Diskreetsed struktuurid

1. Matemaatiline Induktsioon

Kasutatakse parameetrit sisaldavate väidete tõestamiseks. Parameetit sisaldavat väidet

nimetatakse üldväiteks, väärtuse andmisel saadud väidet üksikväiteks. Üldväide puudutab

korraga paljusid objekte, üksikväide ainult üht objekti.

Üldväite tõestamiseseks kasutatakse matemaatilise induktsiooni meetodit:

Olgu A(n) üldväide, n on naturaalarv. Kui

1. Kehtib väide A(1)

2. Iga naturaalarvu k puhul, sellest, et väide A(k) kehtib, järeldub, et väide A(k+1)

kehtib,

siis väide A(n) kehtib mistahes naturaalarvu n korral.

Seega väite kontrollimiseks matemaatilise induktsiooni printsiibi abil tuleb esmalt

kontrollida, kas väide kehtib parameetri n=1 korral (induktsiooni baas), ning teiseks,

tõestada, et väite kehtivusel juhul n = k (induktsiooni eeldus) järeldub tema kehtivus juhul

n = k + 1 (induktsiooni samm).

2. Permutatsioonid

Olgu antud mingi n-elemendiline hulk. Selle hulga kõikidest elementidest moodustatud

järjestatud hulki nimetatakse permutatsioonideks ning nende arvu tähistatakse sümboliga

P(n). P(n) = n! .

Antud n-elemendilise hulga m-elemendilisi järjestatud alamhulki nimetatakse

permutatsioonideks (vahel ka variatsioonideks) n elemendist m-kaupa ning nende arvu

märgitakse tähisega P(n,m).

Asudes valima n-elemendilisest hulgast m-elemendilist järjestatud osahulka, võime

esimesele kohale valida elemendi n viisil, teisele kohale elemendi n - 1 viisil jne kuni

viimasele, m-ndale kohale n – m + 1 viisil. Seetõttu P(n,m) = n(n-1) ... (n-m+1).

Korrutades ja jagades saadud avaldist suurusega (n – m)! saame eelmise suuruse kirjutada

ümber kujul P(n,m) = n! / (n – m)! .

Näide. Mitmel viisil saab 6 sportlase hulgast valida 3, kui järjekord on oluline.

Lahendus. P(6,3) = 6! / (6 – 3)! = 4 * 5 * 6 = 120.

3. Kombinatsioonid

Antud n-elemendilise hulga m-elemendilisi alamhulki nimetatakse kombinatsioonideks n

elemendist m-kaupa. Kombinatsioonide puhul pole elementide järjekord oluline ning neid

eristatakse üksteisest üksnes koosseisu järgi.

Kombinatsioonid arvu n elemendist m-kaupa tähistatakse sümboliga C(n,m).

Et igat sellist alamhulka võib järjestada m! viisil, siis vastab igale kombinatsioonile m!

permutatsiooni ning iga permutatsiooni võib saada mingist kombinatsioonist. Seega on

permutatsioonide arv n elemendist m-kaupa m! korda suurem kui vastav kombinatsioonide

arv ning C(n,m) = P(n,m) / m! = n! / m! * (n – m)! . (Binoomkordaja)

C(n,n) = C(n,0) = 1 , st antud n-elemendilisest hulgast saab tervet ja tühja hulka valida

ainult ühel viisil.

Näide. Mitu võimalust on valida 16-liikmelisele klubile juhatus, mis koosneb esimehest ja

tema kolmest asetäitjast?

Lahendus. Valime klubi liikmete hulgast 4 liiget, kes kuuluvad juhatusse. Selleks on

C(16,4) võimalust. Pärast seda on C(4,1) võimalust 4 juhatuse liikme hulgast esimehe

valimiseks, ülejäänud kolm on asetäitjad.

Seega kokku on esimehe ja asetäitjate valimiseks võimalusi C(16,4) * C(4,1) = 1820 * 4 =

7280.

