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DISEÑO Y SIMULACIÓN DE UN SISTEMA MECÁNICO SUBACTUADO: PÉNDULO INVERTIDO TRASLACIONAL CONFIGURABLE

ILDEFONSO COLLAZOS MAMIAN EDWIN FERNANDO ERAZO MUÑOZ OSCAR ROMAN MORA CARABALI

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE AUTOMATICA Y MECANICA PROGRAMA DE INGENIERA MECATRONICA

SANTIAGO DE CALI 2006

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DISEÑO Y SUMILACIÓN DE UN SISTEMA MECÁNICO SUBACTUADO: PÉNDULO INVERTIDO TRASLACIONAL CONFIGURABLE

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ILDEFONSO COLLAZOS MAMIAN EDWIN FERNANDO ERAZO MUÑOZ OSCAR ROMAN MORA CARABALI

Trabajo de grado para optar al titulo De Ingeniero Mecatrónico

Director FREDDY NARANJO PEREZ

Ingeniero Mecanico Doctor en Automática e Informática Industrial

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE AUTOMATICA Y MECANICA PROGRAMA DE INGENIERA MECATRONICA

SANTIAGO DE CALI 2006

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JUAN CARLOS MENA

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Jurado

JUAN CARLOS PERAFAN

_________________________�Jurado

Santiago de Cali, 16 de Febrero de 2006

Nota de Aceptación

Trabajo aprobado por el comité de grado

por el cumplimiento de los requisitos

exigidos por la Universidad Autonoma de

Occidente para optar al titulo de Ingeniero

Mecatrónico

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CONTENIDO Pág.

RESUMÉN 15

INTRODUCCIÓN 17

1. OBJETIVOS 19

1.1 OBJETIVO GENERAL. 19

1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS. 19

2. MODELAMIENTO Y ANALISIS MATEMÁTICO 20

2.1. PÉNDULO SIMPLE 20

2.1.1 Modelo no lineal 21

2.1.2 Linealización del modelo matemático 25

2.1.3 Representación en el espacio de estados 25

2.2 PÉNDULO DOBLE 28

2.2.1 Modelo no lineal 29

2.2.2 Linealización del modelo matemático 38

2.2.3 Representación en el espacio de estados 39

2.3 VALIDACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS 43

2.3.1 Modelo Péndulo Invertido Simple 44

2.3.2 Modelo del Péndulo Invertido Doble 48

2.4 ANALISIS DE CONTROLABILIDAD 53

2.4.1 Péndulo Invertido Simple. 53

2.4.2 Péndulo Invertido Doble 54

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Pág.

3. PLANEACIÓN DEL PRODUCTO 55

3.1. JUSTIFICACIÓN 55

3.2. PLANTEAMIENTO DE LA MISIÓN 56

4. DESARROLLO CONCEPTUAL 58

4.1 IDENTIFICACIÓN DE NECESIDADES 58

4.1.1 Recolección de información primaria 58

4.1.2 Interpretación de datos primarios en términos de necesidades 58

4.1.3 Organización de necesidades por jerarquía 58

4.1.4 Importancia relativa de las necesidades 61

4.2 ESPECIFICACIONES PRELIMINARES 62

4.2.1 Establecimiento de métricas 62

4.2.2 Benchmarking competitivo 64

4.2.3 Establecimiento de valores marginales 69

4.2.4 Especificaciones preliminares 71

4.3 GENERACIÓN DE CONCEPTOS 72

4.3.1 Clarificación del problema 72

4.3.2 Rama critica 74

4.3.3 Exploración sistemática de información 75

4.3.4 Conceptos generados 81

4.4 SELECCIÓN DE CONCEPTOS 86

4.4.1 Matriz de Tamizaje de Conceptos 86

4.4.2 Matriz de Evaluación de Conceptos 88

5. DISEÑO A NIVEL DE SISTEMA 90

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Pág.

5.1. ARQUITECTURA DEL PRODUCTO 91

5.1.1. Esquema del Producto 92

5.1.2. Agrupación de Elementos 93

5.1.3. Distribución Geométrica 94

5.1.4. Interacciones Fundamentales 95

5.1.5. Interacciones Incidentales. 96

5.2. DISEÑO INDUSTRIAL 97

5.2.1. Necesidades Ergonómicas. 97

5.2.2. Necesidades Estéticas. 99

5.2.3. Dominación del Producto 99

5.2.4. Evaluación de la Calidad del Diseño Industrial: 100

5.3. DISEÑO PARA MANUFACTURA 101

5.3.1 Reducción de Costos 101

5.4. PROTOTIPADO 105

6. DISEÑO DETALLADO 106

6.1. SISTEMA MECÁNICO 107

6.1.1. Subconjunto Montaje Motor-Sensor 107

6.1.2. Subconjunto Carro 108

6.1.3. Subconjunto Péndulos 109

6.1.4. Subconjunto Tensor 110

6.1.5. Subconjunto Estructura 111

6.1.6. Correa Dentada 113

6.1.7. Rodamientos 114

6.2. SISTEMA ELECTRICO Y ELECTRONICO 115

6.2.1. Actuador 116

� � �

Pág.

�6.2.2. Sensores 121

6.2.3. Fuente de Alimentación DC 121

6.2.4. Amplificación de Señales 121

6.2.5. Acondicionamiento de señales 122

6.3. DISEÑO DEL SISTEMA ELECTRÓNICO 123

6.3.1 Fuentes de Alimentación 124

6.3.2 Amplificador de Voltaje 125

7 ESTRATEGIAS DE CONTROL DEL SISTEMA 128

7.1. MODELADO DEL ACTUADOR 129

7.2. CONTROL PÉNDULO SIMPLE 131

7.2.1. Diseño del sistema de control para la zona Lineal 133

7.2.2. Diseño de sistema de control para zona lineal por modos deslizantes 136

7.2.3. Corrección de las oscilaciones de alta frecuencia en el controlador CMD 144

7.2.4. Diseño del sistema de control para la zona de balanceo 145

7.3. CONTROL PÉNDULO DOBLE 148

7.3.1. Diseño del sistema de control 148

7.4. IMPLEMENTACIÓN Y SIMULACIÓN DE CONTROLADORES 149

7.4.1. Péndulo Invertido Simple 150

7.4.2. Péndulo Invertido Doble 173

8. PROTOTIPO VIRTUAL DIRECTX 179

8.1. REQUERIMIENTOS DEL SISTEMA. 179

8.2. CASOS DE USO. 181

8.2.1. Diagrama de casos de uso 181

� � �

Pág.

�8.2.2. Descripción de los casos de uso 182

8.2.3. Implementación del software 185

8.3. RESULTADOS OBTENIDOS 187

9. CONCLUSIONES 188

10. FUTURAS MEJORAS 190

BIBLIOGRAFÍA 191

�ANEXOS 194

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LISTA DE FIGURAS

Pág.

Figura 2.1: Sistema Péndulo Invertido Simple 20

Figura 2.2 Sistema Péndulo Invertido Doble 28

Figura 2.3: Vectores que determinan la posición del diferencial de masa del péndulo 1 30

Figura 2.4: Vectores que determinan la posición del diferencial de masa del péndulo 2 31

Figura 2.5: Implementación del Modelo No Lineal del Péndulo Simple en Simulink 46

Figura 2.6: Respuesta Natural del Sistema Péndulo Simple 47

Figura 2.7: Implementación del Modelo No lineal del Péndulo Doble en Simulink 49

Figura 2.8: Subsistema Funciones 50

Figura 2.9: Subsistema Complementario del Modelo 50

Figura 2.10: Respuesta Natural del Sistema Péndulo Doble 52

Figura 4.1: Péndulo Invertido Feedback 33-005-2M5 64

Figura 4.2: Péndulo Invertido Googol Tech GLIP2002 65

Figura 4.3: Péndulo Invertido Quanser IP01 66

Figura 4.4: Péndulo Invertido Universidad Lakehead (Canadá) 66

Figura 4.5: a) Caja negra y b) Descomposición funcional 73

Figura 4.6: Árbol de clasificación Aceptar energía externa 76

Figura 4.7: Árbol de clasificación convertir energía a fuente de fuerza 77

Figura 4.8: Árbol de clasificación Aplicar fuerza al péndulo 77

Figura 4.9: Árbol de clasificación Sensar movimiento 78

Figura 4.10: Combinación de conceptos 80

Figura 4.11: Concepto A 81

Figura 4.12: Concepto B 82

Figura 4.13: Concepto C 83

Figura 4.14: Concepto D 84

Figura 5.1: Esquema del producto 93

Figura 5.2: Agrupación de elementos funcionales 94

Figura 5.3: Distribución geométrica (layout) 95

Figura 5.4: Interacciones fundamentales 96

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Pág.

