www.puskice.co.yu

UNIVERZITET U BEOGRADU

Fakultet organizacionih nauka

dr Mirjana angalovi

Diskretne matematike strukture

(neredigovana skripta)

Beograd, 1997.

SADRAJ

1. Uvod31.1. Relacija. Operacija. Funkcija31.2. Osnovni pojmovi logike52. Matematika logika62.1. Iskazni raun62.1.1. Iskazna algebra62.1.2. Iskazna formula i njena vrednost72.1.3. Prekidake mree92.1.4. Bool-ove funkcije102.1.5. Izvoenje zakljuaka112.5. Predikatski raun (kvantifikatorski raun)122.5.1. Predikatske formule122.5.2. Pojavljivanje promenljivih u predikatskoj formuli132.5.3. Interpretacija predikatske formule142.5.4. Istinitosna vrednost predikatske formule153. Algebarske strukture163.1. Grupa163.1. Prsten. Telo. Polje. Bool-ova algebra174. Relacijske strukture184.1 Parcijalno ureeni skup184.2 Supremum. Infimum. Reetka195. Osnovi teorije grafova205.1 Definicija grafa205.2. Matrina interpretacija grafa225.3 Putevi u grafu235.4 Neki specijalni grafovi245.5 Stablo (drvo)256. Teorija konanih automata276.1 Konana maina276.2 Konani automat307. Formalni jezici. Gramatike327.1 Formalni jezici327.2 Gramatike327.3 Veza izmeu automata i regularnih gramatika35

1. Uvod

1.1. Relacija. Operacija. Funkcija

Def. Ureena n-torka (x1, x2,..., xn) je niz elemenata iji se redosled tano zna.

Primer: (a, b) je ureena dvojka.

Def. (x1, x2,..., xn) = (y1, y2,..., yn) ako je x1 = y1, x2 = y2,..., xn = yn.

Def. Dekartov (direktni) proizvod skupova A1, A2,...,An je skup

Specijalno,

Primeri: - realna ravan

- realni prostor

Def. f je binarna relacija nad skupovima A i B, ako je . Ako je A = B, tada je f binarna relacija nad A.

Ako , kae se "x u relaciji f sa y", a pie se x f y.

Primeri: - krug u ravni sa centrom (0,0)

- poluravan iznad prave y = x.

Def. f je relacija duine n nad skupovima A1, A2,...,An ako je . Ako je , tada je f relacija duine n nad A.

Ako je , to je prazna relacija.

Ako je , to je univerzalna relacija.

Ako je tj. , to je unarna relacija nad A.

Def. Neka su A i B neprazni skupovi.

Ako se po nekom pravilu f svakom elementu iz A pridruuje neki element iz B, tada se kae da je f funkcija koja preslikava A u B.

U oznaci:

, a - original, b - slika.

A je domen, a je kodomen.

Def. f je jednoznana funkcija ako vai da, za svako i , ako i , onda y = z. Jednoznana funkcija f se naziva preslikavanje.

Def. Preslikavanje je "na", ako je tj. za svako postoji tako da je.

Preslikavanje je "1-1", ako vai: za svako , ako je , onda je .

Ako je i "na" i "1-1", naziva se bijekcija ili uzajamno jednoznano preslikavanje.

Primeri:,

nije "na", jeste "1-1"

Za \, jeste bijekcija

, nije "na", nije "1-1"

, jeste "na", nije "1-1"

, jeste "na", jeste "1-1"

Def. f je binarna operacija nad skupovima A, B, C ako je f preslikavanje u skup C. f je operacija duine n nad skupovima ako je f preslikavanje u B.

Za , f je unarna operacija.

Primeri:

operacija promene znaka je unarna.

1.2. Osnovni pojmovi logike

Def. Iskaz je reenica koja ima smisla i koja je ili istinita ili neistinita (ne moe biti i jedno i drugo ili ni jedno ni drugo).

Iskaz obeleavamo sa P, Q, R, S.

Svakom iskazu pridruujemo istinitosnu vrednost, u oznaci ,

Primeri:

Za svaki realni broj x, . (iskaz koji je laan)

Kroz taku A van prave p prolaze bar dve razliite prave koje ne seku pravu p. (aksiom dogovoreno taan iskaz u geom. Lobaevskog)

Ova reenica je lana (semantiki paradoks circulus vitiosus nije iskaz)

Def. Predikat je reenica koja ima smisla, sadri jednu ili vie promenljivih i njena istinitost zavisi od konkretnih vrednosti tih promenljivih.

Primeri:

x i y su realni brojevi i (predikat istinit za , a za je laan).

Za svaki prirodni broj x, x > y (za , predikat je istinit, a za je lano).

Od reenica (iskaza i predikata) se formiraju sloenije reenice upotrebom tzv. logikih operacija. Istinitosna vrednost novih reenica zavisi od istinitosnih vrednosti reenica koje ih obrazuju i utvruju se na osnovu ovih vrednosti.

Negacija "ne P" negacija tanog iskaza je netaan iskaz, i obrnuto.

Konjukcija "P i Q" istinita samo ako su i P i Q istinite.

Disjunkcija "P ili Q" istinita ako je bar jedan od iskaya taan.

Implikacija "Ako P, onda Q", - lana je ako je P istinito, a Q lano, u svim ostalim sluajevima je istinito. "Iz P sledi Q", "P povlai Q", "P je dovoljan uslov za Q", "Q je neophodan uslov za P", itd. P je pretpostavka, premisa, Q je posledica, zakljuak.

Ekvivalencija "P ako i samo ako Q" tano ako su P i Q oba tana ili oba netana. "P je ekvivalentno sa Q", "P akko Q", "P je neophodno i dovoljno za Q".

1101111

1000100

0110110

0010011

2. Matematika logika

Formalizuje postupke dobijanja sloenih reenica od prostih, utvrivanje istinitosne vrednosti ovih reenica u skladu sa pravilima ispravnog logikog zakljuivanja.

Deli se na iskazni raun i predikatski raun.

2.1. Iskazni raun

formalizuje pravilno zapisivanje iskaza, graenje novih sloenih iskaza, kao i utvrivanje istinitosne vrednosti ovih iskaza u zavisnosti od istinitosti iskaza koji ih ine.

Da bi se ova formalizacija uspeno izvela, uvodi se pojam iskazne algebre.

2.1.1. Iskazna algebra

Def. Dat je skup

i operacije

definisane sledeim tablicama

elmenat iz

10

01

elemenat iz

(1, 1)1111

(1, 0)0100

(0, 1)0110

(0, 0)0011

Skup

snabdeven operacijama

je iskazna algebra.

Operacije iskazne algebre mogu, u optem sluaju, biti bilo koje operacije sa prethodnim tablicama. One ovde nose oznake logikih operacija, jer logike operacije imaju iste tablice nad skupom {istinito, neistinito}.

Uobiajene oznake za operacije:

,

2.1.2. Iskazna formula i njena vrednost

Simboli iskazne algebre: promenljive iskazne algebre:

simboli operacija:

pomoni simboli: (, ).Def. Iskazna formula je niz sastavljen od iskaznih slova, simbola operacija i zagrada koji je formiran prema sledeim konvencijama formalnog zapisivanja:

1. Iskazna slova su formule2. Ako su A i B iskazne formule, tada su i

iskazne formule.3. Iskazne formule se jedino obrazuju konanom primenom 1. i 2.

Primeri:

- pravilno

- nepravilno

spoljanje zagrade mogu se izostaviti

unutranje zagrade mogu se izostaviti u skladu sa sledeim prioritetima operacija: 1)

, 2)

, 3)

, 4)

. Npr.

