director: nicolas sirolli´

Departamento de MatematicaFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Buenos Aires

Tesis de Licenciatura

Analisis de Fourier en el grupo deideles y funciones L de Dirichlet

Hernan Bernardo Galletti

Director: Nicolas Sirolli

Febrero de 2018

Indice general

Agradecimientos V

Introduccion VII

1. Teorıa clasica 11.1. Caracteres de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Definicion y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Sumas de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Funciones L de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Funciones theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Formula de sumacion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Funciones theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Ecuacion funcional y continuacion analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Preliminares 152.1. Estructuras basicas y algunas notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Grupos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Axiomas de separacion y cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Grupos localmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Dual de Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4. Teorıa de la medida en espacios localmente compactos . . . . . . . . . . 20

Definiciones y resultados basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Medidas de Radon y regularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Medida en el producto de espacios topologicos . . . . . . . . . . . . . 23

3. Adeles e ideles 253.1. Numeros p-adicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Construccion de los numeros p-adicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Los numeros p-adicos como series de potencias . . . . . . . . . . . . . 29Propiedades topologicas y algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Unidades de Zp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

III

IV INDICE GENERAL

3.2. Producto restringido de grupos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Definicion y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Cuasi-caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3. Adeles e ideles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Adeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Ideles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4. Caracteres locales y globales aditivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Caracteres de Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Caracteres adelicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5. Cuasi-caracteres locales y globales multiplicativos . . . . . . . . . . . . . 52Cuasi-caracteres de Q×p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Cuasi-caracteres idelicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Funciones L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Correspondencia con los caracteres de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . 58

4. Elementos de analisis 634.1. Medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Medida de Haar en el producto restringido de grupos . . . . . . . . . 67

4.2. Medidas de Haar globales y locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Medida de Haar en los numeros p-adicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Medida de Haar en los adeles e ideles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Espacio de Schwartz-Bruhat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Transformada de Fourier en Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Transformada de Fourier en A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Formula de inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4. Sumacion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5. Teorıa moderna 855.1. Funciones zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2. Resultados locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Funciones zeta locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Root number local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3. Resultados globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Agradecimientos

A mi director Nicolas por la enorme paciencia, las correcciones y sugerencias.A Leandro y Roman por la buena onda y por aceptar ser jurados de esta tesis. Gra-

cias Roman por tu tiempo en el IAM y tus sugerencias.A todos los profesores que hicieron que me guste la matematica cada vez mas. Es-

pecialmente a todos los que padecieron mis consultas y dudas a lo largo de estos anos.A todos los companeros de la FCEN con los que tuve charlas e ideas inspiradoras.

En particular, aquellos con los que compartı salidas o momentos agradables fuera de lafacu; recordandome que no todo es estudio.

A mi familia y amigos por bancarme, especialmente a mi mama que sin su esfuerzoinfinito hubiese sido imposible seguir lo que mas me gusta.

A Lau por su paciencia y apoyo en los momentos mas difıciles.A Lissy y Maia por su amor y carino incondicional.A Gaston, Sergio y Gonzalo por ser mis amigos de toda la vida.

V

VI Agradecimientos

Introduccion

Teorıa clasica

El ejemplo prototipo de las funciones L es la funcion ζ de Riemann, definida, apriori, como

ζ(s) =∑n∈N

1

ns,

para s un numero complejo con parte real mayor a 1. La identidad descubierta en 1737por Euler: ∑

n∈N

1

ns=

∏p primo

(1− 1

ps

)−1

,

es una version analıtica del Teorema Fundamental de la Aritmetica y el primer indicioal vınculo entre los numeros primos y ciertas funciones analıticas. Euler tambien se diocuenta que la divergencia de la serie armonica (es decir, la existencia de un polo de ζen s = 1) implica la existencia de infinitos primos. Riemann puso de manifiesto en sucelebre artıculo de 1859 que el vınculo entre estas dos teorıas era mas fuerte de lo quese creıa al conjeturar la relacion entre la funcion contadora de primos π y los ceros deζ. Ademas probo que la funcion ζ tiene extension meromorfa a todo C y que verifica laecuacion funcional

π−s2 Γ(s

2

)ζ(s) = π−

1−s2 Γ

(1− s

2

)ζ(1− s).

La ecuacion funcional muestra que los ceros no triviales de ζ son simetricos respecto ala recta {<(s) = 1/2}.

Dirichlet, cien anos despues de Euler, fue el primero que logro extender esas ideaspara probar que las progresiones aritmeticas {a + qN : q ∈ N}, con a y N coprimos,contienen infinitos primos. En lenguaje moderno, considero funciones de la forma

L(s, χ) =∑n∈N

χ(n)

ns,

donde χ : (Z/NZ)× → C× es un morfismo. Dirichlet demostro que cualquiera sea elmorfismo χ, se tiene que L(1, χ) 6= 0, y que esto implica que∑

p≡a (modN)

1

ps−−−−→s→1+

+∞.

VII

VIII Introduccion

Las funciones L de Dirichlet tambien puede escribirse como un producto de Euler, tie-nen extension meromorfa a todo C y una ecuacion funcional.

En 1877 Dedekind introdujo la funcion zeta de un cuerpo de numeros K, definida,a priori, para s un numero complejo con parte real mayor a 1

ζK(s) =∑

a⊆OK

1

N(a)s=

∏p primo

(1− 1

N(p)s

)−1

,

donde la suma se hace sobre todos los ideales I no nulos de OK , OK es el anillo deenteros de K, y N(a) es la norma del ideal a. En una serie de artıculos publicados entre1917 y 1920, Hecke extendio la nocion de caracteres de Dirichlet a cuerpos de nume-ros y definio las correspondientes funciones L, de las cuales la funcion ζK es un casoparticular. Ademas demostro que las funciones L de estos caracteres (de orden finitoe infinito), tienen una extension meromorfa a todo C y verifican una ecuacion funcio-nal. Cabe mencionar que la teorıa de Hecke era bastante complicada y las dificultadestecnicas venıan en aumento.

Otro dato a subrayar es que en todos los casos hasta ahora citados (incluyendo loscasos de funciones de Dirichlet como veremos en esta tesis), en la ecuacion funcionalla funcion L asociada viene acompanada de un factor donde aparece la funcion Γ. Estefactor no tiene mucha explicacion dentro del marco de la teorıa subyacente.

La teorıa de Iwasawa-Tate

En 1950 John Tate en su tesis doctoral [Tat67]1 hizo una reformulacion de la teorıaque permite obtener de forma mucho mas simple y elegante (en el caso general) laecuacion funcional y la continuacion meromorfa de las funciones L de caracteres deHecke sobre cuerpos de numeros. Su enfoque fue innovador y se basa en hacer analisisarmonico en el anillo de los adeles A. Ademas, debido a la naturaleza del grupo deunidades de los adeles, la teorıa muestra que las funciones zeta de los caracteres dedicho grupo, se factorizan naturalmente en “componentes locales”. Cada componentelocal esta asociada o bien, a un ideal primo del cuerpo base, o bien a una inmersion delcuerpo base en C. Gracias a estas ultimas, se explican los factores que tienen que vercon la funcion Γ.

La teorıa lleva el apellido Iwasawa porque fue tambien desarrollada en forma in-dependiente por Kenkichi Iwasawa, quien la publico en 1952 [Iwa92]. Esencialmenteutilizo el mismo metodo. Nosotros vamos a centrarnos en el trabajo de Tate por ser masconocido.

De Iwasawa-Tate a la actualidad

Los caracteres que considera Tate pueden ser entendidos como representacionesirreducibles de A× = GL (1,A). El trabajo de Tate fue un disparador fundamental parael estudio de la teorıa de representaciones irreducibles de GL (n,A), y sus funciones L

1Recien fue publicada en 1967.

Introduccion IX

asociadas. Estableciendo ası un marco que unifica las teorıas de caracteres de Dirichlet(n = 1) y formas modulares (n = 2) [Bum97].

Descripcion de la tesis

El objetivo de la tesis es comparar la teorıa clasica, con el enfoque de Tate (el cual lla-maremos teorıa moderna), en el caso que el cuerpo base es Q. Veremos que los caracte-res que se consideran en ambas teorıas son esencialmente los mismos; la unica diferen-cia significativa es que en la teorıa moderna los caracteres pueden tener orden infinito.

Decidimos hacer el trabajo sobre Q para concentrarnos especialmente en los aspec-tos analıticos del trabajo de Tate. Hacerlo en el caso general no involucra dificultadesadicionales en estos aspectos, pero requiere de la maquinaria basica de la teorıa alge-braica de numeros, y hacerlo con detalle implicarıa un desarrollo mucho mas extenso.

En este trabajo buscamos desarrollar la teorıa describiendo cuidadosamente sus ba-ses, especialmente en aquellos aspectos que no se ven en la carrera y que se dan porsupuesto en la bibliografıa. Ademas procuramos dar las demostraciones con sumo de-talle.

En el Capıtulo 1 desarrollamos rapidamente la teorıa clasica. Introducimos los ca-racteres de Dirichlet y sus funciones L, con algunos ejemplos. El resultado principaldel capıtulo es el Teorema 1.5.10, en el cual se demuestra que estas funciones tienencontinuacion meromorfa y satisfacen una ecuacion funcional. Su demostracion esta ba-sada en la formula de sumacion de Poisson. Los resultados y las demostraciones de estecapıtulo estan estructurados de manera de resaltar la similitud con la teorıa moderna.

En el Capıtulo 2 se repasan algunas nociones basicas de grupos topologicos y teorıade la medida en espacios localmente compactos.

En el Capıtulo 3 se empieza construyendo los numeros p-adicos, que se utilizanpara la construccion del anillo de adeles y su grupo de unidades, los ideles. Luegode estudiar los caracteres de estos grupos, procedemos a establecer la correspondenciaentre los caracteres de Dirichlet y los caracteres del grupo de clases de ideles (Teorema3.5.27).

En el Capıtulo 4 nos concentramos en estudiar la transformada de Fourier en elanillo de adeles. En particular, demostramos la formula de inversion en este caso. Elresultado principal es la Formula de sumacion de Poisson 4.4.5, que termina generali-zando la formula clasica.

En el Capıtulo 5 presentamos los resultados principales de la tesis de Tate. El resul-tado principal es el Teorema 5.3.21, el cual generaliza el teorema principal del Capıtulo1.

X Introduccion

Capıtulo 1

Teorıa clasica

A lo largo de todo el trabajo, siempre que digamos numero primo significara nume-ro primo positivo.

1.1. Caracteres de Dirichlet

Definicion y propiedades basicas

Dentro del grupo de numeros complejos no nulos, C×, consideramos el subgrupode numeros complejos de modulo 1 el cual denotaremos S1. DadoN un numero naturalmayor a 1, sea (Z/NZ)× el grupo de unidades del anillo Z/NZ. Un caracter de Dirichletmodulo N es un morfismo de grupos χ : (Z/NZ)× → S1.

Dado un divisor d > 1 de N , si η es un caracter de Dirichlet modulo d y π es laproyeccion canonica de (Z/NZ)× en (Z/dZ)×, entonces la composicion χ = η ◦ π es uncaracter de Dirichlet moduloN . Decimos que η induce a χ y que d es un modulo inducidopor χ. El numero 1 es un modulo inducido por χ si χ es trivial en (Z/NZ)×.

Al menor modulo inducido por χ se lo denomina conductor de χ y lo denotamoscond(χ). El caracter de Dirichlet χ se dice primitivo si cond(χ) = N . En otras palabras,el caracter χ es primitivo si cada vez que se tiene un diagrama conmutativo

(Z/NZ)×

χ

%%π

��(Z/dZ)× η

// S1 ,

con d divisor de N y η un caracter de Dirichlet modulo d, se tiene que d = N .Es usual levantar un caracter de Dirichlet a una funcion χ′ : Z → C definida del

siguiente modo:

χ′(a) =

{χ (a) , si a es coprimo con N ;

0, si no;(1.1.1)

1

2 1.1. CARACTERES DE DIRICHLET

donde a denota la clase de a en Z/NZ. La funcion χ′ verifica las siguientes propiedades:

(I) χ′(a) = 0 para todo entero a no coprimo con N ;

(II) χ′(a+N) = χ′(a) para todo entero a coprimo con N ;

(III) χ′(ab) = χ′(a)χ′(b) para todo par de enteros a y b.

Por abuso de notacion, escribiremos χ en lugar de χ′. Tambien es usual considerar lafuncion identicamente 1 en Z como un caracter de Dirichlet modulo 1.

Sea N ∈ N, y sea χ un caracter de Dirichlet modulo N .

Proposicion 1.1.2. Sea d ∈ N un divisor de N . Son equivalentes:

a) Para todo a ∈ Z tal que a ≡ 1 (mod d) y (a,N) = 1, se tiene que χ(a) = 1.

b) El caracter de Dirichlet χ esta inducido por un caracter de Dirichlet modulo d. En otraspalabras, el numero d es un modulo inducido por χ.

Demostracion. Supongamos que vale a). Sea π : (Z/NZ)× → (Z/dZ)× la proyeccioncanonica. Por hipotesis, el nucleo del morfismo de grupos χ : (Z/NZ)× → S1 contieneal nucleo de π. Luego existe un morfismo de grupos η tal que

(Z/NZ)×

χ

%%π

��(Z/dZ)× η

// S1 ,

(1)

conmuta.Si vale b), existe η morfismo de grupos tal que (1) conmuta. Si a ∈ Z verifica que

a ≡ 1 (mod d) y (a,N) = 1, entonces χ(a) = χ(a) = η ◦ π(a) = 1, pues por hipotesisa ∈ kerπ.

Observemos que como χ es morfismo se tiene que χ(−1) ∈ {−1, 1}. Decimos que χes par si χ(−1) = 1, en caso contrario decimos que χ es impar.

Denotamos con χ al caracter de Dirichlet modulo N dado por χ(a) = χ(a) si a ∈ Z.

Ejemplos

Ejemplo 1.1.3. SeaN ∈ N. Al caracter trivial se lo llama caracter principal moduloN . Estadado por

χ(a) =

{1, si a es coprimo con N ;

0, si no.

Notar que la funcion identicamente 1 en Z es el caracter principal modulo 1.

CAPITULO 1. TEORIA CLASICA 3

Ejemplo 1.1.4. Sea p un primo impar. Se define el sımbolo de Legendre como

(a

p

)=

1, si a es un cuadrado modulo p y a es coprimo con p;−1, si a no es un cuadrado modulo p;0, si a no es coprimo con p;

donde a ∈ Z. Notar que si p divide a a entonces a no es un cuadrado modulo p. Laaplicacion a 7→

(ap

)es un caracter de Dirichlet primitivo modulo p.

Ejemplo 1.1.5. Sea N un entero impar. Si N = p1k1 · · · pmkm , con p1, . . . , pm primos

distintos, se define el sımbolo de Jacobi como( aN

)=

(a

p1

)k1· · ·(a

p1

)km,

donde a ∈ Z. La aplicacion a 7→(aN

)es un caracter de Dirichlet.

Ejemplo 1.1.6. Sean p un primo impar, k ∈ N, ξ un generador de (Z/pkZ)× y ω unaraız primitiva ϕ(pk)-esima de 1, donde ϕ es la funcion de Euler. Entonces para todo0 ≤ h ≤ ϕ(pk)− 1, la aplicacion

χh :(Z/pkZ

)×−→ S1

ξm 7−→ ωhm (m ∈ Z),

es un caracter de Dirichlet modulo pk. De hecho, se puede ver que χ0, . . . , χϕ(pk)−1 sontodos los caracteres de Dirichlet modulo pk. Ademas χh es primitivo si y solo si p nodivide a h. Para ver cuales son todos los caracteres de Dirichlet modulo una potenciade 2, ver por ejemplo [Apo76, Capıtulo 10, Seccion 11]. Si N no es una potencia de unprimo, podemos obtener caracteres de Dirichlet modulo N no triviales de la anteriorconstruccion y el Teorema chino del resto.

1.2. Sumas de Gauss

Sean N ∈ N y χ un caracter de Dirichlet modulo N . Se define la suma de Gaussasociada a χ como

τ(χ) =∑

n (modN)

χ(n)e2πin/N ,

donde n (mod N) denota que la suma se hace sobre un sistema de representantes enZ de Z/NZ. Notemos que como χ(n) = 0 si n no es coprimo con N , tambien podemosescribir

τ(χ) =∑

n (modN)(n,N)=1

χ(n)e2πin/N =∑

n∈(Z/NZ)×

χ(n)e2πin/N ,

donde (n,N) denota el maximo comun divisor de n y N .

4 1.2. SUMAS DE GAUSS

Proposicion 1.2.1. Si χ es un caracter de Dirichlet primitivo modulo N , para todo m ∈ Z setiene que ∑

n (modN)

χ(n)e2πinm/N = χ(m) τ(χ). (1.2.2)

Demostracion. Supongamos primero que (m,N) = 1. Si n recorre un sistema de repre-sentantes de Z modulo N , entonces n′ = nm recorre otro sistema de representantes deZ modulo N . Luego,

τ(χ) =∑

n′ (modN)

χ(n′)e2πin′/N =∑

n (modN)

χ(nm)e2πinm/N = χ(m)∑

n (modN)

χ(n)e2πinm/N .

(1)Comom es coprimo conN , se tiene que χ(m) 6= 0 y χ(m)−1 = χ(m). La ecuacion (1.2.2)se sigue inmediatamente de (1).

Supongamos que (m,N) > 1. Entonces χ(m) = 0 y debemos verificar que el ladoizquierdo de (1.2.2) es 0. Sea l = (m,N), y sean d y d′ enteros tales queN = dl ym = d′l.Tenemos que

∑n (modN)

χ(n)e2πinm/N =∑

n (modN)

χ(n)e2πind′/d =∑

r (mod d)

∑n (modN)n≡r(mod d)

χ(n)e2πind′/d

=∑

r (mod d)


χ(n)e2πird′/d =∑

r (mod d)


χ(n)

e2πird′/d.

Basta ver entonces que la suma entre parentesis de la ultima lınea es cero. Como d esun divisor propio de N y χ es un caracter de Dirichlet primitivo modulo N , el numerod no es un modulo inducido por χ. Por la Proposicion 1.1.2, existe a ∈ Z, con a ≡ 1(mod d) y (a,N) = 1 tal que χ(a) 6= 1. Es facil ver que si n recorre los elementos de unsistema de representantes de Z modulo N que son congruentes a r modulo d, entoncesan tambien. Luego,

χ(a)∑

n (modN)n≡r(mod d)

χ(n) =∑


χ(an) =∑


χ(n). (2)

Como χ(a) 6= 1, la suma de la derecha de (2) es cero y obtenemos lo que querıamosver.

Proposicion 1.2.3. Si χ es un caracter de Dirichlet primitivo modulo N , entonces τ(χ) 6= 0.Mas aun, |τ(χ)| =

√N .


Demostracion. Por la Proposicion 1.2.1 tenemos que

|τ(χ)|2 = τ(χ)τ(χ) =∑

m (modN)

χ(m)e−2πim/Nτ(χ)

=∑

m (modN)

e−2πim/N∑

n (modN)

χ(n)e2πinm/N =∑

m (modN)

∑n (modN)

χ(n)e2πi(n−1)m/N

=∑

n (modN)

χ(n)∑

m (modN)

e2πi(n−1)m/N =∑

n (modN)

χ(n)∑

m (modN)

(e2πi(n−1)/N

)m.

(1)

Si n 6≡ 1 (mod N), entonces∑m (modN)

(e2πi(n−1)/N

)m=

N−1∑m=0

(e2πi(n−1)/N

)m=

e2πi(n−1) − 1

e2πi(n−1)/N − 1= 0.

Luego de (1) resulta que |τ(χ)|2 = χ(1)N = N , de modo que |τ(χ)| =√N .

Proposicion 1.2.4. Se verifica que τ(χ) = χ(−1)τ(χ).

Demostracion. Como χ : (Z/NZ)× → S1 es un morfismo, resulta que

τ(χ) =∑

n (modN)

χ(n)e−2πin/N =∑

n (modN)

χ(−(−n))e−2πin/N

=∑

n (modN)

χ(−1)χ(−n)e−2πin/N = χ(−1)∑

n (modN)

χ(−n)e−2πin/N = χ(−1)τ(χ).

Corolario 1.2.5. Si χ es un caracter de Dirichlet primitivo modulo N , entonces

τ(χ)τ(χ) = χ(−1)N. (1.2.6)

Demostracion. Es inmediato de las proposiciones 1.2.3 y 1.2.4.

Combinando los resultados anteriores, obtenemos el desarrollo de Fourier para ca-racteres de Dirichlet.

Teorema 1.2.7. Sea χ un caracter de Dirichlet primitivo moduloN . Entonces para todo n ∈ Z,

χ(n) =1

τ(χ)

∑m (modN)

χ(m)e2πinm/N . (1.2.8)

Demostracion. Sea n ∈ Z. Por la Proposicion 1.2.1, tenemos que

χ(n) = χ(n) =1

τ(χ)

∑m (modN)

χ(m)e2πinm/N =1

τ(χ)

∑m (modN)

χ(m)e2πinm/N .

Observar que el lado derecho de (1.2.8) esta definido para todo n ∈ R, mientras queel lado izquierdo, a priori, no tiene una extension natural a todo R.

6 1.3. FUNCIONES L DE DIRICHLET

1.3. Funciones L de Dirichlet

Sea χ un caracter de Dirichlet. Se define la L-serie de χ o funcion L de Dirichlet de χ,como la funcion

L(s, χ) =∞∑n=1

χ(n)n−s,

donde s es un numero complejo s con <s > 1. Notar que si χ1 es el caracter principalmodulo 1 entonces su L-serie es la funcion ζ. Como |χ(n)n−s| ≤ n−<s, la L-serie deχ es absolutamente convergente en compactos de {<s > 1}. En particular, la funcions 7→ L(s, χ) es una funcion holomorfa en {<s > 1}.

Lema 1.3.1. Para cada primo p, sea αp ∈ S1. Entonces el producto∏p primo

(1− αp p−s

)−1,

converge absolutamente para todo s ∈ C con <s > 1.

Demostracion. Una cuenta sencilla muestra que si (zn)n es una sucesion contenida enC×, entonces

∏n zn converge absolutamente si y solo si

∏n z−1n converge absolutamen-

te. Basta ver entonces que el producto∏p primo

(1− p−s)

converge absolutamente si s ∈ C con σ = <s > 1. En efecto,

∑p primo

|−p−s| =∑

p primo

p−σ ≤∞∑n=1

n−σ <∞,

dado que σ > 1.

Proposicion 1.3.2 (Producto de Euler). Si <s > 1, entonces

L(s, χ) =∏

p primo

(1− χ(p)

ps

)−1

.

Ademas el producto converge absolutamente.

Demostracion. Ver [Apo76, Teorema 11.7].

Notar que por (1.1.1), en el producto solo quedan los factores correspondientes a losprimos p que no dividen a N . En el caso particular del caracter de Dirichlet χ1, tenemosque

ζ(s) =∏

p primo

(1− p−s

)−1, (1.3.3)

para todo s ∈ C con <s > 1.


Ejemplo 1.3.4. Consideramos el caracter de Dirichlet dado por χ(n) =(−4n

), para n ∈

Z. Si p es un primo, es sabido que

(−4

p

)=

1, si p ≡ 1 mod 4;

−1, si p ≡ 3 mod 4;

0, si p = 2.

Luego, por la Proposicion 1.3.2, tenemos que

L(s, χ) =∏

p primo

(1− χ(p)

ps

)−1

=∏

p primop≡1(mod 4)

(1− 1

ps

)−1

·∏

p primop≡3(mod 4)

(1 +

1

ps

)−1

,

para todo s ∈ C con <s > 1.

1.4. Funciones theta

Formula de sumacion de Poisson

Dada f : R→ C una funcion integrable, consideramos su transformada de Fourier

f(ω) =

∫Rf(y)e−2πiωy dy. (1.4.1)

Supongamos que f es una funcion de Schwartz.

Teorema 1.4.2 (Formula de sumacion de Poisson). Se verifica que∑n∈Z

f(n) =∑n∈Z

f(n). (1.4.3)

Demostracion. Consideremos la funcion definida en R como

F (x) =∑n∈Z

f(x+ n). (1)

Al ser f una funcion de Schwartz, es facil ver que la serie converge absoluta y unifor-memente sobre compactos, de modo que F es continua. Ademas claramente F tieneperiodo 1 y, por lo tanto, un desarrollo en serie de Fourier de la forma

∑n∈Z Fne

2πinx,donde Fn ∈ C para todo n ∈ Z. Calculemos cada coeficiente Fn. Si n ∈ Z tenemos que

Fn =

∫ 1

0F (x)e−2πinx dx =

∫ 1

0

∑n∈Z

f(x+ n)e−2πinx dx =∑n∈Z

∫ 1

0f(x+ n)e−2πinx dx

=∑n∈Z

∫ n+1

nf(x)e−2πinx dx =

∫Rf(x)e−2πinx dx = f(n).

8 1.4. FUNCIONES THETA

Como f ′ es una funcion de Schwartz, podemos derivar termino a termino la serie de(1). Obtenemos ası que F es C1 y su serie de Fourier converge uniformemente a F .En particular, para todo x ∈ R se tiene que F (x) =

∑n∈Z Fne

2πinx. Evaluando en 0,obtenemos que ∑

n∈Zf(n) =

∑n∈Z

f(n).

Para nuestros propositos vamos a necesitar una version adaptada de (1.4.3) a carac-teres de Dirichlet.

Proposicion 1.4.4. Sean N ∈ N y χ un caracter de Dirichlet primitivo modulo N . Entonces∑n∈Z

χ(n)f(n) =χ(−1)

τ(χ)

∑n∈Z

χ(n)f(n/N). (1.4.5)

Demostracion. De (1.2.8), resulta que∑n∈Z

χ(n)f(n) =∑n∈Z

1

τ(χ)

∑m (modN)

χ(m)e2πinm/Nf(n) =∑n∈Z

g(n), (1)

donde denotamosg(x) =

1

τ(χ)

∑m (modN)

χ(m)e2πixm/Nf(x)

para todo x ∈ R. Dado x ∈ R,

g(x) =

∫R

1

τ(χ)

∑m (modN)

χ(m)e2πiym/Nf(y)e−2πixy dy

=1

τ(χ)

∑m (modN)

χ(m)

∫Rf(y)e−2πiy(x−m/N) dy =

1

τ(χ)

∑m (modN)

χ(m)f(x−m/N)

=1

τ(χ)

∑m (modN)

χ(−m)f(x+m/N) =χ(−1)

τ(χ)

∑m (modN)

χ(m)f(x+m/N).

Entonces por (1.4.3) en (1), tenemos que∑n∈Z

χ(n)f(n) =χ(−1)

τ(χ)

∑n∈Z

∑m (modN)

χ(m)f(n+m/N)

=χ(−1)

τ(χ)

∑n∈Z

∑m (modN)

χ(nN +m)f

(nN +m

N

),

(2)

pues χ es caracter de Dirichlet modulo N . Como nN +m recorre todos los enteros (unavez), cuando m recorre un sistema de representantes modulo N y n recorre Z, la ultimalınea de (2) es igual al lado derecho de (1.4.5), como querıamos ver.


Funciones theta

Sea χ un caracter de Dirichlet primitivo modulo N , y sea ε ∈ {0, 1} tal que χ(−1) =(−1)ε. Para cada x ∈ R>0, sea

θχ(x) =∑n∈Z

χ(n)nεe−πn2x/N . (1.4.6)

El rapido decrecimiento de la exponencial permite asegurar la convergencia uniformesobre compactos de la serie en R>0.