�Figura 5.5: Interacciones incidentales 97

Figura 5.6: Representación visual de la dominación del producto 100

Figura 5.7: Primer esquema del elemento soporte 102

Figura 5.8: Segundo esquema del elemento soporte. 103

Figura 5.9: Tercer diseño del elemento soporte 104

Figura 5.10: Esquema final del elemento soporte. 105

Figura 6.1: Esquema general del U.M.S 106

Figura 6.2: Subconjunto montaje motor-sensor 108

Figura 6.3: Subconjunto carro 109

Figura 6.4: Subconjunto péndulos 110

Figura 6.5: Subconjunto tensor 111

Figura 6.6: Subconjunto estructura 112

Figura 6.7: Sistema mecánico completo 112

Figura 6.8: Parámetros de selección de la correa dentada 113

Figura 6.9: Principio del doble apoyo para ubicación de sensores. 115

Figura 6.10: Principales requerimientos del sistema electrónico 116

Figura 6.11 Requerimientos de fuerza del sistema 118

Figura 6.12 Fuente de alimentación regulada ± 30 v. 124

Figura 6.13 Fuente Regulada 5 v. 125

Figura 6.14 Amplificador de voltaje 126

Figura 7.1: Descripción de las diferentes zonas de movimiento del péndulo 131

Figura 7.2: Regulador lineal por LQR 133

Figura 7.3: Regulador diseñado para el péndulo doble 148

Figura 7.4: Esquema en Simulink del control por realimentación del estado 150

Figura 7.5: Respuestas del sistema para x0 = 0 y Angulo0 =30º 151

Figura 7.6: Respuesta del sistema para x0 = 0 y Angulo0 =20º 152

Figura 7.7: Respuesta del sistema para condiciones iniciales lejanas de la zona lineal 153

Figura 7.8 Respuesta del sistema para condiciones para X0 diferente a cero 153

Figura 7.9: Respuesta de las variables de control ante prueba fallida 154

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Pág.

�Figura 7.10: Cambio en el controlador para hacer que siga referencia en x 155

Figura 7.11: Resultados del regulador 155

Figura 7.12 Implementación en Simulink del controlador CMD 156

Figura 7.13 Controlador CMD si c=1 con ángulo = 20º 157

Figura 7.14: Controlador CMD si c=1 con ángulo = 31º 157









Figura 7.23: Implementación de la estrategia de control ecuación (7.50) 163

Figura 7.24: Controlador CMD con corrección de Chattering para ángulo =20º 164

Figura 7.25 CMD con corrección de Chattering para ángulo =59º 165

Figura 7.26 CMD con corrección de Chattering para ángulo =60º 165

Figura 7.27 Señal de voltaje para controlador CMD con corrección 166

Figura 7.28: Montaje de la ley de control del Swing Up 167

Figura 7.29: Esquema completo del Swing Up 167

Figura 7.30: Posición del Carro (x) (Metros) 168

Figura 7.31: Posición Angular (Grados) 168

Figura 7.32: Velocidad angular del péndulo (rad/seg). 168

Figura 7.33: Esfuerzo de Control (Voltios) 169

Figura 7.34: Esquema Final para Control del Péndulo Simple 170

Figura 7.35: Esquema del Bloque Switche para 30 y 35 grados 170

Figura 7.36: Posición del Carro con el Control Final (Metros) 171

Figura 7.37: Posición Angular (�) (Grados) 171

Figura 7.38: Esfuerzo de Control (Voltios) 172

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Pág.

�Figura 7.39: Implementación del Controlador en Simulink 173

Figura 7.40: Graficas de la prueba 1 174

Figura 7.41: Graficas de la Prueba 2 175

Figura 7.42: Graficas de la prueba 3 176

Figura 7.43: Esfuerzo de Control para las tres pruebas 177

Figura 7.44: Resultados prueba 4 178

Figura 8.1: Diagrama de Casos de Uso 181

Figura 8.2: Implementacion del software 186

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LISTA DE TABLAS

Pág.

Tabla 2-1: Descripción y símbolos usados en el modelamiento del péndulo 21

Tabla 2-2: Descripción y símbolos usados en el modelado del péndulo doble 29

Tabla 2-3: Valores simbólicos de las constantes hi 37

Tabla 2-4: Cambios en definición de constantes 38

Tabla 2-5: Tabla de constantes para los elementos de la matriz H-1 42

Tabla 2-6: Valores numéricos de los parámetros del sistema péndulo invertido. 45

Tabla 2-7: Valores numéricos para los parámetros del sistema péndulo doble. 48

Tabla 4-1: Listado de planteamiento de usuarios 59

Tabla 4-2: Interpretación de necesidades 59

Tabla 4-3: Jerarquía de necesidades. 60

Tabla 4-4: Importancia relativa de las necesidades de los usuarios del UMS 61

Tabla 4-5: Listado de métricas del UMS a partir de necesidades de usuarios 63

Tabla 4-6: Benchmarking basado en la satisfacción de las necesidades de los clientes 68

Tabla 4-7: Evaluación de métricas con otros productos 69

Tabla 4-8: Establecimiento de valores ideales y marginales 70

Tabla 4-9: Especificaciones preliminares 71

Tabla 4-10: Matriz de tamizaje de conceptos 87

Tabla 4-11 Matriz de Evaluación de conceptos 88

Tabla 8-1 Requerimientos del sistema 180

Tabla 8-2 Caso de uso seleccionar configuración 182

Tabla 8-3 Caso de uso generar configuración 183

Tabla 8-4 Caso de uso graficar variables 183

Tabla 8-5 Caso de uso establecer condiciones 184

Tabla 8-6 Caso de uso prototipo 184

Tabla 8-7 Caso de uso simulación 185

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LISTA DE ANEXOS

Pág.

ANEXO A: DIAGRAMAS DE ENSAMBLE Y PLANOS MECANICOS 194

ANEXO B: INFORME IFAC 243

ANEXO C: HOJAS DE ESPECIFICACIONES TÉCNICAS 255

ANEXO D: CODIGOS FUENTE DE PROGRAMAS 264

ANEXO E: MANUAL DE USUARIO 323

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RESUMÉN � El presente informe enmarca las etapas de diseño que se han llevado a cabo para el

desarrollo del proyecto de iniciación a la investigación que se expone. La concatenación

de capítulos que se propone, se hace con el fin de organizar la extensa información

obtenida y generada a lo largo del proceso, pero es claro que este es iterativo y que la

conclusión de muchos capítulos son el resultado de la sobre posición en el tiempo de

diversas etapas.

En el capitulo dos se hace el modelado de las plantas péndulo invertido simple y doble,

donde se tienen en cuenta no linealidades que son seleccionadas a partir de catálogos

luego de la etapa de diseño detallado y se hace una validación rápida del comportamiento

del sistema.

El capitulo de planeacion del producto, tiene como principal objetivo dar a conocer el

planteamiento del mismo, donde se asumen premisas y restricciones que serán tenidas

en cuenta a lo largo del proyecto. El capitulo cuatro esta dedicado a la etapa de desarrollo

conceptual, en ella se establecen las necesidades del cliente, y con estas siguiendo una

metodología estructurada de diseño, se obtienen las especificaciones preliminares del

sistema a diseñar, que enmarcan desde el punto de vista técnico todas las necesidades

obtenidas, haciéndolas medibles o tangibles para el equipo de diseño. Con base en estas

métricas y con un modelo de caja negra del sistema, donde de forma muy básica, se

describe el funcionamiento de la planta, se entra a la fase de generación y selección de

conceptos donde a partir de tecnologías disponibles se obtiene un concepto del sistema.

El capitulo cinco aborda la etapa de diseño a nivel de sistema. Primero se establece la

arquitectura del producto, hallando las interacciones que pueden afectar el diseño, para

luego pasar a establecer la dominación del diseño industrial del mismo, etapa que

precede y determina decisiones tomadas durante el diseño para manufactura, donde se

toma la decisión de la disposición final del sistema

� ��

El capitulo seis se dedica al diseño detallado del UMS, en este se hace referencia al

diseño mecánico y al tipo de circuitos eléctricos que se usaran en el desarrollo del equipo,

teniendo en cuenta para esto los resultados obtenidos a partir del control del sistema.

Solo hasta este momento se establecen dimensiones y se asignan los materiales finales

con los que se va a construir el prototipo físico.

El capitulo siete se presenta el diseño de controladores para las dos configuraciones que

tendrá el UMS. En primera instancia se adicionan al modelo obtenido en el capitulo dos el

actuador seleccionado. El diseño de controladores para el sistema péndulo simple,

contempla controladores por realimentación del estado diseñado a través del control

óptimo cuadrático LQR, control por modos deslizantes y una estrategia conmutada para el

levantamiento del sistema. El sistema péndulo invertido doble es controlado en la zona

lineal (± 20º) por un regulador LQR por realimentación del estado.

Finalmente en el capitulo ocho se describe el diseño del prototipo virtual, para el cual se

tienen en cuenta los capítulos mencionados anteriormente. En un primera instancia se

sigue una metodología de POO (programación orientada a objetos), esto con el fin de

realizar un bosquejo del comportamiento requerido así como encontrar un modo eficiente

de implementar el software. Por ultimo se describen las principales características de la

implementación del prototipo en un programa orientado a eventos como lo es Visual

Basic, con su herramienta DirectX. En los anexos del trabajo se presenta el código

utilizado.

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INTRODUCCIÓN

�En el desarrollo de este trabajo de iniciación a la investigación se expone el diseño y

control de una planta que pueda configurarse como péndulo invertido simple y doble la

cual a lo largo del presente informe se llamara UMS (Underactuated Mechanical system).

