dissertationes mathematicae

P O L S K A A K A D E M I A N A U K, I N S T Y T U T M A T E M A T Y C Z N Y

D I S S E R T A T I O N E SM A T H E M A T I C A E(ROZPRAWY MATEMATYCZNE)

KOMITET REDAKCYJNY

ANDRZEJ BIA LYNICKI-BIRULA, BOGDAN BOJARSKI,ZBIGNIEW CIESIELSKI, LUDOMIR NEWELSKI,

ZBIGNIEW SEMADENI, JERZY ZABCZYK redaktor,WIES LAW ZELAZKO zastepca redaktora

CCCLXXXIII

ERIC CHARPENTIER

Sur l’elimination des “infinis”en theorie quantique des champs :la regularisation zeta a l’epreuvede l’interpretation de Colombeau

ou vice versa

W A R S Z A W A 1999

Eric CharpentierInstitut de MathematiquesUniversite Bordeaux I351 cours de la Liberation33405 Talence Cedex, FranceE-mail: [email protected]

Published by the Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences

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P R I N T E D I N P O L A N D

c© Copyright by Instytut Matematyczny PAN, Warszawa 1999

ISSN 0012-3862

T A B L E D E S M A T I E R E S

0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.1. Le probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.2. Les solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.2.1. Solutions detournees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.2.2. L’interpretation de Colombeau : une solution naturelle . . . . . . . . . . . . . 7

0.3. Ce que propose le present article . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. Presentation heuristique de la methode :

la substance intuitive de la regularisation zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1. Fonction theta “anomale” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Regularisation zeta et contraintes de Colombeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Effet Casimir et fonction de Green sur le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1. Rappel de la theorie classique, notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1. Fonctions test, zooms, localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2. Distributions a+, a− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3. Le “champ scalaire” ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.4. Fonctions generalisees (de Colombeau) sur S1

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.5. “L’energie Casimir” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.6. La fonction de Green et sa diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Effet Casimir dans un espace spherique Sd−1R : dimension d ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1. Fonctions test, zooms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2. Definition des ensembles Aq de fonctions test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3. Definition des fonctions et nombres generalises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.1. Domaines de Colombeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.2. Germes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.3. Germes moderes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.4. Germes negligeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.5. Algebre des fonctions generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.6. Integration, constantes de Colombeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4. Rappels de la theorie de Klein–Gordon classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.1. Solutions de l’equation de Klein–Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.2. Multiplicites, et leurs expressions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4.3. Autres formules utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4.4. Le tenseur d’energie-impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5. Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5.1. Quelques notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5.2. Construction de F , a+, a− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5.3. Le champ et le tenseur d’energie-impulsion quantiques . . . . . . . . . . . . . 25

3.6. “L’effet Casimir cosmologique” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6.1. d impair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.6.2. d pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.7. Methode de la fonction generatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Table des matieres

4. L’effet Casimir dans un espace cylindrique S1R × Rd−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1. Notations et theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2. Preuve du theoreme 4.1 : d pair (≥ 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3. Preuve du theoreme 4.1 : d impair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5. Application a la quantification canonique de la corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.1. Theorie classique : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1.1. Tenseur d’energie-impulsion, equations classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.1.2. Champs classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.1.3. Coefficients de Virasoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.1.4. Coordonnees du cone de lumiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2. Quantification par la methode de Colombeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.2.1. Operateurs, et premieres relations de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2.2. L’intercept et la contrainte de Lovelace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.3. L’algebre de Virasoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.4. L’etalement du paquet d’onde : comparaison avec les arguments heuristiques

de Susskind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426. Appendice I : Introduction a la theorie de Colombeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1. Fonctions generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2. Valeurs des fonctions generalisees et integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.3. Generalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.4. Une nouvelle sorte de geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7. Appendice II : Preuve que ∀n, ∀t, ∂nt ϕ(ψε,θ, t) est modere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468. Appendice III : Preuve que Fε,ψ est une fonction de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . 479. Appendice IV : Expression des “pre-regulateurs” comme combinaisons lineaires de fonc-

tions de Clifford d’argument t1x2/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

10. Appendice V : Comment la forme du “cut-off” leve un “paradoxe” . . . . . . . . . . . . 51References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2000 Mathematics Subject Classification (version of July 31, 1998):46F10 Operations with distributions (generalized functions),46F30 Generalized functions for nonlinear analysis [Colombeau’s generalized functions],40G99 [Zeta-function (Ramanujan) method of summability],81S05 Commutation relations [canonical quantization],81T20 Quantum field theory on curved space backgrounds,81T30 String and superstring theories,also 33C55, 81Q10.

Received 26.2.1998; revised 6.9.1999.

Abstract

Zeta regularization is one of the heuristic techniques used, specifically, in quantum field theory(QFT) in order to extract from divergent expressions some finite and well-defined values. Colom-beau’s theory of generalized functions (containing the distributions and allowing their multipli-cation) provides a mathematically rigorous setting for QFT, where only convergent expressionsappear. The aim of this paper is to compare these two points of view, both in their underlyinglogic and in their results. After an account of the general idea proposed here (a link between zetaregularization and Colombeau constraints), this idea is applied and put to test in some instancesof the Casimir effect for the conformal Klein–Gordon (CKG) equation (the meaning of all theseterms is recalled) :

• first, on a sphere Sd−1R : for d = 2 one recovers the Casimir energy given by zeta regulari-zation; for d odd too, if some constraints imposed to make the result finite are consistent;for d even ≥ 4 a term which seems arbitrary remains—it seems that in order to give aspecific value to this term, one ought to complete the standard Colombeau interpretation;• then, on the cylindrical space S1R × Rd−2: Colombeau’s interpretation gives the same

result as zeta regularization; here the unique constraint does have solutions. We alsoconsider some variants (a space confined between two hyperplanes—here, there are twoconstraints—and the historical Casimir effect, where there is only one constraint, and itdoes have solutions).

One also considers the diagonal values of the CKG Green function on S1R, where zeta regula-rization does not give a finite result: the Colombeau formalism provides a (Colombeau) numberwhich is not associated with an ordinary number, and whose dependence on a “resolution” εcorresponds to the usual renormalization (semi-) group.

Finally, applying the method to the embedding of the string worldsheet into the Minkowskispace-time, one recovers the correct Virasoro algebra, in the sense of Colombeau’s weak equality,and obtains a mathematical formulation of some heuristic arguments by Susskind about thequantum spread of the string.

The paper is to a large extent self-contained, and is accessible to a wide audience of mathe-maticians.

0. Introduction

0.1. Le probleme. Il existe plusieurs formulations de la Theorie Quantique des Champs :

la quantification canonique, la quantification lagrangienne (par “l’integrale de Feynman”),

la theorie axiomatique des champs, la ∗-quantification, la quantification stochastique, etc.

Dans cet article, je vais m’interesser uniquement a la quantification canonique — qui

est la plus ancienne, et reste l’une des plus utilisees (1).

Certains calculs effectues dans ce cadre par les physiciens n’ont pas encore ete par-

faitement compris du point de vue mathematique, mais ils laissent une tres forte impres-

sion de coherence interne, et il y a surement la de belles choses a comprendre pour le

mathematicien — cette comprehension mathematique pouvant eventuellement, en retour,

apporter un point de vue interessant aussi pour le physicien.

En particulier, les physiciens voient apparaıtre des series numeriques divergentes,

qu’ils “somment” par une regle plutot mysterieuse, la “regularisation zeta”. La seule

justification de cette regle est que, dans tous les cas ou un raisonnement physique per-

met d’“intuiter” le bon resultat numerique — ou bien ou un autre cadre mathematique

(comme la theorie “axiomatique” des champs) permet de faire un calcul concluant —

le resultat est precisement celui que donne la “regularisation zeta” (cf. encore, tout

recemment, [56]). Mais cela ne peut justifier que les resultats de la “regularisation zeta”,

au cas par cas, et non la methode elle-meme, qui demeure une regle empirique.

A vrai dire, il existe une foule de “regularisations” de type “zeta”, parfois ambigues

et sources de paradoxes (cf. l’appendice V). La plus satisfaisante, celle que preconisent

par exemple Elizalde et al. [31], consiste a effectuer le prolongement analytique de la

fonction zeta de Seeley de l’operateur hamiltonien, et elle est certainement univoque.

Mais elle ne donne pas de sens au tenseur d’energie-impulsion quantique, par exemple, et

ne donne qu’apres coup un sens a des quantites numeriques comme l’energie Casimir : il

faut d’abord manipuler des objets et des quantites formels et, meme si on a ensuite une

procedure univoque pour donner un sens precis a certaines de ces quantites, on n’est pas

pleinement satisfait. On aimerait avoir un formalisme mathematiquement limpide, des

calculs convergents de bout en bout.

L’apparition de series divergentes dans ces calculs est due au fait suivant : les champs

sont exprimes par des series d’operateurs qui divergent au sens de la topologie forte, mais

qu’on peut interpreter comme des distributions; or, les quantites qu’on cherche a calculer

sont des fonctions non-lineaires de ces champs : par exemple la densite d’energie d’un

(1) Un probleme analogue a celui traite ici, mais dans le cadre de la quantification par“l’integrale de Feynman”, fera l’objet d’une publication ulterieure.

Regularisation zeta et interpretation de Colombeau 7

champ libre est une fonction quadratique du champ. Or, il est bien connu que, dans la

theorie de Schwartz, les distributions ne peuvent generalement pas etre multipliees.

0.2. Les solutions

0.2.1. Solutions detournees. Il existe plusieurs facons, mathematiquement rigoureuses,

de contourner la difficulte; elles reviennent — au fond — a donner un sens aux produits

de distributions rencontres dans telle ou telle theorie, et la plupart se placent dans un

cadre mathematique et physique qui ne correspond plus a la quantification canonique mais

plutot a une approche axiomatique. Citons quelques-unes de ces methodes : separation

des points (“point-splitting”) puis soustraction d’une quantite idoine ayant la meme partie

singuliere, avant de passer a la limite des points coıncidents (2); ou bien separation des

points et prolongement des distributions aux points coıncidents (3); incorporation des

divergences dans des cobords (4); multiplication de Lodder (5);. . .

0.2.2. L’interpretation de Colombeau : une solution naturelle. Mais il existe aussi une

theorie generale des “distributions non-lineaires” : la theorie des fonctions generalisees

de Colombeau [19], [20] (6). Il est donc naturel d’essayer d’interpreter les quantites de la

Theorie Quantique des Champs comme des fonctions generalisees au sens de Colombeau :

tous les calculs effectues dans la quantification canonique (7) prennent alors un sens

mathematique precis : c’est l’interpretation de Colombeau pour la quantification cano-

nique.

L’interpretation de Colombeau apporte un point de vue original sur la renormalisation,

ou la soustraction du “point zero”, “l’ordre normal” de Wick, etc. sont remplaces par des

contraintes sur la facon dont on peut s’approcher d’un point de l’espace-temps (ou, plus

exactement, dont on peut s’approcher du pic de Dirac en ce point : cf. l’appendice I).

(2) Cf. Christensen [15, 16] et Wald [75, 76]; cf. par exemple [22] et [44] pour des con-siderations directement liees a notre propos, et [45, 43, 62, 13, 38] pour des developpementsrecents.

(3) Cette methode a ete utilisee presque uniquement dans l’espace-temps minkowskien oueuclidien, cf. par exemple le no 29.7 de [74] (et ses references), cf. aussi [40], [70], [67], et lestravaux issus de la theorie causale des perturbations [7] : [32, 33, 34, 26, 63, 27, 28, 29, 30, 61, 9]et [71, 60, 48, 47]. On commence cependant a l’utiliser en geometrie (pseudo-) riemannienne :cf. [64, 65, 12, 11].

(4) Dans le cadre de la “∗-quantification” [5], [36], les quantites naıvement infinies (au moinscertaines d’entre elles, et dans l’espace-temps de Minkowski) peuvent etre eliminees par unchoix idoine d’un representant de la classe cohomologique du “∗-produit” : cf. [23], [24], etparticulierement [25].

(5) La “theorie symetrique” de Lodder [51], [52], [46], [53] — “symetrique” en ce sens queles fonctions generalisees et les fonctions test y sont interchangeables — permet de multiplier(de facon non associative) les distributions qui interviennent usuellement dans la theorie deschamps. Lodder donne une application a la regularisation zeta dans [51], IV (pp. 392–403), etune application a l’effet Casimir historique dans [52], II (pp. 31–32).

(6) Qui permet de multiplier toutes les distributions, et de facon associative, comme lamultiplication qui intervient dans les calculs heuristiques de la quantification canonique.

(7) J’insiste sur ce point : il ne s’agit pas ici de retrouver par une methode detournee lesresultats suggeres par la quantification canonique, mais bien de donner un sens mathematiquerigoureux a cette derniere.

8 E. Charpentier

Ce point de vue est non seulement mathematiquement limpide (et physiquement

interessant), mais il est aussi capable de trancher, dans certaines situations ou les ap-

proches heuristiques peuvent rester bloquees. Par exemple, quand la soustraction du

“point zero” ne suffit pas a eliminer toutes les “divergences” du champ libre (8), les

physiciens preferent s’abstenir de conclure plutot que d’effectuer des soustractions arbi-

traires, denuees d’interpretation physique : ils sont alors obliges de passer a une toute

autre approche du probleme (9). Tandis que, dans certains des cas que nous etudierons

ici, et ou ce probleme est present (cf. en particulier la remarque 3.5), l’interpretation de

Colombeau donne une procedure univoque et naturelle (et mathematiquement rigoureuse)

pour traiter ces divergences recalcitrantes, tout en restant dans le cadre de la quantifica-

tion canonique.

0.3. Ce que propose le present article. La section 1 propose un lien, qui semble nou-

veau, entre la procedure heuristique de regularisation zeta et les “contraintes” intervenant

habituellement dans l’interpretation de Colombeau (celle-ci pouvant donc apporter une

justification mathematique a celle-la).

Quelques tests, portant sur des exemples simples et explicites, mettent ensuite a

l’epreuve du calcul la “philosophie” generale de la section 1; ce sont les tests evoques

dans le resume ci-dessus. Chacun a ete choisi pour ses particularites : le cas du cercle

(effet Casimir et valeur diagonale de la fonction de Green, section 2), pour son extreme

simplicite; le cas de la sphere (section 3), parce qu’il faut y construire les algebres de

Colombeau idoines, par analogie avec la construction de Colombeau dans Rd−1 (10), et

parce qu’y apparaıt (en dimension d ≥ 4 paire) le phenomene nouveau “d’anomalie de

fonction test” (cf. la remarque 3.4); le cas du cylindre (section 4) parce qu’en dimension

d impaire, le regulateur introduit par le formalisme de Colombeau n’est pas de classe

C∞ (il n’est meme pas assez differentiable en 0 pour qu’on puisse appliquer la meme

formule sommatoire que dans les exemples precedents, celle d’Euler–MacLaurin : il faut

ici la remplacer par la formule de Plana : cf. le no 4.3). Enfin, l’application a la theorie

des cordes que propose la section 5 montre bien qu’un formalisme mathematiquement

rigoureux peut etre plus direct qu’un calcul heuristique (remarque 5.2), et que le forma-

lisme de Colombeau est capable de donner une interpretation mathematique aux argu-

ments heuristiques de Susskind sur l’etalement quantique de la corde.

On evoquera au passage un lien (qui sera developpe dans un prochain article) entre la

theorie des fonctions generalisees de Colombeau et l’esquisse par Nottale d’une “geometrie

non-differentiable” (cf. la remarque 3.1).

(8) Ajoutons d’ailleurs que meme la soustraction du “point zero” serait physiquement sus-pecte dans une theorie ou la Gravitation jouerait un role : cette difficulte ne se presente memepas dans le formalisme de Colombeau, ou l’energie du “point zero” n’est pas soustraite mais toutsimplement nulle.

(9) Voir, par exemple, la discussion du no 6.1, pp. 152–153 de [6].(10) Profitant du fait que sur une sphere “tous les points sont equivalents”, je me place

d’emblee dans un systeme de coordonnees commode pour les calculs explicites. (On pourraitfaire le calcul de facon intrinseque, grace a [21], [1] ou [72], ou la theorie de Colombeau estgeneralisee aux varietes C∞ paracompactes; mais pour la sphere ce n’est pas interessant.)


Des appendices I a V proposent, respectivement : I. un bref digest de la theorie de

Colombeau (dans Rd−1); II. la preuve que le “champ de Klein–Gordon” introduit dans la

section 3 est modere (au sens de Colombeau), ainsi que toutes ses derivees par rapport

au temps; III. la preuve que l’expression “regularisee” Fε,ψ introduite dans la section

3 par le formalisme de Colombeau est une fonction de Schwartz; IV. l’expression des

pre-regulateurs de la section 3 comme combinaisons lineaires de fonctions de Clifford;

V. la solution par l’interpretation de Colombeau d’un des “paradoxes” classiques de la

“regularisation zeta”.

1. Presentation heuristique de la methode :

la substance intuitive de la regularisation zeta

1.1. Fonction theta “anomale”. Nous allons considerer ici un “modele-jouet” ou la

quantite a etudier serait donnee par une somme

(1)∑

m≥1

Fε(ωm)

avec Fε(ωm) = ωamf(εωm), a ∈ N, ε ∈ ]0, 1[, f analytique sur R, a decroissance rapide,

avec f(0) = 1, et ou les ωm sont les valeurs propres d’un operateur elliptique, rangees

dans l’ordre croissant, et disons comptees avec leur multiplicite.

Pour etudier le comportement de l’expression (1) quand ε→ 0, il est utile (et classique)

d’essayer de la reecrire sous la forme d’un developpement en puissances de ε. Comme le

font remarquer Elizalde et al. ([31], chap. 3), dans la plupart des problemes concrets, une

serie comme (1) se laisse rearranger sous la forme

(2)∑

n

an(f)εbn +Rf (ε),

ou les an, bn sont des nombres complexes et ou Rf est un reste exponentiellement petit

pour ε→ 0+, de l’ordre de grandeur d’un εαe−1/ε. (2) aura une limite finie quand ε→ 0+

ssi : an(f) = 0 pour tout n tel que Re bn < 0 ou Re bn = 0 et Im bn 6= 0 (11) et alors cette

limite sera∑

n, bn=0 an(f) , qui s’averera independante de f dans les “bons” cas (12).

Le passage de (1) a (2) se fait en utilisant les fonctions zeta et theta spectrales:

ζ(s) =∑

m≥1

ω−sm

pour Re s assez grand pour que le second membre converge, et

Θ(t) =∑

m≥1

e−tωm

(t > 0). Il est bien connu qu’on passe de ζ a Θ par une transformation de Mellin in-

verse, mais pour comprendre la substance de la regularisation zeta, il faut remarquer que

(11) Ce seront les “contraintes de Colombeau”, puisqu’elles joueront ici le role des contraintesintroduites par Colombeau [19] pour remplacer l’ordre de Wick.

(12) En general, il peut subsister un terme dependant de f (cf. la remarque 3.4).

10 E. Charpentier

“formellement” (ou, plutot, naıvement), on ecrirait

Θ(t) =∑

m≥1

e−tωm =∑

m≥1

∑

n≥0

(−t)nn!

ωnm!=

∑

n≥0

(−t)nn!

∑

m≥1

ωnm!=

∑

n≥0

(−t)nn!