El root number del caracter χ es el numero complejo

W (χ) =τ(χ)

iε√N. (1.4.7)

Notar que por la Proposicion 1.2.3 tiene valor absoluto 1. Ademas, por (1.2.6), se tieneque

W (χ) = W (χ)−1. (1.4.8)

La Proposicion 1.4.4 nos va a permitir hallar una ecuacion funcional para θχ en la cualaparece el root number de χ.

Para estudiar θχ, nos sera util calcular la transformada de Fourier de la funcionque acompana a χ dentro de la suma. Para ellos nos valemos del siguiente resultadoconocido:

Lema 1.4.9. Si a > 0 entonces para todo ω ∈ R,∫ +∞

−∞e−ay

2e−2πiyω dy =

√π

ae−π

2ω2/a.

Fijado a > 0, consideremos la funciones definidas en R por ga(y) = e−ay2

y ha(y) =yga(y). El Lema 1.4.9 nos dice que para todo ω ∈ R,

ga(ω) =

√π

ae−π

2ω2/a. (1.4.10)

Por ser ga una funcion de Schwartz, un resultado clasico nos dice que ha = i2π ga

′. Luegopor el Lema 1.4.9 tenemos que para todo ω,

ha(ω) =i

2π

d

dω

(√π

ae−π

2yω2/a

)= −i

(πa

)3/2ωe−π

2ω2/a. (1.4.11)

Teorema 1.4.12 (Ecuacion funcional para θχ). Para todo x > 0 se tiene que

θχ(x) =1

x12

+εW (χ)θχ(1/x). (1.4.13)

10 1.5. ECUACION FUNCIONAL Y CONTINUACION ANALITICA

Demostracion. Sea x > 0. Tomando a = πx/N en (1.4.10) y (1.4.10), obtenemos que paratodo ω ∈ R,

gπx/N (ω) =

√N

xe−πω

2N/x; hπx/N (ω) = −i(N

x

)3/2

ω e−πω2N/x. (1)

Si denotamos f0 = gπx/N y f1 = hπx/N , tenemos que θχ =∑

n∈Z χ(n)fε(n). De (1) seobtiene que

fε(ω) = (−i)ε(N

x

)1/2+ε

ωε e−πω2N/x,

para todo ω ∈ R. Luego por (1.4.5) resulta que

θχ(x) =∑n∈Z

χ(n)fε(n) =χ(−1)

τ(χ)

∑n∈Z

χ(n)(−i)ε(N

x

) 12

+ε ( nN

)εe−

π(n/N)2Nx

=1

x12

+ε

χ(−1)√N

iετ(χ)

∑n∈Z

χ(n)nεe−πn2

xN =1

x12

+ε

τ(χ)

iε√Nθχ(1/x) =

1

x12

+εW (χ)θχ(1/x),

donde en la ultima lınea utilizamos (1.2.6) y (1.4.7).

1.5. Ecuacion funcional y continuacion analıtica

Si s ∈ C es un numero complejo tal que <s > 0, se define

Γ(s) =

∫ +∞

0xs−1e−x dt. (1.5.1)

La funcion Γ verifica las siguientes propiedades:

(I) Γ (1) =1;

(II) Γ(z + 1) = zΓ(z);

(III) Γ(1− z)Γ(z) = πsinπz , si z /∈ Z (ecuacion funcional);

(IV) Γ(z)Γ(z + 1

2

)= 21−2z√π Γ(2z) (formula de duplicacion).

Si bien solo tenemos asegurada la convergencia de la integral (1.5.1) si <s > 0, pode-mos extender Γ a todo el plano complejo segun su ecuacion funcional. La funcion Γresulta ser una funcion meromorfa en C, cuyos polos son los numeros enteros menoreso iguales que cero, y son todos simples.

Sea χ un caracter de Dirichlet primitivo modulo N . Tomemos ε ∈ {0, 1} tal queχ(−1) = (−1)ε. Para s ∈ C con <s > 1, definimos la funcion

Λ(s, χ) = Ns+ε2 π−

s+ε2 Γ

(s+ ε

2

)L(s, χ). (1.5.2)


Ejemplo 1.5.3. Si χ1 es el caracter principal modulo 1, vamos a denotar Ξ = Λ(·, χ1). Setiene entonces que

Ξ(s) = π−s2 Γ(s

2

)ζ(s), (1.5.4)

para s con <s > 11.

Sea s un numero complejo con <s > 1. Entonces,

Λ(s, χ) = Ns+ε2 π−

s+ε2

(∫ +∞

0xs+ε2−1e−x dx

)( ∞∑n=1

χ(n)n−s

)

=

∫ +∞

0

(Nx

π

) s+ε2

e−x

( ∞∑n=1

χ(n)n−s

)dx

x=

∫ +∞

0

∞∑n=1

(Nx

πn2

) s+ε2

e−xχ(n)nεdx

x.

Haciendo el cambio de variable t = Nx/πn2 en la ultima integral, obtenemos que

Λ(s, χ) =

∫ +∞

0

∞∑n=1

ts+ε2 e−πn

2t/Nχ(n)nεdt

t=

∫ +∞

0ts+ε2

∞∑n=1

χ(n)nεe−πn2t/N dt

t.

Consideramos para cada s ∈ C tal que la integral correspondiente converja absolu-tamente,

Λ+(s, χ) =

∫ +∞

1ts+ε2

∞∑n=1


t;

Λ−(s, χ) =

∫ 1

0ts+ε2

∞∑n=1


t.

(1.5.5)

Notar que ambas integrales convergen al menos en {<s > 1}. Tenemos entonces que

Λ(s, χ) = Λ+(s, χ) + Λ−(s, χ), (1.5.6)

para todo s ∈ C con parte real mayor a 1.Necesitaremos el siguiente resultado estandar de analisis complejo:

Lema 1.5.7. Sean I ⊆ R un intervalo, U ⊆ C abierto y ϕ : I × U → C una funcion continua.Supongamos ademas que para todo x ∈ I la funcion ϕ(x, ·) : U → C es holomorfa y que ∂ϕ

∂s esuna funcion continua. Sea g : U → C definida por

g(s) =

∫Iϕ(t, s) dt.

Si existe h : I → R integrable tal que |ϕ(t, s)| ≤ |h(t)|, entonces g es holomorfa.1Tambien es usual considerar la funcion ξ(s) = 1

2s(s − 1) Ξ(s); ası lo hizo Riemann en su artıculo. La

ecuacion funcional (1.5.12) en terminos de ξ es la misma: ξ(s) = ξ(1 − s). A diferencia de Ξ, la funcion ξes analıtica en todo C.


Proposicion 1.5.8. La funcion s 7→ Λ+(s, χ) es entera.

Demostracion. Para t > 0, consideremos la funcion f(t) = e−πt. Entonces,

Λ+(s, χ) =

∫ +∞

1ts+ε2−1∞∑n=1

χ(n)nεf(n2t/N

)dt.

Basta ver que s 7→ Λ+(s, χ) es holomorfa para toda region U = {<s < M}, dondeM > 0. Para probarlo, usamos el Lema 1.5.7. Veamos que el integrando esta acotadopor una funcion integrable (el resto de las condiciones son inmediatas). Sea k ∈ N talque k > M/2 + 1. Entonces existe C > 0 tal que |f(t)| ≤ C/tk. Luego, si s ∈ U y t ≥ 1,∣∣∣∣∣t s+ε2 −1

∞∑n=1

χ(n)nεf(n2t/N

)∣∣∣∣∣ ≤ t<s+ε2−1∞∑n=1

nCNk

(n2t)k≤ t

M2−k

∞∑n=1

nCNk

n2k. (1)

Por la condicion sobre k, la funcion∫ +∞

1 tM2−k dt es integrable. De (1) y del Lema 1.5.7,

concluimos lo que querıamos ver.

Nuestro proximo paso es probar la ecuacion funcional y la extension meromorfa delas funciones L de Dirichlet. Resulta que va a haber dos situaciones bien diferenciadas:los caracteres tales que χ(0) = 0 y los caracteres en los cuales χ(0) 6= 0. En realidad, lasegunda situacion solo puede ocurrir si N = 1 (por (1.1.1)), es decir si χ es el caracterprincipal modulo 1, χ1. En particular, si χ(0) = 1 entonces ε = 0. Resulta entonces queen todos los casos tenemos que

θχ(t) =∑n∈Z

χ(n)nεe−πn2t/N = 2

+∞∑n=1

χ(n)nεe−πn2t/N + χ(0),

y por lo tanto de (1.5.5),

Λ+(s, χ) =1

2

∫ +∞

1(θχ(t)− χ(0)) t

s+ε2dt

t; Λ−(s, χ) =

1

2

∫ 1

0(θχ(t)− χ(0)) t

s+ε2dt

t.

(1.5.9)

Teorema 1.5.10. Sea χ un caracter de Dirichlet primitivo. Entonces la funcion s 7→ Λ(s, χ)tiene continuacion meromorfa a todo C, y su extension es entera, salvo si el caracter χ es elcaracter principal modulo 1. En este ultimo caso, la funcion s 7→ Λ(s, χ1) = Ξ(s) tiene dospolos simples en 1 y 0, con residuos 1 y −1, respectivamente. Ademas, en ambos casos, tenemosla ecuacion funcional

Λ(s, χ) = W (χ)Λ (1− s, χ) , (1.5.11)

la cual vale para todo s ∈ C. En el caso χ = χ1, el numero W (χ) es igual a 1, y la ecuacion(1.5.11) resulta ser

Ξ(s) = Ξ(1− s), (1.5.12)

para todo s ∈ C.


Demostracion. Sea s ∈ C con <s > 1, entonces haciendo el cambio de variable x = 1/t yluego usando (1.4.13), obtenemos que

Λ−(s, χ) =1

2

∫ 1

0(θχ(t)− χ(0)) t

s+ε2dt

t=

1

2

∫ +∞

1(θχ(1/x)− χ(0))x−

s+ε2dx

x

=1

2

∫ +∞

1

(x

12

+εW (χ)θχ(x)− χ(0))x−

s+ε2dx

x.

(1)

Si χ 6= χ1, entonces de (1) y (1.5.9) se obtiene

Λ−(s, χ) =W (χ)

2

∫ +∞

1θχ(x)x

1−s+ε2

dx

x= W (χ)Λ+(1− s, χ).

Luego, por (1.5.6) tenemos que

Λ(s, χ) = Λ+(s, χ) +W (χ)Λ+(1− s, χ), (2)

y esta igualdad vale para todo s ∈ C con <s > 1. Por la Proposicion 1.5.8, el ladoderecho de (2) es una funcion entera. Podemos extender Λ(s, χ) a todo C mediante estaigualdad. Por otro lado, si en el lado derecho de (2) hacemos el cambio

s 7−→ 1− s, χ 7−→ χ,

obtenemos por (1.4.8) la ecuacion:

Λ+(1− s, χ) +W (χ)Λ+(s, χ) =1

W (χ)(W (χ)Λ+(1− s, χ) + Λ+(s, χ)) . (3)

Concluimos de (2) y (3) que

Λ(1− s, χ) =1

W (χ)Λ(s, χ),

para todo s ∈ C, como querıamos ver.Supongamos que χ = χ1, entonces ε = 0, N = 1, W (χ) = 1 (recordar (1.4.7)),

χ = χ1. Luego, por (1):

Λ−(s, χ1) =1

2

∫ +∞

1

(x

12 θχ1(x)− 1

)x−

s2dx

x=

1

2

∫ +∞

1

(θχ1(x)− x−

12

)x

1−s2dx

x

=1

2

∫ +∞

1(θχ1(x)− 1)x

1−s2dx

x+

1

2

∫ +∞

1

(1− x−

12

)x

1−s2dx

x. (4)

De (1.5.9), la primera integral de (4) es Λ+(1 − s, χ1). Por otro lado, como <s > 1, lasegunda integral de (4) es igual a∫ +∞

1

(x

1−s2 − x−s/2

) dxx

=2

s− 1− 2

s.


pues <s > 1. Volviendo a (4), tenemos entonces que

Λ−(s, χ1) = Λ+(1− s, χ1) +1

s− 1− 1

s.

Luego por (1.5.4) y (1.5.6), obtenemos que

Λ(s, χ1) = Λ+(s, χ1) + Λ+(1− s, χ1) +1

s− 1− 1

s, (5)

y esta igualdad vale para todo s ∈ C con <s > 1. Por la Proposicion 1.5.8, el ladoderecho de (5) es una funcion meromorfa en todo C, con dos polos simples en 1 y 0, ycon residuos 1 y -1 respectivamente. Podemos extender Ξ = Λ(·, χ1) a todo C medianteesta igualdad. Ademas como el lado derecho de (5) resulta invariante al hacer el cambios 7−→ 1− s, concluimos que vale la ecuacion (1.5.11) para todo s ∈ C. Como W (χ1) = 1,tenemos que (1.5.11) se simplifica en (1.5.12).

La ecuacion (1.5.12) nos dice que es mas “natural” considerar Ξ que ζ, ya que esΞ quien satisface una ecuacion funcional. Vamos a ver mas adelante que la funcion Ξ“completa” de cierta manera a ζ, y entenderemos de donde salen los factores extra.

Escrita en terminos de la funcion ζ, la ecuacion (1.5.12) nos queda:

π−s2 Γ(s

2

)ζ(s) = π−

1−s2 Γ

(1− s

2

)ζ(1− s).

Equivalentemente,

ζ(s) = π−12

+sΓ(

1−s2

)Γ(s2

) ζ(1− s) = 2sπ−(1−s)Γ (1− s) sin(πs

2

), (1.5.13)

para s ∈ C con <s > 1. La ultima igualdad se obtiene de una cuenta sencilla utilizandolas propiedades (III) y (IV) de la funcion Γ.

Capıtulo 2

Preliminares

2.1. Estructuras basicas y algunas notaciones

Dado un conjunto I , decimos que una propiedad se cumple para casi todo i en I , sise cumple para todo i en I salvo quiza finitos.

Todos los grupos con los que trabajaremos en esta tesis son abelianos, por lo tanto,salvo que indiquemos lo contrario, cada vez que tengamos un grupo abstracto supon-dremos que es abeliano. A pesar de eso, como gran parte de los resultados valen engeneral, con correcciones obvias, usaremos en este capıtulo notacion multiplicativa enlugar de aditiva.

Si G es un grupo, denotaremos con 1 al neutro de un grupo G. Un subconjuntoA ⊆ G se dice simetrico si A−1 = A.

Sean h ∈ G y f una funcion definida en G. Definimos la funcion trasladada de f porh como:

τh(f)(g) = f(h−1g), (2.1.1)

para g ∈ G.Un grupo (G, ·) que tiene una topologıa se dice grupo topologico si

m : G×G −→ G y (·)−1 : G −→ G

(g1, g2) 7→ g1g2 g 7→ g−1

son continuas. Los morfismos de grupos topologicos son los morfismos de grupos que soncontinuos. Analogamente consideraremos anillos topologicos y los morfismos de lasestructuras correspondientes.

Tomamos como norma general que la topologıa en un grupo finito es la discreta.

2.2. Grupos topologicos

Generalidades

Enunciaremos a continuacion algunas definiciones y resultados bien conocidos quemas adelante utilizaremos.

15

16 2.2. GRUPOS TOPOLOGICOS

Proposicion 2.2.1. Sea U un entorno de 1. Entonces existe un entorno abierto simetrico V de1 tal que V · V ⊆ U .

Proposicion 2.2.2. Sean A,B ⊆ G.

a) Si A es abierto (respectivamente cerrado), entonces AB es abierto (respectivamente cerra-do).

b) Si A y B son compactos, entonces AB es compacto.

Proposicion 2.2.3. Sea H un subgrupo de G. Entonces:

a) La clausura de H es subgrupo de G.

b) Si H es abierto entonces es cerrado.

c) Si H es cerrado y el ındice de H en G es finito, entonces H es abierto.

Axiomas de separacion y cocientes

En los grupos topologicos, hipotesis mınimas de separacion implican propiedadesde separacion, en principio, mucho mas fuertes. Por ejemplo, tenemos el siguiente re-sultado:

Proposicion 2.2.4. Sea G un grupo topologico. Son equivalentes:

a) El espacio topologico G es Hausdorff.

b) El espacio topologico G es T0.

c) El conjunto {1} es un cerrado de G.

Se puede probar incluso, aunque la demostracion es mas difıcil que la de la Propo-sicion 2.2.4, que un grupo topologico es T0 si y solo si un espacio de Tychonoff.

Si H es un subgrupo del grupo topologico G, le damos a G/H la topologıa cociente,esto es, la topologıa mas fina en G/H tal que la proyecccion canonica π : G→ G/H escontinua. En otras palabras, un subconjunto V de G/H es abierto si y solo si π−1(V ) esun abierto de G.

Notemos que si A es un subjunto de G/H , entonces

π−1 (π(A)) =⋃h∈H

Ah.

Luego, si U un abierto de G entonces π(U) es un abierto de G/H . Tenemos entoncesque π es una aplicacion abierta.

Proposicion 2.2.5. Sea G un grupo topologico y H un subgrupo. Vale lo siguiente:

a) Si H es compacto, entonces π es cerrada.

b) El grupo G/H es un grupo topologico.

c) El espacio cociente G/H es Hausdorff si y solo si H es cerrado.

d) El espacio cociente G/H es discreto si y solo si H es abierto.

CAPITULO 2. PRELIMINARES 17

Grupos localmente compactos

Antes de tratar especıficamente grupos localmente compactos, recordemos algunosresultados de topologıa general cuya demostracion es directa y sencilla:

Observacion 2.2.6. Sea X espacio topologico localmente compacto.

a) Si F ⊆ X es un cerrado, entonces es localmente compacto.

b) Sea ∼ una relacion de equivalencia en X . Si la proyeccion al cociente π : X → X/∼ esabierta, entonces X/∼ es localmente compacto.

Un grupo topologico se dice localmente compacto si es un grupo topologico que comoespacio topologico es localmente compacto y Hausdorff.

Como consecuencia de la Proposicion 2.2.5 y la Observacion 2.2.6 tenemos:

Proposicion 2.2.7. Sean G un grupo localmente compacto y H un subgrupo cerrado de G.Entonces H y G/H son grupos localmente compactos.

Otro resultado que va a sernos util es el siguiente:

Proposicion 2.2.8. Sea G un grupo topologico Hausdorff. Si H es un subgrupo localmentecompacto de G, entonces es cerrado. En particular, todo subgrupo discreto de G es cerrado.

Teorema 2.2.9 (Teorema de la funcion abierta). Sean G1 y G2 grupos localmente compactostal que G1 es union contable de subconjuntos compactos. Si φ : G1 → G2 es un morfismosuryectivo, entonces es abierto. En particular, si φ es un morfismo biyectivo entonces es unisomorfismo.

Demostracion. Ver [DE14, Teorema 4.2.10].

2.3. Dual de Pontryagin

Sea G un grupo topologico (recordar que para nosotros todos los grupos son abelia-nos). Decimos que χ : G→ C× es un cuasi-caracter en G si χ es un morfismo de grupostopologicos. Si ademas χ(g) ∈ S1 para todo g ∈ G, decimos que χ es un caracter en G.Al conjunto de todos los caracteres en G lo denotamos G. Algunos autores denominancaracteres a nuestros cuasi-caracteres.

Sea C (G,S1) el conjunto de las funciones continuas definidas en G a valores enS1; lo dotamos con la topologıa compacto abierta. Notemos que G es un subgrupo deC (G,S1) con la multiplicacion puntual. La topologıa inducida en G tiene como abiertosbasicos a los conjuntos S(K,U), los cuales se definen del siguiente modo: si K es uncompacto de G y U es un abierto de S1,

S(K,U) = {χ ∈ G : χ(K) ⊆ U}.

Al grupo topologico G se lo llama el dual de Pontryagin de G. Se puede probar que si Ges un grupo localmente compacto, entonces G es un grupo localmente compacto.

18 2.3. DUAL DE PONTRYAGIN

SiE un subconjunto deG, denotamos conE⊥ al anulador deE. Es decir, al conjunto

E⊥ = {χ ∈ G : χ(x) = 1 para todo x ∈ E}.

Proposicion 2.3.1. El anulador de E es un subgrupo cerrado.

Demostracion. Es claro que es subgrupo de G. Supongamos que χ ∈ G, y sea (χα)α ⊆E⊥ una red que converge a χ. Sea x ∈ E. Como en G se tiene la topologıa subespacio dela compacto abierta, la red (χα)α converge puntualmente a χ. Luego (χα(x))α = (1)αconverge a χ(x). Al ser G Hausdorff se tiene que χ(x) = 1, y como x ∈ E era arbitrario,concluimos que χ ∈ E⊥.

Proposicion 2.3.2. Si H es un subgrupo compacto de G, entonces H⊥ es un subgrupo abiertode G.

Demostracion. Sea U ⊆ S1 un abierto que contiene a 1 pero a ningun subgrupo no trivialde S1 (tal U existe, ver demostracion del Lema 2.3.5). Afirmamos que H⊥ = S(H,U),con lo cual H⊥ es un abierto basico de G. Es claro que H⊥ ⊆ S(H,U). Por otro lado,si χ ∈ S(H,U), como χ(H) ⊆ U es un subgrupo de S1, debe ser χ(H) = {1}. Luego,S(H,U) ⊆ H⊥.

Supongamos que G1 y G2 son dos grupos topologicos y que ϕ : G1 → G2 es unmorfismo. Consideremos a la aplicacion ϕ∗ : G2 → G1 definida por ϕ∗(ψ) = ψ ◦ ϕ.Es inmediato que si K ⊆ G1 es un compacto y U es un abierto de S1 se tiene que(ϕ∗)−1(S(K,U)) = S(ϕ(K), U), por lo tanto ϕ∗ es un morfismo. El morfismo ϕ∗ sellama el morfismo inducido por ϕ en los duales de Pontryagin.

Sea A un anillo topologico y sea ψ un caracter de (A,+). Si a ∈ A, denotemos conψa al caracter de (A,+) dado por

ψa(x) = ψ(ax). (2.3.3)

Proposicion 2.3.4. La aplicacion Ψ : A → A dada por Ψ(a) = ψa es un morfismo de grupostopologicos. Ademas, si A es un cuerpo y ψ es no trivial, entonces Ψ es inyectiva.

Demostracion. Una cuenta sencilla muestra que Ψ es morfismo de grupos, veamos lacontinuidad. Sea m : A×A→ A la multiplicacion en el anillo A y sea f = Ψ ◦m. Comof esta en C (A × A,S1), la funcion f : A → C (A,S1) definida por f(a)(x) = f(a, x) esuna funcion continua, donde en C (A,S1) se toma la topologıa compacto abierta. Comopara todo a ∈ A se tiene que f(a) = Ψ(a), si llamamos i : A → C (A,S1) a la inclusion,tenemos que f = i ◦Ψ. Concluimos que Ψ es continua.

Supongamos que A es un cuerpo. Es facil ver que

ker Ψ = {a ∈ A : (a) ⊆ kerψ},

donde (a) denota el ideal de A generado por a. Concluimos que si Ψ no es inyectiva,entonces ψ es el morfismo trivial.


Un resultado que va a resultarnos muy util cuando estudiemos la estructura deldual de Pontryagin en diversos ejemplos es el siguiente:

Lema 2.3.5. Sea G un grupo topologico tal que existe una familia F de subgrupos de G tal quecada entorno de 1 contiene a un elemento deF . Sea χ un cuasi-caracter enG. Entonces el nucleode χ contiene un elemento de F . Si ademas G es compacto y los elementos de F son entornos,entonces χ es un caracter de orden finito.

Demostracion. Sea U el subconjunto de C× dado por

U =

{z ∈ C× :

1

2< |z| < 2,<(z) > 0

}.

Es facil ver que U no contiene ningun subgrupo de C× no trivial. Como χ es una fun-cion continua, tenemos que χ−1(U) es un abierto que contiene a 1. Por hipotesis, existeH ∈ F tal que H ⊆ χ−1(U). Luego al ser χ(H) un subgrupo de C× contenido en U ,debe ser χ(H) = {1}. De modo que H ⊆ kerχ.

En el caso que G sea compacto y los elementos de F sean entornos, al ser H unentorno de 1, entonces G puede cubrirse con finitos conjuntos de la forma gH , cong ∈ G. Luego G/H es finito, y como χ se factoriza por G/H , la imagen de χ es finita.Por lo tanto, el orden de χ es finito. Por otro lado, al ser χ(G) un subgrupo finito de C×,esta contenido en S1. Concluimos que χ es un caracter.

En esta tesis veremos varios ejemplos del siguiente resultado general.

Proposicion 2.3.6. Sea G un grupo topologico. Se tiene:

a) Si G es compacto, entonces G es discreto.

b) Si G es discreto, entonces G es compacto.

Demostracion. Ver [DE14, Proposicion 3.1.5].

En el resto de la seccion supondremos que G es un grupo localmente compacto.Para cada x ∈ G consideremos la aplicacion evx : G → C definida por evx(χ) =

χ(x). Es claro que si χ y ψ son caracteres entonces evx(χψ) = evx(χ)evx(ψ). Ademas,como la convergencia en compactos implica convergencia puntual, se tiene que si (χα)αes una red en G que converge a χ ∈ G, entonces la red (evx(χα))α = (χα(x))α converge

a χ(x) = evx(χ) enG. Esto muestra que evx es continua y por lo tanto evx ∈G . Tenemos

entonces definida una aplicacion ev : G → G dada por ev(x) = evx, esta aplicacion se

denomina aplicacion de Pontryagin.El siguiente teorema es de gran importancia y puede encontrarse en varios de los

libros de la bibliografıa ([DE14], [Fol16], [HR79] y [RV99]).

Teorema 2.3.7 (Dualidad de Pontryagin). La aplicacion de Pontryagin es un isomorfismo.

20 2.4. TEORIA DE LA MEDIDA EN ESPACIOS LOCALMENTE COMPACTOS

Es importante senalar que en el caso que G no sea un grupo abeliano, no se puedeconcluir lo mismo y el objeto dual a G no es un grupo topologico. Para mas detalles ver[HR79, Capıtulo 6] y [HR70, Capıtulo 7].

Con el Teorema 2.3.7, no es difıcil deducir el siguiente resultado:

Proposicion 2.3.8. Sea H un subgrupo cerrado de G. Entonces la aplicacion

H⊥ −→ G/H

χ 7−→ χ

es un isomorfismo, donde χ es el caracter de G/H definido por χ(gH) = χ(g) si g ∈ G.

Demostracion. Ver [DE14, Proposicion 3.6.1 (a)].

2.4. Teorıa de la medida en espacios localmente compactos

Definiciones y resultados basicos

Recordemos algunas definiciones basicas de teorıa de la medida. A un par (X,M),donde X es un conjunto no vacıo y M es una σ-algebra sobre X se lo llama espaciomedible. Una terna (X,M, µ) donde (X,M) es un espacio medible y µ es una medida enX , se denomina espacio de medida. A los elementos deM se los llama conjuntos medibles.

Supongamos que Y ⊆ X es un conjunto medible. A la σ-algebra de subconjuntosde Y definida porMY = {A ∩ Y : A ∈ M}, se la llama σ-algebra inducida en Y porM.ComoMY ⊆M, podemos definir la funcion µY = µ|MY

. Es facil ver que (Y,MY , µY )es un espacio de medida. A la medida µY se la llama medida inducida en Y por µ.

