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161
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Dr. Frederico de Oliveira Matias
Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL [email protected]
Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL
Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br
Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br
Site do curso www.mat.ufpb.br/ead
Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257
Carga horária: 60 horas Créditos: 04
Ementa
Limites, Continuidade e Derivadas.
Descrição
Esta disciplina consiste em uma apresentação seqüencial de conceitos, propriedades,
resultados derivados e aplicações, integrantes de um estudo que envolve os conteúdos de Limites,
Continuidade e Derivadas. Para que os aprendentes passem a dominar estes assuntos, partiremos de
princípio que os mesmos tenham cursado a disciplina Matemática para o Ensino Básico II onde foram
apresentados aos conteúdos das funções: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais. O
estudante deve desenvolver sua capacidade de leitura, escrita e discussão dentro de um ambiente
interativo, trabalhando em grupo e utilizando como ferramenta a plataforma Moodle.
Objetivos
Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado para:
� Compreender, aplicar o conceito de limites e dominar suas principais propriedades;
� Compreender, aplicar o conceito de continuidade e dominar suas principais propriedades;
� Compreender, aplicar o conceito de derivada de uma função real e dominar suas principais
propriedades;
� Construir modelos para resolver problemas envolvendo funções de uma variável real e suas
derivadas;
� Ler, interpretar e comunicar idéias matemáticas.
162
Conteúdo
Unidade I Limites
• Noção Intuitiva
• Definição
• Propriedades dos Limites
• Limites Laterais
• Cálculo de Limites
• Limites no Infinito
• Limites Infinitos
• Propriedades dos Limites Infinitos
• Limites Fundamentais
Unidade II Continuidade
• Continuidade em um ponto
• Teste de Continuidade
• Propriedades de Funções Contínuas
• Composta de Funções Contínuas
• Teorema do Valor Intermediário:
Unidade III Derivada
• A Derivada de uma Função num Ponto
• A Reta Tangente
• Continuidade de Funções Deriváveis
• Derivadas Laterais
• Regras de Derivação
• Derivada das Funções Elementares do Cálculo
• Regras de L’Hospital
• Derivação de Função Composta
• Derivada da Função Inversa
• A Derivada de uma Função na Forma Implícita
163
Unidade I Limites
1. Situando a Temática
O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria
matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem
estabelecida no Cálculo:
Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais
Para entender os três últimos conceitos da lista acima, a Teoria de Limites é fundamental. Além
disso, para compreender esta teoria será preciso que você tenha domínio sobre o conteúdo de
Funções que são regras bem definidas que associam a cada elemento de um conjunto de partida,
denominado Domínio, um único elemento em um conjunto de chegada, denominado Contra-
Domínio. Mais precisamente,
BAf →: é função BxfyA ∈=∃∈∀⇔ )( !, x .
Os conjuntos BA e representam respectivamente o Domínio e o Contra-Domínio da função
f . O elemento )(xf denomina-se a imagem do elemento x pela função f .
Na disciplina Matemática para o Ensino Básico II você foi apresentado aos conteúdos das
funções: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais, as quais serão úteis para o estudo do
conteúdo de limites.
O objetivo desta unidade é dar uma definição de LIMITE de uma maneira intuitiva e também de
uma maneira convencional. Vamos apresentar propriedades e teoremas referentes a limites de
funções. Tais resultados (propriedades e teoremas) serão apresentados, na sua maioria, sem
demonstrações, através de alguns exemplos ou exercícios ilustrativos mas, se você tiver interesse
em estudá-los poderá encontrá-los nas referências bibliográficas. Uma justificativa para a omissão
das demonstrações é tornar o texto conciso.
Este texto complementa-se na plataforma MOODLE, onde estão as listas de exercícios e
atividades relacionadas com o texto. Os exercícios são parte fundamental da disciplina, uma vez que
vamos adotar uma metodologia apoiada na resolução de exercícios.
164
Problematizando a Temática
Limite na vida prática
Observamos algumas situações, nas quais estão presentes as idéias intuitivas de limite:
1. Se o câmbio do dólar americano tende a estabilizar em torno de R$ 1,73, então o valor pago
por 100 dólares estabiliza em torno de R$ 173,00. Logo, podemos falar que o limite (valor
pago por 100 dólares) é igual a R$ 173,00, quando o valor pago por 1 dólar tende a R$ 1,73 .
Podemos representar tal situação por:
17373,1
100lim =
→
x
x
2. Imagine uma placa metálica quadrada que se expande uniformemente por estar sendo
aquecida. Se x representa o comprimento do lado, a área da placa é dada por 2)( xxA = .
Evidentemente, quando x se aproxima de 3 , a área da placa A se aproxima de 9 .
Expressamos essa situação simbolicamente por
9
3
2lim =
→
x
x
3. Suponhamos agora que você esteja dirigindo um automóvel. Se o acelerador for calcado para
baixo em torno de 2 cm, então a velocidade se manterá próximo aos 60 Km/h. Logo, podemos
dizer que o limite (velocidade instantânea do automóvel) é igual a 60 Km/h, quando o
acelerador tender a 2 cm para baixo. Matematicamente escrevemos tal situação por
60)(
2lim =
→
xv
x
,
onde )(xv é a velocidade instantânea do automóvel e x é a medida em
centímetros do deslocamento do pedal do acelerador.
4. Outra aplicação interessante do limite de uma função é o cálculo da velocidade instantânea de
um corpo em queda livre sob a ação da gravidade.
O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes:
• Noção Intuitiva
• Definição
• Propriedades dos Limites
• Limites Laterais
• Cálculo de Limites
165
• Limites no Infinito
• Limites Infinitos
• Propriedades dos Limites Infinitos
• Limites Fundamentais
3. Conhecendo a Temática
3.1 Limites
3.1.1 Noção Intuitiva
Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar
idéias, consideremos a função :f ℝ \ {1}→ℝ definida por:
11
)1)(1(
1
1)(
2
+=−
+−=
−
−= x
x
xx
x
xxf
Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto 1=x , ponto este que não
pertence ao domínio de f , constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor 2=L ,
quando os valores de x se aproximam de 1=x , tanto por valores de 1<x (à esquerda de 1) como
por valores 1>x (à direita de 1).
Do ponto de vista numérico, a tabela abaixo mostra o comportamento da função f , para valores x à
esquerda e à direita de 1=x .
