MEHANIČKI PRORAČUN

Zadatak 1.

Izvesti relacije za izračunavanje:a) ugiba lančaniceb) dužine užeta u umerenom (a<500 m) pravom rasponu.

Rešenje:

a) Proračun ugiba lančanice

Uže koje slobodno visi između dve tačke vešanja poprima takozvani oblik lančanice. Matematički opis zavisnosti koordinata tačaka na lančanici ili jednačina (koja je poznata iz statike) koja opisuje lančanicu ima oblik:

, za koordinatni početak u temenu lančanice.

- (x,y) – koordinate tačke na lančanici;- - unutrašnje naprezanje [daN/mm2];- - specifična težina užeta [daN/(m mm2)].

Sl.1. Izgled lančanice

1

x

y

fm

ht

a BALegenda:a – horizontalni raspon užetafm – maksimalni ugib užetaht – visina temena lančanice iznad tla

, (1)

Razvojem u red, funkcije kosinus hiperbolični, dobija se:

,

kada se gornji izraz uvrsti u relaciju (1) ima se,

Konačno, nakon skraćivanja u zagradi i zanemarenja drugog sabirka, na kraju gornjeg izraza (kao znatno manjeg po vrednosti, od prvog sabirka) dobija se uprošćena relacija između ordinate i apscise tačke na lančanici:

Vertikalno rastojanje između spojnice tačaka vešanja i tačke na užetu naziva se ugib. Maksimalni ugib lančanice se može oceniti kao ordinata tačke vešanja lančanice:

(2)

Konačno, uz zanemarenje drugog sabirka (koji je znatno manji od prvog) dobija se relacija između maksimalnog ugiba i raspona, za date karakteristike užeta:

2

Maksimalni ugib lančanice zavisi od kvadrata raspona užeta, ali i karakteristika užeta i uslova eksploatacije (, ).

Ugib u bilo kojoj tački se računa kao:

b) Dužina užeta

Dužina proizvoljno malog elementa užeta dl se može iskazati preko njene horizontalne dx i vertikalne dy projekcije:

Sl.2. Deo lačanice proizvoljno male dužine dl

Ako se dx izvuče ispred kvadratnog korena dobija se novi oblik prethodne relacije:

Pri čemu se prvi izvod funkcije y=f(x), tj. računa na osnovu relacije (1), na sledeći način:

3

dx

dydl

Imajući u vidu sledeću jednakost:

Dobija se:

Integraljenjem ovog izraza dobija se dužina užeta:

Ovaj integral se rešava uvođenjem sledeće smene:

Nakon ove smene, granice integrala se menjaju:

Pa se posle izračunavanja integrala dobija:

4

Konačno se dobija:

(3)

Dakle, dužina lančanice se veoma malo razlikuje od raspona lančanice!

Zadatak 2.

Koliki je maksimalni ugib Al užeta bilo kog preseka, zategnutog na =5 daN/mm2, kratkog pravog raspona a=250 m i specificne težine =2,7.10 -3 daN/(m mm2).

Rešenje:

Prvo možemo izračunati parametar lančanice

.

Na osnovu relacije za maksimalni ugib (2) izvedene u prethodnom zadatku uvrštavanje brojnih vrednosti dobija se:

Dužinu užeta možemo izračunati na osnovu jednačine (3) prethodnog zadatka, i ona iznosi:

.

5

Zadatak 3.

Vazdušni vod iz prethodnog primera prolazi iznad objekta visine hob=6,5 m čiji je položaj dat na slici. Odrediti:

a) visinu užeta iznad objekta, hnadob;b) ako se zbog porasta temperature uže istegne i zbog toga ugib poraste na fm=5 m,

odrediti novo hnadob.

Sl.3.Lančanica iznad objekta čiji je temelj na udaljenosti x metara od koordinatnog početka

Rešenje:

a) Visina užeta iznad objekta

Sa slike se jasno uočava da se tražena visina dobija kao prosta razlika visine užeta na mestu iznad objekta i visine objekta, tj. na osnovu sledeće relacije:

6

ht=6 m

x

y

fm

a==

250 m

y

hob=6,5 m

d=75 mx

hnadob

b) Visina užeta iznad objekta nakon porasta temperature

Zbog porasta temperature došlo je do promene u vrednosti unutrašnjeg naprezanja užeta. Na osnovu podatka o novoj vrednosti maksimalnog ugiba fm=5 m možemo odrediti novo+:

Na isti način, kao i u delu zadatka pod a), možemo izračunati traženu visinu uz uvažavanje novog parametra lančanice

i smanjenja visine temena iznad zemlje

,

pri čemu je vrednost starog ugiba uzeta iz prethodnog zadatka. Sada je:

Iz ove jednačine se vidi da bi uže 'palo' na objekat.

Zadatak 4.

Dato je uže sa sledećim podacima:

- specifična težina užeta:

- raspon:

- modul elastičnosti užeta:

- temperaturni koeficijent istezanja užeta:

- prečnik užeta:

- normalno dozvoljeno naprezanje užeta: .

7

a) Izračunati kritični raspon užeta. Dodatno opterećenje usled snega, leda ili inja odgovara zoni leda, gde je k=1.

b) Odrediti montažne krive i tabele, (t) i f(t).c) Primenom montažne tabele, odrediti silu kojom je potrebno zategnuti uže, a da pri tom

max radno ne pređe ndoz. Koliki će biti ugib i dužina provodnika. Temperatura montaže iznosi 10C.

d) Primenom jednačine promene stanja odrediti mont pri tmont=10 °C.e) Koliko će se naprezanje pojaviti u užetu pri t= -5°C, ako je pri montaži umesto ranijeg

mont uzeto za 1 daN/mm2 veće ?f) Odrediti kritičnu temperaturu i maksimalni ugib.

Rešenje:

a) Kritični raspon užeta

Kritični raspon je onaj raspon kod koga je unutrašnje naprezanje kod -5C (uz normalni dodatni teret) jednako naprezanju kod -20C (bez dodatnog tereta).

