DIVERGENCIA DE GAUSS Y PRIMERA ECUACIÓN DE

MAXWELL

REALIZADO POR: ANGEL LOJANO

CESAR MATUTE

PAUL LOJANO

DAVID VALLEJO

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA

∮𝑠

.

𝐷 ∙𝑑𝑆=∫𝑣𝑜𝑙

.

𝛻 ∙𝑑𝑣

donde ds=n ds y n es el vector unitario normal saliente del volumen

Y el vector

Entonces div es:

Texto

Texto

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA

Superficie cerrada S

Texto

Texto

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA

Suponiendo que la ecuación de la

superficie del limite inferior es

De la misma manera suponemos que la

ecuación de la superficie

del limite superior es

Texto

Texto

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA

Llamando R a la proyección de la

superficie S sobre el plano xy

Texto

Texto

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA

𝛾 2𝑛2

𝛾1𝑛1

𝑑𝑆2

𝑑𝑆1

Como la div es :

Entonces nos quedaría:

Tomamos solo la componete en k de la divergencia.Porque de manera similar se haría al proyectar S sobre los demás planos

Texto

Texto

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA

𝛾 2𝑛2

𝛾1𝑛1

𝑑𝑆2

𝑑𝑆1

Entonces descomponiendo nos quedaría

Ahora integramos como sabemos que la funciones en base al eje z superior inferior es y respectivamenteLa integral no quedaría con respecto a es:

Ahora si nos damos en cuenta al separa las integrales con respectos a x e y estas se convierten como un integral de la Región entonces:

Texto

Texto

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA

𝛾 2𝑛2

𝛾1𝑛1

𝑑𝑆2

𝑑𝑆1

Entonces ahora Integramos

Esto seria igual a:

Para la superficie de y esto es igual a porque la normal a la superficie forma un ángulo agudo entre y k

Y de forma similar seria para para la superficie Con la diferencia que y k forman un ángulo agudo entonces nos quedaría

Texto

Texto

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA

𝛾 2𝑛2

𝛾1𝑛1

𝑑𝑆2

𝑑𝑆1

Ahora remplazamos

Y

es igual a

Por lo tanto

Texto

Texto

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA

𝛾 2𝑛2

𝛾1𝑛1

𝑑𝑆2

𝑑𝑆1

Con esto demostramos queSi proyectamos S sobre los demás planos coordenados de manera similar a la anterior se obtendrían estos resultados:

Texto

Texto

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA

𝛾 2𝑛2

𝛾1𝑛1

𝑑𝑆2

𝑑𝑆1

Ahora si sumamos las demostraciones se obtieneExpresado de manera general

PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL• Los fenómenos electromagnéticos son definidos por las

ecuaciones de maxwell para esto empezaremos con su primera ecuación lo que plantea y su resolución

• Primera ecuación de maxwell, estas ecuaciones son representadas en el vacío con lo que aquí se tiene en la forma diferencial

• Para comprender de una mejor manera en la parte izquierda de esta ecuación tenemos (E) que es el campo eléctrico, es decir la intensidad de la fuerza eléctrica en este caso podría ser de (atracción o repulsión). Que sufriría una carga situada en un lugar determinado.

PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL

Pueden existir tres tipos de divergencia

PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL

• Hace pensar pequeña esfera de carga Q. de la cual salen líneas de flujo hacia afuera

• Cuando ocurre esto se dice que estas líneas son divergentes y la carga se consideraría como una fuente de carga positiva

PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL

• Entonces donde es el volumen que encierra la superficie S en el punto P.

Cuando la divergencia de un campo vectorial es

diferente de cero se dice que la región contiene fuentes o sumideros. Es una fuente cuando las líneas salen o se alejan en este caso el vector diverge. Negativa cuando las líneas entran a la fuente en este caso el vector converge. Y cero cuando el punto (P) no es fuente ni sumidero.

PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL

• Ya que tenemos todos estos conceptos tenemos un (D) una densidad de carga

Según la ley de gauss se puede usar el flujo neto hacia afuera de una densidad de flujo desde una superficie cerrada S. Entonces Maxwell estableció que: el flujo eléctrico por unidad de volumen que sale de un pequeño volumen unitario es exactamente igual a la densidad de carga volumétrica que existe en él.

PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL

• la primera ecuación de Maxwell es la siguiente.

Entonces existe una herramienta matemática que relaciona la ecuación de Gauss con la primera ecuación de Maxwell es la que se llama el teorema de la divergencia

Con lo queda demostrada la primera ecuación de Maxwell