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E C E N 4 2 2 8 N o t e s
2 . F e e d b a c k i n E l e c t r o n i c C i r c u i t s : A n I n t r o d u c t i o n
c
1 9 9 7 D r a g a n M a k s i m o v i c
D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g
U n i v e r s i t y o f C o l o r a d o , B o u l d e r
T h e r e a r e s e v e r a l r e a s o n s w h y f e e d b a c k i s a p p l i e d i n e l e c t r o n i c c i r c u i t s :
C i r c u i t c h a r a c t e r i s t i c s , s u c h a s g a i n , c a n b e p r e c i s e l y c o n t r o l l e d , a n d m a d e r e l a t i v e l y
i n d e p e n d e n t o f w i d e v a r i a t i o n s i n a c t i v e d e v i c e p a r a m e t e r s ;
C i r c u i t c h a r a c t e r i s t i c s c a n b e m a d e r e l a t i v e l y i n d e p e n d e n t o f o p e r a t i n g c o n d i t i o n s s u c h
a s s u p p l y v o l t a g e s o r t e m p e r a t u r e ;
S i g n a l d i s t o r t i o n , w h i c h i s a r e s u l t o f t h e n o n l i n e a r n a t u r e o f a c t i v e d e v i c e s , c a n b e
s i g n i c a n t l y r e d u c e d ;
F r e q u e n c y r e s p o n s e a n d t h e g a i n b a n d w i d t h t r a d e - o c a n b e c o n t r o l l e d .
F e e d b a c k i s a p o w e r f u l t o o l t h a t a l l o w s u s t o d e s i g n h i g h - p e r f o r m a n c e c i r c u i t s u s i n g c o m p o -
n e n t s w i t h r e l a t i v e l y p o o r o r u n c e r t a i n p a r a m e t e r v a l u e s . T w o t y p e s o f f e e d b a c k a r e a p p l i e d
i n e l e c t r o n i c c i r c u i t s : p o s i t i v e a n d n e g a t i v e . I n p o s i t i v e - f e e d b a c k c i r c u i t s , d e v i c e s a r e u s u a l l y
d r i v e n u p t o t h e i r e x t r e m e o p e r a t i n g m o d e s s u c h a s c u t - o o r s a t u r a t i o n o f b i p o l a r t r a n s i s -
t o r s . A p p l i c a t i o n s i n c l u d e v o l t a g e c o m p a r a t o r s , i p - o p s , o s c i l l a t o r s a n d t i m i n g c i r c u i t s . I n
n e g a t i v e - f e e d b a c k c i r c u i t s , d e v i c e s a r e u s u a l l y i n t h e i r l i n e a r o p e r a t i n g m o d e s s u c h a s a c t i v e
m o d e o f b i p o l a r t r a n s i s t o r s . A p p l i c a t i o n s i n c l u d e a m p l i e r s , l i n e a r v o l t a g e r e g u l a t o r s a n d
l t e r s .
T h e p u r p o s e o f t h i s p a r t o f t h e n o t e s i s t o p r e s e n t b a s i c t o o l s f o r a n a l y s i s a n d d e s i g n o f
f e e d b a c k c i r c u i t s . I n S e c t i o n 1 , w e r s t l o o k a t s i m p l e o p - a m p a p p l i c a t i o n s w i t h n e g a t i v e
a n d p o s i t i v e f e e d b a c k . A s i m p l e a n d g e n e r a l a p p r o a c h t o e v a l u a t e a n d d e s i g n c i r c u i t s w i t h
n e g a t i v e f e e d b a c k i s b a s e d o n t h e c o n c e p t s o f l o o p - g a i n a n d i d e a l c l o s e d - l o o p g a i n i n t r o d u c e d
i n S e c t i o n 2 .
I n t h i s p a r t o f t h e n o t e s , w e n e g l e c t d y n a m i c r e s p o n s e l i m i t a t i o n s i n e l e c t r o n i c c i r c u i t s .
E e c t s o f f e e d b a c k o n t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e , i n c l u d i n g : g a i n - b a n d w i d t h t r a d e - o s , s t a b i l i t y
l i m i t s , a n d c o m p e n s a t i o n t e c h n i q u e s w i l l b e d i s c u s s e d l a t e r .
