4) = −2, 4 = s′′3(4) a s′′1(2) = 0 = s′′3(5)
6. Aproximujte hodnotu e0,15 pomocı
a) interpolacnıho polynomu
b) Hermiteova interpolacnıho polynomu
funkce f(x) = ex v uzlech x0 = 0, 1, x1 = 0, 2.Absolutnı hodnota chyby je v prıpade a) 0,00145 a v prıpade b)0,00033.
7. Vlivem prılivu je vyse hladiny Severnıho more periodickou funkcı casut s periodou 12 [hodin]. Nejcasteji je aproximovana funkcı ve tvaru
H(t) = h0 + a1 sin2πt
12+ a2 cos
2πt
12.
Uzitım vysledku merenı, uvedenych v nıze uvedene tabulce, najdeteaproximace koeficientu h0, a1, a2.
t [hod.] 0 2 4 6 8 10H(t) [m] 1 1,6 1,4 0,6 0,2 0,8
H(t) = 0,9333 + 0,5774 sin 2πt/12 + 0,2667 cos 2πt/12.
8. Atomova hmotnost dusıku (N) prıpadne kyslıku (O) je priblizne 14prıpadne 16. Pomocı molekularnıch hmotnostı kyslicnıku dusıku z nızeuvedene tabulky aproximujte atomove hmotnosti dusıku a kyslıku.
kysl. dusıku NO N2O NO2 N2O3 N2O4 N2O5
mol. hmotnost 30,006 44,013 46,006 76,012 92,011 108,010
Atomova hmotnost dusıku je 14,007 a kyslıku 15,999
69
10 Numericky vypocet derivace
V teto kapitole pouzijeme interpolacnı polynomy pro zıskanı formulı vy-jadrujıcıch priblizne hodnoty prvnıch a druhych derivacı funkcı f , o nichzbudeme predpokladat, ze majı spojite vsechny derivace, ktere budeme potre-bovat. Tyto formule se pouzıvajı v prıpadech, kdy je derivovana funkcezadana pouze tabulkou nebo v prıpadech, kdy je vypocet presne hodnotyderivace prılis pracny. Budeme se zabyvat touto ulohou :
Pro dany bod x, danou funkci f a dany krok diskretizace h > 0 aproximujtehodnoty derivacı f ′(x) a f ′′(x) pomocı hodnot f(x− h), f(x), f(x + h).
Nahradıme-li funkci f(t)
a) Newtonovym interpolacnım polynomem P+(t) = f(x)+f(x, x+h)(t−x) v uzlech x a x + h, zıskame aproximaci
f ′(x).=
dP+
dt= f(x, x + h) =
f(x + h)− f(x)
h,
ktera se nazyva (pomerna) diference smerem dopredu. Podstatnou informacıo velikosti chyby teto aproximace je identita
f ′(x) =f(x + h)− f(x)
h− h
2f ′′(ξ),
ktera platı pro vhodny bod ξ ∈ (x, x + h).
b) Newtonovym interpolacnım polynomem P−(t) = f(x − h) + f(x −h, x)(t− x + h) v uzlech x− h, x, potom se aproximace
f ′(x).=
dP−dt
= f(x− h, x) =f(x)− f(x− h)
h.
nazyva zpetna diference. Platı
f ′(x) =f(x)− f(x− h)
h+
h
2f ′′(ξ)
pro nektery bod ξ ∈ (x− h, x).
c) Newtonovym interpolacnım polynomem P2(t) = f(x − h) + f(x −h, x)(t− x + h) + f(x− h, x, x + h)(t− x + h)(t− x) v uzlech x− h, x, x + h,pak se aproximace
f ′(x).=
dP2
dt(x) =
f(x, x + h) + f(x− h, x)
2=
f(x + h)− f(x− h)
2h.
70
nazyva centralnı diference. Presnost teto aproximace charakterizuje vyjadrenıchyby
f ′(x) =f(x + h)− f(x− h)
2h− h2
6f ′′′(ξ)
pro vhodny bod ξ ∈ (x− h, x + h).
d) Newtonovym interpolacnım polynomem P2(t), pak lze snadno overit,ze
f ′′(x).=
d2P2
dt2= 2f(x− h, x, x + h) =
f(x + h)− 2f(x) + f(x− h)
h2.
Tato aproximace se nazyva druha centralnı diference. Jejı presnost charak-terizuje identita
f ′′(x) =f(x− h)− 2f(x) + f(x + h)
h2− h2
12f (4)(ξ)
pro vhodny bod ξ ∈ (x− h, x + h).
Overıme pouze tvrzenı z bodu a) a c) predevsım za ucelem naznacenımetodiky dokazovanı vyroku tohoto typu.
Dukaz.
a) Tvrzenı je bezprostrednım dusledkem Taylorovy vety, podle nız exis-tuje bod ξ ∈ (x, x + h) tak, ze f(x + h) = f(x) + f ′(x)h + 1
2f ′′(ξ)h2.
c) Opet pomocı Taylorovy vety dostaneme
f(x + h) = f(x) + f ′(x)h +1
2f ′′(x)h2 +
1
6f ′′′(ζ)h3
f(x− h) = f(x)− f ′(x)h +1
2f ′′(x)h2 − 1
6f ′′′(η)h3
Odectenım druhe rovnice od prvnı a vydelenım rozdılu cıslem 2h obdrzıme
f(x + h)− f(x− h)
2h= f ′(x) +
1
6h2
[f ′′′(ζ) + f ′′′(η)
2
].
Protoze ζ a η jsou vhodne body z intervalu (x, x+h) a (x−h, x), podle vetyo strednı hodnote existuje bod ξ ∈ (η, ζ) ⊂ (x− h, x + h) takovy, ze vyraz vhranatych zavorkach je roven f ′′′(ξ). 2
Poznamka 6. Vsechny aproximace derivacı uvedene v a) – d) jsou, zapredpokladu male hodnoty kroku h a spojitosti funkce f , rozdılem prıp.
71
rozdıly dvou blızkych hodnot. To je spojeno s narustem relativnı chyby apro extremne male hodnoty kroku se vliv zaokrouhlovacıch chyb muze statrozhodujıcım. Extremnı zmensovanı kroku tedy nenı cesta, jak zıskat velmipresne hodnoty aproximace uzitım formulı a) – d). Velmi presnych aproximacıhodnot f ′(x) a f ′′(x) bez pouzitı extremne maleho kroku h lze dosahnoutextrapolacı. Oznacıme-li naprıklad
D2(h) =f(x− h)− 2f(x) + f(x + h)
h2
a vypocteme-li tuto aproximaci derivace f ′′(x) s kroky diskretizace h a 2h,pak za predpokladu, ze krok h je maly a derivace f (4)(t) je spojita, tvrzenıd) rıka, ze
f ′′(x).= D2(h)− h2
12f (4)(x)
f ′′(x).= D2(2h)− 4h2
12f (4)(x)
Vyloucıme-li z techto aproximacı podstatne casti chyb −h2f (4)(x)/12 a−4h2f (4)(x)/12 (prvnı rovnici vynasobıme cıslem 4, druhou cıslem -1, sectemeje a vydelıme cıslem 3), zıskame
f ′′(x).=
4D2(h)−D2(2h)
3.
Tato aproximace hodnoty f ′′(x) je podstatne presnejsı, nez aproximace for-mulı D2(h).
Cvicenı.
1. Nakreslete schematicky grafy polynomu P+, P− a P2 pro libovolne zv-olene hodnoty f(x−h), f(x), f(x+h) a nakreslete prımky se smernicemif(x, x + h), f(x− h, x), (f(x, x + h) + f(x− h, x))/2.
2. Urcete aproximace derivace f ′(x0) formulı a) s kroky h = 0, 5 a h =0, 25, aproximace f ′(x2) formulı c) s kroky h = 0, 5 a h = 0, 25 aaproximace f ′′(x2) s kroky h = 0, 5 a h = 0, 25 a uved’te jejich chybykdyz vıte, ze f(x) = ex.
i 0 1 2 3 4xi 0,5 0,75 1 1,25 1,5
f(xi) 1,6487 2,1170 2,7183 3,4903 4,4817
Aproximace hodnoty f ′(x0) = 1,6487 formulı a) s krokem 0,5 je 2,1392a s krokem h = 0,25 je 1,8732. Prıslusne chyby jsou -0,4905 a -0,2245.
72
Aproximace f ′(x2) formulı c) s krokem h = 0, 5 je 2,8330 a s krokemh = 0,25 je 2,7466. Prıslusne chyby jsou -0,1147 a -0,0283. Aproximacef ′′(x2) formulı d) s krokem h = 0,5 je 2,7752 a s krokem h = 0,25 je2,7312. Prıslusne chyby jsou -0,0569 a -0,0129.
3. Extrapolacı zpresnete aproximace f ′′(x2) s kroky h = 0,5 a h = 0,25 zecvicenı 2.Podle Poznamky 6 je f ′′(x2)
.= (4 · 2,7312 − 2,7752)/3 = 2,71653.
Chyba teto zpresnene aproximace je 0,00175.
4. Extrapolacı zpresnete aproximace f ′(x2) s kroky h = 0,5 a h = 0,25 zecvicenı 2.Polozıme-li D(h) = (f(x + h)− f(x− h))/(2h) pak lze z aproximacechyby f ′(x)−D(h)
.= −h2
6f ′′′(x) odvozene z c) jako v Poznamce 6 urcit,
ze f ′(x).= (4D(h) − D(2h))/3. Odtud a z vysledku cvicenı 2 plyne,
ze f ′(x2).= (4 · 2,7466 − 2,8330)/3 = 2, 7178. Chyba teto zpresnene
aproximace je 0,000482.
11 Pocatecnı problemy pro ODR (obycejne
diferencialnı rovnice)
Jadrem prevazne vetsiny matematickych modelu jsou diferencialnı rovnice.Podle tvaru podmınek, zarucujıcıch jednoznacnost resenı, se tyto modelydelı na ulohy pocatecnı a okrajove. Prvnımu typu diferencialnıch uloh, jehozslozitost a rozmanitost je podstatne mensı, budeme venovat tuto kapitolu.Seznamıme se se zakladnımi prostredky pro priblizne resenı tohoto zakladnıhomodelu, tzv. Eulerovy ulohy: Najdete funkci y(x) splnujıcı ODR
y′ = f(x, y) pro x ∈ (a, b) (43)
s pocatecnı podmınkou y(a) = c.
Budeme predpokladat, ze funkce f splnuje Lipschitzovu podmınku: Exis-tuje L > 0 tak, ze
|f(x, y)− f(x, z)| ≤ L|y − z|
pro vsechna x ∈ 〈a, b〉 a vsechna y, z ∈ <.
Je-li funkce f spojita na uzavrene oblasti 〈a, b〉 × < a splnuje-li Lips-chitzovu podmınku, pak ma uloha (43) jedine resenı pro libovolnou pocatecnıpodmınku, zadanou v libovolnem bodu intervalu 〈a, b〉.
73
Nıze uvedene metody spocıvajı v rozdelenı intervalu 〈a, b〉 na podintervalyekvidistantnımi uzly a = x0 < x1 < . . . s krokem h > 0. Pak polozıme y0 = ca postupne, pomocı jisteho predpisu, pocıtame aproximace yi+1 presnychhodnot y(xi+1) pro i = 0, 1, . . ., dokud xi+1 ∈ 〈a, b〉. Metoda se nazyva
a) k–krokova, jakmile predpis pro aproximaci yi+1 zavisı na k predchozıchaproximacıch yi, yi−1, . . . , yi−k+1.
b) l–bodova, kdyz predpis pro yi+1 vyzaduje vypocet hodnot funkce f v lruznych bodech.
Rıkame, ze numericka metoda pro Eulerovu ulohu (43) je radu p, kdyzabsolutnı hodnota chyby ei = y(xi)−yi je ohranicena vyrazem c(xi, h)hp proi = 1, 2, . . . a funkce c je pro male kladne hodnoty kroku h ohranicena.
Nynı se seznamıme s nekolika jednoduchymi metodami pro priblizne resenıEulerovy ulohy.
a) Eulerova metoda. Rovnice (43) poskytuje identitu y′(xi) = f(xi, y(xi))pro i = 0, 1, . . .. Nahradıme-li v nı
y′(xi) vyrazemyi+1 − yi
h.=
y(xi+1)− y(xi)
h,
f(xi, y(xi)) vyrazem f(xi, yi)
a pozadujeme-li (yi+1 − yi)/h = f(xi, yi), vznikne Eulerova metoda:
y0 = c, yi+1 = yi + hf(xi, yi) pro i = 0, 1, . . .
-x
6y
y = y(x)
a axi xi+1h
yiyi+1
Obrazek 20
Jejı geometricky vyznam je patrny z Obr. 20. Nasledujıcı prıklad ilustrujeskutecnost, ze Eulerova metoda je radu 1.
Prıklad 11.1. Najdete aproximaci resenı pocatecnı ulohy
y′ = 2xy v (0, 1), y(0) = 1
74
Eulerovou metodou s kroky 0,25 a 0,125.
Resenı. Pro h = 0,25 polozıme xi = 0,25i. Eulerova metoda ma tvar
y0 = 1, yi+1 = yi + 0,25 · 2xiyi = yi(1 + 0,5xi).
a pro h = 0,125 polozıme xi = 0,125i, takze vznikne predpis
y0 = 1, yi+1 = yi + 0,125 · 2xiyi = yi(1 + 0,25xi).
Vsimnete si, ze xi = x2i. Proto v nıze uvedene tabulce porovname aproximaceyi s y2i a s presnymi hodnotami y(xi) pro i = 0, . . . , 4.
i 0 1 2 3 4xi 0 0,25 0,5 0,75 1yi 1 1 1,125 1,40625 1,933594y2i 1 1,03125 1,19843 1,55889 2,25613
y(xi) 1 1,0645 1,28408 1,755053 2,71828
b) Modifikace Eulerovy metody (Heunova metoda) je zpresnenıEulerovy metody zalozene na pozorovanı, ze je-li graf presneho resenı y(x)v okolı uzlu xi nad (pod) tecnou, pak je rozdıl vypoctenych aproximacık1 ≡ yi+1−yi = hf(xi, yi) mensı (vetsı), nez rozdıl y(xi+1)−yi a rozdıl aprox-imacı k2 = yi+2− yi+1 = hf(xi + h, yi + k1) je vetsı (mensı), nez y(xi+1)− yi.
-x
6y
q qxi xi+1 xi+2
hhk1
k2
Obrazek 21
Viz ilustraci na Obr. 21. Modifikace Eulerovy metody aproximuje rozdıly(xi+1)− yi aritmetickym prumerem (k1 + k2)/2, takze jejı predpis je
y0 = c
k1 = hf(xi, yi)
k2 = hf(xi + h, yi + k1)
yi+1 = yi +1
2(k1 + k2) pro i = 0, 1, . . .
Modifikace Eulerovy metody je radu 2.
75
c) Aplikace obecne metodiky navrhovanı novych jednokrokovych metod,vytvorene autory Rungem a Kuttou poskytuje tuto casto pouzıvanou kla-sickou Rungovu–Kuttovu metodu:
y0 = c
k1 = hf(xi, yi)
k2 = hf(xi +h
2, yi +
k1
2)
k3 = hf(xi +h
2, yi +
k2
2)
k4 = hf(xi + h, yi + k3)
yi+1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6 for i = 0, 1, . . .
Tato metoda je jednokrokova, ctyrbodova radu 4. Existujı i jednokrokovetrıbodove metody radu 3, ale na dosazenı radu 5 je nutne, aby metoda bylaalespon sestibodova.