La medida µ se dice σ-finita siX puede escribirse como union contable de conjuntosmedibles de medida finita. Un conjuntoE ⊆ X se dice σ-finito, si puede escribirse comouna union contable de conjuntos de medida finita.

Si X es un espacio topologico, a la σ-algebra de X generada por los abiertos se lallama σ-algebra de Borel y la denotaremos por BX . A los elementos de BX se los llamaborelianos de X .

Un conjuntoE ⊆ X se dice σ-compacto, si puede escribirse como una union contablede conjuntos compactos.

Proposicion 2.4.1. Supongamos que Y ⊆ X . Entonces la σ-algebra inducida en Y por BX esBY .

Demostracion. Sea BY la σ-algebra de Borel de Y y sea A = {E ∩ Y : E ∈ BX} la σ-algebra en Y inducida por BX . Como todo abierto de Y esta en A y BY es la menorsub-algebra que contiene a los abiertos de Y , tenemos que BY ⊆ A. Para probar la otrainclusion, consideremosM = {E ⊆ X : E ∩ Y ∈ BY }. Es claro queM es una σ-algebrade conjuntos de X que contiene a todos los abiertos de X , luego BX ⊆ M. Esto ultimoimplica que A ⊆ BY , como se querıa ver.


Observacion 2.4.2. Sean Y ⊆ X un subespacio y f : X → C una funcion medible cuyosoporte esta contenido en Y . Entonces∫

Xf dµ =

∫Yf |Y dµY .

Proposicion 2.4.3. Sea (X,M, µ) un espacio de medida y sea h : X → [0,+∞] una funcionmedible. Sea λ :M→ [0,+∞] la funcion definida por

λ(E) =

∫Eh dµ.

Entonces λ es una medida de X y para toda f : X → [0,+∞] medible se tiene que∫Xf dλ =

∫Xfh dµ.

Demostracion. Ver [Rud87, Teorema 1.29].

Medidas de Radon y regularidad

Si X es un espacio localmente compacto y Hausdorff, a una medida definida sobreBX se la llama medida de Borel. De aquı en adelante en esta seccion (X,BX , µ) denotaraun espacio de medida, conX espacio topologico localmente compacto y Hausdorff, BXsu σ-algebra de Borel y µ una medida de Borel.

Sea E ∈ BX . Decimos que µ es regular exteriormente en E si

µ(E) = ınf {µ(U) : E ⊆ U,U abierto} ,

y decimos que µ es regular interiormente en E si

µ(E) = sup {µ(K) : K ⊆ E,K compacto} .

La medida µ es una medida de regular si es regular exterior e interiormente en todos losborelianos.

Si el espacio X no es σ-compacto, la regularidad es una condicion algo fuerte y sesuele trabajar con una condicion mas debil: la medida µ es una medida de Radon si esfinita en todos los compactos, regular exteriormente en todos los borelianos y regularinteriormente en todos los abiertos.

En el caso que el espacio topologico sea suficientemente bueno, ambas nociones sonequivalentes y con hipotesis muy relajadas podemos asegurar la regularidad:

Teorema 2.4.4. Supongamos que todo abierto de X es σ-compacto. Entonces toda medida deBorel en X que es finita en conjuntos compactos es regular, y en particular, es de Radon.

Demostracion. Ver [Fol99, Teorema 7.8].

Observacion 2.4.5. Si X verifica el segundo axioma de numerabilidad, todo abierto de X esσ-compacto.


Todos los ejemplos concretos de espacios topologicos con los que trabajaremos cum-pliran las hipotesis del teorema anterior. Esto nos va a permitir simplificar notoriamentela construccion de ciertas medidas.

De aquı en adelante en esta seccion supondremos que µ es una medida de Radonen X .

Proposicion 2.4.6. Sea Y ⊆ X un abierto localmente compacto. Entonces la medida inducidaen Y por µ es de Radon.

Demostracion. Sea µY la medida en Y inducida por µ. Por la Proposicion 2.4.1, la σ-algebra en Y inducida por BX es BY . En consecuencia, la medida µY es de Borel. Esclaro que µY es finita en todos los compactos de Y . Sea E ∈ BY . Probemos que µY esregular exteriormente en E. Como µ es regular exteriormente en E,

µ(E) = ınf{µ(V ) : E ⊆ V, V abierto de X}≥ ınf{µ(V ∩ Y ) : E ⊆ V, V abierto de X} ≥ µ(E).

Entonces son todas igualdades. Por otro lado, como

{µ(V ∩ Y ) : E ⊆ V, V abierto de X} = {µY (W ) : E ⊆W,W abierto de Y },

concluimos que µY es regular exteriormente en E.Finalmente, la medida µY es regular interiormente en todos los abiertos de Y pues

todo abierto de Y es abierto de X y µ es de Radon.

Sea Cc(X) el conjunto de las funciones continuas definidas en X , de soporte com-pacto y a valores en C. Como µ(K) < ∞ para todo K compacto de X , tenemos queCc(X) es un subespacio vectorial de Lpµ(X) para todo p ≥ 1.

Proposicion 2.4.7. Si µ es una medida de Radon en X entonces Cc(X) es denso en Lpµ(X)para todo 1 ≤ p <∞.

Queremos enunciar un teorema de principal importancia, el Teorema de represen-tacion de Riesz. Para ello introduzcamos primero un poco de notacion.

Dado un conjunto A ∈ BX , denotamos por 1A : X → R a la funcion caracterısticade A. Sea C +

c (X) = {f ∈ Cc(X) : f(x) ≥ 0 para todo x ∈ X y ‖f‖1 > 0}. Un funcionallineal I : Cc(X) → C se dice positivo si para toda funcion f ∈ C +

c (X) se tiene queI(f) ≥ 0. Al soporte de una funcion f lo denotaremos Supp(f).

Teorema 2.4.8 (Teorema de representacion de Riesz). Si I es un funcional lineal positivode Cc(X), entonces existe una unica medida de Radon ν en X tal que I(f) =

∫f dν para toda

f ∈ Cc(X). Ademas ν satisface:

ν(U) = sup {I(f) : f ∈ Cc(X), Supp(f) ⊆ U, 0 ≤ f ≤ 1} para todo abierto U ⊆ X(2.4.9)

yν(K) = ınf {I(f) : f ∈ Cc(X),1K ≤ f} para todo compacto K ⊆ X.


Medida en el producto de espacios topologicos

Sea {Xα}α∈Λ una familia de espacios topologicos localmente compactos, Hausdorffy que verifican el segundo axioma de numerabilidad. Para cada α ∈ Λ, sea µα unamedida de Radon en Xα y sea X =

∏αXα.

Proposicion 2.4.10. Supongamos que Λ = {1, . . . , n}. Entonces existe una unica medida deRadon µ1 × · · · × µn, tal que

(µ1 × · · · × µn) (A1 × · · · ×An) =

n∏i=1

µi(Ai),

si Ai pertenece a BXi para todo 1 ≤ i ≤ n.

Demostracion. Ver [Fol99, Capıtulo 2, Seccion 5] y [Fol99, Teorema 7.20].

Nos interesa un resultado similar en el caso que Λ sea infinito. Si L ⊆ Λ, denotemoscon πL a la proyeccion X →

∏α∈LXα.

Proposicion 2.4.11. Supongamos para cada α, el espacio Xα es compacto y que µα(Xα) = 1.Entonces existe una unica medida de Radon µ =×α µα en X tal que para todo L ⊆ Λ finito ycualquier boreliano E de

∏α∈LXα, se verifica que

µ(π−1L (E)) =

(×α∈L

µα

)(E).

Demostracion. Ver [Fol99, Teoremas 7.26 y 7.28].

Notar que tomando L = ∅, esto nos dice que µ (∏αXα) = 1.

Combinando estas ultimas dos proposiciones, podemos debilitar las hipotesis de laProposicion 2.4.11.

Teorema 2.4.12. Supongamos que existe S ⊆ Λ finito tal que si α /∈ S entonces Xα es com-pacto y µα(Xα) = 1. Entonces existe una unica medida de Radon µ =×α∈Λ µα en X tal quesi E1 es un boreliano de

∏α∈S Xα y E2 es un boreliano de

∏α/∈S Xα, se verifica que

µ(E1 × E2) =×α∈S

µα(E1) ·×α/∈S

µα(E2). (2.4.13)

A la medida µ se la llama medida producto de {µα}α∈Λ.

Teorema 2.4.14 (Teorema de Fubini-Tonelli para el producto de medidas de Radon).Sean X e Y dos espacios localmente compactos, Hausdorff y que verifican el segundo axioma denumerabilidad. Sean µ y ν medidas de Radon en X e Y respectivamente, y sea f una funcionboreliana de X × Y . Entonces para cada x ∈ X e y ∈ Y las funciones f(x, ·) y f(·, y) sonborelianas. Si f ≥ 0, entonces x 7→

∫Y f(x, ·) dν e y 7→

∫X f(·, y) dµ son funciones borelianas

en X e Y respectivamente. Si f ∈ L1(X × Y ), entonces f(x, ·) ∈ L1(Y ) para casi todo x y


f(·, y) ∈ L1(X) para casi todo y, y x 7→∫Y f(x, ·) dν e y 7→

∫X f(·, y) dµ son funciones de

L1(X) y L1(Y ) respectivamente. En ambos casos, tenemos que∫X×Y

f d(µ× ν) =

∫Y

∫Xf dµdν =

∫X

∫Yf dνdµ.

Demostracion. Ver [Fol99, Teorema 7.27].

Capıtulo 3

Adeles e ideles

En este capıtulo haremos las construcciones basicas para poder reformular y gene-ralizar los resultados que vimos en el Capıtulo 1.

3.1. Numeros p-adicos

Valor absoluto

Si K es un cuerpo, un valor absoluto en K es una funcion | · | : K → [0,+∞) queverifica para todo x, y ∈ K:

(I) |x| = 0 si y solo si x = 0;

(II) |xy| = |x||y|;

(III) |x+ y| ≤ |x|+ |y|.

Dado un valor absoluto en un cuerpo K, consideramos la metrica inducida por elvalor absoluto definida como d(x, y) = |x−y| si x, y ∈ K. Es facil probar que un cuerpojunto con la topologıa que induce la metrica es un cuerpo topologico.

Diremos que dos valores absolutos son equivalentes si las correspondientes metricasinducidas lo son. Va a importarnos especialmente el caso K = Q. En este caso, tenemosdos ejemplos claros (no equivalentes) de valor absoluto: el valor absoluto trivial, i.e.|x| = 1 si x 6= 0 y |0| = 0; y el valor absoluto usual, el cual denotaremos | |∞. Ahoravamos a definir, para cada primo, un valor absoluto no equivalente a estos dos.

Sea p ∈ N un numero primo. Dados dos enteros no nulos a y b, la valuacion p-adicadel numero racional no nulo a

b , que sera notada como νp(ab

), es el unico entero k tal que

ab = pk nm con n y m enteros no nulos coprimos con p.

Dado un numero racional x, definimos el valor absoluto p-adico como

|x|p =

{p−νp(x), si x 6= 0;

0, si x = 0.

25

26 3.1. NUMEROS P -ADICOS

El valor absoluto p-adico verifica las tres propiedades anteriores, e inclusive verificauna version mas fuerte de la tercera propiedad, llamada desigualdad ultrametrica:

|x+ y|p ≤ max{|x|p; |y|p}. (3.1.1)

Un valor absoluto que verifica la desigualdad ultrametrica se denomina no arquime-diano; y en caso de no verificarla, se denomina arquimediano.

La desigualdad ultrametrica tiene consecuencias poco intuitivas:

Proposicion 3.1.2 (Principio del triangulo isosceles). Sea K un cuerpo con un valor ab-soluto no arquimediano |·|. Si x, y son elementos de K tal que |x| 6= |y|, entonces |x + y| =max{x, y}.

Para abreviar notacion definimos:

P = {p ∈ N : p primo}; P ′ = P ∪ {∞}.

El Teorema de Ostrowski (ver por ejemplo [Kob77]) afirma que todo valor absoluto notrivial en Q es equivalente a | |p para un unico p ∈ P ′. Ası que al estudiar |·|p con p ∈ P ′,estamos estudiando en realidad todos los valores absolutos posibles no triviales en Q.

Construccion de los numeros p-adicos

En lo que resta de esta seccion p sera un numero primo fijo.Una de las formas de construir los numeros p-adicos es analoga a la construccion de

Cantor de los numeros reales. Sea C el conjunto de las sucesiones de Cauchy en Q conrespecto a |·|p. Es facil ver que C es un subanillo del anillo producto QN. Las sucesionesde elementos de Q que tiende a cero forman un ideal I de C .

Proposicion 3.1.3. El ideal I es un ideal maximal de C .

Demostracion. Supongamos que a = (an)n∈N ∈ C \I . Afirmamos que el ideal 〈a〉 + I esigual a C .

Como a es sucesion de Cauchy y no tiende a 0, existen ε > 0 y N ∈ N tal que|an|p ≥ ε si n > N .

Sea b = (bn)n∈N la sucesion definida por:

bn =

{1, si n ≤ N ;

0, si n > N.

El elemento x = a− ba+ b = a+ (1− a)b esta en 〈a〉+ I pues b esta en I .Consideremos y = (yn)n∈N definida por:

yn =

{1, n ≤ N ;

1/an, n > N.

CAPITULO 3. ADELES E IDELES 27

Luego,

|yn − ym|p ≤|am − an|p

ε2si n,m > N,

y por lo tanto y es sucesion de Cauchy.Tenemos entonces que yx = (1, 1, 1, . . .) ∈ 〈a〉+I , y concluimos que 〈a〉+I = C .

Corolario 3.1.4. El anillo C /I es un cuerpo.

Denotaremos a dicho cuerpo por Qp y lo llamaremos el cuerpo de los numeros p-adicos.Si x esta en C , denotaremos con [x] a la clase de x.

Para cada elemento x ∈ Q, la sucesion constantemente x esta en C . Puesto que siuna sucesion es constante y esta en I , es la sucesion nula, tenemos una copia de losnumeros racionales dentro de Qp.

Proposicion 3.1.5. Sea (an)n∈N ∈ C . Entonces existe lımn→∞|an|p.

Demostracion. Si el lımite de(|an|p

)n∈N

no es cero, existe ε > 0 y una subsucesion(|ank |p

)k∈N

tal que para todo k se verifica que |ank |p ≥ ε. Tomemos M tal que si

n, n′ > M , |an − an′ |p < ε.Si n > M , tenemos que |an−anM |p 6= |anM |p y entonces por el Principio del triangulo

isosceles |an|p = |anM |p. Por lo tanto, lımn→∞|an|p = |anM |p.

Definimos el valor absoluto p-adico de a ∈ Qp como lımn→∞|an|p, siendo (an)n∈N unrepresentante de a. La definicion es buena porque si (an)n∈N y (a′n)n∈N son dos represen-tantes de a, entonces lımn→∞ (an − a′n) = 0 y por lo tanto lımn→∞|an|p = lımn→∞|a′n|p.

Notemos que esta definicion extiende a la que tenıamos en Q.

Observacion 3.1.6. Por la Proposicion 3.1.5, si a es un elemento de Qp, su valor absoluto esnulo o una potencia de p.

Proposicion 3.1.7. El valor absoluto p-adico |·|p es un valor absoluto no arquimediano en Qp.En particular, el cuerpo Qp junto con la topologıa inducida por |·|p es un cuerpo topologico.

Demostracion. Sea x = [(xn)n] ∈ Qp. Como por definicion |x|p = lımn→∞|xn|p, se tieneque |x|p = 0 si solo si lımn→∞ xn = 0, es decir, si y solo si x = [(xn)n] = 0.

Sean x, y ∈ Qp y sean (xn)n , (yn)n ∈ C tales que x = [(xn)n] e y = [(xn)n]. Entoncespor definicion, x+ y = [(xn + yn)n] , xy = [(xnyn)n] y

|xy|p = lımn→∞

|xnyn|p = lımn→∞

|xn|p|yn|p = |x|p|y|p;

|x+ y|p = lımn→∞

|xn + yn|p ≤ lımn→∞

max{|xn|p, |yn|p}

}= max

{lımn→∞

|xn|p, lımn→∞

|yn|p}}

= max{|x|p, |y|p

}.


Lema 3.1.8. Sean a ∈ Qp y (xn)n∈N ⊆ Q. Entonces (xn)n∈N ⊆ Q es un representante de a siy solo si lımn→∞ xn = a.

Demostracion. Supongamos que (an)n∈N ⊆ Q es un representante de a.Si (xn)n∈N es otro representante, dado ε > 0, si k y n son suficientemente grandes,

|ak − xn|p ≤ max{|ak − ak+n|p, |ak+n − xk+n|p, |xk+n − xk|p} < ε.

Luego, de la definicion del valor absoluto p-adico en Qp,

|a− xn|p = lımk→∞|ak − xn|p ≤ ε

para n suficientemente grande, lo que muestra que lımn→∞ xn = a.Recıprocamente, supongamos que lımn→∞ xn = a. Entonces por la primera parte,

tenemos que lımn→∞ an = a, y por lo tanto, lımn→∞ (xn − an) = 0. Concluimos que(xn)n∈N es un representante de a.

Teorema 3.1.9. El cuerpo Qp junto con la distancia inducida por |·|p es un espacio metricocompleto. Ademas Q es denso en Qp. En particular, el espacio topologico Qp cumple el segundoaxioma de numerabilidad.

Demostracion. Supongamos que x ∈ Qp, y sea (xn)n∈N ⊆ Q un representante de x. Porel Lema 3.1.8 se tiene que lımn→∞ xn = x, de modo que Q es denso en Qp. En particular,el espacio metrico Qp es separable.

Ahora probemos la completitud. Sea (xn)n∈N ⊆ Qp una sucesion de Cauchy. ComoQ es denso en Qp, para cada n ∈ N existe an ∈ Q tal que

|xn − an|p < 1/n. (1)

Como el valor absoluto p-adico en Q es la restriccion del valor absoluto p-adico en Qp,se sigue que (an)n∈N ⊆ Q es sucesion de Cauchy. Consideremos a =

[(an)n∈N

]∈ Qp.

Entonces en virtud de (1) lımn→∞|xn−an|p = 0, y como lımn→∞|an−a|p = 0 por el Lema3.1.8, concluimos que lımn→∞ xn = a y que Qp es un espacio metrico completo.

Debido a la desigualdad ultrametrica y la multiplicatividad del valor absoluto, elconjunto

Zp = {a ∈ Qp : |a|p ≤ 1}

es un subanillo de Qp, que llamaremos anillo de enteros p-adicos. Es claro que Z ⊆ Zp yque el grupo de unidades de Zp es

Z×p = {a ∈ Qp : |a|p = 1}.

Observacion 3.1.10. Los elementos de Q ∩ Zp son los numeros racionales cuyo denominador(en su escritura como fraccion irreducible) es coprimo con p. En particular,⋂

q∈P(Q ∩ Zq) = Z.


Para todo a ∈ Qp, por la Observacion 3.1.6, existe m ∈ Z tal que pma ∈ Zp. Luego,a = n/pm con n ∈ Zp. Concluimos que Qp es el cuerpo de fracciones de Zp.

Notemos que si un elemento a esta en Zp y no es una unidad, |a|p < 1 = |1|p y enconsecuencia por el Principio del triangulo isosceles 1− a es unidad. Esto nos dice queZp es un anillo local.

Del mismo modo que con los enteros usuales, podemos hablar de divisibilidad ycongruencia en el anillo de enteros p-adicos.

Observacion 3.1.11. Sea a ∈ Zp. Si n ∈ N, pn divide a a si y solo si |a|p ≤ p−n.

Sea a un elemento de Qp y r > 0. Denotaremos con B(a, r) (respectivamente conB(a, r)), a la bola abierta (respectivamente cerrada) en Qp de centro a y radio r.

Observacion 3.1.12. Sea a un elemento de Qp y n un numero entero. Entonces

B(a, p−n) = a+ pnZp.

En particular, {a + pnZp : n ∈ Z} es una base de entornos de a. Mas aun, es una base deentornos abiertos y cerrados pues por la Observacion 3.1.6 tenemos que

B(a, p−n

)= {x ∈ Qp : |x− a|p ≤ p

−n} = {x ∈ Qp : |x− a|p < p−n+1} = B(a, p−n+1).(3.1.13)

Como en Qp hay elementos de valor absoluto pn para todo n, tenemos que Qp no esun espacio topologico compacto. En la seccion 3.1 “Propiedades topologicas y algebrai-cas” veremos Zp es compacto, y la Observacion 3.1.12 nos permitira concluir que Qp eslocalmente compacto.

Proposicion 3.1.14. Sean B1 y B2 dos bolas en Qp. Si B1 y B2 se intersecan, entonces B1 estacontenida en B2 o B2 esta contenida en B1.

Demostracion. Primero probemos lo siguiente: Si z ∈ B(a, r) con a ∈ Qp y r > 0, enton-ces B(a, r) = B(z, r). En efecto, si x ∈ B(a, r) entonces la desigualdad

|x− z|p ≤ max{|x− a|p, |a− z|p} < r

implica que B(a, r) ⊆ B(z, r). La otra inclusion es analoga.Escribamos B1 = B(a1, r1) y B2 = B(a2, r2) con a1, a2 ∈ Qp y r1, r2 > 0. Si existe

z ∈ B1 ∩ B2, entonces, por lo visto previamente, B1 = B(z, r1) y B2 = B(z, r2). Segunsi r1 ≥ r2 o si r1 ≤ r2, se tiene alguna de las dos inclusiones que se querıa probar.

Los numeros p-adicos como series de potencias

Pensar los numeros p-adicos como clases de sucesiones de Cauchy no es la formamas comoda para trabajar con ellos. Daremos a continuacion una caracterizacion gra-cias a la cual pueden pensarse como series de potencias.

Proposicion 3.1.15. Sea (an)n∈N una sucesion de numeros p-adicos. Entonces∑∞

n=1 an con-verge si y solo si lımn→∞ an = 0.


Demostracion. Veamos que si la sucesion tiende a 0, la serie converge.Si m > n, por la desigualdad ultrametrica,∣∣∣∣∣

m∑k=1

ak −n∑k=1

ak

∣∣∣∣∣p

≤ maxn+1≤k≤m

|ak|p −−−→n→∞0.

Luego, como Qp es completo la serie∑∞

n=1 an converge.

Lema 3.1.16. Sea x ∈ Q con |x|p ≤ 1. Entonces para cada n ∈ N existe xn ∈ Z tal que0 ≤ xn < pn y |x− xn|p ≤ p−n.

Demostracion. Sea n ∈ N. Escribamos x = ab , con a y b coprimos. Como |x|p ≤ 1, se sigue

que b es coprimo con p. Luego, existen s y t enteros tales que sb + tpn = 1. Tomemosxn = as. Entonces como m es entero, tenemos que |m|p ≤ 1 y por lo tanto,

|x− xn|p =∣∣∣ab

∣∣∣p|1− sb|p ≤ |1− sb|p = |tpn|p ≤ p

−n.

Eventualmente podemos sumar un multiplo entero de pn para que xn pertenezca a{0, 1, . . . , pn − 1}. Por la desigualdad ultrametrica, la condicion |x − xn|p ≤ p−n semantiene.

Proposicion 3.1.17. Sea a ∈ Zp tal que |a|p ≤ 1. Entonces existe una unica sucesion deCauchy (xn)n∈N ⊆ N0 que representa a a y tal que:

a) 0 ≤ xn < pn para todo n;

b) xn ≡ xn+1 (mod pn) para todo n.

Demostracion. Como Q es denso en Qp, para cada n natural existe an ∈ Q tal que

|a− an|p ≤ p−n.

Notemos que esto implica que |an|p ≤ max{|an − a|p, |a|p} ≤ 1 y entonces por el Lema3.1.16, existe xn entero tal que 0 ≤ xn < pn y |an − xn|p ≤ p−n. Luego |a − xn|p ≤max{|a−an|p, |an−xn|p} ≤ p−n y por el Lema 3.1.8 la sucesion (xn)n∈N es un represen-tante de a. Ademas,

|xn+1 − xn|p ≤ max{|xn+1 − a|p, |a− xn|p} ≤ p−n,

lo cual implica que pn divide a xn+1 − xn por la Observacion 3.1.11.Supongamos ahora que tenemos otra sucesion (x′n)n∈N que verifica el enunciado. Si

n0 es un natural tal que xn0 6= x′n0, por la condicion a), xn0 6≡ x′n0

(mod pn0). Luego sin ≥ n0, xn 6≡ x′n (mod pn0) y por lo tanto pn0 no divide a xn − x′n. Concluimos por laObservacion 3.1.11 que |xn − x′n|p > p−n0 para n ≥ n0 y (x′n)n∈N no es un representantede a.

De la proposicion anterior se sigue inmediatamente:


Corolario 3.1.18. El conjunto Z es denso en Zp.

Teorema 3.1.19. Sea a ∈ Zp. Existe una unica sucesion (an)n∈N0⊆ N0 tal que:

a) 0 ≤ an < p para todo n ≥ 0;

b) a =∑∞

n=0 anpn.

Demostracion. Sea (xn)n∈N ⊆ N0 la sucesion de la Proposicion 3.1.17. Definamos la su-cesion (an)n∈N0

:

a0 = x1;

an =xn+1 − xn

pn, si n ∈ N.

De las dos condiciones de la Proposicion 3.1.17, se sigue que 0 ≤ xn+1 − xn < pn+1 ypor lo tanto se cumple la primera condicion a demostrar. Puesto que xn+1 = xn + anp

n

para todo n, se sigue que

xn = a0 + a1p+ · · ·+ an−1pn−1, para todo n. (1)

En la demostracion de la Proposicion 3.1.17 vimos que |a − xn|p ≤ p−n, y por lo tantose verifica la segunda condicion a demostrar.

Es facil ver la unicidad de (an)n∈N, definiendo ahora la sucesion (xn)n∈N como en(1) y usando la unicidad de la Proposicion 3.1.17.

La escritura de un elemento a de Zp en la forma∑∞

n=0 anpn del teorema anterior, la

denominamos escritura canonica de a.

¿Como podemos caracterizar los elementos de Qp que no son enteros p-adicos?Para todo elemento a de Qp no nulo, por la Observacion 3.1.6, existe un unicom ∈ Z

tal que |p−ma|p = 1. Luego por el teorema anterior,

p−ma =∞∑n=0

a′npn,

de donde, renombrando y reindexando los coeficientes, obtenemos la siguiente Propo-sicion:

Proposicion 3.1.20. Si a es un elemento de Qp, entonces existen m ∈ Z y numeros enteros0 ≤ an < p con n ≥ m, tales que

a =

∞∑n=m

anpn.

Si a 6= 0 y se toma m de forma que am 6= 0, dicha escritura es unica.


Al valor de m como en la ultima afirmacion se lo llama valuacion p-adica de a y se lodenota νp(a). Esta definicion extiende la definicion que tenıamos para el caso a racionalno nulo. Notemos que a = pνp(a)

(p−νp(a)a

)esta en pνp(a)Z×p , y que se verifica que

|a|p = p−νp(a).

Obtenemos ademas la siguiente igualdad de conjuntos

Qp = {0} t⊔m∈Z

pmZ×p . (3.1.21)

Dado un elemento a ∈ Qp, consideremos una escritura de a como en la Proposicion3.1.20. A la suma de los terminos que corresponden a potencias de p negativas se lallama la parte fraccionaria de a y la denotamos {a}p. Explıcitamente,

{a}p =

{∑−1n=m anp

n, si m < 0;

0, si m ≥ 0.(3.1.22)

Al entero p-adico a− {a}p se lo llama la parte entera de a y lo denotamos bacp.Sea n un numero natural.

