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CAPÍTULO 6

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

6.1 FUNCIONES TRASCENDENTES (Áreas 1, 2 y 3)

Las funciones trascendentes se caracterizan por tener lo que se llama argumento. Un ar-gumento es el número o letras que lo simbolizan que hacen que una función adquiera un valor, esdecir, que se convierta en un número. Sin él, la función es vacía, o sea, no tiene valor.

Por ejemplo, la función sen (seno) es vacía, no tiene ningún valor porque le falta el argu-mento, le falta ese número que la transforme en una cantidad concreta. Si a la función anterior sele agrega el número 26 para tener sen 26 entonces esto ya adquiere un valor, el cual es

. A este número 26 que hizo que sen adquiriera un valor se le llama argu-26 0 4383711sen .=

mento.

Otro ejemplo: la función log (logaritmo) es vacía, no tiene asociado ningún valor, pero sise le agrega 107 para tener log 107 entonces así ya adquiere el valor . En107 2 029383log .=

este caso el 107 es el argumento de la función logaritmo.

De la misma forma, arc tan (arco tangente o tangente inversa) es vacía, no tiene asocia-do ningún valor, pero si se le agrega el número 1.23 para tener arc tan 1.23 ya adquiere el valor

. En este caso el número 1.23 es el argumento de la función arc tan.1 23 50 8886arc tan . .=

Funciones trigonométricas

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Las principales funciones trascendentes son:

a) trigonométricas;b) trigonométricas inversas yc) logarítmicas y exponenciales.

No son todas, pero las que se van a estudiar en este curso serán ésas. Dos característicasinteresantes en todas las fórmulas de derivación de las funciones trascendentes son que el argu-mento está representado siempre por la letra u y la segunda es que todas las fórmulas terminan

multiplicando por la derivada del argumento, o sea por .dudx

Es conveniente tener presentes las reglas de escritura matemática para identificar el argu-mento en una función trascendente, en las que el símbolo de la función se refiere a la escrituracon la que se invoca la función correspondiente. Por ejemplo, sen es el símbolo de la funciónseno; cos es el símbolo de la función coseno; log es el símbolo de la función logaritmo, etc.

Dichas reglas son:

1) El argumento comienza con el símbolo escrito inmediatamente después del símbolo de lafunción.

Ejemplos:

a) ( )3 1cos x +

El argumento comienza con el paréntesis por ser lo que está

escrito inmediatamente después del símbolo de la función cos.Por razones obvias, termina donde cierra el paréntesis.


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b) 2 7tan x x−

El argumento comienza con la raíz cuadrada por ser lo que está

escrito inmediatamente después del símbolo de la función tan.

c) 22arc sec x y

El argumento comienza con el número 2 por ser lo que está

escrito inmediatamente después del símbolo de la funciónarc sec.

d) 4tan cos x

El argumento comienza con la función coseno por ser lo que

está escrito inmediatamente después del símbolo de la funcióntan , es decir, el argumento de la tangente es cos 4x.

2) Todos los factores monomios pertenecen al argumento. En el caso de que alguno no seaparte del argumento, éste debe escribirse antes de la función trascendente.

Ejemplo:a) 3 53sen ab xy

Todos éstos son factores monomios, por lo tanto el argu-

mento de la función seno es 3ab3xy5. En caso de que, porejemplo, y5

no fuera parte del argumento, así está mal es-crito y debe escribirse .5 33y sen ab x


90

3) Solamente el primer término pertenece al argumento. En caso de que otros términos seanparte del argumento, deben encerrarse entre paréntesis. O en caso de que no lo sean, debenescribirse antes de la función trascendente.

Ejemplo:Una escritura así provoca la duda ¿6x - 3 son también parte42 6 3csc x x+ −

del argumento? Conforme a esta regla, no son y deberíaescribirse como 6x - 3 + csc 2x4. O en todo caso, si lo sonsu escritura correcta sería csc(2x4 + 6x - 3).

4) Solamente el 1er factor polinomio es parte del argumento. En caso de que un 2º factor poli-nomio no sea componente del argumento, debe escribirse antes de la función trascendente.

Ejemplo:

Esta escritura es incorrecta porque se presta a dudas: ¿El( )( )2 5 6 4 1cot x x x+ − −

factor (4x - 1) es parte del argumento? Para evitar estas am-bigüedades existe la regla anterior que dice que no y quea d e m á s o r d e n a e s c r i b i r l o c o m o

; pero en el caso de que fuera( ) ( )24 1 5 6x cos x x− + −

parte del argumento, su escritura correcta sería

( )( )2 5 6 4 1cos x x x⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦

5) Un exponente escrito sobre el símbolo de la función indica que toda la función está elevadaa dicha potencia.