TABELA
Pela esquerda de 1=x Pela direita de 1=x
x 0 5,0 8,0 9,0 99,0 999,0 1 x 2 5,1 2,1 1,1 01,1 001,1 1
)(xf 1 5,1 8,1 9,1 99,1 999,1 2 )(xf 3 5,2 2,2 1,2 01,2 001,2 2
Neste caso, dizemos 2=L é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos
por:
2)(
1lim =
→
xf
x
166
3.1.2 Definição Informal de Limite
Seja )(xf definida em um intervalo aberto em torno de x0 exceto talvez em x0. Se )(xf fica
arbitrariamente próximo de L , para todos os valores de x suficientemente próximos de x0, dizemos
que f tem limite L quando x tende a x0 e escrevemos
Lxf
xx
=
→
)(lim0
Essa definição é “informal” porque as expressões “arbitrariamente próximo” e “suficientemente
próximos” são imprecisas; seu significado depende do contexto. Para um metalúrgico que fabrica um
pistão, próximo pode significar alguns milésimos de centímetro. Para um astrônomo que estuda
galáxias distantes, próximo pode significar alguns milhares de anos-luz. Entretanto, a definição é
suficientemente clara para permitir o reconhecimento e a avaliação dos limites de várias funções
específicas.
Exemplo 1: O Valor do Limite Não Depende do Modo como a Função é Definida em 0x
Com efeito, consideremos as seguintes funções:
a) 1 ,1
1 )(
2
≠−
−= x
x
xxf
b)
=
≠−
−
=
1 ,1
1 ,1
1
g(x)
2
x
xx
x
c) 1 )( += xxh
Note que 2)(
1
)(
1
)(
1limlimlim =
→
=
→
=
→
xh
x
xg
x
xf
x
sem que exista )1(f , com 21)1( ≠=g e
2)1( =h (Veja Figura 1).
Figura 1: Funções do Exemplo 1.
167
Exemplo 2: Os Limites Podem Não Existir
De fato: discutamos o comportamento quando 0→x das seguintes funções:
(a) A função de salto unitário definida por
≥
<=
0 ,1
0 ,0 )(
x
xxU
(b) A função
=
≠=
0 ,0
0 ,1
)(
x
xxxg
(c) A função
>
≤
=0 ,
1
0 ,0
)(x
xsen
x
xf
Soluções:
(a) A função de salto unitário )(xU não tem limite quando 0→x porque seus valores “saltam”
em 0=x . Para valores negativos de x arbitrariamente próximos de zero, 0)( =xU . Para valores
positivos de x , arbitrariamente próximos de zero, 1)( =xU . Não há um único valor de L do qual
)(xU se aproxime quando 0→x (Figura 2 (a)).
(b) A função cresce demais para ter um limite: )(xg não tem um valor limite quando 0→x
porque g cresce arbitrariamente em valor absoluto quando 0→x e não se mantém próximo de
nenhum valor real (Figura 2 (b)).
(c) A função oscila demais para ter um limite: )(xf não tem limite quando 0→x porque os
valores da função oscilam entre 1 e 1− em cada intervalo aberto que contém 0 . Os valores não
se mantêm próximos de nenhum número quando 0→x
(Figura 2 (c)).
Figura 2: Funções do Exemplo 2.
168
3.1.3 Definição Formal de Limite
Definição:Seja )(xf uma definida em um intervalo aberto em torno de 0x , exceto
possivelmente em 0x . Dizemos que )(xf tem limite L quando 0xx → e escrevemos
Lxf
xx
=
→
)(lim0
,
se, para cada número 0>ε , existir um número correspondente 0>δ tal que para todos os
valores de x,
εδ <−⇒<−< Lxfxx )(0 0 .
Graficamente temos:
Exemplo: Testando a Definição
Mostre que 2)1(
1lim =+
→
x
x
Solução: sejam 10 =x , 1)( += xxf e 2=L na definição de limite. Para qualquer 0>ε ,
precisamos encontrar um 0>δ adequado ( )(εδδ = , isto é, o número real δ depende do número
real ε fornecido), tal que se 1≠x e x está a uma distância menor do que δ de 10 =x , ou seja, se
δ<−< 10 x , então )(xf está a uma distância menor do que ε de 2=L , isto é, ε<− 2)(xf .
Encontraremos δ ao resolvermos a inequação:
169
ε<+=−+ 121 xx .Daí, basta escolher εδ = e verifica-se que 2)1(
1lim =+
→
x
x
.
3.1.4 Propriedades dos Limites
Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e
potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as
funções mais elaboradas.
Teorema 3.1: Unicidade do Limite: O limite de uma função, quando existe, é único, isto é,
Se Lxf
xx
=
→
)(lim0
e Mxf
xx
=
→
)(lim0
, então ML =
Teorema 3.2: Se 0,, xML e k são números reais e
Lxfxx
=→
)(lim0
e Mxgxx
=→
)(lim0
então:
1. Regra da Soma: O limite da soma de duas funções é a soma de seus limites, isto é,
( ) MLxgxfxx
+=+→
)()(lim0
2. Regra da Diferença: O limite da diferença de duas funções é a diferença de seus limites,
isto é,
( ) MLxgxfxx
−=−→
)()(lim0
3. Regra do Produto: O limite do produto de duas funções é o produto de seus limites, isto
é,
( ) MLxgxfxx
⋅=⋅→
)()(lim0
4. Regra da Multiplicação por Constante: O limite de uma constante multiplicada pela função
é a constante multiplicada pelo limite da função, isto é,
( ) Lkxfk
xx
⋅=⋅
→
)(lim0
Em particular,
kk
xx
=
→lim
0
170
5. Regra do Quociente: O limite do quociente de duas funções é o quociente de seus limites,
desde que o limite do denominador seja diferente de zero, isto é,
0M ,.
)(
)( lim
0
≠=
→M
L
xg
xf
xx
6. Regra da Potenciação: O limite de uma potência racional de uma função é a potência do
limite da função, desde que a última seja um número real, isto é,
Se r e s são números inteiros e 0≠s , então ( ) srsrLxf
xx
=
→
)(lim0
desde que srL seja um
número real.