Proposicion 3.1.23. Sea φ : Z → Zp/pnZp el morfismo de anillos natural. Entonces φ es unmorfismo sobreyectivo de anillos e induce un isomorfismo φ : Z/pnZ→ Zp/pnZp.

Demostracion. Es inmediato del Teorema 3.1.19 que φ es un morfismo de anillos sobre-yectivo. Como el nucleo de φ claramente contiene a pnZ, solo hay que ver que todoelemento del nucleo esta en pnZ.

Supongamos que x es un elemento del nucleo de φ no nulo. Sean m = νp(x) y a unentero coprimo con p, tales que x = apm. Como φ(x) = 0 ∈ Zp/pnZp, por la Observacion3.1.11 m ≥ n y por lo tanto x = pn(pm−na) ∈ pnZ.

Corolario 3.1.24. Consideremos la aplicacion

γn : Zp −→ Z/pnZ∞∑i=0

aipi 7→ πn

(n−1∑i=0

aipi

),

donde∑∞

i=0 aipi es la escritura canonica de un elemento de Zp y πn es la proyeccion canonica

Z→ Z/pnZ. Entonces γn es morfismo sobreyectivo de anillos con nucleo pnZp.

Demostracion. Sean φ : Z/pnZ → Zp/pnZp el isomorfismo de la proposicion anteriory π′n : Zp → Zp/pnZp la proyeccion canonica. Es facil ver que γn = φ−1π′n y por lotanto γn es morfismo de anillos. El resto de las afirmaciones se siguen facilmente deesta igualdad.


Propiedades topologicas y algebraicas

A continuacion, daremos una construccion algebraica del cuerpo de los numeros p-adicos. Dicha construccion nos permitira probar de forma elegante que Qp es un cuerpolocalmente compacto. Se podrıa probar sin hacer esta construccion, pero este caminonos parece mas enriquecedor.

Para cada i ∈ N, consideremos el anillo Z/piZ con la topologıa discreta. Dado un par(i, j) ∈ N × N con i ≤ j, sea fi,j : Z/pjZ → Z/piZ, el morfismo de anillos canonico. Esfacil ver que la familia de pares

(Z/piZ, fi,j

)i≤j es un sistema inverso en la categorıa de

anillos topologicos. Como los anillos son finitos y discretos, el lımite inverso lim←−Z/pnZes compacto y Hausdorff.

Teorema 3.1.25. El anillo de enteros p-adicos es isomorfo como anillo topologico a lim←−Z/pnZ.En particular, es compacto.

Demostracion. Para cada n ∈ N consideremos al morfismo sobreyectivo de anillos γn :Zp → Z/pnZ del Corolario 3.1.24.

Sea x ∈ Zp, y sean i, j ∈ N con i ≤ j. Afirmamos que

fi,j (γj(x)) = γi(x). (1)

En efecto, para cada n ∈ N sea πn : Z→ Z/pnZ la proyeccion canonica. De la definicionde las fi,j es claro que

fi,jπj = πi. (2)

Luego, si∑∞

i=0 aipi es la forma canonica de x, tenemos por (2) que

fi,jγj

( ∞∑i=0

aipi

)= fi,jπj

(j−1∑i=0

aipi

)= πi

(j−1∑i=0

aipi

)= πi

(i−1∑i=0

aipi

)= γi

( ∞∑i=0

aipi

).

De modo que vale (1).Entonces, existe un unico morfismo de anillos topologicos γ : Zp → lim←−Z/pnZ tal

que, si i ≤ j, el siguiente diagrama conmuta

Zp

γi

��

γj

��

γ

��lim←−Z/pnZ

piyy pj &&Z/piZ Z/pjZ ,

fi,joo

donde pi y pj son las proyecciones. El morfismo γ esta dado por

γ(x) = (γn(x))n∈N, (3)


para todo x ∈ Zp.Veamos que γ es inyectiva. Supongamos que γ(x) = 0 y verifiquemos que x = 0.

Sea n ∈ N. Tenemos que 0 = pn(γ(x)) = γn(x), de donde x ∈ ker γn = pnZp. De laObservacion 3.1.11 tenemos que

|x|p ≤ p−n.

Como n era arbitrario obtenemos que x = 0, como querıamos ver.Veamos que γ es suryectiva. Sea (sn)n∈N ∈ lim←−Z/pnZ, y para cada n, sea s′n el unico

entero tal que 0 ≤ s′n ≤ pn − 1 y πn(s′n) = sn. Afirmamos que (s′n)n∈N ⊆ Qp es unasucesion de Cauchy. Sea i0 ∈ N, vamos a ver que

|s′j − s′i|p ≤ p−i0 , si j ≥ i ≥ i0. (4)

Sean i, j ∈ N tales que j ≥ i ≥ i0. Como (sn)n∈N ∈ lim←−Z/pnZ, se verifica que fi,j(sj) = si,es decir

fi,j(πj(s

′j))

= πi(s′i). (5)

Combinando (5) con (2) obtenemos que πi(s′j) = πi(s′i) y por lo tanto pi divide a s′j − s′i.

Luego por la Observacion 3.1.11 vale (4) y por lo tanto (s′n)n∈N es una sucesion deCauchy en Qp. Sea s′ = lımn→∞ s

′n. Vamos a probar que γ(s′) = (sn)n∈N.

Como |s′n|p ≤ 1 para todo n, se sigue que |s′|p ≤ 1. Entonces s′ es un entero p-adico.Ademas si n es un natural, por la desigualdad (4),

|s′ − s′n|p ≤ p−n.

Luego por la Observacion 3.1.11 y el Corolario 3.1.24, el elemento s′ − s′n esta en elnucleo de γn, lo cual implica que γn(s′) = γn(s′n). Como γn coincide con πn en losenteros, se sigue que γn(s′) = sn. Como n era un natural arbitrario, por (3) obtenemosque γ(s′) = (sn)n∈N.

Para terminar, falta probar que γ es abierta. Basta ver que si n ∈ N entonces γ(pnZp)es abierto. Afirmamos que γ(pnZp) = Wn ∩ lim←−Z/pnZ, donde

Wn = {0} × · · · × {0}︸︷︷︸n factores

×∏i>n

Z/piZ.

En efecto, sea ι : lim←−Z/pnZ ↪→∏n Z/pnZ la inclusion. Un elemento x de Zp esta en

(ιγ)−1(Wn) si y solo si γi(x) = 0 para todo i ≤ n. Por el Corolario 3.1.24, esto es equiva-lente a que x este en piZp para todo i ≤ n. Luego

(ιγ)−1(Wn) = pnZp.

Entonces como γ es suryectiva,

γ(pnZp) = γ(γ−1(ι−1(Wn))

)= Wn ∩ lim←−Z/pnZ.

ComoWn es un abierto del producto directo∏i Z/piZ, concluimos que γ es abierta.


Corolario 3.1.26. El espacio topologico Qp es localmente compacto. Mas aun, toda bola escompacta.

Demostracion. Por (3.1.13), toda bola abierta es una bola cerrada. Luego, como Qp escuerpo topologico, basta ver que B(0, 1) es compacta. Pero esto ultimo ya lo sabemospues B(0, 1) = Zp.

Unidades de ZpEl grupo de unidades de Zp esta formado por los enteros p-adicos que tienen valor

absoluto 1. Notemos que

Z×p = Zp\{x ∈ Qp : |x|p ≤ p

−1},

y por lo tanto Z×p es un abierto de Qp. Ademas Z×p es compacto por ser un cerrado delcompacto Zp.

Para cada N numero natural, consideramos el subconjunto de Z×p definido por

Up(N) = {x ∈ Z×p : x ≡ 1 (mod N)}.

Es un subgrupo de Z×p . En efecto, es claro que si x e y estan en Up(N), entonces xytambien. Por otro lado, si x esta en Up(N), verifiquemos que x−1 ∈ Up(N). Sea a ∈ Zptal que x = 1 + Na. Tenemos entonces que 1 = x−1 + x−1Na, y como x−1 ∈ Zp,concluimos que x−1 ≡ 1 (mod N) como querıamos ver.

Notemos queUp(N) = Up

(pνp(N)

). (3.1.27)

Luego si k = νp(N) ≥ 1, entonces Up(N) = B(1, p−k) ⊆ Z×p . Tambien podemos escribirUp(N) = 1 +pkZp. Y en el caso que p no divide a N , tenemos que Up(N) = Z×p .Tenemosentonces una cadena de subgrupos

Z×p ) Up(p) ) Up(p2) ) Up(p

3) ) . . . ,

que forman una base de entornos de 1.

Proposicion 3.1.28. Sea n ∈ N. Entonces,

Z×p =

pn⊔i=1

(i:p)=1

i Up(pn).

Demostracion. Es facil ver que si i ∈ Z×p , entonces {x ∈ Z×p : x ≡ i (mod pn)} = i Up(pn).

Luego,

Z×p =

pn⊔i=1

(i:p)=1

{x ∈ Z×p : x ≡ i (mod pn)} =

pn⊔i=1

(i:p)=1

i Up(pn).

36 3.2. PRODUCTO RESTRINGIDO DE GRUPOS TOPOLOGICOS

Proposicion 3.1.29. Para cada numero natural N ∈ N, tenemos un isomorfismo

Z×p /Up(N)γ×νp(N)−−−−→

(Z/pνp(N)Z

)×.

Ademas, si j, k son dos numeros naturales tales que j ≤ k, entonces el siguiente diagramaconmuta:

Z×p /Up(pk)γ×k∼=//

π

��

(Z/pkZ

)×π′

��

Z×p /Up(pj)γ×j∼=//(Z/pjZ

)×,

(3.1.30)

donde π y π′ son las proyecciones canonicas.

Demostracion. Si N es coprimo con p, es trivial. Supongamos que p divide a N y sean = νp(N). Consideremos el morfismo de anillos sobreyectivo γn : Zp → Z/pnZ delColorario 3.1.24. Un entero p-adico a =

∑∞i=0 aip

i esta en Z×p , si y solo si 0 < a0 < p.Esto ultimo es equivalente a que el numero entero

∑n−1i=0 aip

i sea coprimo con p, y porlo tanto a que γn(a) ∈ (Z/pnZ)×. Entonces de restringir γn a Z×p , obtenemos un epimor-fismo de grupos γn|Z×p : Z×p → (Z/pnZ)×. Un entero p-adico a =

∑∞i=0 aip

i esta en el

nucleo de γn|Z×p , si y solo si∑n−1

i=0 aipi = 1, es decir, si y solo si a = 1 + pn

∑∞i=n aip

i−n.Por lo tanto ker γn|Z×p = Up(p

n), y por (3.1.27), concluimos que tenemos un isomorfismo

Z×p /Up(N)γ×n−−→ (Z/pnZ)×.

La conmutatividad del diagrama es clara teniendo en cuenta que γ×k y γ×j son sim-plemente truncar los desarrollos en serie de potencias de p.

3.2. Producto restringido de grupos topologicos

Nuestro proximo paso va a ser construir un anillo con una topologıa que condensela informacion de todos los posibles valores absolutos (no triviales) del cuerpo Q, yque contenga a Q. Parece natural entonces tomar como candidato

∏p∈P ′ Qp, este anillo

contiene al cuerpo de los numeros racionales vıa la aplicacion

Q 3 x 7→ (x, x, x, . . . ). (3.2.1)

El inconveniente que presenta este candidato es no ser un espacio localmente compac-to. Va a ser importante para nosotros que sea localmente compacto porque para haceranalisis en este anillo necesitaremos de la medida de Haar.

Veamos por que∏p∈P ′ Qp no es localmente compacto. Supongamos que un abierto

U no vacıo estuviese contenido en un compacto K. Entonces U contiene un abierto Wde la forma

∏pWp, con Wp abierto de Qp para todo p, y Wp = Qp para casi todo p. Por

lo tanto, proyectando K vıa las proyecciones canonicas, πp :∏q∈P ′ Qq → Qp, se tendrıa

que Qp es compacto para casi todo p.


Para arreglar este problema, una posibilidad serıa tomar en vez de∏p∈P ′ Qp, el pro-

ducto R×∏p∈P Zp. En este caso la compacidad local esta asegurada, pero la aplicacion

dada por (3.2.1) no esta bien definida pues Q * Zp para ningun primo p.Vamos a fabricar entonces un objeto que cumpla ambas condiciones. Lo haremos en

el contexto de grupos topologicos pues no requiere ningun esfuerzo adicional, y masadelante nos va a servir esta construccion en ese caso especıfico.

Definicion y propiedades basicas

Sea I un conjunto de ındices y para cada i ∈ I , sean Gi un grupo topologico y Hi unsubgrupo abierto de Gi. Para cada S ⊆ I conjunto finito, denotemos con GS al grupotopologico

GS =∏i∈S

Gi ×∏i/∈S

Hi.

Como conjunto, el producto restringido de la familia {Gi}i∈I con respecto a {Hi}i∈I se definecomo

G =∏′

i∈IGi =

⋃S

GS ,

donde la union se hace sobre todos los conjuntos S ⊆ I finitos. Es facil ver que

G =

{(gi)i∈I ∈

∏i

Gi : gi ∈ Hi para casi todo i

}.

Como GS ⊆ GT si S ⊆ T , y todos los GS son subgrupos de∏i∈I Gi, se tiene que G es

subgrupo de∏i∈I Gi.

Definamos ahora la topologıa de G. Para cada S ⊆ P ′ finito, sea BS la base de latopologıa del producto directo GS dada por

BS =

{∏i∈I

Ui : Ui ⊆ Gi abierto para todo i, Ui ⊆ Hi si i /∈ S,Ui = Hi para casi todo i

}.

Consideremos el conjunto B definido por

B =⋃S

BS =

{∏i∈I

Ui : Ui ⊆ Gi abierto para todo i, Ui = Hi para casi todo i

}. (3.2.2)

Veamos que B es una base para una topologıa en G. Al ser BS base de GS para todo S,la union de todos los elementos de B es G. Y por otro lado, si x ∈ U1 ∩ U2 con U1 ∈ BS1

y U2 ∈ BS2 , entonces U1, U2 ∈ BS1∪S2 y por lo tanto existe U ′ ∈ BS1∪S2 ⊆ B tal quex ∈ U ′ ⊆ U1 ∩ U2.

Proposicion 3.2.3. Sea S ⊆ I un conjunto finito. El conjunto GS es un abierto de G y latopologıa que hereda como subespacio coincide con la topologıa del producto directo.


Demostracion. Como BS ⊆ B,GS es abierto enG. Mas aun, todo abierto con la topologıadel producto directo es abierto en G; en particular, es abierto en GS tomando en GS latopologıa del subespacio. Para ver la otra inclusion, basta ver que si U ∈ B entonces U∩GS ∈ BS . Tomemos U ∈ B, entonces existe T ⊆ I finito tal que U =

∏i∈T Ui ×

∏i/∈T Hi,

con Ui abierto para todo i ∈ T . Tenemos entonces que

U ∩GS =

(∏i∈T

Ui ×∏i/∈T

Hi

)∩

(∏i∈S

Gi ×∏i/∈S

Hi

),

obteniendo que

U ∩GS =∏

i∈S∩TUi ×

∏i∈T\S

Ui ∩Hi ×∏i/∈T

Hi.

De lo que es inmediato que U ∩GS ∈ BS .

Corolario 3.2.4. El grupo G es un grupo topologico.

Demostracion. Veamos que la multiplicacion m : G × G → G es continua; para la in-version se hace una cuenta similar. Por la Proposicion 3.2.3 la inclusion ι : GS → G escontinua para todo S. Ademas como {GS ×GT : S, T subconjuntos finitos de I} es unafamilia de abiertos que cubre G×G, basta ver que la restriccion de m,

m|GS×GT : GS ×GT → GS∪T

es continua. Al ser GS∪T grupo topologico, entonces m|GS∪T : GS∪T × GS∪T → GS∪Tes continua, de lo que es inmediato que m|GS×GT tambien lo es.

Observacion 3.2.5. Supongamos que tenemos otra familia de grupos {H ′i}i∈I tal queH ′i ⊆ Gies subgrupo abierto para todo i ∈ I . Si Hi = H ′i para casi todo i, el producto restringido de{Gi}i∈I con respecto a {Hi}i∈I y a {H ′i}i∈I es el mismo (no solo isomorfo), como conjunto ycomo grupo topologico.

Proposicion 3.2.6. La topologıa del producto restringido es mas fina que la que hereda el con-junto G como subespacio de

∏iGi. En particular, el espacio G es Hausdorff y la inclusion de G

en el producto directo es continua.

Demostracion. Basta ver que todo conjunto de la forma (∏i Ui)∩G, con Ui ⊆ Gi abierto

para todo i y Ui = Gi para casi todo i, es abierto de G. Es claro que para todo S, elconjunto (

∏i Ui) ∩GS esta en BS . Luego como(∏

i

Ui

)∩G =

⋃S

((∏i

Ui

)∩GS

),

tenemos que (∏i Ui) ∩G es abierto de G.


Observacion 3.2.7. Si Hi ( Gi para infinitos i ∈ I , entonces∏iHi es abierto de G con

la topologıa del producto restringido, pero no con la topologıa que hereda G como subespaciode∏iGi (por no contener ningun abierto basico). Concluimos entonces que en este caso, la

topologıa del producto restringido es estrictamente mas fina que la que heredaG como subespaciode∏iGi.

Proposicion 3.2.8. Supongamos que I es contable y que para cada i ∈ I , el grupo topologicoGi cumple el segundo axioma de numerabilidad. Entonces G cumple el segundo axioma denumerabilidad.

Demostracion. Para cada S ⊆ I finito, sea AS una base contable de abiertos de∏i∈S Gi.

Entonces el conjunto

BS =

{U ×

∏i/∈S

Hi : U ∈ AS

}es una base contable de abiertos de GS . Es claro que el conjunto B =

⋃S BS , donde la

union se hace sobre todos los subconjuntos finitos de I , es una base contable de abiertosde G.

Ahora vamos a ver cuales son las condiciones para que el producto restringido sealocalmente compacto.

Lema 3.2.9. Supongamos que {Ai}i∈I es una familia de conjuntos tales que Ai ⊆ Gi para todoi y∏iAi ⊆ G. Entonces, ∏

i

Ai =∏i

Ai.

Demostracion. Supongamos que x esta en∏iAi. Sea S un conjunto finito de ındices tal

que xi ∈ Hi para todo i /∈ S. Fijemos un ındice i0 y veamos que xi0 esta en Ai0 . SeaUi0 ⊆ Gi0 abierto con xi0 ∈ Ui0 , y para cada i ∈ S, i 6= i0, sea Ui un abierto de Gi conxi ∈ Ui. Entonces x ∈ U = Ui0×

∏i∈S,i6=i0 Ui×

∏i/∈S,i6=i0 Hi y como U es un abierto de G

por ser un elemento de la base B (ver (3.2.2)), se tiene que U ∩∏iAi 6= ∅. En particular

Ui0 ∩Ai0 6= ∅ y por lo tanto xi0 ∈ Ai0 .Ahora supongamos que x esta en

∏iAi. Sea U ⊆ G un abierto que contiene a x.

Veamos que U ∩∏iAi 6= ∅. Podemos suponer que U =

∏i Ui con Ui abierto de Gi para

todo i, y Ui = Hi para casi todo i. Para cada i, xi ∈ Ai ∩ Ui, con lo que podemos tomarun elemento zi ∈ Ui∩Ai. Entonces el elemento z = (zi)i esta en U ∩

∏iAi y por lo tanto

x pertenece a∏iAi.

Proposicion 3.2.10. El grupo topologico G =∏′i∈I Gi es localmente compacto si y solo si Gi

es localmente compacto para todo i y Hi es compacto para casi todo i.

Demostracion. Probaremos solamente la implicacion “si”, que nos resultara util en nues-tra construccion. Supongamos que Gi es localmente compacto para todo i y Hi es com-pacto para todo i /∈ S, donde S es un conjunto de ındices finito. Basta probar que existe


un entorno compacto que contiene al neutro de G. Para cada i ∈ S, sea Ui un abier-to de Gi que contiene a 1 ∈ Gi y con clausura compacta. Consideremos el conjuntoU =

∏i∈S Ui ×

∏i/∈S Hi. Entonces por el Teorema de Tychonoff y por el Lema 3.2.9, la

clausura de U en G,U =

∏i∈S

Ui ×∏i/∈S

Hi

es un compacto de GS con la topologıa producto usual. Pero por la Proposicion 3.2.3,esa topologıa es la misma que tiene GS como subespacio deG. Entonces U es compactocon la topologıa que hereda de G y como 1 ∈ U , concluımos que G es localmentecompacto.

Nos va a interesar especialmente el caso en que Hi es compacto para casi todo i.Tenemos el siguiente resultado que mas adelante nos sera util:

Proposicion 3.2.11. Supongamos que Hi es compacto para casi todo i. Un subconjunto A deG =

∏′i∈I Gi tiene clausura compacta si y solo si existe una familia de subconjuntos compactos

{Ki}i, con Ki ⊆ Gi para todo i y Ki = Hi para casi todo i, tal que A ⊆∏iKi.

Demostracion. Probemos que si existe una familia de subconjuntos compactos {Ki}i conlas hipotesis del enunciado, entonces la clausura de A es compacta. Sea K =

∏iKi. Es

claro que existe S finito tal que K ⊆ GS . Por la Proposicion 3.2.3, K es compacto yal ser G un espacio topologico Hausdorff, A es un cerrado dentro de K y por lo tantocompacto.

Cuasi-caracteres

Sea {Gi}i∈I una familia de grupos y para cada i ∈ I , sea Hi ⊆ Gi un subgrupoabierto. Consideremos el grupo topologico G =

∏′i∈I Gi.

Sea χ un cuasi-caracter de G. Para cada i ∈ I , denotemos con χi a la restriccion de χa Gi. Por la Proposicion 3.2.3, la inclusion ji : Gi ↪→ G es continua, de modo que χi esun caracter de Gi. Se lo llama componente local i-esima del cuasi-caracter χ.

Proposicion 3.2.12 (Descomposicion en componentes locales). Sea χ un cuasi-caracter deG. Entonces χi es trivial en Hi para casi todo i. Ademas

χ =∏i∈I

χi. (3.2.13)

Notar que si bien el producto de (3.2.13) tiene infinitos factores si I es infinito, vamosa ver en la demostracion que para cada x ∈ G, hay solo finitos i ∈ I tal que χ(xi) 6= 1.Es decir, fijado x ∈ G, el producto

∏i∈I χi(xi) es en verdad un producto finito.

Demostracion. Sea U un abierto basico que contiene a 1. Entonces existe S ⊆ I finito talque U =

∏i∈S Ui ×

∏i/∈S Hi, con Ui abierto de Gi para todo i ∈ S. Luego U contiene


al subgrupo de G dado por∏i∈S{1} ×

∏i/∈S Hi. Tenemos ası que cada entorno de 1

contiene a un elemento de la familia

F =

{∏i∈S{1} ×

∏i/∈S

Hi : S ⊆ I finito

}.

Del Lema 2.3.5, existe S ⊆ I finito tal que χ(∏

i∈§{1} ×∏i/∈S Hi

)= {1}, en particular,

χ(Hi) = {1} para todo i /∈ S.Ahora verifiquemos la igualdad (3.2.13). Tomemos x ∈ G y sea T ⊆ I finito tal

que xi ∈ Hi si i /∈ T . Tenemos entonces que los unicos posibles valores de i tal queχi(xi) 6= 1, son los elementos del conjunto finito S ∪ T . Luego

∏i∈I χi(xi) esta bien

definido y es facil ver que χ(x) =∏i∈I χi(xi).

Proposicion 3.2.14. Para cada i ∈ I sea χi un cuasi-caracter de Gi. Supongamos que dichafamilia de cuasi-caracteres verifica que χi es trivial enHi para casi todo i. Entonces la aplicacionχ : G→ C× definida como en (3.2.13) es un cuasi-caracter de G.

Demostracion. De forma identica a la anterior demostracion se prueba que χ esta biendefinida. Probemos la continuidad de χ. Sea S ⊆ I finito tal que χi es trivial en Hi sii /∈ S, y sea n el cardinal de S. Tomemos un abierto W de C× que contiene a 1. Es facilprobar por induccion de la Proposicion 2.2.1 que existe V entorno de 1 tal que V n ⊆W .Para cada i ∈ S sea Ui ⊆ Gi abierto que contiene a 1 tal que Ui ⊆ χ−1

i (V ). Es claro queentonces

∏i∈S Ui ×

∏i/∈S Hi ⊆ χ−1(W ).

Por la Proposicion 2.3.2, si Hi es un subgrupo compacto de Gi para casi todo i ∈ I ,tiene sentido considerar el producto restringido de la familia

{Gi

}i∈I

respecto a la fa-

milia{H⊥i}i∈I . Las dos ultimas proposiciones implican que, al menos como conjunto,

el dual de G es isomorfo a este producto restringido. De hecho, vale que si Gi es local-mente compacto para casi todo i, el isomorfismo es de grupos topologicos. Para unademostracion de esto ultimo, ver [RV99, Teorema 5-4].

3.3. Adeles e ideles

Adeles

Consideremos la familia de grupos localmente compactos {Qp}p∈P ′ (recordemosque P ′ = P , donde P es el conjunto de numeros primos). Para cada primo p, consi-deramos el subgrupo abierto y compacto Zp. Para p = ∞, podemos considerar comosubgrupo abierto de Q∞(= R) a R, aunque no tiene mayor importancia por la Observa-cion 3.2.5. El producto restringido

∏′p∈P ′ Qp se denomina anillo de los adeles del cuerpo

Q y lo denotaremos A.Tenemos entonces que como conjunto,

A = {(xp)p∈P ′ : xp ∈ Qp para todo p ∈ P ′, xp ∈ Zp para casi todo p ∈ P},

42 3.3. ADELES E IDELES

y tiene como base de la topologıa al conjunto

B =

∏p∈P ′

Up : Up ⊆ Qp abierto para todo p ∈ P ′, Up = Zp para casi todo p ∈ P

.

Es facil ver que con las operaciones coordenada a coordenada A es anillo topologico.Luego, las proposiciones 3.2.10 y 3.2.8, tenemos que A es anillo localmente compacto yverifica el segundo axioma de numerabilidad.

Al producto restringido∏′p∈P Qp se lo denomina anillo de los adeles finitos del cuerpo

Q y lo denotaremos Afin. Tenemos que

A = R× Afin.

Siguiendo la notacion de la seccion anterior, si S es un subconjunto finito de P ′ quecontiene a∞, denotamos

AS =∏p∈S

Qp ×∏p/∈S

Zp.

Vıa el morfismo de anillos inyectivo

ι :Q ↪→ Ax 7→ (x, x, x, . . . ) ,

vamos a identificar Q con ι(Q) ⊆ A.

Lema 3.3.1. Sea W el subconjunto de A dado por

W = (−1, 1)×∏p∈P

Zp.

Entonces W ∩Q = {0}.

Demostracion. Es inmediato de la Observacion 3.1.10.

Corolario 3.3.2. El subanillo Q de A es discreto.

