diskretna matematika - predavanje 4- …imft.ftn.uns.ac.rs/~vanja/uploads/main/dm4.pdfnijedna ne...
TRANSCRIPT
DISKRETNA MATEMATIKA- PREDAVANJE 4-
Jovanka Pantovic
Novi Sad, 1.11. 2017
November 7, 2017 1 / 19
Ponavljanje
TeoremaNeka su A i B skupovi sa osobinom |A| = m, |B| = n i 1 ≤ n ≤ m. Brojsirjektivnih preslikavanja skupa A u skup B jednak je
nm − n(n− 1)m +
(n
2
)(n− 2)m + . . .+ (−1)n
(n
n− 1
)1m.
November 7, 2017 2 / 19
Stirlingovi brojevi druge vrste S(m,n)
1 broj razvijanja skupa od m elemenata na n nepraznih podskupova2 broj rasporedivanja m razlicitih elemenata u n istih kutija tako da
nijedna ne ostane prazna
November 7, 2017 3 / 19
Stirlingovi brojevi druge vrste S(m,n)
Neka je 0 ≤ n ≤ m.
S(m,n) =1
n!· |f : A
na−−−→ B|
S(m,n) =1
n!
n∑i=0
(−1)i(n
i
)(n− i)m
November 7, 2017 4 / 19
Tablica Stirlingovih brojeva druge vrste
Teorema1 S(m,m) =
1, m ∈ N2 S(m, 1) = 1, m ∈ N3 S(m,n) = S(m− 1, n− 1) + nS(m− 1, n), 0 < n < m
4 S(m, 0) = 0, m ∈ N5 S(0, 0) = 1
November 7, 2017 5 / 19
Tablica Stirlingovih brojeva druge vrste
Teorema1 S(m,m) = 1, m ∈ N2 S(m, 1) =
1, m ∈ N3 S(m,n) = S(m− 1, n− 1) + nS(m− 1, n), 0 < n < m
4 S(m, 0) = 0, m ∈ N5 S(0, 0) = 1
November 7, 2017 5 / 19
Tablica Stirlingovih brojeva druge vrste
Teorema1 S(m,m) = 1, m ∈ N2 S(m, 1) = 1, m ∈ N3 S(m,n) =
S(m− 1, n− 1) + nS(m− 1, n), 0 < n < m
4 S(m, 0) = 0, m ∈ N5 S(0, 0) = 1
November 7, 2017 5 / 19
Tablica Stirlingovih brojeva druge vrste
Teorema1 S(m,m) = 1, m ∈ N2 S(m, 1) = 1, m ∈ N3 S(m,n) = S(m− 1, n− 1) + nS(m− 1, n), 0 < n < m
4 S(m, 0) = 0, m ∈ N5 S(0, 0) = 1
November 7, 2017 5 / 19
Tablica Stirlingovih brojeva druge vrste
Teorema1 S(m,m) = 1, m ∈ N2 S(m, 1) = 1, m ∈ N3 S(m,n) = S(m− 1, n− 1) + nS(m− 1, n), 0 < n < m
4 S(m, 0) = 0, m ∈ N5 S(0, 0) = 1
November 7, 2017 5 / 19
Tablica Stirlingovih brojeva druge vrste
(m,n) 0 1 2 3 4 5 6 . . .
0 11 0 12 0 1 13 0 1 3 14 0 1 7 6 15 0 1 15 25 10 16 0 1 31 90 65 15 1. . . . . .
November 7, 2017 6 / 19
Rekurentne relacije
Definicija
Neka je {an : n = 0, 1, 2, . . .} niz brojeva. Rekurentna relacija za niz{an} je formula u kojoj se n-ti clan niza definiše preko nekog podskupaod {a0, a1, . . . , an−1}.
an = F (an−1, . . . , an−k)
Ako znamo a0, . . . , ak−1, onda lako odredimo clanove tog niza.
November 7, 2017 7 / 19
Fibonacijev niz
PrimerPosmatrajmo populaciju zeceva koja se ponaša na sledeci nacin:
inicijalno postoje dva zeca, mužjaka i ženka;par zeceva (mužjak i ženka) svakog meseca, pocevši od puna dvameseca svog života, na svet donose par zeceva;zecevi ne umiru.