.

Iskazna formula za iskaznu algebru predstavlja ono to predstavlja algebarski izraz za algebru brojeva.

Vrednost iskazne formule A,

, dobija se kada u A svaku promenljivu zamenimo sa nekom vrednou iz

i izvrimo sve naznaene operacije. Kao rezultat se dobije 1 ili 0 koje predstavlja vrednost formule A za odgovarajue vrednosti promenljivih.

Primer:

za

Ovakva formalizacija omoguava jednoznano izraunavanje istinitosnih vrednosti sloenih iskaza:

Ako sada u iskaznoj algebri promenljive p, q, r smatramo iskazima, operacije

oznaavaju odgovarajue logike operacije, a 0 znai lano i 1 znai istinito, tada iskazne formule predstavljaju pravilno zapisane sloene iskaze.

Istinitosna vrednost ovakvog sloenog iskaza se dobija kao vrednost njemu odgovarajue iskazne formule na sledei nain: Svaki se iskaz u formuli zameni svojom istinitosnom vrednou pa se izrauna vrednost formule kao u iskaznoj algebri. Vrednost formule predstavlja istinitosnu vrednost iskaza. Tako se izraunavanje istinitosnih vrednosti sloenih iskaza svodi na izraunavanje u iskaznoj algebri.

Primer:

Data su dva trougla (ABC i (A1B1C1. Ako je

i AB = A1B1, tada su trouglovi (ABC i (A1B1C1 podudarni ako i samo ako je

.

Formalizacija:

p:

, q: AB = A1B1, r: (ABC ( (A1B1C1, s:

Odgovarajua formula iskazne algebre:

za

,

za

,

Def. Tautologija je iskazna formula koja za sve mogue vrednosti svojih promenljivih ima vrednost 1. (Tautologija predstavlja zakone pravilnog formalnog zakljuivanja.)

Neke poznate tautologija

1.

(refleksivnost)

2.

(iskljuenje treeg)

3.

(neprotivurenost)

4.

(dvojna negacija)

5.

(tranzitivnost za

)

6.

(kontrapozicija)

7.

(tranzitivnost za

)

8.

,

(idempotencija za

)

9.

,

(komutativnost za

)

10.

(asiocijativnost za

)

11.

(apsorpcija

prema

, tj.

prema

)

12.

(distributivnost)

13.

14.

(De Morganovi obrasci)

15.

Def. Dve iskazne formule A i B su semantiki ekvivalentne ako je A ( B tautologija tj. ako A i B imaju uvek iste vrednosti za iste vrednosti promenljivih. Pie se A = B.

Sada se u svim tautologijama iz 1. - 15. koje sadre (, znak ( moe zameniti sa =.

2.1.3. Prekidake mree

Samo one iskazne formule koje sadre

i

, gde se

javlja neposredno ispred iskaznog slova, mogu se interpretirati kao tzv. prekidake mree:

Iskazna slova i njihove negacije se interpretiraju kao dvopolni prekidai koji mogu biti otvoreni (kada ne provode struju) i zatvoreni kada provode struju. Ako iskazno slovo ima vrednost 1, prekida je zatvoren, a ako je 0, on je otvoren.

Ako su A i B formule koje su ve prikazane kao prekidake mree, tada je

- Za A

B, mrea

- redna veza

- Za A

B, mrea

- paralelna veza

Prekidaka mrea sadri redno ili paralelno vezane prekidae, pri emu su svi prekidai oznaeni istim slovom istovremeno ukljueni ili iskljueni. Prekida sa oznakom p je ukljuen akko je prekida sa

p iskljuen i obrnuto.

Prekidaka mrea provodi struju akko odgovarajua formula ima za odgovarajue vrednosti slova (tj. stanje prekidaa) vrednost 1.

Tautologijama odgovara prekidaka mrea koja provodi uvek struju bez obzira na stanje svojih prekidaa.

Ako je A = B, tada su odgovarajue prekidake mree ekvivalentne tj. za iste poloaje svojih jednako oznaenih prekidaa obe provode ili ne provode struju.

Primeri.

a)

b)

- tautologija

2.1.4. Bool-ove funkcije

Def. Svako preslikavanje

,

, je Bool-ova funkcija.

Svaka iskazna formula je jedna Bool-ova funkcija iji je broj promenljivih jednak broju razliitih iskaznih slova koje formula sadri, tj. svakoj iskaznoj formuli F odgovara Bool-ova funkcija f tako da je

za sve vrednosti iskaznih slova

iz formule F.

Bool-ove funkcije jedne promenljive

p(1(2(3(4

11100

01010

Bool-ove funkcije dve promenljive (ima ih

)

pq(1(2(5(10(16

1111100

1011010

0111110

0010100

Za svaku Bool-ovu funkciju f postoji iskazna formula F tako da je

. O tome govori sledei stav:

Teorema. Neka je

proizvoljna Bool-ova funkcija i

i

, i

,

.

Tada je

1. Za

- savrena disjunktivna normalna forma

2. Za

- savrena konjuktivna normalna forma.

Primer:

pq(5

111

100

011

001

Na taj nain se svaka Bool-ova funkcija moe predstaviti pomou formule sa

,

, pa i pomou prekidake mree.

2.1.5. Izvoenje zakljuaka

Def. Formula F je semantika posledica skupa formula F ako vai: Za sve vrednosti iskaznih slova za koje je

za svako

, vai da je i

.

Elementi skupa F su hipoteze formule F, u oznaci F (= F.

Za konaan skup F = (F1, F2, ..., Fn(, F1, F2, ..., Fn (= F.

Teorema. F1, F2, ..., Fn (= F ako i samo ako je

tautologija.

Neka pravila zakljuivanja:

1.

(=

- modus ponens (direktni dokaz)

Primer:

p: 1988 je deljivo sa 4

: Ako je N deljivo sa 4, tada je godina N prestupna

(=

: 1988 je prestupna godina.

2.

(=

- hipotetiki silogizam

Primer:

: Ako je

, tada je

: Ako je

, tada je

(=

: Ako je

, tada je

3.

(=

- modus tolens (indirektni dokaz) - svoenje na apsurd

Primer:

p: U sobi ima 13 ljudi

: Ako sve osobe imaju roendan razliitih meseci, tada u sobi ima ne vie od 12 osoba

(=

: Dve ili vie osobe imaju roendan istog meseca

4.

(=

- ekvivalencija

Primer:

Trougao je jednakostranian akko su mu svi uglovi jednaki

2.5. Predikatski raun (kvantifikatorski raun)

formalizuje pravilni nain zapisivanja predikata nekog matematikog ili drugog jezika, odreivanje istinitosne vrednosti predikata. Pri tome se ulazi u sadraj reenica koje ulaze u sastav predikata.

2.5.1. Predikatske formule

Osnovni simboli kvantitativnog rauna:

1. promenljive:

2. konstante:

3. operacijski simboli:

4. relacijski simboli:

i

5. simboli logikih operacija i kvantifikatori:

.

6. pomoni simboli: male zagrade i zarezi.

: univerzalni kvantifikator, bilo koji, svaki, ma koji

: egzistencijalni kvantifikator, postoji bar jedan, postoji neki.

Formalizacija pravilnog zapisivanja predikata

Def. Izraz je niz promenljivih, konstanti, operacijskih simbola, zagrada i zareza koji se formira prema sledeim konvencijama:

1. Konstante i promenljive su izrazi (termi)

2. Ako su

izrazi, a f operacijski simbol duine n, tada je

izraz

3. Izrazi se dobijaju samo pomou konano mnogo primena 1. i 2.

Primeri:

Ako je f operacijski simbol duine 1, tada se, umesto

, moe pisati f x, a ako je f operacijski simbol duine 2, tada se, umesto

, moe pisati x f y.