Demostracion. Sea S0 = {∞} y W el conjunto del Lema 3.3.1. Como W esta incluido enAS0 = R ×

∏p∈P Zp, de la Proposicion 3.2.3 se sigue que W es un abierto de A. Por el

Lema 3.3.1, si α ∈ Q entonces

(W + α) ∩Q = {α},

y por lo tanto Q es discreto.

Proposicion 3.3.3 (Aproximacion debil). Sean p1, . . . , pn numeros primos positivos distin-tos. Sea ri un elemento de Qpi para cada 1 ≤ i ≤ n. Entonces para cada ε > 0, existe α ∈ Q talque

|α− ri|pi < ε,

para todo 1 ≤ i ≤ n. Ademas α puede elegirse de modo que su denominador sea coprimo contodo primo distinto de p1, . . . , pn.


Demostracion. Supongamos primero que r1, . . . , rn ∈ Z. Tomemos k1, . . . , kn numerosnaturales tales que p−ki < ε para todo i. Por el Teorema chino del resto, existe α ∈ Z talque

α ≡ r1 (mod pk11 );

...

α ≡ rn (mod pknn ).

Entonces por la Observacion 3.1.11,

|α− ri|pi ≤ p−ki < ε,

para todo i.Supongamos ahora que ri ∈ Zpi para todo i. Como Z es denso en Zp para todo

primo p, existen r′1, . . . , r′n enteros tales que para todo i,

|r′i − ri|pi < ε. (1)

Por el caso anterior, existe un entero α tal que para todo i,

|α− r′i|pi < ε. (2)

De (1) y (2), tenemos entonces que

|α− ri|pi ≤ max{|α− r′i|pi , |r′i − ri|pi} < ε,

para todo i.Finalmente supongamos que ri ∈ Qpi para todo i. Sean k1, . . . , kn enteros no nega-

tivos tales que pkii ri ∈ Zpi para todo i. Sea d =∏ni=1 p

kii y definamos para cada i,

r′i = d · ri.

Entonces para todo i, r′i ∈ Zpi y por el caso anterior existe α′ ∈ Z tal que para todo i,

|α′ − r′i|pi < ε/d. (3)

Tomemos α = α′/d. Entonces el denominador de α es coprimo con todo primo distintode p1, . . . , pn y ademas, por (3),

|α− ri|pi =

∣∣∣∣1d∣∣∣∣pi

|α′ − r′i|pi = pkii |α′ − r′i|pi < ε

para todo i.

Proposicion 3.3.4. Sea D = [0, 1)×∏p∈P Zp. Entonces

A =⊔α∈Q

(α+D) .


Demostracion. Sea x ∈ A. Existe un conjunto finito S ⊂ P tal que

|xp|p ≤ 1, (1)

para todo primo p que no esta en S. Por la aproximacion debil, existe un numero racio-nal α′ tal que para todo p ∈ S,

|xp − α′|p ≤ 1. (2)

Y por la condicion del denominador, el numero α′ puede tomarse de forma que

|α′|p ≤ 1 (3)

para todo primo p que no este en S. Notemos que si p pertenece a P\S, la desigualdad(2) se sigue cumpliendo por (1) y (3). Sea α = α′ + bx∞ − α′c, donde b·c : R→ Z es lafuncion parte entera. Entonces x∞ − α ∈ [0, 1) y, como para todo primo se cumple (2),se tiene que |xp − α|p ≤ 1 para todo p ∈ P . Concluimos entonces que x− α esta en D ypor lo tanto x ∈ α+D.

Supongamos que x = α1 + d1 = α2 + d2 con α1, α2 ∈ Q racionales y d1, d2 ∈ D.Entonces d2 − d1 ∈ Q, d2 − d1 ∈ (−1, 1) y |d2 − d1|p ≤ 1 para todo p ∈ P . Por el Lema3.3.1 se tiene que d1 = d2 y α1 = α2.

En otras palabras, si consideramos el grupo Q actuando sobre A por traslaciones,entonces D es un dominio fundamental para esta accion.

Teorema 3.3.5. El anillo topologico A/Q es compacto.

Demostracion. Sea D el conjunto de la Proposicion 3.3.4. Por la Proposicion 3.2.11, laclausura de D es compacta.

Sea π : A → A/Q la proyeccion canonica. Entonces π(D)

es un compacto de A/Q.Basta ver entonces que la restriccion de π aD es sobreyectiva, pero esto es consecuenciainmediata de la Proposicion 3.3.4.

Esto nos dice que A no es “mucho mas grande” que Q.

Ideles

Consideremos el grupo de unidades de A,

A× = {(xp)p∈P ′ : xp ∈ Q×p para todo p ∈ P ′, xp ∈ Z×p para casi todo p ∈ P}. (3.3.6)

Ingenuamente uno considerarıa en A× la topologıa subespacio de A. Nos topamos conel inconveniente que dado un anillo topologico, no necesariamente el grupo de unida-des con la topologıa subespacio es un grupo topologico. A continuacion veremos queespecıficamente en este caso es falsa dicha afirmacion.

Para cada natural n, sea pn el n-esimo primo. Sea xn = (1, . . . , 1, pn, 1, . . . ), dondela unica coordenada con el valor pn es la que corresponde a la asociada al primo pn,y la primer coordenada corresponde a ∞. Afirmamos que lımn→∞ xn = 1 si en A× seconsidera la topologıa subespacio de A.


Cualquier abierto que contenga a 1 contiene un abierto de la forma

U =

∏p∈S

Up ×∏p/∈S

Zp

∩ A×,

con S ⊂ P ′ conjunto finito y Up ⊆ Qp abierto para todo p ∈ S. Para n ∈ N suficiente-mente grande, pn no esta en S y por lo tanto xn ∈ U . Luego (xn)n tiende a 1 ∈ A× conla topologıa subespacio, como querıamos ver.

Por otro lado, si pn no esta en S, la coordenada correspondiente a ese primo de x−1n

es p−1n , el cual no es un elemento de Zpn . Entonces no es cierto que x−1

n este en U paran suficientemente grande, y en consecuencia, la sucesion

(x−1n

)n

no tiende a 1 en A×.Concluimos que (·)−1 no es continua en A× con la topologıa subespacio.

De (3.3.6) vemos que A× es, como conjunto, el producto restringido de{Q×p}p∈P ′

con respecto a{Z×p}p∈P ∪ {Q

×∞}; le daremos la correspondiente topologıa. Por las pro-

posiciones 3.2.10 y 3.2.8, el grupo A× es un grupo localmente compacto y verifica elsegundo axioma de numerabilidad. Se lo denomina el grupo de los ideles del cuerpo Q.Notar que los abiertos basicos que contienen a 1 son los conjuntos de la forma

U =∏p∈S

Up ×∏p/∈S

Z×p

con S ⊂ P ′ conjunto finito que contiene a∞ y Up ⊆ Q×p abierto para todo p ∈ S. En estecaso, es falso que xn ∈ U para pn /∈ S y por lo tanto (xn)n no tiende a 1.

Al producto restringido∏′p∈P Q×p se lo denomina grupo de los ideles finitos del cuerpo

Q y lo denotaremos A×fin. Tenemos que

A× = R× × A×fin.

De forma similar al caso de los adeles, si S es un subconjunto finito de P ′ que con-tiene a∞, denotamos

A×S =∏p∈S

Q×p ×∏p/∈S

Z×p .

Dado un numero racional no nulo x = a/b, si S es el conjunto de primos que dividena a o a b, entonces x esta en Z×p para todo primo p que no esta en S. Por lo tanto podemospensar Q× dentro de A× vıa el morfismo de grupos inyectivo

ι : Q× ↪−→ A×

x 7→ (x, x, x, . . . ) .

Para cada p ∈ P ′, tambien podemos identificar Q×p con el subgrupo de A×,

Q×p ×∏

q∈P ′−{p}

{1},

en la manera obvia.


Lema 3.3.7. Sea W ′ el subconjunto de A× dado por

W ′ = (0, 2)×∏p∈P

Z×p .

Entonces W ′ ∩Q× = {1}.

Demostracion. Consideremos al conjunto W del Lema 3.3.1. Como W ′ ⊆W + 1, tene-mos por ese lema que W ′ ∩Q× ⊆ {1}.

Corolario 3.3.8. El subgrupo topologico Q× de A× es discreto.

Demostracion. Es similar a la demostracion del Corolario 3.3.2.

En vistas del Teorema 3.3.5, cabe preguntarse si A×/Q× es compacto. Si miramosel camino que tomamos en el caso de los adeles, notamos que fue esencial probar queexiste un dominio fundamental D con clausura compacta para la accion de Q en A. Sepuede probar que en el caso de los ideles, tomando la accion de traslacion de Q× enA×, un dominio fundamental es D = R>0×

∏p∈P Z×p . Vemos entonces que no funciona

dicho argumento, de hecho, es falso que A×/Q× es compacto. Vamos a quedarnos conun subgrupo mas chico de A×, de forma que el cociente con Q× sea compacto.

Dado un idele x = (xp)p∈P ′ , como |xp|p = 1 para casi todo p, podemos definir lanorma idelica como

‖x‖ =∏p∈P ′|xp|p.

Proposicion 3.3.9. La aplicacion ‖·‖ : A× → R>0 es un morfismo de grupos topologicos.

Demostracion. Es claro que es morfismo de grupos.Sea S un subconjunto finito no vacıo de P ′. Probemos que ‖·‖ restringida a A×S es

continua. Por la Proposicion 3.2.6, la proyeccion

πS : A×S −→∏p∈S

Q×p

(xp)p∈P ′ 7→ (xp)p∈S

es continua. Ademas como S es finito, tambien es continua la funcion

NS :∏p∈S

Q×p −→ R>0

(xp)p∈S 7→∏p∈S|xp|p.

Por lo tanto ‖·‖ restringida a A×S es continua por coincidir con NS ◦ πS . Luego, comoA× =

⋃S A×S y cada A×S es abierto, se concluye que ‖·‖ es continua.


Proposicion 3.3.10 (Formula del producto). El nucleo de ‖·‖ contiene a Q×. Es decir, paratodo q ∈ Q× se verifica que ∏

p∈P ′|q|p = 1.

Demostracion. Como el subgrupo generado por {q : q > 0 primo} ∪ {−1} es Q×, bastaver que ‖(q, q, q, . . . )‖ = 1 para q primo. Pero esto es sencillo pues

‖(q, q, q, . . . )‖ =∏p∈P ′|q|p = |q|∞|q|q = qq−1 = 1.

Al nucleo de la norma idelica se lo denomina el subgrupo de los 1-ideles y lo deno-taremos A1. Por la Proposicion 3.3.9 es un subgrupo cerrado de A×. Ademas, por elColorario 3.3.8 y la Proposicion 3.3.10 tenemos que Q× es un subgrupo discreto de A1.

Lema 3.3.11. Sea x ∈ A1. Entonces x∞ ∈ Q× y |x∞|p = |xp|p para todo primo p.

Demostracion. Se deduce facilmente de la igualdad

1 = |x∞|∞∏p∈P|xp|p,

y de tener en cuenta que para a ∈ Q× y p, q primos vale que

||a|p|q =

{1, si q 6= p;

|a|−1p , si q = p.

Identifiquemos∏p∈P Z×p con el subgrupo {1} ×

∏p∈P Z×p de A1.

Teorema 3.3.12. Tenemos que A1 = Q× ·(∏

p∈P Z×p)

, donde el producto es directo. En parti-

cular, el grupo topologico A1/Q× es compacto.

Demostracion. Sea x = (x∞, xfin) ∈ A1. Por el Lema 3.3.11 tenemos que x∞ pertene-ce a Q× y xfin/x∞ pertenece a

∏p∈P Z×p . Luego x = ι(x∞) · (1, xfin/x∞) pertenece a

Q× ·(∏

p∈P Z×p)

. Por otro lado, por el Lema 3.3.7, tenemos que Q× ∩(∏

p∈P Z×p)

= 1.

Ahora va interesarnos caracterizar A× como el producto de anillos topologicos massencillos de estudiar.

Proposicion 3.3.13. El anillo de los ideles es el producto directo A× = R>0 · A1.

Demostracion. Si x ∈ A×, entonces x = (‖x‖, 1, 1, . . . ) ·(x∞‖x‖ , xfin

)∈ R>0 · A1. Es claro

que R>0 ∩ A1 = {1}.

48 3.4. CARACTERES LOCALES Y GLOBALES ADITIVOS

Corolario 3.3.14. El anillo de los ideles es el producto directo A× = R>0 ·Q× ·∏p∈P Z×p . Mas

aun, dado x ∈ A× podemos escribir

x = (‖x‖, 1, 1, . . . ) · ι(x∞‖x‖

)·(

1,‖x‖x∞

xfin

),

y se tiene que ‖x‖ ∈ R>0, x∞‖x‖ ∈ Q× y ‖x‖x∞ xfin ∈∏p∈P Z×p .

3.4. Caracteres locales y globales aditivos

Caracteres de Qp

Empecemos con el caso p = ∞. Consideremos la aplicacion e∞ : R → S1 definidapor e∞(x) = e2πix. Claramente e∞ es un caracter de R. Entonces para cada a ∈ R, tene-mos el caracter (e∞)a ∈ R (recordar notacion de (2.3.3)). Resulta que todos los caracteresde R son de esta forma:

Lema 3.4.1. Sea χ un caracter de R. Entonces existe un unico numero real a tal que χ = (e∞)a.

Demostracion. La unicidad de a se sigue de la Proposicion 2.3.4, veamos la existencia.Como χ(0) = 1 y χ es continuo, existe h > 0 tal que c =

∫ h0 χ(t) dt 6= 0. Luego si x ∈ R,

χ(x)c =

∫ h

0χ(x+ t) dt =

∫ x+h

xχ(t) dt,

y por lo tanto χ(x) = c−1∫ x+hx χ(t) dt. Tenemos entonces que χ es diferenciable y

χ′(x) = c−1 (χ(x+ h)− χ(x)) = kχ(x),

donde k = c−1 (χ(h)− 1). De modo que χ(x) = ekx para todo x. Como |χ(x)| = 1 paratodo x, podemos tomar a ∈ R de modo que k = 2πia. Concluimos que χ = (e∞)a.

Si bien el siguiente resultado no tiene que ver con caracteres aditivos, no podemosdejar de senalarlo aquı por ser un corolario de lo anterior:

Corolario 3.4.2. Sea χ un caracter de R>0, entonces existe un unico numero real b tal queχ(x) = xib para todo x ∈ R>0. En particular, el caracter χ tiene orden finito si y solo si χ estrivial.

Demostracion. Es inmediato de la Proposicion anterior y de componer con el isomorfis-mo exp : R→ R>0.

Teorema 3.4.3. La aplicacion Ψ∞ : R→ R definida por Ψ∞(a) = (e∞)a es un isomorfismo.

Demostracion. Como R es cuerpo y e∞ es un caracter no trivial, por la Proposicion 2.3.4tenemos que Ψ∞ es un monomorfismo. Del Lema 3.4.1 y el Teorema de la funcion abier-ta, concluimos que Ψ∞ es un isomorfismo.


Sea p un primo. Nuestro objetivo en el resto de esta subseccion sera probar un re-sultado analogo para Qp. Para ello sera necesario previamente definir el conductor deun caracter no trivial de Qp.

Sea χp un caracter no trivial de Qp. Consideremos la familia F = {pkZp : k ∈ Z}.Recordando la Observacion 3.1.12, sabemos que F es una base de entornos de 0 en Qp.Ademas es claro que los elementos de F son subgrupos de Qp. Por el Lema 2.3.5, elconjunto A = {k ∈ Z : χp es trivial en pkZp} es no vacıo. Por ser χp no trivial y al ser(pkZp

)k∈Z una cadena, el conjunto A esta acotado inferiormente. Sea k0 el mınimo de

A, al numero pk0 se lo llama el conductor del caracter χp.Consideremos la aplicacion ep : Qp → S1 definida por ep(x) = e−2πi{x}p (recordar

que {x}p es la parte fraccionaria de x). Es claro que ep es un morfismo de grupos connucleo Zp. Al ser (ep)

−1 ({1}) = Zp un entorno de 0, se tiene que ep es continuo en 0,concluyendo que ep es un caracter de Qp con conductor 1.

Lema 3.4.4. Sea χp un caracter de Qp. Entonces existe un unico racional p-adico a tal queχp = (ep)a.

Demostracion. Sea χp un caracter de Qp. Queremos ver que existe a ∈ Qp tal que χp =(ep)a. Si χp es trivial entonces a = 0 sirve, de modo que podemos suponer que χp tieneconductor pk para algun k ∈ Z. Podemos suponer tambien que k = 0. En efecto, si χptiene conductor pk y el resultado valiese para caracteres de conductor 1, sea χp definidopor χp(x) = χp(p

kx). Tenemos que χp tiene conductor 1 y por lo tanto existe a ∈ Qp talque χp = (ep)a. Luego para todo x ∈ Qp,

χp(x) = χp(p−kx) = (ep)a(p

−kx) = ep(ap−kx) = (ep)ap−k(x),

de modo que χp = (ep)ap−k .Dado m ∈ N, como (χp(1/p

m))pm

= χp(1) = 1 y ep(1/pm) es una raız pm-esima

primitiva de 1, existe un unico entero 0 ≤ am < pm tal que χp(1/pm) = (ep(1/pm))am .

Luego,

χp(1/pm) = ep

(ampm

). (1)

Notemos ademas que como(χp(1/p

m+1))p

= χp(1/pm), se tiene que ep

(p am+1

pm+1

)=

ep

(ampm

)y por lo tanto am+1 ≡ am (mod pm). Luego, por la Observacion 3.1.11, para

todo l ∈ N|am+l − am|p ≤ p

−m, (2)

y por lo tanto (am)m∈N es una sucesion de Cauchy en Zp. Sea a = lımm→∞ am, afirma-mos que χp(x) = (ep)a(x) para todo x ∈ Qp. Por (2) y la Observacion 3.1.11 para todonatural m se tiene que a ≡ am (mod pm). Entonces al ser ep trivial en Zp, obtenemos de(1) que

χp(1/pm) = ep

(a

pm

), (3)

50 3.4. CARACTERES LOCALES Y GLOBALES ADITIVOS

para todo m ∈ N. Como χp y ep son triviales en Zp y a ∈ Zp, para demostrar queχp = (ep)a basta ver que χp(x) = ep(ax) para todo x ∈ Qp con parte entera nula.Escribamos x =

∑−1m=−k xmp

m, donde k ∈ N0 y 0 ≤ xm < p para todo −k ≤ m < −1.Por (3) se tiene que

χp(x) = χp

(k∑

m=1

xmpm

)=

k∏m=1

(χp

(1

pm

))xm=

k∏m=1

(ep

(a

pm

))xm= ep

(k∑

m=1

xma

pm

)= ep(ax),

como se querıa ver. Concluimos que χp = (ep)a y por lo tanto ψp es suryectiva.

Teorema 3.4.5. La aplicacion Ψp : Qp → Qp definida por Ψp(a) = (ep)a es un isomorfismo.

Demostracion. Es similar a la demostracion del Teorema 3.4.3.

Caracteres adelicos

Un caracter adelico es un caracter de A. Nos interesa ahora caracterizar el dual de A.Como vimos en 3.4 “Caracteres de Qp”, para cada p ∈ P tenemos un caracter ep de Qp

cuyo nucleo es Zp. Por la Proposicion 3.2.14, el producto∏p∈P ep define un caracter de

Afin. Tenemos entonces bien definido un caracter de A dado por

e(x) =∏p∈P ′

ep(xp),

para todo x ∈ A. Vamos a probar que todo caracter adelico es de la forma ea, para alguna ∈ A.

Teorema 3.4.6. El morfismo de grupos Ψ : A → A definido por Ψ(a) = ea es un isomorfismode grupos topologicos.

Demostracion. Por la Proposicion 2.3.4 sabemos que Ψ es morfismo. Por el Teorema dela funcion abierta alcanza con probar es que es biyectivo.

Sea χ un caracter de A. Por los lemas 3.4.1 y 3.4.4, para cada p ∈ P ′ existe ap ∈ Qp

tal que χp = (ep)ap . Sea a = (ap)p∈P ′ entonces por la Proposicion 3.2.12, si x ∈ A

χ(x) =∏p∈P ′

χp(xp) =∏p∈P ′

ep(ap xp) = e(ax) = ea(x),

y por lo tanto χ = Ψ(a) y Ψ es suryectivo.Supongamos que a es un adele tal que Ψ(a) = ea es el caracter trivial. Sea p ∈ P ′.

Tenemos que la componente local (ea)p es trivial. Pero es facil ver que (ea)p = (ep)ap , ypor lo tanto Ψp(ap) es el caracter trivial de Qp, donde Ψp es la aplicacion del Teorema3.4.3 o del Teorema 3.4.5 segun si p es infinito o finito. Entonces ap = 0, y como p ∈ P ′era arbitrario, tenemos que a = 0 y Ψ es inyectivo.


Tambien nos va a ser util caracterizar los caracteres de A/Q. El resto de la seccionestara dedicado a eso.

Lema 3.4.7. El nucleo del caracter e es Q +({0} ×

∏p∈P Zp

).

Demostracion. Sea H = Q +({0} ×

∏p∈P Zp

). Es claro que {0} ×

∏p∈P Zp ⊆ ker e.

Veamos que Q ⊆ ker e. Sea α ∈ Q. Entonces

e(α) =∏p∈P ′

ep(α) = e2πiα∏p∈P

e−2πi{α}p = e2πi(α−∑p∈P{α}p).

Notar que la suma∑

p∈P{α}p tiene solo finitos terminos no nulos pues α ∈ Zp para casitodo p ∈ P . Basta probar entonces que el numero racional

β = α−∑p∈P{α}p

es un numero entero. Por la Observacion 3.1.10, esto se puede reducir a verificar que βesta en Zq para todo q ∈ P . Sea q ∈ P . Como α − {α}q = bαcq ∈ Zq y para todo p ∈ Pdistinto de q se tiene que {α}p ∈ Zq, entonces

β = α− {α}q −∑

p∈P, p 6=q{α}p ∈ Zq;

como querıamos ver. Luego Q ⊆ ker e, de modo que H ⊆ ker e.Ahora consideremos un adele a tal que e(a) = 0 y verifiquemos que a ∈ H . Por

la Proposicion 3.3.4, existen r ∈ Q y d ∈ [0, 1) ×∏p∈P Zp tales que a = r + d. Como

Q ⊆ ker e, tenemos que d ∈ ker e. Luego, puesto que ker ep = Zp para todo p ∈ P ,obtenemos que

1 = e(d) = e∞(d∞).

Entonces d∞ ∈ Z ∩ [0, 1) = {0}, y por lo tanto a ∈ H .

Lema 3.4.8. Sea a ∈ A. Entonces e(ax) = 1 para todo x ∈ Q si y solo si a ∈ Q.

Demostracion. Veamos que si e(ax) = 1 para todo x ∈ Q, entonces a ∈ Q. Comoa ∈ ker e, por el Lema 3.4.7, podemos escribir a = α+d, con α ∈ Q y d ∈ {0}×

∏p∈P Zp.

Como Q ⊆ ker e, se tiene que e(dx) = 1 para todo x ∈ Q. Supongamos que dp 6= 0 paraalgun p ∈ P . Sea k ∈ N tal que dp/pk /∈ Zp. Como por hipotesis d/pk ∈ ker e, existenα′ ∈ Q y d′ ∈ {0} ×

∏p∈P Zp tales que d/pk = α′ + d′. Pero α′ es la coordenada corres-

pondiente a infinito de d/pk, de modo que α′ = 0. Luego d′p = dp/pk /∈ Zp y por lo tanto

d′ /∈ {0} ×∏p∈P Zp, contradiccion.

Teorema 3.4.9. Se tiene que A/Q ∼= Q. El isomorfismo viene dado por α 7→ eα, donde eα es elcaracter en A/Q inducido por eα.

52 3.5. CUASI-CARACTERES LOCALES Y GLOBALES MULTIPLICATIVOS

Demostracion. Al ser Q es un subgrupo discreto de A, por la Proposicion 2.2.8, es unsubgrupo cerrado de A. Entonces por la Proposicion 2.3.8 tenemos que Q⊥ ∼= A/Q.

Sea Ψ el isomorfismo del Teorema 3.4.6. Sea a ∈ A, entonces Ψ(a) = ea ∈ Q⊥ si ysolo si e(ax) = 1 para todo x ∈ Q. Por el Lema 3.4.8 esto ultimo es equivalente a quea ∈ Q. Concluimos entonces que Q ∼= Q⊥ y por lo tanto Q ∼= A/Q. La expresion delisomorfismo es inmediata de la Proposicion 2.3.8.

Notemos que A/Q es un grupo compacto y Q es un grupo discreto. Es un ejemplode lo que afirma la Proposicion 2.3.6.

3.5. Cuasi-caracteres locales y globales multiplicativos

En la seccion anterior dimos una descripcion de los grupos de caracteres de Qp y Aque nos permite entenderlos completamente. En el caso multiplicativo, los caracteresresultan ser mas interesantes y hay mas trabajo que hacer.

Un cuasi-caracter idelico (respectivamente caracter idelico) es un cuasi-caracter (res-pectivamente caracter) de A×. Si bien el Teorema central de este capıtulo trata de cuasi-caracteres muy particulares, consideraremos cuasi-caracteres generales para compararnuestro enfoque con el de Tate.

Introduzcamos algunas notaciones generales. Al caracter trivial de A× lo denota-remos χ0. Para cada p ∈ P ′, al caracter trivial de Q×p lo denotaremos (χ0)p. El grupotopologico

∏p∈P Z×p es un subgrupo de A×fin que jugara un rol central en esta seccion.

Para abreviar notacion llamaremos K a dicho subgrupo.

Cuasi-caracteres de Q×pSea p ∈ P ′. A pesar de no ser estandar, por comodidad, vamos a denotar con

Z×∞ al subgrupo de elementos x ∈ Q×∞ tales que |x|∞ = 1. Es decir, convenimosZ×∞ = {−1, 1}1.

Un cuasi-caracter χp se dice no ramificado si es trivial en Z×p . Notar que en el casop =∞, que χ∞ sea no ramificado es simplemente decir que χ∞(−1) = 1.

Lema 3.5.1. Los cuasi-caracteres de R>0 son las funciones de la forma x 7→ xs, con s ∈ C. Elnumero complejo s esta unıvocamente determinado por el cuasi-caracter.

Demostracion. Se demuestra adaptando la demostracion del Lema 3.4.1 y el Corolario3.4.2 al caso de tener un cuasi-caracter.

Consideramos el morfismo up : Q×p → Z×p , dado por

up(x) =

{|x|p x, si p ∈ P;x|x|∞

, si p =∞.

Notar que up es una retraccion de la inclusion de Z×p ↪→ Q×p .

1Esto es notacion ya que Z no coincide con {x ∈ R : |x|∞ ≤ 1}, es decir, Z 6= Z∞.


Lema 3.5.2. Los cuasi-caracteres no ramificados de Q×p son las funciones de la forma

χp(x) = |x|sp,

donde s es un numero complejo. En el caso que p = ∞, el numero s esta determinado por χ∞.En el caso p ∈ P , el numero s esta determinado modulo 2πi/ log p.

Demostracion. Supongamos que χp es un cuasi-caracter no ramificado de Q×p . Entoncessi x ∈ Q×p se tiene que

χp(x) = χp

(x

up(x)

). (1)

En el caso p = ∞, como x/u∞(x) = |x|∞ y x 7→ χ∞ (|x|∞) es un cuasi-caracter de R>0,por el Lema 3.5.1 tenemos que existe un unico s ∈ C tal que χ∞(x) = |x|s∞ para todox ∈ R×. En el caso p ∈ P , sean s ∈ C tal que χp(p) = p−s y k = νp(x), entonces el ladoderecho de (1) es

χp

(pk)

=(p−s)k

= e−sk log p = es log (|x|p) = |x|sp.