ζ(−n),

par une sorte de “regularisation zeta” naıve (et fausse, comme on va le voir) consistant a

remplacer toutes les series divergentes∑m≥1 ω

nm par les nombres ζ(−n). (Je suppose ζ

analytique en ces points −n). Je mets des points d’exclamation sur les signes “=” abusifs.

Le resultat ainsi obtenu est inexact en general, mais on peut evidemment toujours ecrire

(3) Θ(t) = Θan(t) +∑

n≥0

(−t)nn!

ζ(−n),

ou le terme inattendu Θan(t) peut etre appele une “anomalie” de resommation. Dans les

cas simples (13),

Θan(t) =∑

α∈A

aαtα (+ un reste exponentiellement petit),

ou A ⊂ R∗− est finie. C’est de cette anomalie Θan que viendront les “contraintes de

Colombeau”, comme on va le voir bientot. Un exemple d’identite (3) est

(4)1

et − 1=

∑

m≥1

e−mt =1

t+

∑

n≥0

(−t)nn!

ζ(−n)

(0 < t < 2π), la fonction ζ etant ici celle de Riemann; dans ce cas Θan(t) = t−1.

(Plus generalement, si on suppose que la fonction ζ spectrale d’un operateur elliptique

A d’ordre 2, sur une variete de dimension d− 1, est holomorphe en −1, −2, . . . (14), ses

poles eventuels sont (d− 1)/2, (d− 2)/2, . . . 1, 1/2; −1/2, −3/2, −5/2, . . . , et

(5) Θan(t) =∑

n≥0, (n−d+1)/2/∈N

t(n−d+1)/2Γ

(d− 1 − n

2

)Res

(ζ,d− 1 − n

2

)+R(t),

ou R(t) est une fonction de t qui tend vers 0 quand t→ 0+ plus vite que toute puissance

positive de t.

Exemple : pour l’operateur A = −∆S1 (d−1 = 1) : ωm = m2, ζA(s) = ζ(2s) (fonction

ζ de Riemann); unique pole : 1/2,

Θ(t) =∑

m≥1

e−tm2

= −1

2+Θan(t),

ou Θan(t) = (π/(4t))1/2 + (π/t)1/2Θ(π2/t).)

1.2. Regularisation zeta et contraintes de Colombeau. Maintenant qu’on dispose

de la formule (3), on va effectuer quelques manipulations de calcul symbolique, qui vont

nous permettre de comprendre la substance de la regularisation zeta; puis on comprendra

(13) Si ζ a des poles en des points −n (n ∈ N), Θan(t) contient aussi des termes proportionnelsa tn et a tn ln t.

(14) Sinon, il faut remplacer dans (3) ζ(−n) par la partie finie Pf(ζ,−n) et ajouter dans (5)des termes proportionnels aux residus Res(ζ,−n) : cf. par exemple [31], chapitre 3, eq. (1.25–27).


pourquoi la “regularisation zeta” naıve evoquee ci-dessus etait incorrecte. Symbolique-

ment, posant D = d/dx, et substituant −D a t dans (3), on a∑

m≥1

Fε(ωm) =∑

m≥1

(eωmDFε)(0) = Θ(−D)Fε(0)

= Θan(−D)Fε(0) +∑

n≥0

ζ(−n)

n!(DnFε)(0)

= Θan(−D)Fε(0) + ζ(−a) + o(1) (ε→ 0+),

pour Fε(x) = xaf(εx), f(0) = 1. Si Θan(t) =∑α∈A aαt

α avec A ⊂ Z∗− fini (et aα 6= 0,

∀α ∈ A), alors

Θan(−D)Fε(0) =∑

α∈A

(−1)αaα(DαF1)(0)ε−a+α,

et donc :

“Theoreme” 1.1.∑

m≥1 Fε(ωm) admet une limite finie quand ε→ 0+ ssi

∀α ∈ A, (DαF1)(0) = 0

(“contraintes de Colombeau”). Ce sont des equations integrales (les α sont negatifs !)

portant sur f . Sous ces contraintes,∑

m≥1 Fε(ωm) tend vers ζ(−a) quand ε→ 0+ et on

voit que c’est la seule limite finie possible.

On obtient la une justification (et une explication) de la “prescription zeta” (dans ce

“modele-jouet”), a condition bien sur de pouvoir justifier les manipulations symboliques

ci-dessus. Dans les exemples plus realistes (mais semblables) que nous allons considerer

dans les sections suivantes, la formule d’Euler–MacLaurin (utilisee proprement, cette fois,

et non plus “formellement” comme ci-dessus) suffira (15), sauf dans la sous-section 4.3 ou

il faudra utiliser la formule de Plana (parce que le regulateur ne sera pas suffisamment

differentiable en 0).

Commentaire 1.1. La situation merite une discussion : on a vu que la “regularisation

zeta” naıve : ∀n ≥ 0,∑

m≥1 ωnm =! ζ(−n) etait incorrecte : elle ne faisait pas apparaıtre

le terme Θan(t), present dans (3); et aussitot on a utilise (3) pour “demontrer” la validite

de la regularisation zeta ! (16)

La solution de ce petit paradoxe est evidente : on a prouve la prescription zeta sous les

contraintes de Colombeau, qui consistent justement a annuler la contribution du terme

Θan dont la presence invalidait cette prescription; et ce n’est pas un cercle vicieux : on a

une raison precise et imperative d’annuler cette contribution : c’est la condition necessaire

et suffisante pour que (1) soit finie quand ε→ 0+.

Nous allons maintenant passer a notre premier exemple detaille : “l’energie Casimir”

pour la theorie de Klein–Gordon conforme dans la sphere Sd−1R ⊂ Rd. Le cas d = 2

presente des particularites (il y a un “mode zero” et, surtout, les coefficients des differentes

formules ne s’obtiennent pas en faisant d = 2 dans les formules generales), et il est donc

(15) Cf. cependant la fin de la section 3 pour une autre methode.(16) Pour une valeur donnee n = a, ou (si les differentes contraintes sont compatibles) pour

un nombre superieur de valeurs de n.

12 E. Charpentier

preferable de le traiter separement. Je vais l’exposer en premier : cela permettra au lecteur

de se faire rapidement une idee de la methode sur cet exemple simple.

2. Effet Casimir et fonction de Green sur le cercle

2.1. Rappel de la theorie classique, notations. L’equation de Klein–Gordon con-

forme dans S1R × R, ou S1

R = R/2πRZ, s’ecrit

(6) ϕ ≡ ∂2xϕ− ∂2

t ϕ = 0

(x = Rθ). L’espace des solutions bornees en t se scinde en H+ ⊕H− ⊕ C, ou H+ (resp.

H−) est engendre par les ϕk(x, t) = (4π|k|R)−1/2ei(kx−|k|t), k ∈ R−1Z∗ (resp. par les (17)

ϕ∗k(x, t)). Les ϕk (resp. les ϕ∗

k) forment une base hilbertienne orthonormale de H+ (resp.

de H−) pour le produit hermitien (dans H±)

(7) (ϕ,ϕ′)± = ∓i\S1

R

[ϕ(∂tϕ′)∗ − (∂tϕ)(ϕ′)∗] dx.

A une solution de (6),

(8) ϕ(x, t) =∑

k∈R−1Z∗

[a−k ϕk(x, t) + a+k ϕ

∗k(x, t)] + cte

on associe le tenseur “d’energie-impulsion” Tµν(x, t) (0 ≤ µ, ν ≤ 1) (18), dont les com-

posantes sont

(9) T00 = T11 = 12 (∂tϕ)2 + 1

2 (∂xϕ)2, T10 = T01 = ∂tϕ∂xϕ.

2.2. Quantification. On remplace la fonction ϕ(x, t) de (8) par une distribution a

valeurs operatorielles, de la facon suivante :

2.2.1. Fonctions test, zooms, localisation. Les fonctions test sont les fonctions ψ, C∞ sur

S1R, nulles au voisinage de x = πR (mod 2πR) et telles que

TS1

R

ψ(x) dx = 1. Une telle

fonction s’ecrit

ψ(x) =∑

m∈Z

u(x− 2πmR)

avec u : R → R, C∞ a support ⊂ ]−πR, πR[, etT

Ru(x) dx = 1.

Pour x ∈ ]−πR, πR[ et ε tel que 0 < ε ≤ 1 assez petit pour que x + ε suppu ⊂]−πR, πR[, posons uε,x(y) = ε−1u((y − x)/ε), et

ψε,x(y) =∑

m∈Z

uε,x(y − 2πmR).

(17) Je noterai ici z∗, plutot que z, le conjugue d’un nombre complexe z, adoptant ainsi lanotation usuelle chez les physiciens.

(18) L’usage est en effet de noter t = x0 et x = x1.


2.2.2. Distributions a+, a−. Ce sont des applications lineaires continues de ℓ2(R−1Z∗,C)

dans l’algebre des endomorphismes bornes L(F) d’un espace vectoriel bornologiqueF (19),

polaire complet et muni d’un produit hermitien compatible avec sa bornologie (20) tels

que (21)

[a−(k 7→ ψk), a+(k 7→ ψ′

k)] =∑

k∈R−1Z∗

ψkψ′k · IdF ,

[a−(k 7→ ψk), a−(k 7→ ψ′

k)] = [a+(k 7→ ψk), a+(k 7→ ψ′

k)] = 0,

que a+(k 7→ ψk) soit l’adjoint de a−(k 7→ ψ∗k), et tels qu’il existe un vecteur Ω ∈ F (“le

vide”) non nul, et qu’on peut donc prendre de norme 1, verifiant

(10) ∀(k 7→ ψk) ∈ ℓ2(R−1Z,C), a−(k 7→ ψk)Ω = 0.

(Un tel systeme (F , Ω, a+, a−) sera construit explicitement, en section 3, pour d ≥ 2

quelconque.)

2.2.3. Le “champ scalaire” ϕ. On pose alors (pour ψ fonction test)

ϕ(ψ, t) = a+(k 7→ (4π|k|R)−1/2ei|k|tψ(k)) + a−(k 7→ (4π|k|R)−1/2e−i|k|tψ(−k))ou

(11) ψ(k) =\S1

R

ψ(x)e−ikx dx

(k ∈ R−1Z∗). Les composantes du tenseur d’energie-impulsion sont definies comme dans

le cas classique, sauf que maintenant ϕ(x, t) est remplace par ϕ(ψε,x, t), et il faut donc

pouvoir multiplier des distributions comme ∂µϕ(ψε,x, t); pour cela, nous allons les plonger

dans une algebre de Colombeau que nous allons definir maintenant. (Cf. l’appendice I

pour un digest de la theorie de Colombeau usuelle, dans Rn, et la section 3 ci-apres pour

les details dans le cas des spheres de dimension d− 1 ≥ 1 quelconque.)

2.2.4. Fonctions generalisees (de Colombeau) sur S1R. Pour q ∈ N, Aq(S

1R) sera l’ensemble

des fonctions test qui correspondent a une fonction u appartenant a l’ensemble Aq(R) de

la theorie de Colombeau usuelle, c’est-a-dire telle queT

Rtju(t) dt = 0 pour 1 ≤ j ≤ q

(outre queT

Ru(t) dt = 1).

Une fonction R, C∞ sur C∞(S1R) et a valeurs dans L(F) sera dite moderee si pour tout

operateur differentiel Dx, existe q ∈ N tel que ∀ψ ∈ Aq(S1R), ∀x ∈ S1

R, (DxR)(ψε,x) =

O(ε−q) (ε→ 0).

Une fonction moderee R sera dite negligeable si pour tout operateur differentiel Dx,

existe N ∈ N∗ tel que : ∀q ≥ N , ∀ψ ∈ Aq(S1R), ∀x ∈ S1

R, (DxR)(ψε,x) = O(εq−N )

(ε→ 0).

(19) L’espace de Fock bien connu en physique est le complete de ce F .(20) Une “bornologie” dans un espace vectoriel est une notion de “partie bornee”, definie de

maniere axiomatique. Elle induit canoniquement une topologie. Un espace vectoriel bornologiqueest dit “polaire” si l’adherence de tout borne est bornee, et complet s’il existe un systemefondamental de disques bornes tels que les sous-espaces qu’ils engendrent soient de Banach (un“disque” etant une partie convexe balancee). Pour toutes ces notions, cf. par exemple [8] (ch. 3,nos 1 et 2), [18] et [41].

(21) Dans ce qui suit, la notation [A,B] (A,B ∈ L(F)) designe le commutateur AB −BA.

14 E. Charpentier

Les fonctions generalisees (22) (de Colombeau) sur S1R seront les fonctions moderees

modulo les fonctions negligeables (pour comprendre pourquoi, cf. l’appendice I et/ou,

evidemment, [19], [20]). Elles forment une algebre dont C∞(S1R,L(F)) est une sous-

algebre, et qui contient les distributions a valeurs dans L(F) (en particulier ϕ et les

∂µϕ). On peut donc y definir le tenseur d’energie-impulsion de ϕ par la meme formule

que dans le cas classique.

2.2.5. “L’energie Casimir”. “L’energie Casimir” du champ ϕ est

〈T00(ψ∗ε,x, t)Ω,Ω〉 = 〈Ω, T00(ψε,x, t)Ω〉

ou 〈·, ·〉 est le produit hermitien de F . Utilisant l’expression explicite de T00, la definition

de ϕ et les proprietes de a−, a+ et Ω, on obtient facilement

(12) 〈Ω, T00(ψε,x, t)Ω〉 =1

2πR

∑

n≥1

n

Rf

(εn

R

)

(modulo les fonctions negligeables a valeurs dans C) ou

f(y) ≡ u(y)u(−y)(avec u(κ) =

TRu(y)e−iκy dy). Le membre de droite de (12) est bien sur independant

de x.

f est une fonction analytique sur R appartenant a l’espace de Schwartz S des fonctions

C∞ a decroissance rapide ainsi que toutes leurs derivees. En tenant compte du fait que

u ∈ Aq(R) implique que f(0) = 1, f (j)(0) = 0 (1 ≤ j ≤ q), la formule d’Euler–MacLaurin

donne immediatement (apres une majoration evidente du reste)

(13) 〈Ω, T00(ψε,x, t)Ω〉 =1

2πε2

∞\0

tf(t) dt+1

2πR2ζ(−1) + O(εq).

On a donc obtenu ce cas concret du “theoreme” 1.1 :

Theoreme 2.1. 〈Ω, T00(ψε,x, t)Ω〉 admet une limite finie quand ε→ 0 ssi

(14)

∞\0

tf(t) dt = 0.

Sous cette condition (la “contrainte de Colombeau” du probleme), la limite est

(15)1

2πR2ζ(−1) = − 1

24πR2.

N.B. C’est la seule limite finie possible, et c’est celle que donne la “regularisation

zeta”, consistant a faire symboliquement ε = 0 dans l’expression (12) et a y remplacer la

serie divergente∑

n≥1 n par ζ(−1).

Il est facile de verifier (par le procede de Gram–Schmidt, comme dans [19]) que la

contrainte de Colombeau est satisfaite par un ensemble non vide de fonctions test de

Aq (∀q) : on prend u1 et u2 C∞ a support ⊂ ]−πR, πR[, telles queT

Ru1(t) dt = 1,

(22) Dans la section 3, pour d − 1 ≥ 1 quelconque, j’utiliserai une notion plus generale,adaptee de la construction des chapitres 7 et 11 de [19].

Regularisation zeta et interpretation de Colombeau 15TRu2(t) dt = 0,

TRtju1(t) dt =

TRtju2(t) dt = 0 (1 ≤ j ≤ q), avec disons u2 reelle

non identiquement nulle; on cherche u sous la forme u1 + su2, s ∈ C; la contrainte de

Colombeau se traduit par une equation du second degre en s (dont le coefficient dominant

estT|t||u2(t)|2 dt > 0 puisque u2 est reelle et non identiquement nulle) : il suffit de prendre

pour s l’une des racines de cette equation.

Remarque 2.1. On constate au passage que les fonctions test admissibles (celles qui

verifient la contrainte de Colombeau) ne peuvent pas etre a valeurs reelles (puisque pour

u R-valuee, u(−t) = u(t)∗, donc f = |u|2 ≥ 0).

Remarque 2.2. En physique, dans la quantification canonique (23), on manipule (8)

comme une serie formelle (en particulier pour effectuer les produits dans (9)); puis,

prenant la moyenne dans le vide terme a terme, on obtient dans l’energie Casimir la serie

divergente∑n≥1 n, qu’on “regularise” apres coup en introduisant ad hoc un “cut-off”; une

soustraction de Wick–Casimir (j’en parlerai plus loin) permet alors de trouver le meme

resultat que par la regularisation zeta (24). Cela revient a oublier la fonction test (i.e. a

prendre δx a la place de ψε,x) jusqu’a l’obtention du resultat numerique divergent — ce

qui n’est, au fond, qu’un moyen (heuristique) d’alleger les calculs — puis a reintroduire

tardivement ψε,x sous la forme d’un “regulateur”, qui est soit donne explicitement (mais

arbitrairement), comme le poids de Boltzmann f(t) = e−t (25), soit trop vaguement

specifie (26). La soustraction de Wick–Casimir (plus generalement, pour d ≥ 2 : prendre

la partie finie d’Hadamard quand ε→ 0, comme nous le verrons) permet de se debarrasser

“a la main” de ce regulateur reintroduit apres coup. Du point de vue physique, c’est tres

suggestif; mais du point de vue mathematique, ce n’est pas coherent.

2.2.6. La fonction de Green et sa diagonale. Certains objets geometriques ou physiques

peuvent etre definis rigoureusement dans le formalisme de Colombeau meme s’il n’est

pas justifie (voire, pas possible) de leur imposer d’avoir une limite finie quand ε → 0.

Par exemple, Clarke, Vickers et Wilson [17, 73] ont montre que la courbure d’un cone

etait un objet bien defini en tout point du cone y compris au sommet, ou sa valeur est un

nombre de Colombeau non associe a un nombre fini (i.e. qui n’a pas de limite finie quand

ε → 0). Dans le meme ordre d’idees, Balasin et Nachbagauer [2], [3], ont determine le

(23) La determination de cette energie Casimir est peut-etre faisable, avec toute la rigueurmathematique souhaitable, dans d’autres cadres axiomatiques, mais je rappelle que mon but iciest precisement de justifier les calculs heuristiques de la quantification canonique. L’interpretationde Lodder, citee plus haut, semble pouvoir le faire, mais dans un cadre different de l’interpretationde Colombeau, et en sacrifiant l’associativite du produit.

(24) Autre point de vue : Brink et Nielsen [10], apres avoir introduit ad hoc un regulateur f ,et applique une formule sommatoire analogue a celle d’Euler–MacLaurin, retranchent le terme

12πε2

T∞

0tf(t) dt parce qu’il n’est pas covariant. Plus exactement, ils modifient le lagrangien clas-

sique de facon a ce que ce terme disparaisse dans l’expression quantique (13). (Du coup, latheorie classique n’est plus covariante que modulo ~ . . . )

(25) Qui d’ailleurs n’a aucune chance de convenir (dans notre interpretation) puisqu’il ne

verifie pas la contrainteT|t|f(t) dt = 0.

(26) Brink et Nielsen [10] (en dimension 2) le supposent seulement de la forme f(εn) avecf lisse et a decroissance rapide, sans autre restriction (en particulier, sans aucune contrainteassurant l’existence de la limite quand ε→ 0.)