Pro ilustraci vyznamu radu metody najdeme aproximace resenı problemuz poslednıho prıkladu uzitım metod b) a c).
Prıklad 11.2. Najdete aproximace resenı ulohy
y′ = 2xy v (0, 1), y(0) = 1
modifikacı Eulerovy metody a klasickou Rungovou–Kuttovou metodou s krokemh = 0,5.
Resenı. Modifikace Eulerovy metody:
i xi yi k1 k2 ei
0 0 1 0 0,5 01 0,5 1,25 0,625 1,875 0,0340252 1 2,5 0,2183
Klasicka Rungova–Kuttova metoda:
i xi yi k1 k2 k3 k4 ei
0 0 1 0 0,25 0,281125 0,640625 01 0,5 1,283854 0,641927 1,203613 1,414245 2,6981 0,000171252 1 2,713145 0,005137
Nynı se seznamıme s jednım prıkladem vıcekrokove metody.
d) Obdelnıkova metoda: Z rovnice (43) plyne
y′(xi) = f(xi, y(xi)).
76
Nahradıme-li
y′(xi) vyrazemyi+1 − yi−1
2h.=
y(xi+1)− y(xi−1)
2ha
f(xi, y(xi)) vyrazem f(xi, yi),
vznikneyi+1 − yi−1
2h= f(xi, yi),
takze predpis obdelnıkove metody je
y0 = c
y1 =
yi+1 = yi−1 + 2hf(xi, yi) pro i = 1, 2, . . .
Jde zrejme o dvoukrokovou a jednobodovou metodu. Protoze predpis tetometody nenı pouzitelny pro vypocet y1, je y1 nutno vypocıtat nekterou jed-nokrokovou metodou. Ani vypocet y1 Eulerovou metodou radu 1 nenarusıskutecnost, ze obdelnıkova metoda je radu 2.
Prıklad 11.3. Aproximujte resenı ulohy
y′ = x− y − 3 v (0, 1), y(0) = 1
obdelnıkovou metodou s krokem h = 0,25. Presne resenı je funkce y(x) =5e−x + x− 4.
Resenı. Uzijeme-li Eulerovy metody pro vypocet y1, zıskame predpis
y0 = 1
y1 = y0 + 0,25(x0 − y0 − 3)
yi+1 = yi−1 + 0,5(xi − yi − 3) pro i = 1, 2, 3.
Numericke vysledky a odpovıdajıcı hodnoty presneho resenı jsou uvedeny vtabulce. Obr. 22 ukazuje, ze chyby majı tendenci oscilovat.
i xi yi y(xi)0 0 1 11 0,25 0 0,1440042 0,5 -0,375 -0,4673473 0,75 -1,0625 -0,8881674 1 -0,96875 -1,160603
77
-x
6y
y = y(x)q
q q
1
1
−1Obrazek 22
Predpisy pro vypocet aproximace yi+1 vsech vyse uvedenych metod zavisına jiz znamych velicinach yi−1, yi, xi, f, h, takze yi+1 lze zıskat jednoduchymdosazenım. Takove metody se nazyvajı explicitnı. Naopak metoda se nazyvaimplicitnı, kdyz predpis zavisı i na hledane hodnote yi+1.
e) Implicitnı (zpetna) Eulerova metoda vyuzıva diskretizace rovnice(43) ve tvaru
yi+1 − yi
h= f(xi+1, yi+1).
-x
6y
y = y(x)
a axi xi+1
yiyi+1
Obrazek 23
Viz ilustraci geometrickeho vyznamu na Obr. 23. Vysledny predpis je tedy
y0 = c, yi+1 = yi + hf(xi+1, yi+1) pro i = 0, 1, . . .
Prıklad 11.4. Aproximujte resenı ulohy
y′ = 2xy v (0, 1), y(0) = 1
implicitnı Eulerovou metodou s krokem h = 0,25.
Resenı. Predpis implicitnı Eulerovy metody ma tvar
y0 = 1, yi+1 = yi + 0,5xi+1yi+1, i = 0, 1, 2, 3.
78
V tomto prıpade lze upravou zıskat explicitnı formuli pro neznamou yi+1
y0 = 1, yi+1 =yi
1− 0,5xi+1
, i = 0, 1, 2, 3.
Vypoctene aproximace jsou uvedeny v tabulce.
i 0 1 2 3 4xi 0 0,25 0,5 0,75 1yi 1 1,14286 1,52381 2,43810 4,87619y(xi) 1 1,0645 1,2840 1,7550 2,7183
Kombinacı predpisu Eulerovy metody a implicitnı Eulerovy metody lzezıskat predpisy tzv. α–metod, pro α ∈ 〈0, 1〉:
yi+1 = yi + h[αf(xi, yi) + (1− α)f(xi+1, yi+1)] pro i = 0, 1, . . .
Je zrejme, ze pro α = 1 zıskame Eulerovu metodu a pro α = 0 vznikneimplicitnı Eulerova metoda.
f) Lichobeznıkova (Crank–Nicolsonova) metoda
y0 = c
yi+1 = yi +h
2[f(xi, yi) + f(xi+1, yi+1)] pro i = 0, 1, . . .
je 0, 5–metoda. Je to jedina α–metoda, ktera je radu 2.
Prıklad 11.5. Aproximujte ulohu
y′ = 2xy v (0, 1), y(0) = 1
lichobeznıkovym pravidlem s krokem h = 0,25.
Resenı. Prıslusny predpis ma tvar
y0 = 1, yi+1 = yi + 0,25(xiyi + xi+1yi+1)
a po zjednodusenı
y0 = 1, yi+1 = yi1 + xi/4
1− xi+1/4.
Vysledne aproximace jsou uvedeny v tabulce.
i 0 1 2 3 4xi 0 0,25 0,5 0,75 1yi 1 1,0667 1,2952 1,7934 2,8396
y(xi) 1 1,0645 1,2840 1,7550 2,7183
79
Pri vyberu konkretnı numericke metody pro resenı dane pocatecnı ulohynenı dulezita jen jejı presnost (charakterizovana radem) a velikost kroku, alei jejı tzv. (absolutnı) stabilita. Priblizne resenı y0, y1, . . . Eulerovy ulohy
y′ = f(x, y) v (a,∞), y(a) = c (44)
se nazyva nestabilnı, kdyz kazda chyba vznikla pri vypoctu aproximace yi
vnası do aproximacı yi+1, yi+2, . . . chybu, jejız velikost postupne roste tak, zecely vypocet znehodnotı.
Stabilita dane metody se overuje aplikacı na tuto testovacı ulohu
y′ = λy v (0,∞), y(0) = 1. (45)
Vysvetlenı: Predpokladejme, ze jsme v prubehu resenı dane Eulerovyulohy y′ = f(x, y) spocıtali hodnotu y(x)+ e(x) jako aproximaci presne hod-noty y(x). Kazda numericka metoda (s jistou chybou, kterou zanedbavame)pozaduje, aby dana diferencialnı rovnice byla splnena pro hodnotu y(x)+e(x),tj. mısto presne rovnice
y′ = f(x, y)
resıme pribliznou rovnici
(y + e)′ = f(x, y + e).
Poslednı rovnici lze pomocı Vety o prırustku funkce zjednodusit:
y′ + e′ = f(x, y) + [f(x, y + e)− f(x, y)]
e′ =∂f
∂y(x, ξ) · e
Polozıme-li λ ≈ ∂f/∂y(x, ξ), obdrzıme rovnici ve tvaru (45). Predchozı uvahaposkytuje tuto interpretaci testovacı ulohy:
y(x) chyba aproximace
λ ≈ ∂f∂y
charakteristika dane ulohy
Je tedy prirozene nazyvat numerickou metodu absolutne stabilnı pro danouhodnotu h, kdyz
yi −→ 0 pro i −→∞.
Zde jsou aproximace yi vypocteny danou numerickou metodou pri resenıulohy (45) s krokem h takovym, ze
h = hλ.
80
Hodnoty h, pro nez je dana numericka metoda absolutne stabilnı, tvorı in-terval absolutnı stability. Intervaly absolutnı stability pro nektere z vyse uve-denych metod lze najıt v tabulce.
metoda rad interval absolutnı stabilityEulerova 1 (-2,0)klasicka Rungova–Kuttova 4 (-2,78,0)obdelnıkova 2 0implicitnı Eulerova 1 (−∞, 0) ∪ (2,∞)lichobeznıkova 2 (−∞, 0)
Tabulka ilustruje skutecnost, ze implicitnı metody (poslednı dve uvedene)majı interval absolutnı stability podstatne vetsı, nez metody ostatnı. Tatostabilita je prednostı implicitnıch metod. Nıze uvedene prıklady ilustrujıchovanı aproximacı, vypoctenych vne, uvnitr a na hranici intervalu absolutnıstability.
Prıklad 11.7. Aproximujte resenı Eulerovy ulohy
y′ = −10(y − 1) v (0, 1), y(0) = 2
Eulerovou, klasickou Rungovou–Kuttovou a lichobeznıkovou metodou s krokema) h = 0, 25 a b) h = 0, 2.
Resenı. Tento problem ma presne resenı y(x) = 1 + e−10x.a) h = 0, 25 :
i xi yEuli yRK
i ylichi y(xi)
0 0 2 2 2 21 0,25 -0,5 1,64844 0,88889 1,082082 0,5 3,25 1,42047 1,01235 1,000553 0,75 -2,375 1,27265 0,99863 1,000554 1 6,0625 1,17680 1,00015 1,00005
Obr. 24 poskytuje graficke porovnanı aproximacı s krokem h = 0,25 s presnymresenım y(x).
b) h = 0, 2 :i xi yEul
i yRKi ylich
i
0 0 2 2 21 0,2 0 1,33333 12 0,4 2 1,11111 13 0,6 0 1,03704 14 0,8 2 1,01235 15 1 0 1,00412 1
81
Obrazek 24: Presne resenı Pr. 11.7 a jeho aproximace s krokem h = 0, 25.
Obr. 25 poskytuje graficke srovnanı aproximacı s krokem h = 0,2 s presnymresenım. Hodnota λ = −2 je na hranici intervalu absolutnı stability Eulerovymetody.
Cvicenı.
1. Rozhodnete, zda pocatecnı uloha
a) y′ = x2 cos x− yex v (0, 1), y(0) = 4
b) y′ = −y√
x v (0, 1), y(0) = 1
ma jedine resenı.a) Funkce f(x, y) = x2 cos x − yex splnuje Lipschitzovu podmınku sparametrem L = e: Pro vsechna x ∈ (0, 1) a y, z ∈ < platı |f(x, y) −f(x, y)| = |ex||y − z| ≤ e|y − z|. b) Skutecnost, ze funkce f(x, y) =−y√
x splnuje Lipschitzovu podmınku s L = 1 lze overit analogicky.
2. Overte, ze funkce y = e−2x√
x/3 je presnym resenım problemu b) zecv. 1. Aproximujte toto resenı Eulerovou metodou s kroky h1 = 0,5,h2 = 0,25 a
82
Obrazek 25: Presne resenı Pr. 11.7 a jeho aproximace s krokem h = 0, 2.
a) Porovnanım chyb aproximacı Eulerovou metodou s kroky h1 a h2
v uzlech 0,5 a 1 ilustrujte rad 1 Eulerovy metody.
b) Vyse uvedene aproximace v uzlech 0, 5 a 1 zpresnete extrapolacı.
a) chyby v uzlu 0, 5 jsou -0,20998 a -0,08498 a chyby v uzlu 1 jsou-0,13303 a -0,05095. b) Zpresnenı extrapolacı v uzlu 0, 5 je 0, 75 (presneresenı je 0,79002) a v uzlu 1 je to 0,48229 (presna hodnota je 0, 51342).
3. Aproximujte resenı problemu
y′ = y√
x + 0.5, x ∈ (0, 1), y(0) = 1
Heunovou metodou s kroky 0,25 a 0,5. Tyto aproximace zpresnete ex-
trapolacı v uzlech 0,5 a 1. Overte, ze y(x) = e3(√
(x+0,5)3−√
0,125 je presneresenı problemu a vypoctete chyby vsech vypoctenych aproximacı vbodech 0, 5 a 1.Chyby s kroky 0,5, 0,25 a po extrapolaci v bodu 0,5 jsou 0,023575737,0,006475539, 0,000775473 a v bode 1 jsou 0,098818862, 0,028770275,0,005420746.
83
4. Aproximujte resenı pocatecnı ulohy ze cv. 3 klasickou metodou Runge–Kutta s krokem 0, 5 a vypoctete chyby teto aproximace.[Aproximace v bodu 0, 5 je 1,538501782 a v bode 1 je 2,687379142.Prıslusne chyby jsou 0,000239 a 0,00128.]
5. Aproximujte resenı pocatecnı ulohy
y′ = x2 − y v (0, 1), y(0) = 1
obdelnıkovou metodou s krokem h = 1/4 a y(1/4) aproximujte Eu-lerovou metodou. Ukazte, ze presne resenı teto ulohy je y(x) = x2 −2x + 2− e−x a ze znamenka chyb aproximacı alternujı.[Chyby obdelnıkove metody v uzlech 0,25, 0,5, 0,75, 1 jsou 0,033699,-0,012781, 0,043258, -0,031942.
6. Aproximujte resenı ulohy ze Cv. 1 b) implicitnı Eulerovou metodou skroky h1 = 0, 5, h2 = 0, 25 a porovnejte chyby vypoctenych aproximacıv uzlech 0, 5 a 1.Chyba aproximace s krokem 0,5 prıpadne 0,25 v uzlu 0,5 je 0,051220prıpadne 0,034657 a v uzlu 1 je tato chyba 0,020886 prıpadne 0,016677.
7. Aproximujte resenı problemu b) ze cv. 1 Crank–Nicolsonovou metodous kroky h1 = 0,5, h2 = 0,25 a odhadnete rad chyby teto metodyporovnanım chyb techto aproximacı v uzlech 0,5 a 1.Chyba aproximace s krokem 0,5 prıpadne 0,25 v uzlu 0,5 je -0,059763prıpadne -0,020681 a v uzlu 1 je -0,046229 prıpadne -0,015172.
8. Najdete nejmensı hodnotu h0 kroku diskretizace h, pro niz Eulerovametoda poskytne stabilnı aproximaci pocatecnı ulohy
y′ = −4(2 + x)y v (0, 1), y(0) = 1.
Potom
a) overte, ze y(x) = e−8x−2x2je presne resenı ulohy,
b) najdete aproximaci resenı s krokem h0 Eulerovou metodou,
c) najdete aproximaci resenı s krokem h = 1/3 Eulerovou metodoua
d) rozhodnete, ktera z aproximacı z b), c) je stabilnı.
h0 = 1/6, b): Aproximace hodnot y(1/3), y(2/3), y(1) jsou -1,66667,3,51852, -8,99177, c): Aproximace hodnot y(1/6), y(1/3), y(1/2), y(2/3),y(5/6), y(1) jsou -0,33333, 0,14815, -0,082305, 0,054870,-0,042676, 0,037935. d): Aproximace resenı s krokem 1/3 je nestabilnıa aproximace s krokem 1/6 je stabilnı.
84
9. Teleso padajıcı k Zemi se vzhledem ke gravitacnımu zrychlenı pohybujev souladu s rovnicı
dy
dt= −
√√√√2gR2
√H − y
H
kde y je vzdalenost od stredu Zeme, g = 9,81 je gravitacnı zrychlenı,R = 6370000 je polomer Zeme a H je pocatecnı vzdalenost telesa odstredu Zeme. Oznacte H = 59,25P vzdalenost mesıce od stredu Zemea vhodnou numerickou metodou aproximujte casovy okamzik, v nemzy = P . Toto je zrejme doba, za niz mesıc spadne na povrch Zeme odokamziku, v nemz se mesıc nahle prestane pohybovat po sve draze okoloZeme.Mesıc spadne na Zemi po 5,5556 hodinach.