Exemplo: Usando as Regras do Limite, calcule
3
2
5
32
3
12
1lim
+
++
→x
xx
x
Solução:
3
2
5
32
3
12
1lim
+
++
→x
xx
x
=
( )
( )
114
4
31
1121
3
1
1
1
2
1
3
11
1
1
2
11
3
1
12
1
3
12
1
3
23
2
3
2
5
32
3
2
5
32
3
2
5
323
2
5
32
3
2
5
32
lim
limlim
limlim
limlimlim
lim
lim
lim
==
=
+
+⋅+=
+
→
+
→
+
→
=
→
+
→
→
+
→
+
→=
+
→
++
→=
+
++
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
xx
x
Observação: A Regra da Soma que vale para duas funções, também vale para um número finito de funções. Além disso, se somente uma das parcelas não possui limite, então o limite da soma de todas as parcelas não existirá. Verifique esta afirmação.
Observação: O Teorema 3.2 só é válido se ambas as funções f e g possuírem limites. Verifique esta afirmação.
171
Teorema 3.3 (Teorema do Sanduíche): Se valem as desigualdades )()()( xhxgxf ≤≤ para todo
x em um intervalo aberto contendo x0, exceto talvez em x = x0 e se )()( limlim00
xh
xx
Lxf
xx →
==
→
,
então Lxg
xx
=
→
)(lim0
Definição: Dizemos que uma função f é limitada quando existe uma constante C > 0 tal que
Cxf ≤)( , para todo Dx ∈ , onde D representa o Domínio da função f .
Corolário 3.3: Se f é uma função limitada e g é uma função tal que 0)(lim0
=
→
xg
xx
, então
0)()(lim0
=⋅
→
xgxf
xx
, mesmo que não exista )(lim0
xf
xx→
.
Exemplo: Mostre que 01
0lim =
→x
xsen
x
Solução: Como 0,11
≠∀≤
x
xsen e 0
0lim =
→
x
x
, conclui-se, pelo Corolário 3.3, que
01
0lim =
→x
xsen
x
3.1.5 Limites Laterais
Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )bx ,0 , onde bx <0 .
Dizemos que um número L é o limite à direita da função f quando x tende para x0, e escrevemos
Lxf
xx
=
→ +
)(lim0
se, para todo 0>ε , existe um 0>δ tal que ε<− Lxf )( sempre que δ+<< 00 xxx .
Notação:
00 xxxx →⇒→ + com 0xx >
172
Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )0, xc , onde 0xc < . Dizemos que
um número L é o limite à esquerda da função f quando x tende para 0x , e escrevemos
Lxf
xx
=
→ −
)(lim0
se, para todo 0>ε , existe um 0>δ tal que ε<− Lxf )( sempre que 00 xxx <<− δ .
Exemplo: Seja
=
≠−=
0 ,3
0 , )(
x
xx
x
xf
Como
<+
>−=−
0 ,1
0 ,1
x
x
x
x conclui-se que 1)(
0lim −=
→ +
xf
x
e )(
0lim xf
x−→
= 1
Teorema 3.4. Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo x0, exceto possivelmente
no ponto x0, então Lxf
xx
=
→
)(lim0
se, e somente se,
Lxf
xx
=
→ +
)(lim0
e Lxf
xx
=
→ −
)(lim0
.
Exemplo: Utilizando o Teorema 3.4
Como 1)(
0lim −=
→ +
xf
x
e 1)(
0lim =
→ −
xf
x
, conclui-se, do exemplo anterior, que não existe
)(
0lim xf
x→
.
Notação:
00 xxxx →⇒→ − com
0xx <
Observação: Os Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3 continuam válidos quando substituímos 0xx → por
+→ 0xx ou −→ 0xx .
173
3.1.6 Cálculo de Limites
Antes de apresentar exemplos de cálculos de limites, vamos falar um pouco sobre expressões
indeterminadas. Costuma-se dizer que as expressões:
São indeterminadas. O que significa isto?
Exemplo: Verificando a indeterminação 0
0.
(a) Sejam 3)( xxf = e 2)( xxg = .
Temos que 0)(
0
)(
0limlim =
→
=
→
xg
x
xf
x
e 0
0
0)(
)(
0limlimlim 2
3
=
→
=
→
=
→
x
xx
x
xxg
xf
x
(b) Sejam 2)( xxf = e 22)( xxg = .
Temos que 0)(
0
)(
0limlim =
→
=
→
xg
x
xf
x
e neste caso,
2
1
2
1
02
0)(
)(
0 limlimlim 2
2
=
→
=
→
=
→ xx
x
xxg
xf
x
Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios algébricos são
necessários: são casos de funções racionais em que o limite do denominador é zero num
determinado ponto e o limite do numerador também é zero neste mesmo ponto.
Simbolicamente estaremos diante da indeterminação do tipo 0
0.
∞∞∞⋅∞∞∞
∞1 , ,0 ,0 ,- , ,
0
0 00
174
Exemplo: Calcule 4
23
22
3
lim−
+−
−→x
xx
x
Solução:
=−+
++−
−→
=−
+−
−→)2)(2(
)2)(12(
24
23
2
2
2
3
limlimxx
xxx
xx
xx
x
49
2
2
12
2
2
12
2 lim
lim
lim
2
2
−=−
−→
+−
−→=−
+−
−→
=x
x
xx
x
x
xx
x
Exemplo: Calcule x
x
x
22
0lim
−+
→
Solução: Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do numerador da função. Segue
então,
( ) ( )( )22
2222
0
22
0limlim
++⋅
++⋅−+
→
=−+
→ xx
xx
xx
x
x
=
( ) ( )( ) ( ) ( ) 22
1
22
1
022
22
022
22
0limlimlim
22
=++→
=++⋅
−+
→
=++⋅
−+
→ xxxx
x
xxx
x
x
3.1.7 Limites no Infinito
O símbolo ∞ não representa nenhum número real. Usamos ∞ para descrever o comportamento de
uma função quando os valores em seu domínio ou imagem ultrapassam todos os limites finitos. Por
exemplo, a função x
xf1
)( = é definida para qualquer valor de 0≠x (Figura 3). Quando x vai se
tornando cada vez maior, x
1 se torna “próximo de zero”. Podemos sintetizar esse fato dizendo
xxf
1)( = tem limite 0 quando ±∞→x .
175
Figura 3: Gráfico de x
y1
=
Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )+∞,a . Escrevemos,
.)( ;0 ,0)(lim εε <−⇒>>∃>∀⇔=
+∞→
LxfMxMLxf
x
Analogamente,
Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )b,∞− . Escrevemos,
.)( ;0 ,0)(lim εε <−⇒<<∃>∀⇔=
−∞→
LxfNxNLxf
x
Definição. A reta by = é uma assíntota horizontal do gráfico da função )(xfy =
Se bxf
x
=
+∞→
)(lim ou bxf
x
=
−∞→
)(lim
Teorema 3.5. Se n é um número inteiro positivo, então
(a) 01
lim =
+∞→n
xx
(b) 01
lim =
−∞→n
xx
(c) KK
x
=
±∞→lim ,onde K é uma constante
Observação: Os Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3 continuam válidos quando
substituímos 0xx → por +∞→x ou −∞→x .