1 E x a m p l e s o f n e g a t i v e a n d p o s i t i v e f e e d b a c k c i r c u i t s
C o n s i d e r t h e o p e r a t i o n a l a m p l i e r i n F i g . 1 . I n t h i s s e c t i o n , w e w i l l a s s u m e t h a t t h e o p - a m p
h a s i d e a l c h a r a c t e r i s t i c s : i t s o p e n - l o o p g a i n i s v e r y l a r g e :
A
O L
=
v
o
v
e
! 1 ; 1
1
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+-
+
(b)(a)
A VeOL
ie
Ve
Vo
-
+
-
+
Rin
Rout
-VEE
+VCC
VoVe-
+
F i g u r e 1 : O p e r a t i o n a l a m p l i e r a a n d i t s s i m p l i e d m o d e l b .
i t s i n p u t r e s i s t a n c e i s v e r y l a r g e ,
R
i n
=
v
e
i
e
! 1 ; 2
a n d i t s o u t p u t r e s i s t a n c e i s v e r y s m a l l R
o u t
0 . F i g . 1 b d e p i c t s a s i m p l e o p - a m p m o d e l
t h a t i n c l u d e s t h e p a r a m e t e r s A
O L
, R
i n
a n d R
o u t
. T h i s m o d e l i s a c r u d e , b u t i n m a n y c a s e s
a d e q u a t e a p p r o x i m a t i o n t o a c t u a l o p - a m p c h a r a c t e r i s t i c s , a s l o n g a s t h e o p - a m p o u t p u t v o l t a g e
v
o
s t a y s w i t h i n l i m i t s d e t e r m i n e d b y t h e o p - a m p i n t e r n a l s t r u c t u r e a n d t h e s u p p l y v o l t a g e s .
T h e o p - a m p o u t p u t s c a n n o t e x c e e d t h e s u p p l y v o l t a g e s + V
C C
a n d , V
E E
. T h e a c t u a l l i m i t s
p o s i t i v e V
+
O
a n d n e g a t i v e V
,
O
a r e u s u a l l y m o r e r e s t r i c t i v e , b u t c l o s e t o t h e s u p p l y v o l t a g e s :
, V
E E
V
,
O
v
o
V
+
O
+ V
C C
: 3
T h e o p - a m p i s u s e d i n s i m p l e f e e d b a c k a p p l i c a t i o n s a s s h o w n i n F i g . 2 : t h e i n p u t v
i
i s
a p p l i e d t o o n e o f t h e o p - a m p i n p u t s , w h i l e t h e o u t p u t v
o
i s f e d b a c k t o t h e o t h e r i n p u t v i a t w o
r e s i s t o r s , R
a
a n d R
b
. I n F i g . 2 a , t h e o u t p u t i s r e t u r n e d t o t h e , i n p u t , w h i l e i n F i g . 2 b ,
t h e o u t p u t i s r e t u r n e d t o t h e + i n p u t . O u r g o a l i s t o d e t e r m i n e t h e p r o p e r t i e s o f t h e t w o
c l o s e d - l o o p a p p l i c a t i o n c i r c u i t s , i . e . t o d e t e r m i n e h o w t h e o u t p u t v
o
d e p e n d s o n t h e i n p u t v
i
.
B e f o r e w e n d v
o
v
i
f o r t h e t w o c i r c u i t s i n F i g . 2 , c o n s i d e r r s t w h a t h a p p e n s q u a l i t a t i v e l y i n
t h e t w o c i r c u i t s w h e n t h e i n p u t v o l t a g e i s n u l l e d , a s s h o w n i n F i g . 3 . W i t h n o i n p u t , v
i
= 0 ,
o n e w o u l d e x p e c t t h a t v
o
= 0 , b u t i n o n e o f t h e t w o c i r c u i t s t h i s i s n o t t h e c a s e .
E v e n w i t h z e r o i n p u t , s m a l l t i m e - v a r y i n g n o i s e s i g n a l s d o e x i s t i n a n y c i r c u i t . S u p p o s e t h a t
t h e r e i s a v e r y s m a l l p o s i t i v e v o l t a g e c h a n g e a t t h e o u t p u t s o f t h e o p - a m p s i n F i g . 3 a a n d
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+-
+
-
+
-
+
(b)(a)
-
-+
+ Ve Ve
V1 V1
Vi Vi
Ra Ra
Rb Rb
Vo Vo
-VEE -VEE
+VCC +VCC
F i g u r e 2 : T w o o p - a m p a p p l i c a t i o n e x a m p l e s .
b . T h i s i s i n d i c a t e d b y t h e a r r o w p o i n t i n g u p w a r d s . B e c a u s e o f t h e f e e d b a c k c o n n e c t i o n , t h i s
s m a l l o u t p u t v o l t a g e c h a n g e i s r e t u r n e d b a c k t o t h e a m p l i e r i n p u t t h r o u g h t h e v o l t a g e d i v i d e r
R
a
, R
b
. A p o s i t i v e c h a n g e i n t h e o u t p u t w i l l i n b o t h c i r c u i t s r e s u l t i n a p o s i t i v e c h a n g e a t
t h e i n p u t w h e r e t h e o u t p u t s i g n a l i s f e d b a c k . A c h a n g e a t t h e i n p u t w i l l p r o d u c e a c h a n g e i n
t h e o u t p u t v o l t a g e , n e g a t i v e i n t h e c i r c u i t o f F i g . 3 a , a n d p o s i t i v e i n t h e c i r c u i t o f F i g . 3 b .
