distribucion de la suma algebraica de variables de poisson

DISTRIBUCION DE LA SUMA ALGEBRAICA DE VARIABLES DE POISSON

JOSE ROMANI

fnstituto de Znvestigacio~es Estad[sticas

1.--INTRODUCCI6N

Es bien conocido el t eo rema de adici6n de var iab les a lea tor ias de Poisson, pero por otra pa r t e d ichas d i s t r ibuc iones no fo rman g r u p o respecto de la adicidn, pues la d i ferencia de var iab les de Po i s son es

inmedia to ver que no posee d is t r ibuci6n de Poisson, pues el recorr ido de la var iable diferencia se ext iende de - m a +c.~ a trav~s de todos los valores enteros .

En este ar t iculo damos una expres i6n para la funci6n de frecuen-- cia de la diferencia de dos va r iab les de Poisson , e s tud iando la fun-

ci6n caracteris t ica, momen to , etc., y v e m o s que las func iones de este t ipo dan otras de la m i s m a clase tanto p o t su s u m a como po r di ferencia, f o r m a n d o asi un g r u p o respecto de la adici6n, que inc luye como caso par t icu lar las func iones de Po i s son .

Este t ipo de d is t r ibuc iones puede tener interds al es tud ia r a l g u n o s f en6menos de colas, como el s igu ien te : en un a lmacdn de h e r r a m i e n - tas de un taller de mecan izado se puede s u p o n e r en la pr~ictica que las pet ic iones diar ias de un d e t e r m i n a d o t ipo de h e r r a m i e n t a se p resen- tan s igu iendo una dis t r ibuci6n de Po isson , y an~ilogamente ocurre con las devoluc iones diarias de he r r amien ta s al a lmac4n ; po t tanto, el mov imien to diario de h e r r a m i e n t a s poseerS, la d is t r ibuci6n de la diferencia de dos var iables de Po i s son . Lo m i s m o podHa decirse de las en t radas y sa l idas de v ia je ros en un hotel, o de en fe rmos en un hospi - t a l , , y en genera l de o t r o s m u c h o s f e n 6 m e n o s en que se presenten diferencias de unidades .

2.--DIFERENCIAS DV. DOS VARIABLES DE POISSON

Sean dos var iab les a lea tor ias independ ien tes ~,L Y .r,.,, con d i s t r ibu- cidn de Poisson de par~imetros )'1 Y X=, r e spec t i vamen te ; la funci6~

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de frecuencia de la diferencia es fgtcil de expresar en forma de serie, ya que pot los teoremas de la p robabi l idad compues ta y total se puede p o n e r ; si es ~='r , l-r ,~ la var iable aleatoria diferencia de a m b a s :

P ( ~ . = z ) = P (,~,- ~l..=x) = p (r~,= ~. + x) = 2 P 0q, = / ~ + x ) P 0q-"=/~) = k = 0

)hk+ -~ ),,k ~ , )v,k+-* Lk = ~ e - a " e -a ' " = e-(~'+)") Z a " (1)

z_~ (/~-t-x)! k! ( k + x ) ! k! k=O k=O

expres i6n que nos da la funci6n de frecuencia buscada para los valores de x posit ivos ; para los negat ivos basta tomar

P (~= - x ) = P ( - { = x ) = P ( - .~1 + r,.~ = x )

donde x es ya positivo resul tando la misma expresi6n sin nu'm que cambiar ),1 po t 9,o.

La serie [1] no es fitil en la pr/tctica, aunque es m u v r~pidamente convergen te .

E1 caso en que ).~=)..,=k ba sido es tudiado pot Irwin [1], v De Castro [g], ya que resulta

~X+2k

P(~ = x ) = e --~ ~ E - -e -2 ~ Ix(2~.) (9,) k! (x q-- k)!

donde Ix (2),) es la funci6n de Bessel modif icada de orden x y a rgu - mento 2;., en funci6n bien conocida y tabulada [3].

La soluci6n para el caso ) , ,~) , , puede expresarse as imismo por medio de las funciones de Besse l ; efect ivamente, si mul t ip l icamos

X /. "7, y dividimos (1) fuera v dent ro de la suma por 0,1,*:)" , nos queda

.~ x ~ ~ (2 g ~ - - ~ . ~ ~§

P (~,=x)=e -(~''+~'~-) ~.g +k -+k - " _ e - 0 . , + L r y_ k! (x + ~)! \ ~. ] k! (~ + e)!

x

= " (2 (3)

expres idn v~ilida para x > 0 ; para x ,<0 basta cambiar )'1 por i._,, to que equivale a cambiar el s igno del exponen te de ),l/)-2.

La fdrmula (3) incluye como caso par t icular la (2) sin m~-s que p o n e r ;,1=),_o=),, s iendo asl esta expresidn ni~is general que la dada por

Irwin.

