8/18/2014

1

Discrete Mathematics

8/18/2014

2

a

b

c

d

e

a

b

c

d

e กราฟมอนดบ .................... กราฟมขนาด ......................

8/18/2014

3

a

b

c

d

8/18/2014

4

ชอ ขอสงเกต

ใชจดซ ำ ใชดำนซ ำ เปด ปด

แนวเดนเปด แนวเดนปด รอยเดน วงจร วถ วฏจกร

8/18/2014

5

e

a b

c

d

H: G:

a b

c

d e

8/18/2014

6

G:

a b

c

d e

𝐺 = 1

a b

d e

F:

𝐹 = 2

G:

a b

c d

e f

g h

a-b, b-g, g-h a-c, c-b, b-g, g-h a-c, c-d, d-b, b-g, g-h

วถความยาว 5 หนวย

a-b, b-g, g-f, f-h a-b, b-g, g-e, e-f, f-h a-c, c-b, b-g, g-f, f-h a-c, c-b, b-g, g-e, e-f, f-h a-c, c-d, d-b, b-g, g-f, f-h a-c, c-d, d-b, b-g, g-e, e-f, f-h

8/18/2014

7

8/18/2014

8

มดกร r

G: H:

P:

Q: a

c

d e

b

a c

d e

b

เปนไปไดหรอไมทกราฟ 4-ปกต (4-regular graph) จะมดาน 10 ดาน

เปนไปไดหรอไมทกราฟ 4-ปกต (4-regular graph) จะมดาน 15 ดาน

8/18/2014

9

a

b c d

e

G:

a

b c d

e

G1:

a

b

e

G2:

a

b c d

e

H: a

b c d

e

H’:

a

b c d

e

a

b c d

e

G: G1:

8/18/2014

10

a

b c d

e

G:

a

b c d

G1: 𝑼𝟏 = 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅

𝑼𝟏 ⊆ 𝑽 𝑮 ??

จงตรวจสอบวากราฟตอไปนเปนกราฟยอยกอก าเนดของ G หรอไม

8/18/2014

11

จงตรวจสอบวากราฟตอไปนเปนกราฟยอยกอก าเนดของ G หรอไม a

b c d

e

G:

𝑼𝟐 = 𝒂, 𝒃, 𝒅, 𝒆

𝑼𝟐 ⊆ 𝑽 𝑮 ??

a

b

e

d

G2:

จงตรวจสอบวากราฟตอไปนเปนกราฟยอยกอก าเนดของ G หรอไม a

b c d

e

G:

𝑼𝟑 = 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆

𝑼𝟑 ⊆ 𝑽 𝑮 ??

a

b

e

d c

G3:

8/18/2014

12

G: a

b

c d

e

f

g

a b

c d

e

f

g

a b

d

e

f

g

G1:

Delete Edge {c,d}

G2: a

b

c d

e

f

g Delete Vertices {b,e}

G3: a

c d

f

g

Delete Vertex {c}

8/18/2014

13

K4 K5 K6

8/18/2014

14

a b

c d y

z

H: x G:

w

กราฟ G และ H ซงแตละกราฟม 10 จด สมสณฐานกนหรอไม a

b

c d

G:

g

f

e

h i

j

s

H: w

x

y

z

q r

t

v

u

a q e r f w b v

j s d y i z h t

g x c u

8/18/2014

15

กราฟ G และกราฟ H ในรปตอไปน มจด 6 จดและดาน 9 ดานเทากน จงตรวจสอบสมสณฐานของกราฟทงสอง

a

b c

d

e f

G: H:

u

v w

x y z

กราฟ 4-ปกต 2 กราฟทไมสมสณฐานกน

a

b

d e

c

z y x

v w

8/18/2014

16

Königsberg (Preußen) Königsberg, 1255 gegründet, war von 1457 bis 1945 Hauptstadt und kulturelles sowie wirtschaftliches Zentrum des östlichen Preußens und die östlichste und nördlichste Großstadt des Deutschen Reiches. Seit 1946 trägt die Stadt nun offiziell den russischen Namen Kaliningrad