16 E. Charpentier

tenseur d’energie-impulsion d’un trou noir classique (i.e. non quantique). Pour donner ici

un tout autre exemple (27), je vais montrer que la diagonale de la fonction de Green de

(6) est un nombre de Colombeau bien defini, et qu’aucune contrainte de Colombeau ne

peut permettre de l’associer a un nombre complexe ordinaire (fini). (Nous rappellerons en

section 5 l’interpretation de ce fait en theorie des cordes.) Il faut noter que la regularisation

zeta, a proprement parler, ne s’applique pas a un pareil cas : on tomberait sur un pole

de la fonction zeta! (28)

La fonction (generalisee) de Green aux temps coıncidents (t = t′) est definie par

G(ψε,x, ψ′ε′,x′) = 〈Ω,ϕ(ψε,x)ϕ(ψ′

ε′,x′)Ω〉 =∑

l∈R−1Z∗

1

4πRωlψε,x(−l)ψ′

ε′,x′(l).

Si x′ 6= x, on voit facilement que, ∀ψ, ∀ψ′

limε,ε′→0

G(ψε,x, ψ′ε′,x′) =

1

2π

∑

n≥1

1

ncos

(nx− x′

R

)= − 1

2πln

[2

∣∣∣∣ sinx− x′

2R

∣∣∣∣]

(la fonction de Green usuelle, prise aux temps coıncidents, definie — et C∞ — hors de la

diagonale). Si x′ = x, prenant R = 1, ψ′ = ψ et ε′ = ε, on a

2πG(ψε,x, ψε,x) =∑

n≥1

f(εn)

n(16)

= ln1

ε+ γ +

∞\0

f(s) − 1[0,1](s)

sds+ O(ε2)

= ln1

ε+

∞\0

f(s) − e−s

sds+ O(ε2),

ou γ est la constante d’Euler. G(ψε,x, ψε,x) tend donc vers ∞ quand ε → 0, quelle que

soit ψ (le coefficient de ln(1/ε) ne depend pas de ψ, donc ne peut pas etre elimine par

une contrainte de Colombeau (29)). Noter, par ailleurs, la presence d’un terme dependant

de la fonction test dans la partie finie du second membre (30).

(27) D’autres exemples seraient la longueur d’une courbe fractale, l’aire d’une surface fractale,etc.; les grandeurs physiques “habillees” dans la theorie du (semi-) groupe de renormalisation,et les derivees des “fonctions fractales” de Nottale.

(28) Il existe toutefois une prescription zeta — avec introduction d’un facteur d’echelle —applicable dans ce genre de situation : cf. [54].

(29) Certains auteurs eliminent quand meme le terme logarithmique. En dehors du cas triviald’une simplification (quand ce terme intervient des deux cotes d’une egalite, par exemple dansune identite de bosonisation), il est souvent suppose (cf. par ex. [56]) que le terme logarithmiquepeut etre “absorbe” par des parametres, i.e. qu’il sert a “l’habillage” de ces parametres. Dansl’interpretation de Colombeau, cela reviendrait a supposer que les parametres nus sont desnombres de Colombeau non associes a des nombres ordinaires (finis), et que les parametreshabilles sont associes a des nombres finis.

(30) Les auteurs qui eliminent le terme logarithmique adoptent en general la valeur “renor-malisee” γ pour 2πG(ψε,x, ψε,x) (cf. encore [56], par ex.). Comme on le voit, le formalisme deColombeau permet ce choix mais ne l’impose pas. . .


3. Effet Casimir dans un espace spherique Sd−1

R : dimension d ≥ 3

Ce qui suit s’appliquerait aussi bien au cas d = 2, a ceci pres que certains coefficients

doivent etre modifies dans ce cas special (ce ne sont pas ceux que donneraient les formules

generales en y faisant d = 2) : je le signalerai a mesure que le phenomene se presentera.

3.1. Fonctions test, zooms. On parametre Sd−1R comme hypersphere de Rd :

x1 = R sin θ1 . . . sin θd−2 sin θd−1,

x2 = R sin θ1 . . . sin θd−2 cos θd−1,

x3 = R sin θ1 . . . sin θd−3 cos θd−2,

. . .

xd−1 = R sin θ1 cos θ2,

xd = R cos θ1,

(17)

0 ≤ θi ≤ π (1 ≤ i ≤ d − 2), 0 ≤ θd−1 ≤ 2π. Notons ω le “pole nord” (θ1 = 0) et ω le

“pole sud” (θ1 = π), et

D(Sd−1R ) = ψ ∈ C∞(Sd−1

R ) | Sd−1R \ suppψ 6= ∅

(qui n’est pas un espace vectoriel),

D0(Sd−1R ) = D(Sd−1

R \ ω) = ψ ∈ D(Sd−1R ) | ω ∈ Sd−1

R \ supp ψ;

c’est un espace vectoriel, qu’on munit bien evidemment de la topologie heritee de celle

de D(Rd−1) par projection stereographique inverse depuis l’espace tangent en ω. Il est

reflexif.

Definissons maintenant la “translation” Tθ : Soit θ = (θ1, . . . , θd−1) ∈ Sd−1R \ ω, ω.

Lorsque t decrit [0, π], le point (t, θ2, . . . , θd−1) decrit un demi grand cercle de Sd−1R

passant par ω et par θ : c’est le “meridien” de θ. Tθ est l’element de SO(d) defini comme

suit : dans le plan (de dimension 2) du meridien de θ, Tθ coıncide avec la rotation amenant

ω en θ; dans le (d− 2)-plan orthogonal, Tθ coıncide avec l’identite. (De plus, Tω ≡ Id.)

Notons

L1norm(Sd−1

R ) ≡ψ ∈ L1(Sd−1

R )∣∣∣\

Sd−1

R

ψ(θ) dvol(θ) = 1,

ou

dvol(θ) = Rd−1(sin θ1)d−2(sin θ2)

d−3 . . . (sin θd−2)dd−1θ =

√γ(θ)dd−1θ,

en posant

(18)γ(θ) = det(γαβ(θ))1≤α,β≤d−1,

γαβ(θ) = R2 sin2 θ1 . . . sin2 θα−1δαβ

(et γ11 = R2, bien sur). (γαβ) est la metrique usuelle de “l’espace” Sd−1R . Pour ε ∈ ]0, 1[,

on definit le “changement d’echelle” ε−1 par

18 E. Charpentier

• ε−1(ω) = ω;

• (sin θε1)d−2dθε1 = εd−1(sin θ1)

d−2dθ1;

• θεi = θi (i ≥ 2)

ou θε ≡ ε−1(θ). On a donc dvol(ε−1θ) = εd−1 dvol(θ) (31).

Pour 0 ≤ s < π, posons

(19) ud(s) =( s\

0

(sin t)d−2 dt)1/(d−1)

.

C’est un Cω-diffeomorphisme de [0, π[ sur [0, ud(π)[ ⊂ [0, π[, et on a

(20) ε−1(θ) = (u−1d (εud(θ1)), θ2, . . . , θd−1).

Pour ψ ∈ D0(Sd−1R ) ∩ L1

norm(Sd−1R ) ≡ D0,norm(Sd−1

R ), posons

ψε =

ε−(d−1)ψ ε dans ε−1(suppψ),

0 hors de ε−1(suppψ),

ψε,θ = ψε T−1θ (θ ∈ Sd−1

R \ ω, ω)et ψε,ω = ψε. On a ψε ∈ D0, norm(Sd−1

R ) et ψε,θ ∈ Dθ,norm(Sd−1R ) ≡ D0, norm(Sd−1

R )T−1θ ∩

L1norm(Sd−1

R ).

3.2. Definition des ensembles Aq de fonctions test. Maintenant, on adapte la con-

struction du chapitre 11 de [19] : on veut prendre les ψ dans un espace Aq choisi de

maniere a garantir que les ψε,θ sont de bonnes approximations de δθ (cf. l’appendice I).

Pour R ∈ E(E(Sd−1R )′) (E ≡ C∞) et ψ ∈ D0, norm(Sd−1

R ), on a R(ψε,θ) − R(δθ) → 0

quand ψε,θ − δθ → 0 dans E(Sd−1R )′. Et, pour f ∈ Dθ ≡ D0 T−1

θ ,

(ψε,θ − δθ, f) =\

Sd−1

R

ψ(t)[(f Tθ)(u−1d (εud(t1)), t2, . . . , td−1)(21)

− (f Tθ)(0, t2, . . . , td−1)] dvol(t)

=

q∑

j=1

εj

j!

\Sd−1

R

∂j1(f Tθ u−1d )|t1=0(ud(t1))

jψ(t) dvol(t) + Oψ(εq+1)

(en posant u−1d (t1, . . . , td−1) = (u−1

d (t1), t2, . . . , td−1)). Quand le dernier membre de (21)

est-il un Oψ(εq+1)? ∂j1(f Tθ u−1d )|t1=0 depend de t2, . . . , td−1. Notons y1, . . . , yd−1 les

valeurs que prennent x1/R, . . . , xd−1/R dans (17) quand θ1 = π/2 et θi = ti (2 ≤ i ≤d − 1) et, pour 2 ≤ i ≤ d − 2 : zi = sin t2 . . . sin td−i. Si sin θ1 sin θ2 . . . sin θd−2 6= 0,

∂j1(f Tθ u−1d )|t1=0 est un polynome de degre j (a coefficients dependant de θ) en les

yk (1 ≤ k ≤ d − 1); pour 2 ≤ i ≤ d − 2, si sin θ1 sin θ2 . . . sin θd−i−1 6= 0 et sin θd−i = 0,

c’est un polynome de degre j en zi et les yk, i+ 1 ≤ k ≤ d− 1; enfin, si θ1 = 0, c’est une

constante.

(31) J’ai choisi les zooms ayant le jacobien le plus simple. D’autres choix sont possibles (par

exemple les zooms provenant des homotheties de Rd−1 par projection stereographique inverse),

qui ne feraient que modifier legerement les definitions des Aq, etc. ci-dessous. Les principalesmodifications seraient noyees dans les restes O(ε). . .


L’espace des polynomes de degre ≤ j en les variables y1, . . . , yd−1, z2, . . . , zd−2 est

engendre par les monomes lineairement independants

(cos t2)p2(sin t2)

r2 . . . (cos td−1)pd−1(sin td−1)

rd−1

avec ∀i ∈ 2, . . . , d− 1, pi ∈ 0, 1, ri ∈ N tels que ∀i ∈ 3, . . . , d− 1, ri−1 ≥ pi + ri et

p2 + r2 ≤ j.

(ψε,θ − δθ, f) est donc un O(εq+1) si on prend ψ dans

Aq(Sd−1R ) ≡

ψ ∈ D0,norm(Sd−1

R )∣∣∣ ∀j ∈ 1, . . . , q,

∀(pi)2≤i≤d−1 ∈ 0, 1d−2, ∀(ri)2≤i≤d−1 ∈ Nd−2,

∀i ∈ 3, . . . , d− 1, ri−1 ≥ pi + ri et p2 + r2 ≤ j,\Sd−1

R

(cos t2)p2(sin t2)

r2 . . . (cos td−1)pd−1(sin td−1)

rd−1(ud(t1))jψ(t) dvol(t) = 0

.

Verifions que Aq(Sd−1R ) est non-vide : pour j ∈ N et p = (pi)2≤i≤d−1 ∈ 0, 1d−2,

r = (ri)2≤i≤d−1 ∈ Nd−2 tels que ∀i ∈ 3, . . . , d− 1, ri−1 ≥ pi + ri et p2 + r2 ≤ j, notons

Lj,p,r l’element de D′0(S

d−1R ) defini par

Lj,p,r(ψ) =\

Sd−1

R

(cos t2)p2(sin t2)

r2 . . . (cos td−1)pd−1(sin td−1)

rd−1(ud(t1))jψ(t) dvol(t).

Les Lj,p,r sont lineairement independants; en effet, s’il y avait une relation lineaire∑j,p,r λj,p,rLj,p,r ≡ 0 avec des λj,p,r non tous nuls, prenant θ ∈ Sd−1

R \ ω, ψε,θ ∈D0(S

d−1R ) a la place de ψ, et faisant ε→ 0, on voit que ud(θ1) serait une racine de

P (x) ≡∑

j,p,r

λj,p,r(cos θ2)p2(sin θ2)

r2 . . . (cos θd−1)pd−1(sin θd−1)

rd−1xj

pour tout θ ∈ Sd−1R \ ω, ce qui impliquerait que P ≡ 0. Or, les monomes

(cos θ2)p2(sin θ2)

r2 . . . (cos θd−1)pd−1(sin θd−1)

rd−1

etant lineairement independants, pour tout jeu de coefficients λj,p,r non tous nuls on peut

choisir θ2, . . . , θd−1 tels que P ne soit pas identiquement nul. On conclut alors comme

dans [19] (1ere preuve du lemme 3.3.1) : grace a la reflexivite de D0(Sd−1R ), on peut prendre

pour ψ l’element L′0,0,0 de la base (L′

j,p,r)0≤j≤q,p2+r2≤j duale de (Lj,p,r)0≤j≤q,p2+r2≤j .

3.3. Definition des fonctions et nombres generalises. Dans ce paragraphe, A

designera une algebre bornologique polaire complete (cf. la note 20, page 13, et ses

references). (On la choisira explicitement un peu plus loin.)

3.3.1. Domaines de Colombeau. Pour x0 ∈ Sd−1R , notons V(x0) l’ensemble des voisinages

ouverts de x0 dans Sd−1R .

Un “domaine de Colombeau” sera une partie U de D(Sd−1R ) telle que :

1. ∃α ∈ ]0, 1[, f ∈ U ⇒ ∃x ∈ Sd−1R , supp(T−1

x f) ⊂ θ ∈ Sd−1R \ ω | ud(θ1) ≤

12αud(π);

20 E. Charpentier

2. ∀x0 ∈ Sd−1R \ ω, ∃Ω ∈ V(x0), ∃q ∈ N∗, ∀ψ ∈ Aq, ∃η > 0, ∀ε ∈ ]0, η[, ∀x ∈ Ω,

ψε,x ∈ U,

i.e. U contient toutes les approximations “suffisamment bonnes” des δx. Notons C l’en-

semble des domaines de Colombeau.

Soient U ∈ C et R : U → A. On dit que R est C∞, et on note R ∈ E(U,A), si

∀Ω ⊂ Sd−1R ouvert, ∀q ∈ N∗, ∀ε ∈ ]0, 1[, ∀ψ ∈ Aq,

(∀x ∈ Ω, ψε,x ∈ U) ⇒ [(x 7→ R(ψε,x)) ∈ E(Ω,A)].

3.3.2. Germes. Posons

E((Sd−1R )D(Sd−1

R), A) = lim

−→(E(U,A))U∈C

(limite inductive algebrique). La notation (Sd−1R )D(Sd−1

R) signifie que les points x ∈ Sd−1

R

sont identifies ici aux pics de Dirac δx, vus comme “points a l’infini” de D(Sd−1R ),

“limites” des ψε,x (cf. [19], no 4.1.4, et/ou l’appendice I ci-dessous). Les operateurs

differentiels (DxR)(ψε,x) ≡ DxR(ψε,x) passent a la limite inductive, donc sont definis

sur E((Sd−1R )D(Sd−1

R ), A).

3.3.3. Germes moderes. Le sous-espace des germes moderes est defini comme suit :

EM ((Sd−1R )D(Sd−1

R), A) ≡ R ∈ E((Sd−1

R )D(Sd−1

R), A) | ∀K compact ⊂ Sd−1

R \ ω,∀Dx, ∃q, ∀ψ ∈ Aq, ∀x ∈ K, (DxR)(ψε,x) = OK,ψ(ε−q) (ε→ 0)

ou OK,ψ(ε−q) designe n’importe quelle fonction de ε telle que ∃B borne ⊂ A, dependant

de K (et de ψ), tel que ∃η > 0, ∀ε ∈ ]0, 1[, 0 < ε < η ⇒ OK,ψ(ε−q) ∈ ε−qB.

EM ((Sd−1R )D(Sd−1

R ), A) est une algebre, stable par tous les Dx .

3.3.4. Germes negligeables. Notons

N ((Sd−1R )D(Sd−1

R), A) ≡ R ∈ EM ((Sd−1

R )D(Sd−1

R), A) | ∀K compact ⊂ Sd−1

R \ ω,∀Dx, ∃N ∈ N

∗, ∀q ≥ N, ∀ψ ∈ Aq, ∀x ∈ K, (DxR)(ψε,x) = OK,ψ(εq−N ).N ((Sd−1

R )D(Sd−1

R), A) est un ideal de EM ((Sd−1

R )D(Sd−1

R), A), stable par tout Dx .

3.3.5. Algebre des fonctions generalisees. Notons

G(Sd−1R , A) = EM ((Sd−1

R )D(Sd−1

R ), A)/N ((Sd−1R )D(Sd−1

R ), A).

Les Dx passent au quotient. G(Sd−1R , A) est une algebre, stable par les Dx.

3.3.6. Integration, constantes de Colombeau. Soient K un compact ⊂ Sd−1R \ω, K 6= ∅;

G ∈ G(Sd−1R , A); R ∈ EM ((Sd−1

R )D(Sd−1

R), A) un representant de G. Vu [18], n 1.5.2, la

restriction de x 7→ R(ψε,x) a K prend ses valeurs dans un Banach AB et est C1 de K

dans AB. Alors I(ψε) =TKR(ψε,x) dvol(x) est un element bien defini de AB (pour ψ

dans un certain Aq et ε < un certain η); sa classe dans

A = G ∈ G(Sd−1R , A) | ∀Dx d’ordre ≥ 1, DxG = 0 = EM (A)/N (A)


(avec EM (A), N (A) (32) construits comme EM ((Sd−1R )D(Sd−1

R ), A) et N ((Sd−1R )D(Sd−1

R ), A),

mais sans dependance en x), ne depend que de G et peut donc etre noteeTKG(x) dvol(x).

A est l’ensemble des constantes de Colombeau. Si A = C, je dirai plutot les nombres

de Colombeau.

3.4. Rappels de la theorie de Klein–Gordon classique

3.4.1. Solutions de l’equation de Klein–Gordon. L’equation de Klein–Gordon avec con-

stante de couplage ξ s’ecrit

(22) ϕ ≡(∆− ∂2

∂t2

)ϕ = (µ2 − ξRscal)ϕ

ou µ est un reel > 0 (physiquement : la masse de la particule associee au champ ϕ), et

ou Rscal est la courbure scalaire de l’espace-temps EdR ≡ Sd−1R × R (muni de la metrique

d’Einstein ds2 = dt2 − ds2Sd−1

R

), qui vaut Rscal = − (d−1)(d−2)R2 .

(N.B. Birrell et Davies [6] prennent le tenseur de Ricci avec un signe contraire a la

convention usuelle, utilisee ici.)

Le couplage conforme correspond a µ = 0 et ξ = 14d−2d−1 ≡ ξc(d) .

Il nous faut un systeme total de solutions (33). Pour cela, on va construire des fonctions

ϕM (θ, t) ≡ ϕl,M ′ (θ, t) ≡ ϕl;m1,...,md−3,md−1(θ1, . . . , θd−1; t) et ϕ∗

M (θ, t) (leurs conjuguees);

l decrira l’ensemble des elements de N tels que

l(l+ d− 2) ≥ −µ2R2 − (d− 1)(d− 2)ξ.