4. Kordumistega valikud

4.1 Kordumistega permutatsioonid

Olgu antud n-elemendiline hulk, mille igast elemendist on olemas piiramata varu. Kõiki

m-elemendilisi järjestatud komplekte, kus üks ja sama element võib esineda ka rohkem

kui üks kord, nimetatakse kordumistega permutatsioonideks.

Erinevate kordumistega permutatsioonide arvu n elemendist m-kaupa tähistatakse

sümboliga W(n,m) = nm . Iga elemendi valimiseks on n võimalust, seega komplekte saame

moodustada n * n * ... * n = nm tükki.

Näide. Trükikojas on 8 kasti, igaühes ühte liiki tähed. Mitu kolmetähelist sõna saab

nendest moodustada?

Lahendus. Et sõnas võivad tähed korduda ning tähtede omavaheline järjekord on oluline,

on tegu kordumistega permutatsioonide moodustamisega. Sõnade arv on seega W(8,3) =

83 = 512.

Vaatleme n-elemendilist hulka, kus igat elementi on teatud arv eksemplare, näiteks

esimest elementi m1 eksemplari, teist m2 eksemplari jne kuni n-ndat elementi mn

eksemplari. Olgu K(m1, m2 ... , mn) selline järjestatud komplektide arv.

Ühest komplektist saame kokku m1! * m2! * ... * mn! permutatsiooni. Et kokku on m

elementi ning neist on võimalik moodustada m! erinevat permutatsiooni, siis K(m1, m2 ... ,

mn) = m! / (m1! * m2! * ... * mn!) . (Multinoomkordaja)

Näide. Mitu anagrammi (sõna, mis saadakse tähtede ümbertõstmise teel) saab moodustada

sõnast RODODENDRON?

Lahendus. Tähti on kokku 11, tähte R - 2 eksemplari, O – 3, D – 3, E – 1, N – 2. Nende

tähtede erinevaid ümberjärjestusi on K(2,3,3,1,2) = 11! / (2! * 3! * 3! * 1! * 2!) = 277 200.

4.2 Kordumistega kombinatsioonid

Olgu antud n-elemendiline hulk, mille igast elemendist on olemas piiramata varu. Kõiki n-

elemendilise hulga m-elemendilisi alamhulki, kus iga alamhulk võib sisaldada korduvaid

elemente ning elementide järjekord oluline ei ole nimetatakse kordumistega

kombinatsioonideks n elemendist m-kaupa. Selliste alamhulkade arvu tähistatakse F(n,m).

F(n,m) = C(n + m - 1, n - 1) .

Näide. Mitu võimalust on paigutada 4 punast ja 6 sinist palli viide erinevasse kasti.

Lahendus. Ülesanne taandub juhule, kus sisuliselt 5st erinevast elemendist (kastist) tuleb

valida 4 ning 5st erinevast elemendist 6 elementi. Seega on 4 punase palli 5-de erinevasse

kasti paigutamiseks võimalusi F(5,4) = C(8, 4) = 70. Analoogselt saab kuute sinist palli

paigutada F(5,6) = C(10,4) = 210 erineval moel. Kokku on pallide paigutamiseks

võimalusi 70 * 210 = 14 700 võimalust.

5. Korrutamis- ja liitmisreegel.

Korrutamisreegel. Eeldame, et mingi tegevus koosneb kahest alamtegevusest. Kui

esimest alamtegevust saab teha m viisil ning pärast esimese täitmist saab teist teha n viisil,

siis kogu tegevuse sooritamiseks on m * n erinevat võimalust.

Liitmisreegel. Kui ühte tegevust saab teha m viisil ja teist tegevust n viisil, kusjuures neid

tegevusi ei saa teha korraga, siis kas esimese või teise tegevuse sooritamiseks on kokku m

+ n erinevat võimalust.

Näide. Antsul on 5 laevamudelit ja 6 lennukimudelit. Näituse jaoks valib ta neist välja 3

ühte ja 4 teist liiki mudelit. Mitu erinevat näitusekomplekti saab Ants moodustada?