Jednačina promene stanja glasi:

Shodno definiciji kritičnog raspona posmatraćemo dva različita stanja data u sledećoj tabeli stanja:

T1. Opis dva stanja užetaStanje t

I -20C maxradno

II -5C r maxradno

Iz jednačine stanja stavljanjem da je 2=r; 1= i 1=2=maxradno i uvrštavanjem vrednosti odgovarajućih temperatura, dobija se izraz za izračunavanje kritičnog raspona:

,

jer se obično uzima da je maksimalno radno naprezanje jednako normalno dozvoljenom. Kritični raspon je računska veličina koja je funkcija karakteristika užeta (max, t, ) i dodatnog tereta.

8

Normalno dodatno opterećenje se računa pomoću podužne težine dodatnog tereta, koja je definisana preko empirijske formule:

,

gde koeficijent k (koeficijent leda) zavisi od meteoroloških uslova u posmatranom podneblju i njegove tipične vrednosti su: 1; 1.6; 2.5; ...U našem konkretnom primeru on iznosi 1.Specifična težina normalnog dodatnog tereta računa se na sledeći način:

,

gde je S površina poprečnog preseka užeta na kome se nahvatao dodatni teret, i računa se kao:

.

U slučaju užeta sa ispunom prethodni izraz se množi sa faktorom ispune fi (fi~1). Zamenom brojnih vrednosti dobijamo specifičnu težinu normalnog dodatnog tereta:

Rezultantna vrednost se dobija prostim sabiranjem što se jasno uočava sa sledeće slike.

Sl. 4. Presek užeta sa dodatnim teretom usled leda

Sada raspolažemo svim potrebnim podacima za računanje kritičnog raspona:

9

nd

Uže

Dodatni teret(sneg, led...)

rez

Očigledno je da je stvarni raspon veći od kritičnog, pa govorimo o dugom rasponu i maksimalno radno naprezanje treba očekivati na -5C uz dodatni teret. Ako je , onda uže spada u kratke i maxrad se javlja na -20C.

b) Montažne krive i tabele (t) i f(t)

Promena i (naprezanja i ugiba u zavisnosti od temperature) se grafički prikazuje tzv. montažnim krivama, prikazanim na slici.

Sl. 5. Montažne krive

10

-5 t (C)

f

f (t)

-20 40

t (C)

(t)10,8

-5 10 40-20

Pozicija krive zavisi od unutrašnjeg naprezanja užeta pri temperaturi montaže. Za svako različito mont, pri istoj temperaturi montaže, dobijamo familiju krivih. U ovom slučaju uzeta je tačka (10; 10,8).

Montažna kriva se iskazuje grafički i tabelarno za uže bez dodatnog tereta, stim što se računa i tačka za -5C uz nd i id. Na sličan način se određuje i kriva . Dve osnovne relacije su:

i

.

Ova druga relacija se jednostavno dobija iz jednačine promene stanja. Na osnovu ovih izraza i usvojenih vrednosti nd računa se montažna tabela (za od 1 do vrednosti kod koje je t - 20°C):

T2. Montažne tablice

zad+

daN/mm2

tC

fm

1 7756,18

2 1927,35

8 80,15

9 50,15 4,94

10 27,41 4,45

11 9,42 4,04

12 -5,35 3,71

13,8 -26,64 3,22

Računanje ugiba u prva tri slučaja (vrste) nema smisla.

c) Sila, ugib i dužina užeta

Potrebnu silu računamo kao proizvod površine poprečnog preseka užeta i naprezanja prilikom montaže. Sa montažne krive očitavamo vrednost pri 10C i ona iznosi 10,8. Prema tome imamo:

11

Pri tome ugib i dužina provodnika iznose:

i

d) mont

Pošto je u delu zadatka pod a) zaključeno da se ovde radi o dugom rasponu i da maksimalno radno naprezanje treba očekivati na -5C uz dodatni teret treba proveriti da li je naprezanje tada veće od ndoz.

Ovo se može odrediti rešavanjem jednačine promene stanja po :

.

Iz gore definisanih relacija može se odrediti iterativno na sledeći način:

.

Postupak se zaustavlja kada je , gde je M unapred zadati mali broj npr 0,01. Indeks 0 se odnosi na početno stanje, a indeks i na tekuću iteraciju. Postupak rešavanja ima sledeći tok:

12

Na osnovu poznatih podataka računamo koeficijente A i B:

Mi, u stvari rešavamo sledeći problem: tj treba da odredimo maksimalno naprezanje pri montaži, a da pri tome maksimalno naprezanje na -5C ne pređe vrednost maxradno.

T3. Tabela stanjaStanje t

I 10C ?

0 -5C r maxradno

Ako usvojimo početnu vrednost za recimo: , rezultati u pojedinim iteracijama su dati u sledećoj tabeli:

T4. Rezultati iterativnog proračunaIteracija

1 10,5872 11,1123 10,9084 10,9865 10,9566 10,9677 10,963

Pošto se vrednosti u šestoj i sedmoj iteraciji razlikuju samo u trećoj decimali ovde se zaustavljamo i usvajamo: montmax=10,963 daN/mm2. Maksimalna sila kojom smemo zategnuti uže prilikom montaže iznosi:

13

.

e) Naprezanje u užetu

U ovom delu zadatka treba odreditu koliko će se naprezanje pojaviti u užetu pri , ako je pri montaži umesto ranijeg mont uzeto za 1daN/mm2 veće? Sada imamo

obrnutu situaciju tj. rešavamo sledeći problem:

T5.Stanje t

0 10C mont

I -5C r ?

Za rešavanje ovog problema, potrebni su nam sledeći podaci:

Na osnovu poznatih podataka računamo koeficijente A i B:

Ako usvojimo početnu vrednost za recimo: =15 daN/mm2, (jer iz prethodnog dela znamo da ova vrednost mora biti veća od ndoz) rezultati u pojedinim iteracijama su dati u sledećoj tabeli:

14

T6. Rezultati iterativnog proračunaIteracija

1 16,618

2 15,616

... ...