M ′ = (m1, . . . ,md−3,md−1) decrira l’ensemble des (d−2)-uplets d’entiers tels quemd−1 ∈Z, |md−1| ≤ md−3 ≤ . . . ≤ m1 ≤ l (34) sauf pour d = 2, auquel cas M ′ = m ∈ Z avec

|m| = l.

Il sera commode d’introduire la “frequence conforme” kl =(l+ d−2

2

)/R. Posons

ωl =

(k2l + µ2 + (ξ − ξc(d))

(d − 1)(d− 2)

R2

)1/2

(qui se reduit a kl dans le cas invariant conforme). Alors (35)

ϕM (θ, t) =1√2ωl

R−(d−1)/2Y(d−1)M (θ)e−iωlt

ou

(23) Y(d−1)M (θ) =

d−2∏

i=1

Y (d−1),imi−1,mi

(θi)Y(d−1),d−1md−1

(θd−1)

(m0 signifie l) est l’harmonique spherique pour la sphere de dimension d − 1, definie

comme suit :

Y (d−1),d−1md−1

(θd−1) =1√2πeimd−1θd−1

(32) Ils dependent aussi de Sd−1R , bien sur.

(33) Pour une topologie, induite par une structure hilbertienne, qu’on va preciser plus loin.(34) Je noterai aussi md−2 pour |md−1| et m0 pour l.(35) Si ωl = 0 (“modes nuls”), ce qui ne peut se produire que pour d = 2, le second membre

doit etre remplace par R−(d−1)/2Y(d−1)M (θ).

22 E. Charpentier

et, pour 1 ≤ i ≤ d− 2,

Y (d−1),imi−1,mi

(θi) = (sin θi)miG

mi+(d−i−1)/2mi−1−mi

(cos θi),

ou

Gλn(x) = (−1)n2−(n+λ−1/2)

[(n+ λ)(n+ 2λ− 1)!

n!

]1/2

(24)

× Γ (n+ λ+ 1/2)−1(1 − x2)−(λ−1/2) dn

dxn(1 − x2)n+λ−1/2

sont les polynomes ultraspheriques de Gegenbauer, normalises ici de facon a etre de norme

1 dans L2(]−1, 1[, (1 − x2)λ−1/2 dx). (Ce n’est pas la normalisation conventionnelle, ou

on s’arrange pour que la valeur en x = 1 des polynomes de Legendre G1/2n vaille 1.) Avec

cette normalisation, on a \Sd−1

1

|Y (d−1)M (θ)|2 dvol(θ) = 1.

Toute la theorie des harmoniques spheriques, bien connue pour d − 1 = 2 (cf. par

exemple [77]) se generalise sans difficulte en dimension quelconque (cf. par exemple [55]

ou le chapitre 11 de [35], vol. 2). En particulier, on a le theoreme d’addition suivant

(d > 2) (36) :

(25) ∀l ≥ 0,∑

M ′

Y(d−1)∗l,M ′ (θ′)Y

(d−1)l,M ′ (θ) =

[Y(d−1)l,0 (0)]2

G(d−2)/2l (1)

G(d−2)/2l (cosω(θ, θ′))

ou ω(θ, θ′) = (T−1θ (θ′))1, c’est-a-dire θ′′1 si on note T−1

θ (θ′) = θ′′ = (θ′′1 , . . . , θ′′d−1). Si on

designe par d(θ, θ′) la distance geodesique de θ a θ′, on a ω(θ, θ′) = d(θ, θ′)/R. On notera

parfois ωd−1(θ, θ′) pour specifier la dependance en la dimension d − 1 de la sphere. La

dependance en θ1, θ′1 est explicitee par la formule fondamentale de la geometrie spherique :

cosωd−1(θ1, θ2, . . . , θd−1; θ′1, θ

′2, . . . , θ

′d−1)(26)

= cos θ1 cos θ′1 + sin θ1 sin θ′1 cosωd−2(θ2, . . . , θd−1; θ′2, . . . , θ

′d−1).

Pour d > 2, ωl est toujours > 0; les ϕM (resp. les ϕ∗M ) forment un systeme total or-

thonorme d’un espace hilbertien H+ (resp. H−), muni du produit hermitien analogue a

(7), et l’espace des solutions de l’equation (22) conforme est H+ ⊕ H− (avec ωl = kl).

(Pour d = 2 il fallait ajouter l’espace C des modes nuls.)

3.4.2. Multiplicites, et leurs expressions polynomiales. La multiplicite de la valeur propre

k2l −

(d− 2

2R

)2

=l(l+ d− 2)

R2

de −∆ est le nombre de systemes (md−1,md−3, . . . ,m1) tels que md−1 ∈ Z, md−3 ∈ N,

. . . , m1 ∈ N, et |md−1| ≤ md−3 ≤ . . . ≤ m1 ≤ l (sauf pour d = 2, ou c’est le nombre de

m ∈ Z tels que |m| = l); c’est Md−1(l+(d− 2)/2) (37), ou les Mi sont les polynomes que

(36) Pour d = 2 et l 6= 0 il y aurait un facteur 2 supplementaire au second membre.(37) Sauf pour d = 2 et l = 0, auquel cas la multiplicite est 1.


voici : M1(X) = 2, M2(X) = 2X , M3(X) = X2, et pour n ≥ 1,

M2n+2(X) =2

(2n+ 1)!X

n∏

j=1

[X2 − (j − 1/2)2],

M2n+3(X) =2

(2n+ 2)!X2

n∏

j=1

(X2 − j2).

Pour d ≥ 3, on a

(27) Md−1

(l +

d− 2

2

)=l+ d−2

2d−22

· (l + d− 3)!

(d− 3)!l!.

3.4.3. Autres formules utiles. Enfin, voici trois formules qui nous serviront :

[G(d−2)/2l (1)]2 = 2−(d−2) (d− 2)!

[Γ

(d−12

)]2Md−1

(l +

d− 2

2

)

(avec la normalisation adoptee ici pour les polynomes de Gegenbauer, cf. (24)),

(28) [Y(d−1)l,0 (0)]2 = Md−1

(l +

d− 2

2

)/vol(Sd−1

1 ) (d ≥ 3)

(pour d = 2 il y a un coefficient 1/2 au second membre), et

G(d−2)/2l (1 − t)

G(d−2)/2l (1)

= F

(l + d− 2,−l, d− 1

2,t

2

)(29)

=∑

n≥0

Γ(d−12

)

n!Γ(n+ d−1

2

)∏

1≤j≤n

[(j +

d− 4

2

)2

−(l +

d− 2

2

)2](t

2

)n

ou F est la fonction hypergeometrique de Gauss.

3.4.4. Le tenseur d’energie-impulsion. Le tenseur d’energie-impulsion d’un champ ϕ

verifiant (22) est donne par [6] :

Tµν = ∂µϕ∂νϕ+ 14gµνϕ

2 + ξ[Rµνϕ2 − (D2ϕ2)µν − gµνϕ

2]

(D2 : la derivee covariante seconde). N.B. R00 = 0, et pour 1 ≤ α, β ≤ d− 1,

Rαβ =d− 2

R2γαβ .

(Rappelons que (γαβ) = (−gαβ) est la metrique “spatiale” (18) et que je prends le tenseur

de Ricci avec le signe usuel, i.e. l’oppose de celui de [6].)

3.5. Quantification

3.5.1. Quelques notations. Notons M l’ensemble des (l,m1, . . . ,md−3,md−1) ∈ Nd−2×Z

tels que |md−1| ≤ md−3 ≤ . . . ≤ m1 ≤ l. Pour ψ ∈ L2(Sd−1R ) ≡ L2

dvol(Sd−1R ,C), notons

ψ(M) = R−(d−1)/2\

Sd−1

R

Y(d−1)∗M (θ)ψ(θ) dvol(θ),

ψ∗(M) = R−(d−1)/2\

Sd−1

R

Y(d−1)M (θ)ψ(θ) dvol(θ) = (ψ∗(M))∗.

24 E. Charpentier

On a donc

ψ(θ) = R−(d−1)/2∑

M

ψ(M)Y(d−1)M (θ) = R−(d−1)/2

∑

M

ψ∗(M)Y(d−1)∗M (θ).

Notons enfin

ψt(M) =\

Sd−1

R

ϕ∗M (θ, t)ψ(θ) dvol(θ) =

1√2ωl

eiωltψ(M) =1

ωl(ψ, ϕM ),

ψ−t,∗(M) =\

Sd−1

R

ϕM (θ, t)ψ(θ) dvol(θ) =1√2ωl

e−iωltψ∗(M).

L’identite de Parseval (pour ψ ∈ L2(Sd−1R ))

∑

M

|ψ(M)|2 =\

Sd−1

R

|ψ(θ)|2 dvol(θ)

montre que ψ ∈ ℓ2(M) (et evidemment ψt aussi, ∀t) (38).

3.5.2. Construction de F , a+, a−. Il suffit d’adapter la construction bien connue dans

l’espace de Minkowski (cf. par exemple la fin du chapitre 2 de [18], ou du chapitre 1 de

[19], et leurs references historiques). ℓ2(Mn) est l’espace vectoriel des applications de Mn

dans C telles que∑

M1,...,Mn|f(M1, . . . ,Mn)|2 <∞, muni du produit hermitien (39)

〈fn, f ′n〉n =

∑

M1,...,Mn

fn(M1, . . . ,Mn)f′n(M1, . . . ,Mn)

∗.

ℓ2s (Mn) est le sous-espace constitue des fonctions symetriques p.p. — avec la convention

que ℓ2s(M0) = C (et ℓ2s (M) = ℓ2(M)).

Definition 3.1. F =⊕

n≥0 ℓ2s (Mn), somme directe algebrique, i.e. les elements de F

sont les sommes F = f0 + f1 + . . . , ou les fn ∈ ℓ2s (Mn) sont nuls sauf un nombre fini

d’entre eux. Le produit hermitien dans F est defini par 〈F , F ′〉 =∑

n≥0〈fn, f ′n〉n.

Pour f ∈ ℓ2(M) et F = f0 + f1 + . . . ∈ F , notons f+0 = 0, et pour n ≥ 1, f+

n =√n f ⊗s fn−1, i.e.

f+n (M1, . . . ,Mn) =

√n Sym[f(M1)fn−1(M2, . . . ,Mn)]

=1√n

[f(M1)fn−1(M2, . . . ,Mn) + f(M2)fn−1(M1,M3, . . . ,Mn) + . . .

+ f(Mn)fn−1(M1, . . . ,Mn−1)],

(38) Mieux : il est facile de voir que ∀l, n ∈ N,

(30)X

M′

| bψ(l,M ′)|2 ≤Md−1

„

l +d− 2

2

«

[l(l + d− 2)]−2nR4n‖(−∆)nψ‖2

L2(Sd−1

R)

d’ouP

M′ | bψ(l,M ′)|2 = On(ld−2−4n); il y a donc decroissance rapide dans la somme sur l.(39) J’adopte ici la convention des mathematiciens (l’opposee de celle des physiciens) :

〈 bfn, bf ′

n〉n est antilineaire par rapport a bf ′

n.


et

∀n ≥ 0, f−n (M1, . . . ,Mn) =

√n+ 1

∑

Mn+1

fn+1(M1, . . . ,Mn,Mn+1)f(Mn+1).

Alors :

Definition 3.2. On definit, pour tout M , des operateurs a+M , a−M sur F par ∀fn−1,

∀M1, . . . , ∀Mn,

a+M (fn−1)(M1, . . . ,Mn) =

√n Sym[δMM1

fn−1(M2, . . . ,Mn)]

(symetrisation sur M1, . . . ,Mn), et ∀fn+1, ∀M1, . . . , ∀Mn,

a−M (fn+1)(M1, . . . ,Mn) =√n+ 1 fn+1(M1, . . . ,Mn,M).

On pose alors, ∀F ∈ F ,

(31) a±(f)(F ) =∑

M

f(M)a±M (F ),

i.e. ∀f ∈ ℓ2(M), ∀F = f0 + f1 + . . . ∈ F ,

a±(f)(f0 + f1 + . . . ) = f0±

+ f1±

+ . . .

a− et a+ sont des applications lineaires bornees de ℓ2(M) dans L(F), verifiant les

relations de commutation

(32) [a−(f), a−(g)] = [a+(f), a+(g)] = 0, [a−(f), a+(g)] =∑

M

f(M)g(M) idF .

De plus, a−(f) et a+(f∗) sont adjoints l’un de l’autre.

Definition 3.3 (l’etat de vide). Ω = 1 ∈ F .

Equipons F de la bornologie de somme directe (40). F est alors un espace vectoriel

bornologique polaire et complet. (Pour les definitions, cf. la note 20, page 13, et ses

references.) L’algebre A = L(F) des endomorphismes bornes de F (i.e. transformant

toute partie bornee en partie bornee) est une algebre bornologique complete, contenant

les a±(f) et donc aussi ψ 7→ ϕ(ψ, t), et si f (resp. ψ) decrit une partie bornee de ℓ2(M),

a±(f) (resp. ϕ(ψ, t), a t fixe) decrit une partie bornee de A. Procedant comme on va le

faire au no 3.6 pour “l’energie Casimir”, il est tres facile de verifier (cf. l’appendice II)

que ∀n, ∀t, ψ 7→ dn

dtnϕ(ψ, t) est un element modere de L(D, A) ⊂ E(D, A), et definit donc

une fonction generalisee au sens de Colombeau (comme dans le cas de R3 : cf. le no 11.3.2

de [19]).

3.5.3. Le champ et le tenseur d’energie-impulsion quantiques. Le champ est la distribu-

tion definie par

(33) ψ 7→ ϕt(ψ) = a−(ψ−t,∗) + a+(ψt) ∈ A.

Le Tµν(ϕ) quantique est defini par la meme expression que son modele classique, a ceci

pres que :

(40) I.e. une partie de F est bornee ssi elle est incluse dans la somme d’un nombre fini departies des ℓ2s (M

n) et que toutes ses projections sont bornees.

26 E. Charpentier

1. La fonction θ 7→ ϕ(θ, t) est remplacee par la distribution (a valeurs operatorielles)

ψ 7→ ϕ(ψ, t) : c’est la quantification proprement dite.

2. La derivation se fait au sens des distributions sur Sd−1R :

∂αϕ(ψ, t) = −ϕ(

1√γ∂α(

√γ ψ), t

)

(1 ≤ α ≤ d− 1).

3. La fonction θ 7→ gµν(θ), de classe C∞, est remplacee par la distribution associee :

ψ 7→ gµν(ψ) =TSd−1

R

gµν(θ)ψ(θ) dvol(θ).

4. Le produit des distributions (aussi bien dans la definition des Γ µν et Rµν , obtenue

en remplacant dans les expressions usuelles des Γ µν et Rµν les fonctions gµν par les

distributions gµν , que dans ∂µϕ∂νϕ, ϕ2, etc.) est effectue dans une algebre de fonctions

generalisees de Colombeau, que l’on precisera ulterieurement. (Pour le moment, on prend

les Aq definis plus haut; on les restreindra plus tard en imposant juste les contraintes qui

seront necessaires pour que toutes les expressions voulues convergent quand ε→ 0.)

5. Le produit ∂µϕ∂νϕ doit etre symetrise, i.e. remplace par 12∂µϕ, ∂νϕ (avec A,B

≡ AB + BA).

6. Si on veut remonter jusqu’a “l’action” du champ (cf. par exemple [6]), l’integration

qui la definit est a prendre aussi au sens des fonctions generalisees de Colombeau.

On a donc

Tµν(ψ, t) = 12∂µϕ(ψ, t), ∂νϕ(ψ, t) + 1

4 gµν(ψ)ϕ2(ψ, t)(34)

+ ξ[Rµν(ψ)ϕ2(ψ, t) − D(ψ)∂|µνϕ2(ψ, t) − gµν(ψ)ϕ2(ψ, t)],

ou D(ψ)∂|µν = ∂µ∂ν − Γ µν(ψ)∂. Remplacant ψ par ψε,θ, on obtient pour tout θ un

element de A. Comme gµν est C∞, gµν(ψε,θ) = gµν(θ)(ψε) = gµν(θ) (mod N (A)), et de

meme Γ µν(ψε,θ) = Γ µν(θ) (mod N (A)), Rµν(ψε,θ) = Rµν(θ) (mod N (A)). Ainsi, ∀θ,Tµν(θ, t)(ψε) = 1

2∂µϕ(θ, t)(ψε), ∂νϕ(θ, t)(ψε) + 14gµν(θ)ϕ

2(θ, t)(ψε)

+ ξ[Rµν(θ)ϕ2(θ, t)(ψε) −D(θ)∂|µνϕ2(θ, t)(ψε)

− gµν(θ)ϕ2(θ, t)(ψε)] (mod N (A)),

c’est-a-dire que Tµν(θ, t) a exactement la meme expression que dans le cas classique, mais

avec ϕ(θ, t) (et donc Tµν(θ, t)) dans A au lieu de C.

Remarque 3.1. Comme on le voit, il est naturel, et meme inevitable, dans un premier

temps, de considerer les gµν comme des distributions, a multiplier au sens de Colombeau,

et donc de considerer gµν , Γµν , Rµν comme des fonctions generalisees. Il se trouve, apres

coup, que ce sont, ici, des fonctions ordinaires, parce que dans notre exemple les gµν sont

des fonctions de classe C∞. Mais ce ne serait plus le cas dans un contexte plus general.

Ce cadre est tres bien adapte au principe de covariance de Nottale [58], ou les change-

ments de coordonnees sont des transformations seulement continues (non differentiables

en general) : en effet, quand on passe de coordonnees xµ a des coordonnees “inertielles”

(yα), on a, naıvement,

ds2 = gµνdxµdxν = δαβdy

αdyβ = δαβ∂yα

∂xµ∂yβ

∂xνdxµdxν ,


donc gµν = δαβ∂yα

∂xµ

∂yβ

∂xν , ou ∂yα

∂xµ est a prendre au sens des distributions (y n’est pas une

fonction differentiable de x, c’en est seulement une fonction continue), et donc gµν est un

produit de distributions, une fonction generalisee au sens de Colombeau, la dependance

en ε (la “resolution”) correspondant alors a la notion d’etat d’echelle de Nottale.

On retrouve peut-etre ici, par une voie completement differente, le fait (conjecture

dans [58], cf. aussi [59]) qu’une bonne theorie de la quantification reviendrait, mathema-

tiquement, au passage a une “geometrie non-differentiable”.

3.6. “L’effet Casimir cosmologique”. On peut maintenant passer au calcul de “l’effet

Casimir” pour l’equation de Klein–Gordon conforme sur une sphere de dimension d− 1.

Il s’agit de calculer la somme

〈Ω, T00(θ, t)(ψε)Ω〉 =∑

l,M ′

(ωl2ψε,θ,∗(l,M

′)ψε,θ(l,M′)

)(35)

+

(1

4− ξ

)∆

∑

l,M ′

1

2ωl(ψε,θ,∗(l,M

′)ψε,θ(l,M′))

ou, pour une fonction f , ∆f(θ) = γ(θ)−1/2∂α(√γ(θ)γαβ(θ)∂βf(θ)) (somme sur α, β de

1 a d−1). Vu (30), chacune des series du membre de droite de (35) converge absolument.