El péndulo invertido es un sistema clásico en problemas de control, y su propósito es

estabilizarlo en su punto de equilibrio inestable. El sistema péndulo invertido doble es una

extensión del anterior y el objetivo de control al igual que en el péndulo simple es

estabilizar ambas barras en la posición vertical mientras se mantiene la posición deseada

en el carro. La dificultad en controlar el péndulo invertido doble es que se trata de un

sistema caótico por naturaleza, lo que indica que ante pequeños cambios en las

condiciones iniciales, la respuesta a lo largo del tiempo varía fuertemente. Luego es

extremadamente difícil controlar el sistema si no es posible predecir acertadamente el

movimiento de los péndulos.

Los sistemas péndulo simple y doble hacen parte de una clase de sistemas mecánicos

llamado sistemas mecánicos subactuados, en los que se cuentan con menos entradas

que grados de libertad, y el control de sistemas de esta naturaleza es actualmente un

campo muy activo de investigación, sobretodo por sus aplicaciones en robótica, vehículos

aeroespaciales y vehículos marinos. Los ejemplos de sistemas mecánicos subactuados

incluyen robots móviles, robots caminantes, sistemas de locomoción, aerodeslizadores,

satélites entre otros.

El diseño y control de los péndulos invertidos requiere un gran numero de pasos, primero

debe ser obtenido un modelo matemático, y después la etapa de diseño mecánico y

eléctrico del sistema se debe concatenar con la del desarrollo de una estrategia de control

adecuada , para esto se propone la metodología de diseño mecatrónico, con el fin que

desde el punto de vista de la ingeniería concurrente se aborde este problema de diseño y

se logre obtener un sistema adecuado a las necesidades de la universidad.

� ��

Con el presente trabajo también se incluye el desarrollo de un prototipo virtual del

sistema, diseñado de modo que es posible observar el desarrollo de estrategias de control

en la planta antes de implementarse en el prototipo físico

Los prototipos virtuales permiten una visualización muy cercana la realidad de prototipos

físicos; debido a esto se utilizan para el monitoreo de plantas a distancia, en las cuales la

presencia física de un operario podría ser peligrosa. El desarrollo de prototipos virtuales

en 3D es de gran importancia debido a que representa la posibilidad de implementar

sistemas mecánicos interactivos (prototipado virtual) sin necesidad de construcción física,

consiguiendo con ello reducción de costos y de tiempo. Además debido a los

inconvenientes con la transmisión de video a través de Internet (La velocidad de la

transmisión), estos prototipos son una herramienta fundamental para el desarrollo de

laboratorios virtuales.

�

Se espera que el desarrollo de este trabajo inicie todo un campo de investigación sobre

este tipo de sistemas en la Universidad que como se ha expuesto es altamente estudiado

en diversos centros tecnológicos del mundo entero, además sus resultados pueden ser

aplicados en diversas ramas que competen a muchos programas académicos enseñados

al interior de la institución.

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

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1. OBJETIVOS

1.1 OBJETIVO GENERAL.

• Diseñar, controlar y simular un péndulo invertido traslacional, con la posibilidad de

configurarse como péndulo simple y doble, de modo que se puedan implementar

diferentes estrategias de control.

1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS.

• Diseñar el sistema: configuración, dimensiones, materiales, selección de

actuadores, sensores, drivers, acondicionamiento de señales etc.

• Desarrollar un prototipo virtual 3D interactivo en DirectX; el cual permita ingresar

las estrategias de control y realizar simulaciones, para comprobar la funcionalidad

del controlador antes de realizar cualquier prueba en la planta real.

• Presentar el informe final del trabajo con la debida fundamentación matemática y

haciendo énfasis en los métodos y herramientas matemáticas utilizadas.

• Probar diferentes estrategias de control

• Determinar el estado del arte y los problemas en el control de un sistema no lineal,

en general y de un péndulo invertido traslacional en particular.

• Construir el prototipo físico modular de forma que permita configurar el sistema de

diferentes de modos en nuestro caso simple y doble, con cambios muy pequeños

en su estructura.

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2. MODELAMIENTO Y ANALISIS MATEMÁTICO

El modelo matemático es un conjunto de ecuaciones dinámicas que proveen una

adecuada descripción para el movimiento de un sistema en particular. Este modelo es

muy importante cuando se intenta diseñar un controlador para estabilizar el sistema,

además es fundamental para la etapa de modelado en Directx que se desarrolla en el

capitulo 8. El modelo matemático del péndulo simple y doble se discute en las secciones

de este capitulo

En general a lo largo de este capitulo se trabaja el modelo matemático del péndulo simple

y el péndulo doble, en dos partes, la primera consiste en encontrar el sistema de

ecuaciones no lineales usadas para representar el sistema, y la segunda se centra en

tomar dichas ecuaciones no lineales y linealizarlas para aplicar técnicas de control

lineales

2.1. PÉNDULO SIMPLE

Figura 2.1�Sistema Péndulo Invertido Simple

� ��

Los símbolos utilizados para el modelamiento se definen en la siguiente tabla

Tabla 2-1: Descripción y símbolos usados en el modelamiento del péndulo �

Símbolo Descripción Unidad M Masa del carro Kg. m Masa del péndulo Kg. c Constante de fricción entre carro - pista N/m/s. b Constante de fricción entre péndulo - carro N/m/s. L Longitud total del péndulo m I Inercia del péndulo Kg./m2

g Gravedad m/s2

� Angulo de posición del péndulo Rad. F Fuerza aplicada al carro N

2.1.1 Modelo no lineal. El péndulo invertido hace parte de los sistemas subactuados,

pues tiene un solo actuador y dos grados de libertad, el desplazamiento horizontal del

carro (x) y el ángulo de rotación con respecto a la vertical (�). La dirección positiva del

desplazamiento del carro es hacia la derecha y la rotación es positiva en el sentido de

giro de las manecillas del reloj.

La herramienta utilizada para el análisis dinámico fue el método de Energías de

Lagrange.

�

��

�

�

�

�

�

��

� =∂

∂−��

�

�

��

�

�

∂

∂•

L = T-V

Donde T es la energía cinética, V es la energía potencial, q es el mínimo número de

coordenadas necesario para describir el sistema que en el caso tratado se refiere a los

(2.1)

(2.2)

� ��

dos grados de libertad, finalmente L conocido como el lagrangiano es la resta de la

energía cinética y la potencial.

A continuación se obtendrán las expresiones para la energía cinética y potencial de cada

componente del sistema, y así aplicar la ecuación de Lagrange, para obtener las

ecuaciones diferenciales que caracterizan la dinámica del sistema.

Para el Péndulo

• Energía Cinética ��

��

�

�

�

� •+= θ��

Donde � es la velocidad del centro de masa de la barra, la posición del centro de

masa esta dada por:

( ) ( )∧∧∧

��

��

�+��

��

� += �� θθ ��

�

�

�

Entonces la velocidad será:

( ) ( )∧•∧••

∧∧

��

��

�−+��

��

� +== ��

��

�� θθθθ

�

��

�

�

Por lo tanto la energía cinética del péndulo será:

( ) ( ) ( )��

��

��

�

�

�

��

�

��

�

� •••••• +��

��

�+++= θθθθθθθ ��

Simplificando la expresión nos queda:

( )��

�

�

�

�

�

��

�

� ••••• +��

��

�++= θθθθ ��

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

� ��

• Energía Potencial �

( )θ��

�

�� =

Para el Carro

• Energía Cinética � �

�

� •= ��

• Energía Potencia

�=

La Energía Cinética de todo el sistema será la suma de la Energía Cinética del Péndulo

mas la del Carro.

( )��

�

��

�

�

�

��

�

�

�

� •••••• +��

��

�+++=

+=

θθθθ ��

��

La Energía Potencial de todo el sistema será solamente la energía del Péndulo.

( )θ��

�

�� =

Utilizando las ecuaciones (2.11) y (2.12) el Lagrangiano se puede escribir así:

( ) ( )θθθθθ ��

�

�

�

�

��

�

�

�

��

�

��

�� −+��

��

�+++=

••••••

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

� ��

Ecuación General de Lagrange

�

�

�

�

�

��

� =∂

∂−��

�

�

��

�

�

∂

∂•

Para la posición (x)

�

�

�

�

�

��

� =∂

∂−��

�

�

��

�

�

∂

∂••

( )••••

−=−��

��

� ++ ��

��

�

� θθ

( ) ( ) ( ) ��

�

�

��

�� =++−+••••••

θθθθ

Para el Angulo (�)

( ) ( ) ( )••••••

−=��

��

� +−−��

��

� ++ θθθθθθθ ��

�

�

�

�

�

�

��

�

� �

( ) ( ) ��

��

�

�

�

� � =+−+��

��

� +•••••θθθθ ��

Reescribiendo las dos ecuaciones para (x) y para (�) tenemos:

( ) ( ) ( ) ��

��

�

��

�

=++−+••••••

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

� ��

( ) ( ) ��

��

�

��

�

�� =+−+�

�

��

� +•••••

2.1.2 Linealización del modelo matemático. La linealización se efectúa cuando el

péndulo se encuentra muy cercano a su posición de equilibrio inestable (� = 0º). La

linealización de las ecuaciones (2.20) y (2.21) se realizan mediante aproximaciones de

series de Taylor, para ángulos muy pequeños se obtienen estas aproximaciones

θθ ≈�� ≈θ ��

≈•θ

Las ecuaciones resultantes del proceso de linealización son:

( ) ��

�� =+++

•••••

��

��

�

��

�

�� =+−+�

�

��

� +•••••

θ

2.1.3 Representación en el espacio de estados. La representación en el espacio de

estados brinda cierta facilidad para diseñar sistemas reguladores, los cuales se utilizan

cuando el péndulo esta en la región cercana al equilibrio inestable.