Ejemplo:Este exponente indica que la función cotangente es la que( )3 5 6cot x −

está elevada al cubo, o sea que


91

( ) ( ) ( ) ( )3 5 6 5 6 5 6 5 6cot x cot x cot x cot x− = − − −

6) Un exponente escrito sobre el argumento indica que es el argumento el que está elevado adicha potencia.

Ejemplo

Este exponente indica que el argumento (5x - 6) es el que( )35 6cot x −

está elevado al cubo, o sea que

( ) ( )( )( )35 6 5 6 5 6 5 6cot x cot x x x− = ⎡ − − − ⎤⎣ ⎦Nótese como se cumplen las reglas de escritura anteriores.

7) Todo argumento negativo debe escribirse entre paréntesis.

Ejemplo:La razón de esta regla es para evitar confusiones en los( )2sen x−

inexpertos que interpretan como resta cuando se escribe, a pesar de que carece de sentido una resta así,2sen x−

pues la función sen estaría vacía (sin argumento), ya quese estaría tomando como un término a sen y como otrotérmino a - 2x.

8) Cuando una función trascendente está dividida entre cualquier cantidad, debe escribirse lafracción que indica la división antes de la función trascendente. En caso de que sea sola-mente el argumento el que esté dividido, debe encerrarse el argumento entre paréntesis o encaso extremo debe escribirse la línea de fracción claramente a la mitad del símbolo de lafunción.

Ejemplos


92

Lo que pide esta regla es que se evite escribir el ejemplo ante-( )1 6 13

log x −

rior como , pues es frecuente una escritura defi-( )6 1

3log x −

ciente como que provoca la duda: ¿El 3 divide( )6 1

3log x −

a toda la función o solamente al argumento?.

Para evitar las confusiones señaladas en el ejemplo anterior,6 1

3xsec −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

con un paréntesis en el argumento se deja en claro qué divideel 3.

6.2 FÓRMULAS PARA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (Áreas 1, 2 y 3)

Las fórmulas de derivación de las seis funciones trigonométricas son:

(9)d dusen u cos udx dx

=

(10)d ducosu sen udx dx

= −

(11) 2d dutanu sec udx dx

=

(12) 2d ducot u csc udx dx

= −

(13)d dusecu tanu secudx dx

=


93

(14)d ducscu cot u cscudx dx

= −

Debe notarse que la derivada de una función trigonométrica es otra, u otras, función trigo-nométrica con el mismo argumento. Esto es muy importante: el argumento nunca cambia. Ade-

más todas las fórmulas terminan multiplicando por la derivada del argumento dudx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo 1: Hallar la derivada de 5y sen x=

Solución: El argumento es 5x, o sea que u = 5x. Aplicando la fórmula (9) se obtiene

5 5dy dcos x xdx dx

=

cos u d udx

5 5dy cos xdx

=

Nótese que el argumento 5x no cambia de la función original al resultado de la derivada.

Ejemplo 2: Hallar la derivada de y= cos x2.

Solución: El argumento es x2, o sea que u = x2. Aplicando la fórmula (10) se obtiene


94

2 2dy dsen x xdx dx

= −

- sen u d udx

22dy x sen xdx

= −

Ejemplo 3: Hallar la derivada de y = tan (x2 - 3x + 5)

Solución: El argumento es (x2 - 3x + 5), o sea que u = x2 - 3x + 5. Aplicando la fórmula (11) se obtie-ne:

( ) ( )2 2 23 5 3 5dy dsec x x x xdx dx

= − + − +

sec 2 ud udx

( ) ( )2 22 3 3 5dy x sec x xdx

= − − +

Ejemplo 4: Hallar la derivada de 7y cot x=


95

Solución: El argumento es , o sea que . Aplicando la fórmula (12):7x 7u x=

2 7 7dy dcsc x xdx dx

= −

( )1 22 7 7 /dy dcsc x xdx dx

= −

-csc 2 ud udx

La derivada pendiente es de la forma un, por lo que

( )2 1 217 7 72

/dy dcsc x x xdx dx

−

⎡ ⎤⎢ ⎥= − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

n u n - 1d udx

2 772 7

dy csc xdx x

⎡ ⎤= − ⎢ ⎥

⎣ ⎦

Finalmente ordenando conforme a las reglas de escritura matemática

27 72 7

dy csc xdx x

= −


96

Ejemplo 5: Hallar la derivada de 4

1y secx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución: El argumento es , o sea que . Aplicando la fórmula (13):4