From Wikipedia, September 2012

b

c

d

a ปญหาสะพานทงเจดแหงเมองเคอนคสแบรค เปนไปไดไหมทจะเดนขามทกสะพานในเมองนสะพานละเพยงครงเดยวแลวกลบมาทจดเรมตน

ในป ค.ศ. 1736 Leohard Euler ไดพสจนวา เปนไปไมได และน าไปสของการศกษา เรอง ทฤษฎกราฟ และทอพอโลย

8/18/2014

17

8/18/2014

18

8/18/2014

19

กราฟตอไปนมวงจรออยเลอร หรอมรอยเดนออยเลอร หรอไม

ดกร เทากบ 3 ดกร เทากบ 3

ดกร เทากบ 3 ดกร เทากบ 3

ทกจดมดกรเปนค ดงนน กราฟไมมวงจรออยเลอร

มจดมดกรค มากกวา 2 จด ดงนน กราฟไมมรอยเดนออยเลอร

กราฟตอไปนมวงจรออยเลอร หรอมรอยเดนออยเลอร หรอไม ดกร เทากบ 3

ดกร เทากบ 6

ดกร เทากบ 3

ดกร เทากบ 2

ทกจดมดกรเปนค ดงนน กราฟไมมวงจรออยเลอร

มจดมดกรค 2 จด ดงนน กราฟมรอยเดนออยเลอร เรมจากจดดกรค และสนสดทจดดกรคอกจดหนง

ดกร เทากบ 2

ดกร เทากบ 2

ดกร เทากบ 2

8/18/2014

20

กราฟตอไปนมวงจรออยเลอร หรอมรอยเดนออยเลอร หรอไม

ดกร เทากบ 4 ดกร เทากบ 4

ดกร เทากบ 4

ดกร เทากบ 4

ทกจดมดกรคดงนน กราฟมวงจรออยเลอร

ดกร เทากบ 2

ดกร เทากบ 4 ดกร เทากบ 4

หองสามหองถกเชอมดวยประตดงรป จะเปนไปไดไหมทจะเดนผานประตทกประตเพยงครงเดยว

หอง 1 หอง 2

หอง 3

ดานนอก

a b

c d

ดกร เทากบ 4 ดกร เทากบ 4

ดกร เทากบ 5 ดกร เทากบ 7

กราฟมจดดกรค 2 จด ดงนนมรอยเดนออยเลอร

8/18/2014

21

8/18/2014

22

จงใชอลกอรธมเพอหาวงจรออยเลอรในกราฟ G

v1 v2

v3

v4

v5

v6

G:

𝑾: 𝒗𝟏, 𝒗𝟐

𝑯 = 𝑯 − 𝒗𝟏𝒗𝟐

𝒅𝒆𝒈𝑻 𝒗𝟏 = 𝒅𝒆𝒈𝑻 𝒗𝟐 = 𝟏 𝑯 = 𝑯 − 𝒗𝟐𝒗𝟑

𝒅𝒆𝒈𝑻 𝒗𝟐 = 𝒅𝒆𝒈𝑻 𝒗𝟐 + 𝟏, 𝒅𝒆𝒈𝑻 𝒗𝟑 = 𝟏 𝑾: 𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑,𝒗𝟒,𝒗𝟓,𝒗𝟏

𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟏 = 𝟏 𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟐 = 𝟏 𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟐 = 𝟐

𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟑 = 𝟏 𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟑 = 𝟐

𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟒 = 𝟏 𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟒 = 𝟐

𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟓 = 𝟏 𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟓 = 𝟐

𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟏 = 𝟐

𝑻: 𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑, 𝒗𝟒, 𝒗𝟓, 𝒗𝟏

8/18/2014

23

v1 v2

v3

v4

v5

v6

G: v1 v2

v3

v4

v5

v6

H:

𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟐 = 𝟐

𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟑 = 𝟐

𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟒 = 𝟐

𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟏 = 𝟐

𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟓 = 𝟐

r = 1

𝐝𝐞𝐠𝐆 𝒗𝟑 = 𝟒

r = 2 r = 3

𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟑 = 𝟑

𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟔 = 𝟏 𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟔 = 𝟐

𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟓 = 𝟑 𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟓 = 𝟒 𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟑 = 𝟒

𝑾: 𝒗𝟑,𝒗𝟔,𝒗𝟓,𝒗𝟑

𝑻: 𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑, 𝒗𝟒, 𝒗𝟓, 𝒗𝟏 𝑻: 𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑, 𝒗𝟔, 𝒗𝟓, 𝒗𝟑, 𝒗𝟒, 𝒗𝟓, 𝒗𝟏

เซอร ฮามลตน (4 August 1805–2 September 1865)นกคณตศาสตรชาวไอรชไดสรางปรศนารอบโลกขนจากโครงไมรป 5 เหลยม 12 หนา (Dodecahedron) มมตางๆเทยบไดกบจดตด 20 จด ถาจดตางๆเหลานแทนเมองแตละเมอง ดานเปนถนน จะเปนไปไดไหมทเขาจะเดนทางผานเมองทกเมองเพยงเมองละครงเดยว และกลบมาทเมองทเขาเรมตน

8/18/2014

24

มวฏจกรฮามลตนในกราฟรปนหรอไม

b

d f

i g

e

h

a c

เนองจากกราฟมสมมาตร อาจพจารณาเพยงครงของสมมาตรได b

f

i

e

h

c

8/18/2014

25

มวฏจกรฮามลตนในกราฟรปนหรอไม

a b c

d

e

f

g

h

i

j

x

y y

y x

x

x

y

y y a c

d e

f g

h i

j

b

8/18/2014

26

ในคายวทยาศาสตรแหงหนงมตวแทนนกเรยนจากโรงเรยนตางๆ จ านวน 17 คน นกเรยนแตละคนไมมใครรจกกนมากอน ในชวงพกเทยงทกคนจะตองมานงทานอาหารรวมกน โดยนงเปนโตะกลม นกเรยนแตละคนจะท าความรจกกบคนทนงขางๆ ทงสองคน และสลบไปนงกบคนอนอก 2 คนทแตกตางไปในวนถดไป ถาพวกเขาท าเชนนทกวน จะตองใชเวลาอยางนอยกวนในการท าความรจกกบทกคน และพวกเขาจะจดการนงอยางไร

K5

8/18/2014

27

A K5

y z

w v B

x

8/18/2014

28

A

y z

w v B

x

8/18/2014

29

y z

w v

B

x

กราฟ B มวฏจกรฮามลตน

Adjacent Matrices ใหแถวและหลกของเมตรกซแทนจดในกรำฟ สมำชกในเมตรกซหมำยถงควำมสมพนธของ

จด (ดำน)

Incidence Matrices

ใหแถวแทนจดในกรำฟ และหลกแทนดำนตำงๆในกรำฟ สมำชกในเมตรกซหมำยถง กำร

ตกกระทบของดำนกบจด

8/18/2014

30

a

c

d e

b G:

𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎𝟏𝟎𝟎

𝟎𝟏𝟎

𝟎𝟏𝟎

𝟏𝟎𝟏

𝟎𝟏𝟎

a b c d e a

b c

d

e

c

b d

a

𝟏 𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟎 𝟐 𝟏𝟏𝟏

𝟐𝟏

𝟎𝟑

𝟑𝟎

a b c d a

b c

d

8/18/2014

31

a

c

d e

b

𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟎𝟏𝟎

𝟏𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟏

𝟎𝟎𝟎

a b c d e a

b c

d

e

ดานทขนานกนในมลตกราฟ ซงเชอมจดคเดยวกน จะท าใหเกดคของ 1 ในแนวตงทตางกน กราฟทมวงวน จะเกด 1 เพยงต าแหนงเดยวในแนวตงนน

8/18/2014

32

วงวน (loop) ดานขนาน

a b

c d

e1 e2 e3

e4 e5

e6

e7

e8

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 a

b

c

d

กราฟระบทศทางสามารถใชเมตรกซตกกระทบแทนได เนองจากดานตางๆในกราฟระบทศทางจะถกแยกออกจากกนอยแลว