12 Aproximace resenı okrajovych uloh
pro ODR 2. radu metodou sıtı
12.1 Klasicka formulace ulohy
Pro danou konstantu a2 > 0 a funkce p, q, f ∈ C〈0, l〉, q ≥ 0, najdete funkciy ∈ C2〈0, l〉 tak, aby byla splnena diferencialnı rovnice
−a2y′′ + py′ + qy = f pro x ∈ (0, l) (46)
a okrajove podmınky
Dirichletovy : y(0) = α0, y(l) = αl nebo
Neumannovy : a2y′(0) = β0, −a2y′(l) = βl nebo
Newtonovy : a2y′(0) = γ0y(0) + β0, −a2y′(l) = γly(l) + βl,
kde γ0 > 0, γl > 0. Typy okrajovych podmınek lze v hranicnıch bodech 0 al libovolne kombinovat.
12.2 Fyzikalnı vyznam
Z mnoha ruznych fyzikalnıch vyznamu teto ulohy popıseme jejı vyznam jakomodelu pro vypocet teploty [koncentrace necistot] v proudıcı kapaline nebo
85
plynu. Pak je vyznamem funkce
y(x) teplota [koncentrace prımesi]a2 koeficient tepelne vodivosti [koeficient difuze]
p(x) rychlost tokuf(x) intenzita zdroju tepla [prımesi]q(x) koeficient absorpce
Vyraz −a2y′(x) ma vyznam intenzity toku tepla [prımesi] v kladnem smeruosy x. Pak Neumannova okrajova podmınka urcuje intenzitu toku pres hraniciven z intervalu (0, l) a Newtonova okrajova podmınka je podmınkou prestuputepla [prımesi]. Nıze uvedeny prıklad Newtonovy podmınky pro x = l zna-mena, ze (v prıpade teploty) je intenzita toku tepla umerna rozdılu meziteplotou y(l) intervalu v hranicnım bodu l a teplotou exterieru yext, vynasobe-nem koeficientem prestupu tepla γl > 0 v blızkosti hranicnıho bodu l:
−a2y′(l) = γl(y(l)− yext).
12.3 Existence presneho resenı
Nıze uvedene tvrzenı rıka, ze za prirozenych predpokladu ma uloha (46)jedine resenı, jakmile je hodnota hledane funkce y(x) zadana v tom hranicnımbodu, pres ktery kapalina prıpadne plyn vteka do intervalu (0, l).
Predpokladejme, ze funkce p(x) nemenı znamenko v intervalu 〈0, l〉. Je-li
Dirichletova podmınka dana v bodu
0 pro p ≥ 0,l pro p ≤ 0,
pak ma uloha (46)
jedine resenı.
12.4 Standardnı metoda sıtı
Za ucelem diskretizace ulohy (46) uvazme ekvidistantnı uzly 0 = x0 < x1 <. . . < xn = l s krokem h = l/n a oznacme yi tu aproximaci presne hodnotyy(xi), kterou nakonec vypocıtame pro i = 0, 1, . . . , n.
V prıpade vnitrnıch uzlu, tj. pro i = 1, 2, . . . , n− 1, (46) poskytne rovnici
−a2y′′(xi) + piy′(xi) + qiy(xi) = fi.
(Zde je ϕi = ϕ(xi).) Nahradıme-li
y(xi) aproximacı yi,y′(xi) diferencı (yi+1 − yi−1)/(2h),y′′(xi) diferencı (yi−1 − 2yi + yi+1)/(h
2),
86
zıskame tuto soustavu n− 1 linearnıch rovnic
−a2yi−1 − 2yi + yi+1
h2+ pi
yi+1 − yi−1
2h+ qiyi = fi,
ekvivalentnıch s
−(a2 +
hpi
2
)yi−1 + (2a2 + h2qi)yi −
(a2 − hpi
2
)yi+1 = h2fi (47)
pro n+1 neznamych y0, y1, . . . , yn. Vzhledem ke kapitole 10 jsou chyby vzniklepri teto diskretizaci umerne h2.
Zbyvajıcı dve rovnice zıskame diskretizacı okrajovych podmınek.
a) Dirichletovy okrajove podmınky:
y(0) = α0 =⇒ y0 = α0 y(l) = αl =⇒ yn = αl
b) Neumannovy okrajove podmınky:
a2y′(0) = β0 =⇒ a2y1 − y0
h= β0 − a2y′(l) = βl =⇒ −a2yn − yn−1
h= βl
Podle kapitoly 10 jsou chyby techto aproximacı umerne h, tedy mnohemvetsı, nez chyby vznikle diskretizacı zbyvajıcıch n−1 rovnic. Z tohoto duvoducasto zavadıme fiktivnı ”priblizne hodnoty” y−1, yn+1 neexistujıcıch hodnoty(−h), y(l + h). Pak okrajovou podmınku a2y′(0) = β0 a rovnici (46) prox = 0 aproximujeme uzitım (47) rovnicemi
a2(y1 − y−1)/(2h) = β0,
− (a2 + hp0/2) y−1 + (2a2 + h2q0)y0 − (a2 − hp0/2) y1 = h2f0.
Eliminacı y−1 z techto dvou rovnic zıskame jednu rovnici, ktera je diskretizacıokrajove podmınky a2y′(0) = β0 s chybou umernou h2.
Diskretizace Neumannovy podmınky −a2y′(l) = βl a Newtonovy okra-jove podmınky lze najıt analogicky. Matici vysledneho systemu linearnıchrovnic, z nejz vyeliminujeme ty z promennych y0 a yn, jejichz hodnota jedana Dirichletovou podmınkou, nazyvame matice diskretizace.
Prıklad 12.1. Aproximujte resenı ulohy
-0,2y′′ + y′ = 1 v (0, 1), y(0) = 1, −0,2y′(1) = y(1)− 0,5
s krokem h = 0,2.
87
Resenı. Na zaklade fyzikalnıho vyznamu koeficientu a2 = 0,2, p = 1,q = 0, f = 1 a podmınky −0,2y′(1) = y(1)− 0,5 lze najıt hrubou predstavuo resenı. Viz Obr. 26.
-x
6yy = y(x)
p p p p p p p p p p p p p p p p p p
d y = yext
1
1
Obrazek 26
Pro h = 0,2, tj. n = 5 a xi = 0,2i, i = 0, 1, . . . , 5 lze najıt tuto soustavurovnic:
i = 0 =⇒ y0 = 1
i = 1, . . . , 4 =⇒ −0, 2yi−1 − 2yi + yi+1
0,04+
yi+1 − yi−1
0, 4= 1
⇐⇒ −0, 3yi−1 + 0,4yi − 0, 1yi+1 = 0,04
i = 5 =⇒ y5 + 0,2y6 − y4
0,4= 0,5 a − 0,3y4 + 0,4y5 − 0,1y6 = 0,04
=⇒ −0,4y4 + 0,6y5 = 0,14
Maticovy zapis vysledneho systemu rovnic je0,4 -0,1 0,34
-0,3 0,4 -0,1 0,04-0,3 0,4 -0,1 0,04
-0,3 0,4 -0,1 0,04-0,4 0,6 0,14
V tabulce je resenı tohoto systemu rovnic porovnano s hodnotami presnehoresenı y(x).
i 1 2 3 4 5yi 1,1950 1,3760 1,5219 1,5597 1,2731
y(xi) 1,1901 1,3633 1,4903 1,4920 1,1529
Zrejme maxi≤i≤5 |y(xi)− yi| = 0,1202.
Polozıme-li h = 0, 1, pak n = 10, xi = 0,1i a oznacıme-li yi vypoctenoupribliznou hodnotu y(xi) pro i = 0, 1, . . . , 10, zıskame maxi≤i≤10 |y(xi)−yi| =0,0271. Tyto vysledky naznacujı, ze standardnı metoda sıtı je radu 2.
88
Prıklad 12.2. Aproximujte resenı ulohy
−y′′ + 15y′ = 1 v (0, 1), y(0) = 1, y(1) = 0
s krokem h = 0,2.
Resenı. Pak n = 5, xi = 0,2i, y0 = 1, y5 = 0 a diskretizace rovnic majıtvar
−2,5yi−1 + 2yi + 0,5yi+1 = 0,04.
pro i = 1, . . . , 4. Po dosazenı y0 = 1 a y5 = 0 zıskame tento maticovy zapisvysledneho systemu rovnic:
2 0,5 2,54-2,5 2 0,5 0,04
-2,5 2 0,5 0,04-2,5 2 0,04
Vysledky jeho resenı spolecne s odpovıdajıcımi presnymi hodnotami jsouuvedeny v tabulce.
i 1 2 3 4yi 1,0113 1,0349 0,9970 1,2662
y(xi) 1,0133 1,0267 1,0374 1,0002
Porovnanı s hodnotami presneho resenı z predchozı tabulky ukazuje, zepriblizne resenı je znehodnoceno oscilacemi. Viz tez Obr. 27.
-x
6y1
Obrazek 271
Pri studiu stability diskretizacı hraje dulezitou roli tento pojem: Ctvercovamatice A se nazyva monotonnı, jakmile A je regularnı a A−1 ≥ 0 (vsechnyprvky matice A−1 jsou nezaporne). Obecna jednoducha charakterizace monotonnıchmatic nenı znama, ale je znamo, ze matice diskretizace A okrajove ulohy,splnujıcı podmınky z odstavce 12.3 je monotonnı prave tehdy, kdyz
i 6= j =⇒ aij ≤ 0. (48)
89
Kriterium (48) rıka, ze matice diskretizace z Pr. 12.1 je monotonnı. Proi = 2, 3, 4 platı
yi =1
0,4(0,3yi−1 + 0,1yi+1 + 0,04),
takze hodnota yi je v podstate vazenym prumerem hodnot yi−1, yi+1 s kladnymikoeficienty. Z tohoto duvodu je vysledna aproximace stabilnı.
Z podmınky (48) a z vyjadrenı (47) prvku matice diskretizace plyne, zematice diskretizace ulohy (46) je monotonnı prave kdyz
a2 +hpi
2≥ 0 a a2 − hpi
2≥ 0 ⇐⇒ a2 ≥
∣∣∣∣∣hpi
2
∣∣∣∣∣pro i = 1, 2, . . . , n− 1.
Elementarnı standardne pouzıvane stabilizace metody sıtı jsou
a) Umela difuze: Existuje-li index i tak, ze a2 < |hpi/2|, pak nahradımekoeficient a2 nejmensı hodnotou a2 s vlastnostı a2 ≥ maxi |hpi/2|.
b) Upwind: Namısto aproximace derivace y′(xi) centralnı diferencı
(yi+1 − yi−1)/2 pouzijeme diferenci
(yi − yi−1)/h v prıpade p > 0(yi+1 − yi)/h v prıpade p < 0
.
-x
6y1
Obrazek 281
Na Obr. 28 je znazornena aproximace presneho resenı (tucny graf) umeloudifuzı (viz graf se sirokou hranicnı vrstvou blızko x = 1) a upwindem (vizgraf s uzkou hranicnı vrstvou v okolı x = 1). Ackoliv jsou modifikace a),b) stabilnı, jejich chyba je umerna kroku h, coz je mnohem horsı, nez h2 vprıpade standardnı metody sıtı.
Cvicenı
1. Formulujte okrajovou ulohu pro neznamou teplotu kapaliny, ktera prote-ka intervalem delky 1 konstantnı rychlostı 1 a do intervalu vteka s teplo-tou 20. Hodnota tepelne vodivosti je 0,1, absorpce je zanedbatelna a
90
intenzita zdroju tepla roste linearne z hodnoty 1 na vstupu do hodnoty4 na vystupu. Intenzita toku tepla z intervalu pres vystupnı bod jeumerna rozdılu mezi teplotou kapaliny a teplotou exterieru yext = 5.Hodnota koeficientu prestupu tepla je α = 0,5.Jde o okrajovou ulohu −0,1y′′ + y′ = 1 + 3x v (0, 1), y(0) = 20,−0,1y′(1) = 0,5(y(1)− 5).
2. Na zaklade fyzikalnıho vyznamu koeficientu nakreslete schematickygraf resenı okrajove ulohy
−0,01y′′ + 5y′ = 1 v (0, 2), y(0) = 10, y(1) = 0.
3. Overte, ze okrajova uloha
−0,25y′′ + y′ = 1 v (0, 1), y(0) = 1, −0,25y′(1) = 0,5y(1)
ma presne resenı y(x) = 1 + x + 0,015356789(1 − e4x) a aproximujtetoto resenı standardnı metodou sıtı s kroky h1 = 0,25 a h2 = 0,125.Uzijte aproximace okrajove podmınky v bode 1 radu h2 a porovnejtechyby vypoctenych aproximacı v uzlech 0,25, 0,5, 0,75, 1. Jaky odhadradu chyby lze z tohoto porovnanı zıskat?Vektor aproximacı hodnot y(x) s krokem h1 je[1; 1,2331; 1,4324; 1,5304; 1,3243] a s krokem h2 je[1; 1,1160; 1,2260; 1,3261; 1,4095; 1,4652; 1,4747; 1,4072; 1,2113].
4. Najdete nejmensı hodnotu h0 kroku diskretizace, pro kterou je aproxi-mace resenı okrajove ulohy
−0,1y′′ + y′ = 1 + 3x v (0, 1), y(0) = 20, −0,1y′(1) = 0,5(y(1)− 5)
standardnı metodou sıtı stabilnı. Vypoctete aproximace resenı tetoulohy s kroky 0,25 and h0.h0 = 1/6, vektor aproximacı s krokem 0,25 je[20; 20,4076; 21,1140; 21,0064; 30,1002] a s krokem h = 1/6 je to[20; 20,2583; 20,5998; 21,0231; 21,5129; 21,9002; 20,3270]. Okrajova pod-mınka v bode 1 byla aproximovana s chybou radu h2.
5. Pro okrajovou ulohu
−0,001y′′ − (1 + x2)y′ = 0,5, v (0, 1), y(0) = 0, y(1) = 1
nakreslete schematicky graf presneho resenı. Potom najdete nejvetsıhodnotu kroku h, pro niz je aproximace standardnı metodou sıtı stabilnıa vypoctete aproximaci resenı s krokem h = 0,2
91
a) metodou umele difuze a
b) upwindem.
Nejvetsı hodnota h zarucujıcı stabilitu je 0,00129. Vektor aproximacıhodnot metodou a) je [0; 0,9058; 1,1261; 1,12135; 1,0609; 1] a vektorzıskany metodou b) je [0; 0,096107; 0,18226; 0,25575; 0,31861; 1]
13 Numericka integrace
Integrace je zakladnı prostredek, jak zıskavat kvantitativnı charakteristikynejruznejsıch technickych, prırodnıch a jinych procesu. Urcite integraly sepocıtajı priblizne zejmena v prıpadech, kdy je nelze pocıtat presne nebovypocet je prılis slozity nebo vypocet je soucastı obecne procedury, v nızje nutne pouzitı stejne metody pro funkce z co nejsirsı trıdy. V teto kapi-tole pouzijeme interpolacnı polynomy pro odvozenı jednoduchych formulıvyjadrujıcıch priblizne hodnotu urciteho integralu
I = I(f) ≡b∫
a
f(x) dx (49)
pro danou funkci f na danem intervalu 〈a, b〉, a uvedeme zakladnı informaceo radove optimalne presne Gaussove kvadrature, o jednoduche technice proaproximaci integralu s predem danou presnostı a o numericke integraci funkcıdvou promennych. Budeme predpokladat, ze funkce f ma spojite vsechnyderivace, ktere se v nasich uvahach objevı.