1x 4

1ux

=

4 4 4

1 1 1dy dtan secdx dxx x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )44 4

1 1dy dtan sec xdx dxx x

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

54 4

1 1 4dy tan sec xdx x x

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠


5 4 4

4 1 1dy tan secdx x x x

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ejemplo 6: Hallar la derivada de 4 5

3

6 1y csc

x

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎝ ⎠

Solución: El argumento es , o sea que . Aplicando la fórmula (14):54

3

6 1x − 4

36 1

ux

=−

5 5 54 4 4

3 3 3

6 1 6 1 6 1

dy dcot cscdx dxx x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


97

( ) 1 45

5 54 4

3 3 3 6 16 1 6 1

/dy dcot csc xdx dxx x

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠


( ) ( )5 45 5

5 54 4

3 3 3 6 1 6 146 1 6 1

/dy dcot csc x xdx dxx x

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )( )

4

5 45 54 4 5

3 303 3

6 1 6 1 4 6 1/

xdy cot cscdx x x x

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦


( )4

5 4 5 54 45

90 3 3

6 1 6 14 6 1/

dy x cot cscdx x xx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ejemplo 7: Hallar la derivada de ( )524 4 7y sen x x= − +

Solución: El argumento es (4x2 - 4x + 7)5 , por lo que u = (4x2 - 4x + 7)5. Empleando la fórmula (9):

( ) ( )5 52 24 4 7 4 4 7dy dcos x x x xdx dx

= − + − +



98

( ) ( ) ( )42 2 24 4 7 5 4 4 7 4 4 7dy dcos x x x x x xdx dx

⎡ ⎤⎢ ⎥= − + − + − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

n u n - 1 d udx

( ) ( ) ( )5 42 24 4 7 5 4 4 7 8 4dy cos x x x x xdx

⎡ ⎤= − + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

finalmente, ordenando conforme a las reglas de escritura matemática:

( ) ( ) ( )4 52 25 4 4 7 8 4 4 4 7dy x x x cos x xdx

= − + − − +

Ejemplos con potencias

Ejemplo 8: Hallar la derivada de 4 5y cos x=

Solución: Como la función es lo mismo que , tiene la forma de un, en4 5y cos x= ( )45y cos x=

donde u = cos 5x y n = 4. Entonces aplicando la fórmula (6) correspondiente a un de lapágina 69 se obtiene:

( )3

4 5 5dy dcos x cos xdx dx

=

n - 1

n u d udx


99

La derivada pendiente es de la forma cos u , de manera que aplicando ahora la fórmula (10)del coseno:

( )34 5 5 5dy dcos x sen x xdx dx

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

- sen ud udx

( )34 5 5 5dy cos x sen xdx

= −⎡ ⎤⎣ ⎦

Finalmente, ordenando conforme a las reglas de escritura matemática se llega a

320 5 5dy cos x sen xdx

= −

Ejemplo 9: Hallar la derivada de ( )3 27 5 7y x tan x= −

Solución: La función tiene la forma del producto uv, en donde y . Enton-37u x= ( )25 7v tan x= −

ces aplicando la fórmula (7) del producto uv de la página 77:

( ) ( )3 2 2 37 5 7 5 7 7dy d dx tan x tan x xdx dx dx

= − + −

u v dvdx

dudx


100

La primera derivada pendiente es de la forma tan u, en donde u = 5x2 - 7:

( ) ( ) ( )3 2 2 2 2 27 5 7 5 7 5 7 21dy dx sec x x tan x xdx dx

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤= − − + − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

sec2ud udx

( )( ) ( )3 2 2 2 27 5 7 10 5 7 21dy x sec x x tan x xdx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − ⎣ ⎦⎣ ⎦

Nótese que el factor se escribió con un paréntesis de diferente forma al del argu-221x⎡ ⎤⎣ ⎦mento de la tangente para evitar confusiones y dejar claro que no pertenece al argumento.Finalmente, ordenando conforme a las reglas de escritura matemática:

( ) ( )4 2 2 2 270 5 7 21 5 7dy x sec x x tan xdx

= − + −

Ejemplo 10: Derivar 4

2

5sen xysec x

=

Solución: La función tiene la forma de un cociente, es decir, de , en donde u que representa al nu-uv

merador es y v que representa al denominador es . De manera4 5u sen x= 2v sec x=que empleando la fórmula del cociente:


101

v u dudx

dvdx

( )

2 4 4 2

22

5 5d dsec x sen x sen x sec xdy dx dxdx sec x

−=

v2

La primera derivada pendiente o indicada es , la cual se deriva con la fórmula4 5d sen xdx

de un (ver ejemplo 8), ya que sen45x = (sen 5x)4; en donde ahora por cambiar de fórmula

y n = 4, mientras que la segunda derivada pendiente es , la cual es5u sen x= 2d sec xdx

de la forma sec v, en donde v = x2 . Nótese que aunque la fórmula original está expresada entérminos de la variable u, es decir,

, d dusecu tanu secudx dx

=

en este caso se está empleando la variable v , esto es

d dvsec v tan v sec vdx dx

=

en virtud de que la variable u se utilizó en la primera derivada pendiente. Realizando lasderivadas indicadas:


102

n u n - 1 tan v sec v dudx

dvdx

( )2 3 4 2 2 2

2 2

4 5 5 5d dsec x sen x sen x sen x tan x sec x xdx dx

dydx sec x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

Como la derivada del seno es :d dusen u cos udx dx

=

[ ]( )2 3 4 2 2

2 2

4 5 5 5 5 2dsec x sen x cos x x sen x tan x sec x xdy dxdx sec x

⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠=

Finalmente, multiplicando y ordenando conforme a las reglas de escritura se llega a

2 3 4 2 2

2 2

20 5 5 2 5dy sec x sen x cos x x sen x tan x sec xdx sec x

−=

Ejemplo 11: Derivar .4y tan sen x=

Solución: En este caso debe distinguirse en primer lugar que el argumento de la función trigonométrica tangente es a su vez la función trigonométrica seno; y que el argumento de este seno es 4x.Significa que la función a derivar tiene la forma de tan u, en donde u = sen 4x.. Utilizandoentonces la fórmula de derivación de la tangente se obtiene que


103

2 4 4dy dsec sen x sen xdx dx

=

sec 2 ududx

2 4 4 4dy dsec sen x cos x xdx dx

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

cos ududx

24 4 4dy sec sen x cos xdx

=

aunque para evitar confusiones en el argumento de la secante, es preferible escribirlo con elcoseno por delante:

24 4 4dy cos x sec sen xdx

=

Ejemplo 12: Obtener la derivada de .( )5 23 3y tan x= −

Solución: Obsérvese que la función a derivar puede escribirse también como ,( )5

2 33y tan x⎡ ⎤= −⎣ ⎦

por lo tanto es de la forma un, en donde u = tan (x 2 - 3) y . Empleando dicha fór-53n =

mula se obtiene:


104

( ) ( )5 12 235 3 3

3dy dtan x tan xdx dx

−⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

n u n -1dudx

( ) ( ) ( )2

2 2 2 235 3 3 33

dy dtan x sec x xdx dx

⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦

( ) ( )2

2 2 235 3 3 23

dy tan x sec x xdx

⎡ ⎤= − − ⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )2

2 2 2310 3 33

dy x tan x sec xdx

= − −

( ) ( )2 2 2 2310 3 33

dy x sec x tan xdx

= − −


105

EJERCICIO 12

Hallar la derivada de las siguientes funciones trigonométricas:

1) 2)8y sen x= ( )2 6y cos x= −

3) 4)( )2y tan x x= − ( )42 6y cot x x= +

5) 6)53y sec x= 7

1y cscx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

7) 8)2y senx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠8

32

y cosx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

9) 10)( )6 4 5y tan x= −( )7

5

3 5y cot

x

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎝ ⎠

11) 12)2y sec xx

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )3 2 6y csc x x x= − + −

13) 14)4 2y sen x= 3 6y cos x=

15) 16)5 7y tan x= 7y sec x=

17) 18)( )2 5y csc x= − ( )24y sen x x= −


106

19) 20)4

1

6y

cos x= ( )9 8 3y cot x= −

21) 22)3 5y cot x sec x= ( )7 4 9y x cot x= −

23) 24)( ) 15y x cscx

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )723 1y tan x x⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

25) 26)2

3 1xy cos

x⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠5

2sen xyx

=

27) 28)( )1xy

sec x=

− 4 6

5

7y

cot x=

29) 30)2y tan cos x= 5y csc sen x=

31) 32)( )75 2 3y tan x= −2

2

cot xyx

=

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