B e c a u s e t h e i n i t i a l l y a s s u m e d c h a n g e p r o d u c e s o p p o s i t e r e s u l t s w h e n p r o p a g a t e d t h r o u g h t h e
f e e d b a c k l o o p , t h e b e h a v i o r o f t h e t w o c i r c u i t s i s v e r y d i e r e n t . I n t h e c i r c u i t o f F i g . 3 a , t h e
f e e d b a c k p r o d u c e s a s i g n a l t h a t o p p o s e s a n d t e n d s t o c a n c e l t h e o r i g i n a l l y a s s u m e d c h a n g e .
A s a r e s u l t , t h e s t e a d y - s t a t e s i g n a l o u t p u t w i t h z e r o s i g n a l i n p u t i s i n d e e d z e r o . F u r t h e r m o r e ,
s i n c e t h e o p - a m p o p e n - l o o p g a i n A
O L
i s v e r y l a r g e , t h e o p - a m p i n p u t v o l t a g e v
e
b e t w e e n t h e +
a n d t h e , i n p u t s m u s t b e e q u a l t o z e r o , w i t h o r w i t h o u t t h e i n p u t v o l t a g e v
i
a p p l i e d . T h i s i s
a c h a r a c t e r i s t i c o f a n e g a t i v e f e e d b a c k c i r c u i t . I n t h e c i r c u i t o f F i g . 3 b , h o w e v e r , t h e f e e d b a c k
p r o d u c e s a c h a n g e t h a t t e n d s t o a m p l i f y t h e o r i g i n a l l y a s s u m e d c h a n g e . A s a r e s u l t , t h e o u t p u t
v
o
i n t h e c i r c u i t o f F i g . 3 b w i l l m o v e a w a y f r o m z e r o u n t i l i t h i t s t h e u p p e r l i m i t v
o
= V
+
O
.
T h i s i s a c h a r a c t e r i s t i c o f a p o s i t i v e f e e d b a c k c i r c u i t . I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t t h e c i r c u i t
o f F i g . 3 b m a y a l s o e n d u p i n t h e n e g a t i v e s a t u r a t i o n l i m i t , v
o
= V
,
O
. I n f a c t , b a s e d o n
t h e a v a i l a b l e i n f o r m a t i o n , i t i s n o t p o s s i b l e t o s a y w h e t h e r v
o
= V
+
O
o r v
o
= V
,
O
, b u t i n a n y
c a s e t h e o u t p u t i s s a t u r a t e d a t o n e o f t h e l i m i t s , a w a y f r o m z e r o , a l t h o u g h n o i n p u t v o l t a g e
i s a p p l i e d . I t i s a l s o i m p o r t a n t t o n o t e t h a t i n t h e p o s i t i v e f e e d b a c k c i r c u i t , t h e o p - a m p i n p u t
v o l t a g e v
e
i s n o t z e r o .
W e c a n n o w d e t e r m i n e t h e c l o s e d - l o o p v
o
v
i
c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e t w o a p p l i c a t i o n c i r c u i t s .
I n t h e c i r c u i t o f F i g . 2 a , b e c a u s e o f t h e n e g a t i v e f e e d b a c k , a n d b e c a u s e t h e o p - a m p o p e n - l o o p
3
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-
+ -
++
-
feedback loop feedback loop
(a) (a)
-
+ Ve Ve
V1 V1
Ra Ra
Rb Rb
Vo Vo
F i g u r e 3 : F e e d b a c k l o o p s i n t h e e x a m p l e s o f F i g . 2 .
g a i n i s v e r y l a r g e , t h e o p - a m p i n p u t i s z e r o , v
e
= 0 , w h i c h y i e l d s :
v
e
= v
i
, v
1
= v
i
, v
o
R
a
R
a
+ R
b
= 0 ; 4
A
C L
=
v
o
v
i
=
R
a
+ R
b
R
a
: 5
T h e r e f o r e , a s l o n g a s t h e o u t p u t i s w i t h i n t h e s a t u r a t i o n l i m i t s , t h e c i r c u i t i s a n o n - i n v e r t i n g
a m p l i e r w i t h t h e c l o s e d - l o o p g a i n e q u a l t o R
a
+ R
b
= R
a
. T h e c o m p l e t e v
o
v
i
c h a r a c t e r i s t i c ,
i n c l u d i n g t h e s a t u r a t i o n l i m i t s , i s s h o w n i n F i g . 4 a .