Def. Ako su

izrazi i ( relacijski simbol duine n, tada je

elementarna formula.

Ako je ( relacijski simbol duine 2, tada se, umesto

, moe pisati x ( y.

Primeri:

Def. Predikatska formula se definie prema sledeim konvencijama:

1. Elementarna formula je predikatska formula2. Ako su A i B predikatske formule i x promenljiva, tada su

,

predikatske formule3. Predikatske formule se dobijaju samo pomou konano mnogo primena 1. i 2.

U predikatskoj formuli mogu se izostaviti spoljanje zagrade, a i neke unutranje prema prioritetu logikih operacija.

Primeri:

(a)

(b)

(c)

2.5.2. Pojavljivanje promenljivih u predikatskoj formuli

Def. Pojavljivanje promenljive x u formuli F je vezano, ako je oblika

ili

ili ako se x pojavljuje u nekoj formuli A, pri emu je

A ili

A podformula formule F.

Ako pojavljivanje x nije vezano ono je slobodno.Def. Slobodna promenljiva formule F je promenljiva koja ima bar jedno slobodno pojavljivanje u toj formuli.

Vezana promenljiva formule F je promenljiva ija su sva pojavljivanja u toj formuli vezana.Primeri:

Sve promenljive u formuli (a) su vezane.

x, y, iz formule (b) su slobodne promenljive.

x, y su slobodne, a z vezana u formuli (c).

Ako su sve promenljive u jednoj formuli vezane, tada se ova formula zove zatvorena formula. Takve formule predstavljaju reenice kojima se moe direktno odrediti istinitosna vrednost, pa one, u stvari, predstavljaju iskaze.

Ako su

slobodne promenljive formule F, tada se pie

.

2.5.3. Interpretacija predikatske formule

Def. Ureen par

je interpretacija formule F, ako je

D neprazan skup koji predstavlja oblast definisanosti svih promenljivih i konstanti iz formule F,

a ( preslikavanje koje:

svakoj konstanti iz formule F dodeljuje odreen element iz D,

svakom operacijskom simbolu duine n dodeljuje konkretnu n-arnu operaciju nad D,

svakom relacijskom simbolu duine n dodeljuje konkretnu n-arnu relaciju u D.

D se naziva domen interpretacije formule F.

Primeri:

1. D = R, (:

2. D = PA, (:

3.

, (:

Predikat predstavlja predikatsku formulu koja je interpretirana.

Def. Broj slobodnih promenljivih u jednom predikatu predstavlja duinu tog predikata.Predikat duine 0 predstavlja iskaz.

2.5.4. Istinitosna vrednost predikatske formule

Istinitosna vrednost predikatske formule moe se odrediti samo ako je ta formula interpretirana tj. istinitosna vrednost formule zavisi od njene interpretacije i vrednosti njenih slobodnih promenljivih.

Formalizovani postupak utvrivanja istinitosne vrednosti:

1. Ako interpretirana formula ima duinu 0, njena istinitosna vrednost se odreuje direktno ulaenjem u sadraj reenice.

2. Ako je duina interpretirane formule vea od 0, treba fiksirati vrednosti svih slobodnih promenljivih formule.

3. Za fiksirane vrednosti slobodnih promenljivih izraunati vrednosti svih izraza koji ulaze u formulu (tj. izvriti naznaene operacije nad konstantama iz D i dobiti kao rezultat konstantu iz D).

4. Odrediti za tako dobijene vrednosti izraza, vrednosti elementarnih formula iz formule kao:

.

5. Nad vrednostima elementarnih formula (1 ili 0) izvriti logike operacije

( u domenu iskazne algebre).

6. U sluaju da se u podformulama javljaju kvantifikatori, tada

,

ako A ne sadri x kao slobodnu promenljivu

,

ako A ne sadri x kao slobodnu promenljivu

Primeri:

Interpretacija:

,

,

Za x = 1, y = 3, z = 2:1 + 3 ( 2 ( 3 ( 3 ( 3 = 2

Za x = 1, y = 2, z = 4:1 + 2 ( 4 ( 2 ( 1 + 4 ( 2 = 4

Def. Formula je tana pri interpretaciji

ako za sve vrednosti slobodnih promenljivih ima vrednost 1 pri toj interpretaciji.

Def. Formula koja je tana pri svakoj interpretaciji je valjana formula.1. Ako se u nekoj tautologiji svaka promenljiva zameni sa nekom predikatskom formulom (istoj promenljivoj odgovara ista formula), dobija se predikatska formula koja je valjana.

Primeri:

,

,

, itd.

valjane formule

Def.. Formule A i B su semantiki ekvivalentne, ako je

valjana formula

3. Algebarske strukture

Def. Binarna operacija f u skupu S je zatvorena, ako

Osobine zatvorene binarne operacije * u skupu S:

1.

(komutativnost)(K)2.

(asocijativnost)(A)3.

(neutralni ili jedinini element) (N)

(e( - levi neutralni element) (LN)

(e(( - desni neutralni element) (DN)4.

(inverzni element)(I)Def. Neprazan skup S snabdeven sa jednom ili vie zatvorenih operacija f1, f2, ..., fn bilo koje duine naziva se algebarska struktura (ili algebra), u oznaci (S, f1, f2, ..., fn).

3.1. Grupa

Def. Specijalno, za n=1, skup S snabdeven jednom binarnom zatvorenom operacijom je grupoid, u oznaci (S, *).

Primeri: (R,+), (R,), (Q,+), (Z, )

Def. Ako grupoid (S,*) zadovoljava i uslove da je

* asocijativna, tada je (S, *) polugrupa,

* je (A) i (N), tada je (S, *) monoid,

* je (A), (N), (I), tada je (S, *) grupa,

* je (A), (K), (N), (I), tada je (S, *) Abelova grupa.

Primeri:

(N, +), (N, ()

- komutativni monoidi

(PA, (), (PA, ()

- komutativni monoidi

(Z, +), (Q, +), (R, +)- Abelova grupa

(R\(0(,(), (Z\(0(,()- Abelova grupa

((1, -1(, ()

- Abelova grupa

Teorema. Ako je (S,*) grupa, njen neutralni element je jedinstven.

Dokaz: Ako postoje dva neutralna elementa e1, e2 (

Teorema. Ako je (S,*) grupa, svaki njen element ima jedinstveni inverzni element.

Dokaz: Ako postoje dva inverzna elementa , elemente a tada je

Def. Ako je (S1,*) i (S2,() dva grupoida, tada su ovi grupoidi izomorfni, ako postoji bijekcija f S1 na S2 tako da vai:

Primer:

(R+, () je izomorfno sa (R, +), jer postoji bijekcija lnx: R+(R, tako da je ln(x(z)=lnx +lny.

Izomorfni grupoidi su iste strukture. Ako je jedan od njih grupa, i onaj drugi mora biti grupa.

3.1. Prsten. Telo. Polje. Bool-ova algebra

Posmatra se algebarska struktura (S, *, (), gde su * i ( binarne zatvorene operacije na S.

Operacije ( je distributivna u odnosu na *, ako vai

-(DD) desna distributivnost

-(LD) leva distributivnost

Def. (S,*, () je prsten, ako je

(S,*) Abelova grupa,

(S, () polugrupa,

( je distributivna prema *.

Ako je ( komutativna operacija, to je komutativan presten.

Primeri: (Z, +, ()

Def. (S,*, () je telo, ako je

(S,*) Abelova grupa,

(S

) grupa (0 je neutralni element operacije *)

( je distributivna prema *.