13.1 Obdelnıkove, lichobeznıkove aSimpsonovo pravidlo
Symbolem s budeme znacit stred intervalu 〈a, b〉, tj. s = (a+b)/2. Nahradıme-li funkci f(x) v (49)
a) interpolacnım polynomem P0(x) = f(s) funkce f v uzlu s, zıskamejednoduche obdelnıkove pravidlo
I(f) = (b− a)f(s) + eO(f),
kde
eO(f) =1
24f ′′(ξ)(b− a)3
pro vhodny bod ξ ∈ (a, b).
92
b) Newtonovym interpolacnım polynomem P1(x) = f(a) + f(a, b)(x− a)funkce f v uzlech a, b, vznikne jednoduche lichobeznıkove pravidlo
I(f) =b− a
2[f(a) + f(b)] + eL(f),
kde
eL(f) = − 1
12f ′′(ξ)(b− a)3
pro vhodny bod ξ ∈ (a, b).
c) Newtonovym interpolacnım polynomem P2(x) = f(a) + f(a, s)(x −a) + f(a, s, b)(x − a)(x − s) funkce f v uzlech a, s, b, obdrzıme jednoducheSimpsonovo pravidlo
I(f) =b− a
6[f(a) + 4f(s) + f(b)] + eS(f),
kde
eS(f) = − 1
24f (4)(ξ)
(b− a
2
)5
pro vhodny bod ξ ∈ (a, b).
Dukaz.
a) Podle Taylorovy vety existuje bod ξ ∈ (a, b) takovy, ze
f(x) = f(s) + f ′(s)(x− s) +1
2f ′′(ξ)(x− s)2.
Zpusob odvozenı chyby aproximace eO(f) naznacıme touto zjednodusenouuvahou:
I =
b∫a
f(x)dx =
b∫a
[f(s) + f ′(s)(x− s) +
1
2f ′′(ξ)(x− s)2
]dx
= f(s)(b− a) + f ′(s)
[(x− s)2
2
]b
a
+1
2f ′′(ξ)
[(x− s)3
3
]b
a
= f(s)(b− a) +1
2f ′′(ξ)
[(b− s)3
3− (a− s)3
3
]
= f(s)(b− a) +1
24f ′′(ξ)(b− a)3.
b) Jednoduche lichobeznıkove pravidlo a jeho chybu lze odvodit z Vety3, odst. 9.1.1, podle nız existuje ξ ∈ (a, b) tak, ze
f(x) = f(a) + f(a, b)(x− a) +1
2f ′′(ξ)(x− a)(x− b).
93
c) Jednoduche Simpsonovo pravidlo a jeho chybu lze odvodit z Vety 3,ktera rıka, ze existuje ξ ∈ (a, b) s vlastnostı
f(x) = f(a)+f(a, s)(x−a)+f(a, s, b)(x−a)(x−s)+1
6f ′′′(ξ)(x−a)(x−s)(x−b).
Pro kladnou funkci f je integral I(f) obsahem krivocareho lichobeznıka,ohraniceneho zdola osou x, zleva a zprava prımkami x = a a x = b a shoragrafem funkce f . Na Obr. 29 je tato plocha aproximovana hodnotami formulıa) – c), ktere jsou obsahy vysrafovanych krivocarych lichobeznıku.
Obrazek 29: Geometricky vyznam jednoduchych kvadraturnıch formulı.
Z tvaru chyb eO, eL a eS je zrejme, ze pravidla a) – c) aproximujı hodnotuI(f) s malou chybou jen tehdy, kdyz je delka intervalu 〈a, b〉 mala. Je-li delkaintervalu 〈a, b〉 vetsı, rozdelı se ekvidistantnımi uzly a = x0 < x1 < . . . <xn = b na podintervaly o male delce h = (b− a)/n. Protoze
I(f) =n∑
i=1
xi∫xi−1
f(x)dx, (50)
lze vsechny integraly∫ xixi−1
f(x)dx aproximovat nekterym z jednoduchychpravidel a), b), c). Vzniknou tato slozena pravidla d), e), f):
d) Aproximujeme-li kazdy z integralu (50) jednoduchym obdelnıkovympravidlem a), vznikne slozene obdelnıkove pravidlo
I =n∑
i=1
hf
(xi−1 +
h
2
)+ EO(f)
= h
[f
(x0 +
h
2
)+ f
(x1 +
h
2
)+ . . . + f
(xn−1 +
h
2
)]+ EO(f),
kde
EO(f) =1
24h3 [f ′′(ξ1) + f ′′(ξ2) + . . . + f ′′(ξn)] =
1
24(b− a)h2f ′′(ξ)
94
pro vhodny bod ξ ∈ (a, b).
e) Aproximujeme-li integraly (50) jednoduchym lichobeznıkovym pravi-dlem b), vznikne slozene lichobeznıkove pravidlo
I =n∑
i=1
h
2(f(xi−1) + f(xi)) + EL(f)
=h
2[f(x0) + 2f(x1) + . . . + 2f(xn−1) + f(xn)] + EL(f),
kde
EL(f) = − 1
12(b− a)h2f ′′(ξ) pro vhodny bod ξ ∈ (a, b).
f) Je-li n = 2k sude a aproximujeme-li integraly funkce f(x) od x2i−2 dox2i pro i = 1, . . . , k jednoduchym Simpsonovym pravidlem, obdrzıme slozeneSimpsonovo pravidlo
I =k∑
i=1
2h
6(f(x2i−2) + 4f(x2i−1) + f(x2i)) + ES(f)
=h
3[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + . . . + f(xn)] + ES(f),
kde
ES(f) = − 1
180(b− a)h4f (4)(ξ) pro vhodny bod ξ ∈ (a, b).
Vyse uvedene chyby aproximace integralu I(f) rıkajı, ze jednoducha [slo-zena] pravidla obdelnıkove a lichobeznıkove jsou radu 3 [radu 2] a jednoduche[slozene] Simpsonovo pravidlo je radu 5 [radu 4].
13.2 Gaussova kvadratura
Algebraicky rad pravidla pro aproximaci integralu I(f) je nejvetsı cele cıslo n,pro nez pravidlo pocıta integral I(P ) presne pro vsechny polynomy P ∈ P(n).
Prıklad 13.1. Chyby EO a EL jsou zrejme rovny nule prave pro vsechnypolynomy z P(1), takze algebraicky rad slozeneho obdelnıkoveho a lichobeznı-koveho pravidla je roven 1. Analogicky je algebraicky rad slozeneho Simp-sonova pravidla roven 3.
Vyse uvedena pravidla vyjadrujı aproximaci integralu I(f) jako linearnıkombinaci hodnot funkce f s vhodne zvolenymi koeficienty v danych ek-vidistantnıch uzlech. Gaussovy kvadraturnı formule aproximujı hodnotu I(f)linearnı kombinacı
c1f(x1) + . . . + cnf(xn)
95
s vhodne zvolenymi koeficienty c1, . . . , cn a take vhodne zvolenymi uzlyx1, . . . , xn tak, aby algebraicky rad pravidla byl co nejvetsı.
Pro kazde prirozene cıslo n existuje Gaussova kvadraturnı formule alge-braickeho radu 2n− 1. Gaussovy kvadraturnı formule jsou optimalnı v tomtosmyslu: Neexistuje integracnı formule, ktera vyuzıva hodnot funkce f v nuzlech a ma algebraicky rad vetsı, nez 2n− 1.
Gaussova formule pro n = 1 je prave obdelnıkove pravidlo. Pro n = 2 maGaussova formule tvar
I(f) =b− a
2
[f
(s−
√3
6(b− a)
)+ f
(s +
√3
6(b− a)
)]+
(b− a)5
4320f (4)(ξ)
pro vhodny bod ξ ∈ (a, b) a pro n = 3 je Gaussova formule
I(f) =(b− a)
18
5fs−
√3
20(b− a)
+ 8f(s) + 5f
s +
√3
20(b− a)
+
(b− a)7
2016000f (6)(ξ).
Zde je ξ vhodny bod z otevreneho intervalu (a, b). Gaussovy formule provsechna n ≤ 7 jsou uvedeny v [2], str. 202 a pro n ≤ 8 v [1], str. 98.
Prıklad 13.2. Napetı
σ =FN + M/2
2+
12Mx
Z(12 + x)
sikmeho nosnıku z Obr. 30 zavisı na parametru
Z =
1∫−1
f(x) dx pro f(x) =12x2
12 + x.
pppppppppppp
pppppppppppp
pppppp
pppppppppppp
pppppppppppp
pppppp6)
PPPq
1 m
2 mFN
M12 m
,
BBB
Obrazek 30
96
Tento integral lze snadno vypocıtat presne:
Z = 1728
[x2
288− x
12+ ln |12 + x|
]1
−1
= 1728(ln
13
11− 1
6
).
Budeme-li zaokrouhlovat na 4 desetinna mısta, zıskame hodnotu
Z = 1728(0,1670− 0,1667) = 0,5184.
Pritom presna hodnota je Z = 0,6695. Tedy ”presny” vypocet poskytnehodnotu, jejız relativnı chyba je 22,5%. Vypoctenou hodnotu integralu Zporovnejte s aproximacemi jednoduchym obdelnıkovym, lichobeznıkovym aSimpsonovym pravidlem a jejich slozenymi variantami uzitım n = 4 podin-tervalu a dvoubodovou Gaussovou kvadraturou.
Resenı. Nıze uvedene vysledky jsou zaokrouhleny na 4 desetinna mısta.
Z.= 0 eO(f) = 0,6695
Z.= 12/11 + 12/13 = 2,0140 eL(f) = −1,3445
Z.= 2/6(12/11 + 4 · 0 + 12/13) = 0,6713 eS(f) = −0,0018
Z.= 0,6272 EO(f) = 0,0423
Z.= 0,7540 EL(f) = −0,0845
Z.= 0,6696 ES(f) = 0,0001
Z.= 0,6682 EG(f) = 0,0013
Prıklad ukazuje, ze aproximace jednoduchym Simpsonovym pravidlem, vsemislozenymi pravidly i dvobodovou Gaussovou kvadraturou jsou podstatnelepsı, nez hodnota zıskana ”presnym” vypoctem.
Prıklad 13.3. Najdete krok h, pro ktery je chyba aproximace integraluZ z Pr. 13.2 slozenym lichobeznıkovym pravidlem mensı, nez 0, 5 · 10−6.
Resenı. Hledame krok h tak, aby (b − a)h2 |f ′′(ξ)| /12 < 0,5 · 10−6 provsechna ξ ∈ (−1, 1). Lze snadno overit, ze |f ′′(ξ)| < 2,597 pro ξ ∈ (−1, 1),takze pozadovana nerovnost je splnena pro h ≤ 1,074 · 10−3. To znamena,ze slozene lichobeznıkove pravidlo aproximuje integral Z s chybou mensı nez0,5·10−6, je-li interval 〈−1, 1〉 rozdelen alespon na 1864 stejnych podintervalu.
Technika, pouzita v predchozım prıkladu poskytuje aproximace urcitehointegralu s chybou, mensı nez predem dana mala kladna mez. Tento prıstupvsak neumoznuje konstruovat efektivnı algoritmy pro hledanı aproximacı stouto vlastnostı. S jednoduchym algoritmem pro konstrukci aproximacı in-tegralu I(f) s chybou mensı, nez predem dane male kladne cıslo se seznamımev nasledujıcım odstavci.
97
13.3 Rombergova metoda
Porovnanı chyb eO(f), eL(f) a EO(f), EL(f) i jejich konkretnıch hodnot z Pr.13.2 ukazuje, ze chyba obdelnıkovych pravidel je zhruba dvakrat mensı, nezchyba lichobeznıkovych pravidel. Pritom lichobeznıkova pravidla vyuzıvajıaproximace polynomy z P(1), zatımco obdelnıkova pravidla vyuzıvajı jenpolynomu z P(0). Z tohoto hlediska je lichobeznıkove pravidlo mene vyhodne,nez pravidlo obdelnıkove. Vyhodou lichobeznıkoveho pravidla je to, ze vyuzıvahodnot integrovane funkce v danych uzlech a s tım souvisejıcı moznost opako-vaneho, velmi efektivnıho zpresnovanı extrapolacı.
Aproximaci I(f) slozenym lichobeznıkovym pravidlem s krokem h oznacı-me L(h). Podobne jako v predchozıch pouzitıch budeme extrapolacı zpresnovataproximace L(h) a L(h/2) pro ruzne hodnoty kroku h. Ukazeme nejprve, zeobe aproximace L(h) i L(h/2) lze vypocıtat tak, ze hodnota funkce f budev kazdem z ekvidistantnıch uzlu a = x0 < x1 < . . . < x2n = b s krokem h/2pocıtana prave jednou:
L(h/2) =h
4[f(x0) + 2f(x1) + . . . + 2f(x2n−1) + f(x2n)]
=h
4[f(x0) + 2f(x2) + . . . + 2f(x2n−2) + f(x2n)]
+h
2[f(x1) + f(x3) + . . . + f(x2n−1)] , takze
L(h/2) =1
2[L(h) + h (f(x1) + f(x3) + . . . + f(x2n−1))] (51)
Mıru zpresnenı aproximace extrapolacı odvodıme uzitım tohoto zpresnene-ho popisu chyby aproximace L(h) integralu I(f): Existujı konstanty a1, a2, . . .tak, ze
I(f) = L(h) + a1h2 + a2h
4 + . . .
Aplikujeme-li tento vztah na krok h/2, obdrzıme
I(f) = L(h/2) + a1h2/4 + a2h
4/16 + . . .
Jestlize z techto identit extrapolacı vyloucıme podstatne casti chyb, tj. clenyumerne kroku h2, obdrzıme
I(f) =4L(h/2)− L(h)
3+ b1h
4 + b2h6 + . . .
pro vhodne koeficienty b1, b2,. . . Tedy vyraz
L1(h/2) =4L(h/2)− L(h)
3
98
je aproximacı integralu I(f) radu 4. Tento argument lze zopakovat: Z identit
I(f) = L1(h/2) + b1h4 + b2h
6 + . . .
I(f) = L1(h/4) + b1h4/16 + b2h
6/64 + . . .
lze eliminacı clenu umernych h4 odvodit aproximaci
L2(h/4) =16L1(h/4)− L1(h/2)
15,
ktera je aproximacı I(f) radu 6 a proces muze pokracovat dale. Obecnaformule pro vypocet aproximacı Lj(h/2k) integralu I(f) radu 2j +2 ma tvar
Lj(h/2k) =4jLj−1(h/2k)− Lj−1(h/2k−1)
4j − 1
pro j = 1, 2, . . . a k = j, j +1, . . .. Aproximace vypoctene touto Rombergovoumetodou je vhodne zaznamenavat do tabulky:
L L1 L2 L3
h L(h)h/2 L(h/2) L1(h/2)h/4 L(h/4) L1(h/4) L2(h/4)h/8 L(h/8) L1(h/8) L2(h/8) L3(h/8)
Podmınka ukoncenı: Pro dane male kladne cıslo ε polozıme I(f).= Lj(h/2k)
jakmile |Lj−1(h/2k)−Lj−1(h/2k−1)| < ε. Je znamo, ze splnenı teto podmınkyzarucuje, ze |I(f)− Lj(h/2k)| < ε.
Prıklad 13.4. Rombergovou metodou aproximujte hodnotu integralu Zz Pr. 13.2 s chybou mensı nez ε = 0, 5 · 10−6. Polozte h = 1 a zaokrouhlujtena 7 desetinnych mıst.
