Korelasyon ve Regresyon Analizi

13.Hafta

1

2Korelasyon analizi; iki yada daha çok değişken

arasında ilişki olup olmadığını, ilişki varsa yönünü ve gücünü inceleyen analiz yöntemidir.

Regresyon analizi ise, değişkenlerden birisi belirli bir birim değiştiğinde, diğerinin nasıl bir değişim gösterdiğini inceleyen analiz yöntemidir.

İki veri setinin ortak değişintisinin, serilerden her birinin standart sapmalarının çarpımına oranıdır. İki rastgele değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü belirtir. Genel istatistiksel kullanımda ilişki katsayısı, bağımsızlık durumundan ne kadar uzaklaşıldığını gösterir.

Tam bir artan doğrusal ilişkinin varlığı halinde ilişki katsayısı 1 değerini alır, tam bir azalan ilişkinin varlığı halinde ise ilişki katsayısı -1 değerini alır. Katsayının alabileceği diğer tüm değerler ise ilişkinin doğrusallığına bağlı olarak bu iki değer arasında olacaktır. Katsayı +1'e veya -1'e ne kadar yakınsa ilişkinin doğrusallığı o kadar güçlüdür.

Değişkenler istatistiksel olarak bağımsız ise ilişki 0'dır fakat bunun tersi doğru değildir, çünkü korelasyon katsayısı yalnızca doğrusal olan ilişkiyi belirler.

3

yx

xyxy

KVR

)yy)(xx(

1N

1KV AiA

N

1iixy

Bir seri (x, y) noktalar ve her set için x ile y arasındaki ilişki katsayısı değeri. Yukarı sıradan görüldüğü gibi korelasyon bir doğrusal ilişkinin yönünü ve rastgele yayılımını yansıtır. Orta sıradan anlaşılmaktadır ki korelasyon ilişkinin eğiliminden etkilenmez. Son sıranın amacı ilişkinin doğrusal olmayan bağlantılardan da etkilenmediğini göstermektir.

4

Eğer x ve y iki değişken iseler, dik koordinat sisteminde (x,y) noktaları bir noktalar bulutu halinde görülür :

Korelasyon Analizi Negatif Korelasyon (Ters Orantılı İlişki):

x değişkeni artarken y değişkeni azalıyorsa veya x değişkeni azalırken y değişkeni artıyorsa bu iki değişken arasında negatif korelasyon var demektir. Örneğin, Enflasyon arttıkça vatandaşın alım gücü düşer.

5

Alım Gücü

Enflasyon

Pozitif Korelasyon (Doğru Orantılı İlişki):

Bir A değişkeni artarken B değişkeni de artıyorsa ve A değişkeni azalırken B değişkeni de azalıyorsa bu iki değişken arasında pozitif korelasyon var demektir. Örneğin Ders çalışma arttıkça sınavdan yüksek puan alma artar.

6

Ders Çalışma

Yüksek Puan Alma

Sıfır (Nötr) Korelasyon: İki değişken arasında bir ilişki yoktur. Örneğin çok yemek yeme ile çok gülmek arasında bir ilişki yoktur.

7

Çok Yemek yeme Çalışma

Çok Gülmek

Korelasyon(İlişki) Katsayısı

Korelasyon katsayısı ilişkinin büyüklüğünü gösterir. Korelasyon katsayısı iki değişken arasındaki ilişkinin gücünü gösterir. x ve y arasındaki (–1,00) büyüklüğündeki korelasyon iki değişkenin en yüksek düzeyde ilişki olduğuna işaret eder. Yine A ve B değişkenleri arasındaki (+1,00) büyüklüğündeki korelasyon bu iki değişkenin en yüksek düzeyde ilişkili olduğunu gösterir. (0,00) korelasyon ise iki değişken arasında ilişkinin olmadığını, yani ilişki büyüklüğünün sıfıra eşit olduğunu gösterir. Değişkenler arasındaki ilişkinin büyüklüğüne bakılırken korelasyonun (–) veya (+) olması dikkate alınmaz. Mutlak değer olarak en büyük korelasyon en yüksek veya en güçlü ilişkiyi gösterir.