Def. Telo (S,*, () je polje, ako je (S

) Abelova grupa.

Primeri: (R, +, ()

Def. (S,*, () je Bool-ova algebra, ako je

*,( su (A) i (K).

* i ( su obostrano distributivne.

postoji neutralni lement e1 operacije * i neutralni elemnt e2 operacije (.

Primeri: (P, (, () i ((0,1(, (, ()

4. Relacijske strukture

4.1 Parcijalno ureeni skup

Osobine binarne relacije ( u skupu S:

1.

- refleksivnost

2.

- simetrinost3.

- antisimetrinost4.

EMBED Equation.3

- tranzitivnost( je relacija ekvivalnecije, ako zadovoljava 1,2, 4.

( je relacija poretka, ako zadovoljava 1,3, 4. Def. Neprazan skup S snabdeven nekom relacijom poretka ( naziva se parcijalno ureen skup, u oznaci (S, ().

Primeri: (R, () , (P, (), (N, /)

Def. Parcijalno ureen skup (S, () je lanac ako su mu svaka dva elementa urediva tj. vai.

Primeri: (R, () - lanac

(N, /), (P, () nisu lanciDef.Najmanji element a skupa (S, ():((y(S) a(y.

Najvei element a skupa (S, ():((y(S) y(a.

Minimalni element a skupa (S, ():(((y(S) (y(a ( y(a)

Maksimalni element a skupa (S, ():(((y(S) (y(a ( a(y).

Svaki najmanji (najvei) element je i minimalni (maksimalni). Kod lanca je svaki minimalni (maksimalni) element najmanji (najvei) element.

Primeri: (PA, (), A=(1, 2, 3(, ( je najmanji, a A najvei elemnt.

(PA \ ((, A( , () - (1(, (2(, (3( - minimalni elementi

(1,2(, (1,3(, (2,3( - maksimalni elementi

Teorema. Ako postoje najvei ili najmanji element, oni su jedinstveni

Dokaz: Ako postoje dva najvea elementa a1, a2 , tada

EMBED Equation.3

4.2 Supremum. Infimum. Reetka

Def. Neka je (S, () parcijalno ureen skup i S1(S. Tada je a(S gornja (donja) mea skupa S1, ako je

Supremum skupa S1 je najmanji element u skupu gornjih mea skupa S1.

Infimum skupa S1 je najvei element u skupu donjih mea skupa S1.

Primeri:

- (R, ( ), S1=(-1, 1(:donje mee a(-1, inf S1= -1

gornje mee a(1, sup S1= 1

- (N, ( ), gde je a(b(((k(N) b=ka,S1=(12, 30(

gornje mee:60k, k=1,2,.., sup(12, 30(=60

donje mee:2,3,6

inf(12, 30(=6

Def. Parcijalno ureen skup (S, () je mrea ili reetka ako svaka dva njegova elementa imaju supremum i infimum.

Teorema. Svaki lanac je reetka.

Primeri:

a) (N, ( ), sup (a, b) = najmanji zajedniki sadralac (a,b)

inf (a, b) = najvei zajedniki delilac (a,b)

b) (S, ()S1 = (0, 2, 6(, ( = ((0, 0), (2, 0), (6, 0), (2, 2), (2, 6), (6, 6)(S1 = (0, 6(

S1 = (0, 2(

S1 = (2, 6(

5. Osnovi teorije grafova

5.1 Definicija grafa

Def. Ako je X neprazan konaan skup i ( binarne relacije u X, tada se ureeni par G=(x,() naziva graf.

Elementi skupa X su vorovi , a elementi skupa ( grane (ivice) grafa.

Geometrijska predstava grafa:

vorovi grafa iz X se prikazuju kao meusobno razliite take ravni ili prostora. Ako (x,y)((, tada odgovarajue take spajamo neprekidnom linijom koja se orijentie od x ka y. Ako (x,y)( (, odgovarajue take nisu povezane linijom.

Primer:

Ivica koja spaja vor sa samim sobom zove se petlja.

Svakoj relaciji se moe pridruiti graf kao geometrijska predstava i svakom grafu kao figuri se mogu pridruiti neka binarna relacija u skupu vorova.

Osobine binarnih relacija na grafu:

1. Refleksivnost: svaki vor grafa ima petlju .

2. Simetrinost: izmeu svaka dva razliita vora gde postoji ivica,

postoji i ivica u suprotnom smeru.

3. Antisimetrinost: svaka dva razliita vora imaju najvie jednu ivicu koja ih spaja.

4. Tranzitivnost: za svaki par nadovezanih ivica (x,y) i (y,z),

postoji ivica (x,z) koja ih zatvara.

Primer:

-Relacija poretka

Def. Ako je kod grafa (X, () relacija ( antisimetrina , graf je orijentisan.

Ako je kod grafa (X, () relacija ( simetrina , graf je neorijentisan.

Kod neorijentisanog grafa se svi parovi grana koje spajaju vorove zamenjuju jedinstvenim neorijentisanim granama.

Primer:

zamenjuje se

Postoje i grafovi koji nisu ni orijentisani ni neorijentisani.

Primer:

Postoje i drugaije definicije neorijentisanog grafa:

Def. Ureeni par (X, U), gde je X neprazan skup, a U (

i antisimetrino je, naziva se orijentisani graf.

Ureeni par (X, U), gde je X neprazan skup, a U (

tj. U je podskup skupa neureenih parova iz X, je neorijentisani graf.

Primeri:

(X,U),

- neorijentisan graf.

5.2. Matrina interpretacija grafa

Def. Neka su svi vorovi nekog grafa (X,() ureeni po nekom proizvoljnom poretku u niz

x1, x2,...,xn.

Matrica

, kod koje je

je matrica susedstva grafa (X, ().

Matrica susedstva neorijentisanog grafa je simetrina tj. aij =aji za svako i,j ((1,2,..,n(.

Za matricu susedstva orijentisanog grafa vai da je

aij=1 ( aji=0.

Za aii=1, postoji petlja u voru xi

.Def. Neka su svi vorovi i ivice neorijentisanog grafa (X,() ureeni u nizove x1, x2,..., xn tj. i1,i2,..., im.

Matrica

, kod koje je

Primer:

5.3 Putevi u grafu

Def. Zadat je graf G=(X,(). Niz ivica iz ( (x1, x2), (x2, x3), ..., (xn-1, xn) je put duine n grafa G od x1 do xn. (x1 je poetni, a xn zavrni vor).

Ivice i vorovi u putu se mogu ponavljati.

Def. Ako se svi vorovi nekog puta razliiti, tada je to elementarni put (prolazi kroz svaki vor puta samo jedan put).

Def. Ako je x1 =xn , tada se put naziva zatvoteni put.

Umesto (x1, x2), (x2, x3), ..., (xn-1, xn) pie se x1, x2, ..., xn.

Primer:

- d - c - e - f - c b - nije elementarni put

- d c e f c b d- nije elementarni, ali je zatvoren

- b d c e f- otvoren i elementaran

- b d c b, e e, c e f c zatvoren i elmentaran

Def. Neka je G=(X,U) neorijentisani graf. Niz ivica iz U (x1, x2(, (x2, x3(, ..., (xn-1, xn( je lanac u G od x1 do xn. (x1 je poetni, a xn zavrni vor).

Ivice i vorovi u putu se mogu ponavljati.

Def. Ako se svi vorovi lanca razliiti, to je elementarni lanac.

Def. Ako je x1=xn , lanac se naziva ciklus.