Lahendus. Oletades, et Ants valib kolm laeva mudelit ( C(5,3) = 10 ) ning neli

lennukimudelit ( C(6,4) = 20 ), siis korrutamisreegli põhjal saab laevu ja lennukeid nii

valida ühtekokku 10 * 20 = 150 viisil.

Teiseks, kui valida vastupidi C(5,4) ja C(6,3), on võimalusi 5 * 20 = 100. Et kolme ja

nelja laevaga mudelikomplekti ei saa valida korraga, siis liitmisreegli kohaselt on neist

emma-kumma valikuks 150 + 100 = 250 võimalust.

6. Binoomkordajad

Binoomkordaja on arv, mille väärtuse suvaliste mittenegatiivsete täisarvude n ja m korral

võib esitada järgmisel kujul

. (0)

Omadus 1. Kui n ja m on mittenegatiivsed täisarvud, siis

(1)

Tõestus. (1) järeldub otseselt (0) esitusest, seal esineva avaldise väärtus ei muutu, kui

asendada arv m arvuga n – m.

Omadus 2. Kui n ja m on positiivsed täisarvud, siis

(2)

Tõestus. Valemi järgi

Näide. Tõestada võrdus

Lahendus.

Kirjutame esimese liikme asemele temaga võrdse arvu

(

). Kui nüüd

liita sellele summa teine liige, siis omaduse (2) põhjal saame

. Liidame analoogselt kuni viimase liikmeni, peale seda

jääb alles üksainus binoomkordaja

.

6.1 Pascali kolmnurk

Binoomkordajaid võib esitada kolmnurkse tabelina, mida nimetatakse Pascali

kolmnurgaks. Pascali kolmnurga iga rida koosneb kõigist sama ülemise indeksiga

binoomkordajatest. Omaduse (2) põhjal võrdub Pascali kolmnurgas iga arv kahe tema

kohal asuva arvu summaga.

Omaduse (1) tõttu on Pascali kolmnurk sümmeeriline vertikaaltelje suhtes. Samuti on

komlmnurga esimene ja viimane element alati võrdsed ühega ning teine ja eelviimane

element võrdne vastava rea ülemise indeksiga.

6.2 Binoomvalem

Teoreem 1. Kui n on mittenegatiivne täisarv, siis

Tõestus. Kirjutame vasaku poole kujul

ja avame sulud. Iga liikme saamiseks tuleb teatud arvust teguritest valida y ja ülejäänutest

x. Kusjuures alati, kui i tegurist võtta y ja ülejäänud n-1 tegurist x, moodustub liige xn-1

yi.

Et neid i tegurit, kust võetakse y, saab n tegurist välja valida ( C(n,i) ) viisil, siis liige

xn-1

yi esineb tekkivas summas ka sama palju kordi.

Näide.

2!1!2−1! + 0 2 = 2+2 + 2

Näide. Kui suur on astme

arendises vabaliige?

Lahendus. Arendise i-s liige on binoomvalemi järgi

. Vabaliikme puhul peab x-i astendaja olema 0 ehk

12-3i = 0 st i = 4. Otsitav liige on seega = 126 720.

Järeldus 1. Kehtib võrdus

.

Tõestus. Võtame binoomvalemis x = y = 1. / Et vasaku poole summa koosneb hulga n

kõikidest 0,1, ... n elemendiliste alamhulkade arvudest, siis teades, et n-elemendilisel

hulgal on parajasti 2n

alamhulka, võime lugeda võrduse tõestatatuks.

Järeldus 2. Kehtib võrdus

.

Tõestus. Võtame binoomvalemis x = 1 ja y = -1. Paremal tekib siis vahelduvate märkitega

binoomkordajate summa, liidetava märgi määrab tegur (-1)i. Vasakul saame avaldise 0

n,

mille väärtus on 0 juhul, kui n ≥ 1 ja 1 juhul n = 0.

6.4 Multinoomvalem

Võrdust, milles asendatakse rohkem kui kaks hulkliiget ning mille kordajateks on

multinoomkordajad ( K(m1, m2 ... , mn) = m! / (m1! * m2! * ... * mn!) ) nimetatakse

multinoomvalemiks. Arv F(k,n) näitab mitu erinevat liiget multinoomvalemi paremal pool

tekib.