176
Exemplo: Usando as propriedades de limites, calcule
432
1
2
2
lim+−
++
+∞→xx
xx
x
Solução:
=
+−
+∞→
++
+∞→=
+−
++
+∞→
=+−
++
+∞→2
2
2
2
2
2
2
2
432
111
43
2
111
432
1
lim
lim
limlim
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xx
x
2
1
002
001
1 4
1 3 2
1
1 1
2
2
limlimlim
limlimlim=
+−
++=
+∞→
+
+∞→
−
+∞→
+∞→
+
+∞→
+
+∞→=
xxxxx
xx
xxx
3.1.8 Limites Infinitos
Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo x0, exceto,
possivelmente, em x = x0. Dizemos que
+∞=
→
)(lim0
xf
xx
0 ,0 >∃>∀⇔ δM ; Mxfxx >⇒<−< )(0 0 δ
Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo x0, exceto,
possivelmente, em x = x0. Dizemos que
−∞=
→
)(lim0
xf
xx
0 ,0 >∃>∀⇔ δN ; Nxfxx −<⇒<−< )(0 0 δ
177
Definição. A reta 0xx = é uma assíntota vertical do gráfico da função )(xfy = se
±∞=
→ +
)(lim0
xf
xx
ou ±∞=
→ −
)(lim0
xf
xx
.
Exemplo: Encontre as assíntotas do gráfico da função
4
8)(
2 −−=
xxf
(Veja figura 4).
Solução: Estamos interessados no comportamento do gráfico quando ±∞→x e quando
2±→x , onde o denominador é zero. Observe que f é uma função par de x , isto é, )()( xfxf =− ,
para todo 2±≠x . Neste caso, o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y .
O comportamento quando ±∞→x . Como 0)(lim =
±∞→
xf
x
, tem-se que a reta 0=y é uma
assíntota horizontal.
O comportamento quando 2±→x . Uma vez que −∞=
→ +
)(
2lim xf
x
e +∞=
→ −
)(
2lim xf
x
, a reta
2=x é uma assíntota vertical. Analogamente, por simetria,
2−=x , também é uma assíntota vertical.
Figura 4: Gráfico de 4
82 −
−=
xy
178
)(lim xf )(lim xg =)(xh )(lim xh simbolicamente
01 ∞± ∞± )()( xgxf + ∞± ∞± =∞± ∞±
02 ∞+ ∞+ )()( xgxf − ? ( ) ( )∞+−∞+ é indeterminação
03 ∞+ k )()( xgxf ± ∞+ ( ) +∞=±∞+ k
04 ∞− k )()( xgxf ± ∞− ( ) −∞=±∞− k
05 ∞+ ∞+ )()( xgxf ⋅ ∞+ ( ) ( ) +∞=∞+⋅∞+
06 ∞+ ∞− )()( xgxf ⋅ ∞− ( ) ( ) −∞=∞−⋅∞+
07 ∞+ 0>k )()( xgxf ⋅ ∞+ ( ) +∞=⋅∞+ k , 0>k
08 ∞+ 0<k )()( xgxf ⋅ ∞− ( ) −∞=⋅∞+ k , 0<k
09 ∞± 0 )()( xgxf ⋅ ? ( )∞± 0⋅ é indeterminação
10 k ∞± )()( xgxf 0 0=∞±k
11 ∞± ∞± )()( xgxf ? ∞±∞± é indeterminação
12 0>k +0 )()( xgxf ∞+ +∞=+0k , 0>k
13 ∞+ +0 )()( xgxf ∞+ +∞=∞+ +0
14 0>k −0 )()( xgxf ∞− −∞=−0k , 0>k
15 ∞+ −0 )()( xgxf ∞− −∞=∞+ −0
16 0 0 )()( xgxf ? 00 é indeterminação
Exemplo: Determinar )143( 35
lim +−
+∞→
xx
x
Solução: Neste caso, temos uma indeterminação ∞−∞ . Para determinar o limite usamos o seguinte
artifício de cálculo. Escrevemos,
)143( 35
lim +−
+∞→
xx
x
=
+−
+∞→52
5 143lim
xxx
x
= ∞+ ( )003 +− = ∞+
Observação:
A tabela abaixo nos dá um resumo dos fatos principais válidos para os limites infinitos, onde podemos ter 0xx → ,
+→ 0xx , −→ 0xx , +∞→x ou −∞→x .
179
3.1.9 Limites Fundamentais
Teorema 3.6.
(a) 1
0lim =
→x
senx
x
(b) ( ) ex
x
x=+
→
11
0lim , onde e é o número irracional neperiano cujo valor é ...597182818284,2 ,
(c) ax
a
x
x
ln1
0lim =
−
→
( 0>a , 1≠a )
Exemplo: Calcule xsen
xsen
x3
2
0lim→
Solução:
xsen
xsen
x3
2
0lim→
=
⋅⋅
→xsen
x
x
x
x
xsen
x3
3
3
2
2
2
0lim =
xsen
x
xx
x
xx
xsen
x3
3
03
2
02
2
0limlimlim→
⋅
→
⋅
→
=
x
xsen
x
x
x
xx
xsen
x3
3
0
1
3
2
02
2
0 limlimlim
→
⋅
→
⋅
→
= 1
1
3
21 ⋅⋅ =
3
2.
Neste exemplo,
x
xsen
x 2
2
0lim→
= u
senu
ulim
0→
= 1 , onde xu 2= e 0→u quando 0→x .
Analogamente,
x
xsen
x3
3
0lim→
= 1 e 3
2
3
2
0lim =
→x
x
x
4. Avaliando o que foi construído
Nesta unidade você travou o primeiro contato com o estudo de limites de funções, foi
apresentado ao conteúdo programático, bem como aprendeu a calcular, através dos exemplos,
usando as propriedades, alguns limites de funções. Porém, fique certo, ainda há muito que aprender
dentro de tema.
No Moodle...
180
5. Referências
1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E
INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987.
2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994.
3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a
Edição, 2002.
Pois é. Você precisa visitar o espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial I na plataforma MOODLE, onde terá a oportunidade de revisar, testar e enriquecer seus conhecimentos. Lembre-se de que somos parceiros nos estudos e, portanto, eu não pretendo seguir adiante sem que você me acompanhe. Aguardo você no MOODLE!