I n t h e c i r c u i t o f F i g . 2 b , b e c a u s e o f t h e p o s i t i v e f e e d b a c k , a n d b e c a u s e t h e o p - a m p o p e n -
l o o p g a i n i s v e r y l a r g e , t h e o u t p u t i s a l w a y s i n o n e o f t h e t w o s a t u r a t i o n l i m i t s , v
o
= V
+
O
, o r
v
o
= V
,
O
, d e p e n d i n g o n b o t h v
i
a n d v
o
. S u p p o s e t h a t i n i t i a l l y v
i
i s a l a r g e n e g a t i v e v o l t a g e
s o t h a t v
o
= V
+
O
. T h e + i n p u t i s p o s i t i v e a t v
1
= V
+
O
R
a
= R
a
+ R
b
. T h e o u t p u t s t a y s i n
t h e p o s i t i v e s a t u r a t i o n l i m i t a s l o n g a s v
e
= v
1
, v
i
i s g r e a t e r t h a n z e r o . O n c e v
i
e x c e e d s
v
1
, v
e
b e c o m e s n e g a t i v e , a n d b e c a u s e t h e o p - a m p h a s v e r y l a r g e o p e n - l o o p g a i n , t h e o u t p u t
j u m p s a b r u p t l y t o V
,
O
. A s a r e s u l t , v
1
j u m p s t o t h e n e g a t i v e v a l u e v
1
= V
,
O
R
a
= R
a
+ R
b
.
T h e o u t p u t s t a y s a t t h e n e g a t i v e s a t u r a t i o n l i m i t a s l o n g a s t h e o p - a m p i n p u t v
e
= v
1
, v
i
i s n e g a t i v e . T h e i n p u t v o l t a g e m u s t d r o p b e l o w v
i
f o r t h e o u t p u t t o j u m p b a c k t o V
+
O
. T h e
c o m p l e t e c h a r a c t e r i s t i c o f t h e p o s i t i v e - f e e d b a c k c i r c u i t i s s h o w n i n F i g . 4 b . T h e c h a r a c t e r i s t i c
i s d i s t i n c t l y d i e r e n t f r o m t h e a m p l i e r c h a r a c t e r i s t i c i n F i g . 4 a : t h e o u t p u t j u m p s f r o m o n e
s a t u r a t i o n l i m i t t o t h e o t h e r a t t w o d i e r e n t p o i n t s , d e p e n d i n g o n t h e p r e v i o u s s t a t e o f t h e
o u t p u t . T h e c h a r a c t e r i s t i c w i t h h y s t e r e s i s i s u s e f u l i n v o l t a g e - c o m p a r a t o r a p p l i c a t i o n s w h e r e
t h e c i r c u i t c a n b e u s e d t o d e c i d e a l o g i c - l e v e l h i g h o r l o w d e p e n d i n g o n t h e a n a l o g v o l t a g e
i n p u t . T h e h y s t e r e s i s p r o v i d e s n o i s e i m m u n i t y i n t h e d e c i s i o n p r o c e s s .
4
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(b)(a)
Vo-
Vo-Vo+
Vo+
Ra+Rb
Ra+Rb
Ra+Rb
Ra+Rb
Ra
Ra
Ra
Ra
Vo-Vo-
Vo+
Vo+
Vo Vo
Vi V
F i g u r e 4 : v
o
v
i
c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e a p p l i c a t i o n e x a m p l e s i n F i g . 2 .