6 15,935

... ...

10 15,979

11 15,989

12 15,983

Konačan rezultat -5+dod=15,98 daN/mm2>ndoz smo dobili nakon 12 iteracija. Da smo uzeli blaži kriterijum zaustavljana željenu tačnost smo mogli dobiti nakon manjeg broja iteracija. Očigledno je, da uže ne smemo zatezati sa ovom vrednošću mont.

f) Kritična temperatura i maksimalni ugib

Ako je kritična temperatura veća od 40C tada se maksimalni ugib javlja pri temperaturi od -5C, a ako je manja od 40C, tada se maksimalni ugib javlja baš pri temperaturi od 40C. Kritična temperatura se računa na osnovu sledeće relacije:

Važi sledeće razmatranje:

Maksimalni ugib računamo na osnovu poznate formule:

,

pri čemu je +40 nepoznato i prvo njega moramo odrediti.

15

T7. Tabela stanjaStanje t

I 40C ?

0 -5C r ndoz

Sada računamo koeficijente A i B:

Ako za +40 pretpostavimo vrednost 9, posle četiri iteracije dobijamo konačan rezultat:

, pa ugib tada iznosi:

NAPOMENA: Za rešavanje jedne nelinearne algebarske jednačine , kakva je jednačina za izračunavanje naprezanja (nelinearna jednačina trećeg stepepena po ), veoma često se koristi Newton - Raphson - ova metoda. Ova metoda zahteva proračun kako funkcije g(x), tako i izvoda dg(x)/dx=g'(x). Osnovna ideja ove metode je linearizacija nelinearne funkcije g(x) oko neke tačke xh (odnosno razvoj u Taylorov red do prvog člana). Suština metode je prikazana na sledećoj slici:

16

xox1x2...

g(x)

Sl. 6. Njutn – Ropsonova metoda

Svaku tangentu definiše prvi izvod nelinearne funkcije u posmatranoj tački. Osnovni koraci Newton - Raphson-ove metode dati su u sladećem algoritmu.

Algoritam Newton - Raphson-ove metode za rešavanje jedne nelinearne algebarske jednačine

1. Pretpostaviti početno rešenje X0+ i postaviti indeks iteracije h=0.

2. U tekućoj iteraciji "h" proračunati popravku rešenja .

Naći novu tačku .

3. Testirati uslov konvergencije , gde je unapred zadat mali broj, i ukoliko je

on zadovoljen, zaustaviti se. U suprotnom povećati indeks iteracije i vratiti se na korak 2.

Ako se ova metoda primeni na naš konkretan problem, dobijamo:

Rešimo npr. problem iz dela zadatka pod e) za čije nam je rešenje bilo potrebno 12 iteracija.

Prva iteracija:

,

4. ,

5.

Druga iteracija:1.

,

Treća iteracija:1.

17

,

Kriterijum konvergencije je zadovoljen i možemo se zaustaviti sa proračunom.Očigledno je da ova metoda daleko brže konvergira od prethodne. U ovom slučaju

rezultat je dobijen posle samo tri iteracije, za razliku od malopređašnjih 12.

Zadatak 5.

U jednom rasponu nadzemnog voda, dužine a=80 m, (na drvenim stubovima 20kV, proizvoljnog preseka) izvršena je određena rekonstrukcija na stubu, pa je došlo do pomeranja glave stuba u pravcu raspona za a=0,4 m.

a) Izračunati naprezanje na zatezanje provodnika () posle pomeranja, ako je pre toga na istoj temperaturi rekonstrukcije unutrašnje naprezanje užeta 0 bilo 6 daN/mm2.

b) Koliki je bio ugib pre, a koliki posle rekonstrukcije?

Specifična težina i modul elastičnosti užeta su:

; .

Sl.7. Izgled raspona nakon pomeranja glave stuba

18

a aa

Rešenje:

a) Izračunavanje naprezanja užeta posle rekonstrukcije

Promena dužine užeta, kao posledica promene temperature i promene naprezanja, može se iskazati na sledeći način:

Dužina užeta pre pomeranja je Lo (pri rasponu a i 0= 6 daN/(mmm2)), a posle L (pri rasponu (a-a) i naprezanju ).

Tokom pomeranja nije bilo promene temperature pa je: .

Dužina užeta, nakon pomeranja glave stuba se može iskazati i preko promene raspona:

Sada je promena dužine užeta L data relacijom:

Nakon uvrštavanja numeričkih podataka, unutrašnje naprezanje posle rekonstrukcije se računa na sledeći način:

,

b) Proračun ugiba pre i posle rekonstrukcije

Ugib je pre intervencije bio relativno mali:

19

Ugib nakon intervencije dobija vrednost:

Zadatak 6.

Uže niskonaponskog voda AlFe 25/4 je fiksirano na potpornim izolatorima na stubovima 1 i 3, između kojih se zamenjuje stub 2. Novi stub je pomeren van ravni voda za 1,5 m. Koliko će biti naprezanje na zatezanje ukoliko se uže, bez ponovnog postupka zatezanja, pričvrsti na novi stub, ako je pre prebacivanja užeta naprezanje bilo 0=5 daN/mm2

i ako zatim dođe do jakog vetra čija je brzina 35m/s ? Ostali podaci imaju sledeće vrednosti: modul elastičnost užeta je E=8100 daN/mm2,

specifična težina užeta ==3.510-3 daN/mmm2, prečnik užeta d=6.8 mm, i normalno dozvoljeno naprezanje: nd=10 daN/mm2.