กราฟถวงน าหนก (Weighted Graph) คอกราฟทมคาน าหนกก ากบแตละดาน

กรงเทพฯ

สมทรปราการ ชลบร

ฉะเชงเทรา

ปทมธาน อยธยา

นครปฐม

เพชรบร

สมทรสาคร สมทรสงคราม

สพรรณบร

30

40

50 50

30 40 30

20 80

70

30 50

30

70

50

50 40 50

30 30

30

55 ราชบร

อางทอง สระบร

น าหนก แทน ระยะทาง

8/18/2014

33

กราฟถวงน าหนก (Weighted Graph) คอกราฟทมคาน าหนกก ากบแตละดาน

กรงเทพฯ

สมทรปราการ ชลบร

ฉะเชงเทรา

ปทมธาน อยธยา นครปฐม

ราชบร

เพชรบร

สมทรสาคร สมทรสงคราม

อางทอง สพรรณบร

สระบร

0.8

0.4

0.6 0.5

0.4 0.4 0.5

0.8 1.0

0.7

0.5 0.7

0.5

1.0

0.7

0.8 0.5 0.5

0.6 0.8

0.6

0.5

น าหนก แทน ระยะเวลาในการเดนทาง

Edsger Wybe Dijkstra (May 11, 1930 – August 6, 2002) was a Dutch computer scientist. Born in Rotterdam, Dijkstra studied theoretical physics at Leiden University, but quickly realized he was more interested in computer science. Originally employed by the Mathematisch Centrum in Amsterdam, he held a professorship at the Eindhoven University of Technology, worked as a research fellow for Burroughs Corporation in the early 1980s, and later held the Schlumberger Centennial Chair in Computer Sciences at the University of Texas at Austin, in the United States. He retired in 2000. Among his contributions to computer science are the shortest path algorithm, also known as Dijkstra's algorithm

From Wikipedia ,September 2012

การหาวถสนสด (shortest path) ระหวางคของจดใดๆ ในกราฟ คอการหาผลรวมของน าหนกนอยทสดระหวางคจดใดๆ

8/18/2014

34

8/18/2014

35

8/18/2014

36

จงใชอลกอรธมของไดจคสตรา หาระยะทางทสนทสดระหวางจด u0 กบจด v ใดๆ

8 16 13

17

11 10

9

5

7

14 6

u0

v1

v2

v3

v4

v5

v6 v7

l(u0) v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 S

0 (-,∞) (-,∞) (-,∞) (-,∞) (-,∞) (-,∞) (-,∞) u0

8 16 13

17

11 10

9

5

7

14 6

u0

v1

v2

v3

v4

v5

v6 v7

l(u0) v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 S

0 (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) u0

(∞,-) (13,u0) (∞,-) (16,u0) (8,u0) (∞,-) (∞,-) v5

8 16 13

17

11 10

9

5

7

14 6

u0

v1

v2

v3

v4

v5

v6 v7

8 16 13

17

11 10

9

5

7

14 6

u0

v1

v2

v3

v4

v5

v6 v7 (25,v5) (13,u0) (15,v5) (18,v5) (∞,-) (∞,-) v2

8/18/2014

37

จงใชอลกอรธมของไดจคสตรา หาระยะทางทสนทสดระหวางจด u0 กบจด v ใดๆ

l(u0) v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 S

0 (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) u0

(∞,-) (13,u0) (-,∞) (16,u0) (8,u0) (∞,-) (∞,-) v5

8 16 13

17

11 10

9

5

7

14 6

u0

v1

v2

v3

v4

v5

v6 v7 (25,v5) (13,u0) (15,v5) (18,v5) (∞,-) (∞,-) v2

8 16 13

17

11 10

9

5

7

14 6

u0

v1

v2

v3

v4

v5

v6 v7

(25,v5) (18,v5) (15,v5) (∞,-) (∞,-) v4

(20,v4) (18,v5) (∞,-) (∞,-) v1

8 16 13

17

11 10

9

5

7

14 6

u0

v1

v2

v3

v4

v5

v6 v7

(20,v4) (∞,-) (∞,-) v3

จงใชอลกอรธมของไดจคสตรา หาระยะทางทสนทสดระหวางจด u0 กบจด v ใดๆ

l(u0) v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 S

0 (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) u0

(-,∞) (13,u0) (-,∞) (16,u0) (8,u0) (∞,-) (∞,-) v5 (25,v5) (13,u0) (15,v5) (18,v5) (∞,-) (∞,-) v2