181
Unidade II Continuidade
1. Situando a Temática
Quando colocamos em um sistema de coordenadas alguns pontos do gráfico de uma
função cujos valores foram gerados em laboratórios ou coletados no campo, geralmente unimos
esses pontos por uma curva não interrompida para mostrar quais seriam os valores prováveis da
função em todos os instantes em que não medimos (Figura 5). Fazendo isso, supomos que estamos
trabalhando com uma função contínua, uma função cujos valores variam continuamente e não
saltam de um valor para outro sem assumir todos os valores entre eles.
Qualquer função cujo gráfico possa ser esboçado sobre o domínio em um único movimento
contínuo, sem levantar o lápis, é um exemplo de função contínua. Mas uma função pode ser contínua
e seu gráfico se compor de dois “pedaços” distintos. Verifique esta afirmação. Estudaremos, nesta
unidade, a idéia de continuidade.
Figura 5: Mostra como os batimentos cardíacos retornam ao normal depois de uma corrida.
O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes:
• Continuidade em um ponto
• Teste de Continuidade
• Propriedades de Funções Contínuas
• Composta de Funções Contínuas
• Teorema do Valor Intermediário
182
2. Problematizando a Temática
As funções contínuas são usadas para achar o ponto em que um planeta mais se
aproxima do Sol ou o pico de concentração de anticorpos no plasma sangüíneo. Elas também são as
funções que usamos para descrever como um corpo se move através do espaço ou como a
velocidade de uma reação química varia com o tempo. Na verdade, tantos processos físicos ocorrem
de modo contínuo que nos séculos XVIII e XIX raramente se pensou em pesquisar qualquer outro tipo
de comportamento. Foi uma surpresa quando os físicos descobriram, em 1920, que a luz vem em
partículas e que os átomos aquecidos emitem luz em freqüências distintas (Figura 6). Como
conseqüência dessas e de outras descobertas e em função do grande uso de funções descontínuas
na ciência da computação, na estatística e em modelos matemáticos, o tema da continuidade se
tornou importante tanto prática quanto teoricamente.
Figura 6
3. Conhecendo a Temática
3.1. Continuidade em um Ponto
Definição. Seja ⊆I ℝ um intervalo. Uma função →If : ℝ é contínua em um ponto Ia ∈ quando
)()(lim afxf
ax
=
→
183
Exemplo: Uma função com Descontinuidade de Salto
A função Salto Unitário definida por
≥
<=
0 ,1
0 ,0)(
x
xxU é contínua à direita em 0=x , mas não
é contínua à esquerda nem contínua aí (Veja Figura 2(a)). Ela apresenta descontinuidade de salto
em 0=x
3.2 Continuidade
Definição. Seja ⊆I ℝ um intervalo. Uma função →If : ℝ é contínua quando f é contínua em
todo ponto Ia ∈
Exemplo: Identificando Funções Contínuas
A função x
xf1
)( = ( Figura 3) é contínua em todo 0≠x .
3.3 Propriedades de Funções Contínuas.
Teorema 3.3: Se f e g são funções contínuas em ax = , então as seguintes combinações são
contínuas em ax = .
1. Soma: gf +
2. Diferença: gf −
3. Produto: gf ⋅
4. Constantes Múltiplas: fk ⋅ , para qualquer número k
5. Quociente: gf , desde que 0)( ≠ag
Considerações sobre a Definição
(a) Quando f não é contínua em um ponto a , dizemos que f é descontínua em a e que a
é um ponto de descontinuidade de f ;
(b) f contínua à esquerda no ponto ax = quando )()(lim afxf
ax
=
→ −
;
(c) f contínua à direita no ponto ax = quando )()(lim afxf
ax
=
→ +
.
184
3.4. Composta de Funções Contínuas.
Teorema 3.4. Se f é contínua em a e g em )(afb = , então a composta fg o é contínua em a ,
isto é, ))(())(())(( limlim afgxf
ax
gxfg
ax
=
→
=
→
Exemplo: Usando as propriedades de funções contínuas, conclua que a função
1
1)(
2 +
+=
x
xxh é contínua em 1=x
Solução: Sejam 1
1)(
2 +
+=
x
xxf e xxg =)( . Daí, ))(())(()( xfgxfgxh == o . Sendo
111
11)1(
2=
+
+=f e 11)1())1(( === gfg , tem-se que
))1((1
11
11
1
1)())((
22limlimlim111
fgx
xxhxfg
xxx
==+
+=
+
+==
→→→
3.5. Teorema do Valor Intermediário
Teorema 3.5. .Seja [ ] →baf ,: ℝ uma função contínua em um intervalo fechado [ ]ba, tal que
)()( 0 bfyaf ≤≤ , então )(0 cfy = para algum c em [ ]ba, .
185
Exemplo: Aplicando o Teorema 3.5
Existe algum número real que somado a 1 seja exatamente igual ao seu cubo?
Solução: A resposta para esta pergunta está no Teorema do Valor Intermediário.
Com efeito, seja x este tal número que deve satisfazer a equação 31 xx =+ ou, equivalentemente,
013 =−− xx . Portanto, estamos procurando um zero da função contínua 1)( 3 −−= xxxf (Veja
Figura 7 abaixo). Esta função muda de sinal no intervalo [ ]2,1 , pois 5)2(0)1(1 =<<=− ff , logo
deve existir um ponto c entre 1 e 2 tal que 0)( =cf
Figura 7
Ampliando o seu Conhecimento
Você sabia que, geometricamente, o Teorema do Valor Intermediário diz que qualquer reta horizontal dy = cruzando o eixo y entre os números )(af
e )(bf cruzará a curva )(xfy = pelo menos uma vez no intervalo [ ]ba, ,
desde que f seja contínua em [ ]ba, .
186
4. Avaliando o que foi construído
No Moodle...
Dialogando e Construindo Conhecimento
Dialogando e Construindo Conhecimento
5. Referências
1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E
INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987
2. Ávila, G., CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994.
3. Thomas, George B., CÁLCULO. Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição,
2002.
Vá à plataforma MOODLE e dedique-se à resolução das tarefas relacionadas ao assunto desta unidade. Saiba que o aprendizado em Matemática deve ser continuado e o sucesso no estudo das funções contínuas vai depender de você visitar constantemente a plataforma e procurar resolver os exercícios nela proposta.
Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Acredite em seu potencial e conte conosco.
187
Unidade III Derivadas
1. Situando a Temática
No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos de variável,
constante e parâmetro, bem como a notação de dx e dy para designar os infinitésimos em x e em
y . Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Diferencial”.
A partir daí, com a introdução do conceito de derivada, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial
torna-se um instrumento poderosíssimo e cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade nos
mais diversos campos da Ciência. Por exemplo, as derivadas são muito usadas em Engenharia,
Física, Economia, Medicina e Ciência da Computação. Para calcular a velocidade e a aceleração
instantânea de uma partícula em movimento cuja trajetória é descrita pela equação de movimento
)(tss = , onde t representa o tempo, para explicar o funcionamento de máquinas, para estimar a
diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora de um tanque e para prever as
conseqüências de erros cometidos durante as medições.
A partir de agora, vamos entrar no passeio divertido do “mundo” das derivadas.
Nesta unidade, abordaremos os seguintes tópicos:
• A Derivada de uma Função num Ponto
• A Reta Tangente
• Continuidade de Funções Deriváveis
• Derivadas Laterais
• Regras de Derivação
• Derivada das Funções Elementares do Cálculo
• Regras de L’Hospital
• Derivação de Função Composta
• Derivada da Função Inversa
• A Derivada de uma Função na Forma Implícita
188
2. Problematizando a Temática
Para solucionarmos este problema precisamos definir o conceito de derivada de uma função
num ponto. A partir de agora vamos desenvolver toda a teoria necessária para solucionarmos este e
outros problemas que envolvem derivadas.
3. Conhecendo a Temática
3.1 A Derivada de uma Função
Definição. A derivada de uma função )(xfy = em relação à variável x é a função f ′ cujo valor em x é
h
xfhxf
h
xf)()(
0
)( lim−+
→
=′ ,
desde que este limite exista.
Exemplo: Aplicando a Definição
Considerações sobre a Definição:
(a) O domínio de f ′ é o conjunto de pontos no domínio de f para o qual o limite existe.
Ele pode ser o mesmo domínio de f ou menor;
(b) Se f ′ existe para um determinado valor de x , dizemos que f é derivável em x ;
Calculando )(xf ′ a partir da Definição de Derivada Passo 1. Escreva expressões para
)(xf e )( hxf + Passo 2. Desenvolva e simplifique o quociente
h
xfhxf )()( −+
Passo 3. Usando o quociente simplificado, encontre )(xf ′ calculando o limite
h
xfhxf
h
xf)()(
0
)( lim−+
→
=′
Problema: Encontrar a equação da reta tangente a uma curva )(xfy = no ponto
),( 00 yxP , onde )( 00 xfy =
189
Encontre a derivada de xy = para 0>x .
Solução:
Passo 1: xxf =)( e hxhxf +=+ )(
Passo 2 : h
xfhxf )()( −+ =
h
xhx −+
= ( ) ( )
( )xhx
xhx
h
xhx
++
++⋅
−+
=( )xhxh
xhx
++⋅
−+
= ( )xhx ++
1
Passo 3 : lim)(
oh
xf
→
=′( )xhx ++
1 =
x2
1 (Veja Figura 8 (a) e 8(b) )
Figura 8
Notação: Há várias maneiras de representar a derivada de uma função )(xfy = . Além
de )(xf ′ , as notações mais comuns são: (i) y′ ( lê-se y linha). Esta notação foi dada por Newton
(ii) dx
dy ( lê-se dydx ). Esta notação foi dada por Leibniz
190
3.2. A Reta Tangente
Definição. Dada uma curva de equação )(xfy = , seja ),( 00 yxP um ponto sobre ela, ou seja ,
)( 00 xfy = . A Reta Tangente a esta curva no ponto P é a reta que passa por P cujo
coeficiente angular Tm é dado pela expressão
h
xfhxfm
h
T
)()( 00
0lim
−+=
→
,
quando este limite existe. Assim,
)( 0xfmT′= .
Exemplo: Determine a equação da reta tangente à curva xy = em 4=x
Solução: Do Exemplo 3.1, vimos que
xxf
2
1)( =′
Logo, o coeficiente angular da reta tangente a esta curva em 4=x é dado por
4
1
42
1)4( ==′= fmT .
A reta tangente passa pelo ponto )2,4(P e tem como equação
)4(4
12 −⋅=− xy ⇔ 1
4
1+= xy
Figura 9
191
3.3 Continuidade de Funções Deriváveis
Teorema 3.3. Se f é derivável em 0xx = , então f é contínua 0xx = .
Corolário 3.3. Se f não é contínua em 0x , então f não é derivável em 0x
Observação: Nem toda função contínua é derivável. Vejamos a seguir
Exemplo: A função xxf =)( , 0≥x é contínua em 0=x mas não é derivável aí, pois
xxf
2
1)( =′ x > 0 e
hhh
h
hh
hf
hh
fhf
x
f1
00
)(
0
)0()(
0
)0( limlimlimlim→
=
→
=
→
=−
→
=′
que não existe e, portanto, f não é derivável neste ponto.
Prova: Como )( 0xf ′ existe, devemos mostrar que )()( 0
0
lim xfxf
xx
=
→
ou , equivalentemente,
que )()(
000lim xfhxf
h
=+
→
.
Com efeito, se 0≠h , então
hh
xfhxfxfhxf ⋅
−++=+
)()()()( 00
00
Assim,
h
hh
xfhxf
h
xf
h
hxf
hlimlimlimlim
0
)()(
0
)(
0
)(
0
0000
→
⋅−+
→
+
→
=+
→
)(0)()( 000 xfxfxf =⋅′+=
192
3.4 Derivadas Laterais
Definição Se a função )(xfy = está definida em 0x ,então a derivada à direita de f em 0x ,
denotada por )( 0xf+′ , é definida por
h
xfhxf
h
xf)()(
0
)( 00
0 lim−+
→
=′+
+
0
0
0
)()(lim
xx
xfxf
xx−
−
→
=+
,
caso este limite exista. Analogamente, a derivada à esquerda de f em 0x , denotada por )( 0xf−′ , é
definida por
h
xfhxf
h
xf)()(
0
)( 000 lim
−+
→
=′−
−
0
0
0
)()(lim
xx
xfxf
xx−
−
→
=−
,
desde que este limite exista.