2 A n a l y s i s o f n e g a t i v e f e e d b a c k c i r c u i t s
C o n s i d e r a g a i n t h e n e g a t i v e - f e e d b a c k a m p l i e r o f F i g . 2 a . A s s u m i n g i d e a l o p - a m p c h a r -
a c t e r i s t i c s , w e h a v e f o u n d t h a t t h e c l o s e d - l o o p g a i n i s g i v e n b y 5 . S u p p o s e n o w t h a t t h e
o p - a m p o p e n - l o o p g a i n A
O L
i s n i t e . K e e p i n g t h e a s s u m p t i o n s a b o u t i d e a l i n p u t a n d o u t p u t
r e s i s t a n c e s , w e c a n n d t h e c l o s e d - l o o p g a i n A
C L
= v
o
= v
i
a s f o l l o w s :
v
e
= v
i
, v
1
= v
i
,
R
a
R
a
+ R
b
v
o
; 6
v
o
= A
O L
v
e
; 7
v
o
= A
O L
v
i
,
R
a
R
a
+ R
b
v
o
: 8
S o l v e f o r v
o
= v
i
,
A
C L
=
v
o
v
i
=
A
O L
1 + A
O L
R
a
R
a
+ R
b
; 9
o r ,
A
C L
=
R
a
+ R
b
R
a
A
O L
R
a
R
a
+ R
b
1 + A
O L
R
a
R
a
+ R
b
= A
T ! 1
T
1 + T
; 1 0
w h e r e
A
T ! 1
=
R
a
+ R
b
R
a
1 1
i s t h e i d e a l c l o s e d - l o o p g a i n , a n d
T = A
O L
R
a
R
a
+ R
b
1 2
5
-
8/7/2019 dm_feedback1
6/10
i s t h e l o o p - g a i n o f t h e f e e d b a c k c i r c u i t . T h e n a l e x p r e s s i o n 1 0 f o r t h e f e e d b a c k c i r c u i t o f
F i g . 2 a i n t r o d u c e s t w o i m p o r t a n t c o n c e p t s i n t h e a n a l y s i s o f f e e d b a c k c i r c u i t s : l o o p g a i n T
a n d i d e a l c l o s e d - l o o p g a i n A
T ! 1
.
I n g e n e r a l , t h e l o o p g a i n s h o w s h o w m u c h t h e s i g n a l i s a m p l i e d w h e n p r o p a g a t e d t h r o u g h
t h e f e e d b a c k l o o p . T h e c o n c e p t o f p r o p a g a t i o n t h r o u g h t h e l o o p " w a s u s e d i n S e c t i o n 1 t o
e x a m i n e q u a l i t a t i v e l y w h e t h e r t h e f e e d b a c k i s p o s i t i v e o r n e g a t i v e . T i s t h e q u a n t i t y t h a t t e l l s
u s n o t o n l y w h e t h e r t h e f e e d b a c k i s n e g a t i v e T 0 o r p o s i t i v e T 0 b u t a l s o h o w s t r o n g "
t h e f e e d b a c k i s .
R e f e r r i n g t o t h e e x a m p l e o f F i g . 3 a , a s s u m i n g a s m a l l c h a n g e i n v
o
, a n d p r o p a g a t i n g t h i s
c h a n g e t h r o u g h t h e l o o p , w e h a v e t h a t t h e c h a n g e i s r s t a t t e n u a t e d b y t h e r e s i s t i v e v o l t a g e
d i v i d e r ,
v
1
=
R
a
R
a
+ R
b
v
o
; 1 3
a n d t h e n a m p l i e d t h r o u g h t h e o p - a m p ,
v
o
= , A
O L
v
1
1 4
T h u s t h e i n i t i a l l y a s s u m e d c h a n g e i n t h e o u t p u t v o l t a g e i s a m p l i e d t h r o u g h t h e f e e d b a c k l o o p
b y t h e t o t a l g a i n e q u a l t o
v
1
v
o
v
o
v
1
=
R
a
R
a
+ R
b
, A
O L
1 5
T h e l o o p g a i n i s t h e n e g a t i v e o f t h i s t o t a l g a i n , s o t h a t f o r n e g a t i v e f e e d b a c k w e h a v e T 0 ,
T =
R
a
R
a
+ R
b
A
O L
: 1 6
W h e n t h e f e e d b a c k i s v e r y s t r o n g T
! 1 , t h e c l o s e d - l o o p g a i n a s s u m e s t h e i d e a l v a l u e
A
T ! 1
. I n t h e e x a m p l e o f F i g . 2 a , t h i s i s t h e v a l u e f o u n d i n 5 , w h e r e w e a s s u m e d t h a t t h e
o p - a m p h a d i n n i t e o p e n - l o o p g a i n .
2 . 1 F i n d i n g t h e l o o p g a i n T a n d t h e i d e a l c l o s e d - l o o p g a i n A
T ! 1
T h e e x p r e s s i o n
A
C L
= A
T ! 1
T
1 + T
; 1 7
w h i c h w a s d e r i v e d f o r a p a r t i c u l a r c i r c u i t e x a m p l e , i s v e r y u s e f u l a n d i m p o r t a n t b e c a u s e i t
h o l d s i n g e n e r a l . A l t h o u g h f e e d b a c k c i r c u i t s c a n b e a n a l y z e d u s i n g a n y s t a n d a r d c i r c u i t -
a n a l y s i s t e c h n i q u e s f o r e x a m p l e w r i t i n g a n d s o l v i n g a s y s t e m o f n o d a l e q u a t i o n s , t h e a n a l y s i s
o f f e e d b a c k c i r c u i t s b a s e d o n 1 7 h a s a n u m b e r o f a d v a n t a g e s :
1 . I n m o s t c a s e s , b o t h A
T ! 1
a n d T c a n b e o b t a i n e d b y i n s p e c t i o n o r w i t h v e r y l i t t l e
a m o u n t o f m e s s y a l g e b r a .