Sl. 8. Izmešten srednji stub

Rešenje:

Novi raspon iznosi:

Promena dužine radi promene temperature i unutrašnjeg naprezanja se iskazuje relacijom:

20

1

40m a0=40m

1.5m

a

3

2

Smatraće se da je temperatura, pre i nakon rekonstrukcije, nepromenjena.Promena dužine užeta se može iskazati na sledeći način:

Specifična težina dodatnog tereta usled vetra je:

Prvo je potrebno izračunati Pračvetra

Iz tabele se usvaja prvi veći standardni pritisak, u našem slučaju pošto je u pitanju

niskonaponski vod prva veća vrednost iz tabele je .

Na uže deluje rezultanta dejstva sila vetra i gravitacije.

Rezultatntna specifična težina užeta je:

Sl. 9. Rezultantna specifična težina dodatnog tereta

21

V

rez

T 8. Tabela stanja pre i posle rekonstrukcije

t I isto 3,510-3 5

II isto 21,410-3 ?

Nepoznata je unutrašnje naprezanje .

.

Postupak se zaustavlja kada je , gde je M unapred zadati mali broj npr. 0,1.

Nakon uvrštavanja podataka dobije se sledeći oblik:

Novo unutrašnje naprezanje je veće od normalno dopuštenog.

Specifični pritisak vetra

T9. Propisane vrednosti pritiska vetra

visinska zona voda specifičan pritisak vetra [daN/m2]

vodovi do 15m iznad zemlje 50 60 75 90 110

osnovna visinska zona od 0 do 40 m iznad zemlje

60 75 90 110 130

delovi voda u zoni između 40 i 80 m iznad zemlje

75 90 110 130 150

Vrednosti pritisaka izračunate na osnovu formule P = V2/16 koriste se za osnovnu visinsku zonu od 0 do 15 m iznad zemlje, a dobijene vrednosti treba zaokružiti do prve veće vrednosti prema tablici. Za delove voda u zoni 40-80 m iznad zemlje treba prema toj tablici povećati vrednosti, dok se za vodove čija visina ne prelazi 15 m iznad zemlje mogu uzeti odgovarajuće niže vrednosti.

22

23

Zadatak 7.

Analizira se deo nadzemnog voda čiji je raspon prav i iznosi a=250 m. Izračunati maksimalne ugibe f, za AlFe užad iz tabele 10. Račun sprovesti za zonu leda

II, tj. sa faktorom leda kd=1,6.

T10.Redni broj Uže

AlFeStvarni presek SS

[mm2]Prečnik užeta d

[mm]

1 50/8 56,3 9,6

2 95/15 109,7 13,6

3 210/35 243,2 20,3

4 240/40 282,5 21,9

5 360/57 417,5 26,6

Za svu užad iz tabele podaci su sledeći:

- Normalno dozvoljeno naprezanje na zatezanje ;

- Specifična težina

- Koeficijent toplotnog istezanja

- Modul elastičnosti

Rešenje:

Proračun maksimalnih ugiba se sprovodi u nizu koraka, koji slede.

a) Specifična težina dodatnog tereta, za prvi presek

Na sličan način se računa i za ostale preseke (u daN/( m mm2)):

24

Moguće je, približno, računati i na osnovu prečnika užeta (u daN/( m mm2)):

Rezultantna specifična težina, za svaki presek ponaosob, je:

b) Kritični raspon je dat relacijom

Maksimalno radno naprezanje se usvaja da je jednako normalno dozvoljenom naprezanju

Maksimalni kritični raspon se javlja pri minimalnoj vrednosti rezultantne specifične težine, iz prethodnog niza izračunatih vrednosti, rmin:

S obzirom da je stvarni raspon u svim slučajevima isti i iznosi a= 250 m, pri čemu je

, najveće naprezanje nastaje na –5 °C (uz dodatno opterećenje usled leda).

25

c) Kritične temperature

Prve dve vrednosti kritične temperature su veće od +40°C, što znači da se maksimalni ugib javlja kod –5°C uz dodatni teret.

Poslednje tri su manje od 40°C, što znači da se maksimalni ugib javlja kod +40°C.

Ugib se računa pomoću relacije:

Kod ugiba na –5°C je poznato unutrašnje naprezanje, ali kod +40°C nije, pa ga treba izračunati.

d) Unutrašnje naprezanje

Unutrašnje naprezanje pri temperaturi od +40 °C se računa iz jednačine promene stanja u obliku:

Pri čemu su koeficijenti A i B:

B=238,67isto za sve slučajeve

26

Koeficijent A za poslednja tri užeta, pri +40°C, za koje treba odrediti naprezanje iznose:

A4=10,097 daN/mm2

A5=6,374 daN/mm2

akon izračunavanja dobiju se sledeće vrednosti za naprezanja, pojedinih užadi na +40°C.

3(+40C)=3,88 daN/mm2

4 =4,1 daN/mm2

5 =4,65 daN/mm2

Za prvo uže, ugib je:

Ostali rezultati su sređeni u narednoj tabeli:

T11. Rezultati proračunaUžeAlFe

Ugib (-5+ d)f m [m]

Kritična temperaturatkr [C2]

Maksimalan ugibf m [m]

50/8 15,04 51,4 15,04

95/15 10,25 45,66 10,25

210/35 6,85 36,6 6,946

240/40 6,42 34,8 6,57

360/57 5,48 29,8 5,8

27

Sl.10. Promena ugiba u zavisnosti od preseka užeta

Zadatak 8.

Kako uvažiti činjenicu da u nekim slučajevima raspon nije konstantan i zavisi od ostalih raspona u zateznom polju. Potrebno je izvesti jednačinu promene stanja koja će važiti za celo zatezno polje.

Zatezno polje je deo voda između dva zatezna stuba.

Sl.11. Zatezno polje sa četiri raspona

28

a1 a2 a3 a4

a3'

(Z) (N) (N) (Z)(N)

Nosećistub

Zateznistub

a3

Rešenje:

Izolator će se zaustaviti u takvom položaju, da leve i desne strane budu iste.

Indeks 0 označava početno stanje!