En utilisant la formule d’addition (25), et notant ω(θ′, θ′′) = (T−1θ′ (θ′′))1, ωε(φ

′, φ′′) =

ω(ε−1φ′, ε−1φ′′), un calcul facile donne∑

M ′

ψε,θ,∗(l,M′)ψε,θ(l,M

′)(36)

= R−(d−1)[Y(d−1)l,0 (0)]2

\dvol(φ′)

\dvol(φ′′)ψ(φ′)ψ(φ′′)

G(d−2)/2l (cosωε(φ

′, φ′′))

G(d−2)/2l (1)

.

Comme le dernier membre de (36) est independant de θ, le laplacien dans (35) s’annule.

Vu (26), (19) et (20), on a pour ε < 1 un developpement (normalement convergent

par rapport a (φ′, φ′′) sur Sd−1R × Sd−1

R )

cosωε(φ′, φ′′) =

∑

m≥0

(−1)mtm(φ′, φ′′)ε2m.

tm(φ′, φ′′) est un polynome homogene de degre 2m et symetrique en ud(φ′1) et ud(φ

′′1 ),

qui ne depend de φ′2, . . . , φ′d−1, φ

′′2 , . . . , φ

′′d−1 que via cosωd−2(φ

′2, . . . , φ

′d−1;φ

′′2 , . . . , φ

′′d−1),

dont il depend affinement. (De plus, il s’annule evidemment pour φ′ = φ′′.)

Notation 3.1 (Pre-regulateur). Posons

ad,n,2j = (−1)n−j∑

1≤i1<...<in−j≤n

(d− 4

2+ i1

)2

. . .

(d− 4

2+ in−j

)2

(avec ad,n,2n = 1), de sorte que

n∑

j=0

ad,n,2jX2j =

n∏

j=1

[X2 −

(d− 4

2+ j

)2].

28 E. Charpentier

Appelons pre-regulateur d’ordre r (en dimension d) l’expression

(37) fd,r(x; t1, . . . , tr+1)

= Γ

(d− 1

2

) ∑

j≥0

(−1)r+j[ r+j∑

n=j

2−nad,n,2j

n!Γ(n+ d−1

2

)∑

m1,...,mn≥1m1+...+mn=r+j

tm1. . . tmn

]x2j

Remarque 3.2 (Lien avec les fonctions de Clifford). On a

fd,0(x; t1) = Γ

(d− 1

2

)C(d−3)/2

(t1x

2

2

),

ou

Cν(X) = X−ν/2Jν(2√X) =

∑

j≥0

(−X)j

j!Γ (ν + j + 1)

est la fonction de Clifford d’indice ν, verifiant la hierarchie d’equations differentielles C′ν =

−Cν+1 et la relation de recurrence XCν+1(X) = νCν(X) − Cν−1(X). (En particulier,

f4,0(x; t1) = sin(√

2t1 x)/(√

2t1 x).) En fait, toutes les fd,r sont des combinaisons lineaires

de fonctions de Clifford d’argument t1x2/2 (cf. Appendice IV). Cette remarque pourrait

etre utile pour etudier la compatibilite des contraintes de Colombeau (44), (46), (49)

ci-dessous.

Lemme 3.1.

(38)G

(d−2)/2l (cosωε(φ

′, φ′′))

G(d−2)/2l (1)

=∑

r≥0

ε2rfd,r(εRkl; t1(φ′, φ′′), . . . , tr+1(φ

′, φ′′))

ou kl = l+(d−2)/2R est la frequence conforme.

Preuve. Appliquer (29) avec

t = 1 − cosωε(φ′, φ′′) =

∑

m≥1

(−1)m−1tm(φ′, φ′′)ε2m.

La serie du membre de droite de (38) converge normalement par rapport a (φ′, φ′′) sur

Sd−1R ×Sd−1

R . J’ai profite aussi, bien sur, de l’analyticite de la fonction hypergeometrique

de (29) par rapport a (l+(d− 2)/2, t) dans C×|t| < 2, ce qui permet de regrouper les

puissances de (l + (d− 2)/2) et de t dans le developpement du dernier membre de (29)

pour obtenir (38).

Notation 3.2 (Regulateur). Posons

(39) fd,r,ψ(x) =\dvol(φ′)

\dvol(φ′′)ψ(φ′)ψ(φ′′)fd,r(x; t1(φ

′, φ′′), . . . , tr+1(φ′, φ′′))

(appelons-le le regulateur d’ordre r),

(40) Pd−1(X) = XMd−1(X) =

d−1∑

j=1

pd−1,jXj

(seuls sont 6= 0 les pd−1,j ou j a la parite de d− 1), et

(41) Fε,ψ(x) = Pd−1(x)∑

r≥0

fd,r,ψ(εx)ε2r.


Fε,ψ est une fonction entiere et elle appartient a l’espace de Schwartz (des fonctions

a decroissance rapide sur l’axe reel ainsi que toutes leurs derivees) : la preuve est dans

l’appendice III (41).

Lemme 3.2. Pour ωl = kl (la frequence conforme), avec N = l + E((d − 2)/2) la partie

entiere de l + (d− 2)/2 et fr(d/2) = l + (d− 2)/2 −N sa partie fractionnaire, on a

(42) 〈Ω, T00(θ, t)(ψε)Ω〉 =1

2 vol(Sd−11 )

· 1

Rd

∑

N≥E((d−2)/2)

Fε,ψ

(N + fr

d

2

).

Preuve. Le lemme 3.1 et (28).

On veut se restreindre aux f (donc aux ψ) telles que

limε→0

∑

N≥E((d−2)/2)

Fε,ψ

(N + fr

d

2

)

existe. Evidemment, on ne peut jamais intervertir limε→0 et∑N≥E((d−2)/2) : cela con-

duirait aux series divergentes∑

N≥E((d−2)/2) Pd−1(N+fr(d/2)) que les physiciens “regula-

risent” a posteriori en remplacant, par exemple, les∑

N≥1Nj par ζ(−j). (Encore faut-il

ne pas le faire n’importe comment : cf. l’appendice V.)

Dans une somme comme∑N Fε,ψ(N +fr(d/2)), le domaine d’integration (support de

la mesure), discret, n’est pas invariant d’echelle, et se prete donc mal a l’etude de ce qui

se passe quand ε change (et, en particulier, quand ε tend vers 0). On va donc commencer

par se ramener a des integrales sur un domaine continu et invariant d’echelle (comme R

ou R+), en appliquant la formule d’Euler–MacLaurin. C’est pour cette raison qu’on a du

prolonger Fε,ψ aux valeurs non (demi-) entieres. (Cf. cependant le no 3.7.)

Nous allons considerer separement les cas : d impair, d pair.

3.6.1. d impair. La formule d’Euler–MacLaurin, avec une majoration facile des restes, et

le fait que Fε,ψ est paire et de Schwartz, et que Pd−1(N + 1/2) est nul pour 0 ≤ N ≤(d− 5)/2, montrent que

(43) 2R vol(Sd−1R )〈Ω, T00(ψε,θ, t)Ω〉

=

(d+1)/2∑

m=1

(1

ε

)2m−1 (d−1)/2∑

j=maxm−1,1

pd−1,2j

∞\0

t2jfd,j−m+1,ψ(t) dt+ O(ε)

(les pd−1,j sont definis par (40), notation 3.2), donc :

Theoreme 3.1. 2R vol(Sd−1R )〈Ω, T00(ψε,θ, t)Ω〉 a une limite finie quand ε → 0 ssi pour

1 ≤ m ≤ (d+ 1)/2,

(44)

∞\0

(d−1)/2∑

j=m−1

pd−1,2jt2jfd,j−m+1,ψ(t) dt = 0

(“contraintes de Colombeau”), et alors cette limite est 0. C’est exactement ce que donne

la regularisation zeta (qui consiste, rappelons-le, a prendre la limite ε→ 0 terme a terme

dans (42), intervertir∑

l≥0 et∑j et remplacer les

∑N≥1N

j par ζ(−j)).

(41) (30) ne donne que la decroissance rapide de la suite (Fε,ψ(N + fr d/2))N∈N.

30 E. Charpentier

3.6.2. d pair. L’argument est exactement analogue, sauf que maintenant Fε,ψ est impaire

et donc les F(2h−1)ε,ψ (0) ne sont plus nuls; on obtient

(45) 2R vol(Sd−1R )〈Ω, T00(ψε,θ, t)Ω〉

=

d/2∑

m=1

(1

ε

)2m (d−2)/2∑

j=m−1

pd−1,2j+1

∞\0

t2j+1fd,j−m+1,ψ(t) dt

+

(d−2)/2∑

j=1

pd−1,2j+1

∞\0

t2j+1fd,j+1,ψ(t) dt+

(d−2)/2∑

j=1

pd−1,2j+1ζ(−2j − 1) + O(ε)

d’ou :

Theoreme 3.2. 2R vol(Sd−1R )〈Ω, T00(ψε,θ, t)Ω〉 a une limite finie quand ε → 0 ssi pour

1 ≤ m ≤ d/2,

(46)

∞\0

(d−2)/2∑

j=m−1

pd−1,2j+1t2j+1fd,j−m+1,ψ(t) dt = 0

(“contraintes de Colombeau”), et alors cette limite est

(47)

(d−2)/2∑

j=0

pd−1,2j+1

∞\0

t2j+1fd,j+1,ψ(t) dt+

(d−2)/2∑

j=0

pd−1,2j+1ζ(−2j − 1).

Recapitulation 3.1. Les resultats pour d impair et pour d pair se regroupent en une

expression unique :

(48) 2R vol(Sd−1R )〈Ω, T00(ψε,θ, t)Ω〉

=∑

0≤m≤dd−m pair

(1

ε

)m∞\0

∑

m−1≤j≤d−1d−1−j pair

pd−1,jtjfd,(j+1−m)/2,ψ(t) dt

+∑

0<j≤d−1d−1−j pair

pd−1,jζ(−j) + O(ε)

et les contraintes de Colombeau : pour 0 < m ≤ d, d−m pair,

(49) Cd,m(ψ) ≡∞\0

∑

m−1≤j≤d−1d−1−j pair

pd−1,jtjfd,(j+1−m)/2,ψ(t) dt = 0

(equation “(Cd,m)”).

Notons Aq(Sd−1R , (Cd,m)0<m≤d, d−m pair) l’ensemble des ψ ∈ Aq(S

d−1R ) verifiant les

conditions Cd,m.

Remarque 3.3 (Justification de la “recette Pfε→0”). On voit que prendre la limite ε→0 sous les contraintes de Colombeau dans (47) donne le meme resultat que prendre la par-

tie finie dans le developpement en puissances de ε. L’interpretation de Colombeau justifie

donc (dans cet exemple particulier) la “recette Pfε→0”, couramment utilisee aussi dans

les calculs heuristiques (apres introduction tardive d’un “cut-off” dans la serie divergente

“∑N≥0 F0,ψ(N)”).


Remarque 3.4 (“Anomalie de fonction test”). Dans (47) figure un terme inattendu,

dependant des fd,j+1,ψ(t). Ce terme resulte de la forme “compliquee” du regulateur,∑r≥0 ε

rfd,r,ψ(εRkl) (42), et aussi de “l’etalement” des fonctions test (si on remplace

formellement ψε,x par δx, fd,r,ψ(t) est remplace par 0 pour r > 0, et le terme inat-

tendu s’evanouit donc). D’un point de vue physique, on s’attendrait a priori a ce que les

grandeurs observables ne dependent pas des fonctions test (et en effet, la valeur classique

de limε→0 T00(ψε,θ, t) n’en depend pas). Si, apres quantification, une grandeur physique

depend de la fonction test ψ ∈ Aq(Sd−1R , (Cd,m)0<m≤d, d−m pair), et s’il n’y a meme pas

de limite determinee quand on fait q → ∞, il y a “anomalie” : le terme inattendu ci-

dessus peut ainsi etre vu (semble-t-il) comme une “anomalie de fonction test” (de meme

qu’il y a l’anomalie conforme, l’anomalie de jauge, etc.). Les contraintes ne semblent

pas impliquer l’annulation de ce terme. On peut l’annuler (si toutefois cela n’implique

pas contradiction) : ce serait la contrainte Cd,0, et on retrouverait alors le resultat de

la regularisation zeta. Mais on peut aussi (avec la meme reserve) l’utiliser pour don-

ner n’importe quelle valeur a l’energie Casimir et, en particulier, pour compenser la

contribution de la regularisation zeta, i.e. pour annuler l’effet Casimir — ce qui ne sem-

ble pas tres justifie, physiquement. . . Cela contraste avec la necessite mathematique

rencontree en dimension d impaire (et pour d = 2), ou une seule valeur finie etait

possible.

Remarque 3.5 (Prescription de Casimir et contraintes de Colombeau). La prescription

de Casimir (“pas d’effet Casimir dans l’espace de Minkowski”) consiste a retrancher

de 〈Ω, T00(ψε,θ, t)Ω〉 sa limite limR→∞〈Ω, T00(ψε,θ, t)Ω〉 (prise, donc, comme origine

de l’echelle des energies, et supposee etre la valeur que prend 〈Ω, T00(ψε,θ, t)Ω〉 quand

on remplace Sd−1R par Rd−1). Cela revient a faire, dans l’expression rigoureuse de

〈Ω, T00(ψε,θ, t)Ω〉, comme siT∞0sd−1fd,0,ψ(s)ds etait nul. On peut voir la une version

(et une interpretation physique) de la contrainte de Colombeau (Cd,d). Mais, comme on

vient de le voir, celle-ci ne suffit pas pour que 〈Ω, T00(ψε,θ, t)Ω〉 ait une limite finie quand

ε→ 0 (43).

Remarque 3.6 (Diagonale des fonctions de Green). On passe de 2R vol(Sd−1R ) ×

〈Ω, T00(ψε,θ, t)Ω〉 a2 vol(Sd−1

R)

R G(ψε,x, ψε,x) en remplacant dans (41) XMd−1(X) par

Md−1(X)/X , ce qui revient a remplacer dans le second membre de (49) les pd−1,j par

les pd−1,j+2, et les conditions 0 ≤ m ≤ d par 0 ≤ m ≤ d − 2, m − 1 ≤ j ≤ d − 1 par

max(m− 1, 0) ≤ j ≤ d− 3, et 0 < j ≤ d− 1 par 0 < j ≤ d− 3 (avec les memes conditions

de parite). Il est peut-etre possible de choisir ψ de telle sorte que limε→0G(ψε,x, ψε,x) soit

(42) Si on avait impose ad hoc un cut-off de la forme fd,0,ψ(εRkl) (≡ e−εRkl , par exemple),comme on le fait usuellement en physique, i.e. sans les fd,r,ψ(εRkl) pour r > 0, aucun termeinattendu ne serait apparu.

(43) Les contraintes de Colombeau d’ordre inferieur (m < d) ont peut-etre aussi une in-terpretation physique simple (cf. par exemple, dans un autre contexte, la tentative d’inter-pretation de [57] comme “habillage” d’un parametre physique; cf. aussi [6], bien sur). Mais ilest possible que toutes aient une interpretation geometrique plus profonde, si la geometrie del’espace physique est “brouillee” a petite echelle (cf. le no 6.4).

32 E. Charpentier

fini (44), mais l’interpretation physique ne semble pas l’exiger, la seule chose importante

etant que G(ψε,x, ψε,x) soit un objet bien defini (ici, un nombre de Colombeau) sur lequel

on puisse calculer.

Remarque 3.7 (Univers non statiques). Il est tres facile de verifier que si dans tout ce

qui precede on multiplie la metrique par une fonction (C∞) C(t)−1 et le champ ϕ par

C(t)−(d−2)/4, de facon qu’il reste conformellement couple tout au long du temps t (qui est

ici le “temps conforme” de [6], eq. 5.10–5.11), alors 〈Ω, T00(θ, t)(ψε)Ω〉 est simplement

multiplie par C(t)−d/2, conformement a l’argument general de Ford [37]. Ainsi, a ce

facteur pres, ce qui precede est valable aussi dans tout univers de Robertson–Walker

spherique (meme en expansion).

Remarque 3.8 (Le cas minkowskien). Dans l’espace-temps de Minkowski Rd−1 × R,

l’interpretation de Colombeau donne (cf. [19])

〈Ω, T00(ψε,x)Ω〉 =1

2vol(Sd−1

1 )[ε−d

∞\0

qd−1f(q) dq],

ou f est une fonction de Schwartz telle que f(0) = 1, et cette expression admet une

limite finie quand ε → 0 ssiT∞0qd−1f(q) dq = 0 — limite alors nulle. Dans ce contexte,

l’analogue de la “regularisation zeta” est de considerer l’integrale divergenteT∞0qd−1 dq

comme la somme deT10qd−1 dq = 1/d (pour d > 0, puis pour d ∈ C\0 par prolongement

analytique), et deT∞1qd−1 dq = −1/d (pour d < 0, puis pour d ∈ C \ 0), donc de poserT∞

0qd−1dq = 0 (pour d 6= 0, puis pour tout d), ce qui donne 〈Ω, T00(~x, t)Ω〉 = 0. C’est

bien, encore, ce que donne (proprement) l’interpretation de Colombeau.

Remarque 3.9 (Le cas hyperbolique, et les spins 6= 0). Il ne devrait pas etre difficile de

faire de meme le calcul analogue dans “l’espace hyperbolique” Hd−1R , en utilisant les

fonctions propres definies et etudiees dans [4]. Ce calcul est laisse au lecteur interesse. Le

cas des spins non nuls, ou l’equation de Klein–Gordon est remplacee par celle de Dirac

ou par celle de Maxwell, ne devrait pas non plus presenter de difficulte particuliere (aussi

bien pour Rd−1, Sd−1

R , et Hd−1R ), et est egalement laisse au lecteur interesse.

3.7. Methode de la fonction generatrice. Donnons une autre methode de calcul pour

〈Ω, T00(ψε, t)Ω〉 et pour sa limite quand ε → 0. Cette methode fournit des expressions

pour les contraintes de Colombeau et l’energie de Casimir qui peuvent avoir leur interet.

Commencons par le cas d = 2. La methode consiste a ecrire (je reprends ici les

notations de la section 2)

〈Ω, T00(ψε, t)Ω〉 =1

2πR2

∑

n≥1

nf

(ε

Rn

)=

1

2πR2limη↓0

∑

n≥1

nf

(ε

Rn

)e−(ε/R)nη

= − 1

2πε2limη↓0

\R

dx\R

dy u(x)u(y)1

(y − x+ iη)2+

1

2πR2

(− 1

12

)+ O(εq)

(44) Il faudrait que les nouvelles contraintes “(C′

d,m)” deduites des (Cd,m) (par les memessubstitutions) soient compatibles avec les (Cd,m) : on trouverait alors pour d impair le resultatsuggere par la regularisation zeta (i.e. zero), et pour d pair, une anomalie de fonction test, quine s’annulerait que sous la contrainte supplementaire (et a priori arbitraire) (C′

d,0).


pour u ∈ Aq(R). On obtient donc le meme resultat que dans la section 2 (la limite quand

ε→ 0 existe, et vaut alors necessairement − 124πR2 ), sous la contrainte

(50) limη↓0

\R

dx\R

dy u(x)u(y)1

(y − x+ iη)2= 0.

Il est facile de verifier que le premier membre de (50) est exactement l’oppose de celui de

(14).

