distribusi variabel random

Distribusi Variabel Random

Hasdi Radiles19770909 201101 1 005

Teknik TelekomunikasiJurusan Elektro- Fakultas SainTek UIN Suska – Riau

Pekanbaru, 14 Mei 2012

Probabilitas dan Statistik

Syllabus

Materi perkuliahan :

1. Distribusi Diskrit

2. Distribusi Kontinu

Referensi:

1. Douglas C. Montgomery: “Applied statistics and Probability for Engineers”, John Wiley & sons, Asia, 2007.

2. http://stattrek.com/probability/random-variable.aspx?Tutorial=Stat, akses Mar 2012

Update : 14 Mei 2012Elektro - UIN SUSKA2 – Probabilitas dan Statistik

http://stattrek.com/probability/random-variable.aspx?Tutorial=Stat

Suatu proses random selalu terjadi diseluruh kehidupan kita. Kita mendefenisikan proses tersebut random karena kelemahan manusia dalam

mencari pola pasti (rumusan) dari alam (Sunatullah). Bidang komputer: Utilisasi CPU oleh program-program yang random Bidang Telekom: Penerimaan sinyal radio yang random Bidang Energi: Tegangan dan daya listrik yang random Bidang Multimedia: sinyal informasi suara yang random

Jika outcome-outcome proses random tersebut direkam dan ditampilkan dalam grafik, maka akan membentuk suatu pola tertentu

Ketika proses sampling dilakukan tak hingga, grafik tersebut akan membentuk suatu pola yang stabil yang disebut dengan distribusi probabilitas.

Distribusi tersebut kemudian dapat dipadankan dengan distribusi-distribusi yang telah dikenal rumusannya untuk mendapatkan perihal parameter populasi outcome nya.

Model distribusi inilah yang kemudian digunakan dalam perancangan teknologi-teknologi yang bekerja pada proses random. Berikanlah contoh?


Definisi distribusi

Distribusi probabilitas (distribusi peluang) didapatkan dari frekuensi kemunculan outcome dalam suatu eksperimen random. Eksperimen random adalah jika suatu prosedur kerja eksperimen yang sama

diulang berkali-kali, maka akan menghasilkan outcome yang random (acak) Jika ekperimen yang dilakukan tidak random, maka distribusi yang dihasilkan

akan membentuk pola (rumusan) yang pasti (bukan penelitian tetapi perhitungan).

Distribusi probabilitas sering digunakan untuk memodelkan suatu situasi yang tidak mampu didefinisikan secara pasti oleh manusia (Kuasa Illahi). Panas(noise) perangkat Additive White Gaussian Noise (AWGN) Kedatangan user pada server Poisson Pemodelan error bit (kanal digital) Binomial Pola random umum Uniform


Definisi distribusi

Ditemukan oleh De Moivre dalam presentasinya Central Limit Theorem, 1733 100 tahun kemudian Gauss secara perorangan membangun distribusi ini dan

memperkenalkannya sebagai Distribusi Gaussian

Karakteristik: Ketika eksperiment random dilakukan berulang-ulang, model r.v yang sebanding dengan rata-rata outcomenya cenderung dimodelkan dengan distribusi normal . Ciri-ciri kurvanya adalah sebagai berikut: Bersifat simetris unimodal di mana µ = mode Kurva bersifat log-concave (berbentuk lonceng) Total area yang diselimuti oleh kurva pada sumbu axis =1 Mean memiliki nilai -∞ < µ < ∞ dan standard deviasi > 0 Dinotasikan dengan:


Distribusi normal

2,N

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Distribusi Normal

N(50,5) N(50,10) N(50,15)

Mean = median = Modus

Probability distribution function (pdf)


Distribusi normal

xexfx

2

2

1

2

1

Commulative density function (CDF):

di mana :


Distribusi normal

22erf1

2

1

x

XF x tdtex0

2erf

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Prob

abili

tas

N(50,5) N(50,10) N(50,15)

Gunakan fungsi excell =(NORMSINV(RAND())*5)+50 untuk membangkitkan random variabel terdistribusi normal, sampling outcome hingga 10000 sampel dan sajikan dalam grafik pdf nya.

