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Diseño de Maquinas Posgrado MC. Daniel Ramirez VDiseño de Maquinas Posgrado MC. Daniel Ramirez V
Unidad temática 3Unidad temática 3 Análisis de esfuerzos en un puntoAnálisis de esfuerzos en un punto
1
Método Grafico. Circulo de Mohr
3a.Parte
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3.5 Método grafico. Circulo de Mohr
Existe una interpretación grafica de las ecuaciones anteriores hecha por el ingeniero alemán Otto Mohr Otto Mohr (1882)(1882) a partir del uso de un círculo, por lo que se ha llamado Circulo de MohrCirculo de Mohr. .
2
Pag 11
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3.5 Método grafico. Circulo de Mohr
Las ecuaciones (3.1) y (3.2) son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia. Rearreglando la ecuación 3.1:
3
2cos22
22cos22
xy
yx
xy
yxyx
sen
sen
(3.1 y 3.2)
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Elevando al cuadrado, sumando y simplificando,
22
22
22 xyyxyx
(3.11)
xx, , yy,,xyxy son valores conocidos que definen el son valores conocidos que definen el estado estado
plano de esfuerzoplano de esfuerzo,, mientras que mientras que yy son variablesson variables. .
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Por lo tanto Por lo tanto ((xx + +yy)/2)/2 es una constante es una constante CC,, y el y el
segundo miembro de la ecuación (3.11) lo consideramos segundo miembro de la ecuación (3.11) lo consideramos como otra constantecomo otra constante RR. . sustituyendo, la ecuación (3.11) se sustituyendo, la ecuación (3.11) se transforma en: transforma en:
222 RC (3.12)
Esta ecuación es análoga a la de una circunferencia: Esta ecuación es análoga a la de una circunferencia:
(x-c)(x-c)22 + y + y 22= R= R22
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2
22
2
yx
xyyx
C
R
(3.13)(3.13)
Por lo que la circunferencia será de radio y centro:
11Construcción del circulo de Mohr
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La figura 3.5 representa el círculo de Mohr para el estado plano de esfuerzos que se ha estudiado.
El centro C esta a una distancia OC del origen que es la media aritmética de los esfuerzos normales, y el radio R es la hipotenusa del triangulo rectángulo CDA.
Se puede comprobar fácilmente que las coordenadas de los puntos E, F, G corresponden a las expresiones deducidas en las ecuaciones (3.5) y (3.6), por lo que el circulo de Mohr representa gráficamente la variación de los esfuerzos dada por las ecuaciones (3.1) y (3.2).
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Figura 3.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional Figura 3.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional
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Construcción del circulo de Mohr
9
Dado el estado de esfuerzos biaxial:
x > y,
y
xy
x
a) (x , -xy )
b) (y , yx )
aa
bb
yx
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XX
YY bb
aacc
minmin
maxmax
mama
xx
nn
mimi
nn
a) (x , -xy )
b) (y , yx )
’’
’’
2211
2222
2222’’
2211’’
22
x’x’x’x’
xy’xy’
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Problema propuesto (Método Gráfico Circulo de Mohr) :
1. Para el estado de esfuerzos biaxial en el punto, Determinar :
a) Los esfuerzos componentes x’, xy’ para x’= -30o
b) Los esfuerzos principales normales 1, 2 .
c) Su dirección y orientación
d) Los esfuerzos principales cortantes 1, 2 y n
e) Su dirección y orientación
11
xx= 500 MPa= 500 MPa
y y = 300 MPa= 300 MPa
xyxy= 100 MPa= 100 MPa
Caso 1
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Método Gráfico: Circulo de Mohr
1. Identificar el estado de esfuerzos
x = + 500MPa (T)y = - 300MPa (c)
xy = - 100MPayx = 100MPa2. Hacer escala 50 MPa: 1cm.
3. Pasar los puntos a(500, -100) y b(-300, 100) a centímetros; (10,-2)
y (-6, 2).
4 Trazar los ejes vsen el papel milimétrico
5. Marcar los puntos a y b y unirlos con una línea.
6. Indicar el eje X de Ca y el y de Cb
7. Marcar el origen O y el centro C 12
aa
bb
XX
YY
CCoo
xx= 500 MPa= 500 MPa
y y = 300 MPa= 300 MPa
xyxy= 100 MPa= 100 MPaab
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8. Con radio R = Ca = Cb trazar el circulo con centro en C. identificar los ejes principales.
9. Obtener el estado de los esfuerzos principales y sus magnitudes:midiendo en el papel milimétrico cada punto indicado en la figura a partir del origen:
Max =10.3cmx50=515MPa(+) Min = -6.3cm x50=-315MPa
Max = 8.3cm x50= 415MPaMin = -8.3cm x50= -415MPan = 2cm x50 = 100MPa
13
aa
bb
XX
YY
CCoo 2211
2’2’
1’1’
((1 1 ,0),0)
((n, n, max ,max ,))
(( n ,n ,minmin,),)
((2 2 ,0),0)
maxmaxminmin
maxmax
nn,,
minmin
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aa
bb
XX
YY
CCoo
22
((1 1 ,0),0)
((n, n, max ,max ,))
(( n ,n ,minmin,),)
((2 2 ,0),0)
maxmax
minmin
maxmax
1’1’ nn,,
22
minmin
11
2’2’
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10. Obtención de la dirección de los esfuerzos principales normales y cortantes
Los ángulos en el circulo son el doble del valor real.
Max = +15o 1 =+ 7o
Min = - 165º 2 = - 85.5o
2’Max = + 105o 1’ =+52.5o
’Min = - 75o 2’ = - 37.5o
15
aa
bb
XX
YY
CCoo ((1 1 ,0),0)
((2 2 , , nn))
((1 ,1 , nn))
((2 2 ,0),0)
22 11
2’2’
1’1’
22 11
22 22 22 2’2’
22 1’1’
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11. Obtención de las orientación de los esfuerzos principales normales y cortantes.
Con los ángulos
anteriores se inicia la orientación con los esfuerzos principales normales, representando un sistema de ejes cartesiano X-Y , luego a partir del eje X se representa la dirección: 1 considerando su signo y aplicando la convención; positivos en contra del reloj y negativos a favor con respecto al eje X……. ver orientación del probl. Método analítico
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xx= 500 MPa= 500 MPa
y y = 300 MPa= 300 MPa
xyxy= 100 MPa= 100 MPa
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12. Obtención de las componentes de esfuerzos x’, xy’ para x’ y sus correspondientes componentes a 90o ; y’, yx’ .
Se marca en el circulo a partir del eje X el ángulo 2 trazándose el nuevo eje X’ desde el centro del circulo C y la intersección será el punto cuyas coordenadas son: x’, xy’ luego a 90 o de este eje se encuentra el eje Y’ en cuya intersección con el circulo representa el punto con coordenadas y’, yx’ .
17
xx= 500 MPa= 500 MPa
y y = 300 MPa= 300 MPa
xyxy= 100 MPa= 100 MPa
= - 30= - 30
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xx
yy bb
aa
cc
x’x’
yx’yx’
y’y’
xy’xy’
Calculo de: Calculo de: x’ ,x’ , xy’ xy’ para para = -30= -30oo y y y’ y’ y y xy’xy’ para para
’ ’ = -30 + 90 = 60= -30 + 90 = 60oo
y
xy
x
a) (x , -xy )
b) (y , yx )
22
aabb
22’’
x’x’a’a’
y’y’b’
5A-P
x’ =+4.4cmx50=220MPa
xy’ =-8cmx50=-400MPa