Teoreem 1. Kui n on mittenegatiivne täisarv, siis

Tõestus. Vaatleme korrutist

.

Sulgude avamisel saame liikme

alati siis, kui valime i1 sulust x1, i2 sulust x2

jne kuni ik sulust xk. Sisuliselt vaadeldakse kõiki võimalusi, kuidas koostada k-

elemendilist liiget, kus mõnda elementi on korduv eksemplar. Selline võimaluste arv

avaldub multinoomkordajana, mis ongi järelikult liikme

kordajaks.

Näide. Leida avaldise (x2 + x + 1)

8 arendises liikme x

5 kordaja.

Lahendus. Multinoomvalemi põhjal

Liikme x5 saame indeksite nende väärtuste puhul, mille korral .

Sellist tingimust rahuldavad 3 arvupaari (0,5) , (1,3), (2,1). Kõigil kolmel juhul peab arvu

väärtus olema selline, et indeksid annaksid kokku summa 8. Liikme x5 kordaja on

seega

= 504.

7. Rekurrentsed võrrandid

Jada, mille iga liige arvutatakse teatava kindla valemi abil sama jada eelnevate liikmete

põhjal, nimetatakse rekurrentseks jadaks ning jada liikmeid siduvat seost rekurrentseks

seoseks. Jada esimesi liikmete väärtusi, mis üheselt määravad rekurrentse jada,

nimetatakse algväärtusteks, nende põhjal arvutatakse jada järgmised liikmed.

Võrrandi lahendamiseks otsime lahendit kujul , mille asendamisel võrrandisse

saame karakteristliku võrrandi.

Teoreem 1.

a) Kui rekurrentse võrrandi karakteristlikul võrrandil on

on kaks erinevat lahendit ja , siis rekurrentse võrrandi

üldlahend on

,

Kus ja on suvalised konstandid. Erialhendi, mis rahuldab algtingimusi

ja saame siis, kui leiame kordajate ja väärtused

võrrandisüsteemist

.

b) Kui karakteristlikul võrrandil on on üks kahekordne lahend , siis rekurrentse

võrrandi üldlahend on

,

Kus ja on suvalised konstandid. Erialhendi, mis rahuldab algtingimusi

ja saame siis, kui leiame kordajate ja väärtused

võrrandisüsteemist

.

Kokkuvõtlikult tuleb rekurrentse võrrandi lahendamiseks:

moodustada karakteristlik võrrand,

kirjutada välja üldlahendi avaldis,

kasutades algtingimusi lahendada kordajate leidmiseks võrrandisüsteem.

Näide. Lahendada rekurrentne võrrand algtingimustel ja

.

Lahendus. Karakteristlik võrrand on , mille lahendid on ja

. Et lahendid on erinevad, avaldub rekurrentse võrrandi üldlahend kujul

. Võtame üldlahendis n = 0 ja n = 1, siis kasutades algtingimusi saame

võrrandisüsteemist

konstantide ja väärtusteks (2,-1). Rekurrentse

võrrandi erilahend, mis rahuldab ka algtingimusi on .

Analoogiliselt ülaltooduga saab lahendada ka kõrgemat kui teist järku rekurrentseid

võrrandeid. Üldlahend avaldub kujul (k on võrrandi järk)

.

Lineaarset rekurrentset võrrandit, kus otsitava jada liige sõltub lisaks eelmistele liikmetele

veel ka liikme indeksist nimetetakse lineaarseks mittehomogeenseks rekurrentseks

võrrandiks mille üldkuju on , kus f on

teatav funktsioon.

Eeltoodud võrrandi lahendamiseks

moodustame mittehomogeensele võrrandile vastava homogeense võrrandi, st

ja leiame selle üldlahendi

;

leiame ühe, ükskõik millise lahendi

, mis rahuldab mittehomogeenset

võrrandit (kasut. määramata kordajate meetodit);

antud mittehomogeense võrrandi üldlahend on siis

.