2 . A
T ! 1
s h o w s w h a t t h e c i r c u i t i s i d e a l l y s u p p o s e d t o d o , i t r e v e a l s t h e f u n c t i o n a n d t h e
p u r p o s e o f t h e c i r c u i t , a n d i s t h e r e f o r e v a l u a b l e i n u n d e r s t a n d i n g t h e c i r c u i t c o n g u r a t i o n
a n d i t s p r o p e r t i e s . T h e f a c t o r T = 1 + T s h o w s h o w c l o s e t h e a c t u a l c i r c u i t p e r f o r m a n c e
i s t o t h e i d e a l .
6
-
8/7/2019 dm_feedback1
7/10
-
+
- +
K ue
-
++
y
u ueVy
-
+
Vx
-
+
Vt
F i g u r e 5 : A g e n e r a l b l o c k d i a g r a m o f a f e e d b a c k c i r c u i t .
3 . T h e e x p r e s s i o n A
T ! 1
T
1 + T
l e a d s d i r e c t l y t o t h e c i r c u i t d e s i g n : o n e c o n s t r u c t s t h e f e e d b a c k
s o t h a t A
T ! 1
h a s t h e d e s i r e d v a l u e , a n d t h a n m a k e s s u r e t h a t T i s l a r g e e n o u g h i n t h e
f r e q u e n c y r a n g e o f i n t e r e s t a n d s u b j e c t t o s t a b i l i t y c o n d i t i o n s d i s c u s s e d l a t e r s o t h a t
A
C L
A
T ! 1
.
4 . T h e l o o p g a i n T i s t h e m a i n q u a n t i t y u s e d t o d e t e r m i n e f r e q u e n c y - r e s p o n s e a n d s t a b i l i t y
o f f e e d b a c k c i r c u i t s , w h i c h w i l l b e d i s c u s s e d l a t e r .
T h e a p p r o a c h b a s e d o n 1 7 r e q u i r e s k n o w l e d g e o f t h e i d e a l c l o s e d l o o p r e s p o n s e A
T ! 1
, a n d
t h e l o o p g a i n T . W e n o w d i s c u s s h o w t o d e t e r m i n e A
T ! 1
a n d T f o r a n a r b i t r a r y f e e d b a c k
c i r c u i t . A g e n e r a l b l o c k d i a g r a m o f a f e e d b a c k c i r c u i t i s s h o w n i n F i g . 5 .
I f t h e c i r c u i t i s n o n l i n e a r , a s i s e s s e n t i a l l y a l w a y s t h e c a s e , w e a s s u m e t h a t t h e s t e a d y - s t a t e
d c o p e r a t i n g p o i n t h a s b e e n f o u n d , a n d t h a t t h e b l o c k d i a g r a m o f F i g . 5 c o r r e s p o n d s t o t h e
l i n e a r s m a l l - s i g n a l m o d e l o f t h e f e e d b a c k c i r c u i t .
T h e i n p u t i s u , a n d t h e o u t p u t i s y . A t s o m e p o i n t , t h e f e e d b a c k l o o p c o n t a i n s a g a i n b l o c k
w h e r e t h e o u t p u t b e h a v e s a s a v o l t a g e s o u r c e K u
e
, c o n t r o l l e d b y t h e i n p u t u
e
. T h e o t h e r p a r t s
o f t h e f e e d b a c k c i r c u i t m a y c o n t a i n o t h e r g a i n s t a g e s o r p a s s i v e c o m p o n e n t s .
F o r t h e p u r p o s e o f n d i n g A
T ! 1
a n d T , a t e s t s i g n a l v
t
i s i n t r o d u c e d i n s e r i e s w i t h t h e
c o n t r o l l e d v o l t a g e s o u r c e K u
e
. T h e t e s t s o u r c e i s n e e d e d o n l y t o p r o d u c e t h e s i g n a l v
x
t h a t i s
p r o p a g a t e d t h r o u g h t h e l o o p i n o r d e r t o n d t h e l o o p g a i n T . I t i s n o t a p a r t o f t h e f e e d b a c k
c i r c u i t . W i t h t h e s i g n a l s d e n e d a s i n F i g . 5 , w e h a v e :
T h e l o o p g a i n s h o w s h o w m u c h t h e s i g n a l v
x
i s a m p l i e d w h e n p r o p a g a t e d t h r o u g h t h e
l o o p w h i l e t h e i n p u t s i g n a l i s n u l l e d , u = 0 .