Koliko ce biti parova zeceva nakon prve godine?
Neka je fi broj parova zeceva na kraju i-tog meseca. Tada je
f1 = 1 f2 = 1 f3 = 2 f4 = 2 + 1 = 3 f5 = 3 + 2 = 5
fn = fn−1 + fn−2, n ≥ 3
November 7, 2017 8 / 19
Fibonacijev niz
PrimerPosmatrajmo populaciju zeceva koja se ponaša na sledeci nacin:
inicijalno postoje dva zeca, mužjaka i ženka;par zeceva (mužjak i ženka) svakog meseca, pocevši od puna dvameseca svog života, na svet donose par zeceva;zecevi ne umiru.
Koliko ce biti parova zeceva nakon prve godine?
Neka je fi broj parova zeceva na kraju i-tog meseca. Tada je
f1 = 1 f2 = 1 f3 = 2 f4 = 2 + 1 = 3 f5 = 3 + 2 = 5
fn = fn−1 + fn−2, n ≥ 3
November 7, 2017 8 / 19
PrimerKoliko ima razlicitih reci dužine n, n ≥ 1, nad azbukom {0, 1} koje nesadrže podrec 111.
Neka je fi broj reci dužine i koje ne sadrže podrec 111.
f1 = 2 f2 = 4 f3 = 7 f4 = 13
fn = fn−1 + fn−2 + fn−3, n ≥ 4
November 7, 2017 9 / 19
PrimerKoliko ima razlicitih reci dužine n, n ≥ 1, nad azbukom {0, 1} koje nesadrže podrec 111.
Neka je fi broj reci dužine i koje ne sadrže podrec 111.
f1 = 2 f2 = 4 f3 = 7 f4 = 13
fn = fn−1 + fn−2 + fn−3, n ≥ 4
November 7, 2017 9 / 19
PrimerKoliko ima razlicitih reci dužine n, n ≥ 1, nad azbukom {0, 1} koje nesadrže podrec 111.
Neka je fi broj reci dužine i koje ne sadrže podrec 111.
f1 = 2 f2 = 4 f3 = 7 f4 = 13
fn = fn−1 + fn−2 + fn−3, n ≥ 4
November 7, 2017 9 / 19
Slagalica kule u Hanoju
PrimerDate su tri šipke i n diskova. Diskovi su poredani na jedan štap, odnajveceg do najmanjeg (uvek manji na veci). Dozvoljeno je
pomeriti u svakom koraku tacno jedan disk;veci disk nikada ne sme da se stavi na manji.
Koliko je najmanje koraka potrebno da se svi diskovi premeste nadrugi štap?
h1 = 1
h2 = 3
hn = 2hn−1 + 1, n ≥ 1
November 7, 2017 10 / 19
Slagalica kule u Hanoju
PrimerDate su tri šipke i n diskova. Diskovi su poredani na jedan štap, odnajveceg do najmanjeg (uvek manji na veci). Dozvoljeno je
pomeriti u svakom koraku tacno jedan disk;veci disk nikada ne sme da se stavi na manji.
Koliko je najmanje koraka potrebno da se svi diskovi premeste nadrugi štap?
h1 = 1
h2 = 3
hn = 2hn−1 + 1, n ≥ 1
November 7, 2017 10 / 19
Slagalica kule u Hanoju
PrimerDate su tri šipke i n diskova. Diskovi su poredani na jedan štap, odnajveceg do najmanjeg (uvek manji na veci). Dozvoljeno je
pomeriti u svakom koraku tacno jedan disk;veci disk nikada ne sme da se stavi na manji.
Koliko je najmanje koraka potrebno da se svi diskovi premeste nadrugi štap?
h1 = 1
h2 = 3
hn = 2hn−1 + 1, n ≥ 1
November 7, 2017 10 / 19
Slagalica kule u Hanoju
PrimerDate su tri šipke i n diskova. Diskovi su poredani na jedan štap, odnajveceg do najmanjeg (uvek manji na veci). Dozvoljeno je
pomeriti u svakom koraku tacno jedan disk;veci disk nikada ne sme da se stavi na manji.