La representación en el espacio de estados hace parte de la teoría de control moderno,

este enfoque se basa en el concepto de estados y se realiza en el dominio del tiempo.

Tener un modelado en el espacio de estados brinda ciertos beneficios, como facilidad

para trabajar sobre sistemas complejos de múltiples entradas y múltiples salidas, además

mediante sus variables de estado se logra describir por completo el comportamiento de un

sistema dinámico y así observar si es posible controlarlo.

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

� ��

Un sistema lineal en el espacio de estados se representa mediante las siguientes

ecuaciones:

�� +=•

�� +=

Para hacer esta representación se hace uso de las ecuaciones linealizadas (2.23) y (2.24)

y así obtener la matriz de estados (A), la matriz de entrada (B) y la matriz de salidas (C) y

haciendo.

� ��=

��! ��=

�� " +=

�

��# +=

Las ecuaciones (2.23) y (2.24) se transforman en:

�� =++•••••

"

�� =+−+•••••

θ! #

Despejando de la ecuación (2.32) se tiene:

#

� �!•••

•• −−= θθθ

Reemplazando (2.33) en (2.31) resulta

�

��

"#

� !��#�#��

−+−−=

•••• θθ

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

� ��

De (2.34) se reemplaza en (2.33), se tiene

••••

��

��

�+��

�

��

�−��

�

��

�+−��

�

��

�+= �

�

��

�

�

$

#!

$

#��

�� θθθ

Donde se tiene

P = # "# �� −

Q = � "# −

Ahora para la representación en variables de estado se tiene:

••==== ��

••••••••••====== ��

Teniendo las variables de estado organizadas se procede a formar la matriz de estados

(A), la matriz de entradas (B) y la matriz de salidas (C).

[ ]��

�

�

�

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

��

��

�

�

#

�

�

�

�

�$

#!

$

#�

�

�

� �

!

�

#�

�

�

�

�

⋅

��

�

�

�

−

+

��

�

�

�

⋅

��

�

�

�

⋅��

��

�+−⋅��

�

��

�+

⋅⋅−⋅−

=

��

�

�

�

•

•

•

•

En la matriz (C) las salidas de interés son la posición lineal (x) y la posición angular �)

(2.35)

(2.36)

(2.37)

(2.38)

� ��

[ ]��

�

�

�

�

�

�

�

�

��

��

�

�

�

�

% ⋅

��

�

�

�

+

��

�

�

�

⋅��

�

�=

2.2 PÉNDULO DOBLE

El péndulo doble generalmente es descrito como un sistema no lineal1. El objetivo

fundamental del sistema es estabilizar ambos péndulos en la posición vertical, y la

dificultad radica en que es un sistema subactuado donde se tienen tres grados de libertad

y solo una entrada de control. En la figura 2.2 se presenta el modelo físico que se usara

para obtener el modelo matemático del sistema.

Figura 2.2 Sistema Péndulo Invertido Doble

��1�COWAN, Jeffrey; ERICKSON, Chris y ZLATANOVIC, Andrej. “Computer Based State Feedback Control of a

Double Inverted Pendulum”, 2004. p 79. Trabajo de Grado (ingeniero electrico). Lakehead University. Facultad de Ingenierias. �

(2.39)

� ��

Para describir matemáticamente el sistema contenido en la figura 2.2 es necesario definir

cierto número de elementos que se presentan en la tabla 2.2, en la que se muestran las

convenciones seguidas para el modelado matemático.

Tabla 2-2: Descripción y símbolos usados en el modelado del péndulo doble �

Símbolo Descripción Unidades M Masa del carro kg

m1 Masa del péndulo 1 kg m2 Masa del péndulo 2 kg me Masa de la unión entre péndulos kg L1 Longitud del péndulo 1 m L2 Longitud del péndulo 2 m Xc Posición del carro m �1 Posición angular del péndulo 1 rad �2 Posición angular péndulo 2 rad �3 Suma de posiciones angulares 1 y 2 rad G Constante gravitacional m/s2 F Fuerza de control aplicada al carro N

2.2.1 Modelo no lineal. Aplicando el método de Lagrange expresado en la ecuación

(2.1), se procede a calcular la energía cinética y potencial total del sistema, teniendo en

cuenta las siguientes definiciones para las energías:

= ��

�

�

= dmrgV z

Donde v es la velocidad lineal del elemento diferencial de masa, rz es el vector posición

del elemento diferencial de masa, y dm es el elemento diferencial de masa del elemento

al que se le están calculando la energía.

Como es claro del conjunto de ecuaciones (2.40) y (2.41) es necesario obtener una

definición del vector posición de los diferenciales de masa de cada uno de los elementos

que compone el sistema como se ilustra a continuación.

(2.40)

(2.41)

� ��

Vectores posición y velocidad para los péndulos

• Péndulo 1

De acuerdo a la figura 2.3 el diferencial de masa dm del péndulo 1 se define con respecto

al sistema de coordenadas con respecto al que se realiza el modelo del sistema mediante

el vector ��

, al derivarlo se obtiene el vector velocidad.

Figura 2.3: Vectores que determinan la posición del diferencial de masa del péndulo 1

De la figura 2.3 se tiene que:

( ) jaiasenxr cL ˆcosˆ)( 111 θθ +��

��

� +=�

Donde a se define como el la magnitud del vector que define la posición del diferencial de

masa dm a lo largo de la barra que forma el péndulo, y �! e �! representan los vectores

unitarios en dirección de los ejes coordenado x e y.

A partir de de la ecuación (2.42) se obtiene el vector velocidad derivando con respecto al

tiempo.

(2.42)

(2.43)

� ��

( ) ( ) jaiaxr cL ˆsinˆ)cos( 11111 θθθθ �� −+=

Donde la magnitud del vector velocidad representa la rapidez como se expresa en 2.44

( )( ) ( )21121112 )sin(cos θθθθ �� aaxV cL ++=

• Péndulo 2

Al igual que el procedimiento seguido para obtener el vector posición y la velocidad del

diferencial de masa del péndulo 1, se efectúa un procedimiento similar con el segundo

péndulo de modo que la representación se muestra en la figura 2.4.

Figura 2.4: Vectores que determinan la posición del diferencial de masa del péndulo 2

De la figura 2.4 se establece:

( ) ( ) �&��&�� !��!��"�� θθθθ ++++=�

( ) ( ) �&��&�� "��"��!��! �� θθθθθθθθ �� −−+++=

( ) ( )�� "��"�� θθθθθθθθ �� &�&�� ++++=

Donde �� es la magnitud del vector velocidad del diferencial de masa del péndulo 2.

(2.44)

(2.45)

(2.46)

(2.47)

� ��

Energía cinética del sistema

La energía cinética total del sistema está definida por la suma algebraica de la energía de

cada uno de los componentes del sistema:

�� $��'(�$��'(��&��(�$��'(� �� ++=

• Energía cinética del carro

cCarro MxT2

21=

• Energía cinética para el péndulo 1

Teniendo en cuenta 2.40, y 2.44 la energía cinética del péndulo 1 se plantea así:

( )[ ] 1121222111 )(sin)cos(21

dmaaxTPendulo ++= θθθθ ��

Ahora teniendo en cuenta que la masa puede expresarse como � ⋅= µ , donde µ es

la densidad lineal de masa y L es la longitud es claro como el diferencial de masa se

puede expresar como se muestra en 2.28

�(�

� =

Ahora de (2.51) en (2.50)

[ ]

( ) 1212

11112

11

1

01

2211

2

1

11

321

)cos(21

)cos(221

θθθ

θθθ

��

��

LmLxxmT

dlaaxxLm

T

Pendulo

L

Pendulo

++=

++=

(2.48)

(2.51)

(2.52)

(2.53)

(2.49)

(2.50)

� ��

• Energía cinética para el péndulo 2

A partir de (2.40), (2.47), y (2.51) la energía cinética se plantea como se expone en

(2.54).