8. Graafid

Definitsioon 1. Graaf on paar G(V,E), kus V on mittetühi hulk ning E hulk, mille

elementideks on hulga V kaheelemendilised alamhulgad.

Tulenevalt definitsioonist ei tohi graafis esineda silmuseid (servi, mis ühendavad tippu

iseendaga) ega kordseid servi. Kordsete servadega graafi nimetetakse multigraafiks.

Graafe, mille igale servale on vastavusse seatud üks reaalarv (kaal), nimetatakse kaalutud

graafiks.

Kui graafi tipp v kuulub servale e, siis öeldakse, et tipp v ja serv e on intsidentsed. Iga serv

on intsidentne kahe otstipuga. Tippe u ja v nimetatakse naabertippudeks, kui nad on

servaga ühendatud.

Olgu G = (V, E) graaf tippude hulgaga V = {v1, v2 ... , vn}. Graafi G naabrusmaatriks on

n×n – maatriks , kus , kui tippude vi ja vj vahel on serv, ning 0, kui nende

tippude vahel serv puudub.

Naabrusmaatriks on sümmeetriline peadiagonaali suhtes, sest kui leidub serv tipust vi

tippu vj, siis leidub serv ka vastupidi. Et graafis ei tohi olla silmuseid, on naabrumaatriksi

peadiagonaali elemendid alati võrdsed nulliga.

Kui G = (V, E) graaf tippude hulgaga V = {v1, v2 ... , vn} ja servade hulgaga E = {e1, e2 ... ,

em}, siis selle graafi intsidentsusmaatriks on n×m – maatriks , kus , kui

tipp vi on intsidentne servaga ej , st on serva otstipp.

Intsidentsusmaatriksi igas veerus asub täpselt kaks ühte, need paiknevad ridades, mis

vastavad serva otstippudele.

Kui n-tipulises graafis on on olemas serv iga kahe tipu paari vahel, siis nimetatakse graafi

täisgraafiks, kui aga serv puudub, siis nullgraafiks.

Graafi G täiendgraafiks nimetatakse graafi G’, millel on sama tippude hulk nagu graafil

G, aga servadega on ühendatud parajasti need tipud, mille vahel graafis G serv puudub

Graafi G’, mis on saadud graafist G teatud tippude ja servade kustutamisel nimetetakse

graafi G alamgraafiks.

Tipu v astmeks e valentsiks nimetatakse tipuga v intsidentsete servade arvu. Tähistatakse

d(v). Tipp mille aste on 0, nimetatakse isoleeritud tipuks ning tippu astmega 1 rippuvaks

tipuks. Graafi, mille tippude astmed on võrdsed, nimetatakse regulaarseks.

Ahel graafis on mingite tippude järjend, kus iga kaks järjestikust tippu on servaga

ühendatud. Tippe v0 ja vk nimetatakse ahela otstippudeks. Lihtahelaks nimetatakse ahelat,

milles ei esine korduvaid tippe. Tippude u ja v kauguseks nimetatakse nende vahelist

lühimat lihtahela pikkust.

Ahelat, mis lõppeb samas tipus, kus algab, nimetatakse tsükliks. Tsüklit, mis ei läbi ühtki

tippu kaks korda, nimetatakse lihttsükliks.

Graafide omadusi:

Maksimaalne tipu aste on n-1.

Kõigi tippude astmete summa on võrdne servade kahekordsega.

Igas graafis on paaritu astmega tippe paarisarv.

Kui graaf on regulaarne, siis on seda ka tema täiendgraaf.

Graafis leidub Euleri tsükkel siis, kui graaf on sidus ning iga tipu aste on vähemalt

2.

Serv on sild siis, kui tema eemaldamisel sidususkomponentide arv kasvab.

Kui graafi iga tipu aste l >= 2, siis leidub lihtahel pikkusega l ja lihttsükkel

pikkusega l+1.

Kui n tipulisel graafil on vähem kui n-1 serva, siis see graaf on mittesidus.