T =
v
y
v
x
u = 0
1 8
7
-
8/7/2019 dm_feedback1
8/10
N o t e t h a t v
x
i s t h e s i g n a l t h a t e n t e r s t h e l o o p , a n d v
y
i s t h e s i g n a l t h a t c o m e s b a c k
t h r o u g h t h e l o o p . T h e p o l a r i t y o f v
y
i s s e l e c t e d s o t h a t T 0 c o r r e s p o n d s t o n e g a t i v e
f e e d b a c k .
T h e i d e a l c l o s e d l o o p g a i n s h o w s t h e g a i n o f t h e c i r c u i t w h e n t h e l o o p g a i n i s v e r y l a r g e ,
i . e . , w h e n u
e
= v
y
= 0 ,
A
T ! 1
=
y
u
v
y
= 0
1 9
I n o p - a m p a p p l i c a t i o n s , o n e u s u a l l y g e t s A
T ! 1
s i m p l y b y s o l v i n g t h e c i r c u i t w h e r e a l l o p -
a m p s a r e a s s u m e d i d e a l . A n i d e a l o p - a m p h a s i n n i t e g a i n , a n d w h e n n e g a t i v e f e e d b a c k
i s a p p l i e d a r o u n d t h e o p - a m p , t h e v o l t a g e b e t w e e n t h e + a n d t h e , i n p u t t e r m i n a l s
i s n u l l e d . T h e r e f o r e , t h e i d e a l A
T ! 1
c a n b e o b t a i n e d s t a r t i n g f r o m t h e c o n d i t i o n t h a t
v + = v , a t t h e o p - a m p i n p u t s . F o r a r e a l o p - a m p , t h e o p e n - l o o p g a i n i s n i t e , a n d
v + 6= v , . T h e d i e r e n c e v
e
= v + , v , c a n b e c o n s i d e r e d a n e r r o r s i g n a l f o r t h e
f e e d b a c k c i r c u i t , a n d t h e i d e a l r e s p o n s e A
T ! 1
c o r r e s p o n d s t o z e r o e r r o r . I n g e n e r a l , t o
d e t e r m i n e A
T ! 1
f o r a n a r b i t r a r y f e e d b a c k c i r c u i t , i t i s n e c e s s a r y t o i d e n t i f y t h e e r r o r
s i g n a l u
e
i n t h e c i r c u i t . O n c e t h e l o c a t i o n o f t h e e r r o r s i g n a l i s i d e n t i e d , n u l l i n g t h e
e r r o r y i e l d s t h e i d e a l r e s p o n s e A
T ! 1
.
F i n a l l y , t h e c l o s e d - l o o p g a i n i s t h e g a i n o f t h e o r i g i n a l c i r c u i t w h e r e t h e t e s t s o u r c e i s
z e r o ,
A
C L
=
y
u
v
t
= 0
= A
T ! 1
T
1 + T
2 0
T h e s e t u p o f F i g . 5 a n d t h e r e s u l t s 1 8 - 2 0 a r e t h e b a s i s o f o u r a p p r o a c h t o f e e d b a c k c i r c u i t
a n a l y s i s a n d d e s i g n .
2 . 2 E x a m p l e s
A s a n e x a m p l e , c o n s i d e r a n o t h e r s i m p l e o p - a m p a p p l i c a t i o n s h o w n i n F i g . 6 a . V e r y l a r g e
o p e n - l o o p g a i n o f t h e o p - a m p e q u i v a l e n t t o v e r y l a r g e T , a n d n e g a t i v e f e e d b a c k i m p l y t h a t
t h e o p - a m p i n p u t i s v
e
= 0 . A s a r e s u l t , t h e , i n p u t i s a t t h e g r o u n d p o t e n t i a l v i r t u a l
g r o u n d " a n d t h e i d e a l c l o s e d - l o o p g a i n i s b y i n s p e c t i o n :
A
T ! 1
= ,
R
b
R
a
: 2 1
T h e c i r c u i t f u n c t i o n s a s a n i n v e r t i n g a m p l i e r w i t h g a i n s e t b y R
a
, R
b
.