[ ]

[ ]

( ) ( )[ ]

��

�

�+++

+++=

++

++=

))cos()(cos(3

)sin()sin(21

)cos()sin()cos(21

)sin()sin(

)cos()cos(21

111332322

2

3131122

332

2

111

2

11122

22

033111

2

2

22

0 33

2111

2

22

θθθθθθθθθ

θθθθθθ

θθθθ

θθθθ

��

��

��

��

LLL

LLm

xLLLxmT

daaLLm

daaLxLm

T

cPendulo

L

L

Pendulo

Energía Potencial del sistema

La energía potencial total del sistema esta definida por la suma algebraica de la energía

de cada uno de los componentes del sistema:

�� $��'(�$��'(��(�$��'(� �� +=

• Para el péndulo 1

A partir de 2.41 y 2.51 se expresa la energía potencial como se muestra abajo

)cos(21

)cos(

1111

1

0 11

11

θ

θ

gLmU

daaLm

gU

Pendulo

L

Pendulo

=

⋅=

• Para el péndulo 2

A partir de 2.41 y 2.51 se expresa la energía potencial como se muestra abajo

(2.54)

(2.55)

(2.56)

(2.57a)

(2.57b)

� ��

[ ]

��

��

� +=

⋅+=

)cos()cos(2

)cos()cos(

1132

22

2

0 1132

22

θθ

θθ

LL

gmU

daLaLm

gU

Pendulo

L

Pendulo

Calculo del lagrangiano

A partir de la ecuación 2.2 y de las ecuaciones de energía de cada componente del

sistema se obtiene el lagrangiano del sistema.

��

�

� +−−

��

�

�+++

��

�

� +++

+++=

��

��

�

��"��

��"��

�

�

��

��

�

��

��

�

�

�

�

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

�

�

�

θθθ

θθθθθ

θθθθ

θθθ

��

��

��

��

�

��

��

��

��

Para usar la ecuación de Lagrange (Ver Ecuación 2.1) Las matrices �� y �� deben ser

determinadas. Para el Péndulo invertido doble estas matrices se muestran a continuación

��

�

�

�

=��

�

�

�

=00Q y i

3

1

Fxq

c

i

θθ

Como se observa en las ecuaciones 2.60, las coordinadas que describen el sistema son

�) , �θ y �θ . Como hay tres diferentes coordinadas generalizadas o grados de libertad, La

ecuación de Lagrange debe ser aplicada para cada una de estas coordenadas, haciendo

(2.58 b)

(2.58 a)

(2.59)

(2.60)

� ��

esto obtenemos tres ecuaciones lineales. La solución de la ecuación de Lagrange para

cada una de las coordenadas se expone a continuación:

Para �� = x

( ) ( )

( ) ��

��

�

=−+

��

��

� +−+++

��"��

�

�

��"��

��

��

��

��

θθθθ

θθθθ

��

��

Para �� = �θ

( )

��"��

�

��"��

��

�

�

��

��

��

��

��

�

��

��

=��

��

� +−

−+−+

��

��

�++�

�

��

� +

θ

θθθθθθ

θθ

��

��

�

�

��

��

��

Para �� = �θ

��"��

��"��

�

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

��

=−−−

−++

θθθθ

θθθθθ

��

��

�

��

Finalmente tenemos que el conjunto de ecuaciones diferenciales que describen el sistema

es:

�****�* � =−−++••••••••

�

�

��

�

�� "��"�� θθθθθθθθ

( ) ( ) ��"��"��

�� =−−+−++•••••••

θθθθθθθθθ ****�* �

(2.61)

(2.62)

(2.63)

(2.65)

(2.64)

� ��

( ) ( ) ��"��"��

�� =−−−−++•••••••


Esta serie de ecuaciones representan el modelo del sistema en la figura 2.2, además

como el ángulo del segundo péndulo en un modelo real es medido relativo al primer

péndulo, las ecuaciones se deben representar en términos de �θ en lugar de �θ esto se

logra observando que �� θθθ −= . Reescribiendo las ecuaciones (2.64) a (2.66), en

términos de �θ se tiene.

( ) ( ) �****�* � =+��

��

� +−−+��

��

� +++•••••••••••

��

�

��

�

�� "��"�� θθθθθθθθθθθθ

��"��"��

�

�� =−��

��

� +−��

��

� +++••••••••••


( ) ( ) ��"��"��

�� =+−++��

��

� +++•••••••••

θθθθθθθθθθ ****�* �

Con este conjunto de ecuaciones ya se tiene descrito el comportamiento dinámico del

sistema de modo que ahora ya es posible diseñar y simular controladores para este, el

paso a seguir es incluir dentro de este la dinámica del motor, pero este paso se muestra

en el capitulo dedicado a las estrategias de control puesto que solo hasta ese momento

es posible completar el modelo pues en la fase de diseño detallado (Ver capitulo 5), se

define el sistema de transmisión que afecta la dinámica del sistema.

Las constantes incluidas en las ecuaciones (2.64) a (2.69) se exponen el la tabla 2.3.

(2.66)

(2.68)

(2.67)

(2.69)

� ��

Tabla 2-3: Valores simbólicos de las constantes hi

Constante Valor

h1 ��

� ++

h2 ��

�� +

h3 ��

��

h4 ��

�

�

��

�

+

h5 ��

��

h6 ��

� +

h7 ��

��

��

h8 �

��

��

2.2.1.1 Cambios en el modelo matemático. En el modelo matemático descrito hasta ahora

se ha asumido que la conexión entre los dos péndulos es hecha a través de un dispositivo

sin masa, o cuya masa es despreciable con respecto a los otros componentes del

sistema; pero en la práctica esto no es cierto, pues este dispositivo de conexión afecta la

dinámica del sistema, así que si se tiene en cuenta esta masa se presentan cambios en

algunas de las constantes presentadas en la tabla 2.3, estos cambios luego de hacer el

respectivo análisis llevado a cabo para cada componente del sistema se ilustran en la

tabla 2.4, donde me es la masa del dispositivo de conexión

� ��

Tabla 2-4: Cambios en definición de constantes Constante Valor

h1 �

� +++ ��

h2 ��

�

�� ++

h4 ��

�

�

�

��

�

++

h6 ��

�

��

� ++

De igual manera si se tiene en cuenta las fuerzas disipativas del rozamiento como se hizo

para el modelo del péndulo simple las ecuaciones 2.67 a 2.69 se transforman en:

( ) ( )2

21

2

21112212131121 sin3sincoscos••••••••••••

−=+��

��

� +−−+��

��

� +++ cc xcFhhhhxh θθθθθθθθθθθθ

( ) 211622

21522151412 sinsincoscos•••••••••••

−=−��

��

� +−��

��

� +++ θθθθθθθθθθ bhhhhxh c

( ) ( ) 222182215215217213 sinsincoscos••••••••••

−=��

��

� +−++��

��

� ++��

��

� + θθθθθθθθθθθ bhhhhxh c �

Donde c y b representan los coeficientes de rozamiento del carro con su superficie de

desplazamiento, y el de los péndulos respectivamente

2.2.2 Linealización del modelo matemático. El propósito de la linealización es permitir

el diseño de técnicas de control lineal, para aplicarlas al modelo no lineal; y para realizar

la linealización, ciertas aproximaciones deben ser hechas al sistema. El sistema será

linealizado alrededor de su punto de equilibrio inestable es decir, cuando el péndulo esta

en su posición vertical (ángulos �θ y �θ =0), para esto se usaran aproximaciones por

(2.67a)

(2.68a)

(2.69a)

� ��

series de Taylor expresadas en (2.22), lo que produce las ecuaciones linealizadas del

sistema expresadas en 2.70 a 2.74

Fhhhxh c =+++••••••••

2313121 θθθ

�� =+−++••••••••

θθθθ ****�* �

�� =−+−++••••••••

θθθθθ *****�* �

2.2.3 Representación en el espacio de estados. Para la representación en el espacio

de estados las segundas derivadas de cada uno de los tres grados de libertad deben ser

despejadas, a partir de las ecuaciones 2.45 a 2.47 despejar sucesivamente o transformar

este conjunto de ecuaciones en una ecuación matricial como se muestra a continuación.

( )��

�

�

�

+=

��

�

�

�

��

�

�

�

+++

••

••

••

��

��

�

�

��

��

��

θθθ

θ

θ*

*

��

****

****

**** �

Las segundas derivadas pueden ser encontradas si ambos lados de la ecuación 2.48 se

multiplica por la inversa de la matriz de coeficientes así:

( ) ��

�

�

�

+

−

��

�

�

�

+++

=

��

�

�

� •−

••

••

••

��

��

��

�

��

��

��

�

�

θθθ

θ

θ*

*

�**

****

****

****� ��

(2.71)

(2.70)

(2.72)

(2.73)

(2.74)

� ��

La inversa de la matriz de coeficientes H se calcula así:

( ) ( )HHH adjdet11 =−

Donde el determinante de H se expresa en la ecuación (2.76).

( ) 423532722251741 2det hhhhhhhhhhhh −+−−=H

Donde la inversa de la matriz H será:

( ) ��

�

�

�

−−+−−+−−+−−−−−−

=−

��

�

��

�

��

��

�

��

��

�

��

�

#��

�

**********************

***********

***********

��

El determinante de la matriz H debe ser revisado con el fin de evaluar si algún valor hace

que el determinante sea igual a cero. Si este es el caso se debe tener especial cuidado

en el diseño mecánico del sistema con el fin de evitar que esto suceda.

Luego de manipular matemáticamente la ecuación 2.76 es posible demostrar que el

determinante del sistema es:

( ) ��

�

�

�

��

�

��

�#��

��

+++=�

De donde es claro que como los valores de masas y longitudes son siempre enteros

positivos el determinante será siempre mayor que cero. Este determinante es hallado si

se considera que el centro de masa de los péndulos esta en su centro, pero de no ser así

también es demostrable que el determinante siempre será mayor a cero.