Resenı. Prubeh vypoctu je shrnut v tabulce:
L L1 L2 L3
h = 1 1,0069930h/2 = 0,5 0,7539313 0,6695774h/4 = 0,25 0,6905822 0,6694658 0,6694584h/8 = 0,125 0,6747396 0,6694587 0,6694582 0,6694582
Vysledek: Z.= 0,6694582. Presvedcte se, ze pri vypoctu teto aproximace byla
pocıtana hodnota integrovane funkce v 17 bodech. Pri pouzitı vztahu (51)v kazdem z techto bodu prave jednou. Porovnanı s 1864 body nutnymi prodosazenı stejne presnosti v Pr. 13. 3 naznacuje, ze Rombergova metoda jevelmi efektivnı.
99
13.4 Integrace funkcı dvou promennych
Pri aproximaci integralu pres oblast Ω = 〈a, b〉×〈c, d〉, naprıklad pres obdelnıknebo pres kruh pri pouzitı polarnıch souradnic, lze vyuzıt teto Fubiniho vety:
∫ ∫Ω
f(x, y) dxdy =
b∫a
d∫c
f(x, y) dy
dx =
b∫a
ϕ(x) dx = I(ϕ) (52)
pro funkci ϕ(x) =∫ dc f(x, y) dy. Aproximujeme-li vnejsı integral I(ϕ) formulı
I(ϕ).= α1ϕ(x1) + . . . + αkϕ(xk),
jejız algebraicky rad je p a vnitrnı integral ϕ(xi) formulı
ϕ(xi) = β1f(xi, y1) + . . . + βnf(xi, yn)
s algebraickym radem q pro i = 1, . . . , k, obdrzıme formuli
∫ ∫Ω
f(x, y) dxdy.=
k∑i=1
n∑j=1
αiβjf(xi, yj).
Tato integracnı formule integruje presne vsechny polynomy stupne p v promennex a stupne q v y.
Aproximujeme-li vnitrnı i vnejsı integral v (52)
(a) jednoduchym lichobeznıkovym pravidlem, obdrzıme
b∫a
d∫c
f(x, y) dy
dx.=
b− a
2
d∫c
f(a, y) dy +
d∫c
f(b, y) dy
.=
(b− a)(d− c)
4[f(a, c) + f(a, d) + f(b, c) + f(b, d)] . (53)
Zıskanou formuli symbolicky znazornuje schema
(b− a)(d− c)
4
[1 11 1
].
Protoze algebraicky rad lichobeznıkoveho pravidla je 1, integruje tato formulepresne vsechny polynomy stupne 1 v promennych x i y. Rozdelıme-li interval〈a, b〉 a 〈c, d〉 ekvidistantnım delenım s krokem h a k, rozdelı se Ω na obdelnıky
100
o plochach hk. Uzijeme-li na kazdem z nich integracnı formule (53), zıskameslozene lichobeznıkove pravidlo, ktere symbolicky zaznamenava toto schema:
hk
4
1 2 2 . . . 2 12 4 4 . . . 4 2...
...2 4 4 . . . 4 21 2 2 . . . 2 1
.
(b) jednoduchym Simpsonovym pravidlem. Zıskame
b∫a
d∫c
f(x, y) dy
dx.= f(a, c) + f(a, d) + f(b, c) + f(b, d)
+4
[f
(a,
c + d
2
)+ f
(b,
c + d
2
)+ f
(a + b
2, c
)+ f
(a + b
2, d
)](54)
+16f
(a + b
2,c + d
2
).
Tuto formuli vystizne popisuje schema koeficientu
(b− a)(d− c)
36
1 4 14 16 41 4 1
.
Formule (54) integruje presne vsechny polynomy stupne mensıho nebo rovneho3 v promenne x i y. Prakticky se vetsinou pouzıva slozene Simpsonovopravidlo, ktere pri sıti s kroky h a k na obdelnıkove oblasti Ω = 〈a, b〉× 〈c, d〉se sudym poctem podintervalu v 〈a, b〉 i v 〈c, d〉 ma toto schema koeficientu:
hk
9
1 4 2 4 . . . 4 14 16 8 16 . . . 16 42 8 4 8 . . . 8 2...
...4 16 8 16 . . . 16 41 4 2 4 . . . 4 1
.
Dosud uvedene integracnı formule jsou pouzitelne pro integraci pres pravidelnerovinne oblasti. Je-li Ω nepravidelna oblast, je vhodne ji pokryt triangu-lacı, tj. souborem T trojuhelnıku takovych, ze uzaver Ω =
⋃T∈T T a prunik
libovolnych dvou ruznych trojuhelnıku z T je jejich spolecna strana nebo
101
spolecny vrchol nebo prazdna mnozina. Integral pres Ω se potom pocıta jakosoucet integralu pres jednotlive trojuhelnıky. Uvedeme pouze 3 jednoducheformule pro numerickou integraci pres trojuhelnık.
Je-li T trojuhelnık s vrcholy A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2), pak
PT =1
2|(b1 − a1)(c2 − a2)− (b2 − a2)(c1 − a1)| (55)
je velikost plochy T . Formule∫ ∫T
f(x, y) dxdy.= PT f
(A + B + C
3
)a (56)∫ ∫
Tf(x, y) dxdy
.=
PT
3[f(A) + f(B) + f(C)] (57)
integrujı presne vsechny polynomy tvaru α1x + α2y + α3. Formule∫ ∫T
f(x, y) dxdy.=
PT
3
[f(
A + B
2
)+ f
(B + C
2
)+ f
(C + A
2
)](58)
je presnejsı. Integruje presne vsechny polynomy tvaru α1x2 + α2xy + α3y
2 +α4x+α5y+α6. Radu dalsıch, presnejsıch formulı pro integraci pres trojuhelnıklze najıt naprıklad v [1].
Cvicenı.
1. Integral∫ π/20 sin x dx vypoctete jednoduchym obdelnıkovym, lichobeznıkovym
a Simpsonovym pravidlem. Zaokrouhlujte na 6 desetinnych mıst a porovne-jte absolutnı chyby, kdyz presna hodnota je 1. Aproximace jednoduchymobdelnıkovym, lichobeznıkovym a Simpsonovym pravidlem je 1,110721,0,785398, 1,00228.
2. Interval 〈0, π/2〉 rozdelte na 4 stejne podintervaly a integral ze Cv. 1aproximujte slozenym obdelnıkovym, lichobeznıkovym a Simpsonovympravidlem. Hodnoty pozadovanych aproximacı jsou postupne 1,006455,0,987116, 1,000135.
3. Rozhodnete, ktera z aproximacı integralu∫ 20 f(x) dx obdelnıkovym, li-
chobeznıkovym a Simpsonovym pravidlem s krokem h = 1 poskytnejeho presnou hodnotu, kdyz
a) f(x) = 1 + x, b) f(x) = 1 + x2, c) f(x) = 1 + x3.
Sva rozhodnutı overte vypoctem. V prıpade a) jsou vsechny aproxi-mace presne. V prıpadech b) a c) je presna pouze aproximace Simp-sonovym pravidlem. Spolecna hodnota aproximacı v prıpade a) je 4,aproximace obdelnıkovym, lichobeznıkovym a Simpsonovym pravidlemjsou postupne 4,5, 5 a 4,667 v prıpade b) a 5,5, 7, 6 v prıpade c),
102
4. Integraly
I1 =
1∫0
dx
1 + x, I2 =
3∫1
dx
1 + x
vypoctete slozenym obdelnıkovym, lichobeznıkovym a Simpsonovympravidlem s chybou, mensı nez 10−4. Urcete nejprve velikost krokuh odhadem absolutnıch hodnot chyb EO, EL a ES a potom vypocetproved’te. Pro f(x) = 1/(x + 1) je |f ′′(x)| ≤ 2 pro x ∈ 〈0, 1〉 a tedy|EO(f)| ≤ h2/12. Pak |EO(f)| < 10−4 kdyz h < 0, 0346. To je ekvi-valentnı s n ≥ 29. Analogicky |EL(f)| < 10−4 prave kdyz n ≥ 41 a|ES(f)| < 10−4 prave kdyz n ≥ 7. Aproximace integralu I1 pro 29, 41a 8 podintervalu jsou 0,693110, 0,693184, 0,693155 a presna hodnotaintegralu je 0,693147. Pro integral I2 jsou nutne stejne pocty podinter-valu a vysledne aproximace i presna hodnota integralu I2 jsou stejnejako v prıpade I1.
5. Integral I =∫ 31 1/x dx aproximujte slozenym lichobeznıkovym pravi-
dlem s kroky h1 = 0, 5 a h2 = 0, 4. Vzpoctene aproximace zpresneteextrapolacı. Aproximace s krokem h1 je I1 = 1,116667 a s krokem h2
je I2 = 1,110268. Protoze existuje konstanta C tak, ze I1.= I +0, 25C a
I2.= I + 0, 16C, platı I
.= (25I2 − 16I1)/9 = 1,098892. Presna hodnota
I = 1,098612289.
6. Pravdepodobnost P = P (X < x), ze pozorovana hodnota normalnınahodne veliciny X je mensı nez dana hodnota x je
P =1√2π
∫ x
−∞e−t2/2dt.
Najdete hodnoty pravdepodobnosti P pro a) x = 0,5, b) x = 1, c)x = 5 s chybou mensı nez 10−4. Zaokrouhlujte na 6 desetinnych mıst auzijte skutecnosti, ze
1√2π
∫ x
−∞e−t2/2dt =
1
2+
1√2π
∫ x
0e−t2/2dt.
Uzijeme Simpsonova pravidla. Jelikoz |f (4)(t)| < 3 pro t ≥ 0, vyjadrenıchyby ES poskytne n = 6 prıpadne n = 12, n = 58 podintervaluv prıpade a) prıpadne b), c). Slozene Simpsonovo pravidlo poskytnepravdepodobnost P = 0,6914626 v prıpade a), P = 0,8413449 v prıpadeb) a P = 0,9999997 v prıpade c).
103
7. Pocet prvocısel v intervalu (a, b) lze aproximovat hodnotou integralu∫ b
a
dx
ln x.
Overte tuto aproximaci pro a = 100 and b = 200. Jelikoz pro f(x) =1/ ln x je
f (4)(x) =2
x4(ln x)5
[12 + 18 ln x + 11 (ln x)2 + 3 (ln x)3
],
je |f (4)(x)| < |f (4)(100)| ≤ 0,6 · 10−8. Aproximujeme-li tento integralSimpsonovym pravidlem s krokem h = 50, dopustıme se chyby mensınez |eS(f)| < 505/24 · 0,6 · 10−8 ≤ 0, 08. Tedy
∫ 200100 f(x) dx
.= 20,0698.
Lze snadno overit, ze v intervalu (100, 200) je 21 prvocısel.
8. Integral ∫ 1
−0.5
dx
1 + x2
vypoctete presne a potom jej aproximujte dvou a trıbodovou Gaussovoukvadraturou. Porovnejte absolutnı chyby techto aproximacı. Presnahodnota integralu je 1,249045772, aproximace dvoubodovou Gaussovoukvadraturou je 1,237113402 a trıbodovou je 1,249465865. Absolutnıhodnoty prıslusnych chyb jsou tedy 0,011932370 a −0,000420093.
9. Vypoctete I =∫ ∫
Ω ex+2ydxdy, kdyz Ω = 〈1, 2〉 × 〈0, 3〉 jednoduchymi slozenym lichobeznıkovym a Simpsonovym pravidlem. Pro slozenapravidla rozdelte interval 〈1, 2〉 na 4 dılky a interval 〈0, 3〉 na 6 dılku.I = 939,827, aproximace jednoduchym lichobeznıkovym a Simpsono-vym pravidlem je 3065,774 a 1132,510 a aproximace odpovıdajıcımislozenymi pravidly jsou 1022,162 a 936,784.
10. Vypoctete integral I =∫ ∫
T (x2 + y2)dxdy pres trojuhelnık T s vrcholyA = (0, 1), B = (2, 0), C = (3, 2) postupne uzitım formulı (56), (57) a(58). Aproximace integralu I formulemi (56), (57) a (58) jsou postupne9,444, 15 a 10,833. Posledne uvedena hodnota je presnou hodnotoudaneho integralu.
14 Aproximace resenı okrajovych uloh pro
ODR metodou konecnych prvku (MKP)
V teto kapitole se seznamıme s resenım okrajove ulohy (46) pro ODR 2. radua okrajove ulohy pro ODR 4. radu metodou konecnych prvku. Soustredıme
104
se na vysvetlenı myslenek, na nichz jsou zalozeny vysledne algoritmy proaproximaci resenı a na experimentalnı ilustraci radu presnosti. MKP vychazız tzv. Galerkinovy nebo slabe formulace ulohy, kterou budeme odvozovatvynasobenım dane diferencialnı rovnice vhodnymi funkcemi a integracı. Diskretizacemetodou konecnych prvku je prıkladem situace, v nız je intenzivne vyuzıvananumericka integrace.
14.1 Okrajova uloha pro ODR 2. radu
Pro urcitost uvazme nıze uvedenou ulohu (59), ktera vznikne z ulohy (46)volbou Dirichletovy podmınky v bode 0 a Newtonovy podmınky v bode l:
−a2y′′ + py′ + qy = f in (0, l), (59)
y(0) = α0, −a2y′(l) = βl + γly(l).
Vynasobme obe strany rovnice (59) libovolnou prıpustnou variacı v ∈ C1〈0, l〉,ktera ma hodnotu 0 v tech hranicnıch bodech, v nichz je hodnota hledanefunkce dana, v nasem prıpade 0 = v(0), a tyto souciny integrujme pres in-terval 〈0, l〉:
l∫0
(−a2y′′ + py′ + qy
)v dx =
l∫0
fv dx. (60)
Symetrizace: Abychom odstranili disproporci mezi pozadavky na funkcey, v spocıvajıcı v tom, ze v integralu na leve strane se vyskytujı derivacefunkce y do radu 2 a derivace funkce v se nevyskytujı, integrujeme prvnı clenna leve strane metodou per partes s pouzitım identity v(0) = 0 a okrajovepodmınky v bode l. Vznikne
l∫0
−a2y′′v dx =
∣∣∣∣∣ −a2y′′ = w′ v = z−a2y′ = w v′ = z′
∣∣∣∣∣ = [−a2y′v
]l0+
l∫0
a2y′v′ dx
=
l∫0
a2y′v′ dx + βlv(l) + γly(l)v(l).
Po dosazenı do (60) a prevedenı vsech clenu, ktere nezavisı na funkci y napravou stranu, obdrzıme
a(y, v) = L(v), (61)
kde
a(y, v) =
l∫0
(a2y′v′ + py′v + qyv
)dx + γly(l)v(l) a
105
L(v) =
l∫0
fv dx− βlv(l).
Protoze v diferencialnı rovnici (59) je na prave strane spojita funkce ana leve strane je druha derivace y′′, muze byt rovnice (59) splnena jen proy ∈ C2〈0, l〉. Viz klasickou formulaci ulohy v odstavci 12.1. Naproti tomu jeidentita (61) rovnostı mezi dvema cısly pro kazdou prıpustnou variaci v. Proto, aby identita (61) mela smysl, stacı aby integraly na obou stranach melykonecnou hodnotu. Integral na prave strane ma smysl nejen v prıpade, kdyjsou funkce f a v spojite na uzavrenem intervalu 〈0, l〉, ale i pro funkce, kterese od funkcı spojitych vyrazne lisı, naprıklad pro funkce po castech spojite.Funkce ϕ je po castech spojita na intervalu 〈0, l〉, kdyz ma konecne mnoho
Obrazek 31: Prıklady po castech spojitych funkcı.