Primer:

a, b, c, d, b, - lanac, ali ne elementarni

f, e, b, d - elementarni lanac

b, f, e, b, d, c, b - ciklus ali ne elementarni

b, c, d, b - elementarni ciklus

Def. Ako je (X,() neorijentisani graf bez petlji, lanac koji prolazi tano jedan put kroz sve ivice grafa je Eulerov lanac. (isto vai i za orijentisani graf i Eulerov put)Def. Ako je (X, () neorijentisani graf, lanac (ciklus) koji kroz sve vorove prolazi tano jedan put je Hamiltonov lanac (ciklus).

(Isto vai i za orijentisani graf, Eulerov put i Hamiltonov put).

Primeri:

Eulerov put: a-b-c-d-b-f-e-b

Hamiltonov put: ne postoji

Nema ni Eulerov ni Hamiltonov put

a,b,c,d,f,e,a Hamiltonov put

d,c,b,a,c,e,d,f,e,a,f Eulerov put

5.4 Neki specijalni grafovi

Potpun grafKn

Svaka dva vora spojena su ivicom

Graf-ciklusCn

Ivice obrazuju ciklus

Graf-putPn

Ivice obrazuju put

Nula-grafNn

Graf sadri samo vorove

Potpuni biparitni grafKn,mSkup vorova se moe podeliti na dva skupa, tako da vorovi u istom skupu nisu spojeni, a svaka dva vora iz razliitih skupova su spojeni

K3,2

K1,n

zvezda

Mrea

Orijentisani graf koji ne sari ni jedan yatvoreni put niti petlju

5.5 Stablo (drvo)

Def. Stablo je neorijentisani graf bez petlji kod koga izmeu bilo koja dva vora postoji jedinstveni elementarni lanac.

Primeri:

Def. Stablo sa korenom (ukorenjeno ili orijentisano stablo) je stablo kod koga postoji specijalno uoeni vor koji predstavlja koren.

Primer:

Nivoi

Visina stabla: 3

Def. Nivo vora x nekog stabla je duina elementarnog lanca od korena do tog vora (koren ima nivo 0).

Visina (duina) stabla je najvei nivo vora u stablu.

Terminologija u ukorenjenom stablu

Ako je dat elementarni lanac od korena do nekog vora, npr. a, b, f, h do h tada je

f roditelj (otac) od h, h je dete (sin) od f,

a, b, f su preci od h, h je potomak od a, b, f,

g i h braa, ako neki vor nema dece, zove se list. Ako neki vor nije list, on je vor grane.

Def. vor x nekog stabla zajedno sa svim svojim potomcima predstavlja podstablo ovog stabla sa korenom x.

Def. Binarno stablo je ukorenjeno stablo gde svaki vor ima najvie dva deteta vor x nekog (levo ili desno).

Primeri:

Primeri: Stablo pretraivanja u bazama podataka, gde se svakom voru stabla pridruuje neki podatak, tako da je podatak u levom podstablu uvek manji od podataka u desnom podstablu.

6. Teorija konanih automata

formulie apstraktne modele rada sistema koji se moe opisati na sledei nain:

Sistem se posmatra u diskretnim vremenskim trenucima t (t=0,1,2,) i u svakom od njih ga karakterie neko stanje st u kome se nalazi. U svakom trenutku t na ulaz u sistem dolazi neki ulazni signal ut koji izaziva (eventualno) menjanje njegovog stanja u stanje st i na izlazu izlazni signal it. Poto stanje st i izlaz it zavise, ne samo od ulaza ut ve i od prethodnog stanja sistema st-1 na koga ovaj ulaz nailazi, ovakav jedan sistem radi sa nekom vrstom primitivne unutranje memorije.

6.1 Konana maina

Sada se abstraktni model koji opisuje rad ovakvog sistema moe definisati na sledei nain:

Def. Konana maina se sastoji od:

konanog skupa U ulaznih simbola,

konanog skupa I izlaznih simbola,

konanog skupa S stanja,

funkcije prelaza stanja f:S(U(S,

gde f(s,u)=s( znai da,ako ulaz u doe u sistem koji je u stanju s,tada se stanje menja u s(, funkcije izlaza g: S(U(I,

gde g(s,u)=i znai da,ako ulaz u doe u sistem koji je u stanju s,tada je izlaz i, poetnog stanja sistema (*(S.

Ovakva konana maina se oznaava sa M=(U,I,S,f,g, (*).

Primer:U=(a,b(, I=(0,1(, S=((0,(1(, (* =(0

ufgilif((0,a)= (0g((0,a)= 0

sababf((0,b)= (1g((0,b)= 1

(0(0(101f((1,a)= (1g((1,a)= 1

(1(1(110f((1,b)= (1g((1,b)= 0

Jedna konana maina se moe u potpunosti definasati korienjem takozvanog dijagrama prelaza.

Def. U dijagramu prelaza za konanu mainu M=(U,I,S,f,g,(*) svako stanje( iz S se predstavlja kao neki vor ovog dijagrama.

Od vora (1 do vora (2 postoji orijentisana ivica ako postoji ulaz u, u(U, takav da vai f((1,u)=(2. Ako je, pri tome, g((1,u)=i, ovoj ivici se dodeljuje oznaka u/i. vor koji predstavlja poetno stanje (* oznaen je strelicom.

Primer:Dijagram prelaza za konanu mreu iz prethodnog primera ima oblik:

Sada se rad konane maine M moe opisati na sledei nain:

Na ulazu u mainu se nalazi jedan niz ulaznih simbola (ulazni niz). Polazei od poetnog stanja, svaki od ovih simbola prevodi sistem iz stanja u stanje (u skladu sa funkcijom prelaza) pri emu se generie odgovarajui izlazni simbol (u skladu sa funkcijom izlaza). Ovaj niz izlaznih simbola (izlazni niz) se zato moe formalno definisati na sledei nain:

Def. Niz y1, y2, , yn, je izlazni niz maine M koji odgovara ulaznom nizu x1, x2, , xn ako postoji niz stanja (0, (1,, (n,( S tako da je

(0 =(*

(i = f((i-1, xi),

i=

yi = g((i-1, xi),

i=

Primer:Ako je na ulazu konane maine iz primera ni x=aababba, odgovarajui niz stanja kroz koje maina prolazi je (0, (0, (0, (1, (1, (1, (1, (1.

Odgovarajui izlazni niz je y=0011001.

Mnoge operacije koje se vie u digitalnom raunaru mogu se prikazati kao konane maine.

Primer:

Serijski sabira sabira dva binarna broja x=0 xn xn-1 x0 i y=0 yn yn-1 y0. Na ulazu se u diskretnim vremenskim trenucima t=0,1,,n+1 nalaze parovi (x0, y0), ,(xn, zn), (0, 0). Stanje sabiraa u trenutku t se karakterie prenosnim bitom ct, tj. prenosom na sledee cifarsko mesto pri sabiranju u trenutku t. Sabiranjem binarnih cifara xt, yt i prethodnog stanja ct-1, dobija se kao izlaz binarna cifra zt i menja se stanje sabiraa u ct. Rezultat sabiranja je izlazni niz zn+1 zn, ,z0.

Sabira se moe prikazati kao konana maina na sledei nain:

Skupovi ulaznih i izlaznih simbola su U=(00,01,10,11( i I=(0,1(. Skup stanja je S=((0,(1(, gde (0 oznaava da nema prenosa na sledee cifarsko mesto, dok (1 oznaava da takav prenos postoji.

Sada se dijagram prelaza ove maine moe prikazati kao:

Ako treba sabrati dva linerna broja x=0010 i y=0111, tada ovom sabiranju odgovara ulazni niz (0,1), (1,1), (1,0), (0,0), a njemu odgovarajui izlazni niz prethodno definisane konane maine je z =1001, to je i rezultat sabiranja.