(2.75)

(2.76)

(2.77)

(2.78)

� ��

Ahora que el determinante ha sido revisado si se sustituye el valor de la inversa de la

matriz H en la ecuación 2.74, se obtiene el modelo matricial para las segundas derivadas

así:

( )��

�

�

�

+��

�

�

�

−−−=

��

�

�

�

••

••

••

218

16

564523

542

321

2

1

θθθ

θ

θh

hF

wwwwwwwwwwwwxc

Donde los valores de las constates wi de la ecuación 2.79 son mostradas en la tabla 2.4;

y si se transforma dicha ecuación a un sistema de ecuaciones, se obtiene la solución para

las aceleraciones de las coordenadas que definen el sistema así:

2831831621 θθθ hwhwhwFwx c +++=••

28518516421 θθθθ hwhwhwFw +++=••

( ) ( ) ( ) ( ) 285618561645232 θθθθ hwwhwwhwwFww −+−+−+−=••

(2.79)

(2.80)

(2.81)

(2.82)

� ��

Tabla 2-5: Tabla de constantes para los elementos de la matriz H-1

Constante Valor Constante Valor

W1 ( )Hhhh

det

2574 − W4 ( )H

hhhdet

2371 −

W2 ( )Hhhhh

det7253 − W5 ( )H

hhhhdet

5132 −

W3 ( )Hhhhh

det4352 − W6 ( )H

hhhdet

2241 −

det(H) 42

353272

22

51741 2 hhhhhhhhhhhh −+−−

Ahora que las aceleraciones ya han sido despejadas, la representación en espacio de

estados puede ser realizada, para ello es preciso primero establecer las variables de

estado del sistema así:

26

25

14

13

2

1

•

•

•

=

==

==

=

θ

θθ

θ

x

xx

xxx

xx

c

c

Ahora de acuerdo a las ecuaciones 1.21, 1.22, y 2.80 a 2.82 tenemos las matrices A, B y

C para que la representación en espacio de estados del péndulo doble sea completa.

Las matrices A, B y C se muestran a continuación:

� ��

( ) ( ) ( ) ( ) ��

�

�

�

−−+−−

+−

+−

=

000100000000001000000000010

856856645932

85856492

83836291

hwwhwwhwwhww

hwhwhwhw

hwhwhwhw

A

( )

��

�

�

�

=

��

�

�

�

−

=010000000100000001

C ,

0

0

0

1023

102

101

hww

hw

hw

B

�

2.3 VALIDACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS

El modelo tenido en cuenta hasta el momento tiene como entrada del sistema la fuerza, y

no se ha tomado el actuador del sistema, sin embargo a partir de este momento tanto en

esta sección como en la del analisis de controlabilidad se incorporara al sistema el motor

que actua como fuente de fuerza para el sistema. La documentación de la selección del

motor y su modelado se encuentra referenciada en los capitulos 6 y 7.

Los modelos matemáticos son de gran ayuda para identificar, reconocer y definir

aspectos característicos de un sistema o proceso en el cual se implementara en la

mayoría de los casos algún tipo de estrategia de control. La gran parte de estos sistemas

son de comportamiento no lineal y en algunos casos se pueden realizar aproximaciones

lineales por medio de técnicas de identificación, aunque al realizarse estas se debe tener

en cuenta que se pierden propiedades del sistema, para otros se deben linealizar

analíticamente partiendo como base del modelo no lineal esto al igual que el caso anterior

(2.83a)

(2.83b)

� ��

tiene como consecuencia la perdida de información en la dinámica del sistema para

sectores fuera de los puntos de trabajo alrededor de los cuales se hace la linealización.

Para obtener buenos resultados en el diseño, simulación y posterior implementación de

controladores, es necesario que los modelos matemáticos desarrollados de la planta o

proceso expresen al máximo el comportamiento real de esta y si es posible que reflejen

sus limitaciones, por ello es necesario realizar una validación de los modelos pues este

paso permite que errores en los modelos sean identificados y corregidos.

La validación que se propone en es trabajo es muy sencilla, y consiste en observar la

respuesta natural del sistema, es decir se coloca como entrada cero y se itera con la

posición inicial de los ángulos observando la salida o salidas para analizar si su

comportamiento es parecido a un prototipo físico; pero así mismo es importante tener

amplios conocimientos acerca del sistema para poder certificar y validar los datos

resultante del análisis del modelo matemático.

La respectiva validación de los modelos efectuados anteriormente del péndulo invertido

simple y doble se realiza con ayuda del Simulink de Matlab 6.5, debido a que permite

elaborar fácilmente y de manera confiable los respectivos modelos de las plantas ya

mencionadas.

2.3.1 Modelo Péndulo Invertido Simple. En primer lugar es necesario realizar una

representación numérica del péndulo simple, para esto es preciso, reemplazar los valores

de los parámetros del sistema que se encuentran en los modelos obtenidos hasta ahora

por valores con los que se construirá el sistema. En la tabla 2-6 se muestran los valores

numéricos que se utilizan obtenidos a partir de los valores obtenidos en el diseño

detallado.

� ��

Tabla 2-6: Valores numéricos de los parámetros del sistema péndulo invertido. Símbolo Descripción Valor Unidad

M Masa del carro 0.5 Kg. m Masa del péndulo 128.3 Kg. c Constante de fricción entre carro - pista 0.1 N/m/s. b Constante de fricción entre péndulo - carro 0.001 N/m/s. L Longitud total del péndulo 0.5 m I Inercia del péndulo 0.0107 Kg./m2

g Gravedad 9.81 m/s2

r Radio de la rueda dentada acoplada al motor 0.02 m

Km Constante de Torque 0.0333 Nm/A KG Relación de Reducción 1 --------- Ra Resistencia de Armadura 0.62 �

En la tabla 2-6 los valores de los coeficientes de rozamiento han sido estimados de

acuerdo a información obtenida de los rodamientos utilizados para los acoples tanto

lineales como rígidos de bolas, y en cualquier caso en un sistema real estos pueden variar

y los valores correspondientes a las constantes del motor se encuentran en el catalogo de

este. Los valores de la tabla 2-6 se sustituyen en la representación de espacio de

estados que se presenta a continuación.

��

�

�

�

•

•

•

•

4

3

2

1

x

x

x

x

=

��

�

�

�

−

−−

0584.09933.174225.1301000

0029.08763.09506.700010

.

��

�

�

�

4

3

2

1

xxxx

+ u⋅

��

�

�

�

− 8852.70

6707.40

Teniendo como base el modelo matemático no lineal, y la representación en variables de

estado, se procede a escribir las expresiones debidamente despejadas en Simulink con

ayuda de la herramienta fcn, el cual es un bloque de expresión general donde se utiliza

“U()” como entrada de la variable, en donde se transcriben las expresiones matemáticas

de las ecuaciones.

�2.84��

� ��

La figura 2.5 ilustra la representación del sistema péndulo simple en Simulink, en la cual al

modelo se le ha incluido la dinámica del motor DC como fuente de fuerza, y la entrada del

sistema como consecuencia es el voltaje aplicado al motor.

Figura 2.5: Implementación del Modelo No Lineal del Péndulo Simple en Simulink

Después de tener el modelo de la figura 2.5, para iniciar la validación se debe inicializar

las variables para realizar la previa simulación, se inicializa el ángulo del péndulo con

respecto a la vertical Phi (�) en un grado (1°), la posición lineal del carro (X) en cero, y se

aplica en la entrada un voltaje cero (0), y se simula el sistema con estas condiciones

iniciales para observar la respuesta natural del sistema.

En Figura 2.6 se observa al movimiento que realiza el péndulo cuando se deja caer

desde la posición inicial (1°). Se nota claramente que el péndulo al soltarlo desde su

posición vertical y no tener ningún voltaje aplicado, tiende a su posición de equilibrio

estable (180°) debido a la acción de la gravedad. En este modelo se pueden cambiar

parámetros como las constantes de rozamiento para intentar “sintonizar” el modelo con el

prototipo físico construido.

� ��

Figura 2.6: Respuesta Natural del Sistema Péndulo Simple

��

Tambien se muestra la representación del movimiento que realiza el carro debido a la

acción que ejerce el movimiento pendular sobre él. Se observa que el movimiento del

carro es de un lado a otro casi en forma simétrica alrededor de cero, de acuerdo con la

amplitud de la oscilación que realiza el péndulo, ya que, al final, cuando el péndulo tiende

a quedarse sin movimiento, el carro también debido a la reacción que ejerce el péndulo

sobre este.

De acuerdo a los resultados obtenidos en el sistema y expresado en la Figura 2.6 se

puede concluir que el modelo matemático construido es valido pues expresa las

características dinámicas del sistema que son de interés para los objetivos de control.