Koliko je najmanje koraka potrebno da se svi diskovi premeste nadrugi štap?
h1 = 1
h2 = 3
hn = 2hn−1 + 1, n ≥ 1
November 7, 2017 10 / 19
Rešavanje rekurentnih relacija
Definicija
Neka je {an : n = 0, 1, 2, . . .} niz brojeva. Rekurentna relacija za niz{an} je formula u kojoj se n-ti clan niza definiše preko nekog podskupaod {a0, a1, . . . , an−1}.
Rešiti rekurentnu relaciju znaci izraziti an u zavisnosti od n, za svakon ≥ 0 :
an = a(n)
November 7, 2017 11 / 19
Rešavanje rekurentnih relacija
PrimerData je rekurentna relacija
a0 = 2
an = 5an−1 + 2, n > 0.
Za n ≥ 1 dobijamo
an = 5an−1 + 2
= 5(5an−2 + 2) + 2 = 52an−2 + 5 · 2 + 2
= 52(5an−3 + 2) + 5 · 2 + 2 = 53an−3 + 52 · 2 + 5 · 2 + 2
. . .
= 5na0 + 2 · (5n−1 + 5n−2 + . . .+ 5 + 1)
= 2 · (5n + 5n−1 + . . .+ 5 + 1) = 2 · 5n+1 − 1
5− 1=
1
2(5n+1 − 1).
November 7, 2017 12 / 19
Rešavanje rekurentnih relacija
PrimerData je rekurentna relacija
a0 = 2
an = 5an−1 + 2, n > 0.
Za n ≥ 1 dobijamo
an = 5an−1 + 2
= 5(5an−2 + 2) + 2 = 52an−2 + 5 · 2 + 2
= 52(5an−3 + 2) + 5 · 2 + 2 = 53an−3 + 52 · 2 + 5 · 2 + 2
. . .
= 5na0 + 2 · (5n−1 + 5n−2 + . . .+ 5 + 1)
= 2 · (5n + 5n−1 + . . .+ 5 + 1) = 2 · 5n+1 − 1
5− 1=
1
2(5n+1 − 1).
November 7, 2017 12 / 19
Rešavanje rekurentnih relacija
PrimerData je rekurentna relacija
a0 = 2
an = 5an−1 + 2, n > 0.
Za n ≥ 1 dobijamo
an = 5an−1 + 2
= 5(5an−2 + 2) + 2 = 52an−2 + 5 · 2 + 2
= 52(5an−3 + 2) + 5 · 2 + 2 = 53an−3 + 52 · 2 + 5 · 2 + 2
. . .
= 5na0 + 2 · (5n−1 + 5n−2 + . . .+ 5 + 1)
= 2 · (5n + 5n−1 + . . .+ 5 + 1) = 2 · 5n+1 − 1
5− 1=
1
2(5n+1 − 1).
November 7, 2017 12 / 19
Rešavanje rekurentnih relacija
PrimerData je rekurentna relacija
a0 = 2
an = 5an−1 + 2, n > 0.
Za n ≥ 1 dobijamo
an = 5an−1 + 2
= 5(5an−2 + 2) + 2 = 52an−2 + 5 · 2 + 2
= 52(5an−3 + 2) + 5 · 2 + 2 = 53an−3 + 52 · 2 + 5 · 2 + 2
. . .
= 5na0 + 2 · (5n−1 + 5n−2 + . . .+ 5 + 1)
= 2 · (5n + 5n−1 + . . .+ 5 + 1) = 2 · 5n+1 − 1
5− 1=
1
2(5n+1 − 1).
November 7, 2017 12 / 19
Rešavanje rekurentnih relacija
PrimerData je rekurentna relacija
a0 = 2
an = 5an−1 + 2, n > 0.
Za n ≥ 1 dobijamo
an = 5an−1 + 2
= 5(5an−2 + 2) + 2 = 52an−2 + 5 · 2 + 2
= 52(5an−3 + 2) + 5 · 2 + 2 = 53an−3 + 52 · 2 + 5 · 2 + 2
. . .
= 5na0 + 2 · (5n−1 + 5n−2 + . . .+ 5 + 1)
= 2 · (5n + 5n−1 + . . .+ 5 + 1) = 2 · 5n+1 − 1
5− 1=
1
2(5n+1 − 1).
November 7, 2017 12 / 19