SUblA ALGEBRAICA DE VARIABLES DE- POISSON 177

E1 valor num4rico de la expresiOn (3) es f&ci}mente calculable, pues el pr imero y filtimo factor estAn tabulados. Asi, por e jemplo, para

7 7 - k ~ 1 k , + L = 5 , 2 1 / k 1 ) , " : 4 I t = l , ) ,~ :4 resulta < = 4 , .

P ( ~ : 0) = e -5 I0(4 ) = 0,0067379. 11,3019= 0,076

P(~= 1)= e -a . (114) �89 . I~(4)=0,0067379. (1/2) . 9 ,7595=0,033

y an&logamente los demf:s valores dados en la tabla s iguiente

-10 - 9 --- 8 - 7

P(~ - x)

0,003 a,(lO7 0,019 ~,~,.35 a,067

- 5 --4 --;3 - 2 --I

P (~ = x)

0,109 0,152 0,1S0 0,173 0,131

X P (~ ----, x)

0,076 0,033 0,011 0,003 O,0Ol

3 . F U N C I O N C . \ R . \ C T E R [ S ' r l C A Y M O M E N T O S

Si cons ideramos la variable ,: como suma de las var iables .q y .t,._,, t endremos que la funcidn caracterist ica de ~ ser& el producto de las funciones caracterfsticas de elias, es decir,

E ( d c ~ ) = ,~ ( t ) = e < ( O ' - o d.:(e-~*- 0 = e ( ~ , + ~ , ) ( ~ o ~ t - o + f ( ~ , - ~ : ) ~ . t (4)

De aquf se puecien calcutar los momentos , pero resulta mSs sen- cillo calcular los semiinvar iantes , resul tando

log ,~ (t) = k~ (e it - 1) --[- k . (e -i~ - - 1) =

=0, , -) , it " 1! +(k,+k~ +--.§ (it):k (it)'~k+': . (-~ ! +(~. , -L) 2k+1 (5)

lo que nos dice que los semi invar ian tes de orden par son todos ellos iguales a la suma de los parf imetros de las variables componentes , y los de orden impar, iguales a la diferencia de dichos pan lmet ros .

;t-.k§ ---- I~ - ~.,, 7-..k = ).~ + ),~ (6) de donde

(k~ - - k_.)" 1 (7)

1 7 8 JOSH R O M A N I

del valor de ~1 deducimos que la funcidn de frecuermia no es sim6- triea a menos que ),~=),,

La funci6n caracterfstica de la variable ~ puede ponerse en funcidn de la media y la varianza

(8)

expresidn que nos permite enunciar los teoremas de adicidn de las . variables ~ del siguiente modo : La suma de variables ~, diferencia de dos variables de Poisson, es otra variable de igual clase, de media suma de las medias y varianza suma de varianzas.

4. DISTRIBUCION DE POISSON COMO CASO PARTICULAR

DE I . \ DISTRIBUCION ANTERIOR

Consideremos la variable aleatoria zl con distribuci6n de Poisso~ de par~.metro )'1, Y la variable ~_., que toma el valor .%=0, con pro-- babi l idad 1. No hay ningfin inconveniente en considerar esta filtima variable .% como variable aleatoria con distr ibuci6n de Poisson de" parAmetro k2=0 , y podremos poner

x

" t x

pero cuando ).z---~0, I.,(iv'kl),.,)--+ ~-(k~).~) ~ (vdase por ejemplo [4]),. luego

x x

1~ k . ] x! (k,),..)- =e-~, . x! (10)

resut tando la distribuci6n de Poisson como caso particular de (3). Podemos, . pues, decir que la variable ~ suma algebraica de variable~ de Poisson posee la funci6n de frecuencia

P (~ = x) = e (2 V ()2 G) (2),~) (11)

donde ~P se extiende a todos los valores de ki; 52 a los valores de )-k 1 k

correspondientes a l a s variables tomadas con s igno negativo.

5UMA ALGEBRAICA DE V}.RIABLES DE POISSON 179

5 . A J U S T E D E U N A D I S T R I B U C I O N IgMPIRICA

D a d a una mues t r a a lea tor ia de extensidn n, x~. x.,, xn, se presen ta el p r o b l e m a de es t imar los dos par&metros ),1 y ),., o cualquier o t to par de par&metros re lacionados con ellos, como m y ~ .