Sl.12. Zatezno polje

S obzirom da je zbog promene t došlo do promene unutrašnjeg naprezanja a kako su rasponi levo i desno različiti, promene su različite, pa se javljaju horizontalne sile

i ; . Ove sile deluju na viseći izolator, tako da se

on iskosi i zauzima položaj u kome je HL=HD (L=D). Izjednačenje nastaje kao posledica promene raspona nakon iskošenja.

Dužina lančanice pre iskošenja izolatora je Lo:

Nakon iskošenja izolatora menja se razmak između tačaka vešanja užeta, za a, a sa njime i dužina lančanice. Sada dužina L ima vrednost:

; , jer a << a; /=1000-1500 m

29

L, H,

L0, H0,

Hlevo Hdesno

a a

Razlika dužina je:

Za svaki od n raspona u zateznom polju se može napisati:

...........................................................................................

...........................................................................................

Kada se saberu ove jednačine dobije se:

30

Svedeni ili idealni raspon

Zadatak 9.

Za zatezno polje dalekovoda nominalnog napona 35 kV koji ima šest pravih horizontalnih raspona od 170; 180; 160; 180; 180; 280 m treba formirati montažnu tablicu i nacrtati montažne krive za AlČe 185/30 mm2/mm2. Maksimalno radno naprezanje užeta je mr=7,5 daN/mm2.

Ostale karakteristike užeta su:- Temperaturni koeficijent istezanja:

- Modul elastičnosti:

- Specifična težina:

- Stvarni presek:

- Prečnik:

- Koeficijent leda: .

Rešenje:

a) Specifična težina dodatnog opterećenja usled leda

Razultantna specifična težina iznosi:

b) Idealni raspon, za posmatrano zatezno polje

31

c) Kritični raspon

Kritični raspon za usvojeno maksimalno radno naprezanje max, za karakteristike užeta i s, kao i za klimatske uslove, u kojima se koristi uže, sadržane d:

Kritični raspon je manji od bilo kog stvarnog raspona iz zadatka i=1(1)6.Dakle, najveće naprezanje se javlja na –5°C (plus dodatni teret)

d) Dozvoljeno naprezanje

Za svu užad AlFe dozvoljeno naprezanje je 10 daN/mm2. Ako provodnik ide preko autoputa, i slično, uzima se 7,5 daN/mm2 (75% od nd).

Ovde se za vrednost raspona uzima idealni raspon.

Ostale veličine su: ; ;

Umesto da se direktno računa , za zadate vrednosti temperature, ovde će se primeniti indirektni metod, u kome se zadaju vrednosti , a zatim računaju adekvatne temperature, po sledećoj relaciji.

32

Dobijeni rezultati proračuna t, za pretpostavljeni niz vrednosti iz prvog reda donje tabele, su dati u drugom redu.

T12. Montažna tabela

daN/mm2 2,6 2,8 2,9 3 3,2 3,4 3,5

t C 49,12 24,88 14,5 5,08 -11,36 -25,2 -31,34

Sl.13. Montažna kriva (t)

e) Određivanje stanja u kome se javlja maksimalni ugib

Kritična temperatura je:

Sa obzirom na to da je t kr manje od +40C, zaključuje se da se maksimalni ugib pojavljuje na +40 C .

ocenjujemo iz tabele (ili montažne krive).

33

f) Određivanje montažne krive u obliku f = f(t)

Primenom relacije

na svaki raspon ai, izračunavaju se odgovarajući ugibi.

T13. Montažne krive u obliku fi = f(t)t C 49,12 24,88 14,5 5,08 -11,36 -25,2 -31,34 40

2,6 2,8 2,9 3 3,2 3,4 3,5 2,64

f160 4,3 4 3,86 3,73 3,5 3,29 3,2 4,24

f170 4,86 4,52 4,36 4,21 3,95 3,72 3,61 4,79

f180 5,45 5,06 4,89 4,73 4,43 4,17 4,05 5,37

f280 13,19 12,25 11,83 11,43 10,72 10,09 9,8 12,99

Sl.14. Zavisnost ugiba od temperature užeta, za pojedine raspone iz zadatka

g) Ugibi pri –5°C, uz normalni dodatni teret

Stanje pri –5°C (uz dodatni teret), za raspon a=160 m, je opisano sa

za –5

Ugib pri posmatranim uslovima je 4 m. Ovaj ugib je manji nego pri +40°C, što je u skladu sa zaključcima dobijenim na osnovu kritične temperature.

34

Za ostale raspone ugibi su:

Drugi, direktni, pristup za ocenu , na primer za t=+20°C i a=ai, ima se sledeći rezultat:

a rezultat je:

Odgovarajući ugibi su: f160 = 3.94 m; f170= 4,44 m, f180= 4,98 m i f280= 12,05 m.

Zadatak 10

Treba izvršiti mehanički proračun zateznog polja na neravnom terenu čiji se rasponi mogu smatrati horizontalnim. Provodnik je AlČe uže nazivnog preseka 150/25 mm2 sa sledećim podacima:

, ,

,

d=17,1 mm kd=1 Ss=173,12 mm2.

T14. Rasponi unutar zateznog polja su dati u metrima

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

200 195 175 200 225 315 110 350 150 195 202

Rešenje:

a) Rezultantna specifična težina

35

b) Idealni raspon

c) Kritični raspon

Sa obzirom da je aid veće od akr sledi zaključak da će maksimalno radno naprezanje da se javi na –5°C uz dodatni teret.

d) Kritična temperatura

Dakle, s obzirom da je kritična temperatura manja od +40C, maksimalni ugib se javlja kod +40C.

e) Jednačina promene stanja, za idealni raspon

;

Za izračunate vrednosti unutrašnjeg naprezanja, imaju se odgovarajući ugibi:

;

Rezultati proračuna su dati u tabeli.