Passons maintenant au cas d ≥ 3. La methode proposee ici est une generalisation

naturelle du calcul ci-dessus. Elle consiste a utiliser dans

〈Ω, T00(ψε, t)Ω〉a ≡ 1

vol(Sd−1R )

∑

l≥0

1

2· l +

d−22

RMd−1

(l +

d− 2

2

)(51)

×\dvol(φ′)


G(d−2)/2l (cosωε(φ

′, φ′′))

G(d−2)/2l (1)

al

(0 ≤ a ≤ 1) la fonction generatrice

(52) (1 − 2at+ a2)−λ =∑

n≥0

(n+ 2λ− 1)!

(2λ− 1)!n!· G

λn(t)

Gλn(1)an

pour 0 ≤ a < 1 puis a prendre lima↑1 (la serie (51) converge normalement sur [0, 1] par

rapport a a). Cette methode evite le prolongement aux l non entiers. Vu (27), on aura

(53) 〈Ω, T00(ψε, t)Ω〉

=1

d− 2· 1

Rd vol(Sd−11 )

lima↑1

\dvol(φ′)


×[a2 d

2

da2+ (d− 1)a

d

da+

(d− 2

2

)2](1 − 2a cosωε(φ

′, φ′′) + a2)−(d−2)/2,

ce qui fournit de nouvelles expressions pour les contraintes (et pour l’anomalie de fonction

test), analogues a (50).

4. L’effet Casimir dans un espace cylindrique S1

R × Rd−2

4.1. Notations et theoreme. C’est une autre generalisation naturelle du cas de S1

traite dans la section 2. Ici, l’espace est S1R × Rd−2, au lieu de Sd−1

R : il n’y a pas de

courbure.

On construit les fonctions test comme dans le cas de S1R : a ψ ∈ Aq correspond u ∈

C∞c (]−πR, πR[ × Rd−2) telle que

Tu(~x) dd−1~x = 1,

T~xju(~x) dd−1~x = 0 pour 1 ≤ |j| ≤ q,

ou ~xj = xj11 . . . xjd−1

d−1 ; l’equation est toujours (22) sans masse (et, maintenant, il n’y a

plus de terme de courbure). On note

ϕk(x, t) = (2‖~k‖)−1/2 1√2πR

(2π)−(d−2)/2ei(~k·~x−‖~k‖t),

34 E. Charpentier

ou k1 ∈ R−1Z, k2 ∈ R, . . . , kd−1 ∈ R, ‖~k‖ 6= 0. On a

〈Ω, T00(ψε,x)Ω〉 =(2π)−(d−2)

4πR

∑

k1∈R−1Z

\R

dk2 . . .\R

dkd−1 ‖~k‖ψε,x(~k)ψε,x(−~k),

et passant aux coordonnees polaires dans l’espace Rd−2 des (k2, . . . , kd−1), on obtient

immediatement

(54) 〈Ω, T00(ψε,x)Ω〉 =vol(Sd−3

1 )

2(2π)d−1Rdε−(d−1)

∑

m1∈Z

gd(εm1)

ou

(55) gd(t) ≡∞\0

dq qd−3(t2 + q2)1/2Gd(t2, q2),

avec

(56) Gd(t2, q2) ≡ 1

vol(Sd−31 )

\Sd−3

1

dvol(~u) ψ

(t

R,q

R~u

)ψ

(− t

R,− q

R~u

).

Nous allons prouver ceci :

Theoreme 4.1. 〈Ω, T00(ψε,x)Ω〉 admet une limite finie quand ε→ 0 ssiT∞0gd(t) dt = 0,

contrainte qui a effectivement des solutions, et alors :

(57) limε→0

〈Ω, T00(ψε,x)Ω〉 = − 1

(4π)d/2Γ

(d

2

)ζ(d)

1

(πR)d.

Pour demontrer le theoreme 4.1, nous allons considerer separement les cas d pair, d

impair, car pour d pair (et non pour d impair) on peut appliquer, encore, la formule

d’Euler–MacLaurin.

4.2. Preuve du theoreme 4.1 : d pair (≥ 4). Si d est pair, gd est C∞ sur [0,∞[,

a decroissance rapide a l’infini ainsi que toutes ses derivees, et la formule d’Euler–

MacLaurin donne

(58) 〈Ω, T00(ψε,x)Ω〉 =vol(Sd−3

1 )

(2π)d−1Rdε−(d−1)

[1

ε

∞\0

gd(t) dt+

d−1∑

n=1

εnζ(−n)

n!g(n)d (0) + O(εd)

],

qui admet une limite finie quand ε→ 0 ssi∞\0

gd(t) dt = 0, g(2n−1)d (0) = 0 (1 ≤ n ≤ E((d− 1)/2))

et alors cette limite est

(59) limε→0

〈Ω, T00(ψε,x)Ω〉 =vol(Sd−3

1 )

(2π)d−1R−d ζ(−d+ 1)

(d− 1)!g(d−1)d (0).

Pour expliciter g(d−1)d (0) (et les g

(2n−1)d (0), 1 ≤ n ≤ E((d − 1)/2)), considerons une

fonction (t, q) 7→ G(t2, q2) dans S(R2) telle que G(0, 0) = 1, et posons

hd(t) =

∞\0

dq qd−3(t2 + q2)1/2G(t2, q2).


On voit que h(3)4 (0) = −2G(0, 0) = −2 et h

(d−1)d (0) = −(d− 4)(d− 2)h

(d−3)d−2 (0), d’ou

(60) h(d−1)d (0) = (−1)(d−2)/22d−4(d− 2)

[(d− 4

2

)!

]2

;

Prenant G ≡ Gd on a hd ≡ gd et, reportant (60) dans (59), compte tenu de

ζ(1 − d) = (−1)d/2(d− 1)!

2d−1πdζ(d) (d pair),

on obtient (57).

On voit aussi, de meme, que h(2n−1)d (0) = 0 pour n ≤ (d− 2)/2, donc les “contraintes”

g(2n−1)d (0) = 0 sont tautologiques, et il ne reste que l’unique contrainte

T∞0gd(t) dt

= 0, comme annonce. On voit par Gram–Schmidt, comme dans la section 2, que cette

contrainte a effectivement des solutions.

Remarque 4.1. Posant L = 2πR et remplacant les conditions aux limites periodiques

par les conditions aux limites de Dirichlet (45) (ce qui revient en tout et pour tout a

remplacer πR par L dans (57) (46)), on obtient l’effet Casimir entre deux hyperplans pa-

ralleles dans Rd−1 separes par une distance L, pour un champ scalaire libre : on reconnaıt

exactement la formule (3.45) du chapitre 4 de [31] (47), obtenue chez ces auteurs par

deux methodes (heuristiques) de prolongement analytique, dont la “regularisation zeta”

a partir de l’expression divergente

∑

n≥1

∞\0

dq qd−3(n2 + q2)1/2

(qu’on obtiendrait en faisant naıvement ψ ≡ 1 dans l’equation (54) modifiee selon la note

45), qu’ils considerent comme la valeur en s = −1 de la fonction analytique ζDird definie

pour Re s > d− 1 (> 1) par

ζDird (s/2) ≡

∑

n≥1

∞\0

dq qd−3(n2 + q2)−s/2

(= ζRiemann(s− d+ 2)

Γ(s−d+2

2

)Γ

(d−22

)

2Γ(s2

)).

Remarque 4.2 (L’effet Casimir historique). Notons au passage que pour d = 4 on re-

trouve facilement l’effet Casimir historique [14] (valide par l’experience, sous cette forme

et diverses variantes : cf. [66, 49] et leurs references) : il suffit de remplacer le champ

scalaire par un champ electromagnetique, avec les conditions de Dirichlet pour ~E et de

Neumann pour ~B (ce qui revient a remplacer dans (57) πR par L et a multiplier par

(45) Ce qui supprime dans (54) le terme m1 = 0 et divise les frequences et les multiplicitespar 2.

(46) Et a adjoindre a la contrainteT∞

0gd(t)dt = 0 la contrainte supplementaire gd(0) = 0. En

effet, la suppression dans (54) du terme m1 = 0 revient a ajouter au second membre de (58) unterme proportionnel a ε−(d−1)gd(0). N.B. gd est toujours donnee par (55) avec R = L/(2π).

(47) Sauf que [31] note d+ 1 la dimension de l’espace-temps, notee ici d.

36 E. Charpentier

2 (48)). On retrouve donc, dans un cadre mathematique rigoureux, le fameux resultat de

Casimir [14] :

〈Ω, T00Ω〉 = − π2

720L−4

(avec l’unique contrainteT∞0g4(t) dt = 0, qui a des solutions).

4.3. Preuve du theoreme 4.1 : d impair. Pour d impair, gd n’est plus derivable que

d−2 fois (a droite) en 0, comme nous allons le voir, et on ne peut plus appliquer la formule

d’Euler–MacLaurin a l’ordre d − 1 en 0 comme dans (4.2) (49). On voit directement sur

(55)–(56) que gd se prolonge en une fonction holomorphe sur le revetement universel

de C \ 0, continue (et meme Cd−2) en 0, et (par Paley–Wiener) qu’elle satisfait aux

conditions suivantes :

• limσ→±∞

e−2π|σ|gd(τ + iσ) = 0 uniformement par rapport a τ ;

• limτ→∞

∞\−∞

e−2π|σ||gd(τ + iσ)| dσ = 0.

On peut donc appliquer la formule sommatoire de Plana (50) :

∑

n≥1

gd(εn) =1

ε

∞\0

gd(t) dt−1

2gd(0) +

i

2π

∞\0

gd(i ε2π s

)− gd

(− i ε2π s

)

es − 1ds.

Il faut maintenant expliciter un petit peu gd. Prenons a > 0 arbitraire, et ecrivons

que

gd(t) =

∞\0

dq qd−3(t2 + q2)1/2Gd(t2, q2) =

a\0

(. . . ) +

∞\a

(. . . )

ou chacune des integrales du dernier membre a des singularites eventuelles aux points

±ia (en plus de la singularite en 0 pour la premiere), mais ces singularites se detruisent

dans la somme des deux integrales. Un calcul elementaire donne

gd(t) =∑

m,l≥0

1

m!l!(∂m1 ∂

l2Gd)(0, 0)

(−1)(d−1)/2+l

d− 1 + 2l(61)

× (d− 3 + 2l)!

2d−3+2l[(d−32 + l

)!]2 t

d−1+2l+2m ln t+ hd(t),

ou hd est une fonction entiere paire. Appliquant la formule de Plana, l’identite∞\0

sz−1

es − 1ds = Γ (z)ζ(z) (pour Re z > 1)

(48) Et a inclure de nouveau le terme m1 = 0 (qui correspond a un mode de ~B), ce quisupprime la contrainte gd(0) = 0.

(49) D’ailleurs, (4.2) donnerait pour d impair une energie Casimir nulle, contrairement a (57).La methode heuristique du no 3.1.2 du chap. 4 de [31] consiste a appliquer “formellement” laformule d’Euler–MacLaurin, mais il faut y considerer que le zero de ζ en −d+1 est “compense”par le pole de g

(d−1)d en 0, et donc il faut considerer ζ(−d+ 1)g

(d−1)d (0) comme non nul.

(50) Cf. par exemple [50], nos 27–29, pp. 57–62. On pourrait, bien sur, appliquer aussi laformule de Plana pour d pair et retrouver le resultat fourni par la methode d’Euler–MacLaurin.


et la formule de duplication pour la fonction Γ , on obtient

〈Ω, T00(ψε,x)Ω〉 =2π(d−2)/2

(2π)d−1Γ(d−22

)Rd

ε−d∞\0

gd(t) dt−1

(4π)d/2Γ

(d

2

)ζ(d)

1

(πR)d+ O(ε),

d’ou encore la conclusion du theoreme 4.1.

N.B. La remarque 4.1 reste valable ici.

5. Application a la quantification canonique de la corde

Les resultats du no 2 ont une application a la theorie des cordes. Je traiterai ici seule-

ment des cordes bosoniques fermees (pour les cordes ouvertes c’est analogue; pour les

supercordes aussi).

5.1. Theorie classique : rappels

5.1.1. Tenseur d’energie-impulsion, equations classiques. La “corde” de la section 2,

decrite par l’espace-temps S11 ×R ≡ Σ (la “surface d’univers”) est plongee dans l’espace-

temps RD−1 × R de Minkowski : X = (Xµ)0≤µ≤D−1 : Σ → RD. Classiquement, les Xµ

sont des fonctions reelles C∞.

On note (σ0, σ1) = (τ, σ) les coordonnees qu’on notait (x0, x1) = (t, x) dans la sec-

tion 2. Le tenseur d’energie-impulsion est encore donne par (9), avec ϕ = X , les produits

etant maintenant des produits scalaires dans RD−1 × R.

5.1.2. Champs classiques. Les champs Xµ obeissent a l’equation de d’Alembert (6), ainsi

qu’aux contraintes de Virasoro

(62) Tα,β = 0 (0 ≤ α, β ≤ 1).

La solution generale de (6) 2π-periodique en σ est (51)

Xµ(σ, τ) = xµ + pµτ +∑

m∈Z∗

1√|m|

[(aµm)−e−i|m|τ+imσ + (aµm)+ei|m|τ−imσ],

ou Xµ(σ, τ) = XµR(τ − σ) +Xµ

L(τ + σ), avec

XµR(τ − σ) =

1

2xµ − iαµ0 (τ − σ) +

∑

m∈Z∗

1

mαµme

−im(τ−σ),

XµL(τ + σ) =

1

2xµ − iαµ0 (τ + σ) +

∑

m∈Z∗

1

mαµme

−im(τ+σ),

ou on a pose (c’est usuel)

(63)

αµm =√m(aµm)−, αµ−m = −√

m(aµm)+,

αµm =√m(aµ−m)−, αµ−m = −√

m(aµ−m)+ (m ∈ N∗),

αµ0 = αµ0 = 12 ip

µ.

(51) La difference d’avec (8) est que les Xµ ne sont pas bornes, d’ou le terme en pµτ .

38 E. Charpentier

5.1.3. Coefficients de Virasoro. On a alors

(64) T00(σ, τ) = T11(σ, τ) = −2∑

m∈Z

Lme−im(τ−σ) − 2

∑

m∈Z

Lme−im(τ+σ),

ou

Lm =1

2

∑

n∈Z

αm−nαn, Lm =1

2

∑

n∈Z

αm−nαn

sont les coefficients de Virasoro, et

T10(σ, τ) = T01(σ, τ) = −2∑

m∈Z

Lmeim(τ+σ) + 2

∑

m∈Z

Lme−im(τ−σ).

Les contraintes de Virasoro equivalent a

∀m ∈ Z, Lm = 0 et Lm = 0.

5.1.4. Coordonnees du cone de lumiere. Avant de passer a la quantification, rappelons

que la metrique (ηµν) de l’espace-temps (de Minkowski) n’etant pas definie positive, une

quantification canonique naıve introduirait des etats de “norme” negative (“fantomes”),

i.e. le “produit scalaire” de l’espace de Fock ne serait pas defini positif, et il faudrait

verifier que les “fantomes” se decouplent du reste de la theorie, et les rejeter. Mais il

y a une autre facon de proceder, plus simple a bien des egards, connue sous le nom de

formalisme du “cone de lumiere” (52) : on passe aux coordonnees du cone de lumiere

(X+, X−, X1, . . . , XD−2), ou

X± =1√2(X0 ±XD−1).

X+ est le “temps” du referentiel du cone de lumiere, X− est appelee la coordonnee

longitudinale et les X i (1 ≤ i ≤ D − 2) les coordonnees transverses. Par le jeu des

reparametrages, on peut imposer ce lien entre les “temps” τ et X+ :

X+(σ, τ) = x+ + p+τ.

(C’est la “jauge du cone de lumiere”.) Si on note

X−(σ, τ) = x− + p−τ +∑

m∈Z∗

1

mα−me

−im(τ−σ) +∑

m∈Z∗

1

mα−me

−im(τ+σ),

et α−0 = α−

0 = 12 ip

−, les contraintes de Virasoro s’ecrivent, ∀m ∈ Z,

−1

2ip+α−

m =1

2

∑

n∈Z

αim−nαn,i ≡ L⊥m,

−1

2ip+α−

m =1

2

∑

n∈Z

αim−nαn,i ≡ L⊥m,

les L⊥m, L⊥

m etant les coefficients de Virasoro pour les oscillations transverses de la corde.

5.2. Quantification par la methode de Colombeau. Desormais, µ et ν parcourent

seulement 1, . . . , D − 2.

(52) Cf. par exemple [39], no 2.3, p. 92.


5.2.1. Operateurs, et premieres relations de commutation. On reprend les fonctions test,

etc., de la sous-section 2.2. Ici

[xµ, pν ] = iδµν ,

[aµ−(k 7→ ψk), aν+(k 7→ ψ′

k)] =∑

k∈Z∗

ψkψ′kδµν IdF ,

[aµ−(k 7→ ψk), aν−(k 7→ ψ′

k)] = [aµ+(k 7→ ψk), aν+(k 7→ ψ′

k)] = 0.

Les (aµ−m )±, (aµ−)± sont definis comme dans la definition 3.2 (avec ici M = Z); on definit

encore les αµm, αµm (m ∈ Z) par les equations (63), et

(65) αµ(ψ) =∑

m∈Z

ψ(m)αµm, αµ(ψ) =∑

m∈Z

ψ(m)αµm.

On a facilement

[αµ(ψ), αν(ψ′)] = [αµ(ψ), αν(ψ′)] =∑

m∈Z

mψmψ′−mδ

µνIdF ,

[αµ(ψ), αν(ψ′)] = 0.

Les autres commutateurs, ou interviennent les α−, α−, seront determines plus loin (ils

sont imposes par les contraintes de Virasoro).

Le champ classique (σ, τ) 7→ Xµ(σ, τ) devient

Xµ(ψε,σ, τ) = XµR(ψε,σ, τ) +Xµ

L(ψε,σ, τ),

avec

XµR(ψε,σ, τ) = 1

2xµ − i(τ − σ)αµ0 + αµ(ψ−

ε,σ,τ ),

XµL(ψε,σ, τ) = 1

2xµ − i(τ + σ)αµ0 + αµ(ψ+

ε,σ,τ ),

ou

ψ±τ : k 7→

1

ke−ikτ ψ(±k) si k 6= 0,

0 si k = 0.

(ψ(k) est defini comme dans (11).) De plus,

X+(ψε,σ , τ) = x+ + p+τ,

X−(ψε,σ , τ) = X−R (ψε,σ, τ) +X−

L (ψε,σ, τ),

X−R (ψε,σ , τ) = 1

2x− + 1

2p−τ + α−(ψ−

ε,σ,τ ),

X−L (ψε,σ , τ) = 1

2x− + 1

2p−τ + α−(ψ+

ε,σ,τ ).

On a alors

T⊥00(ψε,σ, τ) = T⊥

11(ψε,σ , τ) = −2L⊥(ψε,σ, τ) − 2L⊥(ψε,σ, τ),

T⊥10(ψε,σ, τ) = T⊥

10(ψε,σ , τ) = −2L⊥(ψε,σ, τ) + 2L⊥(ψε,σ, τ),

40 E. Charpentier

ou

L⊥(ψε,σ , τ) =1

2

∑

m∈Z

∑

n∈Z

αµm−nαnµe−imτ ψε,σ(−m+ n)ψε,σ(−n),

L⊥(ψε,σ , τ) =1

2

∑

m∈Z

∑

n∈Z

αµm−nαnµe−imτ ψε,σ(m− n)ψε,σ(n).