Si s′ es otro numero complejo tal que χp(x) = |x|s′

p para todo x ∈ Q×p , se tiene queχp(p) = p−s

′= p−s y un calculo elemental muestra que s− s′ ∈ 2πi

log pZ.

Proposicion 3.5.3. Sea χp un cuasi-caracter de Q×p . Entonces, existe un numero complejo s talque

χp(x) = χp(up(x))|x|sp, (3.5.4)

para todo x ∈ Q×p . El numero s esta determinado del mismo modo que el Lema 3.5.2.

Demostracion. Dado x ∈ Q×p , se tiene que

χp(x) = χp(up(x))χp

(x

up(x)

).

Es claro que la aplicacion x 7→ χp (x/up(x)) es un cuasi-caracter no ramificado de Q×p .Luego, por el Lema 3.5.2, existe s ∈ C tal que vale la igualdad (3.5.4). La determinaciondel numero complejo s es inmediata del Lema 3.5.2.

Notemos que la parte real de s esta unıvocamente determinada, se la llama exponentedel cuasi-caracter χp. Tomando valor absoluto en ambos lados de (3.5.4), obtenemos quelos caracteres de Q×p son los cuasi-caracteres de Q×p de exponente 0. .

Cuasi-caracteres idelicos

Dado χ un cuasi-caracter idelico y p ∈ P ′, decimos que χ es no ramificado en p, sila componente local p-esima es no ramificada. Por la Proposicion 3.2.12, todo caracteridelico es no ramificado para casi todo primo p.


Consideramos el morfismo u : A× → K, dado por

u(x) =

(‖x‖x∞

xfin

).

Notar que u es una retraccion de la inclusion de K ↪→ A×. Del Corolario 3.3.14, se sigueque todo caracter χ de A× puede escribirse como

χ(x) = χR+ (‖x‖) · χQ×

(x∞‖x‖

)· χK(u(x)), (3.5.5)

donde los caracteres χR+ , χQ× y χK son las restricciones del caracter χ a R>0, a Q× y aK respectivamente.

Proposicion 3.5.6. Sea χ un cuasi-caracter idelico trivial sobre Q×. Entonces, existe un unicos ∈ C tal que para todo x ∈ A×,

χ(x) = χK(u(x))‖x‖s, (3.5.7)

donde χK es la restriccion de χ a K.

Demostracion. Por el Lema 3.5.1, existe un unico s ∈ C tal que χR+(‖x‖) = ‖x‖s. Sesigue inmediatamente de la escritura (3.5.5), la escritura (3.5.7).

Al igual que en el caso local, vemos, en particular, que la parte real de s esta unıvo-camente determinada; se la llama exponente del cuasi-caracter χ.

Corolario 3.5.8. Sea χ un caracter idelico trivial sobre Q×, entonces existe un unico λ ∈ R talque para todo x ∈ A×,

χ(x) = χK(u(x))‖x‖iλ,donde χK es la restriccion de χ a K.

Proposicion 3.5.9. Sea χ un cuasi-caracter idelico trivial sobre Q×. Entonces χ es trivial sobreK si y solo si no ramificado para todo p ∈ P . En tal caso, en∞ tambien es no ramificado.

Demostracion. Supongamos que χ es trivial sobre K. Por la proposicion 3.5.6, existe s ∈C tal que χ(x) = ‖x‖s para todo x ∈ A×. Sea p ∈ P y consideramos la inclusionjp : Q×p ↪→ A×. Si xp ∈ Z×p , se tiene que jp(xp) = (1, 1, · · · , xp, 1, . . . ), donde xp esta enla coordenada que corresponde al primo p. Luego ‖jp(xp)‖ = |xp|p = 1, y por lo tanto,χp(xp) = χ ◦ jp(xp) = ‖jp(xp)‖s = 1.

Recıprocamente, supongamos que χp es no ramificado para todo primo p. Si x ∈ K,entonces (3.2.13) nos dice que

χ(x) = χ(1, x2, x3, x5, . . . ) = χ∞(1)∏p∈P

χp(xp) = 1,

pues para todo p ∈ P , tenemos que xp ∈ Z×p y χp es no ramificado.Resta ver que en estas condiciones χ∞ es trivial en {−1, 1}. En efecto, por la Propo-

sicion 3.5.6, existe s ∈ C tal que χ = χK ◦ u‖·‖s. Luego,

χ∞(−1) = χK(u(−1, 1, 1, . . . )‖(−1, 1, 1, . . . )‖s = 1 · 1 = 1.


Conductor

Fijemos un primo p. Para definir el conductor de un caracter de Q×p , primero lodefiniremos para caracteres de Z×p . Sea χp un caracter de Z×p . Consideremos la base deentornos de 1 en Z×p dada por F = {Up(pk) : k ∈ N0}. Por el Lema 2.3.5, existe k0 ∈ N0

mınimo tal que χp es trivial en Up(pk0). Definimos Ep(χp) = k0. El conductor de χp se

define comocond(χp) = pEp(χp).

En el caso que tengamos un caracter χp de Q×p , definimos el conductor de χp como elconductor de χp|Z×p .

Observacion 3.5.10. El conductor de χp es 1 si y solo si χp es trivial en Z×p . En otras palabras,el conductor de χp es divisible por p si y solo si χp es no ramificado.

Observacion 3.5.11. Por definicion de Ep (χp), si k es un entero no negativo, el caracter χpes trivial en Up(pk) si y solo si Ep (χp) ≤ k. Por (3.1.27) tenemos entonces que χp es trivial enUp(N) si y solo si Ep (χp) ≤ νp(N).

Proposicion 3.5.12. Sea χp un caracter de Q×p con conductor pk. Denotemos con χp al caracterinducido en Z×p /Up(pk) por χp, y consideremos el isomorfismo γ×k : Z×p /Up(pk)→

(Z/pkZ

)×de la Proposicion 3.1.29. Entonces el morfismo ξ = χp ◦

(γ×k)−1 es un caracter de Dirichlet

primitivo modulo pk.

Demostracion. Supongamos que 0 ≤ j < k y que existe un caracter de Dirichlet modulopj , η, tal que ξ = η ◦ q, donde q : (Z/pkZ)× → (Z/pjZ)× es la proyeccion canonica. Porla Proposicion 3.1.29 tenemos el diagrama conmutativo

(Z/pkZ)×(γ×k )

−1

//

q

��

Z×p /Up(pk)

q′

��

χp // S1

(Z/pjZ)×(γ×j )

−1

// Z×p /Up(pj) ,

η◦γ×j

99

donde q′ es la proyeccion canonica. Se sigue que el caracter χp es trivial en Up(pj), peroesto contradice que el conductor de χp sea pk pues j < k.

Ahora definamos el conductor para caracteres de K. El grupo topologico K puedepensarse como el producto restringido de la familia {Z×p }p∈P con respecto a sı misma.Por lo tanto, si χ es un caracter de K, podemos aplicar la Proposicion 3.2.12 obteniendoque las componentes locales χp son triviales para casi todo p y que χ es el producto desus componentes locales. Luego, por la Observacion 3.5.10, tenemos que cond(χp) = 1para casi todo p. Definimos el conductor de χ como

cond(χ) =∏p∈P

cond(χp) =∏p∈P

pEp(χp). (3.5.13)


Observacion 3.5.14. Sea p ∈ P . Entonces, el conductor de χ es divisible por p si y solo si χ esramificado en p.

Para N ∈ N consideremos el conjunto

U(N) =∏p∈P

Up(N).

Proposicion 3.5.15. Se verifica:

a) Sea F = {U(N) : N ∈ N}. Entonces F es un base de entornos de 1 en K formada porsubgrupos.

b) Sean N,N ′ ∈ N. Entonces N ′ divide a N si y solo si U(N) ⊆ U(N ′).

Demostracion. a) Sea N ∈ N. Por lo visto en 3.1 “Unidades de Zp”, el conjunto U(N)es un subgrupo abierto de K. Ademas, si S es el conjunto de primos positivos quedividen a N , podemos escribir U(N) =

∏p∈S Up(N)×

∏p/∈S Z×p , de modo que U(N) es

un abierto basico de K. Del hecho que {Up(pj) : j ≥ 0} es una base de entornos de 1 enZ×p para todo p ∈ P , es inmediato que F es una base de entornos de 1 en K.

b) Si M ∈ N, por (3.1.27), tenemos que

U(M) =∏p∈P

Up

(pνp(M)

). (1)

La afirmacion es inmediata de la escritura de U(N) y U(N ′) en la forma (1).

Si χ es un caracter idelico o un caracter de A1, el conductor de χ se define restrin-giendo a K.

Proposicion 3.5.16. Sea χ un caracter de K y sea N ∈ N. Entonces χ es trivial en U(N) si ysolo si cond(χ) divide a N . En particular el conductor de χ es el mınimo natural N tal que χ estrivial en U(N).

Demostracion. Es claro que χ es trivial en U(N) si y solo si χp es trivial en Up(N) para to-do primo p. Por la Observacion 3.5.11 esto ultimo es equivalente a que Ep (χp) ≤ νp(N)para todo primo p. En virtud de (3.5.13) y como N =

∏p∈P p

νp(N), esto es equivalente aque cond(χ) divide a N .

Funciones L

Sea p ∈ P . Si χp es un caracter de Q×p , definimos la funcion L (local) de χp como

Lp(s, χp) =

{(1− χp(p)p−s)−1

, si χp es no ramificado;

1, si χp es ramificado;

para todo s ∈ C con <s > 0. Si χ∞ es un caracter de Q×∞, por la Proposicion 3.5.3, existeun unico λ ∈ R tal que

χ∞(x) = χ∞(sg(x))|x|iλ∞,


para todo x ∈ R×. Sea ε ∈ {0, 1} tal que χ∞(−1) = (−1)ε. Se define funcion L (local) deχ∞ como

L∞(s, χ∞) = π−s+iλ+ε

2 Γ

(s+ iλ+ ε

2

), (3.5.17)

para todo s ∈ C tal que <s > 0.

Proposicion 3.5.18. Sea p ∈ P ′. Supongamos que χp y χ′p son caracteres del grupo de Q×ptales que existe λ ∈ R que verifica χp(x) = χ′p(x)|x|iλp , para todo x ∈ Q×p . Entonces se tieneque

Lp(s, χp) = Lp(s+ iλ, χ′p)

para todo s.

Demostracion. Es inmediato.

Sea χ un caracter idelico. Se define la funcion L (global) del caracter χ como el produc-to

L(s, χ) =∏p∈P ′

Lp(s, χp),

para todo s ∈ C con <s > 1. El producto es absolutamente convergente para estosvalores de s por el Lema 1.3.1. Si p ∈ P ′, la funcion Lp se llama componente local p-esimade la funcion L. Definimos la funcion L parcial como

Lfin(s, χ) =∏p∈P

Lp(s, χp),

para todo s ∈ C con <s > 1. Tenemos entonces que para todo s,

L(s, χ) = L∞(s, χ)Lfin(s, χ). (3.5.19)

Notemos que si S = {∞} ∪ R, donde R es el subconjunto de primos p tal que χ esramificado en p, entonces

Lfin(s, χ) =∏p/∈S

Lp(s, χp). (3.5.20)

Ejemplo 3.5.21. Tomemos χ0 el caracter trivial de A×. Como χ0 no es ramificado enningun primo, por (1.3.3) tenemos que para s con <s > 1,

Lfin(s, χ0) =∏

p primo

(1− p−s

)−1= ζ(s),

y de (3.5.17),

L(s, χ0) = π−s2 Γ(s

2

)ζ(s).

Notar que esta ultima funcion es Ξ, la funcion que aparece en el Teorema 1.5.10.


Correspondencia con los caracteres de Dirichlet

Para concluir este capıtulo veremos que los caracteres idelicos triviales sobre Q×guardan estrecha relacion con los caracteres de Dirichlet. Concretamente, el Teorema3.5.27 nos dira que podemos identificar los caracteres idelicos, triviales sobre Q×, y deorden finito, con los caracteres de Dirichlet primitivos.

Lema 3.5.22. Sea χK un caracter de K. Entonces χK tiene orden finito.

Demostracion. Sea F = {U(N) : N ∈ N}. Como K es compacto, por la Proposicion3.5.15 a) y el Lema 2.3.5, el orden de χK es finito.

Corolario 3.5.23. Sea χ un caracter idelico trivial sobre Q×. Digamos que χ = χK ◦ u ‖·‖iλ,donde χK es la restriccion de χ a K y λ ∈ R. Entonces χ tiene orden finito si y solo si λ = 0. Enparticular, todo caracter idelico, trivial sobre Q×, y de orden finito verifica que χ = χK ◦ u.

Demostracion. Es inmediato del Lema 3.5.22 y el Corolario 3.4.2.

Corolario 3.5.24. La aplicacion χ 7→ χK es una correspondencia biyectiva, que preserva elconductor, entre los caracteres de A× de orden finito que son triviales sobre Q× y los de K.

Lema 3.5.25. Para cada numero natural N tenemos un isomorfismo

K/U(N)γN−−−−−→ (Z/NZ)×.

Ademas si d es un divisor de N entonces el siguiente diagrama conmuta:

K/U(N)γN∼=//

q

��

(Z/NZ)×

q′

��K/U(d)

γd∼=// (Z/dZ)× ,

(3.5.26)

donde q y q′ son las proyecciones canonicas.

Demostracion. Para cada primo p divisor de N , por la Proposicion 3.1.29, tenemos unisomorfismo

Z×p /Up(N) −→(Z/pνp(N)Z

)×.

Por lo tanto, tenemos un isomorfismo∏p|N

(Z×p /Up(N)

)−→

∏p|N

(Z/pνp(N)Z

)×. (1)

Como Up(N) = Z×p si p no es divisor de N , el lado izquierdo de (1) coincide con∏p∈P

(Z×p /Up(N)

). Considerando el isomorfismo canonico

K

/∏p∈P

Up(N)

∼= ∏p∈P

(Z×p /Up(N)

),


obtenemos un isomorfismo

K/U(N)αN−−→

∏p|N

(Z/pνp(N)Z

)×.

Por otro lado, consideremos

(Z/NZ)×βN−−→

∏p|N

(Z/pνp(N)Z

)×el isomorfismo del Teorema chino del resto. El isomorfismo buscado es γN = β−1

N ◦ αN .Para ver que el Diagrama (3.5.26) es conmutativo, veamos que los diagramas

(Z/NZ)×βN //

q′

��

∏p|N(Z/pνp(N)Z

)×q′′

��

(Z/dZ)×βd //

∏p|d(Z/pνp(d)Z

)× (2)

y

K/U(N)αN //

q

��

∏p|N(Z/pνp(N)Z

)×q′′

��

K/U(d)αd //

∏p|d(Z/pνp(d)Z

)×,

(3)

donde q′′ es la proyeccion canonica, son conmutativos.El Diagrama (2) es conmutativo claramente. Es facil ver que la conmutatividad del

Diagrama (3) se reduce a probar la conmutatividad del Diagrama (3.1.30) con k =νp(N), j = νp(d), para todo primo p ∈ P . Esto ultimo vale por la Proposicion 3.1.29.

Antes de enunciar el resultado principal de esta seccion, fijemos la notacion quevamos a utilizar. Si N ∈ N, denotemos con πN a la proyeccion canonica K → K/U(N).Si ψ es un caracter de K de conductor N , por la Proposicion 3.5.16 se anula en U(N);denotamos con ψ al unico morfismo tal que ψ ◦ πN = ψ.

Teorema 3.5.27 (Teorema de correspondencia). Hay una correspondencia biyectiva{χ ∈ A× : χ de orden finito y trivial sobre Q×

}−−−−→

{Caracteres de Dirichlet primitivos

}.

Mas aun, para cadaN numero natural, la aplicacion χ 7→ χK◦γ−1N = ξ establece una correspon-

dencia biyectiva entre los caracteres de A× de orden finito, triviales sobre Q× y con conductorN ; y los caracteres de Dirichlet modulo N primitivos. Ademas, para todo s ∈ C con <s > 1,

Λ(s, ξ) = Ns+ε2 L(s, χ), (3.5.28)

donde Λ es la aplicacion definida en (1.5.2) y ε ∈ {0, 1} verifica que χ∞(−1) = ξ(−1) = (−1)ε.


Demostracion. Fijemos N ∈ N. Para verificar la primera parte del enunciado, por elCorolario 3.5.24, basta ver que{

χ ∈ K : cond(χ) = N}

Φ−−−−→{

Caracteres de Dirichlet modulo N primitivos}

χK 7−−−−−→ χK ◦ γ−1N ,

establece una correspondencia biyectiva.Sea χK un caracter de K con conductor N . Veamos que Φ(χK) = χK ◦ γ−1

N es uncaracter de Dirichlet modulo N primitivo. Supongamos que d es un numero naturalque divide a N y que ξ es un caracter de (Z/dZ)× tal que ξ ◦ q′ = Φ(χK). Debemosprobar que d = N . Consideremos el caracter de K definido por α = ξ ◦ γd ◦ πd. Por elLema 3.5.25 tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

K πN //

πd

##

K/U(N)γN //

q

��

(Z/NZ)×

q′

��K/U(d)

γd // (Z/dZ)× .

(1)

Por lo tanto,

α = ξ ◦ γd ◦ πd = ξ ◦ q′ ◦ γN ◦ πN = Φ(χK) ◦ γN ◦ πN = χK ◦ πN = χK,

de modo que χK es trivial enU(d). Por la Proposicion 3.5.16, tenemos que cond(χK) = Ndivide a d. Concluimos que d = N , como querıamos ver.

Ahora vamos a definir la aplicacion que va a resultar ser la inversa de Φ. Sea ξ uncaracter de Dirichlet modulo N primitivo, definimos Ψ(ξ) = ξ ◦ γN ◦ πN . Veamos queψ = ξ ◦ γN ◦ πN tiene conductor N . Sea d el conductor de ψ. Como ψ se anula enU(N), por la Proposicion 3.5.16, tenemos que d divide a N . Consideremos el caracterde (Z/dZ)× dado por β = ψ ◦ γ−1

d . Afirmamos que β ◦ q′ = ξ. Utilizando de nuevo laconmutatividad del Diagrama (1), tenemos que

β ◦ q′ = ψ ◦ q ◦ γ−1N .

Por lo tanto, basta ver que ψ ◦ q = ξ ◦ γN . Como

ψ ◦ q ◦ πN = ψ ◦ πd = ψ = ξ ◦ γN ◦ πN ,

y πN sobreyectiva, se sigue queψ ◦ q = ξ ◦ γN ,

como se querıa ver. Entonces β ◦ q′ = ξ, y como ξ es primitivo, debe ser d = N . Con-cluimos que el conductor de ψ = Ψ(ξ) es N .

Veamos que Φ y Ψ son mutuamente inversas. Si χK es un caracter de K con conduc-tor N y ξ es un caracter de Dirichlet primitivo, entonces

Ψ ◦ Φ(χK) = Ψ(χK ◦ γ−1

N

)= χK ◦ πN = χK,


y

Φ ◦Ψ(ξ) = Φ (ξ ◦ γN ◦ πN ) = ˜(ξ ◦ γN ◦ πN ) ◦ γ−1N .

Si vemos que ˜ξ ◦ γN ◦ πN = ξ ◦ γN , la demostracion de la primera parte del enunciadoesta completa. Esto es inmediato de la definicion de ˜ξ ◦ γN ◦ πN .

Sea s ∈ C con <s > 1 . Para probar la ecuacion (3.5.28), primero demostraremos que

L(s, ξ)

= Lfin (s, χ) . (2)

Como el conductor de χ esN , por la Observacion 3.5.14, el conjunto de todos los primostales que χ es ramificado es el conjunto de los primos que dividen aN . Se tiene entoncespor (3.5.20) que

Lfin (s, χ) =∏

p primop-N

(1− χp(p)

ps

)−1

.

Por otro lado, por la Proposicion 1.3.2,

L(s, ξ)

=∏

p primop-N

(1− ξ(p)

ps

)−1

.

Para verificar (2), basta ver entonces que para todo primo p que no divide a N , se tieneque χp(p) = ξ(p). Sea p un tal primo. Por el Corolario 3.5.23, tenemos que χ = Ψ(ξ) ◦ u,donde u(x) = ‖x‖

x∞xfin para todo x ∈ A×. Entonces

χp(p) = χ ◦ jp(p) = Ψ(ξ) ◦ u ◦ jp(p) = Ψ(ξ)(u(1, 1, . . . , 1, p︸︷︷︸

Lugar p.

, 1, . . . ))

= Ψ(ξ)(p−1(1, 1, . . . , 1, p, 1, . . . )

)= (ξ ◦ γN ◦ πN )

(p−1, . . . , p−1, 1, p−1, . . . )

).

Como p no divide a N , tenemos que:

K πN−−−−−−−−−−−−−→ K/U(N) ∼=∏q|N

Zp/Uq(N)

(p−1, . . . , p−1, 1︸︷︷︸

Lugar p.

,p−1, . . .)7−→

(1, . . . , 1, p−1, . . . , p−1︸︷︷︸

Lugares q con q|N.

, 1, . . .).

Claramente γN(1, . . . , 1, p−1, . . . p−1, 1, . . .

)= p−1 ∈ (Z/NZ)×, y por lo tanto conclui-

mos que χp(p) = ξ(p−1) = ξ(p), y que vale (2).Como χ tiene orden finito, por (3.5.17), (3.5.19) y el Corolario 3.5.23,

L(s, χ) = π−s+ε2 Γ

(s+ ε

2

)Lfin(s, χ),


donde ε ∈ {0, 1} verifica que χ∞(−1) = (−1)ε. Por otro lado, tenemos por (1.5.2) que

Λ(s, ξ) = Ns+ε′2 π−

s+ε′2 Γ

(s+ ε′

2

)L(s, ξ),

donde ε′ verifica que ξ(−1) = (−1)ε′. Por (2), para verificar (3.5.28) nos resta ver ε = ε′.

En efecto,

(−1)ε = χ∞(−1) = χ ◦ j∞(−1) = χ(−1, 1, 1, . . . ) = Ψ(ξ)(u(−1, 1, 1, . . . ))

= Ψ(ξ)(−1,−1, . . . ) = ξ(γN

(1, . . . , 1, −1, . . . ,−1︸︷︷︸

Lugares q con q|N.

, 1, . . .))

= ξ(−1) = (−1)ε′.

Al grupo A×/Q× se lo denomina grupo de clases de ideles. Del Corolario 3.3.8 y laProposicion 2.2.8, tenemos que Q× es un subgrupo cerrado de A×. Luego, la Proposi-cion 2.3.8 nos dice que A×/Q× ∼= (Q×)

⊥. Esto nos permite identificar los caracteres delgrupo de clase de ideles y los caracteres de A× triviales sobre Q×. El Teorema 3.5.27 nosdice que los caracteres de orden finito del grupo de clases de ideles estan en correspon-dencia con los caracteres de Dirichlet primitivos.

Capıtulo 4

Elementos de analisis

4.1. Medida de Haar

La medida de Haar es lo que se busca naturalmente si se tiene un grupo topologicoy se quiere una medida que mida de manera homogenea subconjuntos del grupo.

El primer ejemplo con el que uno se encuentra al estudiar teorıa de la medida esel de la medida de Lebesgue en R, o mas en general Rn, con respecto a la suma. Estamedida es invariante por traslaciones.

Otro ejemplo es el de los grupos finitos. Como tomamos la topologıa discreta, laσ-algebra de Borel son todos sus subconjuntos. Si trasladamos un subconjunto, la can-tidad de elementos se mantiene. Entonces podemos considerar la medida contante: siA ⊆ G definimos µ(A) = #A. Esta medida es de Haar.

Generalidades

Sea G un grupo topologico y µ una medida de Borel en G. Decimos que µ es inva-riante por traslaciones si para todo borelianoE deG, µ(gE) = µ(E) para todo g ∈ G. Unamedida de Haar es una medida de Radon no nula que es invariante por traslaciones.

Proposicion 4.1.1. Sea G un grupo localmente compacto con una medida no nula de Radon µ.Entonces la medida µ es una medida de Haar en G si y solo si∫

Gτgf dµ =

∫Gf dµ (4.1.2)

para toda f ∈ C +c (G) y para todo g ∈ G. En tal caso, la formula (4.1.2) vale para toda funcion

medible f : G→ C tal que existe∫G f dµ.

Demostracion. Empecemos suponiendo que µ es medida de Haar y probemos que sig ∈ G entonces

∫G τgf =

∫G f . Notemos que esto vale para funciones simples. En efecto,

si h es una funcion simple, entonces h es de la forma h =∑m

i=1 αi1Ai , donde m ∈ N,α1, . . . , αm ∈ R y A1, . . . , Am son borelianos de G. Es claro que τg1Ai = 1gAi para todo

63

64 4.1. MEDIDA DE HAAR

i, y por lo tanto ∫Gτgh dµ =

m∑i=1

αiµ(gAi) =m∑i=1

αiµ(Ai) =

∫Gh dµ. (1)

Supongamos que f : G → [0,+∞) es una funcion medible. Entonces por definicion dela integral y por (1) (con el elemento g−1 en lugar de g),∫

Gτgfdµ = sup

{∫Gh dµ : h simple , h ≤ τgf

}= sup

{∫Gτg−1h dµ : h simple , h ≤ τgf

}.

Como h(x) ≤ f(g−1x) para todo x si y solo si h(gx) ≤ f(x) para todo x, tenemos que∫Gτgf dµ = sup

{∫Gτg−1h dµ : h simple , τg−1h ≤ f

}. (2)

Notemos que si h es simple, τg−1h tambien lo es. Mas aun, la asignacion h 7→ τg−1hdefine una biyeccion en las funciones simples. Por lo tanto

sup

{∫Gτg−1h dµ : h simple , τg−1h ≤ f

}=

∫Gf dµ,

y entonces por (2) obtenemos que vale (4.1.2) para toda f medible no negativa. Enparticular, para toda funcion f ∈ C +

c (G).Recıprocamente, supongamos que para toda f ∈ C +

c (G) y para todo g ∈ G vale(4.1.2). Sea g ∈ G. Probemos primero que µ(gU) = µ(U) para U abierto de G. Para cadaf ∈ Cc(X), definamos I(f) =

∫G f dµ. Tenemos que I : Cc(G) → C es un funcional

lineal positivo de Cc(G) y entonces por (2.4.9) del Teorema de representacion de Riesz,

µ(U) = sup

{∫Gf dµ : f ∈ Cc(G),Supp(f) ⊆ U, 0 ≤ f ≤ 1

}.

Usando que Supp(τg−1f) = g−1 Supp(f) y (4.1.2), podemos escribir

µ(U) = sup

{∫Gτg−1f dµ : f ∈ Cc(G), Supp(τg−1f) ⊆ gU, 0 ≤ τg−1f ≤ 1

}.

Al ser claramente f 7→ τg−1f una biyeccion en Cc(G),

µ(U) = sup

{∫Gf dµ : f ∈ Cc(G),Supp f ⊆ gU, 0 ≤ f ≤ 1

}.

Aplicando de nuevo el Teorema de representacion de Riesz, obtenemos entonces queµ(U) = µ(gU).