(25,v5) (18,v5) (15,v5) (∞,-) (∞,-) v4

(20,v4) (18,v5) (∞,-) (∞,-) v1

(20,v4) (∞,-) (∞,-) v3

ระยะทางจากจด u0 ไปจด v1 เทากบ 18 มเสนทางเปน Q1: u0 , v5 ,v1 ระยะทางจากจด u0 ไปจด v2 เทากบ 13 มเสนทางเปน Q1: u0 , v2 ระยะทางจากจด u0 ไปจด v3 เทากบ 20 มเสนทางเปน Q1: u0 , v5 ,v4 ,v3 ระยะทางจากจด u0 ไปจด v4 เทากบ 15 มเสนทางเปน Q1: u0 , v5 ,v4 ระยะทางจากจด u0 ไปจด v5 เทากบ 8 มเสนทางเปน Q1: u0 , v5

8/18/2014

38

จากกราฟตอไปน จงหาระยะทางทสนทสดจากจด a ไปยงจด z โดยใชอลกอรธมของไดจคสตรา

a

b d

z

c e

4

2

1

5

8

10

2

6

3

l(a) b c d e z S

0 (∞, -) (∞, -) (∞, -) (∞, -) (∞, -) a

(4,a) (2,a) (∞,-) (∞,-) (∞,-) c

(3,c) (10,c) (12,c) (∞,-) b

(8,b) (12,c) (∞,-) d

(10,d) (14,d) e

(13,e) z

จากจด a ไปยงจด z มระยะทางสน

ทสดเทากบ 13 เรมจาก a-c-b-d-e-z

ทฤษฎบท กราฟไมระบทศทางจะเรยกวากราฟตนไม เมอและตอเมอ มเพยงวถเดยวเทานนทเชอมระหวางสองจดใดๆ ในกราฟ

8/18/2014

39

ราก (root) คอจดทอยในระดบบนสดของกราฟ จดในล าดบตอมา เรยกวา บพลก (child node) จดทเปนบพลกและมบพลกเรยกวา บพแม (parent node) ส าหรบจดทเปนบพลกและไมมบพลก จะเรยกวา บพใบ (leaf node) ทกจดทมบพลกจะถกเรยกวา จดภายใน (internal vertices) จดราก กจะถกรวมเรยกวาจดภายในดวย

T:

นยาม ให G เปนกราฟทวไป (กราฟไมระบทศทางทไมมดานขนานและปราศจากวงวน) กราฟตนไมแบบทอดขาม (Spanning Tree) คอ กราฟยอยของ G ซงเปนกราฟตนไมทบรรจทกจดของ G กราฟทวไปทมกราฟตนไมแบบทอดขามจะตองเปนกราฟเชอมโยง

8/18/2014

40

จงหากราฟตนไมแบบทอดขามของกราฟทวไป G ในรปตอไปน

a b c

d e f

g

G:

การหากราฟตนไมแบบทอดขามอาจจะอาศยวธงายๆ คอ การลบดานบางดานออก เพอก าจดวงจร แตตองยงคงวถทเชอมสองจดใดๆ ในกราฟไว

Delete {d,e}

Delete {e,f}

Delete {a,c}

Delete {c,d}

1. เลอกจดหนงจดในกราฟ G เพอน ามาเปนจดรากของกราฟตนไม T 2. เลอกดานจากดานทเชอมจากจดทเลอกไปจดอนๆ เพมลงใน T ตราบ

ใดทดานเหลานนไมใชดานตกกระทบจดทอยบนวถทผานมา 3. ถาเราพบวาวถทกวถจากจดรากสามารถไปถงทกจดใน G เราจะไดวา