106
moznych bodu nespojitosti 0 = x0 < . . . < xn = l, tj. pro i = 1, . . . , n platıϕ ∈ C(xi−1, xi) a pritom majı jednostranne limity
limx→x+
i−1
ϕ(x), limx→x−i
ϕ(x)
konecne hodnoty. Obr. 31 ilustruje skutecnost, ze soucin po castech spojitychfunkcı je opet funkce po castech spojita. Symbolem PC(0, l) oznacıme pros-tor funkcı po castech spojitych na intervalu 〈0, l〉. Je dobre znamo, ze nejvetsıprostor funkcı V takovy, ze pro danou funkci f ∈ V existuje a je konecny in-tegral
∫ l0 fv dx pro vsechna v ∈ V , je prostor L2(0, l) funkcı ϕ, jejichz integral∫ l
0 ϕ(x)2dx existuje a je konecny. Tedy PC(0, l) ⊆ L2(0, l). Obecneji oznacımesymbolem PCk(0, l) prostor funkcı ϕ z Ck−1〈0, l〉 takovych, ze ϕ(k) ∈ PC(0, l)a Hk(0, l) prostor funkcı ϕ s vlastnostı ϕ, ϕ′, . . . , ϕ(k) ∈ L2(0, l) pro k =1, 2, . . .. Je dobre znamo, ze
PCk(0, l) ⊆ Hk(0, l) ⊆ Ck−1〈0, l〉.
Vyraz a(y, v) ma konecnou hodnotu, jakmile y, v ∈ H1(0, l). Nazveme-li
W = w ∈ H1(0, l)|w(0) = γ0
mnozinou prıpustnych resenı a
V = v ∈ H1(0, l)|v(0) = 0
prostorem prıpustnych variacı, lze uvest tuto Galerkinovu (slabou) formulaciulohy (59): Najdete funkci y ∈ W tak, aby
a(y, v) = L(v) pro vsechny funkce v ∈ V. (62)
Vsimnete si, ze v teto formulaci se explicitne neobjevuje Newtonova okrajovapodmınka v bode l. Tato podmınka je ”zabudovana” do vyrazu a(y, v) aL(v) a nazyva se prirozena. Naproti tomu splnenı Dirichletovy podmınky jepozadovano od vsech prıpustnych resenı. Dirichletova podmınka se nazyvapodstatna.
Lze snadno ukazat, ze vyraz a(y, v) je linearnı vzhledem k funkcım y i v,tj. ze
a(αy + βz, v) = αa(y, v) + βa(z, v),
a(y, γv + δw) = γa(y, v) + δa(y, w)
platı pro vsechna α, β, γ, δ ∈ < a y, z, v, w ∈ H1(0, l). Rıkame, ze a(y, v) jebilinearnı forma. Podobne nazyvame L(v) linearnı formou. Platı totiz
L(αv + βw) = αL(v) + βL(w)
107
pro vsechna α, β ∈ < a v, w ∈ H1(0, l).
Diskretizace ulohy (62) Galerkinovou metodou. Pro kazdou funkci y0 ∈ Wa linearne nezavisle funkce ϕ1, . . . , ϕn z V lezı
yG = y0 + c1ϕ1 + . . . + cnϕn (63)
v mnozine W pro libovolne realne koeficienty c1, . . . , cn. Rekneme, ze yG jeGalerkinova aproximace resenı ulohy (62), kdyz
a(yG, ϕi) = L(ϕi) pro i = 1, . . . , n. (64)
Dosadıme-li do (64) za yG vyjadrenı (63) a vyuzijeme-li bilinearity formya(y, v), vznikne system rovnic
Kc = b, (65)
kde
K =
a(ϕ1, ϕ1) a(ϕ2, ϕ1) . . . a(ϕn, ϕ1)a(ϕ1, ϕ2) a(ϕ2, ϕ2) . . . a(ϕn, ϕ2)
......
a(ϕ1, ϕn) a(ϕ2, ϕn) . . . a(ϕn, ϕn)
, c =
c1
c2...cn
a b =
L(ϕ1)
L(ϕ2)...
L(ϕn)
.
Zde L(ϕi) = L(ϕi)− a(y0, ϕi) pro i = 1, 2, . . . , n. K se nazyva matice tuhostia b vektor zatızenı.
Metoda konecnych prvku (MKP) je Galerkinova metoda, v nız jsou funkceϕ1, . . . , ϕn z V zvoleny tak, aby matice tuhosti K byla pasova. Toho sedosahuje tım, ze funkce ϕ1, . . . , ϕn nabyvajı na prevazne casti intervalu 〈0, l〉konstantnı hodnoty 0 a ze forma a(y, v) ma tuto jednoduchou vlastnost:Nazveme-li mnozinu
supp(ϕi) = x ∈ 〈0, l〉 |ϕi(x) 6= 0
nosicem funkce ϕi pro i = 1, . . . , n, pak
supp(ϕi) ∩ supp(ϕj) = ∅ =⇒ a(ϕi, ϕj) = 0. (66)
Standardnı volbou funkcı ϕi pro resenı okrajovych uloh pro ODR 2. radujsou linearnı splajny prıslusne uzlum 0 = x0 < x1 < . . . < xn = l takove, zepro i = 0, 1, . . . , n
ϕi(xj) =
1 pro j = i0 pro j 6= i
.
108
Obrazek 32: Ilustrace grafu funkcı ϕi.
Viz Obr. 32. Je zrejme, ze supp(ϕi) = (xi−1, xi+1) ∩ 〈0, l〉 a ϕi ∈ PC1(0, l).
Oznacıme hi = xi − xi−1 a h = max(hi | i = 1, . . . , n). Je vyhodne pocıtat saproximacı presneho resenı y ve tvaru
yh = α0ϕ0 + y1ϕ1 + . . . + ynϕn. (67)
V tomto prıpade naprıklad α0 = yh(x0) a yi = yh(xi) pro i = 1, . . . , n.
V teto aplikaci MKP jsou pouzity (linearnı Lagrangeovy) konecne prvkye(i), tvorene intervalem 〈xi−1, xi〉, na nemz jsou definovany linearnı funkce
v(x) = v(xi−1)Ni1(x) + v(xi)N
i2(x)
urcene hodnotami funkce v v uzlech xi−1, xi a bazickymi funkcemi
N i1(x) = (xi − x)/hi, N i
2(x) = (x− xi−1)/hi, (68)
znazornenymi na Obr. 33. Matice K a vektor b z (65) vzniknou procesem
Obrazek 33: Linearnı Lagrangeuv konecny prvek
kondenzace: Matice
K(i) =
[a(N i
1, Ni1) a(N i
2, Ni1)
a(N i1, N
i2) a(N i
2, Ni2)
]
109
se nazyva lokalnı matice tuhosti konecneho prvku e(i). Protoze
a(ϕ0, ϕ0) = a(N11 , N1
1 ) a(ϕ1, ϕ0) = a(N12 , N1
1 ),a(ϕ0, ϕ1) = a(N1
1 , N12 ) a(ϕ1, ϕ1) = a(N1
2 , N12 ) + a(N2
1 , N21 ),
pro i = 2, . . . , n− 1 platı
a(ϕi−1, ϕi−1) = a(N i−12 , N i−1
2 ) + a(N i1, N
i1) a(ϕi, ϕi−1) = a(N i
2, Ni1),
a(ϕi−1, ϕi) = a(N i1, N
i2) a(ϕi, ϕi) = a(N i
2, Ni2) + a(N i+1
1 , N i+11 )
a
a(ϕn−1, ϕn−1) = a(Nn−12 , Nn−1
2 ) + a(Nn1 , Nn
1 ) a(ϕn, ϕn−1) = a(Nn2 , Nn
1 ),a(ϕn−1, ϕn) = a(Nn
1 , Nn2 ) a(ϕn, ϕn) = a(Nn
2 , Nn2 ),
vznikne matice K z nulove matice prictenım prvku K(1)22 k prvku K11 a vsech
prvku matice K(i) k prvkum v prusecıcıch radku a sloupcu s indexy i− 1 a ipro i = 2, . . . , n. Viz Obr. 34. Vzhledem k Obr. 33 a (68) lze snadno overit,ze
a(N i1, N
i1) =
1
(hi)2
xi∫xi−1
[a2 − p(xi − x) + q(xi − x)2
]dx,
a(N i2, N
i1) = − 1
(hi)2
xi∫xi−1
[a2 + p(x− xi) + q(x− xi)(x− xi−1)
]dx,
a(N i1, N
i2) = − 1
(hi)2
xi∫xi−1
[a2 − p(x− xi−1) + q(x− xi)(x− xi−1)
]dx,
a(N i2, N
i2) =
1
(hi)2
xi∫xi−1
[a2 + p(x− xi−1) + q(x− xi−1)
2]
dx
pro 1 ≤ i ≤ n.
110
p p pK(1)
K
K(2)
K(3)
K(n)K(n−1) Obrazek 34
Lokalnı vektor zatızenı konecneho prvku e(i) je vektor
b(i) =
[L(N i
1)
L(N i2)
].
ProtozeL(ϕi) = L(N i
2) + L(N i+11 )
pro i = 1, . . . , n− 1 aL(ϕn) = L(Nn
2 ),
vznikne vektor b z nuloveho vektoru prictenım souradnice b(1)2 vektoru b(1) k
souradnici b1 vektoru b a souradnic vektoru b(i) k souradnicım vektoru b sindexy i− 1, i pro i = 2, . . . , n.
Pomocı (68) lze najıt explicitnı vyjadrenı souradnic vektoru b(i):
L(N i1) =
1
hi
xi∫xi−1
f(x)(xi − x) dx− a(N01 , N i
1)
L(N i2) =
1
hi
xi∫xi−1
f(x)(x− xi−1) dx− a(N01 , N i
2)− βlNi2(l)
pro i = 1, . . . , n. Prvky matic K(i) a vektoru b(i) se zpravidla pocıtajı nu-mericky. Vzhledem k tomu, ze se jedna o integraly pres intervaly delkynepresahujıcı h, stacı pouzıt jednoduchych integracnıch formulı. Bezne jepostacujıcı lichobeznıkove pravidlo.
V nasledujıcıch prıkladech najdeme Galerkinovy aproximace resenı ulohz Pr. 12.1 a 12.2 metodou konecnych prvku.
111
Prıklad 14.1. Resenı okrajove ulohy
−0,2y′′ + y′ = 1 v (0, 1), y(0) = 1, −0,2y′(1) = y(1)− 0,5
z Pr. 12.1 aproximujte metodou konecnych prvku s ekvidistantnımi uzly skroky 0,2 a 0,1. Zıskane aproximace v uzlech 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 porovnejte shodnotami presneho resenı
y = 1,005747− 0,005747e5x + x.
Resenı. Polozıme-li
V = v ∈ H1(0, l) | v(0) = 0 a W = w ∈ H1(0, l) |w(0) = 1,
pak pro resenı y a kazdou funkci v ∈ V platı
1∫0(−0,2y′′ + y′)v dx =
∣∣∣∣∣ −0,2y′′ = w′ v = z−0,2y′ = w v′ = z′
∣∣∣∣∣ = [−0,2y′v]10
+1∫0(0,2y′v′ + y′v) dx =
1∫0(0,2y′v′ + y′v) dx + y(1)v(1)− 0,5v(1) =
1∫0
v dx.
Tedy Galerkinova formulace znı: Najdete y ∈ W tak, aby a(y, v) = L(v) provsechna v ∈ V , kdyz
a(y, v) =
1∫0
(0,2y′v′ + y′v) dx + y(1)v(1) a L(v) =
1∫0
v dx + 0,5v(1).
Ke kroku h = 0,2 priradıme linearnı splajny ϕi s uzly xj = 0,2j pro j =0, 1, . . . , 5 takove, ze
ϕi(xj) =
1 pro j = i0 pro j 6= i
pro i, j = 0, 1, . . . , 5
a aproximaci yh ∈ W presneho resenı ulohy hledame ve tvaru
yh = ϕ0 + y1ϕ1 + . . . + y5ϕ5.
Koeficienty y1, . . . , y5 jsou resenım systemu rovnic
a(yh, ϕi) = L(ϕi) ⇐⇒5∑
j=1
yja(ϕj, ϕi) = L(ϕi) ≡ L(ϕi)− a(ϕ0, ϕi)
pro i = 1, . . . , 5. Maticovy zapis tohoto systemu rovnic je Kz = b, kde
K =
a(ϕ1, ϕ1) . . . a(ϕ5, ϕ1)
......
a(ϕ1, ϕ5) . . . a(ϕ5, ϕ5)
, z =
y1...y5
a b =
L(ϕ1)
...
L(ϕ5)
.
112
Pro konecne prvky e(i) tvorene intervalem 〈xi−1, xi〉 a bazickymi funkcemiN i
1 = 5(xi − x), N i2 = 5(x− xi−1) pro xi−1 ≤ x ≤ xi platı
a(N i1, N
i1) =
xi∫xi−1
[0,2(−5)(−5)− 25(xi − x)] dx = 0,5
a(N i2, N
i1) =
xi∫xi−1
[0,2(−25) + 25(xi − x)] dx = −0,5
a(N i1, N
i2) =
xi∫xi−1
[0,2(−25)− 25(x− xi−1)] dx = −1,5 pro i = 1, . . . , 5,
a(N i2, N
i2) =
xi∫xi−1
[0,2 · 25 + 25(x− xi−1)] dx = 1,5 pro i = 1, . . . , 4,
a(N52 , N5
2 ) =
1∫0,8
[0,2 · 25 + 25(x− 0,8)] dx + N52 (1)2 = 2,5.
Tedy
K(i) =
[0,5 −0,5−1,5 1,5
]pro i = 1, . . . , 4 a K(5) =
[0,5 −0,5−1,5 2,5
].
Kondenzacı vznikne matice tuhosti
K =
2 -0,5
-1,5 2 -0,5-1,5 2 -0,5
-1,5 2 -0,5-1,5 2,5
.
Dale, protoze
L(N11 ) =
0,2∫0
5(0,2− x) dx− a(N11 , N1
1 ) = 0,1− 0,5 = −0,4,
L(N12 ) =
0,2∫0
5x dx− a(N11 , N1
2 ) = 0,1 + 1,5 = 1,6,
L(N i1) =
xi∫xi−1
5(xi − x) dx = 0,1 pro i = 2, . . . , 5,
L(N i2) =
xi∫xi−1
5(x− xi−1) dx = 0,1 pro i = 2, . . . , 4,
113
L(N52 ) =
1∫0,8
5(x− 0,8) dx + 0,5N52 (1) = 0,1 + 0,5 = 0,6,
platı
b(1) =
[−0,41,6
], b(2) = b(3) = b(4) =
[0,10,1
], b(5) =
[0,10,6
].
Protoze vektor zatızenı ma souradnice bi = b(i)2 + b
(i+1)1 pro i = 1, . . . , 4
a b5 = b(5)2 , zıskame kondenzacı vektor zatızenı b = [1,7; 0,2; 0,2; 0,2; 0,6]>.
Resenım systemu rovnic Kz = b je vektor hodnot
[1,192990; 1,371959; 1,508866; 1,519588; 1,151753]
aproximace yh v uzlech 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1. Galerkinova aproximace yh/2 nabyvav techto uzlech hodnot
[1,190835; 1,365377; 1,494661; 1,498227; 1,152578].