Korienjem konane maine se mogu formalno prikazati mnogi postupci koji imaju za cilj da na odreeni nain prepoznaju unapred zadate osobine ulaznog niza.

Primer: Konana maina definisana dijagramom prelaza:

daje na izlazu 1 im registruje 101 u ulaznom nizu i nadalje. U ostalim sluajevima daje 0.

Meutim, za neke osobine ulaznih nizova, ne mogu se formirati konane maine koje bi ih prepoznale.

Primer:

Ne postoji konana maina koja na ulazu ima niz 0 i 1 i daje izlaz 1 uvek kada je broj 1 i 0 jednaki, u ostalim sluajevima daje 0.

Stvarno, stanja ovakve maine trebalo bi da budu

(0 isti broj 1 i 0

(1 broj 1 vei za 1 od broja 0(1( broj 0 vei za 1 od broja 1

(2 broj 1 vei za 2 od broja 0(2( broj 0 vei za 2 od broja 1

((((((

Meutim, trebalo bi da bude beskonano mnogo stanja, pa konana maina ne moe da se formira na takvom skupu stanja.

6.2Konani automat

Specijalni sluaj konane maine su konani automati. Oni su od posebnog ineresa, jer su vezani za formalne jezike i gramatike.

Def.1 Konani automat A=( U,I,S,f,g,(*) je takva konana masina kod koje je I=(0, 1( i gde je izlaz odreen sledeim stanjem maine.

Drugim reima, kod konanih automata vai da, bilo kako doli u neko stanje, daju uvek isti izlaz tj. u njihovom dijagramu prelaza sve ivice koje ulaze u isto stanje imaju isti izlaz.

Primer:

U ovoj konanoj maini za svako stanje vai da sve ivice koje ulaze u njega imaju isti izlaz. Zato ona predsatvlja konani automat.

Stanja za koja vai da uvek kada je automat u njima daju izlaz 1 zovu se prihvatajua stanja.

Sada se konani automat moe definisati na drugaiji nain:

Def.2 Konani automat A se sastoji od: konanog skupa U ulaznih simbola,

konanog skupa S stanja,

funkcije prelaza stanja f: U( S ( S,

podskupa A(S prihvatajuih stanja,

polaznog stanja (*(S.U oznaci A= (U,S,f,A,(*).

U dijagramu prelaza konanog automata se prihvatajua stanja obeleavaju sa , a oznake izlaza se ne navode.

Primer: Konani automat iz prethodnog primera se moe prikazati kao:

Svakom ulaznom nizu konanog automata A odgovara jedan orijentisani put koji polazi od poetnog stanja (o. Ako se taj put zavrava u nekom prihvatajuem stanju, tada A prihvata (prepoznaje) taj ulazni niz.

Pojam prihvaenog ulaznog niza moe da se definie na sledei nain:

Def. Automat A=(U,S,f,A,(*) prihvata (prepoznaje) ulazni niz x1, x2 , , xn, ako postoji niz stanja (o,(1,, (n,takvih da je

(o=(*

f((i-1 xi)= (i, i =

(n( A.

Skup svih ulaznih nizova koje automat A prepoznaje oznaava se sa Ac(A).

Primer:

Konani automat iz prethodnog primera prihvata ulazni niz aabbba, jer se odgovarajui niz stanja zavrava sa (1. Ovaj automat ne prihvata baabbabb, jer se odgovarajui niz stanja zavrava u (o .Konani automat je u sutini jedan algoritam koji odluuje da li je ili ne zadati niz prihvatljiv. esto treba nai takav konani automat koji prepoznaje (prihvata) sve nizove sa tano odreenim osobinama i samo njih.

Primer:

Automat koji prepoznaje sve nizove nad skupom (a, b( koji sadre neparan broj a moe se definisati sledeim dijagramom prelaza.

gde (o oznaava stanje u kome je broj a paran, a (1 stanje u kome je broj a neparan.

Def. Dva konana automata A i A( su ekvivalentna ako prepoznaju isti skup nizova tj. Ac(A) =Ac(A()

Primer:

Dva automata

i

su ekvivalentna, jer oba prepoznaju nizove koji se sastoje samo od b.

7. Formalni jezici. Gramatike

7.1 Formalni jezici

U optem sluaju jezik je skup rei i metoda za njihovo kombinovanje koji se koristi i "razume" od strane odreene zajednice. Pravila formiranja rei u ovakvim prirodnim jezicima su veoma kompleksna i teka za karakterizaciju.

Formalni jezici i gramatike modeliraju i formalno opisuju prirodne jezike i pravila formiranja njihovih rei, a u cilju lake komunikacije sa raunarom.

Def. Neka je A neki konaan skup. Formalni jezici L nad azbukom A je poskup od A*, gde je A* skup svih nizova (rei) nad A..

Primer:

Za A=(a,b(, jezik L moe da sadri skup svih nizova nad A koji imaju neparan broj a tj. L= (a, ab, ba, abb, bab, bba,...(7.2 Gramatike

Def. Gramatika G se sastoji od:

konanog skupa N nezvrnih slova,

konanog skupa T zavrnih slova, gde N(T=( konanog podskupa P(((N(T)*-T*(((N(T)* koji se naziva skup pravila izvoenja polaznog slova (*(N.

U oznaci G=(N,T,P, (*)

Ako (A,B)(P, tada se to esto oznaava sa A(B. A((N(T)*-T* i B((N(T)* tj. A i B su nizovi koji se sastoje od nezavrnih i zavrnih slova tako da A mora da sadri bar jedno nezavrno slovo, dok B moe da se sastoji samo od zavrnih.

Polazai od zadate gramatike G moe se generisati neki jezik tj. koristei pravila ove gramatike mogu se izvesti nizovi (rei) ovog jezika.

Def. Zadata je gramatika G =(N,T,P,(*).

Ako je ((( neko njeno pravilo, tj. ((,()(P, i x(y((N(T)*, tada je x(y direktno izvodivo iz x(y, u oznaci x(y( x(y.

Ako (i((N(T)* za i=

i (i((i+1 za i=

, tada je(n izvodivo iz (1, u oznaci (1

(n.

Jezik L(G) generisan gramatikom G, L(G) je skup svih nizova nad T izveden iz (*.

Primer 1:Gramatika G=(N, T, P, (*) je zadata sa N=((*, S(, T=(a, b( i P=((*(b(*, (*(aS, S(bS, S(b(.

Na osnovu pravila S(bS niz abSbb je direktno izvodiv iz aSbb tj. aSbb( abSbb.

Takoe, (*

bbab pomou niza izvoenja (*( b(*( bb(*( bbaS( bbab.

Odredimo opti oblik rei nad T izvedene iz poetnog slova (* ove gramatike:

(*( b(*( ... (bn(*( bnaS( bnabS( ... ( bnabmS( bnabm+1, za m(0 i n(0,

gde bk oznaava k uzastopnih pojavljivanja slova b u rei.

To znai da jezik L(G) generisan gramatikom G sadri sve rei ovoga oblika i samo njih tj. sadri sve one nizove nad (a,b( koji sadre samo jedno a a zavravaju se sa b.

Napomenimo da je u optem sluaju za zadatu bilo kakvu gramatiku G teko nai oblik opteg lana njenog jezika L(G).

Osnovu jedne gramatike ine njen skup pravila izvoenja. Pomou ovih pravila se, polazei od poetnog slova i koristei dva disjunktna skupa slova, izvode rei jezika ove gramatike i to nad skupom zavrnih slova kao njegovom azbukom. Nezavrna slova slue samo kao pomoni simboli pri ovom izvoenju.