� ��

2.3.2 Modelo del Péndulo Invertido Doble. Al igual que en el modelo anterior es preciso realizar una representación numérica del sistema a fin de caracterizar el mismo y

poder realizar las simulaciones con parámetros obtenidos del sistema físico. En la tabla 2-

7 se ilustran los valores numéricos para los parámetros del sistema péndulo doble. Los

valores de los coeficientes de rozamiento y de las constantes del motor son iguales que

para el péndulo simple

Tabla 2-7: Valores numéricos para los parámetros del sistema péndulo doble. Símbolo Descripción Valor Unidades

M Masa del carro 0.5 Kg

m1 Masa péndulo 1 0.1026 Kg

m2 Masa péndulo 2 0.1026 Kg

L1 Longitud péndulo 1 0.4 m

L2 Longitud péndulo 2 0.4 m

g Gravedad 9.81 m/s2

A partir del modelo no lineal de la planta, y de la definición de las variables de estado, se

realiza la implementación en Simulink del modelo no lineal del péndulo doble pero para

este caso, las ecuaciones que representan a la planta son más complejas que las

anteriores, por lo que se tuvo un hacer un sistema más estructurado y dividido en algunos

subsistemas en la implementación en Simulink.

Como se expresó anteriormente las ecuaciones que definen el sistema no lineal son

bastante complejas y por eso requieren de manipulación matemática para poder ser

implementadas fácilmente en simulink, lo que da como resultado que el modelo se divida

en dos partes o subsistemas que se aprecian en la figura 2.7.

� ��

Figura 2.7: Implementación del Modelo No lineal del Péndulo Doble en Simulink

En el primer subsistema se localizan los bloques Fcn, dentro de los cuales se escriben

las expresiones algebraicas del modelo no lineal del Péndulo Invertido Doble, estos se

muestran el la figura 2.8. Básicamente las expresiones que se muestran en la figura 2.8

son simplemente combinación de las variables de estado que son muy comunes en el

despeje de cada una de estas.

En la figura 2.9 se muestra el otro subsistema se encuentran expresiones y operaciones

algebraicas complementarias que se presenta el modelo no lineal dentro de su

modelamiento matemático. Las expresiones contenidas en este subsistema son

combinación de las expresiones del subsistema funciones.

�

�

�

�

�

�

� ��

Figura 2.8: Subsistema Funciones

Figura 2.9: Subsistema Complementario del Modelo

� ��

Después de la implementación de simulink, se procede a la inicialización de las variables

del sistema, para este caso y como se había realizado con el modelo del péndulo simple,

se analiza la respuesta natural del péndulo inicializando el ángulo del péndulo 1 Phi (�) a

1° con respecto a la vertical, y el ángulo del péndulo 2 Theta (�) en cero con respecto al

péndulo 1, también se procede a inicializar la posición lineal del carro en cero y se aplica

un voltaje nulo en la entrada.

La figura 2.10 muestra como el péndulo 1, partiendo desde su punto de inicialización,

realiza oscilaciones alrededor de su punto de equilibrio estable (180°) y su tendencia a

detener su movimiento se observa en la disminución periódica de su amplitud en cada

oscilación, siendo este comportamiento, el esperado de acuerdo a la dinámica del

sistema. Esta disminución será diferente si se cambian los coeficientes de rozamiento,

pero para el caso actual con el fin de hacer más real el modelo estos son tenidos en

cuenta

Tambien se observa que el péndulo 2, reacciona al movimiento que le produce el péndulo

1, lo cual hace que este realice varias vueltas alrededor de su punto de pivote que se

encuentra en el extremo del péndulo 1, es por ese motivo que el péndulo 2 se estabiliza

en el punto de equilibrio estable (0°) que es equivalente a la posición de 720º que se

puede apreciar en la figura. Es decir que el péndulo 2 se estabiliza formando un ángulo de

0º con respecto a su punto de pivote

Ademas se grafica el movimiento del carro cuando el sistema esta configurado como

péndulo doble, posee un comportamiento muy similar al de la configuración de péndulo

simple, ya que este movimiento es consecuencia de las oscilaciones de los péndulos, lo

que hace que el carro también oscile alrededor de su punto de inicialización, hasta que se

detenga y se estabilice al igual que los péndulos.

�

�

�

�

�

�

�

� ��

Figura 2.10: Respuesta Natural del Sistema Péndulo Doble

En general la Figura 2.10 se valida el modelo construido para el péndulo simple. Es

conveniente aclarar que los resultados aquí consignados son simplemente una parte

resultantes de comprobar el comportamiento del sistema para diversas condiciones

iniciales.

� ��

2.4 ANALISIS DE CONTROLABILIDAD

2.4.1 Péndulo Invertido Simple. Antes de iniciar con el diseño de cualquier

controlador es necesario saber si el sistema es completamente controlable, “se dice que

un sistema es controlable en el tiempo t0 si se puede llevar de cualquier estado inicial x(t0)

a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de

tiempo finito.2 Para conocer si el péndulo invertido es controlable se requiere calcular la

matriz de controlabilidad (C0) que se describe a continuación.

C0 = [B � AB � A2B � A3B]

Donde A = n x n Matriz de estados

B = n x 1 Matriz de entradas

A partir de la representación numérica del sistema linealizado expresado en la ecuación

2.84 y 2.85 se tiene que la matriz de controlabilidad del sistema péndulo invertido

traslacional es:

��

�

�

�

−−−−

−−−

=

��

��

��

��

�

��

Para conocer si el sistema es completamente controlable se calcula el rango de la matriz

de controlabilidad, y si la matriz C0 es de rango completo (rango = n = 4) significa que el

sistema es completamente controlable.

�

�

�

��2 OGATA, Katsuhiko. Ingeniería de control de moderna. 3 ed. México: Pearson, 1998. p.737.

(2.85)

(2.86)

� ��

2.4.2 Péndulo Invertido Doble. Como el controlador que se va a implementar es de

tipo lineal es necesario observar la controlabilidad del sistema antes de diseñar cualquier

tipo de controladores.

La matriz de controlabilidad del sistema péndulo invertido doble se muestra en 2.87, y

con la ayuda de matlab al ejecutar el comando Rank (Co), se obtiene que el rango es

igual a 6, lo que equivale a decir que el sistema es completamente controlable.

��

�

�

�

−−−−−−−−

−−−−−−

−−

=

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

�

�

Con los analisis de controlabilidad termina este capitulo en el que se ahondado en las

caracteristicas dinámicas del UMS, con el fin de conocer su comportamiento y entrar enla

etapa de diseño mecatrónico que se aborda en los capitulos 3 a 6, y de igual manera con

el analisis de controlabilidad del sistema es posible que en el capitulo 7 se proceda al

diseño de controladores para ambas configuraciones.

(2.87)

� ��

3. PLANEACIÓN DEL PRODUCTO

3.1. JUSTIFICACIÓN Los sistemas mecánicos subactuados son una importante área de investigación en el

campo de la robótica a nivel mundial, debido a que representan la posibilidad de manejar

más grados de libertad con menos actuadores, lo que trae beneficios en costos,

producción y seguridad de futuros sistemas.

Cuando se trabaja con sistemas mecánicos en los que hay igual numero de actuadores

que grados de libertad se debe tener en cuenta que en el momento de presentarse fallas,

el mecanismo tiende a colapsar o a no comportarse de una manera adecuada, debido a

que no está en capacidad de actuar como un sistema subactuado, de modo que es

evidente el estudio de esta clase de dispositivos como una herramienta fundamental para

actuar en estos casos, siendo precisamente en este campo donde se encuentra una de

las principales aplicaciones, y ramas de investigación a nivel mundial, pues implica

ahorros en recursos técnicos, financieros y humanos.

Los sistemas no lineales constituyen un interesante campo de estudio para sistemas de

control, debido a que nos permiten entrarnos en un tema interesante el cual es muy

centrado en la realidad y poco explorado en el ámbito nacional y sobretodo en niveles de

pregrado. Además es posible mostrar como las herramientas matemáticas, usadas de

forma adecuada, pueden ser muy útiles en estas aplicaciones sacando el mejor provecho

para la solución de este tipo de problemas.

Los resultados son de interés académico debido a que servirán como bases para cursos

impartidos en la universidad, tales como control digital, control moderno, sistemas en

tiempo real y sistemas inteligentes.

� ��

Por otro lado los prototipos virtuales permiten una visualización muy cercana la realidad

de prototipos físicos; debido a esto se utilizan para el monitoreo de plantas a distancia, en

las cuales la presencia física de un operario podría ser peligrosa.

El desarrollo de prototipos virtuales en 3D es de gran importancia debido a que representa

la posibilidad de implementar sistemas mecánicos interactivos (prototipado virtual) sin

necesidad de construcción física, consiguiendo con ello reducción de costos y de tiempo.

Además debido a los inconvenientes con la transmisión de video a través de Internet (La

velocidad de la transmisión), estos prototipos son una herramienta fundamental para el

desarrollo de laboratorios virtuales.

La industria Colombiana tiene muchas empresas que no proporcionan el suficiente grado

de automatización requerido para obtener productos de alta calidad que puedan ser

exportados además de que no se ha generado de una manera efectiva en las

universidades grupos fuertes de investigación que estén obteniendo nuevos desarrollos y

que estén impulsando el área de automatización y control una forma más efectiva; y el

desarrollo de proyectos de este tipo posicionan a la universidad como pionera colocándola

a la vanguardia en la región y en el país en generación de tecnología nacional.