8

Ortak değişinti (Kovaryans) ile Korelasyon arasındaki bağıntıya bakarsak;

İki veri setinin ortak ortalamaları etrafında berabercegösterdikleri değişimin bir ölçüsü kovaryanstır.Kovaryans değeri, + ile – arasındadır.

Buna göre;

‘dır.

9

yx

xyxy

KVR

)yy)(xx(

1N

1KV AiA

N

1iixy

Regresyon Analizi (Doğrusal (Lineer) Regresyon)

Iki değişken arasında belirgin bir ilişki varken, bu ilişki dağılımgrafiğindeki noktalar arasından geçen uygun bir doğru iletanımlanabilir. Bu doğruya regresyon doğrusu denir vematematiksek olarak bir bağıntı ile tanımlanabilir. Buna da regresyon bağıntısı denir. Bu bağıntı ile herhangi bir bağımsızdeğişkene karşılık gelen bağımlı değişken hesaplanabilir. Ikideğişken arasında tam bir ilişki varsa yani R=1 ise, dağılımdaki bütün noktalar regresyon doğrusu üzerine düşer. Regresyon doğrusu genelde En Küçük Kareler Yöntemi ilehesaplanır.

10

11

En Küçük Kareler Yöntemi

12

13

14

15

16

17

18

En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi ile Regresyon Doğrusunu Hesaplanması Regresyon doğrusunun denklemi, y = ax+b’ dir. Burada y bağımlı, x bağımsız

değişken, a doğrunun y eksenini kestiği nokta, b ise doğrunun eğimi olan regresyon katsayısıdır. N adet nokta( xi, yi ) çifti için y ve y.x denklemleri aşağıdaki şekildedir.

Buradan regresyon katsayısı (b) çekildiğinde,

Bulunur.

19

2xbxaxy

xbaNy

N

xx

N

yxxy

b2

2

Tüm x ve y değerlerinin aritmetik ortalamaları alınır. Bulunan değerlere göre EKK denklemi,

şeklini alır. Buradan

olur. Bulunan a ve b değerleri doğru denkleminde yerlerine yazılır. Regresyon doğrusu,

ve noktalarının kesişimi ve a değeri

bilindiğinden kolaylıkla çizilebilir.

20

xbay

xbya

x y

EKK Yöntemi gerçek y değerleri ile ler arasındaki farkların

karelerinin toplamının en küçük olması esasına dayanır:

İstatistikte doğrusal olmayan ilişkiler de vardır. Bunlar genellikle parabol denklemine uydurularak ya da doğrusallaştırma işlemi yapılarak çözülür.

21 y

enküçükyy ii2)(

22

Tahminin Standart Hatası

şeklinde hesaplanır. Gözlem sayısının çok olduğu durumlarda ;

olur.

23

2

2

N

yyS hes

yx

)(

2

2

N

xybyayS yx

Açıklama (Belirtme) Katsayısı R2

24

Açıklama Katsayısı bire yakın bulunur ise, bağımlıdeğişkendeki değişimin büyük bir kısmı bağımsızdeğişken tarafından açıklanabilir yorumuyapılabilmektedir.

RKT: Regresyon Kareler Toplamı

YOAKT: Y Ortalamadan ayrılış kareler toplamı

Yüzde cinsinden ifade edilen açıklama katsayısı,regresyon analizinde önemlidir ve aşağıdaki gibihesaplanır ;

n

ii

n

ii ynyyyYOAKT

1

22

1

2

Örnek:

(1, 1), (3, 2), (4, 4), (6, 4), (8, 5), (9, 7), (11, 8), (14, 9) verilerine EKK yöntemi regresyon analizi uygulayınız. Regresyon doğrusunu bulup çiziniz.

25

Çözüm: 26

27

1; 1

3; 2

4; 4 6; 4

8; 5

9; 7

11; 8

14; 9

y = 0.6364x + 0.5455R2 = 0.9545

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16

veri

EKK regresyon doğrusu

ÖDEV: Aşağıdaki satış verilerine EKK yöntemi regresyon analizi uygulayınız. Regresyon doğrusunu bulup çiziniz. Tahminin standart hatasını hesaplayınız.

28