Ganti fungsi excel =(NORMSINV(RAND())*15)+50 untuk grafik berikutnya


Distribusi normal

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Area integrasi normal


Distribusi normal

Contoh soal:

Suatu rumah menggunakan layanan daya listrik 1300 watt. Pemakaian peralatan listrik dirumah tersebut rata-rata adalah 1000 watt dengan deviasi 250 watt. Setiap kali penggunakaan listrik lebih dari 1300 watt, maka sekering listrik akan memutuskan arus yang mengalir di rumah tersebut.

a. Carilah kemungkinan dalam 30 hari terdapat 3 kali mati listrik akibat kelebihan beban pemakaian.

b. Jika harga per kwh listrik adalah Rp. 1000,- , berapakah peluang pembayaran listrik kurang dari Rp. 57600 per bulan


Distribusi normal

Karakteristik distribusi Binomial (Bernoulli trial): Terdapat n kali observasi dimana setiap observasi bersifat identik dan

independent Jumlah outcome adalah 2, misalkan sukses dan gagal. Peluang event a adalah p

dan peluang event b adalah 1 – p ; untuk setiap observasi yang dilakukan. Contoh pasangan event adalah: Sukses dan gagal Jawaban yes dan no Laki-laki dan perempuan Sempurna dan error

Peluang sukses dan gagal untuk setiap observasi adalah konstan. Grafik p.m.f bersifat unimodal (skew atau simetris) Di notasikan dengan b( x, n, p) Jika terdapat 2 outcome dengan peluang munculnya event adalah p dan peluang

tidak munculnya event adalah q = 1 – p, dilakukan sebanyak n kali observasi, maka peluang munculnya event tersebut adalah:


Distribusi Binomial

Definisi: jika terdapat n kali observasi, dimana peluang setiap kesuksesan adalah p dan peluang setiap kegagalan adalah q = 1-p, maka peluang untuk x kali sukses adalah:

Nilai Ekspektasi dan standard deviasi

Besaran posisi: Nilai standar Z


Distribusi Binomial

xnx qp

xnx

nxp

!!

!

Jumlah kombinasi outcome dimana terdapat

x kali sukses jika dilakukan n kali observasi

Probabilitas dari x kali sukses diantara n kali observasi untuk setiap urutan kombinasi

pnqpx

nxxxpxE xnx

n

x

n

x

00

qpn

nqp

pnx

qpn

pnxxz

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 1 2 3 4 5 6

Fungsi probabilitas (pmf) dan Kumulatif (CDF):


Distribusi Binomial

1210 xppppxXP

p(3) = 0.3125

P(X≤3) = 0.3125

Kurva pmf dengan program excel Gunakan fungsi: =BINOMDIST(x,6,0.5,FALSE) Lakukan untuk p =0.25 dan p = 0.75


Distribusi Binomial

0.015625

0.09375

0.234375

0.3125

0.234375

0.09375

0.015625

0 1 2 3 4 5 6

Distribusi b(x,n,q)

n = 6; p =0.5

0 1 2 3 4 5 6n = 6; p =0.25

0 1 2 3 4 5 6n = 6; p =0.75

Contoh soal

Dalam suatu penelitian, diketahui bahwa bit error rate (BER) kanal radio adalah 10-2. Jika dikirimkan sinyal informasi dengan jumlah 1000 frame di mana 1 frame terdiri dari 1000 bit.

a. Berapakah peluang bahwa 1000 bit error selama transmisi

b. Jika sinyal dikirim per frame, berapakah peluang 100 frame error


Distribusi Binomial

Penurunan persamaan Transformasi dari suatu deret eksponensial dimana n sangat besar

Ketika 1/n di ganti dengan 1/:

Dan jika di konversi balik di dapatkan:

Sehingga definisi poisson didapatkan ketika n cukup besar maka


Distribusi poisson

enn

n

nLt

!

1

!4

1

!3

1

!2

1

!1

11

11

e

nn

nn

nLt

!!4!3!2!1

114321

!!4!3!2!111

4321

neee

n

!r

erpr

Contoh soal


Distribusi poisson

Jika data set dengan n cukup besar sehingga n.p > 5 dan n.q >5, maka distribusi normal akan memberikan nilai pendekatan yang lebih baik

Jika data set dengan dengan yang kecil dan p dan q bukanlah event yang sukar muncul di mana n.p dan n.q >5, maka distribusi binomial dapat digunakan. Jika data set n cukup besar, maka distribusi normal merupakan pendekatan yang lebih baik untuk kasus tersebut

Jika data set besar (n>50) dan probabilitas event jarang terjadidi mana mean dari distribusi n.p < 5, maka dapat dimodelkan dengan poisson.


Fakta penggunaan distribusi

Karakteristik: Finite possible value: memiliki range yang terbatas dan diskrit Equal probability: masing-masing outcome memiliki probabilitas yang sama Constant probability: probabilitas masing-masing outcome adalah konstan

Definisi Mean

Variansi


Distribusi uniform (diskrit)

ninxf i ,,2,1/1

2

2b

XE

12

11 22

ab

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

f(x)

0.1

c


Distribusi uniform (diskrit)

ninxf i ,,2,1/1

2

2b

XE

distribusi variabel random

Documents