3.2. PLANTEAMIENTO DE LA MISIÓN �Descripción del Proyecto

Péndulo invertido traslacional configurable como péndulo simple y péndulo doble, para

desarrollo de prácticas de control automático.

Principales Objetivos del producto

Generar un producto competitivo en sector académico nacional y andino.

• Dotar al laboratorio de una nueva planta para practicas de control avanzado

• Trabajar técnicas de control no convencionales

• Emplear diferentes estrategias de control en las distintas formas de trabajo del

sistema.

• Generar documento con conclusiones del proceso.

� ��

• Desarrollar un dispositivo fiable, robusto y con diseño industrial aceptable.

Premisas y Restricciones

• Costo total para la construcción del dispositivo no debe exceder los $ 5’500.000.

• Fácil mantenimiento y reparación.

• Control por medio del computador utilizando el software Matlab y la tarjeta de

adquisición de datos PCI 1200.

Mercado Primario

• Sector académico, Universidades y centros de educación superior donde se

dicten materias relacionadas con control.

Mercado Secundario

• Grupos de investigación

Partes Implicadas

• Director del proyecto, diseñadores, usuarios, entidad de financiamiento y

proveedores de servicios y suministros

� ��

4. DESARROLLO CONCEPTUAL

4.1 IDENTIFICACIÓN DE NECESIDADES

4.1.1 Recolección de información primaria. Para la recolección de información

primaria se acudió a las principales partes implicadas relacionadas en el planteamiento de

la misión, es así como se recogieron las inquietudes de los usuarios de las plantas que se

encuentran en el laboratorio de automática de la universidad tanto de estudiantes de

semestres superiores que ya tienen identificados falencias y fortalezas en los equipos,

como de estudiantes que apenas inician sus practicas, e igualmente se obtuvieron

valiosos aportes de docentes y el personal encargado de manipulación de los equipos; es

así como se obtuvo un compendio numeroso de inquietudes y expectativas sobre el

equipo que forma la materia prima para obtener las principales necesidades a satisfacer.

4.1.2 Interpretación de datos primarios en términos de necesidades. De los datos

recolectados en la información primaria se obtuvieron múltiples planteamientos de los

usuarios del sistema, los cuales luego de un proceso de filtración se agruparon en una

serie de planteamientos globales que envuelven de manera integral las características de

desempeño esperadas del sistema, estos son numerados en la tabla 4-1. La tabla 4-2

ilustra la interpretación de los planteamientos esperados del dispositivo en términos de

necesidades; en general fueron detectadas diez y seis necesidades que abarcan

principalmente diseño industrial e instrumentación, en esta tabla al sistema a desarrollar

se hace referencia como UMS por las siglas en ingles de Underactuated Mechanical

System, y a lo largo de todo el documento.

�

4.1.3 Organización de necesidades por jerarquía. Las diez y seis necesidades

identificadas son reagrupadas en cuatro necesidades primarias, y a su vez de acuerdo a

los parámetros de diseño definidos en el planteamiento de la misión del proyecto se

define nivel de importancia para cada necesidad secundaria dada por el numero de puntos ( ), tal como es ilustrado en la tabla 4-3.

�

�

� ��

Tabla 4-1: Listado de planteamiento de usuarios a “Instrumentación más robusta” b “Que la interfaz de conexión sea ordenada y clara”�c “No quiero que se descuadre la instrumentación”�

d Que la variable de proceso este completamente instrumentada con voltajes estándares” e “Buen diseño industrial”�f “Que sea lo más modular posible”�g “Agradable a la vista” h “Que todo este incluido en la mesa de trabajo”�i “Que tenga buena ilustración en el momento de conectar”�j “Quiero que sea cómodo y fácil de usar”�k “Que sea de fácil mantenimiento”�l “Flexibilidad para cambios en la configuración”�

m “Que sea autónoma en la parte de potencia”�

n “Me estresa llamar al auxiliar del laboratorio para que calibre el sistema”�

o “Que este bien documentada, que tenga manual técnico” p “Que sea resistente, materiales finos” q “Que sea robusta, que no sea delicada” r “Que sea económico”�s “Que sea fácil de transportar”�t “Que sea durable”�

Tabla 4-2: Interpretación de necesidades

NECESIDADES PLANTEAMIENTO USUARIOS 1. El UMS es ordenado en su sistema de conexiones b, i 2. El UMS presenta señales instrumentadas y confiables a, d, n 3. Los sensores funcionan correctamente después de excesivo uso c, n 4. El UMS es atractivo e innovador en su diseño e 5. El UMS es fácil de ensamblar f 6. El UMS presenta interfaz agradable al usuario g 7. El UMS es de fácil operación 8. El UMS permite el almacenamiento de sus distintos accesorios

h, j

9. El UMS es de fácil mantenimiento y reparación K 10. El UMS tiene integrados en su estructura las etapas de potencia,

instrumentación y alimentación. m

11. El UMS posee la capacidad de hacer diferentes pruebas 12. El UMS presenta posibilidad de configurarse en distintas

modalidades. l

13. El UMS es fácil de transportar s 14. El UMS presenta manual técnico. o 15. La estructura mecánica del UMS se compone de elementos de

manufactura nacional y fácil de consecución 16. El UMS es duradero

p, r, t

� ��

Tabla 4-3: Jerarquía de necesidades.

1. EL SISTEMA ELECTRÓNICO DEL UMS ES CONFIABLE Y ROBUSTO

El UMS es ordenado en su sistema de conexiones

�El UMS presenta señales instrumentadas y confiables�

�Los sensores funcionan correctamente después de excesivo Uso�

�El UMS tiene integrados en su estructura las etapas de potencia, instrumentación y alimentación.�

2. EL DISEÑO DEL UMS ES ÓPTIMO Y COMPETITIVO

El UMS es atractivo e innovador en su diseño

El UMS es fácil de ensamblar

�El UMS presenta posibilidad de configurarse en distintas modalidades�

El UMS presenta interfaz agradable al usuario

3. EL UMS ES DE FÁCIL MANTENIMIENTO Y CONFIGURACIÓN

El UMS es de fácil mantenimiento y reparación

El UMS posee la capacidad de hacer diferentes pruebas

El UMS presenta manual técnico

El UMS es de fácil operación

4. LA ESTRUCTURA MECÁNICA DEL UMS ES SENCILLA Y ROBUSTA

La estructura mecánica del UMS se compone de elementos de manufactura nacional y fácil de consecución en el mercado.

�El UMS es duradero�

�El UMS es fácil de transportar�

El UMS permite el almacenamiento de sus distintos accesorios

� ��

La agrupación por jerarquías permite formar grupos de necesidades primarias permiten

obtener el pareto del proceso de diseño de modo que simplifica cualquier decisión a

tomar, pues resumen en la fiabilidad del sistema electrónico y mecánico, en el diseño

industrial y en la fácil operación del equipo todas las necesidades de los usuarios que

delimitan los puntos clave a tener en cuenta de aquí en adelante.

4.1.4 Importancia relativa de las necesidades. Finalmente a cada una de las

necesidades que se obtuvieron se le asignará la importancia relativa que representa para

el proceso de diseño, teniendo en cuenta la lista jerárquica de necesidades y el grupo de

necesidades primarias al que pertenecen, son ponderadas con un orden de importancia

de 1 a 5, ilustrado en la tabla 4-4.

Tabla 4-4: Importancia relativa de las necesidades de los usuarios del UMS # NECESIDAD IMP.

1 El UMS es ordenado en su sistema de conexiones 4

2 El UMS presenta señales instrumentadas y confiables 5

3 Los sensores funcionan correctamente después de excesivo Uso 3

4 El UMS es atractivo e innovador en su diseño 4

5 El UMS es fácil de ensamblar 4

6 El UMS presenta interfaz agradable al usuario 3

7 El UMS es de fácil operación 4

8 El UMS permite el almacenamiento de sus distintos accesorios 2

9 El UMS es de fácil mantenimiento y reparación 4

10 El UMS integra en su estructura las etapas de potencia, instrumentación y alimentación 5

11 El UMS posee la capacidad de hacer diferentes pruebas 4

12 El UMS presenta posibilidad de configurarse en distintas modalidades 5

13 El UMS es fácil de transportar 3

14 El UMS presenta manual técnico 5

15 La estructura mecánica del UMS se compone de elementos de manufactura nacional

y fácil de consecución en el mercado 3

16 El UMS es duradero 4

De la tabla 4-4 es importante aclarar la diferencia existente entre la necesidad 11 y 12,

pues el dispositivo como se menciona en el planteamiento de la misión puede

� ��

configurarse como péndulo simple y doble, pero a su vez debe permitir hacer diferentes

pruebas con estas dos configuraciones como swing up, control de oscilaciones, y control

de posición del carro, que exigen un diseño mecánico versátil que en algunos dispositivos

presentes en el mercado y tenidos en cuenta en el Benchmarking competitivo no

presentaban

�

�

4.2 ESPECIFICACIONES PRELIMINARES

�

4.2.1 Establecimiento de métricas. De acuerdo a las necesidades expuestas se

establecen las métricas que son el pu

diseño y simulación de un sistema mecánico subactuadodiseÑo y sumilaciÓn de un sistema...

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