Gramatike i njena pravila mogu se kondenzovanije prikayati pomou tzv. Backus-ove normalne forme (BNF).

Def. U Backus-ovoj normalnoj formi se prikazuju:

nezavrna slova izmeu uglastih zagrada (...(,

pravila S(T kao S::=T,

pravila S(T1, S(T2,..., S(Tn kao S::=T1(T2(...(Tn.

Primer:

Gramatika iz Primera 1. moe se prikayati u obliku BNF kao

((*(::=b((*((a(S(

(S(::=b(S((b

Mnogi poznati skupovi iz algebre brojeva mogu se prikazati kao jezici generisani odreenim gramatikama koje definiu pravila formiranja elemenata ovih skupova.

Primer 2:Ako se ceo broj shvati kao niz cifara od 0 do 9, ispred koga stoji (neobavezno) + ili -, tada se skup svih celih brojeva moe smatrati jezikom generisanim sledeom gramatikom:

(cifra(::=0(1(2(3(4(5(6(7(8(9

(ceo broj(::=(oznaen ceo broj(((neoznaen ceo broj(

(neoznaen ceo broj(::=(cifra(((cifra((neoznaen ceo broj(

Polazno slovo : (ceo broj(

Sada se ceo broj 980 moe izvesti iz poetnog slova sledeim nizom izvoenja:

(ceo broj(((oznaen ceo broj((-(neoznaen ceo broj((-(cifra((neoznaen ceo broj((-(cifra((cifra((neoznaen ceo broj((-(cifra((cifra((cifra((-9(cifra((cifra((-98(cifra((-980.

U zavisnosti od oblika pravila neke gramatike postoje tri tipa gramatike (prema klasifikaciji omskog):

Def. Neka je G=(N, T, P, (*) neka gramatika i ( prazan niz (re).

a) Ako je svako pravilo izvoenja gramatike G oblika (A(((((, gde je (,(((N(T)*,A(N, (((N(T)*\ (((to je kontekstno zavisna gramatika.

b) Ako je svako pravilo izvoenja gramatike G oblika A( ( za A(N, (((N(T)*\ (((, to je konteksno slobodna (nezavisna) gramatika,c) Ako je svako pravilo izvoenja gramatike G oblika A(( ili A((B, gde je A,B(N, ((T*\(((, to je regularna gramatika.Svaka regularna gramatika je i kontekstno slobodna, a svaka kontekstno slobodna je i kontekstno zavisna.

Primer: Gramatika iz Primera 1. je regularna, a iz Primera 2. je konteksno slobodna.

Def. Jezik L je kontekstno zavisan (slobodan, regularan) ako postoji kontekstno zavisna (slobodna, regularna) gramatika G tako da je L=L(G).

Primer 3:

U Primeru 1 prikazano je da postoji jedna kontekstno slobodna gramatika koja generie skup celih brojeva. Meutim, skup celih brojeva moe se generisati i sledeom gramatikom:

(ceo broj(::=+(neoznaen ceo broj((-(neoznaen ceo broj(( *(neoznaen ceo broj((neoznaen ceo broj(::=0(1(2(3(4(5(6(7(8(9(0(neozneen ceo broj((...(9(neozneen ceo broj(

Polazno slovo : (ceo broj(,

gde je * zavrno slovo koje oznaava blanko.

Ova gramatika je regularna, pa je zato skup celih brojeva jedan regularan jezik. Def. Gramatike G1 i G2 su ekvivalentne, ako je L(G1)=L(G2) .

Primer: Gramatike iz Primera 2 i 3 su ekvivalentne, jer generiu isti skup skup celih brojeva.

7.3 Veza izmeu automata i regularnih gramatika

Moe da se pokae da se za svaki konaan automat A moe konstruisati regularna gramatika G tako da se jezik L(G) poklapa se skup A c(A) svih nizova koje taj automat prepoznaje.

Tvrenje: Neka je A=(U,S,f,A,(*) konani automat i G=(N, T, P, (*) gramatika kod koje je N=S, T=U, (* poetno slovo, a skup svih pravila izvoenja P definie se na sledei nain:

ako f(s,x)=s( tada s(x s((P,

ako f(s,x)=s( i s((A tada s(x s(, s(x(P.

Tada je skup svih nizova koje prepoznaje automat A jednak jeziku L(G) generisanom gramatikom G.

Primer: Automatu A koji prepoznaje sve nizove nad (a,b( takve da sadre neparan broj a, zadatom dijagramom prelaza

odgovara sledea gramatika G=(N, T, P, (*):

N=((0, (1(, T=(a, b(, (*=(0 i P= ((0(a(1, (0(a, (0(b(0, (1(a(0, (1(b(1, (1(b (.

Obrnuto, ako je zadata neka regularna gramatika G, onda se konstrukcija automata A takvog da je Ac(A)=L(G), ne moe izvesti direktno.

Regularnoj gramatici G se moe, prvo, dodeliti tzv. nedeterministiki konani automat NA takav da je Ac(NA)=L(G).

Def. Nederministiki konani automat NA sastoji se od U,S,A,(* i funkcije prelaza oblika f: S ( U

tj. f(s,u)=s((PS, gde je PS partitativni skup skupa stanja S.

Znai da automat NA, delovanjem ulaza u na stanje s, prelazi u jedno od stanja iz podskupa stanja s( tj. stanje u koje e NA prei nije jednoznano odreeno. Podskup s( moe biti i prazan.

Primer: NA=(U, S, f, A, (*) je odreeno sa U=(a, b(, S=((*, C, F(, A=( F( i funkcijom f definisanom sa

Uf

Sab

C

C(

(C, F(

F((

ili dijagramom prelaza

Tvrenje: Neka je G=(N, T, P, (*) regularna gramatika i NA nedeterministiki konani automat kod koga je U=T, S=N((F(, gde je F(N(T, A((F( i

.

Tada je skup svih nizova koje prepoznaje NP jednak jeziku L(G).

Primer:

Zadata je G=(N, T, P, (*) sa T=(a, b(, N=((*, C(, (* kao poetnim slovom i pravilima P= ((*(b(*, (*(aC, C(bC, C(b(.

Nederministiki automat NA koji odgovara ovoj gramatici je dat u prethodnom primeru tj. njegov dijagram prelaza je:

Svaki nedeterministiki automat se moe transformisati u ekvivalentni deterministiki automat.

Tvrenje: Neka je NA=(U, S, f, A, (*) nedeterministiki konani automat i neka je S(=PS, U(=U, (*(=((*(, A(= (x(S(x( A ((( i f((X,x)=

Tada je konani automat A(=(U(, S(, f(, A(, (*() ekvivalentan automatu NA.

Primer: Automat A(=(U(, S(, f(, A(, (*(), ekvivalentan automatu NP iz prethodnog primera, moe se definisati na sledei nain:

U(=(a,b(, S(=((, ((*(, (C(, (F(, ((*, C(, ((*, F(, (C, F(, ((*, C, F((,

A(=( (F(, ((*, F(, (C, F(, ((*, C, F((, (*(= ((* (, a funkcija f( se moe definisati dijagramom prelaza:

Poto, polazei od ((*( A( oigledno nikada ne moe doi u stanja ((*, F(, ((*, C(, ((*,C, F( i ( F(, tada se dijagram prelaza moe konano redukovati na:

Ovako konstruisani automat A( prepoznaje sve nizove koje generie gramatike G iz prethodnog primera.