V nıze uvedene tabulce je provedeno porovnanı rozdılu (yh − y)(0,2i) a(yh/2 − y)(0,2i) pro i = 1, . . . , 5, ktere ilustruje skutecnost, ze toto pouzitıMKP poskytuje aproximace resenı radu 2. Porovnanı velikostı techto chyb schybami z Pr. 12.1 ukazuje, ze v tomto prıkladu poskytuje MKP podstatnepresnejsı aproximaci. Obecne je vsak kvalita MKP a metody sıtı na stejneurovni. Existujı ulohy, pro nez obe metody poskytujı v danych uzlech totozneaproximace.
i 1 2 3 4 5(yh − y)(0,2i) 0,002865 0,008677 0,018551 0,027616 -0,001064
(yh/2 − y)(0,2i) 0,000710 0,002095 0,004346 0,006256 -0,000239
Prıklad 14.2. Najdete aproximaci resenı ulohy
−y′′ + 15y′ = 1 v (0, 1), y(0) = 1, y(1) = 0
z Pr. 12.2 metodou konecnych prvku pro ekvidistantnı uzly s krokem h = 0,2.
Resenı. Polozıme V = v ∈ H1(0, 1) | v(0) = 0 = v(1) a W = w ∈H1(0, 1) |w(0) = 1, w(1) = 0. Pro presne resenı y a libovolnou prıpustnouvariaci v ∈ V platı
1∫0
(−y′′ + 15y′)v dx =
∣∣∣∣∣ −y′′ = w′ v = z−y′ = w v′ = y′
∣∣∣∣∣ =1∫
0
(y′v′ + 15y′v) dx =
1∫0
v dx,
114
takze Galerkinova formulace znı: Najdete funkci y ∈ W tak, aby
a(y, v) = L(v) pro vsechna v ∈ V,
kdyz
a(y, v) =
1∫0
(y′v′ + 15y′v) dx a L(v) =
1∫0
v dx.
Pro i = 0, 1, . . . , 5 oznacme ϕi linearnı splajn s uzly xj = 0,2j takovy, ze
ϕi(xj) =
1 pro j = i0 jinak
pro j = 0, 1, . . . , 5.
Pak funkce yh = ϕ0 + y1ϕ1 + . . . + y4ϕ4 ∈ W je Galerkinovou aproximacıresenı dane ulohy, kdyz
a(yh, ϕi) = L(ϕi) ⇐⇒4∑
j=1
yja(ϕj, ϕi) = L(ϕi) ≡ L(ϕi)− a(ϕ0, ϕi)
pro i = 1, . . . , 4. Pro i = 1, . . . , 5 a konecne prvky e(i) s bazickymi funkcemiN i
1 = 5(xi − x), N i2 = 5(x− xi−1) na intervalu 〈xi−1, xi〉 platı
a(N i1, N
i1) =
xi∫xi−1
[(−5)(−5)− 375(xi − x)] dx = −2,5
a(N i2, N
i1) =
xi∫xi−1
[5(−5) + 375(xi − x)] dx = 2,5
a(N i1, N
i2) =
xi∫xi−1
[(−5)5− 375(x− xi−1)] dx = −12,5
a(N i2, N
i2) =
xi∫xi−1
[25 + 375(x− xi−1)] dx = 12,5
a tedy lokalnı matice tuhosti majı tvar
K(i) =
[−2,5 2,5−12,5 12,5
]pro i = 1, . . . , 5.
Protoze
L(N11 ) =
0,2∫0
5(0,2− x) dx− a(N11 , N1
1 ) = 0,1 + 2,5 = 2,6
115
L(N12 ) =
0,2∫0
5x dx− a(N11 , N1
2 ) = 0,1 + 12,5 = 12,6 a
L(N i1) =
xi∫xi−1
5(xi − x) dx = 0,1
L(N i2) =
xi∫xi−1
5(x− xi−1) dx = 0,1
pro i = 2, . . . , 4, jsou
b(1) =
[2,612,6
]a b(i) =
[0,10,1
]pro i = 2, 3, 4
lokalnı vektory zatızenı. Kondenzacı vznikne system rovnic10 2,5 12,7
-12,5 10 2,5 0,2-12,5 10 2,5 0,2
-12,5 10 0,2
.
Jeho resenım je vektor [1,011286; 1,034856; 0,997006; 1,266257]>. Tyto hod-noty aproximace yh v uzlech 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 jsou po zaokrouhlenı na 4 de-setinna mısta totozne s hodnotami aproximace metodou sıtı z Pr. 12.2.
Pr. 14.1 a 14.2 naznacujı, ze MKP je slozitostı vyslednych algoritmui kvalitou zıskanych aproximacı srovnatelna s metodou sıtı. Jejı prednostioproti metode sıtı se projevujı v dimenzıch 2 a 3 zejmena v prıpadech, kdy jeoblast, na nız je dana uloha resena, nepravidelna. Tedy aproximace yh resenıPr. 14.2 je nestabilnı a matice vyse uvedene soustavy nenı monotonnı, stejnejako v Pr. 12.2. Tento prıklad indikuje fakt, ze problemy MKP s nestabilitoujsou v podstate stejne jako problemy metody sıtı.
14.2 Okrajova uloha pro ODR 4. radu
V tomto odstavci se seznamıme s uzitım metody konecnych prvku pro resenıokrajovych uloh pro ODR 4. radu.
Klasicka formulace ulohy: Pro dane funkce p ∈ C2〈0, l〉, r ∈ C1〈0, l〉 aq, f ∈ C〈0, l〉 najdete funkci y ∈ C4〈0, l〉 takovou, ze
(py′′)′′ − (ry′)′ + qy = f pro x ∈ (0, l), (69)
y(0) = y′(0) = 0 = y′(l) = y(l). (70)
116
Tato uloha ma nekolik ruznych fyzikalnıch interpretacı. Seznamıme se s in-terpretacı, v nız je vyznamem funkce
y(x) pruhyb prımeho nosnıku,p(x) = E(x)I(x),E(x) Younguv modul pruznosti,I(x) moment setrvacnosti prurezu,r(x) merny odpor podlozı branıcı natocenı,q(x) merny odpor podlozı branıcı pruhybu,f = f0 −m′,f0 intenzita prıcneho siloveho zatızenı,m′ intenzita zatızenı ohybovym momentem.
Okrajove podmınky popisujı prıpad, kdy jsou oba konce nosnıku pevne ve-tknute. Strucny prehled vsech moznych typu okrajovych podmınek, jejichvyznamu a vlastnostı, zarucujıcıch existenci a jednoznacnost resenı jsou uve-deny v [3].
Za ucelem odvozenı Galerkinovy (slabe) formulace vynasobıme obe stranyrovnice (69) funkcı v ∈ C2〈0, l〉, splnujıcı okrajove podmınky (70). Obdrzıme
l∫0
[(py′′)′′ − (ry′)′ + qy] v dx =
l∫0
fv dx.
Symetrizace rolı funkcı y a v, dosazena opakovanym pouzitım metody perpartes a vlastnostı (70) funkce v poskytne identitu
a(y, v) = L(v) (71)
pro bilinearnı formu
a(y, v) =
l∫0
(py′′v′′ + ry′v′ + qyv) dx
a linearnı formu
L(v) =
l∫0
fv dx.
Analogicka argumentace jako v 14.1 vede k rozsırenı vyznamu techto vyrazupro vsechna
y, v ∈ V = v ∈ H2(0, l) | v(0) = v′(0) = 0 = v′(l) = v(l).
117
Galerkinova (slaba) formulace: Najdete funkci y ∈ V tak, aby
a(y, v) = L(v) pro vsechna v ∈ V. (72)
Okrajove podmınky (70) se nazyvajı podstatne, nebot’ jejich splnenı je expli-citne pozadovano od hledaneho resenı i od testovacıch funkcı.
Diskretizace metodou konecnych prvku: Protoze y, v ∈ H2(0, l), stacı abyy, v ∈ C1〈0, l〉 a y′′, v′′ ∈ PC(0, l). Tyto vlastnosti majı Hermiteovy kubickesplajny: lezı v C1〈0, l〉 a jejich druhe derivace jsou ”po castech linearnı”.Pro libovolne uzly 0 = x0 < x1 < . . . < xn = l polozıme hi = xi − xi−1,h = max (hi | i = 1, . . . , n) a oznacıme
Vh = v | v je Hermiteuv kubicky splajn s uzly x0, . . . , xn
a v(0) = v′(0) = 0 = v′(l) = v(l).
Definujeme-li pro i = 1, . . . , n−1 funkce ϕ2i−1 a ϕ2i z prostoru Vh predpisem
Obrazek 35: Grafy funkcı ϕ2i−1 a ϕ2i.
ϕ2i−1(xj) = 0 a ϕ′2i−1(xj) =
1 pro j = i0 pro j 6= i
(73)
ϕ2i(xj) =
1 pro j = i0 pro j 6= i
a ϕ′2i(xj) = 0 (74)
pro j = 1, . . . , n− 1, pak pro kazdou funkci v ∈ Vh platı
v(x) = v′(x1)ϕ1(x) + v(x1)ϕ2(x) + . . . + v(xn−1)ϕ2n−2(x). (75)
Na Obr. 35 jsou znazorneny grafy funkcı ϕ2i−1 a ϕ2i na jejich nosici (xi−1, xi+1).Resenı y ulohy (72) budeme aproximovat funkcı ve tvaru
yh = y1ϕ1 + . . . + y2n−2ϕ2n−2, (76)
118
kde dle (75) platı y2i−1 = y′h(xi). Tento koeficient je aproximacı otocenınosnıku v uzlu xi a podobne y2i = yh(xi) je aproximacı pruhybu nosnıkuv uzlu xi pro i = 1, . . . , n− 1. Funkci yh nazveme aproximacı resenı y ulohy(72), kdyz
a(yh, ϕi) = L(ϕi) pro i = 1, . . . , 2n− 2. (77)
Vzhledem k bilinearite formy a(y, v) dostaneme po dosazenı vyjadrenı (76)funkce yh do (77) maticovy zapis
Kz = b, (78)
kde je z vektor neznamych [y1, y2, . . . , y2n−2]>,
K =
a(ϕ1, ϕ1) a(ϕ2, ϕ1) . . . a(ϕ2n−2, ϕ1)a(ϕ1, ϕ2) a(ϕ2, ϕ2) . . . a(ϕ2n−2, ϕ2)
......
a(ϕ1, ϕ2n−2) a(ϕ2, ϕ2n−2) . . . a(ϕ2n−2, ϕ2n−2)
, b =
L(ϕ1)L(ϕ2)
...L(ϕ2n−2)
.
V teto aplikaci MKP pracujeme s (kubickymi Hermiteovymi) konecnymi prvkye(i), danymi intervalem 〈xi−1, xi〉, na nemz je libovolny kubicky polynom Plinearnı kombinacı
P (x) = P ′(xi−1)Ni1(x) + P (xi−1)N
i2(x) + P ′(xi)N
i3(x) + P (xi)N
i4(x)
prvnıch derivacı P a jeho hodnot v uzlech xi−1, xi. Polynomy N i1(x), . . . , N i
4(x)jsou podle odstavce 9.2.1 urceny hodnotami z techto tabulek:
x N i1(x) (N i
1)′(x)
xi−1 0 1xi 0 0
x N i2(x) (N i
2)′(x)
xi−1 1 0xi 0 0
x N i3(x) (N i
3)′(x)
xi−1 0 0xi 0 1
x N i4(x) (N i
4)′(x)
xi−1 0 0xi 1 0
Jejich explicitnı vyjadrenı lze najıt v zobecnenem Newtonove tvaru. Naprıkladpolynom N i
1(x) lze zıskat z tabulky
x N i1(x) . . .
xi−1 0 1 −1/hi 1/(hi)2
xi−1 0 0 0xi 0 0xi 0
119
a po uprave jej lze zapsat ve tvaru
N i1(x) = x− xi−1 − 2(x− xi−1)
2/hi + (x− xi−1)3/(hi)
2.
Analogicky lze zkonstruovat polynomy
N i2(x) = 1− 3(x− xi−1)
2/(hi)2 + 2(x− xi−1)
3/(hi)3,
N i3(x) = −(x− xi−1)
2/hi + (x− xi−1)3/(hi)
2 a
N i4(x) = 3(x− xi−1)
2/(hi)2 − 2(x− xi−1)
3/(hi)3.
Matici tuhosti K a vektor zatızenı b vytvorıme postupnym pricıtanım prıspevkukonecnych prvku e(1), . . . , e(n). Prıspevkem konecneho prvku e(i) do maticeK a do vektoru b je lokalnı matice tuhosti a lokalnı vektor zatızenı
K(i) =
a(N i
1, Ni1) a(N i
2, Ni1) a(N i
3, Ni1) a(N i
4, Ni1)
a(N i1, N
i2) a(N i
2, Ni2) a(N i
3, Ni2) a(N i
4, Ni2)
a(N i1, N
i3) a(N i
2, Ni3) a(N i
3, Ni3) a(N i
4, Ni3)
a(N i1, N
i4) a(N i
2, Ni4) a(N i
3, Ni4) a(N i
4, Ni4)
a b(i) =
L(N i
1)L(N i
2)L(N i
3)L(N i
4)
.
Prvky matice K(i) se pricıtajı k prvkum matice K s temi radkovymi i sloup-covymi indexy od 2i − 3 do 2i, ktere jsou v rozsahu od 1 do 2n − 2. Prvkyvektoru b(i) se pricıtajı k souradnicım vektoru b se stejnymi indexy.
Prıklad 14.3. Resenı okrajove ulohy
(py′′)′′ = x v (0, 1), y(0) = y′(0) = 0 = y′(1) = y(1)
pro konstantnı kladnou funkci p aproximujte MKP s ekvidistantnımi uzlyxi = i/3 pro i = 0, 1, 2, 3.
Resenı. V tomto prıpade polozıme V = v ∈ H2(0, 1) | v(0) = v′(0) =0 = v′(1) = v(1). Symetrizace poskytne bilinearnı formu
a(y, v) =
1∫0
py′′(x)v′′(x) dx
a linearnı formu
L(v) =
1∫0
xv(x) dx
pro libovolne funkce y, v ∈ V . K danym ekvidistantnım uzlum x1, x2 s krokemh = 1/3 priradıme Hermiteovy kubicke splajny ϕ1, . . . , ϕ4 podle definice z(73), (74). Viz Obr. 36. Diskretizace metodou konecnych prvku je tedy uloha
120
Obrazek 36: Grafy pouzitych bazickych Hermiteovych kubickych splajnu.
najıt koeficienty y1, . . . , y4 tak, aby funkce
yh = y1ϕ1 + . . . + y4ϕ4
splnovala podmınku
a(yh, ϕi) = L(ϕi) pro i = 1, . . . , 4.