36

T15. Rezultati proračuna

Redni broj

raspona3,8 4,0 4,25 4,5 4,75 5 5,25 9

t[ºC] 41,9 31,2 18,2 7 -2,8 -11,3 -18,9 -5

1 f1[m] 4,6 4,4 4,1 3,9 3,7 3,5 3,3 4,3

2 f2[m] 4,4 4,1 3,9 3,7 3,5 3,3 3,2 4,1

3 f3[m] 3,5 3,4 3,1 2,9 2,8 2,7 2,5 3,3

4 f4[m] 4,6 4,4 4,1 3,9 3,7 3,5 3,3 4,3

5 f5[m] 5,8 5,5 5,2 4,9 4,7 4,4 4,2 5,5

6 f6[m] 11,4 10,8 10,2 9,6 9,1 8,7 8,3 10,7

7 f7[m] 1,4 1,3 1,2 1,2 1,1 1,0 1,0 1,3

8 f8[m] 14 13,4 12,6 11,9 11,3 10,7 10,2 13,3

9 f9[m] 2,6 2,5 2,3 2,2 2,1 2,0 1,9 2,4

10 f10[m] 4,4 4,1 3,9 3,7 3,5 3,3 3,2 4,1

11 f11[m] 4,7 4,5 4,2 4,0 3,7 3,6 3,4 4,4

Zadatak 11

Za uže AlČe 350/80 obrazovati montažnu tablicu i napraviti montažne krive, za raspon a=270 m. Tačke vešanja užeta su sa visinskom razlikom h=80 m. Podaci o užetu su:

- Površina poprečnog preseka aluminijumskog plašta užeta ima vrednost

.

- Površina poprečnog preseka čeličnog jezgra užeta ima vrednost

.

- Ukupna površina je: .

- Prečnik užeta je: .

- Module elastičnosti .

- Specifična težina .

- Normalno dopušteno naprezanje .

- Temperaturni koeficijent istezanja .

37

- Klimatski uslovi okruženja u kome će se koristiti uže, nameću pimenu koeficijenta leda čija je vrednost: .

Sl.15. Kosi raspon

Rešenje:

a) Specifična težina dodatnog tereta

Rezultatntna specifična težina je:

Kosinus ugla koji zahvata spojnica tačaka vešanja provodnika i horizontale je:

b) Kritični raspon

38

ψ

c) Jednačina promene stanja

Ili u obliku t=f()

Odavde sledi tabela sa rezultatima proračuna t i adekvatnih vrednosti ugiba f za usvojene vrednosti .

T16. Montažna tabela

5 6 7 8 9

t[ºC] 57,2 24,8 2,4 -14,7 -28,7

6,91 5,75 4,93 4,32 3,84

Zadatak 12

Odrediti osnovne dimenzije nosećeg stuba od mekog drveta i izvršiti izbor izolatora u slučaju da stub nosi trofazni vod nominalnog napona 10 kV od AlČe 35/6 mm2/ mm2. Susedni rasponi su horizontalni i jednaki i iznose 80 m, a dalekovod ide kroz zonu leda II (kd=1,6) i zonu vetra područja košave (pv=75 daN/m2). Sigurnosna visina provodnika je 6 m.

Ostali podaci o užetu:

-

-

-

-

-

-

Stub se ukopava u suvu glinu.

39

Rešenje:

a) Izbor izolatora

Za 10kV biramo izolator D10. Dimenzije izolatora su:

Sl.16. Potporni izolator tipa D10

b) Dodatni teret usled leda, snega i inja

Rezultantni teret je:

40

H=130 mmd=31 mmD=135 mmGIZ=1,5 daNFprelomno=1000 daNli=100 mm

H

D

d

li

c) Za noseći, potporni izolator treba proveriti da li je zadovoljena relacija:

Uslov je, dakle, zadovoljen.

d) Proračun ugiba na 40 C i maksimalnog ugiba

Kritični raspon je

Pošto je kritični raspon manji od 80m, σMAX je na –5 C.

Kritična temperatura je

Pošto je kritična temperatura veća od 40C maksimalni ugib je na –5C.

T17. Stanja za određivanje naprezanja na 40 Ct δ σ

I -5 23,98∙10-3 10

II 40 3,5∙10-3 ?

41

Ugib na 40C je potreban za određivanje raspodele užadi na glavi stuba.

e) Određivanje razmaka između provodnika

Minimalna dopuštena distanca među tačkama vešanja užadi je:

gde je:

- k konstanta diktirana oblikom glave stuba,- liz visina izolatorskog lanca (za veći stub je nula),- rsi sigurnosno rastojanje za neopterećen provodnik (za 10 kV je 20 cm, za 35 kV je

25 cm).

Sl.17. Oblik glave stuba

Za usvojeni oblik glave stuba, koeficijent sigurnosti se računa prema sledećoj formuli:

42

K= 2+/10 K7Izračunavanje ugla odklona užadi pod uticajem vetra na provodnike

Sl.18. Skica sila koje deluju na provodnik

Sila kojom vetar deluje na provodnik

FV=kVpVSVsin FV=48,6 daN

gde je: - kv – aerodinamički koeficijent koji za manje preseke ima vrednost 1 a za veće

0,9- Sv – površina koja je izložena dejstvu vetra (Sv=a.d)- sin – oštar ugao koji zaklapa pravac vetra i pravac linija nadzemnog voda- (u proračunima se obično uzima =90)

Težina provodnika u rasponu

Ugao za koji se provodnik, usled dejstva vetra, odkloni u odnosu na vertikalu

Koeficijent sigurnosti je sada:

Konstanta je veća od 7 što zadovoljava uslov iz tehničkih propisa.Minimalno potrebna distanca među tačkama vešanja užadi je:

43

FV

Gp

S

Sl.19. Skica glave stuba

f) Podužne dimenzije stuba

44dSD – ne računa se

dSVL

dSZ

h1

hS

fMAX

hnz

dST

0,3m

t

30 cm20 cm

D=175 cm60 cm

87 cm

155 cm

Sl.20. Skica podužnih i poprečnih dimenzija stuba

Visina stuba nad zemljom je

Ukupna potrebna dužina stuba je

Prema propisima dubina ukopa t treba da je

Istovremeno za VN stub dubina ukopa treba da je bar t=1,8 m, prema tome usvajamo: t=2 m i L=12 m.