(Rappel : somme sur µ de 1 a D − 2.) Les contraintes de Virasoro s’ecrivent

− i

2p+α−(ψ−

ε,σ,τ ) = L⊥(ψε,σ , τ), − i

2p+α−(ψ−

ε,σ,τ ) = L⊥(ψε,σ, τ).

On en deduit les relations de commutation

[αµ(ψ), p+α−(ψ′)] = 2i∑

m,n∈Z

mψ(m)ψ′(n)αµm+n,(66)

[αµ(ψ), p+α−(ψ′)] = 2i∑

m,n∈Z

mψ(m)ψ′(n)αµm+n,(67)

[αµ(ψ), p+α−(ψ′)] = [αµ(ψ), p+α−(ψ′)] = 0.(68)

Il ne reste plus qu’a determiner les commutateurs

[p+α−(ψ), p+α−(ψ′)], [p+α−(ψ), p+α−(ψ′)] et [p+α−(ψ), p+α−(ψ′)],

i.e. les

[L⊥(ψ, τ),L⊥(ψ′, τ)], [L⊥(ψ, τ), L⊥(ψ′, τ)] et [L⊥(ψ, τ), L⊥(ψ′, τ)].

5.2.2. L’intercept et la contrainte de Lovelace. On a

L⊥(ψε,σ, τ) =∑

m∈Z

L⊥m(ψε,σ)

−imτ ,

avec

L⊥m(ψε,σ) =

1

2

∑

n∈Z

αµm−nαnµψε,σ(−m+ n)ψε,σ(−n).

Pour m = 0, vu que ψε,σ(0) = 1 et que ψε,σ(n)ψε,σ(−n) = ψε(n)ψε(−n) (independant

de σ), on a :

Theoreme 5.1. Pour ψ ∈ Aq(S11),

(69) L⊥0 (ψε,σ) =

1

2αµ0α0µ +

∑

n≥1

αµ−nαnµψε(n)ψε(−n) − a(ψε),

ou

a(ψε) = −D − 2

2

∑

n≥1

nψε(n)ψε(−n) =D − 2

24+ O(εq),

sous la contrainteT∞0tu(t)u(−t) dt = 0 (cf. les equations (12) a (13)). Resultat analogue

pour L⊥0 (ψε,σ), avec la meme contrainte.

Remarque 5.1. On sait que la Lorentz-covariance dans RD impose que limε→0 a(ψε)

soit egale a 1, donc D = 26 (cf. [39], p. 96). On obtient donc ici une demonstration de


la contrainte de Lovelace, D = 26, qui est a la fois mathematiquement rigoureuse et tres

fidele a l’esprit des preuves heuristiques.

L’usage est de ne pas inclure “l’intercept” a (ici a(ψε) : c’est un nombre de Colombeau)

dans la definition du generateur de Virasoro pour m = 0; on va donc poser

L⊥0 (ψε) = L⊥

0 (ψε) + a(ψε), L⊥m(ψε) = L⊥

m(ψε) (m 6= 0)

(et de meme avec les tildes).

5.2.3. L’algebre de Virasoro. Venons-en maintenant au calcul des commutateurs qui nous

restent a determiner. Seuls vont nous interesser ici les commutateurs

[L⊥m(ψ), L⊥

−m(ψ′)],

(avec m 6= 0, disons m ≥ 1) car ce sont les seuls qui presentent une anomalie (il y a aussi

les memes avec les L, mais le calcul est identique). On a

[L⊥m(ψ), L⊥

−m(ψ′)] =1

2

∑

n∈Z

ψ(−m+ n)ψ(−n)ψ′(n)ψ′(m− n)

× (nαµm−nαn−m,µ + (m− n)αµ−nαnµ).

Il faut maintenant appliquer cela a ψε,σ a la place de ψ. Comme ψε,σ(k)ψε,σ(−k) ≡f(εk) ≡ fε(k) est independant de σ (cf. le no 2.2.5), on va prendre en fait ψε. On va

prendre aussi ε′ = ε et ψ′ = ψ. Un calcul facile donne

[L⊥m(ψε), L

⊥−m(ψε)] = fε(m)mα2

0

+∑

n>0

fε(n)[(m− n)fε(m− n) + (m+ n)fε(m+ n)]αµ−nαn,µ

+1

2

m−1∑

n=0

fε(m− n)fε(n)(m− n)n(D − 2).

Mais, pour ψ ∈ Aq(S11),

1

2

m−1∑

n=0

fε(m− n)fε(n)(m− n)n(D − 2) =1

2

m−1∑

n=0

(m− n)n(D − 2) + Om(εq)

=D − 2

12m(m2 − 1) + Om(εq).

Donc (53)

[L⊥m(ψε), L

⊥−m(ψε)] = 2mL⊥

0 (ψε) +D − 2

12m(m2 − 1) + Om(εq)

= 2mL⊥0 (ψε) +

D − 2

12m(m2 − 1) (mod N ).

L’anomalie D−212 m(m2 − 1) est determinee de maniere parfaitement univoque. On con-

state au passage que l’argument rigoureux presente ici est plus simple et plus direct que

(53) Bien entendu, dans l’equation ci-dessous, O(εq) = εqO(1), ou O(1) designe un vecteurvariable dans une partie bornee independamment de ε de l’algebre bornologique A = L(F) .

42 E. Charpentier

l’argument heuristique du no 2.2 de [39] (pp. 80–81), ou l’ambiguıte liee aux expressions

divergentes obligeait a faire quelques detours.

Remarque 5.2. Ces detours, et cette circonspection, etaient rendus necessaires par le

fait que si on regroupe les termes autrement, les series divergentes conduisent a des

resultats differents. Ainsi, par exemple, on voit facilement que (54)

〈Ω, [L⊥m(ψε), L

⊥−m(ψε)]Ω〉 = m(D − 2)

∑

n≥1

nfε(n)fε(m− n) + fε(m+ n)

2

+ (D − 2)∑

n≥1

n2fε(n)fε(m+ n) − fε(m− n)

2,

qui naıvement, pour ε = 0, correspondrait a la serie divergentem(D−2)∑n≥1 n a laquelle

une “regularisation zeta” naıve attribuerait la valeur −mD−212 , differente de l’anomalie

correcte D−212 m(m2 − 1). En fait, le terme manquant dans l’anomalie (le terme en m3)

provient, bien sur, de la contribution de

(D − 2)∑

n≥1

n2fε(n)fε(m+ n) − fε(m− n)

2,

mais dans le calcul heuristique, ou ε = 0, ce terme n’existe pas. Dans le calcul rigoureux

(pour ε > 0), la formule d’Euler–MacLaurin donne immediatement le resultat correct.

Remarque 5.3. Si on plonge la corde dans l’espace RD euclidien au lieu de l’espace-

temps de Minkowski RD−1 × R, il n’y a pas de probleme de “fantomes”, et la quantifi-

cation est encore plus directe : il n’y a plus a distinguer entre des modes transverses et

non-transverses; (66), (67), (68) ne correspondent plus a des relations de commutation

entre des operateurs de creation/annihilation de modes, mais a des relations entre ces

createurs/annihilateurs et les generateurs de l’algebre de Virasoro; µ decrit maintenant

1, . . . , D (au lieu de seulement 1, . . . , D − 2) et p+α−(ψ−ε,σ,τ ) = 2iL⊥(ψε,σ, τ) est

remplace par 2iL(ψε,σ, τ) =∑

m∈ZLm(ψε,σ)e

−imτ , i.e.

(70) [αµ(ψ),L(ψ′, 0)] =∑

m,n∈Z

mψ(m)ψ′(n)αµm+n.

Dans L0, l’intercept devient a(ψε) = D24 (dans C) et, de meme, dans l’algebre de Virasoro

l’anomalie devient D12m(m2−1) (i.e. la charge centrale est maintenant D au lieu de D−2).

De facon analogue, on pourrait remplacer l’espace-cible RD par l’algebre de Lie d’un

groupe de Lie G compact, de rang D, et considerer la theorie de Wess–Zumino–Witten :

on retrouverait l’identite de Sugawara (analogue a (64)), les algebres de Kac–Moody et

de Virasoro associees (et leur couplage, i.e. le commutateur [Jam, Ln], analogue a (70)).

5.2.4. L’etalement du paquet d’onde : comparaison avec les arguments heuristiques de

Susskind. Dans ce cadre de la theorie quantique des cordes, le resultat (16) (divergence

(54) Ici, le vide Ω verifie non seulement (aµn)−Ω = 0, i.e. αµmΩ = 0 pour m > 0, mais encore

pµΩ = 0, i.e. αµ0Ω = 0.


en ln 1ε de la fonction de Green aux points coıncidents) se reinterprete comme suit :

(71) 〈Ω, (Xµ(ψε,σ, τ) − xµ)(Xµ(ψε,σ, τ) − xµ)Ω〉 =

D − 2

2ln

1

ε+ O(1)

(sommation sur µ de 1 a D − 2), i.e. l’ecart quadratique moyen transversal de la corde

(ou “l’etalement du paquet d’onde” de la corde dans le plan transverse) diverge logarith-

miquement quand ε→ 0, conformement a un argument heuristique de Susskind [68]. On

voit que notre ε joue ici le role du “temps de resolution” qui intervient dans l’argument

heuristique de Susskind. (ε est ici une resolution spatiale, mais dans une formulation

Lorentz-covariante de la theorie de Colombeau, analogue a [21], [1], [72], cette distinction

n’aurait plus lieu d’etre.)

En precisant un peu le second membre de (71), on pourrait tirer de la un enonce

mathematiquement precis du “principe d’incertitude” pour les cordes (pour ce principe,

cf. par exemple [42] et ses references).

Quant a la coordonnee longitudinale, X−(ψε,σ, τ), son ecart quadratique moyen dans

l’etat Ω est

(72) 〈Ω, (X−(ψε,σ, τ) − x−)2Ω〉 = 4D − 2

(p+)2

∑

m≥1

1

m2fε(m)

m−1∑

n=0

fε(m− n)fε(n)n(m− n).

Le calcul naıf (ε = 0) donne la serie divergente 23D−2(p+)2

∑m≥1

(m− 1

m

), que Susskind [69]

regularise en introduisant ad hoc le “temps de resolution” ε (mais sans fonction test), qui

lui sert simplement a tronquer la serie a m = mε ∼ 1/ε, d’ou un resultat ∼ε→013D−2(p+)2

1ε2 .

L’equation (72) donne, en fait,

〈Ω, (X−(ψε,σ, τ) − x−)2Ω〉 ∼ε→0

4D − 2

(p+)21

ε2

∞\0

dt tf(t)

1\0

(1 − α)αf(t(1 − α))f(tα) dα

(si l’integrale double du second membre n’est pas nulle), ce qui est conforme a l’argument

de Susskind, a ceci pres que le coefficient de 1/ε2 ne semble pas determine ici de maniere

univoque. (Il est meme peut-etre possible de l’annuler, mais ce serait contraire a l’argu-

ment physique. . .)

6. Appendice I : Introduction a la theorie de Colombeau

6.1. Fonctions generalisees. On represente chaque point x dans Rn par le pic de

Dirac δx. On approxime δx par des ψε,x, avec ψ ∈ D(Rn) = C∞c (Rn),

TRn ψ(x) dx = 1,

ψε,x(y) = ε−nψ(ε−1(y−x)). Les ψε,x sont, en quelque sorte, les determinations pratiques

des δx.

Une fonction f ∈ D(Rn) (resp. f ∈ E(Rn) = C∞(Rn)) devient une fonctionnelle

(non-lineaire) Rf ∈ E(D′(Rn)) (resp. Rf ∈ E(E ′(Rn))) : Rf (σ) = 〈σ, f〉; Rf (δx) = f(x) :

evaluer f en x c’est evaluer Rf au pic δx.

Pour R ∈ E(D′(Rn)) (ou, plus generalement, pour R ∈ E(E ′(Rn))), on a

R(ψε,x) −R(δx) = OR,x,ψ(ψε,x − δx).

44 E. Charpentier

Or, ∀f ∈ D(Rn),

〈ψε,x − δx, f〉 =\

Rn

ψ(t)[f(x+ tε) − f(x)] dt

=∑

0<|J|≤q

ε|J|

J !f (J)(x)

\Rn

tJψ(t) dt+ Ox,ψ(εq+1).

Ainsi, il est naturel de considerer les espaces

Aq =ψ ∈ D(Rn)

∣∣∣\

Rn

ψ(x) dx = 1, ∀J ∈ Nn, 0 < |J | ≤ q ⇒

\Rn

tJψ(t) dt = 0;

les ψ ∈ Aq permettent “d’approximer” les pics de Dirac a l’ordre q + 1 :

ψ ∈ Aq ⇒ ∀f ∈ D(Rn), (ψε,x − δx, f) = Ox,ψ(εq+1),

et ∀R ∈ E(E ′(Rn)),

ψ ∈ Aq ⇒ R(ψε,x) = R(δx) + OR,x,ψ(εq+1).

Quand doit-on considerer R comme nul? Deja, dans le cas ou ∀x, R(δx) = 0 (pour que

la multiplication des distributions prolonge le produit usuel des fonctions C∞). Or,

∀x, R(δx) = 0

equivaut a

∀q, ∀x, ∀ψ, ψ ∈ Aq ⇒ R(ψε,x) = OR,x,ψ(εq+1).

Ensuite, il faut que

fonctionnelle nulle × fonctionnelle = fonctionnelle nulle.

Autrement dit, l’ensemble N (E ′(Rn)) des elements de E(E ′(Rn)) qui doivent etre declares

“nuls” doit etre un ideal. Mais N (E ′(Rn)) ne doit pas contenir trop de choses : la theorie

finirait par etre triviale. On se limite donc aux fonctionnelles moderees, i.e. aux R ∈E(E ′(Rn)) telles que pour tout operateur differentiel D (par rapport aux composantes

de x),

∃N, ∀ψ, ∀x, ψ ∈ AN ⇒ DR(ψε,x) = Oψ(ε−N )

(disons uniformement en x sur tout compact, si on veut ensuite obtenir des fonctions

generalisees integrables). On note EM(E ′(Rn)) l’ensemble des fonctionnelles moderees.

Soient R0 telle que

∀q, ∀x, ∀ψ, ψ ∈ Aq ⇒ R0(ψε,x) = Ox,ψ(εq+1)

(donc R0 ∈ N (E ′(Rn))) et R1 telle que

∀K ⊂ Rn compact, ∃N, ∀x ∈ K, ∀ψ, ψ ∈ AN ⇒ R1(ψε,x) = Ox,ψ(ε−N )

(donc R1 modere). On a

∀K ⊂ Rn compact, ∃N, ∀x ∈ K, ∀q ≥ N,

ψ ∈ Aq ⇒ (R0R1)(ψε,x) = Ox,ψ(εq+1−N ),

et cela doit entraıner que R0R1 ∈ N (E ′(Rn)). De plus, on veut pouvoir deriver de facon

coherente, i.e. les operateurs differentiels D doivent passer au quotient par N (E ′(Rn)).


Donc N (E ′(Rn)) doit contenir les R moderes tels que

∀K ⊂ Rn compact, ∀D, ∃N, ∀x ∈ K, ∀q ≥ N, ∀ψ,ψ ∈ Aq ⇒ DR(ψε,x) = Oψ(εq+1−N ).

On peut prendre pour N (E ′(Rn)) l’ensemble des tels R. (On peut etre amene, suivant les

applications qu’on a en vue, a prendre N (E ′(Rn)) plus grand.)

L’algebre des fonctions generalisees de Colombeau est alors

G(Rn) = EM(E ′(Rn))/N (E ′(Rn)).

Par construction, les operateurs differentiels D passent au quotient : si G ∈ G(Rn) est

represente par R ∈ EM(E ′(Rn)), DR ne depend pas du choix du representant R et

represente un element DG de G(Rn). Toutes les proprietes indispensables (formule de

Leibniz, etc.) ont lieu.

6.2. Valeurs des fonctions generalisees et integration. Pour α > 0, on note Dα

l’espace de Frechet des fonctions C∞ : Rn → C a support compact ⊂ ‖x‖ ≤ α, Fα la

famille des ouverts V de Dα tels que ∀ψ ∈ Aq avec q assez grand, ψε ∈ V quand ε ∈ ]0, 1[

est assez petit; la limite inductive E0 des E(V ) pour V ∈ Fα, α → 0+, est l’espace des

germes de fonctions C∞ au point δ0. Si R ∈ E0 et ψ ∈ Aq, alors ε 7→ R(ψε) est un germe

de fonction C∞ en 0+. Notons:

• EM = R ∈ E0, ∃N, ∀ψ ∈ AN , R(ψε) = Oψ(ε−N) (ε→ 0+);• N = R ∈ EM, ∃N, ∃s : N → R+ croissante tendant vers ∞, telle que ∀q ≥ N ,

∀ψ ∈ Aq, R(ψε) = Oψ(εs(q)−N ) (ε→ 0+);• C = EM/N (algebre des nombres de Colombeau).

Les fonctions generalisees G de Colombeau (les elements de G(Rn)) sont des fonctions

x 7→ G(x) a valeurs dans C, en ce sens que R(ψε,x) represente pour tout x un element de

C quand ε → 0+. Si K ⊂ Rn est compact, G ∈ G(Rn), R ∈ EM(E ′(Rn)) un representant

de G, ψ ∈ Aq, notons

I(ψε) ≡\K

R(ψε,x) dvol(x).

I est dans EM; si R est dans N (E ′(Rn)), I est dans N ; donc la classe de I modulo

N ne depend que de la classe de R modulo N (E ′(Rn)), i.e. que de G. On la noteTKG(x) dvol(x) et cela definit l’integrale de G sur K. La encore, toutes les formules

indispensables (integration par parties, etc.) marchent. On obtient, a partir de la, primi-

tives, convolution, transformation de Fourier, etc. ([19], chap. 6).

6.3. Generalisations. Comme en fait on n’a besoin d’appliquer R qu’aux fonctions de

la forme ψε,x, on peut considerer des fonctions R definies seulement sur les ψε,x telles

que R(ψε,x) soient des fonctions C∞ de x : cf. [19], chap. 7. Cela evite de verifier que R

se prolonge a des ouverts et y est C∞. C’est cette definition plus simple (due, elle aussi,

a Colombeau) que j’adapte dans le texte au cas des spheres (section 3).

On peut remplacer Rn par un ouvert Ω de Rn, et plus generalement par une variete

C∞ reelle paracompacte de dimension n, comme quand on passe des distributions sur Rn

aux distributions sur une variete. Cela a ete fait dans [21], [1] et [72].

46 E. Charpentier

On peut definir de meme des fonctions generalisees a valeurs dans des algebres bor-

nologiques polaires (plutot que dans C): cf. [19], chap. 11 (sect. 1 et 2). Les champs

quantiques ϕ(ψε,x, t) consideres ici sont des fonctions generalisees a valeurs dans des

algebres d’operateurs, bornologiques polaires completes, exactement comme dans le cas

minkowskien ([19], chap. 11, sect. 3).

6.4. Une nouvelle sorte de geometrie. Dans les calculs usuels de theorie des champs,

on doit effectuer des calculs formels preliminaires (“au brouillon”, en quelque sorte,

car mathematiquement denues de sens) avant d’arriver a une expression “renormalisee”.