CAPITULO 4. ELEMENTOS DE ANALISIS 65

Ahora supongamos que E es un boreliano de G. Como µ es de Radon, por regulari-dad exterior,

µ(gE) = ınf{µ(U) : gE ⊆ U,U abierto}.

Como sabemos que vale para abiertos, podemos escribir

ınf{µ(U) : gE ⊆ U, U abierto} = ınf{µ(g−1U) : E ⊆ g−1U, g−1U abierto}.

Y por lo tanto concluimos que µ(gE) = µ(E), de modo que µ es una medida de Haar.Si f : G→ C una funcion medible tal que existe

∫G f dµ, la formula (4.1.2) es valida

pues vale para funciones medibles no negativas y porque se puede descomponer laparte real y la parte imaginaria de f como suma de funciones de ese tipo.

Observacion 4.1.3. Sea G un grupo localmente compacto con una medida de Haar µ. Si en Ghay un compacto con infinitos elementos, entonces µ ({x}) = 0 para todo x ∈ G.

Proposicion 4.1.4. Sea G un grupo localmente compacto con una medida de Haar µ, entonces:

a) La medida µ es positiva sobre todos los conjuntos abiertos no vacıos de G y∫G f dµ > 0

para toda f ∈ C +c (G).

b) La medida µ(G) es finita si y solo si G es compacto.

c) Si H es un subgrupo abierto se tiene que µH es una medida de Haar en H .

Demostracion. a) Sea U un abierto no vacıo de G. Como µ es no nula, por la regularidadinterior de µ en G existe K ⊆ G compacto tal que µ(K) > 0. Al ser K compacto, existenx1, . . . , xn ∈ G tales que

K ⊆n⋃i=1

xiU.

Como µ(xiU) = µ(U) para todo i, obtenemos que µ(U) > 0.Sea f ∈ C +

c (G), entonces existe un abierto U y un ε > 0 tales que f ≥ ε1U . Obtene-mos entonces por la primera parte que

∫G f dµ ≥

∫g ε1u = εµ(U) > 0.

b) Si G es compacto entonces µ(G) es finita por ser µ medida de Radon.La otra implicacion vamos a probarla demostrando la implicacion contrarrecıproca.

Supongamos que G no es compacto. Como G es localmente compacto, existe K ⊆ Gentorno compacto de 1. Entonces G no puede ser cubierto por finitas traslaciones de Ky, por lo tanto, existe una sucesion {xn}n∈N tal que para todo n,

xn /∈⋃i<n

xiK. (1)

Por la Proposicion 2.2.1, existe U entorno simetrico de 1 tal que U ·U ⊆ K. Notemos quesi n y m son numeros naturales distintos, entonces xnU ∩xmU = ∅. En efecto, podemossuponer quem > n y que tenemos elementos un, um ∈ U tales que xnun = xmum. Comounu

−1m ∈ U · U−1 = U · U ⊆ K, entonces xm = xnunu

−1m ∈ xnK, lo cual contradice (1).

La contradiccion provino de suponer que xnU ∩ xmU 6= ∅; luego {xnU : n ∈ N} es una


familia de abiertos disjuntos dos a dos. Como µ(xnU) = µ(U) para todo n, concluimosque µ(G) =∞.

c) Por la Proposicion 2.4.6 la medida µH es de Radon. Ademas es claro que es unamedida invariante. Lo unico que restarıa chequear es que sea no nula, pero esto esinmediato de a).

El siguiente teorema es de central importancia. La demostracion nos desviarıa bas-tante del objetivo de nuestro trabajo. Puede encontrarse, por ejemplo, en [RV99, Teore-ma 1-8] o [Fol16, Teoremas 2.10 y 2.20].

Teorema 4.1.5. Sea G un grupo localmente compacto. Entonces G tiene una medida de Haar.Esta medida es unica salvo multiplos escalares positivos.

En consecuencia, si K ⊆ G es un entorno compacto y α es un numero real positivo,existe una unica medida de Haar en G tal que µ(K) = α.

Proposicion 4.1.6. Sean G un grupo localmente compacto y µ una medida de Haar en G.Entonces para toda funcion f : G→ C tal que existe

∫G f dµ se tiene que:∫

Gf(x) dµ(x) =

∫Gf(x−1

)dµ(x).

Demostracion. Consideramos la funcion de conjuntos µ′ : BG → [0,+∞], definida porµ′(E) = µ

(E−1

). Como x 7→ x−1 es un automorfismo de G, entonces µ′ es una medida

de Haar en G y ∫Gf(x) dµ′(x) =

∫Gf(x−1

)dµ(x),

para toda funcion f : G → C tal que exista∫G f dµ. Basta probar entonces que µ′ = µ.

Por el Teorema 4.1.5, existe α ∈ R>0 tal que µ′ = αµ. Por la Proposicion 2.2.1 y por serGgrupo localmente compacto, existe V ⊆ G entorno abierto de 1, simetrico y de medidafinita. Luego,

µ(V ) = µ(V −1) = µ′(V ) = αµ(V ),

y como µ(V ) > 0 (Proposicion 4.1.4 a)), concluimos que α = 1 y µ′ = µ.

Teorema 4.1.7 (Formula de la integral del cociente). Sea G un grupo localmente compactoy sea H un subgrupo cerrado. Dadas medidas de Haar en G y en H , existe una unica medida deHaar ν en G/H tal que ∫

Gf(x) dx =

∫G/H

∫Hf(xh) dh dν(x). (4.1.8)

para toda funcion f ∈ L1(G).

Demostracion. Ver [DE14, Teorema 1.5.3] en el caso particular que G sea un grupo abe-liano.


Observacion 4.1.9. Notar que la funcionG 3 x 7→∫H f(xh)dh es constante sobre las coclases

gH . En efecto, si x, x′ ∈ G son tales que xH = x′H entonces∫Hf(x′h)dh =

∫Hf((xx′−1)x′h)dh =

∫Hf(xh)dh,

por la invarianza de la medida de H .

Corolario 4.1.10. Con las hipotesis del Teorema 4.1.7 y la condicion adicional de que G es σ-finito, la formula (4.1.8) vale para toda funcion medible f tal que exista la integral

∫G f(x) dx

(pudiendo tomar la integral los valores +∞ y −∞). En particular, vale para toda funcion me-dible f : G→ [0,+∞].

Demostracion. Sea ν la medida enG/H del Teorema 4.1.7. Basta probar la formula (4.1.8)en el caso particular del enunciado.

Sea f : G → [0,+∞] una funcion medible. Si∫G f es finita, sabemos que la formula

vale por el Teorema 4.1.7. Supongamos que∫G f = +∞, debemos ver que la integral

de la derecha de (4.1.8) tambien es igual a +∞. Sea (An)n∈N una sucesion creciente deconjuntos medibles de medida finita tal que f−1((0,+∞]) = ∪n∈NAn. Para cada n ∈ N,sea fn la funcion definida en G por fn(x) = mın{|f(x)|1An(x), n}. Es claro que (fn)n∈Nes una sucesion creciente de funciones integrables no negativas que converge en todopunto a f . Entonces por (4.1.8) para todo n ∈ N,∫

Gfn(x) dx =

∫G/H

∫Hfn(xh) dh dν(x) ≤

∫G/H

∫Hf(xh) dh dν(x),

y del Teorema de convergencia monotona se sigue que∫G/H

∫H f(xh) dh dν(x) = +∞.

Medida de Haar en el producto restringido de grupos

Nuestro objetivo es construir medidas de Haar en A y A× a partir de las medidasque tomemos en Qp y Q×p . Puesto que ambos casos son ejemplos de producto restringi-do de grupos, procedemos a hacer la construccion en el caso de grupos abstractos, paramas adelante especializar al caso de los adeles e ideles.

Proposicion 4.1.11. Sean G1, . . . , Gn grupos localmente compactos que verifican el segundoaxioma de numerabilidad. Para cada 1 ≤ i ≤ n, sea µi una medida de Haar en Gi. Entoncesµ =×n

i=1 µi es una medida de Haar en∏ni=1Gi.

Demostracion. Se sigue facilmente de la Proposicion 2.4.10.

Sea {Gi}i∈I una familia de grupos localmente compactos que verifican el segundoaxioma de numerabilidad. Supongamos que para cada i ∈ I , tenemos un subgrupoabierto Hi ⊆ Gi. Supongamos ademas que Hi es compacto para casi todo i. Denotemoscon I∞ al conjunto

I∞ = {i ∈ I : Hi no es compacto}.


Tenemos que I∞ es un subconjunto finito de I y, por la Proposicion 3.2.10, el grupotopologico G =

∏′i∈I Gi es localmente compacto.

Sea para cada i ∈ I , µi una medida de Haar enGi, de modo que µi(Hi) = 1 para todoi /∈ I∞. Para cada i /∈ I∞, sea µHi la medida µi restringida a Hi. Si S es un subconjuntode ındices finito tal que S ⊇ I∞, consideramos en el subgrupo GS la medida producto(ver Teorema 2.4.12),

µS =

(×i∈S

µi

)×

(×i/∈S

µHi

).

Es inmediato de la Proposicion 4.1.4 c) y la Proposicion 4.1.11 que µS es medida deHaar.

Teorema 4.1.12. Existe una unica medida de Haar µ en G tal que para todo subconjunto deındices finito S ⊇ I∞, la medida inducida por µ en GS es µS .

Demostracion. Para cada i ∈ I∞ tomemos un entorno compacto Ki ⊆ Gi. Sean

K =∏i∈I∞

Ki ×∏i/∈I∞

Hi,

y α =∏i∈I∞ µi(Ki) ∈ (0,+∞). Como K ⊆ GI∞ , de la Proposicion 3.2.3 se sigue que K

es un entorno compacto de G. Por el teorema 4.1.5, existe una unica medida de Haar µen G tal que µ(K) = α.

Supongamos que S es un subconjunto de ındices finito que contiene a I∞ y sea µGSla medida inducida por µ en GS . Como GS es un subgrupo abierto de G, por la Propo-sicion 4.1.4 c), la medida µGS es una medida de Haar en GS . Es claro que µS(K) = α,luego µS y µGS son dos medidas de Haar en GS que coinciden en el entorno compactoK. Por el Teorema 4.1.5 tenemos que µGS = µS , es decir, la medida inducida por µ enGS es µS .

Por otro lado, si ν es una medida de Haar en G tal que la medida inducida en GI∞es µI∞ , debe ocurrir que ν(K) = µI∞(K) = α y por lo tanto ν = µ.

A la medida µ la llamamos medida de Haar en G inducida por {µi}i∈I .

Proposicion 4.1.13. Supongamos que I es un conjunto contable.

a) Sea f : G→ C una funcion medible tal que existe∫G f dµ. Entonces∫

Gf dµ = lım

S

∫GS

f |GS dµS . (4.1.14)

b) Sea S0 un subconjunto finito de I tal que S0 ⊇ I∞, y supongamos que para cada i ∈ Itenemos una funcion fi ∈ L1(Gi) continua tal que fi|Hi ≡ 1 si i /∈ S0. Para cada g ∈ G,sea f(g) =

∏i∈I fi(gi). Entonces f es una funcion continua en G. Ademas se tiene que∫

G|f | dµ =

∏i∈I

(∫Gi

|fi| dµi), (4.1.15)


y si f ∈ L1(G) vale que ∫Gf dµ =

∏i∈I

(∫Gi

fi dµi

). (4.1.16)

Demostracion. a) Basta probarlo para una funcion f : G → R≥0 medible. Tomemos{Sn}n∈N una familia de subconjuntos finitos de I creciente cuya union sea I . Conside-remos para cada natural n la funcion fn = f 1GSn . Se tiene que (fn)n∈N es una sucesioncreciente de funciones no negativas y entonces por el Teorema de convergencia monoto-na, ∫

Gf dµ = lım

n→∞

∫Gfn dµ. (1)

Por la Observacion 2.4.2, si T ⊆ I es finito∫Gf 1GT dµ =

∫GT

f |GT dµT , (2)

y por lo tanto podemos reescribir el lado derecho de (1), obteniendo que∫Gf dµ = lım

n→∞

∫GSn

fn|GSn dµSn . (3)

En el caso que f /∈ L1(G), tenemos que lımn→∞∫GSn

fn|GSn dµSn = +∞ y por lo tantolımS

∫GS

f |GS dµS = +∞ y vale (4.1.14).Supongamos ahora que f ∈ L1(G). Dado ε > 0, queremos probar que existe S0

subconjunto finito de I tal que si S ⊇ S0, entonces∣∣∣∫G f dµ− ∫GS f |GS dµS∣∣∣ < ε. De (3)

y al ser f una funcion no negativa, tenemos que existe n0 ∈ N tal que

0 ≤∫Gf dµ−

∫Gn0

fn0 |GSn0 dµ < ε. (4)

Si S ⊆ I es un conjunto finito que contiene a Sn0 , aplicando (2) y por (4) se tiene que

0 ≤∫Gf dµ−

∫GS

f |GS dµS < ε+

(∫GSn0

f |GSn0 dµSn0 −∫GS

f |GS dµS

)< ε.

b) Para ver que f es continua, basta ver que f |U es continua para todo abierto basicoU ⊆ G. Supongamos que T ⊆ I es un conjunto finito y sea U =

∏i∈T Ui×

∏i/∈T Hi, con

Ui ⊆ Gi abierto para todo i ∈ T . Es claro que f |U =∏i∈T∪S0

(fi ◦ πi), donde πi : G→ Gies la proyeccion canonica, de modo que f |U es continua por ser un producto finito defunciones continuas.

Tomemos S un subconjunto de I finito que contenga a S0. Afirmamos que f |GS estaen L1(GS) y que ∫

GS

f |GS dµS =∏i∈S

(∫Gi

fi dµi

). (5)

70 4.2. MEDIDAS DE HAAR GLOBALES Y LOCALES

Esta igualdad sera consecuencia del Teorema de Fubini-Tonelli para la funcion f |GS , porlo que primero debemos chequear que f |GS ∈ L1(GS). Si i /∈ S0 tenemos que fi|Hi ≡ 1 yµi(Hi) = 1 y por lo tanto, por el Teorema de Fubini-Tonelli para funciones no negativas,∫

GS

|f |GS | dµS =

(∫∏i∈S Gi

(∏i∈S|fi|

)d

(×i∈S

µi

))(×i/∈S

µHi

(∏i/∈S

Hi

))

=

∫∏i∈S Gi

(∏i∈S|fi|

)d

(×i∈S

µi

)=∏i∈S

(∫Gi

|fi| dµi)< +∞.

Luego f |GS ∈ L1 (GS), y entonces por el Teorema de Fubini-Tonelli y una cuenta identi-ca a la anterior (pero con la funcion f |GS en lugar de |f |GS |), obtenemos (5).

Por (4.1.14) y (5) tenemos que∫G|f | dµ = lım

S

∫GS

|f |GS | dµS = lımS

∏i∈S

(∫Gi

|fi| dµi)

=∏i∈I

(∫Gi

|fi| dµi).

Si f ∈ L1(G), en particular existe∫G f dµ y por lo tanto podemos usar de nuevo (4.1.14)

y (5) (con f en lugar de |f |), obteniendo (4.1.16).

4.2. Medidas de Haar globales y locales

Medida de Haar en los numeros p-adicos

Sea p ∈ P ′. Consideremos los grupos localmente compactos Qp y Q×p . ¿Hay algunamanera de relacionar una medida de Haar del grupo aditivo con una medida de Haardel grupo multiplicativo? Vamos a responder esto en esta seccion.

Nos va a ser util fijar la medida de Haar en el grupo Qp bajo una condicion denormalizacion para no arrastrar constantes innecesarias. En el caso p = ∞, tomamosµ∞ como la medida de Haar en R tal que µ∞ ([0, 1]) = 1; es decir, la medida de Lebesgueusual en R. Para p ∈ P , tomamos µp como la medida de Haar en Qp tal que µp(Zp) = 1.

Lema 4.2.1. Supongamos que p ∈ P , y sea a ∈ Zp no nulo. Entonces Zp/aZp tiene |a|−1p

elementos.

Demostracion. Sea n = νp(a). Existe u ∈ Z×p tal que a = pnu y por lo tanto aZp = pnZp.Como |a|−1

p = pn, solo restarıa ver que Zp/pnZp tiene pn elementos. Pero esto ya losabemos pues Zp/pnZp ∼= Z/pnZ.

Proposicion 4.2.2. Sea a ∈ Q×p . Entonces para todo E boreliano de Qp,

µp(aE) = |a|pµp(E). (4.2.3)

Mas aun, si f ∈ L1(Qp) se tiene que∫Qpf(ax) dµp(x) = |a|−1

p

∫Qpf(x) dµp(x). (4.2.4)


Demostracion. Si p = ∞ lo sabemos por la teorıa de Lebesgue en R. Podemos asumirentonces que p ∈ P .

Supongamos primero que a ∈ Zp\{0}. Sea B el σ-algebra de Borel de Qp y sea ν lafuncion definida en B por ν(E) = µp(aE). Dado que x 7→ ax es un automorfismo delgrupo topologico Qp, se tiene que ν es una medida de Haar en (Qp,+). Por el Teorema4.1.5, existe c > 0 tal que ν = cµp. Es decir que para todo boreliano E,

µp(aE) = c µp(E).

Tomando entonces E = Zp, obtenemos que c = µp(aZp). Sea m = |a|−1p . Por el Lema

4.2.1 existen x1, . . . , xm ∈ Zp tales que

Zp =m⊔i=1

(xi + aZp) .

Al ser µp invariante, esta ultima ecuacion implica que 1 = mµp(aZp). Concluimos en-tonces que c = |a|p, como querıamos ver.

En el caso que a no sea un entero p-adico, la ecuacion (4.2.3) es inmediata del casoanterior y de que a−1 ∈ Zp\{0}.

La ecuacion (4.2.4) se deduce facilmente de (4.2.3), demostrandola primero para fun-ciones simples, luego para medibles no negativas y, finalmente, generalizandola parafunciones de L1(Qp).

Denotemos con B× a la σ-algebra de conjuntos borelianos de Q×p . Definimos la fun-cion µ×p : B× → [0,+∞] como

µ×p (E) = cp

∫E

dµp(x)

|x|p, (4.2.5)

donde cp es una constante positiva que mas adelante fijaremos. Es claro que µ×p es unamedida boreliana en B×.

Proposicion 4.2.6. La medida µ×p es una medida de Haar en (Q×p , ·). Ademas, si f : Q×p → Ces una funcion medible tal que existe

∫Q×p f dµ

×p entonces∫

Q×pf(x) dµ×p (x) = cp

∫Q×p

f(x)

|x|pdµp(x). (4.2.7)

Demostracion. Podemos suponer que cp = 1. Si K ⊆ Q×p es un compacto, al ser lafuncion x 7→ 1/|x|p una funcion continua, existe M > 0 tal que 1

|x|p≤ M para todo

x ∈ K. Se tiene entonces que µ×p (K) ≤ Mµp(K) y por lo tanto, la medida µ×p es finitasobre compactos.

Como Qp cumple el segundo axioma de numerabilidad (Teorema 3.1.9), por el Teo-rema 2.4.4 tenemos que µ×p es una medida de Radon.

72 4.2. MEDIDAS DE HAAR GLOBALES Y LOCALES

Para ver que vale la ecuacion (4.2.7) para toda funcion f : Q×p → C como en lahipotesis, basta probarlo para toda f : Q×p → [0,+∞] medible. Esto es una consecuenciainmediata de la Proposicion 2.4.3.

Resta ver que µ×p es invariante. Para ello, por la Proposicion 4.1.1 basta comprobarque: si f ∈ C +

c (Q×p ) y a ∈ Q×p entonces∫Q×p

τaf dµ×p =

∫Q×p

f dµ×p .

Esta ultima igualdad se obtiene facilmente de (4.2.7) y de la Proposicion 4.2.2.

Si p = ∞, tomamos cp = 1. Si p ∈ P , tomamos cp de modo que µ×p (Z×p ) = 1.Calculemos explıcitamente cp. Notemos que tomando E = Z×p en (4.2.5), la condicionpedida se transforma en

cp =(µp(Z×p))−1

.

Entonces el problema se reduce a calcular µp(Z×p). Siguiendo la misma idea que en

(3.1.21), tenemos la siguiente igualdad de conjuntos:

Zp = {0} t⊔m∈N0

pmZ×p . (4.2.8)

Notemos que los puntos de Qp tienen medida nula (Observacion 4.1.3). Luego, por(4.2.3) obtenemos de (4.2.8) que 1 =

∑m≥0 p

−mµp(Z×p), y por lo tanto 1−p−1 = µp

(Z×p).

De modo que el valor buscado es:

cp =1

1− p−1.

Proposicion 4.2.9. Sea p ∈ P . Si n ∈ N, se tiene que

µ×p (Up(pn)) = p1−n(p− 1)−1. (4.2.10)

Demostracion. Por la Proposicion 3.1.28 podemos escribir

Z×p =

ϕ(pn)⊔i=1

αiUp(pn),

para ciertos α1, . . . , αϕ(pn), donde ϕ es la funcion de Euler. Entonces por la invarianciade µ×p resulta que

1 =

ϕ(pn)∑i=1

µ×p (αiUp(pn)) =

ϕ(pn)∑i=1

µ×p (Up(pn)) = ϕ(pn)µ×p (Up(p

n)) ,

de donde se obtiene (4.2.10).


Medida de Haar en los adeles e ideles

Para cada p ∈ P ′, se considera la medida de Haar µp de Qp definida en la subseccionanterior. Si p ∈ P , consideramos el subgrupo abierto Hp = Zp ⊆ Qp; y si p = ∞,consideramos H∞ = R. Fijamos en A la medida de Haar µ que nos brinda el Teorema4.1.12.

Hacemos lo mismo en A×, consideramos para cada p ∈ P ′ la medida de Haar µ×p deQ×p definida en la subseccion anterior. Consideramos los subgrupos H×p ⊆ Q×p elegidosde forma analoga. Denotemos con µ× a la medida de Haar en A× obtenida del Teorema4.1.12.

Proposicion 4.2.11. Se tiene que µ×(A1) = 0.

Demostracion. Recordemos que denotamos K al conjunto∏p∈P Zp. Como A1 = Q×K

(Teorema 3.3.12), basta ver que µ×(K) = 0. En efecto, por (2.4.13) tenemos que

µ×(K) = µ×

{1} ×∏p∈P

Z×p

= 0 · 1 = 0.

4.3. Transformada de Fourier

Sea G grupo abeliano localmente compacto y sea µ una medida de Haar en G. Seaf ∈ L1(G). Se define la transformada de Fourier de f , y la denotaremos como f o tambiencomo F(f), a la funcion f : G→ C definida como

f(χ) = F(f)(χ) =

∫Gf(g)χ(g) dµ(g).

Claramente F : L1(G)→ L∞(G) es un operador lineal.Al igual que en el caso clasico (G = R), la definicion puede extenderse, por densidad

deL1(G)∩L2(G), aL2(G). Nosotros vamos a adoptar otro enfoque en los grupos con losque trabajaremos, que tambien se usa en el caso clasico, el cual consiste en considerarla transformada en el espacio de Schwartz, y a partir de allı extenderla a L2(G).

Espacio de Schwartz-Bruhat

Si G = Q∞ = R, el espacio de Schwartz-Bruhat S(R) se define como el conjuntode todas las funciones f : R→ C que son infinitamente diferenciables y tales que paratodo par de enteros n,m ∈ N0, la funcion xnDmf esta acotada. Es decir, el espacio deSchwartz clasico.

Si G = Qp con p primo, el espacio de Schwartz-Bruhat S(Qp) es el conjunto de todaslas funciones f : Qp → C localmente constantes y de soporte compacto. ClaramenteS(Qp) ⊆ Cc(Qp); en particular, las funciones de S(Qp) estan en L1(Qp).

74 4.3. TRANSFORMADA DE FOURIER

Si G = A, el espacio de Schwartz-Bruhat S(A) es el conjunto de las combinacioneslineales de funciones de la forma

f(x) =∏p∈P ′

fp(xp),

donde fp ∈ S(Qp) para todo p ∈ P ′ y fp = 1Zp para casi todo p ∈ P .

Transformada de Fourier en Qp

Por lo que vimos en 3.4 “Caracteres de Qp”, vıa el isomorfismo Ψp podemos iden-tificar Qp con Qp. Con esta identificacion, si f ∈ L1(Qp) entonces la transformada de festa dada por

f(x) =

∫Qpf(y) (ep)−x (y) dy,

si x ∈ Qp.Notemos que con esta misma identificacion, si f ∈ L1(Qp) entonces podemos con-

siderar f : Qp → C.En el caso p =∞, obtenemos que la transformada de f viene dada por

f(x) =

∫Rf(y)e−2πixy dy,

que coincide con la transformada de Fourier clasica que consideramos en (1.4.1). Sabe-mos en este caso que si f ∈ S(R), entonces

f (x) = f(−x) (4.3.1)

para todo x ∈ R (ver por ejemplo [Fol99, Seccion 8.3]). A la igualdad (4.3.1) la lla-maremos formula de inversion. Mas adelante enunciaremos, en el Teorema 4.3.19, quela formula de inversion vale en grupos localmente compactos con hipotesis mınimassobre f ; no lo demostraremos con tal generalidad, sino algunos casos particulares.

En esta subseccion vamos a probar que la formula de inversion es valida para f ∈S(Qp) con p finito.

Observacion 4.3.2. Sea f ∈ S(Qp). Sea i el automorfismo de Qp dado por i(x) = −x. Comoconsecuencia inmediata de la Proposicion 4.1.6 se tiene que

f ◦ i = f ◦ i.

En lo que resta de la subseccion, supondremos que p es finito.

Proposicion 4.3.3. Sea f ∈ S(Qp). Existen n ∈ N0, a1, . . . , an ∈ Qp, k1, . . . , kn ∈ Z yλ1, . . . , λn ∈ C× tales que

f =

n∑i=1

λi 1ai+pkiZp . (4.3.4)


Demostracion. Como f es localmente constante, el conjunto f−1({0}) es abierto y por lotanto el soporte de f es K = {x ∈ Qp : f(x) 6= 0}. Para cada a ∈ K existe ka ∈ Z talque f es constante en B(a, p−ka). Tomemos n ∈ N0 y a1, . . . , an ∈ Qp, tales que K ⊆∪ni=1B(ai, p

−ki), donde ki = kai para todo 1 ≤ i ≤ n. Por la Proposicion 3.1.14 podemossuponer que estas bolas son disjuntas. Ademas si 1 ≤ i ≤ n, por ser f constante enB(ai, p

−ki), tenemos que B(ai, p−ki) ⊆ K. Luego

K =n⊔i=1

B(ai, p−ki) =

n⊔i=1

(ai + pkiZp

). (1)

Si consideramos para 1 ≤ i ≤ n, el numero λi = f(ai), es claro de (1) la igualdad(4.3.4).

Lema 4.3.5. Sea K grupo compacto y sea µ una medida de Haar en K. Supongamos que χ esun caracer de K. Entonces ∫

Kχdµ =

{µ(K), si χ ≡ 1;

0, si χ 6≡ 1.

Demostracion. Si χ ≡ 1, la igualdad es trivial. Supongamos que χ 6≡ 1. Sea k0 ∈ K talque χ(k0) 6= 1. Luego al ser µ invariante,

χ(k0)

∫Kχ(y) dµ(y) =

∫Kχ(k0y) dµ(y) =

∫Kχ(y) dµ(y),

y por lo tanto (1− χ(k0))∫K χdµ = 0. Concluimos que

∫K χdµ = 0.