g) Poprečne dimenzije stuba

Minimalni potrebni prečnik stuba, pri vrhu stuba, se pocenjuje sledećom formulom:

Za meko drvo k=0,22, a za listopadno k=0,19.

reultat će se zaokružiti na

45

Prečnik na nivou zemlje

Prečnik na sredini dubine ukopa

h) Provera na savijanje

Sl.21. Skica sila koje naprežu stub na savijanje

46

Fvp G(leda, inja)

GsFvs

FV

FVS

u

hT – visina težišta trougla

Sila vetra na sve provodnike koje nosi posmatrani stub

Sila vetra na stub

gde je:

- Cvs aerodinamički koeficijent i iznosi 0,7.-

-

Suma momenata sila u odnosu na polovinu dubine ukopa stuba

Otporni moment stuba kružnog poprečnog preseka na polovini dubine ukopa.

Naprezanje na savijanje iznosi

47

Pošto je doz=1,1 daN/mm2, sledi da je razlika previše mala pa treba povećati dimenzije stuba.Vraćamo se na dsv:

Nove sile i momenti:

i) Uticaj aksijalnih sila - u pravcu ose

Težina provodnika

Težina konzole

Težina stuba

Ukupna težina stuba i svega što on nosi

48

j) Provera temelja sa obzirom na pritisak na dnu stuba

k) Savijanje vrha stuba

Moment inercije je

Dodatno naprezanje stuba na savijanje, usled delovanja momenta sila tereta koje nosi vrh stuba:

Ukupno naprezanje na savijanje

49

l) Provera temelja na prevrtanje

Pošto je MAX veće od doz na 2/3 dubine ukopavanja se postavljaju betonske ploče. Ovim se povećava doz.

Sl.22. Prsten od nasutog kamena ili betona oko ukopanog dela stuba

m) Provera na tonjenje

50

dsd

gde je:- G – ukupna težina stuba, užadi i opreme- Gdod – dodatni teret

ako nije manje onda se postavlja ploča.

Sl.23. Skica stuba sa podmetnutom pločom kojom se smanjuje pritisak stuba na tlo

51

ELEKTRIČNI PRORAČUN

Zadatak 13

Neka je vod minimalnog napona Un = 110 kV i neka je izrađen od AlČe užeta240/40 mm2 uz trajnu dozvoljenu struju ITD= 645 A. Merenjem na vodu sa otvorenim suprotnim krajem dobijene su sledeće srednje vrednosti po fazi:

Uf praznom hodu=Ufph=63,58 kVIph=8,59 Aph=90

Merenje je izvedeno pri Un. Merenje sa kratkospojenim suprotnim krajem dalo je sledeće srednje vrednosti po fazi:

Uf ktarkog spoja=Ufks=12 kVIKS=600 Aks=90

Merenje je izvedeno pri svedenom naponu kratkog spoja tako da je IKS=ITD. Poznavajući gore navedene vrednosti odrediti parametre šeme voda. Vod je dužine 50 km.

Rešenje:

Sl.24. P – ekvivalentna šema voda

(1)

52

1

)2

( 0'' Yz )

2( 0'' Y

z

2

(2)

nakon eliminacije z iz (1) i (2) dobijamo:

Uobičajene vrednosti za 110 kV: ;

Uobičajene vrednosti za 220 kV: ;

Uobičajene vrednosti za 400 kV: ;

53

Zadatak 14

Neka je zadat trofazni vod nominalnog napona Un = 110 kV čiji su sledeći podaci: r = 0,28 Ω/km, x = 0,43 Ω/km, otočna susceptansa b = 2,6 μS/km, otočna konduktansa g = 0 S/km, dužina lv = 60 km. Na jednom njegovom kraju je blok generator - transformator, a na drugom potrošač kao na slici.

a) Naći fazor napona na sabirnicama bloka, pad napona duž voda, ugao između fazora napona na oba kraja voda, snage proizvodnje i snage gubitaka aktivne i reaktivne snage duž voda pod uslovom da se zanemari otočna kapacitivnost voda.

Sl.25. Deo mreže sa analiziranim vodom

Rešenje:

Sl.26. P – ekvivalentna šema voda sa tokovima snaga

Napon na kraju voda je

= U 2 = = = 63,51 kV

Snage po jednoj fazi, na kraju voda su:

= MW = 6,67 MW

54

G+T

V1=? V2=110kV110kV

S1=? S2=20MW-j 10MVAr

= MVAr = 3,33 MVAr

Električne karakteristike posmatranog voda, dužine 60 km su:

uvek

Pad napona u vodu je:

Kada se uvrste numerički podaci ima se:

Napon na početku voda je dat sledećim izrazom:

Fazorski dijagram napona je dat na sledećoj slici.

Sl.27. Fazorski dijagram napona

55

3,12

U1

U

U2

1,83

Ugao između fazora napona na početku i kraju voda je bitan za stabilnost.On iznosi:

Gubitak snage u posmatranom vodu, po jednoj fazi, dat je sledećim izrazom:

Trofazni gubitak snage je:

MW

MVAr

Trofazna snaga na početku voda je

MW

MVAr

b) Neka se promeni režim voda tako da se potrošnja može zanemariti. Uzevši u obzir otočnu kapacitivnost naći napon na proizvoljnom kraju voda.

Sl. 28. Ferantijev efekat - generatori noću troše Q koja se stvori u S (odgovarajućem

generatoru). ( )U U2 1

56

IcIcC/2

XC1/2

Z=R+jX

C/2

XC1/2

- XC – ukupna kapacitivna reaktansa voda

Poznat je fazni napon, na kraju voda.