L’interpretation de Colombeau, comme celle des distributions de Schwartz sur la-

quelle elle s’est fondee, “evalue” les expressions formelles des physiciens sur des “fonc-

tions test”. On peut dire que le formalisme de Colombeau remplace les calculs “au

brouillon” par des calculs mathematiquement definis sur les fonctions test. Les fonc-

tions test qui interviennent dans la theorie de Colombeau vivent dans des ensembles

(tels que les Aq(Sd−1R , (Cd,m)0<m≤d, d−m pair) de la page 30) que j’appelle donc les

“brouillons”.

Si on identifie l’espace (Rn ou autre) avec l’ensemble des pics de Dirac δx, le “brouil-

lon” est une sorte d’espace “flou”, dont les “points” (les ψε,x , qui sont des “lissages”

des pics de Dirac) sont obtenus en “brouillant” les points de l’espace ordinaire. Quand

ψε,x → δx, on sort du brouillon : l’espace, idealement, devient net. La geometrie ordinaire

est un cas limite de la geometrie sous-jacente a la theorie de Colombeau.

On peut dire de deux fonctions test de la forme ψε,x et ψε′,x′ (i.e. telles qu’on puisse

passer de l’une a l’autre par un changement d’echelle ε 7→ ε′ et par une translation

x 7→ x′) qu’elles ont le meme motif : autrement dit, un motif serait une fonction test

modulo les zooms et les translations. Les contraintes de Colombeau portent, en fait, sur

les motifs. Il est possible qu’elles ne soient qu’un artifice de formalisme, mais il se peut

aussi qu’elles codent des informations sur la structure de l’espace a tres petite echelle.

Les fonctions test ont peut-etre une realite physique.

7. Appendice II : Preuve que ∀n, ∀t, ∂nt ϕ(ψε,θ, t) est modere

Vu (33),

∂nt ϕ(ψε,θ, t) = a−(∂nt ψε,θ,−t,∗) + a+(∂nt ψε,θ,t).

Pour tout t ∈ R et tout n ∈ N, ∂nt ψε,θ,t ∈ ℓ2(M), et on a

‖∂nt ψε,θ,t‖2 =∑

l

ω2nl

∑

M ′

|ψε,θ(l,M ′)|2.

(Et l’analogue pour ‖∂nt ψε,θ,−t,∗‖2.) Cette somme est analogue a la somme (35) rencontree

dans le calcul de l’effet Casimir. On procede comme pour celle-ci : notant Qd−1,2n(X) =

Md−1(X)X2n et κ(R) = (volSd−11 )−1R−2n, et utilisant la formule d’Euler–MacLaurin,

on obtient (dans le cas d’invariance conforme, et avec donc ωl = kl)


‖∂nt ψε,θ,t‖2 = κ(R)∑

r≥0

ε2r∑

l≥0

Qd−1,2n

(l +

d− 2

2

)fd,r,ψ

(ε

(l +

d− 2

2

))

= κ(R)[∑

r≥0

ε2r∞\0

(1/ε)Qd−1,2n(y/ε)fd,0,ψ(y) dy + O(1)]

= O(ε−(d−1+2n)) (ε→ 0),

avec fd,r,ψ comme dans la formule (43), sauf qu’ici ψ(φ′) est remplace par son conjugue

(et ψ(φ′′) est inchange). De meme, notant encore φ = ε(T−1θ (θ′)),

∂θkψε,θ(θ

′) = ε−(d−1)∑

i,j

(∂iε)j |ε−1 (φ)(∂θk

T−1θ )i|Tθε−1 (φ)∂jψ|φ = O(ε−d)

(uniformement en φ sur tout compact de Sd−1R \ ω), et le meme calcul (avec des fd,r,ψ

modifiees et un facteur ε−1 issu de chaque ∂θk) montre que

‖∂nt ∂αθ ψε,θ,t‖2 = O(ε−(d−1+2n+2|α|)) (ε→ 0)

(et l’analogue avec ψε,θ,−t,∗). Donc ∂αθ ∂nt ϕ(ψε,θ, t) = O(ε−((d−1)/2−n−|α|)) (quand ε→ 0),

et donc ∂nt ϕ(ψε,θ, t) est modere.

8. Appendice III : Preuve que Fε,ψ est une fonction de Schwartz

On commence par ecrire

Fε,ψ(x) = Pd−1(x)\\F

(x+

d− 2

2,−x+

d− 2

2,d− 1

2,1 − cosωε(φ

′, φ′′)

2

)

× ψ(φ′)ψ(φ′′) dvol(φ′) dvol(φ′′)

=x

2(d−4)/2Γ(d2

)\dvol(φ′)


(∂

∂ cosωε

)(d−2)/2

cos[xωε(φ′, φ′′)]

ou F est la fonction hypergeometrique de Gauss, cf. (29), et ou la derniere expression est

valable meme pour d impair, en interpretant comme d’habitude la derivee d’ordre n+1/2

comme la derivee nieme de la derivee d’ordre 1/2, et la derivee d’ordre 1/2 par la formule

de Mehler–Dirichlet :(

∂

∂ cosω

)1/2

cos[xω] = x

(∂

∂ cosω

)−1/2[sinxω

sinω

]

=1√2π

x

π\ω

sinxϕ

(2

cosω − cosϕ

)1/2

dϕ =√π/2xPx−1/2(cosω)

(Pν : fonction de Legendre, d’indice non necessairement entier). De la,

Fε,ψ(x) =x

2(d−4)/2Γ(d2

)π\0

dθ1 fε(θ1)(sin θ1)d−2

(∂

∂ cos θ1

)(d−2)/2

cosxθ1

48 E. Charpentier

ou j’ai utilise ω(θ′, θ′′) = (T−1θ′ (θ′′))1 et j’ai pose

fε(θ1) = Rd−1\dvol(θ′)ψε(θ

′)\dvolSd−2

1

(θ2, . . . , θd−1)ψε(Tθ′θ).

On peut, bien entendu, prolonger par la meme formule la fonction fε aux θ1 negatifs, donc

a [−π, π]. La fonction ainsi obtenue est evidemment paire (dans la variable d’integration

(θ2, . . . , θd−1) changer θi en π − θi pour 2 ≤ i ≤ d − 2 et θd−1 en θd−1 + π (mod 2π))

et pour ε assez petit, fε ∈ C∞c (]−π, π[). Noter que fε(θ1) est alors une fonction C∞ de

cos θ1.

Ensuite, on integre par parties, (d− 2)/2 fois si d est pair, (d− 1)/2 fois si d est

impair; on obtient, pour d pair,

(73) Fε,ψ(x) =x

2(d−4)/2Γ(d2

) (−1)(d−4)/2

π\0

∂θ1∂(d−4)/2cos θ1

[fε(θ1)(sin θ1)d−3] cosxθ1 dθ1,

et pour d impair,

(74) Fε,ψ(x) = x2 1

2(d−4)/2Γ(d2

) (−1)(d−3)/2

π\0

fε(ϕ) sinxϕdϕ

ou

fε(ϕ) = ∂−1/2cos(π−ϕ)[∂

(d−3)/2cosϕ [fε(ϕ)(sinϕ)d−3]]

est paire et C∞ a support compact ⊂ ]−π, π[ et nulle en 0 ainsi que toutes ses derivees.

En effet : fε(ϕ) est une fonction C∞ de cosϕ (car fε(ϕ) l’est); c’est donc une fonction

C∞ de ϕ. Si supp fε ⊂ [−a, a], 0 < a < π, on voit que fε est constante dans [a, π], donc

ses derivees sont nulles dans [a, π]. Meme conclusion pour la fonction

gε(ϕ) ≡ ∂−1/2cos(π−ϕ)[∂

(d−5)/2cosϕ [fε(ϕ)(sinϕ)d−3]].

(N.B. Si d = 3 on prend ∂−1cosϕfε(ϕ) = −

Tϕπfε(ϕ

′) sinϕ′ dϕ′.) Or,

fε(ϕ) = − 1

sinϕ∂ϕgε(ϕ).

Donc fε ≡ 0 dans [a, π[ et, par continuite, dans [a, π]. Idem dans [−π,−a] par parite. fεest evidemment nulle en 0,

∂ϕfε(ϕ) = − sinϕ∂−1/2cos(π−ϕ)[∂

(d−1)/2cosϕ [fε(ϕ)(sinϕ)d−3]]

aussi (a cause du sinϕ, mais aussi a cause du ∂−1/2cos(π−ϕ) =

Tϕ0(. . . )), et de meme pour

toutes les derivees successives.

Maintenant, pour d pair, on a ∀q ∈ N,

(−x2)qFε,ψ(x) =x

2(d−4)/2Γ(d2

) (−1)(d−4)/2

×π\0

∂θ1∂(d−4)/2cos θ1

[fε(θ1)(sin θ1)d−3]∂2q

θ1cosxθ1 dθ1


=x

2(d−4)/2Γ(d2

) (−1)(d−4)/2

×[ q∑

j=1

∂2jθ1∂

(d−4)/2cos θ1

[fε(θ1)(sin θ1)d−3]|θ1=0(−x2)q−j

+

π\0

∂2q+1θ1

∂(d−4)/2cos θ1

[fε(θ1)(sin θ1)d−3] cosxθ1dθ1

].

Dans le dernier membre, les termes de bord sont tous proportionnels a des derivees d’ordre

impair de fε en 0, donc sont nuls, et l’integrale est bornee, donc ∀q ∈ N, Fε,ψ(x) =

O(x1−2q).

Apres derivation sous le signe somme dans (73), on obtient de meme le resultat ana-

logue pour toutes les derivees de Fε,ψ .

Pour d impair, l’argument est analogue, grace a (74).

9. Appendice IV : Expression des “pre-regulateurs” comme

combinaisons lineaires de fonctions de Clifford d’argument t1x2/2

Vu (37),

fd,r(x; t1, . . . , tr+1) = (−1)rΓ

(d− 1

2

) r∑

k=0

2−k∑

j≥0

(−x2/2)j

(j + k)!Γ(j + k + d−1

2

)

× ad,k+j,2j∑

m1,...,mj+k≥1m1+...+mj+k=j+r

tm1. . . tmj+k

.

Mais, pour k < r,

∑

m1,...,mj+k≥1m1+...+mj+k=j+r

tm1. . . tmj+k

=r−k∑

p=1

(j + k)!

p!(j + k − p)!tj+k−p1

p∑

q=1

q!∑

(α,β)∈Ap,q,r−k

tβ1

α1. . . tβq

αq,

ou Ap,q,r−k est l’ensemble des (α, β) = (α1, . . . , αq;β1, . . . , βq) ∈ N2q tels que :

• 1 < α1 < · · · < αq ≤ 1 + r − k, β1 ≥ 1, . . . , βq ≥ 1,

• β1 + · · · + βq = p, β1α1 + · · · + βqαq = p+ r − k.

Pour k = r, on a bien sur∑

m1,...,mj+k≥1m1+...+mj+k=j+r

tm1. . . tmj+k

= tj+r1 .

De plus,

ad,k+j,2j = (−1)k∑

1≤i1<...<ik≤j+k

(d− 4

2+ i1

)2

. . .

(d− 4

2+ ik

)2

= (−1)k∑

0≤l≤k

∑

0≤h≤k−l

(d− 4)2l+h

22l

∑

1≤i1<...<ik≤j+k

∑

δ∈∆k,l,h

iδ11 . . . iδk

k ,

50 E. Charpentier

ou ∆k,l,h est l’ensemble des δ = (δ1, . . . , δk) tels que :

• δ1, . . . , δk ∈ 0, 1, 2,• cardi | δi = 0 = l, cardi | δi = 1 = h.

Notez que ∑

1≤i1<...<ik≤j+k

∑

δ∈∆k,l,h

iδ11 . . . iδk

k

est, ∀k, ∀l, ∀h, un polynome en j de degre 3k − 2l− h. On peut donc ecrire

ad,k+j,2j(j + k)!

(j + k − p)!=

3k+p∑

s=0

αdkps(j + k)!

(j + k − s)!,

formule qui s’inverse immediatement en

αdkps =s−k∑

j=0

(−1)s−k−j

(s− k − j)!· ad,k+j,2j(k + j − p)!

,

qui est nul si s < max(k, p). Donc, avec X = t1x2/2,

(75) fd,r(x; t1, . . . , tr+1)

= (−1)rΓ

(d− 1

2

) r−1∑

k=0

2−kr−k∑

p=1

1

p!

p∑

q=1

q!tk−p1

×∑

(α,β)∈Ap,q,r−k

tβ1

α1. . . tβq

αq

3k+p∑

s=max(k,p)

αdkps(−X)s−kCs+(d−3)/2(X)

+ (−1)rΓ ((d− 1)/2)2−rtr1∑3r

s=r αdr0s(−X)s−rCs+(d−3)/2(X),

qu’on ramene a une combinaison lineaire de fonctions de Clifford en utilisant la relation

de recurrence XCν+1(X) = νCν(X) − Cν−1(X) pour eliminer de proche en proche les

termes de la forme XnCν . Les coefficients des fonctions de Clifford sont alors (pour d

fixe) des polynomes en les tm(φ′, φ′′) et en les quotients tm(φ′, φ′′)/t1(φ′, φ′′). Il est donc

opportun de noter ceci :

Lemme 9.1. ∀m, tm(φ′, φ′′)/t1(φ′, φ′′) est borne sur Sd−1

R × Sd−1R .

Preuve. On a

t1(φ′, φ′′) = 1

2 (d− 1)2/(d−1)[ud(φ′1)

2 + ud(φ′′1 )2 − 2ud(φ

′1)ud(φ

′′1 ) cosσ],

ou σ = ωd−2(φ′2, . . . , φ

′d−1;φ

′′2 , . . . , φ

′′d−1), donc t1(φ

′, φ′′) ne peut s’annuler que pour σ = 0

(ou φ′1 = φ′′1 = 0); mais alors

cosωε = cos(φ′1ε − φ′′1ε) = cos[u−1d (εud(φ

′1)) − u−1

d (εud(φ′′1 ))],

et donc ∀m, tm(φ′, φ′′)|σ=0 est divisible par

12 (d− 1)2/(d−1)[ud(φ

′1) − ud(φ

′′1 )]2 = t1(φ

′, φ′′)|σ=0,

ce qui acheve la preuve.

Pour expliciter les αdkps, on peut utiliser la relation de recurrence

αdkps = αdk,p−1,s−1 + (s− p+ 1)αdk,p−1,s


et

αdkps =

p∑

l=0

p!

l!(p− l)!· (s− l)!

(s− p)!αdk0,s−l

qui en resulte. On trouve ainsi, par exemple,

fd,1(x; t1, t2) = Γ

(d− 1

2

)t1

[(d− 2)(d− 4)

24C(d−1)/2(X)

+

(t2t21

· d− 3

2+d− 1

12

)C(d−3)/2(X) −

(t2t21

− 1

6

)C(d−5)/2(X)

],

fd,2(x; t1, t2, t3) = Γ

(d− 1

2

)− t3t1

[d− 3

2C(d−3)/2(X) − C(d−5)/2(X)

]

+1

2

(t2t1

)2[(d− 1)(d− 3)

4C(d−3)/2(X)

− (d− 3)C(d−5)/2(X) + C(d−7)/2(X)

]

− 1

2t2

[− (d− 2)(d− 3)(d− 4)

24C(d−1)/2(X)

+1

4C(d−3)/2(X) + C(d−5)/2(X) +

1

3C(d−7)/2(X)

]

+1

4t21

[d(d− 2)(d− 4)(5d− 22)

1440C(d+1)/2(X)

+(d− 2)(d− 4)(5d+ 3)

360C(d−1)/2(X) +

5d2 − 12d+ 13

120C(d−3)/2(X)

+5d+ 11

90C(d−5)/2(X) +

1

18C(d−7)/2(X)

].

10. Appendice V : Comment la forme du “cut-off”

leve un “paradoxe”

La “regularisation zeta” naıve (55) est evidemment truffee de paradoxes : par exemple,

pour calculer∑

N≥0(2N + 1)2, on peut etre tente d’ecrire que c’est∑

N≥0

N2 −∑

N≥0

(2N)2 = −3∑

N≥0

N2 “ = ” − 3ζ(−2) = 0

par “regularisation zeta”; mais on peut aussi etre tente d’ecrire que c’est

4∑

N≥0

N2 + 4∑

N≥0

N +∑

N≥0

1 “ = ” 4ζ(−2) + 4ζ(−1) + ζ(0) + 1 = 1/6,

aussi par “regularisation zeta” ! Ce genre d’ecueils menace presque toute “regularisation”

faite a posteriori. Voyons comment la forme du “cut-off” introduit au no 3.6 par le

(55) Cet ensemble de recettes que Elizalde et al. ([31], 2.6) qualifient fort justement de“arbitrary analytic continuations “a la zeta” ”.

52 E. Charpentier

formalisme de Colombeau leve le paradoxe ci-dessus, en effectuant sur la serie Casimir

(42) pour d = 3 les deux manipulations precedentes :

∑

N≥0,r≥0

(2N + 1)2f3,r,ψ

(ε

2(2N + 1)

)ε2r

=∑

r≥0

[ ∑

M≥0

M2f3,r,ψ

(ε

2M

)− 4

∑

M≥0

M2f3,r,ψ(εM)

]ε2r

= 41∑

r=0

(1

ε

)3−2r ∞\0

x2f3,r,ψ(x) dx + O(ε)

(par la formule d’Euler–MacLaurin, comme dans (43)), qui a une limite finie pour ε→ 0

ssi∞\0

x2f3,0,ψ(x) dx =

∞\0

x2f3,1,ψ(x) dx = 0,

et cette limite est alors 0, ce qui confirme la premiere “regularisation zeta” de la serie∑N≥0(2N + 1)2. Passons maintenant a la seconde manipulation :

∑

N≥0, r≥0

(2N + 1)2f3,r,ψ

(ε

2(2N + 1)

)ε2r

=∑

r≥0

[∞\0

4x2f3,r,ψ

(ε

2(2x+ 1)

)dx+

∞\0

4xf3,r,ψ

(ε

2(2x+ 1)

)dx

+

∞\0

f3,r,ψ

(ε

2(2x+ 1)

)dx

]ε2r + 4ζ(−1) +

1

2+ O(ε)

= 4

1∑

r=0

(1

ε

)3−2r ∞\0

y2f3,r,ψ(y) dy − 4

(1

ε

)3 ε/2\0

y2dy +1

6+ O(ε)

= 4

1∑

r=0

(1

ε

)3−2r ∞\0

y2f3,r,ψ(y) dy + O(ε)

car ζ(−1) = −1/12 et

ε/2\0

y2f3,r,ψ(y) dy =

(ε

2

)3[ 1\0

t2f3,r,ψ(0) dt+ O(ε)]

(et f3,0,ψ(0) = 1). On obtient donc exactement le meme resultat que par la premiere

manipulation : le “contre-terme” −4(1/ε)3Tε/20

y2 dy a detruit le terme “paradoxal” 1/6.

On voit donc que c’est bien la forme du “cut-off” en∑

r ε2rfr(εRk) (56) qui impose une

valeur regularisee univoque et donc resout le paradoxe.

(56) La forme simplifiee f(εRk) conviendrait aussi.

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dissertationes mathematicae

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