Se puede hallar expt [c i tamente el e s t imador de m~,xima veros imi - l i tud de la diferencia ),x-),.,, pe ro no el de la suma . La funci6n de veros imi l i tud es

' g x i

Ixl (12) I a = e -n (~',+)-~)

y las ecuaciones que dan los e s t imadores

a In L ~ x i 1 )~,, I' - - = - n + - + " v - - = O

a l n L ~;' _ x i 1 ) . ~ ~ I' ak. n 2 T = ~

(13)

de donde mul t ip l i cando ia p r i m e r a por ;<~ y la s e g u n d a por ),= se ob- tiene, res tando

A /\ A Y. x i m = k, - - L - - - - (1-1)

n

E1 es t imador de m a x i m a ve ros imi l i tud de la su ing no puede ha. llarse exp l ic i t amente de (13) po t en t ra r k 1 y ),_~ en el cociente I ' / I , y en la pr~ictica se es t imar~ por el m6todo de los m o m e n t o s

A ~ A }2 (xi - - m) ~"

V e a m o s pa ra t e r m i n a r un e~emplo ; en el cuad ro s igu ien te se dan los resul tados de 1.5~ par t idos de ftffbol cor respondien tes a la Pr i - mera Divis idn de la L i g a de la t e m p o r a d a 19.54-55, segfin el ndmero de goles marcados po t el equ ipo v is i tan te y el local

N d m e r o partidos Goles marcados por el equipo local

Goles marcados por el 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 equipo vlsftante

0 1 13 13 9 7 2 0 2 0 0 1 3 12 !3 9 8 8 4 0 1 0 2 3 5 9 6 2 3 0 0 1 1 3 2 3 3 6 0 0 0 0 0 0 4 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0

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r e s u l t a n d o c o m o d i s t r i b u c i 6 n d e la d i f e r e n c i a de g o l e s I o c a I - v i s i t a n t e

Diferencia de goles . . . . . . . . . . xi - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4: 5 6 7 Part!dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ni 1 2 7 11 28 33 24: 20 15 6 1 4

lOS e s t i naado re s de la m e d i a y v a r i a n z a r e s u h a n

m = 1 , 5 1 3 z~ = 4,316

los v a l o r e s r ea l e s de ),~ y kz s o n : ) ,~=2 ,645 y ) ,~=1,132, m i e n t r a s

q u e los e s t i m a d o s son :

/~, = 2,914 /~. = 1,402

L a s p r o b a b i l i d a d e s t e d r i c a s y e s p e r a n z a s ma tem, ' i t i c a s de l n f i m e r o

.de p a r t i d o s con u n a d i f e r e n c i a d e x g o l e s , r e s u l t a n de X

P (~ = x) = e -4'a16. (2,080) -~ - I~ (4,042); E (n~) = 1 5 9 - P (x)

d a m n s a c o n t i n u a c i d n los w d o r e s n u m d r i c o s

x g (~ = x) E (n~) ,~ n~ - - E ('l,x)

- 5 - 4 - -3 - 2 - 1

0 1 2 3 4 5 6 7

a,O(R 0,005 0,016 0,043 0,094 b~,157 0,196 0,087 0,141 0,187 0,045 0,0'20 0,0(}9

0 1

7 14 24 30 28 21 13 7

0

7 11 _98 33 24 20 15 6

0

0

0 - 3

4 3

"~4

2 - 1

1

y a p l i c a n d o el test de b o n d a d d e a j u s t e r e s u l t a t,n v a l o r de X=='2,93

con 8 g . d . I., 1o que i n d i c a un a j u s t e p e r f e c t a m e n t e a c e p t a b l e .

B I B L i O G R A F I A

[1] Ir~w~x. J. O. : The frequency distribution of tile difference between two independent variates following the same Poisson distribution. ]. R. S. S. Vol. 100, 1037, p. 416.

[2] DE Ci~s'rRo, G : Note on the differences of Bernoilli and P oisson variables. Po~,tug'aliae Matlzematica. Vol. II , 1982, p. 173.

[3] JarlNl<v. und Es~D~: Tables of Functions with formulae and curves. [4] -WaTsoN: A treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge U

.Press, 1944.

SUMA ALGEBRAICA DE V.fiRIABLES DE; POISSON 181

S U b l M A R Y

Let r/~ and ,7: be two Doisson r a n d o n var iab les w i th p a r a m e t e r s X~ and A=; t h e r a n d o m var iab le ~c=r / , - % has a f r equency funetic, n given by

x

v <a = ~) = ~-~,+~ [~'/~-- ~, (~- V~,~ .? )

w h e r e I~(~) is t he mod i f i ed Besse l func t ion of orden x :p.d a r g u m e n t t. T h e c u m u l a n t s of th is d i s t r ibu t ion a re

• = )'t + )'=, • -~" X't - - ),s

and then the m e a n and var iance .

a'- = ;v I -1-- >.=

T h e adi t ion and subs t rac t ion of var iab les $ have d i s t r ibu t ions of the s a m e type, and so the a lgebric adi t ion of Po isson var iab les has also t h a t type tyL d i s t r ibu t ion .

T h e m a x i m u m likelihood e s t i m a t e of the m e a n can be founded explici tely, bu t not t he e s t i m a t e of var iance .

W i t h the e s t ima t ion of va r iance by tile s a m p l e va r i ance the a u t h o r fits a d i s t r ibu t ion to one empir ica l example .

distribucion de la suma algebraica de variables de poisson

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