I f t h e o p e n l o o p g a i n o f t h e o p - a m p i s n i t e , t h e c l o s e d l o o p g a i n c a n b e f o u n d u s i n g t h e
g e n e r a l f e e d b a c k r e s u l t s . T h e s e t u p f o r n d i n g t h e l o o p g a i n i s s h o w n i n F i g . 6 b . N o t e t h a t
t h e i n p u t i s z e r o , v
i
= 0 , a n d t h a t t h e t e s t s o u r c e i s i n s e r t e d i n s e r i e s w i t h t h e o p - a m p o u t p u t ,
w h i c h b e h a v e s a s a c o n t r o l l e d v o l t a g e s o u r c e A
O L
v
e
. T h e l o o p - g a i n c a n b e f o u n d a s f o l l o w s :
T =
v
y
v
x
=
v
1
v
x
v
y
v
1
=
R
a
R
a
+ R
b
A
O L
: 2 2
8
-
8/7/2019 dm_feedback1
9/10
-
+
-
+
- +
-
+
Vy
-
+
Vx
-
+
Vt
(b)
Vi
v(-) v(-)
feedback loop feedback loop
(a)
- -
+ + Ve Ve
Ra RaRb Rb
Vo
F i g u r e 6 : A n o t h e r f e e d b a c k c i r c u i t e x a m p l e : i n v e r t i n g a m p l i e r .
I t i s i n t e r e s t i n g t h a t t h e e x p r e s s i o n f o r t h e l o o p g a i n i s e x a c t l y t h e s a m e a s f o r t h e n o n - i n v e r t i n g
a m p l i e r o f F i g . 2 a . F i n a l l y , t h e c l o s e d - l o o p g a i n i s
A
C L
= A
T ! 1
T
1 + T
=
,
R
b
R
a
A
O L
R
a
R
a
+ R
b
1 + A
O L
R
a
R
a
+ R
b
: 2 3
F i g . 7 s h o w s a n o t h e r n e g a t i v e - f e e d b a c k c i r c u i t e x a m p l e . N o t e t h a t i n t h i s c a s e t h e f e e d -
b a c k l o o p i s c l o s e d t h r o u g h a n a c t i v e d e v i c e Q . T h e i d e a l l a r g e - s i g n a l r e s p o n s e i s o b t a i n e d
a s s u m i n g t h a t t h e o p - a m p h a s v e r y l a r g e g a i n s o t h a t v
e
= 0 , i . e . v + = v
, = 0 :
I = I
D
= V
g
= R ; 2 4
V
o
= , V
G S
= ,
p
K I , V
t
: 2 5
T h e i d e a l s m a l l - s i g n a l r e s p o n s e i s o b t a i n e d b y u s i n g t h e s m a l l - s i g n a l m o d e l f o r t h e M O S d e v i c e
a s s u m e r
d s
! 1 ,
v
g
= R = i = i
d
= g
m
v
g s
= , g
m
v
o
; 2 6
A
T ! 1
=
v
o
v
g
= ,
1
g
m
R
: 2 7
T h e l o o p - g a i n T i s f o u n d a s s h o w n i n F i g . 7 b : t h e i n p u t v
g
i s n u l l e d s h o r t e d t o z e r o , a n d
t h e t e s t s o u r c e v
t
i s i n s e r t e d i n s e r i e s w i t h t h e o p - a m p o u t p u t w h i c h b e h a v e s a s a c o n t r o l l e d
v o l t a g e s o u r c e A
O L
v
e
. T h e d e v i c e i s r e p l a c e d w i t h t h e s m a l l - s i g n a l m o d e l .
T =
v
y
v
x
=
v
y
v ,
v ,
i
d
i
d
v
x
= A
O L
, R , g
m
= g
m
R A
O L
: 2 8
T h e f a c t t h a t t h e l o o p g a i n T = g
m
R A
O L
i s p o s i t i v e i s a n i n d i c a t i o n t h a t t h e f e e d b a c k i s i n d e e d
n e g a t i v e . T h e s m a l l - s i g n a l r e s p o n s e o f t h e f e e d b a c k c i r c u i t c a n n o w b e d e t e r m i n e d u s i n g t h e
g e n e r a l r e s u l t 1 7 .
9
-
8/7/2019 dm_feedback1
10/10
-
+
- +
-
+
-
+
Q
id
gm Vgs Vgs-
+
RVGS
-
+
id
i
looploopfeedback
feedbackR
Vy
-
+
Vx
-
+
Vt
(b)
Vi
v(-)v(-)
(a)
--
++VeVe
Vo
F i g u r e 7 : A f e e d b a c k c i r c u i t e x a m p l e w i t h a n a c t i v e d e v i c e Q i n t h e f e e d b a c k l o o p .
1 0