Po dosazenı za yh a vyuzitı bilinearity formy a(yh, v) vznikne system rovnic(78) pro n = 3. Matici tohoto systemu i jeho vektor pravych stran vytvorımepostupnym pricıtanım prıspevku konecnych prvku e(1), e(2) a e(3) do maticeK a vektoru b. Protoze leva strana dane rovnice ma vsechny kueficientykonstantnı, jsou lokalnı matice K(1), K(2) a K(3) stejne. Po dosazenı hi = 1/3do formulı pro funkce N i
1, . . . , Ni4 obdrzıme
N i1(x) = x− xi−1 − 6(x− xi−1)
2 + 9(x− xi−1)3
N i2(x) = 1− 27(x− xi−1)
2 + 54(x− xi−1)3
N i3(x) = −3(x− xi−1)
2 + 9(x− xi−1)3
N i4(x) = 27(x− xi−1)
2 − 54(x− xi−1)3
a tedy
N i1′′(x) = −12 + 54(x− xi−1)
N i2′′(x) = −54 + 324(x− xi−1)
N i3′′(x) = −6 + 54(x− xi−1)
N i4′′(x) = 54− 324(x− xi−1)
Odtud lze vypoctem integralu najıt tuto lokalnı matici tuhosti:
K(1) = K(2) = K(3) = p
12 54 6 −5454 324 54 −3246 54 12 −54−54 −324 −54 324
121
Prictenım prvku s indexy 3 a 4 matice K(1) k prvkum matice K s indexy 1 a2, vsech prvku matice K(2) k prvkum K se stejnymi indexy a prvku maticeK(3) s indexy 1, 2 k prvkum K na mısta s indexy 3, 4 vznikne matice tuhosti
K = p
24 0 6 −540 648 54 −3246 54 24 0−54 −324 0 648
Vypoctem integralu
xi∫xi−1
xN ij(x) dx
pro j = 1, . . . , 4 a pro i = 1, . . . , 4 vzniknou postupne lokalnı vektoryb(1), b(2), b(3), uvedene v tabulce:
i 1 2 3
b(i)1 1/810 7/1620 1/135
b(i)2 1/60 13/180 23/180
b(i)3 -1/540 -2/405 -13/1620
b(i)4 7/180 17/180 3/20
Odtud kondenzacı vznikne b = [1/405, 1/9, 1/405, 2/9]>. Vysledny systemrovnic (78) ma resenı
y1 =1
p0,000960; y2 =
1
p0,003292; y3 =
1
p0,001097; y4 = −1
p0,002881.
Graf nalezene aproximace je pro p = 1 uveden na Obr. 37. Vypoctene hodnotypruhybu a otocenı v uzlech jsou hodnotami presneho resenı. Podle Lemmatu9.1 z [8] poskytuje popsana aplikace MKP tyto hodnoty presne vzdy, kdyzfunkce p je konstantnı a r = 0 = q.
Obrazek 37: Graf vypocteneho pruhybu nosnıku z Pr. 14.3.
Cvicenı
122
1. Pro okrajovou ulohu
−0,1y′′ − y′ = 1 v (0, 1), 0,1y′(0) = 0,5, y(1) = 1
a) najdete Galerkinovu (slabou) formulaci
b) najdete tvar aproximace yh diskretizace resenı ulohy a) MKP prıslusneekvidistatnım uzlum s krokem h = 0,25
c) vypoctete lokalnı matice tuhosti a lokalnı vektory zatızenı prıslusnevsem pouzitym konecnym prvkum
d) sestavte globalnı system rovnic a po jeho vyresenı urcete hodnotyzıskane aproximace v danych uzlech. Vypoctete hodnoty presnehoresenı
y(x) = 2,000027− x− 0,6e−10x
v uzlech xi = i/4 pro i = 0, . . . , 3
Resenı:
a) V = v ∈ H1(0, 1) | v(1) = 0, W = w ∈ H1(0, 1) |w(1) = 1,Galerkinova formulace: Najdete y ∈ W tak, ze
a(y, v) = L(v) pro vsechna v ∈ V.
Zde
a(y, v) =
1∫0
(0,1y′v′ − y′v) dx a L(v) =
1∫0
v dx− 0,5v(0)
b) Aproximace yh = y0ϕ0 + . . . + y3ϕ3 + ϕ4. Pro j = 0, . . . , 4 je ϕj
linearnı splajn prıslusny uzlum xi = i/4 takovy, ze ϕj(xi) = 0 proi 6= j a ϕj(xi) = 1 pro i = j
c) Lokalnı matice tuhosti K(i) =
[0,9 −0,90,1 −0,1
]jsou totozne pro i =
1, . . . , 4 a lokalnı vektory zatızenı majı tvar b(1) =
[−0,3750,125
],
b(i) =
[0,1250,125
]pro i = 2, 3 a b(4) =
[0,1251,15
]d) Resenım vysledneho systemu rovnic
0,9 -0,9 -0,3750,1 0,8 -0,9 0,25
0,1 0,8 -0,9 0,250,1 0,8 1,15
123
jsou aproximace y0, . . . , y3, uvedene v tabulce spolecne s odpovıdajıcımihodnotami presneho resenı
i 0 1 2 3yi 1,4001 1,8168 1,4927 1,2509
y(xi) 1,4000 1,7008 1,4960 1,2497
2. (Pouzitı neekvidistantnıch uzlu.) Z fyzikalnıho vyznamu ulohy ze Cv.1 plyne, ze jejı presne resenı ma jistou nevyraznou hranicnı vrstvu vblızkosti bodu 0. Tomu odpovıda i ztrata monotonnosti vyse uvedenematice tuhosti a relativne velka chyba aproximace y1, dokumentujıcınestabilitu. Pouzitım neekvidistantnıch uzlu
x0 = 0, x1 = 8/65, x2 = 20/65, x3 = 38/65, x4 = 1,
ktere, jak je patrne, se zhust’ujı smerem k bodu 0 tak, ze pomer (xi −xi−1)/(xi+1 − xi) delek vsech sousedıcıch podintervalu je 2/3, docılımepodstatne redukce teto nestability.
a) Vypoctete lokalnı matice tuhosti a lokalnı vektory zatızenı prıslusnekonecnym prvkum prirazenym uzlum x0 < x1 < . . . < x4.
b) Sestavte globalnı system rovnic a po jeho vyresenı urcete hodnotyzıskane aproximace v danych uzlech xi pro i = 0, . . . , 3. Vypoctetehodnoty presneho resenı v techto uzlech.
Resenı:
a) Lokalnı matice tuhosti:
K(1) =
[1,3125 −1,3125−0,3125 0,3125
], K(2) =
[1,04167 −1,0417−0,0417 0,0417
],
K(3) =
[0,8611 −0,86110,1389 −0,1389
], K(4) =
[0,7407 −0,74070,2593 −0,2593
].
Lokalnı vektory zatızenı:
i 1 2 3 4
b(i)1 -0,4385 0,0923 0,1385 0,9484
b(i)2 0,0615 0,0923 0,1385 0,2077
b) Resenım vysledneho systemu rovnic1,3125 -1,3125 -0,4385-0,3125 1,3542 -1,0417 0,1538
-0,0417 0,9028 -0,8611 0,23080,1389 0,6019 1,0869
124
jsou aproximace y0, . . . , y3, uvedene v tabulce spolecne s odpovı-dajıcımi hodnotami presneho resenı.
i 1 2 3 4yi 1,4003 1,7344 1,6869 1,4166
y(xi) 1,4000 1,7017 1,6647 1,4137
3. (ODR v divergencnım tvaru, promenny koeficient difuze.) Okrajovouulohu
−[(x + 1)y′]′ + 5y′ = 1 v (0, 1), y(0) = 1, y′(1) = −10
aproximujte MKP s kroky 0,2, 0,1 a porovnejte chybu aproximace vuzlech x1 = 0,2; x2 = 0,4; x3 = 0,6; x4 = 0,8; x5 = 1 kdyz vıte, ze presneresenı teto ulohy je funkce y(x) = 1,128125 +0,25x− 0,128125(x+1)5.Pro krok 0,2 ma vysledny system rovnic tvar
12 -5,5 8,2-7,5 14 -6,5 0,2
-8,5 16 -7,5 0,2-9,5 18 -8,5 0,2
-10,5 10,5 -19,9
a jeho resenım je vektor hodnot yi z nıze uvedene tabulky. Aproximaceresenı v uzlech x1, . . . , x5, zıskane MKP s krokem h = 0,1 jsou oznacenyy2i. Porovnanı chyb techto dvou aproximacı v kazdem z uzlu indikuje,ze chyba teto varianty MKP je umerna druhe mocnine kroku h.
i 1 2 3 4 5xi 0,2 0,4 0,6 0,8 1yi 0,8688 0,5564 -0,04583 -1.0830 -2,7413y2i 0,8616 0,5432 -0,0607 -1,0905 -2,7267
y(xi) 0,8593 0,5390 -0,0654 -1,0929 -2,7219
4. (Pruhyb nosnıku pevne vetknuteho v bode x = 0 a proste podeprenehov bode x = 1.) Je dana okrajova uloha
(py′′)′′ = x v (0, 1), y(0) = y′(0) = 0, y(1) = y′′(1) = 0,
kde p je kladna konstanta.
a) Najdete jejı Galerkinovu (slabou) formulaci
125
b) Popiste diskretizaci Galerkinovy ulohy z a) prıslusnou k uzlumxi = i/3 pro i = 0, . . . , 3 a uved’te vsechny lokalnı matice tuhostia lokalnı vektory zatızenı. Kondenzacı vytvorte (globalnı) maticituhosti K a vektor zatızenı b, prıslusny system rovnic vyreste
Resenı:
a) Galerkinova formulace: Najdete funkci y ∈ W tak, aby
a(y, v) = L(v) pro vsechna v ∈ V.
Zde W = V = v ∈ H2(0, 1) | v(0) = v′(0) = 0 = v(1) a predpisyforem a(y, v), L(v) jsou stejne jako v Pr. 14.3
b) Jsou-li ϕ1, . . . , ϕ5 Hermiteovy interpolacnı kubicke splajny priraze-ne predpisy (73), (74) k uzlum xi = ih pro h = 1/3 a i = 1, 2, 3,pak je funkce
yh = y1ϕ1 + . . . + y5ϕ5
aproximacı slabeho resenı y z a), kdyz a(yh, ϕi) = L(ϕi) pro i =1, . . . , 5. Lokalnı matice tuhosti K(i) a lokalnı vektory zatızenı b(i)
jsou stejne, jako v Pr. 14.3. Prictenım prvku s indexy 3 a 4 maticeK(1) k prvkum matice K s indexy 1 a 2, vsech prvku matice K(2)
k prvkum K s indexy 1,. . . ,4 a prvku matice K(3) s indexy 1, 2 a3 k prvkum K s indexy 3, 4 a 5 vznikne matice tuhosti
K = p
24 0 6 −54 00 648 54 −324 06 54 24 0 6−54 −324 0 648 540 0 6 54 12
.
Stejnou kondenzacı vznikne z lokalnıch vektoru zatızenı globalnıvektor b = [1/405, 1/9, 1/405, 2/9,−13/1620]>. Vysledny system
Obrazek 38: Graf vypocteneho pruhybu nosnıku ze Cv. 4.
rovnic ma resenı, jehoz p-nasobky jsou uvedeny v teto tabulce:
i 1 2 3 4 5p · yi 0,007459 0,001886 0,002881 0,002949 -0,012500
126
Stejne jako v Pr. 14.3 jsou y1, . . . , y5 derivacemi a hodnotamipresneho resenı ulohy v uzlech. Graf tohoto resenı je pro p = 1uveden na Obr. 38.
127
Index
LU–rozklad matice, 30uloha
aproximace vektoru metodou ne-jmensıch ctvercu, 63
Eulerova, 73Hermiteovy interpolace, 60Lagrangeovy interpolace, 52
cısloneuplne, 8v pevne radove carce, 9v pohyblive radove carce, 8
cıslo podmınenosti matice, 36
Aitkenuv ∆2 proces, 18algoritmus
Gaussovy eliminace, 29stabilnı, 10
aproximacefunkce, 51Galerkinova, 108
Choleskeho rozklad matice, 33chyba
absolutnı, 8modelu, 7numericke metody (diskretizace),
7relativnı, 8vstupnıch dat, 10zaokrouhlovacı, 7
diferencecentralnı, 71druha centralnı, 71obycejna, 55pomerna, 55smerem dopredu, 70zpetna, 70
formabilinearnı, 107linearnı, 107
formulaceGalerkinova (slaba), 107, 117klasicka, 85, 116
funkce po castech spojita, 106
Gaussova eliminace s vyberem hlavnıchprvku, 30
Gaussova kvadraturnı formule, 95
hlavnı prvek, 27
interpolacnı polynomHermiteuv, 60v Lagrangeove tvaru, 52v Newtonove tvaru, 54
interval absolutnı stability, 81
koren, 12kondenzace, 109konecny prvek
kubicky Hermiteuv, 119linearnı Lagrangeuv, 109
kontrakce s koeficientem α, 17
matematicky model, 6matice
rıdka, 34spatne podmınena, 36diskretizace, 87dobre podmınena, 36monotonnı, 89pasova, 34ryze diagonalne dominantnı, 41symetricka pozitivne definitnı, 33trıdiagonalnı, 34tuhosti, 108
128
tuhosti lokalnı, 109metoda
k–krokova, 74l–bodova, 74radu p, 74absolutne stabilnı, 80Eulerova, 74Gaussova–Seidelova, 41Heunova, 75implicitnı (zpetna) Eulerova, 78Jacobiova, 40Jordanova, 32klasicka Rungova Kuttova, 76konecnych prvku, 108lichobeznıkova, 79Newtonova, 19Newtonova pro systemy, 48obdelnıkova, 76pulenı (intervalu), 14proste iterace, 16proste iterace pro systemy, 46regula falsi, 15relaxacnı, 42Rombergova, 99sıtı pro ODR 2. radu, 86secen, 22Steffensenova, 19umele difuze, 90upwind, 90
mnozinaprıpustnych resenı, 107
nerovnostSchwarzova, 25
nestabilnı priblizne resenı, 80normalnı rovnice, 64norma
matic, 24matice pridruzena, 25matice souhlasna, 24vektoru, 24
nosic, 108numericka metoda, 7numericky problem (diskretizace), 6
okrajova podmınkaprirozena, 107podstatna, 107Dirichletova, 87Neumannova, 87
prımy chod, 28prıpustna variace, 105pevny bod, 16pocatecnı (nulta) aproximace, 16podmınka
Lipschitzova, 73posloupnost postupnych aproximacı (it-
eracnı posloupnost), 16pravidlo
algebraicky rad, 95jednoduche lichobeznıkove, 93jednoduche obdelnıkove, 92jednoduche Simsonovo, 93slozene lichobeznıkove, 95slozene obdelnıkove, 94slozene Simpsonovo, 95
prostorHk(0, l), 107L2(0, l), 107PC(0, l), 107PCk(0, l), 107prıpustnych variacı, 107
relaxacedolnı, 43hornı, 43
Rungeho jev, 56
splajnHermiteuv kubicky, 62Hermiteuv kubicky interpolacnı,
62
129
interpolacnı kubicky, 58kubicky, 57linearnı, 56
symetrizace, 105
vetaFubiniho, 100o kontrakci, 17
vektorzatızenı, 108zatızenı lokalnı, 111
zpetny chod, 28
130
Reference
[1] Akin, J.E., Application and Implementation of Finite Element Methods.Academic Press, London, 1982.
[2] Berezin, I.S., Zidkov, N.P., Numerische Methoden 1. VEB DeutscherVerlag der Wissenschaften, Berlin 1970.
[3] Cermak, L. Algoritmy metody konecnıch prvku. Skripta FSI VUT, 2000.
[4] Cermak, L., Hlavicka, R., Numericke metody. Skripta FSI VUT, 2005.
[5] Cermak, L., Numericke metody II. Skripta FSI VUT, 2007.
[6] Demmel, J.W., Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia,1997.
[7] Horova, I., Numericke metody. Skripta, Masarykova Universita, Brno,1999.
[8] Krızek, M., Neittaanmaki, P., Finite Element Approximation of Vari-ational Problems and Applications. Longman Scientific & Technical,1990.
[9] Lang, S., A First Course in Calculus. Springer, New York, 1986.
[10] Lang, S., Introduction to Linear Algebra. Springer, New York, 1986.
[11] Scheid, F., Numerical Analysis. McGraw-Hill, New York, 1988.
[12] Strang, G., Linear Algebra and its Applications. Academic Press, NewYork, 1976.
131