Exemplo: A função xxf =)( não é derivável em 0=x , embora seja contínua aí
Solução: À direita da origem ( 0>x )
( ) 1)( == xdx
dx
dx
d
Considerações sobre a Definição:
(a) Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas laterais à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais;
(b) Quando as derivadas laterais à direita e à esquerda existem e são diferentes em um
ponto 0x , dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função )(xfy = . Neste
caso, f não é derivável em 0x ;
(c) Se uma das derivadas laterais não existe em um ponto 0x , então f não será derivável
em 0x .
193
e
1
0
)0()0(
0
)0( limlim =
→
=−+
→
=′++
+h
h
hh
fhf
h
f
À esquerda da origem )0( <x ,
( ) 1)( −=−= xdx
dx
dx
d
e
1
0
)0()0(
0
)0( limlim −=−
→
=−+
→
=′−−
−h
h
hh
fhf
h
f
Como )0()0( −+
′≠′ ff , tem-se que f não é derivável 0=x
(Veja Figura 10).
Figura 10
194
3.5 Regras de Derivação
Teorema 3.5. Se f e g são funções deriváveis em x , então as seguintes combinações são
deriváveis em x
1. Soma: gf + e ( ) )()()( xgxfxgf ′+′=′
+ ;
2. Diferença: gf − e ( ) )()()( xgxfxgf ′−′=′
− ;
3. Produto: )( gf ⋅ e )()()()()()( xgxfxgxfxgf ′+′=′⋅ ;
4. Quociente
g
f e
[ ]2)(
)()()()()(
xg
xgxfxfxgx
g
f ′−′=
′
, desde que 0)( ≠xg ;
5. Constantes Múltiplas: fk ⋅ e )()()( xfkxfk ′⋅=′⋅ , para todo número real k .
No Moodle...
Olá pessoal, visite a plataforma MOODLE e resolva os seguintes exercícios: (i) Prove o Teorema 3.5 (Regras de Derivação)
(ii) Mostre que 1)( −= nnnxx
dx
d , onde n é um número real
(Derivada da Potência)
(iii) Mostre que ( ) 0=Cdx
d, onde C é uma constante.
195
Exemplo: Aplicando as regras de derivação
Determine as derivadas das seguintes funções: (a) )1)(2()( 32 ++= xxxxf
(b) 1
2)(
3
5
+=
x
xxg
(c) xxxxh 2)( 34 ++= (d) xxy =
Solução: (a)
[()2()1(])2()[( 3232 ⋅+++⋅′+′= xxxxxx
)03()2()1()22( 223 +⋅+++++= xxxxx
)3()2()1()22( 223xxxxx ⋅+++++=
(b)
23
3535
)1(
)1()2()1()2()(
+
′+⋅−+⋅′=′
x
xxxxxg
23
2534
)1(
)03()2()1(10
+
+⋅−+⋅=
x
xxxx
23
2534
)1(
)3()2()1(10
+
⋅−+⋅=
x
xxxx
(c)
)2()()()( 34 ′+′+′=′ xxxxh
234 23 ++= xx
)1)(2()1()2()( 3232 ′++++⋅′+=′ xxxxxxxf
196
(d) )( ′=′ xxy
)()( ′⋅+⋅′= xxxx
])[(1 21 ′⋅+⋅= xxx
−
⋅⋅+= 2
11
2
1xxx
x
xx
2+=
x
x
x
xx ⋅+=
2
( )2
2 x
xxx +=
x
xxx
2+=
2
xx +=
3.6. Derivada das Funções Elementares do Cálculo
Nesta seção apresentaremos as derivadas das funções elementares: exponencial, logarítmica e
trigonométricas.
Função Derivada
)(xf )(xf ′
01 xe x
e
02 xln 0 x,1
>x
03 senx xcos
04 xcos senx−
05 tgx x2sec
06 gxcot x2seccos−
07 xsec tgxx ⋅sec
08 xseccos gxx cotseccos ⋅−
197
Exemplo: Determinar a derivada de cada uma das seguintes funções:
(a) senxxy += 2
(b) xetgxy 2+=
(c) xxy ln=
(d) xxxy cossec +=
Solução:
(a)
)( 2 ′+=′ senxxy
xx cos2 +=
(b)
)2( ′+=′ xetgxy
)2()( ′+′= xetgx
xex 2sec2 +=
(c)
)(lnln)()ln( ′+′=′=′ xxxxxxy
xx
xx ln11
ln +=⋅+=
(d)
)cos()(sec ′+′=′ xxxy
)(cos1sec senxxxtgxx −⋅+⋅+⋅=
senxxxtgxx ⋅−+⋅= cossec
198
3.7. Regras de L’Hospital
Nesta seção apresentaremos um método para levantar indeterminações do tipo ∞
∞ou
0
0. Esse
método é dado pelas Regras de L’Hospital dadas a seguir.
Teorema 3.7.(Regras de L’hospital): Sejam g e f funções deriváveis num intervalo aberto I ,
exceto, possivelmente, em um ponto Ia ∈ . Suponhamos que I em ax ,0)( ≠∀≠′ xg .
(i) Se Lxg
xf
xg
xfL
xg
xfxg
ax
xf
ax
=′
′
→
=
→
=′
′
→
=
→
=
→)(
)(
ax)(
)(
ax
então ,)(
)(
ax
e 0)()( limlimlimlimlim
(ii) Se Lxg
xf
xg
xfL
xg
xfxg
ax
xf
ax
=′
′
→
=
→
=′
′
→
∞=
→
=
→)(
)(
ax)(
)(
ax
então ,)(
)(
ax
e )()( limlimlimlimlim
Exemplo: Determine os seguintes limites:
(a) 23
6
22
2
lim+−
−+
→xx
xx
x
(b) 2
0lim
−+
+−
→−xx
ee
senxx
x
Considerações sobre o Teorema 3.7:
(i) Se L(x)g
(x)f
ax
xg
ax
xf
ax
=′′
′′
→
=′
→
=′
→limlimlim e 0)()( , então L
xg
xf=
′
′
→)(
)(
axlim
e assim sucessivamente...
(ii) Se L(x)g
(x)f
ax
xg
ax
xf
ax
=′′
′′
→
∞=′
→
=′
→limlimlim e )()( , então
Lxg
xf=
′
′
→)(
)(
axlim e assim sucessivamente...
