distance d’un point à un plan
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Distance d’un point à un plan. Par Amandine Mousset. L’espace étant muni d’un repère orthonormé, considérons…. z. Le plan = ax+by+cz+d = 0 Le point P . = ax+by+cz+d = 0. y. P . x. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Distance d’un point à un plan.
Par Amandine Mousset.
L’espace étant muni d’un repère orthonormé, considérons…
• Le plan = ax+by+cz+d = 0
• Le point P
x
y
z
= ax+by+cz+d = 0
P
Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d, , et , la distance du point P au
plan .
x
y
z
= ax+by+cz+d = 0
P
Ecrivons des équations paramétriques de la droite p,comprenant P et perpendiculaire à enutilisant un triple de paramètres directeurs principaux de .
Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d, , et , la distance du point p au
plan .
x
y
z
= ax+by+cz+d = 0
P
= ax+by+cz+d = 0
Un triple de paramètres directeursde p est donc (a,b,c).Un triple de paramètres directeursprincipaux de p estdonc
b ca
a2+b2+c2 a2+b2+c2 a2+b2+c2
, ,( )
Des équations paramétriques de la droite p sont:
Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d, , et , la distance du point p au
plan .
x
y
z
= ax+by+cz+d = 0
P
p =
z = + k ca2+b+c2
x = + k aa2+b2+c2
y = + k ba2+b2+c2
Calculons la valeur que prend k au point D commun à et à p.
Pour cela, exprimons que la coordonnée de D vérifie l’équation de .
Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d, , et , la distance du point p au
plan .
x
y
z
P
= ax+by+cz+d = 0
D
Calculons la valeur que prend k au point D commun à et à p.
Pour cela, exprimons que la coordonnée de D vérifie l’équation de .
a ( + k a
a2+b2+c2
) b ( + k b
a2+b2+c2
) c ( + k c
a2+b2+c2
)++ + d = o
a + b + c + d + ka2+b2+c2
a2+b2+c2
= o
D’où: k = - a + b + c + d
a2+b2+c2
a + b + c + d
a2+b2+c2
Finalement, la distance du point P au plan est…
PD = lkl =
x
y
z
P
= ax+by+cz+d = 0
D