กราฟตนไมทได เปนกราฟตนไมแบบทอดขามของ G แตถาวถนนไมไดผานทกจดใน G เรากจะยอนกลบมาหนงจด และสรางวถใหมดวยวธเดม โดยวถใหมนจะตองไมผานจดทเคยผานในวถเดม

4. เมอไมสามารถสรางวถตอไปได เราจะใชการถอยกลบ และเรมตนหาวถใหม เราจะท าเชนนไปเรอยๆ จนวถทเราเลอกจดหนงจดสรางทงหมด ผานทกจดของกราฟ G

8/18/2014

41

1. สรางจดราก โดยการเลอกจดใดๆ ของ G 2. เพมทกดานทตกกระทบกบจดรากนนลงไปในกราฟตนไม จดทเพม

เขามาจากการเพมดานนจะเปนจดในระดบท 1 ของกราฟตนไม 3. ส าหรบแตละจดในระดบท 1 เราจะพจารณาทละจด โดยจะเพมดานท

ตกกระทบจดดงกลาว แตตองไมเปนดานทท าใหเกดวงจร ซงเราจะไดจดในระดบท 2 เราจะท าเชนนเรอยไป จนเราใชจดใน G ครบ เรากจะไดกราฟตนไมทอดขามของ G

สมมตวาเรมทจด b (เปนราก) เลอกวถ e, d, c, g (ตราบเทาทยงไมท า

ใหเกดวงจร) ยอนกลบมาทละจด มาถงจด c

a b c

d e f

g

G:

a

b

c

d

e

f g

T:

8/18/2014

42

สมมตวาเรมทจด b (เปนราก) b มดานตกกระทบ 2 ดาน เพมดานตก

กระทบนลงไปในกราฟตนไม รวมทงจดประชด e, g ลงในระดบท 1 ของกราฟตนไม

พจารณาจดในระดบท 1 สมมตวา เรมทจด e พบดานตกกระทบ 4 ดาน 1 ดานใชไมไดเพราะตกกระทบจดทเคยใชมาแลว และเพมจดประชดทไมเคยถกใช

พจารณาตอทจด g ซงพบวามดานตกกระทบ 3 ดาน ซง 2 ดานจะใชไมได เนองจากจดตกกระทบของดานนนถกใชไปแลว เพมดานทเชอมไปจด c และเพมจด c เขาไปในกราฟตนไมดวย

a b c

d e f

g

G:

a

b

T:

f d

g

c

e

กราฟตนไมแบบทอดขามต าสดในกราฟเชอมโยงถวงน าหนก คอ กราฟตนไมทอดขามทมผลรวมของน าหนกนอยทสด

อาคารอ านวยการ คณะวทยาศาสตร

คณะสงคมศาสตร

คณะเศรษฐศาสตร

200,000 500,000

350,000

480,000

คณะวศวกรรมศาสตร

300,000

350,000

420,000

380,000

280,000 250,000

8/18/2014

43

จงใชอลกอรธมของครสคาลกบกราฟถวงน าหนก G เพอหากราฟตนไมแบบทอดขามต าสด

x

y

w

u v 1

2

2

2 3 4 6

5 5

1

2

2 3

x

y

w

u v

เรยงล าดบของดานทมน าหนกนอยไปมาก uv, xy, vw, uw, ux, vx, vy, uy, wx เพมดานลงในเซต S ตรวจสอบ |S|=p-1

กราฟตนไมทอดขามต าสดมน าหนกเทากบ 1+2+2+3 = 8

8/18/2014

44

จงใชอลกอรธมของพรมกบกราฟถวงน าหนก G เพอหากราฟตนไมแบบทอดขามต าสด

x

y

w

u v 1

2

2

2 3 4 6

5 5

1

2 3

y

x

v

เลอกจด u บรรจไวใน T เพมดาน uv เขาไปใน T จด v จะถกบรรจไวใน T ดวย เพมดานทมน าหนกทนอยทสดจากจดใน T ไปจดนอก T ตรวจสอบ |E(T)|=p-1

กราฟตนไมทอดขามต าสดมน าหนกเทากบ 1+2+3+2 = 8

T: 2

u {u,v} v

u

w {u,w} {u,x} w x {x,y} y