Maksimaalne arv servi, mida võib graafist eemaldada ilma, et viimane kaotaks

sidusust on m – n – 1, kus m on servade ja n tippude arv. (Tsüklomaatiline arv)

Puude omadusi:

Vähemalt 2-tipulisel puul on vähemalt 2 lehte.

Puu kõrguseks nimetatakse juurest mingi leheni lähtuva pikima lihtahela pikkust.

Igal n- tipulisel puul on n-1 serva.

Graaf G on puu parajasti siis, kui tema iga kahte tippu ühendab täpselt üks lihtahel.

Erinevate n-tipuliste märgendatud puude arv on nn-2

. (Täisgraafi kõigi aluspuude

arv).

Prüferi kood – Leiame puust vähima märgendiga lehe, kirjutame märgendi ülemisse ritta,

tema alla aga temaga servaga ühendatud tipu märgendi. Eemaldame lehe koos servaga.

Kordame operatsiooni kuni kõik servad on kustutatud. Kood moodustub järjendist (x1 ...

xn-2).

y1 y2 ... yn-2 yn-1

x1 x2 ... xn-2 xn-1

Puu taastamisel kirjutame välja alumise rea viimase elemendi ning ülemise rea nii, et

valime vähimad arvud, mis ei esine alumises reas all ja paremal ega ülemises reas vasakul.

9. Suunatud graafid

Definitsioon 1. Suujnatud gaaf on paar G(V,E), kus V on mittetühi hulk ning E hulk, mille

elementideks on hulga V järjestatud paarid.

Suunatud graafi servi nimetame kaarteks. Kaare uv tippu u nimetame kaare algtipuks ning

tippu v lõpptipuks. Joonisel tähistab kaart nool algtipust lõpptippu.

Tippu sisendastmeks d+(v) nimetatakse sellesse tippu sisenevate kaarte arvu ning

väljundastmeks d-(v) sellest tipust väljuvaid kaari.

Kui mingist tipust kaared ainult väljuvad (sisenevad), siis nimetatakse sellist tippu graafi

sisendiks (väljundiks).

Suunatud graafi nimetatakse tugevalt sidusaks, kui iga kahe tipu u ja v korral leidub neid

ühendav suunatud ahel ning nõrgalt sidusaks, kui graafi alusgraaf (graaf, mis on saadud

kaarte asendamisel servadega) on sidus.

Suunatud graafide omadusi:

Igas suunatud graafis on tippude sisendastmete summa võrde väljundastmete

summaga.

Kehtivad graafidele omistatud omadused, arvesse tuleb võtta kaarte suundi.

Kui suunatud graafis pole tsükleid, siis leidub graafil vähemalt üks sisend ja

väljund.

Tugevalt sidusal suunatud graafil ei leidu sisendeid ega väljundeid.

Turniiriks nimetatakse täisgraafi, mille igale servale on omistatud suund. Igas turniiris

leidib kõiki tippe läbiv suunatud lihtahel.

10. Relatsioonid

Definitsioon 1. Hulga XxY iga alamhulka R nimetatakse relatsiooniks ehk seoseks

hulkade X ja Y vahel.

Relatsiooni, mis ei sisalda ühtegi paari nimetatakse tühirelatsiooniks ning relatsiooni, mis

langeb kokku hulgaga XxY, täisrelatsiooniks.

Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse

refleksiivseks, kui korral

antirefleksiivseks, kui korral

sümmeetriliseks, kui

antisümmeetriliseks, kui

transitiivseks, kui

Relatsiooni, mis on ühtaegu nii refleksiivne, sümmeetriline kui ka transitiivne nimetatakse

ekvivalentsiks.

Tehteid teostatakse analoogliselt tavaliste hulkadega.

Pöördrelatsiooniks nimetatakse relatsiooni R-1

, mis on saadud relatsiooni R komponentide

elemendipaaride vastupidiseks muutmise teel.

Relatsioonide ja kompositsiooniks nimetatakse relatsiooni

, mis on defineeritud järgimiselt:

( , . Relatsioonide kompositsioon on assotsiatiivne.