Promena napona duž voda, u praznom hodu, je

Fazni napon na početku voda.

Moduo tog napona je:

Moduo složenog (međufaznog napona je):

Sl. 29. Fazorski dijagram napona za dati primer

Ugao između fazora napona na početku i kraju voda iznosi:

57

U1

0,083

U2 -0,128

Zadatak 15

Razmatra se jednostavan elektroenergetski sistem u simetričnom režimu naponskog nivoa 110 kV sa slike. Njega čine blok generator - transformator, vod i potrošačko područje. Parametri voda su:

Aktivna i reaktivna snaga potrošačkog područja su 20 MW i 10 MVAr respektivno pod naponom od 110 kV.

Sl. 30. Posmatrani deo elektroenergetskog sistema

Potrebno je:

a) Izračunati fazor napona na proizvoljnom kraju voda i pad napona duž voda, ugao između fazora napona na oba kraja voda, aktivnu i reaktivnu snagu na proizvoljnom kraju i snage gubitaka na vodu. Pored toga izračunati faktore snaga potrošnje i proizvodnje električne energije kao i struju voda.

b) Odrediti kondenzatorske baterije (uključujući i njihovu lokaciju) koje je potrebno priključiti na red sa vodom (redni kondenzator) takve da se za iste snage potrošnje, pod istim naoponom od 110 kV potpuno kompenzuje pad napona na reaktansi voda. Nakon toga izračunati sve veličine navedene pod a).

c) Odrediti kondenzatorske baterije (uključujući i njihovu lokaciju) koje je potrebno priključiti otočno na vod (otočni kondenzator), takve da se za iste snage potrošnje pod istim naponom 110 kV kompenzuje celokupna potrošnja reaktivne snage. Nakon toga izračunati sve veličine kao u a), (uvođenjem kondenzatora sinhroni generator proizvodi samo P).

d) Na osnovu rezultata dobijenih u a), b), c) odrediti efekte priključenja dva tipa kondenzatorskih baterija na vod. Upoređenje izvršiti saglasno faktorima snaga potrošnje i proizvodnje, gubitaka aktivne i reaktivne snage, struje voda i pada napona na njemu.

58

1 2

VODLG+T

Rešenje:

a) Na donjoj slici su definisane električne veličine

Sl.31. Tokovi snaga u vodu

Reaktansa voda, snage i napon na kraju voda, kao i pad napona duž voda, su dati sledećim relacijama:

Kada se uvrste numerički podaci ima se

Moduo pada napona je:

59

Napon na početku voda:

Snaga gubitaka u vodu je:

Trofazna snaga gubitaka.

Snaga na početku je:

Tangens ugla koji zaklapaju fazori napona i struje na kraju voda (kod potrošača)

Struja u vodu ima vrednost.

60

b) Rednom kompenzacijom smanjujemo X voda u slučaju k. s. struje su ogromne. Mesto postavljanja rednog kondenzatora je proizvoljno.

Sl.32. Naponi i struje u vodu

Ovi kondenzatori moraju da imaju varničare da nebi došlo do proboja kondenzatora u slučaju k.s.

S obzirom da je pad napona na reaktansi voda potpuno kompenzovan izborom rednog kondenzatora izračunate kapacitivnosti, a kako je redna otpornost voda zanemarena, to je ukupan pad napona na vodu jednak 0. Snage gubitaka na ovakvom sistemu (vod i kondenzator) su 0. Aktivni gubici su 0 usled zanemarenja redne otpornosti, a reaktivni usled nulte ukupne reaktanse. Ova druga konstatacija znači da redni kondenzator generiše upravo onoliko reaktivne snage koliko apsorbuje vod (njegova induktivnost).

(zbog zaokruživanja C)

61

, c) Otočni kondenzator mora da se postavi kod potrošača pošto njemu treba reaktivna

snaga Q, koju proizvodi baterija kondenzatora C.

Sl.33. Ilustracija struja u vodu

62

d) U sledećoj tabeli su dati rezultati sva tri prethodna slučaja proračuna, radi poređenja

T18. Rezultati proračunabez C redni C otočni C

cos p 0,894 0,894 0,894

Q MVAr[ ] 0,593 0 0,474

0,862 0,894 0,997

I kAv [ ] 0,117 0,117 0,105

U kV[ ] 5,048 0 4,516

Otočna veza kondenzatora je dala dajpovoljniju vrednost cos.

63

najboljislučaj

Zadatak 16

Neka je dat 3f tronamotajni regulacioni transformator sa sledećim podacima: 400121,25%/110/31,5 kV/kV/kV, snage: 300/300/100 MVA/MVA/MVA,uk%=12,38/14,49/9,82%/%/%, može se zanemariti omska otpornost.

a) Nacrtati ekvivalentnu šemu sa parametrima.b) Neka je visokonaponska strana primar, a srednjenaponska strana sekundar na koji je

vezan potrošač snage S= (100-j50) MVA. U kojim granicama su dopustiva kretanja napona primara da bi na sekundaru bio dobar naponski nivo od 115 kV?

c) Koliki su gubici snage u trasformatoru?

Rešenje:

a) Ekvivalentna šema transformatora je prikazana na donjoj slici

Sl.34. T - Šema regulacionog, tronamotajnog transformatora

Podaci su dati za:

64

1 2

3

X12

X23X13

1Z1=X1

2

Z3=X3

Z2=X2

3

1 2

3

X12, X13 , X23 su impedanse u trouglu.

Impedanse odgovarajuće zvezde:

X12=X1+X2

X13=X1+X3

X23=X2+X3

b)

Sl.35. Naponske prilike u T – šemi transformatora

65

U1 U2’ U2

RT1 2

X1 X2

X3

Kada se promeni napon sekundara na 115 kV tada je:

Koliko može U1 da varira tako da U2 bude konstantno?

c) U slučaju da se zanemari aktivna otpornost transformatora snage reaktivnih gubitaka R=0 Pg= 0

66