199
(c) xx
e
x
x
4
1
3lim+
−
∞→
Solução: Aplicando as Regras de L’hospital, temos
(a) 51
5
322
122
32
12
2
23
6
2limlim 2
2
==−⋅
+⋅=
−
+
→
=+−
−+
→x
x
xxx
xx
x
(b) 0
0
cos1
02
0limlimlim =
+
−
→
=−
+−
→
=−+
+−
→−−− xxxxxx
ee
senx
xee
x
xee
senxx
x
(c) +∞=
+∞→
=
+∞→
=+
+∞→
=+
−
+∞→6
6
43
4
1 limlimlimlim 23
xxxxe
xx
e
xx
e
xxx
e
x
3.8. Derivação de Função Composta
Consideremos duas funções f e g onde )(xgu = . Para todo x tal que )(xg está no domínio de
f , podemos escrever ))(()( xgfufy == , isto é, podemos considerar a função composta
))(())(( xgfxgf =o . Por exemplo, uma função tal como 72 )25( ++= xxy pode ser vista como a
composta das funções )(7 ufuy == e )(252 xgxxu =++= (Ver Figura 2.29 Thomas página 180) Teorema 3.8. A Regra da Cadeia
Se )(uf é derivável no ponto )(xgu = e )(xg é derivável em x , então a função composta
))(())(( xgfxgf =o è derivável em x e
uufxgxgfxgf ′⋅′=′⋅′=′ )()())(()()( o
Na notação de Leibniz, se )(ufy = e )(xgu = , então
dx
du
du
dy
dx
dy⋅= ,
onde du
dy é calculado em )(xgu = .
Observação: As Regras de L’hospital são válidas para limites laterais e limites no infinito.
200
Exemplo: Dada a função 72 )25( ++= xxy , determinar dx
dy.
Solução: Vimos anteriormente que podemos escrever
)(7 ufuy == , onde )(252 xgxxu =++=
Assim, pela Regra da Cadeia,
dx
du
du
dy
dx
dy⋅=
)52(7 6 +⋅= xu
)52()25(7 62 +⋅++= xxx .
Exemplo: Dada a função xxseneyx 2
cos)2(3
++= , determinar dx
dy
Solução: Sejam xvxu 2,2
== e xw cos= . Assim, podemos escrever
2wsenvey
u ++=
Assim, pela Regra da Cadeia,
)()cos)2((223
′++=′++=′ wsenvexxseneyux
wwvvuewsenveuu ′⋅+′⋅+′=′+′+′= )2()(cos)()()( 2
)()cos2(2))2(cos(3 23
senxxxxex −⋅+⋅+⋅=
xsenxxexx
cos2)2cos(2332
⋅−+⋅=
3.9. Derivada da Função Inversa
Teorema 3.9. Derivada da Função Inversa
Seja )(xfy = uma função definida em um intervalo aberto ),( ba . Suponhamos que )(xf Admita
uma função inversa )(ygx = contínua. Se )(xf ′ existe e é diferente de zero para qualquer ponto
),( bax ∈ , então 1−= fg é derivável e vale
))((
1
)(
1)(
ygfxfyg
′=
′=′ ou
)(
1))((
xfxfg
′=′
201
Exemplo 3.9: Seja 12)( −== xxfy , 0>x . Determine )3(g ′ , onde 1−= fg .
Solução 1: 2
1
)1(1)( +=+== yyygx (Verifique !). Daí,
12
12
1
12
1
+=
−
+=′y
)(y(y)g .
Em particular,
4
1
132
1 )3( =
+=′g
Solução 2: Pelo Teorema 3.8 ,
xxfxfgyg
2
1
)(
1 ))(( )( =
′=′=′
Em particular,
3 2 =⇔= yx Assim,
4
1
22
1
)2(
1 )3( =
⋅=
′=′
fg .
3.9. Derivada da Função Implícita
3.9.1. Função na Forma Implícita
Dizemos que a função )(xfy = é definida implicitamente pela equação 0 ),( =yxF se ao
substituirmos y por )(xf nesta equação obtemos uma identidade, isto é, 0 ))(,( =xfxF .
Exemplo: A equação 012
12 =−+ yx define implicitamente a função )21(2 xy −⋅= .
Prova: Sendo 1−= fg , tem-se que xxfg =))(( , para todo ),( bax ∈ e usando a Regra da Cadeia, conclui-se
)(
1))((1)())((
xfxfgxfxfg
′=′⇔=′⋅′
202
De fato, substituindo )1(2 2xy −⋅= na equação 012
12 =−+ yx , obtemos a identidade
01)1( 2 2
12 2 =−−⋅+ xx .
3.9.2. A Derivada de uma Função na Forma Implícita
Suponhamos que a equação 0 ),( =yxF define implicitamente uma função derivável )(xfy = . Usaremos a Regra da Cadeia para determinar y′ sem explicitar y . Exemplo: Sabendo que )(xfy = é definida implicitamente pela equação
yxyxy 2322 +=+ , determinar y′ . Solução: Derivando ambos os membros desta equação em relação à x e supondo que )(xfy = é derivável, obtém-se:
)2()322( ′+=′+ yxyxy
c
)2()()32()2( ′+′=′+′ yxyxy
c
yyyyyxy ′+=′⋅+′⋅⋅+ 212622 Isolando y′ na última igualdade, temos
2262
21
−+
−=′
yxy
yy
Em particular, o ponto )1,1(P está na curva )(xfy = e aí,
0)1,1( =′y E a equação da reta tangente à esta curva neste ponto é dada por
1)1(01 =⇔−⋅=− yxy
203
se
Co cime
nto
Ampliando o seu Conhecimento Ampliando
Você sabia que só no século XVII, quando Decartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções? A Matemática recebeu assim um grande impulso, notadamente na sua aplicabilidade a outras ciências. Os cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daí, todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por ouro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a “criação” de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre variáveis.
Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto. Esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o “Problema da Tangente”.
Fermat notou que, para certas funções nos pontos onde a curva assumia valores extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido num desses pontos
))(,( xfxP com valor assumido no outro ponto ))(,( hxfhxQ ++
próximo de P , a diferença entre )( hxf + e )(xf era muito pequena,
quase nula, quando comparada com o valor de h , diferença das abcisssas de Q e P . Assim, o problema de determinar extremos e de determinar
tangentes a curvas passam a estar intimamente relacionados. Estas idéias constituíram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Diferencial, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação de dx e dy , para designar os infinitésimos em x e em y . Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Infinitesimal”
204
4. Avaliando o que foi construído
No Moodle...
Dialogando e Construindo Conhecimento
5.Referências
1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÀLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E
INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987.
2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994.
3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição,
2002.
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