EMBED Equation.3

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

(3 odgovara negaciji EMBED Equation.3

(5 je implikacija

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

www.puskice.co.yu

_946461901.unknown

_946461997.unknown

_946462086.unknown

_946462156.vsd

_946462177.vsd

_946462195.vsd

_946462200.unknown

_946462210.unknown

_946462213.vsd

_946462215.vsd

_946462219.vsd

_946462220.vsd

_946462217.unknown

_946462214.unknown

_946462211.unknown

_946462208.unknown

_946462209.unknown

_946462206.vsd

_946462198.unknown

_946462199.unknown

_946462197.unknown

_946462189.vsd

_946462192.vsd

_946462194.vsd

_946462191.unknown

_946462180.vsd

_946462185.vsd

_946462187.vsd

_946462179.vsd

_946462166.vsd

_946462172.vsd

_946462175.unknown

_946462176.vsd

_946462173.unknown

_946462169.vsd

_946462170.vsd

_946462168.vsd

_946462161.vsd

_946462164.vsd

_946462165.vsd

_946462162.vsd

_946462159.vsd

_946462160.vsd

_946462157.vsd

_946462117.unknown

_946462146.vsd

_946462151.vsd

_946462153.vsd

_946462155.vsd

_946462152.vsd

_946462148.vsd

_946462150.vsd

_946462147.vsd

_946462124.unknown

_946462143.vsd

_946462145.vsd

_946462128.unknown

_946462131.vsd

_946462134.vsd

_946462127.vsd

_946462119.unknown

_946462121.unknown

_946462123.vsd

_946462118.unknown

_946462104.vsd

_946462109.unknown

_946462115.unknown

_946462116.unknown

_946462111.unknown

_946462113.vsd

_946462107.vsd

_946462108.vsd

_946462106.vsd

_946462091.unknown

_946462099.vsd

_946462103.unknown

_946462102.vsd

_946462095.vsd

_946462098.vsd

_946462093.vsd

_946462089.unknown

_946462090.unknown

_946462088.unknown

_946462035.unknown

_946462054.unknown

_946462076.unknown

_946462081.unknown

_946462084.unknown

_946462085.unknown

_946462082.unknown

_946462078.unknown

_946462080.unknown

_946462077.unknown

_946462059.unknown

_946462073.unknown

_946462075.unknown

_946462060.unknown

_946462056.unknown

_946462058.unknown

_946462055.unknown

_946462045.unknown

_946462049.unknown

_946462052.unknown

_946462053.unknown

_946462051.unknown

_946462047.unknown

_946462048.unknown

_946462046.unknown

_946462040.unknown

_946462042.unknown

_946462044.unknown

_946462041.unknown

_946462038.unknown

_946462039.unknown

_946462037.unknown

_946462017.unknown

_946462026.unknown

_946462031.unknown

_946462033.unknown

_946462034.unknown

_946462032.unknown

_946462028.unknown

_946462029.unknown

_946462027.unknown

_946462021.unknown

_946462024.unknown

_946462025.unknown

_946462023.unknown

_946462019.unknown

_946462020.unknown

_946462018.unknown

_946462007.unknown

_946462011.unknown

_946462014.unknown

_946462015.unknown

_946462013.unknown

_946462009.unknown

_946462010.unknown

_946462008.unknown

_946462002.unknown

_946462004.unknown

_946462006.unknown

_946462003.unknown

_946462000.unknown

_946462001.unknown

_946461999.unknown

_946461947.unknown

_946461979.unknown

_946461988.unknown

_946461993.unknown

_946461995.unknown

_946461996.unknown

_946461994.unknown

_946461990.unknown

_946461991.unknown

_946461989.unknown

_946461983.unknown

_946461986.unknown

_946461987.unknown

_946461984.unknown

_946461981.unknown

_946461982.unknown

_946461980.unknown

_946461956.unknown

_946461961.unknown

_946461977.unknown

_946461978.unknown

_946461975.unknown

_946461959.unknown

_946461960.unknown

_946461957.unknown

_946461952.unknown

_946461954.unknown

_946461955.unknown

_946461953.unknown

_946461949.unknown

_946461950.unknown

_946461948.unknown

_946461925.unknown

_946461938.unknown

_946461942.unknown

_946461945.unknown

_946461946.unknown

_946461943.unknown

_946461940.unknown

_946461941.unknown

_946461939.unknown

_946461933.unknown

_946461935.unknown

_946461936.unknown

_946461934.unknown

_946461928.unknown

_946461929.unknown

_946461931.unknown

_946461927.unknown

_946461910.vsd

_946461915.unknown

_946461920.unknown

_946461924.vsd

_946461923.vsd

_946461919.vsd

_946461918.vsd

_946461913.vsd

_946461914.unknown

_946461912.unknown

_946461906.unknown

_946461908.unknown

_946461909.unknown

_946461907.unknown

_946461903.unknown

_946461905.unknown

_946461902.unknown

_946461812.unknown

_946461864.unknown

_946461883.unknown

_946461892.unknown

_946461896.unknown

_946461899.unknown

_946461900.unknown

_946461898.unknown

_946461894.unknown

_946461895.unknown

_946461893.unknown

_946461887.unknown

_946461890.unknown

_946461891.unknown

_946461888.unknown

_946461885.unknown

_946461886.unknown

_946461884.unknown

_946461873.unknown

_946461878.unknown

_946461880.unknown

_946461882.unknown

_946461879.unknown

_946461876.unknown

_946461877.unknown

_946461875.unknown

_946461869.unknown

_946461871.unknown

_946461872.unknown

_946461870.unknown

_946461866.unknown

_946461868.unknown

_946461865.unknown

_946461846.unknown

_946461855.unknown

_946461860.unknown

_946461862.unknown

_946461863.unknown

_946461861.unknown

_946461857.unknown

_946461858.unknown

_946461856.unknown

_946461850.unknown

_946461853.unknown

_946461854.unknown

_946461851.unknown

_946461848.unknown

_946461849.unknown

_946461847.unknown

_946461821.unknown

_946461841.unknown

_946461843.unknown

_946461845.unknown

_946461842.unknown

_946461839.unknown

_946461840.unknown

_946461838.unknown

_946461816.unknown

_946461819.unknown

_946461820.unknown

_946461817.unknown

_946461814.unknown

_946461815.unknown

_946461813.unknown

_946461773.vsd

_946461794.unknown

_946461803.unknown

_946461807.unknown

_946461809.unknown

_946461811.unknown

_946461808.unknown

_946461805.unknown

_946461806.unknown

_946461804.unknown

_946461798.unknown

_946461800.unknown

_946461802.unknown

_946461799.unknown

_946461796.unknown

_946461797.unknown

_946461795.unknown

_946461785.unknown

_946461789.unknown

_946461791.unknown

_946461792.unknown

_946461790.unknown

_946461787.unknown

_946461788.unknown

_946461786.unknown

_946461778.unknown

_946461782.vsd

_946461783.unknown

_946461779.unknown

_946461781.unknown

_946461775.unknown

_946461776.vsd

_946461774.unknown

_946461755.unknown

_946461764.unknown

_946461768.unknown

_946461771.unknown

_946461772.unknown

_946461769.unknown

_946461766.unknown

_946461767.unknown

_946461765.unknown

_946461759.unknown

_946461762.unknown

_946461763.unknown

_946461760.unknown

_946461757.unknown

_946461758.unknown

_946461756.unknown

_946461746.unknown

_946461750.unknown

_946461753.unknown

_946461754.vsd

_946461751.unknown

_946461748.unknown

_946461749.unknown

_946461747.unknown

_946461741.unknown

_946461744.unknown

_946461745.unknown

_946461742.unknown

_946461739.unknown

_946461740.unknown

_946461737.unknown