Lema 4.3.6. Se verifica que1Zp = 1Zp .

Demostracion. Si x ∈ Qp por el Lema 4.3.5,

1Zp(x) =

∫Qp

1Zp(y) (ep)−x (y) dy =

∫Zp

(ep)−x (y) dy

=

{µp(Zp), si (ep)−x es trivial en Zp;0, si (ep)−x no es trivial en Zp.

Puesto que µp(Zp) = 1, podemos escribir

1Zp(x) = 1Z⊥p((ep)−x

).

Puesto que el nucleo de ep es Zp, el caracter (ep)−x esta en Z⊥p si y solo si −xy esta enZp para todo y ∈ Zp. Como esto ultimo es equivalente a que x sea un entero p-adico,obtenemos la igualdad que querıamos probar.


Imitando la notacion que utilizamos en la Seccion 2.3 para caracteres, en los restan-tes resultados de esta subseccion utilizaremos la siguiente notacion: si a ∈ Qp y f esuna funcion definida en Qp, denotamos (f)a a la funcion

(f)a(x) = f(ax),

para x ∈ Qp. Si a 6= 0, no confundir con la funcion τa−1(f) definida en (2.1.1)1.

Lema 4.3.7. Sea f ∈ S (Qp) y sean a ∈ Qp y λ ∈ Q×p . Entonces τa(f), f · (ep)a y fλ estan enS (Qp) y se tiene que:

a) (τa(f))∧ = f · (ep)−a,

b)(f · (ep)a

)∧= τa

(f)

,

c) fλ = |λ|−1p

(f)λ−1

.

Demostracion. Como x 7→ x− a y x 7→ λx son automorfismos de Qp, tenemos que τa(f)y fλ estan en S(Qp). Veamos ahora que f · (ep)a ∈ S(Qp).

Podemos suponer que a es no nulo pues en caso contrario (ep)a es el caracter trivial yno hay nada que hacer. Como x 7→ ax es automorfismo, se tiene que (ep)a es localmenteconstante si y solo si ep es localmente constante. Como e−1

p ({1}) = Zp es un abiertode Qp y ep es un morfismo, para todo w ∈ C se tiene que e−1

p ({w}) es un abierto deQp. Por lo tanto ep es localmente constante, y en consecuencia (ep)a tambien. Tenemosluego que f · (ep)a es localmente constante, y al ser f una funcion de soporte compacto,concluimos que f · (ep)a tambien es de soporte compacto y f · (ep)a ∈ S(Qp).

Las formulas de transformacion se obtienen de cuentas sencillas; probemos porejemplo c). Sea x ∈ Qp. Entonces

fλ (x) =

∫Qpf(λy) (ep)x(y) dy =

∫Qpf(λy) (ep)xλ−1(λy) dy,

que por la Proposicion 4.2.2 es igual a

|λ|−1p

∫Qpf(y) (ep)xλ−1(y) dy = |λ|−1

p f(xλ−1) = |λ|−1p

(f)λ−1

(x).

Observacion 4.3.8. El Lema 4.3.7 es valido en el caso p = ∞. Las demostraciones de lasformulas a), b) y c) son formalmente las mismas.

Lema 4.3.9. Sean a ∈ Qp y k ∈ Z. Entonces(1a+pkZp

)∧= p−k

(1Zp)pk· (ep)−a .

1Recordar que se utilizaba notacion multiplicativa para la operacion del grupo. En este caso, es decirdonde el grupo es Qp, la funcion trasladada esta dada por τa(f)(x) = f(x− a).


Demostracion. Sea x ∈ Qp. Entonces x esta en a+ pkZp si y solo si p−k(x− a) esta en Zp,por lo tanto tenemos que

1a+pkZp(x) = 1Zp

(p−k(x− a)

)= τa

((1Zp)p−k

)(x).

Como x era arbitrario, tenemos que 1a+pkZp = τa

((1Zp)p−k

). Luego aplicando las

formulas del Lema 4.3.7, obtenemos que(1a+pkZp

)∧=(τa

((1Zp)p−k

))∧=((

1Zp)p−k

)∧· (ep)−a = |p−k|−1

p

(1Zp

)pk· (ep)−a .

Puesto que |p−k|−1p = p−k, concluimos por el Lema 4.3.6 que vale la igualdad que se

querıa verificar.

Estamos en condiciones de probar la formula de inversion para funciones de S(Qp).

Corolario 4.3.10. Si f ∈ S(Qp), entonces f ∈ S(Qp).

Demostracion. Es inmediato de la Proposicion 4.3.3 y de los lemas 4.3.7 y 4.3.9.

Teorema 4.3.11. Sea f ∈ S(Qp). Entonces para todo x ∈ Qp se tiene que

f (x) = f(−x). (4.3.12)

Demostracion. Por la linealidad de la Transformada de Fourier y por la Proposicion4.3.3, basta ver el caso en que f es de la forma f = 1a+pkZp , con a ∈ Qp y k ∈ Z.En este caso, por el Lema 4.3.9, linealidad y las formulas del Lema 4.3.7, se tiene que

1a+pkZp = p−k

[(1Zp)pk· (ep)−a

]∧= p−k τ−a

((1Zp)pk) = p−k τ−a

(|pk|−1

p

(1Zp

)p−k

)= τ−a

((1Zp)p−k

).

Y por lo tanto, para cada x ∈ Qp se tiene que

1a+pkZp(x) =

((1Zp)p−k

)(x+ a) =

(1Zp) (p−k(x+ a)

)= 1pkZp (x+ a) . (1)

Como pkZp es un subgrupo de Qp, el elemento x+a esta en pkZp si y solo si el elemento−(x+ a) esta en Zp, y por lo tanto

1pkZp (x+ a) = 1pkZp (−(x+ a)) = 1a+pkZp (−x) . (2)

De (1) y (2) se concluye que

1a+pkZp(x) = 1a+pkZp (−x) ,

como se querıa ver.


Este resultado puede extenderse a funciones de L2(Qp), donde la igualdad de la for-mula de inversion debe interpretarse como igualdad de clases de funciones de L2(Qp).No lo vamos a hacer porque nos desvıa de nuestro objetivo, pero esbozamos a conti-nuacion un modo de hacerlo. Puede probarse que S(Qp) es denso en Cc(Qp). Entonces,por la Proposicion 2.4.7, se tiene que S(Qp) es denso en L2(Qp). Una cuenta no muycomplicada demuestra que F : S(Qp)→ S(Qp) preserva la norma de L2(Qp), y de estoes facil ver que F puede extenderse a L2(Qp) y que dicha extension preserva la norma.

Transformada de Fourier en A

Por lo que vimos en 3.4 “Caracteres adelicos”, vıa el isomorfismo Ψ podemos iden-tificar A con A. Con esta identificacion, si f ∈ L1(A) entonces la transformada de f estadada por

f(x) =

∫Af(y) e−x(y) dy,

si x ∈ A.Nuestro objetivo en esta subseccion es probar que la formula (4.3.1) es valida para

f ∈ S(A). Por supuesto que para ello primero debemos comprobar que las funcionesde S(A) son integrables.

Lema 4.3.13. Sea f ∈ S(A), entonces f ∈ L1(A).

Demostracion. Se puede suponer que f es de la forma f =∏p∈P ′ fp, donde fp ∈ S(Qp)

para todo p ∈ P ′ y fp = 1Zp para casi todo p ∈ P . Tenemos entonces que |f | es de laforma

∏p∈P ′ |fp|, con |fp| ∈ L1(Qp) para todo p ∈ P ′ y que existe S subconjunto finito

de P ′ que contiene a {∞} tal que |fp| = 1Zp para todo p /∈ S. Luego, por la Proposicion4.1.13 b), ∫

A|f | dµ =

∏p∈S

(∫Qp|fp| dµp

)< +∞.

Proposicion 4.3.14. Sea f =∏p∈P ′ fp, donde fp ∈ S(Qp) para todo p ∈ P ′ y fp = 1Zp para

casi todo p ∈ P . Entoncesf =

∏p∈P ′

fp. (4.3.15)

En particular f ∈ S(A).

Demostracion. Sea x ∈ A. Como fp = 1Zp para casi todo p ∈ P , por el Lema 4.3.6tenemos que fp = 1Zp para casi todo p ∈ P . Por lo tanto fp(xp) = 1 salvo finitos p y ellado derecho de (4.3.15) evaluado en x es un producto finito.

Para probar la igualdad vamos a utilizar la Proposicion 4.1.13 b), verifiquemos en-tonces las hipotesis. Por el Lema 4.3.7 se tiene que fp · (ep)−xp ∈ S(Qp) para todo p.Ademas, puesto que ker ep = Zp para todo p ∈ P , se verifica que fp · (ep)−xp = 1Zp para


casi todo p ∈ P ′. Finalmente, como f ·e−x =∏p∈P ′ fp ·(ep)−xp esta en L1(A), obtenemos

de la Proposicion 4.1.13 b) que∫Af · e−x dµ =

∏p∈P ′

(∫Qpfp · (ep)−xp dµp

). (1)

El lado izquierdo de (1) es f(x) y el lado derecho es∏p∈P ′ fp(xp). Al ser x un adele

arbitrario, esto concluye la demostracion.

Teorema 4.3.16. Sea f ∈ S(A). Entonces para todo x ∈ A se tiene quef (x) = f(−x).

Demostracion. Por la linealidad basta ver la igualdad para f de la forma∏p∈P ′ fp, donde

fp ∈ S(Qp) para todo p ∈ P ′ y fp = 1Zp para casi todo p ∈ P . Pero este caso es unaconsecuencia inmediata de la Proposicion 4.3.14 y del Teorema 4.3.11.

De la Proposicion 4.3.14 (y el Lema 4.3.7 c) y la Observacion 4.3.8) tambien se deduceel siguiente resultado que nos sera util mas adelante.

Proposicion 4.3.17. Sean f ∈ S(A) y a ∈ A×. Si fa es la funcion en A dada por fa(x) =f(ax), entonces

fa = ‖a‖−1(f)a−1

.

Formula de inversion

Sea G grupo localmente compacto y sea µ una medida de Haar en G.

Teorema 4.3.18 (Teorema de Plancherel). Existe una unica medida de Haar en G, denomi-nada medida de Plancherel, tal que para toda funcion f ∈ L1(G) ∩ L2(G) se verifica que‖f‖L2(G) = ‖f‖

L2(G).

Demostracion. Ver [DE14, Teorema 3.4.8]

Teorema 4.3.19 (Formula de inversion). Se considera G con la medida de Plancherel. Sea

f ∈ L1(G) tal que f ∈ L1(G). Entonces f es una funcion continua y para casi todo x ∈ G setiene que

f(ev(x−1

))= f(x),

donde ev es la aplicacion de Pontryagin. En particular, si ademas f es continua, la igualdad valepara todo x ∈ G.

Demostracion. Ver [DE14, Teorema 3.5.8].

Corolario 4.3.20. Para toda medida de Haar en G existe una constante positiva C, tal que paratoda funcion f como en las hipotesis del teorema se tiene que

Cf(ev(x−1

))= f(x).

80 4.4. SUMACION DE POISSON

4.4. Sumacion de Poisson

Vamos a proceder a demostrar la formula de sumacion de Poisson que extiende a lavista en el Teorema 1.4.2 en el caso adelico. Necesitaremos varios resultados previos.

Notemos que por el Teorema 3.4.9 el grupo A/Q es numerable y discreto. Entoncesla medida contante en A/Q es una medida de Haar; fijamos en A/Q dicha medida.

Lema 4.4.1. Sea ν una medida de Haar en A/Q. Entonces la constante del Corolario 4.3.20 es

C =1

ν(A/Q).

Demostracion. Sea χ0 el caracter trivial de A/Q. Como A/Q es compacto, entonces χ0 esintegrable. Tenemos que si χ ∈ A/Q,

χ0(χ) =

∫A/Q

χ0(x)χ(x) dν(x) =

∫A/Q

χ(x) dν(x).

Luego por el Lema 4.3.5,χ0 = ν(A/Q)1{χ0}.

En particular, la funcion χ0 esta en L1(A/Q

)y entonces podemos aplicar el Colorario

4.3.20, obteniendo que

1 = χ0(x) = C χ0 (−x) = C∑

χ∈A/Q

ν(A/Q)1{χ0}(χ)(ev(−x)) (χ)

= Cν(A/Q)(ev(−x)) (χ0) = Cν(A/Q).

Proposicion 4.4.2 (Desarrollo en serie de Fourier). Sea ν una medida de Haar en A/Q ysea F : A/Q→ C una funcion continua tal que F ∈ L1(A/Q). Entonces

F (x) =1

ν(A/Q)

∑χ∈A/Q

F (χ)χ(x),

para todo x ∈ A/Q.

Demostracion. Como A/Q es compacto y F es una funcion continua, se tiene que F esintegrable. Si x ∈ A/Q, por el Corolario 4.3.20 y el Lema 4.4.1, se tiene que

F (x) =1

ν(A/Q)

∑χ∈A/Q

F (χ)(ev(−x)) (χ) =1

ν(A/Q)

∑χ∈A/Q

F (χ)χ(x).


Este resultado se puede generalizar: reemplazando A por un grupo G localmentecompacto y Q por un subgrupo H cerrado de G tal que G/H es compacto. Por la Pro-posicion 2.3.6, el grupo G/H es discreto, y la misma demostracion se puede repetir.En el caso particular que G = R y H = Z, se obtiene el desarrollo en serie de Fourierclasico.

Lema 4.4.3. Sea f ∈ S(A). La funcion en A dada por

x 7−→∑α∈Q

f(x+ α), (4.4.4)

converge absoluta y uniformemente sobre compactos.

Demostracion. Podemos suponer que f es de la forma f =∏p∈P ′ fp, donde fp = 1Zp

si p /∈ S, con S un subconjunto finito de I que incluye a ∞. Sea K un subconjuntocompacto de A. Agrandando eventualmente S, podemos suponer que K es de la formaK =

∏p∈SKp ×

∏p/∈S Zp.

Sea p ∈ P . Si p ∈ S, como el soporte de fp es compacto, existe lp ∈ N tal que si|α|p > plp entonces fp(xp + α) = 0 para todo xp ∈ Kp. Si p /∈ S, entonces para xp ∈ Zpse tiene que fp(xp + α) = 1Zp(α). Tomando lp = 0 si p /∈ S, consideremos el conjunto Fdado por

F ={α ∈ Q : |α|p ≤ p

lp para todo p ∈ P}.

Sea x ∈ K. Por lo anterior, podemos escribir

|f(x+ α)| =

{∏p∈S |fp(xp + α)|, si α ∈ F ;

0, si no.

Consideremos el numero entero N =∏p∈P p

lp . Tenemos entonces que∑α∈Q|f(x+ α)| =

∑α∈F|f(x+ α)| =

∑m∈Z

∣∣∣f (x+m

N

)∣∣∣ . (1)

Acotemos cada termino de la suma del lado derecho de (1) uniformemente parax ∈ K. Como para todo primo p, la funcion fp es continua de soporte compacto, existeuna constante C1 tal que

∏p∈S∩P |fp| ≤ C1. Ademas al ser f∞ una funcion de Schwartz

en R, existen constantes C2 y C3 tales que |f∞(y)| ≤ C2 y |y2f∞(y)| ≤ C3 para todoy ∈ R. Luego, ∣∣∣f (x+

m

N

)∣∣∣ =∏p∈S

∣∣∣ fp (xp +m

N

)∣∣∣ ≤ C1

∣∣∣ f∞ (x∞ +m

N

)∣∣∣ . (2)

Sea R > 0 tal que K∞ ⊆ [−R,R]. Vamos a separar en dos casos, segun si m/N esta en[−2R, 2R] o no.

Los terminos tales que m/N ∈ [−2R, 2R] no traen mayor complicacion pues sonfinitos; denotemos con M a la cantidad de dichos terminos. En este caso podemos sim-plemente acotar

∣∣f∞ (x∞ + mN

)∣∣ por la constante C2.


Si m/N /∈ [−2R, 2R], como x∞ ∈ [−R,R] y R < |m|/2N , tenemos que∣∣∣x∞ +m

N

∣∣∣ ≥ |m|N− |x∞| >

|m|N− |m|

2N=|m|2N

,

y en consecuencia ∣∣∣f∞ (x∞ +m

N

)∣∣∣ ≤ C3∣∣x∞ + mN

∣∣2 ≤ 4N2C3

m2.

Juntando entonces ambos casos con (2), obtenemos que∣∣f (x+ m

N

)∣∣ ≤ C1C2 sim/N ∈ [−2R, 2R] y

∣∣f (x+ mN

)∣∣ ≤ C14N2C3m2 si m/N /∈ [−2R, 2R]. Como x ∈ K era

arbitrario y la suma

C1C2M +∑

m∈Z\[−2R,2R]

4N2C3

m2

es finita, se concluye de (1) que la funcion de (4.4.4) converge absoluta y uniformementesobre K.

Al ser Q ⊆ A discreto, la medida contante en Q es una medida de Haar. Recordemosademas que, por la Proposicion 2.2.8, es un subgrupo cerrado de A. Por lo tanto, por elTeorema 4.1.7 existe una unica medida de Haar ν en A/Q de forma que vale la Formulade la integral del cociente (4.1.8). De aquı en adelante utilizaremos estas elecciones demedidas.

Teorema 4.4.5 (Formula de sumacion de Poisson).

a) ν(A/Q) = 1.

b) Sea f ∈ S(A). Para todo x ∈ A× se tiene que∑α∈Q

f(αx) =1

‖x‖∑α∈Q

f(α/x). (4.4.6)

Demostracion. Si y ∈ A, denotaremos y a la clase de y en A/Q. Consideremos la funcion

A 3 y 7→∑α∈Q

f(y + α).

Por el Lema 4.4.3 es una funcion continua. Ademas es claro que si y ∈ A, esta funciones constante sobre y. Por lo tanto, si consideramos F : A/Q→ C dada por

F (y) =∑α∈Q

f(y + α),

resulta ser una funcion bien definida y continua de A/Q. La formula de sumacion dePoisson va a resultar ser una consecuencia del desarrollo en serie de Fourier de F ,debemos entonces verificar ademas que F ∈ L1

(A/Q

).


Supongamos que α ∈ Q. Por (4.1.8),

f(α) =

∫Af(y) e−α(y) dy =

∫A/Q

∑β∈Q

f(y + β) e−α(y + β) dν(y). (1)

Como e es un caracter cuyo nucleo contiene a Q, entonces para todo β ∈ Q vale que

e−α(y + β) = e−α(y) = eα(y) = eα(y),

donde eα es el caracter en A/Q inducido por eα. Luego el lado derecho de (1) es igual a

∫A/Q

∑β∈Q

f(y + β)

eα(y)dν(y) =

∫A/Q

F (y)eα(y)dν(y) = F (eα).

Por lo tanto tenemos que para todo α ∈ Q,

f(α) = F (eα). (2)

Por otro lado, como f ∈ S(A) entonces f ∈ S(A). Luego por el Lema 4.4.3,∑α∈Q

∣∣∣f(α)∣∣∣ =

∑α∈Q

∣∣∣F (eα)∣∣∣ (3)

converge. Notemos que el Teorema 3.4.9 nos dice que

A/Q = {eα : α ∈ Q}. (4)

Luego, la igualdad (3) la podemos reescribir como∑α∈Q

∣∣∣f(α)∣∣∣ = ‖F‖

L1(A/Q),

y por lo tanto F ∈ L1(A/Q).Estamos en las hipotesis de la Proposicion 4.4.2 y por lo tanto tenemos que para

todo y ∈ A/Q,

F (y) =1

ν(A/Q)

∑χ∈A/Q

F (χ)χ(y).

Que teniendo en cuenta de nuevo (4), nos dice que

F (y) =1

ν(A/Q)

∑α∈Q

F (eα) eα(y).

Evaluando en y = 0 y usando (2), obtenemos∑α∈Q

f(α) =1

ν(A/Q)

∑α∈Q

f(α). (5)


Aplicando esta ultima igualdad a f , obtenemos por el Teorema 4.3.16,∑α∈Q

f(α) =1

ν(A/Q)

∑α∈Q

f(−α). (6)

De combinar (5) y (6) obtenemos la igualdad∑α∈Q

f(α) =1

ν(A/Q)2

∑α∈Q

f(−α). (7)

la cual implica que ν(A/Q) = 1. En efecto, como la igualdad (7) vale para f ∈ S(A)

arbitraria, se puede tomar la funcion∏p∈P ′ fp, donde fp = 1Zp si p 6=∞ y f∞(x) = e−x

2.

En este caso, las sumas del lado izquierdo y derecho de (7) valen lo mismo, son positivasy finitas, de modo que podemos cancelarlas y concluir que ν(A/Q) = 1.

Para probar b), notemos que volviendo a (5) obtenemos que∑α∈Q

f(α) =∑α∈Q

f(α), (8)

es decir, la igualdad (4.4.6) con x = 1. El caso de un x ∈ A× arbitrario, se deduce rapi-damente de (8) con la funcion fx(y) = f(xy) y utilizando la Proposicion 4.3.17.

Observacion 4.4.7. Sea f∞ ∈ S(R). Si para cada real positivo x∞ se considera el idele x =(x∞, 1, 1, . . . ) y se toma en el Teorema 4.4.5 la funcion f =

∏p∈P ′ fp ∈ S(A), donde fp = 1Zp

para todo p ∈ P ; se recupera el teorema clasico. (Teorema 1.4.2).

Capıtulo 5

Teorıa moderna

5.1. Funciones zeta

Sea χ un caracter del grupo de clases de ideles y sea f ∈ S(A). Para s ∈ C con<s > 1, se considera la funcion zeta (global) de χ y f , definida como

ζ(s, χ, f) =

∫A×

f(x)χ(x)‖x‖s d×x. (5.1.1)

Uno de los primeros que considero funciones zeta de este tipo fue J. Tate en sutesis de doctorado [Tat67]. Cabe mencionar que en dicho trabajo las definio ligeramentedistintas, tomando ζ con parametros c y f , donde c es un cuasi-caracter de A× trivialsobre Q×, y f es una funcion suficientemente buena (las funciones de Schwartz-Bruhatverifican las condiciones requeridas). En esas condiciones definio

ζ(c, f) =

∫A×

f(x)c(x) d×x,

si el exponente de c es mayor a 1. En estos terminos, puede pensarse la funcion ζ(·, f)como una “cuasi-transformada” de Fourier multiplicativa de f . El requerimiento sobreel exponente de c es para asegurar la convergencia de la integral y es equivalente a lacondicion <s > 1. La Proposicion 3.5.6 muestra que nuestro planteo es esencialmente elmismo que el de Tate, pero elegimos nuestro enfoque por ser mas moderno y practico.

Podemos reducir el estudio de ζ(s, χ, f) al caso en que

f =∏p∈P ′

fp con fp ∈ S(Qp) para todo p y fp = 1Zp para casi todo p. (5.1.2)

En dicho caso, formalmente se tiene que

ζ(s, χ, f) =∏p∈P ′

ζp(s, χp, fp), (5.1.3)

85

86 5.2. RESULTADOS LOCALES

donde las funciones ζp se definen de la siguiente manera: dado p ∈ P ′, si χp es uncaracter de Q×p y fp ∈ S(Qp), se considera la funcion zeta (local) de χp y fp, definidacomo

ζp(s, χp, fp) =

∫Q×p

fp(x)χp(x)|x|sp d×x, (5.1.4)

para s ∈ C con <s > 0.Nuestra motivacion de estudiar funciones zeta globales es que resultaran estar ınti-

mamente relacionadas a las funciones L de caracteres del grupo de clase de ideles.Comenzaremos comparando sus componentes locales.

5.2. Resultados locales

Fijemos p ∈ P ′.

Funciones zeta locales

Proposicion 5.2.1. Sean f ∈ S(Qp) y χp ∈ Q×p . Entonces:

a) La integral (5.1.4) es absolutamente convergente si <s > 0.

b) Como funcion de s, ζp(s, χp, f) es holomorfa en {s ∈ C : <s > 0}.

Demostracion. a) Sea σ = <s. Debemos verificar que∫Q×p |f(x)||x|σp d×x es finita para σ >

0. Separemos la integral en dos subintegrales, la primera en la region Q+p = {|x|p > 1}

y la segunda en la region Q−p = {0 < |x|p ≤ 1}.Si p = ∞, en la region Q+

p podemos tomar, por ejemplo, una constante positiva Ctal que |f(x)| ≤ C|x|−σ−1

∞ para todo x. Luego,∫Q+∞

|f(x)||x|σ∞ d×x =

∫Q+∞

|f(x)||x|σ−1∞ dx ≤

∫Q+∞

C

|x|2∞dx,

y por lo tanto la integral es convergente. Si p es finito, por ser f de soporte compacto,la integral en Q+

p es claramente finita. Notemos que en ambos casos la integral es abso-lutamente convergente incluso para σ ≤ 0; la condicion σ > 0 la utilizaremos en la otraregion.

Para la integral en la region Q−p , basta ver que la integral∫Q−p|x|σp d

×x (1)

es finita. Si p =∞, esto es inmediato de que σ > 0. En el caso p finito, descomponiendoQ−p =

⊔k≥0 p

kZ×p , tenemos que el valor de dicha integral es

∞∑k=0

(∫pkZ×p

p−kσ d×x

)=

∞∑k=0

(p−kσµ×p

(pkZ×p

)).

CAPITULO 5. TEORIA MODERNA 87

Por ser µ×p invariante, y dado que µ×p(Z×p)

= 1, el lado derecho de (1) es una sumageometrica de razon p−σ < 1. En particular, un numero finito.

b) Basta ver que si 0 < a < 1 y b > 1, la funcion s 7→ ζp(s, χp, f) es holomorfa enU = {s ∈ C : a < <s < b}. Sea (Kn)n∈N una sucesion creciente de compactos de Q×pcuya union es Q×p . Para cada n ∈ N, consideramos la funcion

gn(s) =

∫Kn

f(x)χp(x)|x|sp d×x,

donde s ∈ U . Cada gn es holomorfa por ser Kn compacto para todo n. Afirmamosque (gn)n∈N converge uniformemente a s 7→ ζp(s, χp, f) en U . Dado s ∈ U , escribamosσ = <s. Tenemos que

|ζp(s, χp, f)− gn(s)| =

∣∣∣∣∣∫Q×p \Kn

f(x)χp(x)|x|sp d×x

∣∣∣∣∣ ≤∫Q×p \Kn

∣∣∣f(x)χp(x)|x|sp∣∣∣ d×x

=

∫Q×p \Kn

|f(x)||x|σpd×x ≤

∫Q×p \Kn

h(x)d×x,

(2)

donde

h(x) =

{|f(x)||x|ap, si |x|p ≤ 1;

|f(x)||x|bp, si |x|p > 1.

Basta ver que h es una funcion integrable en Q×p , porque en tal caso, el teorema deconvergencia monotona asegura que el ultimo termino de la desigualdad (2) tiende a 0cuando n tiende infinito; de modo que la convergencia es uniforme. En efecto, se tieneque ∫

Q×ph(x) d×x ≤

∫Q×p|f(x)||x|ap d

×x+

∫Q×p|f(x)||x|bp d

×x,

donde los dos terminos de la derecha son finitos por a).

A continuacion calcularemos la funcion ζp en varios ejemplos y la compararemoscon ciertas funcion Lp. Estos ejemplos van a ser importantes porque veremos que elestudio del caso general se reduce a ellos.

Ejemplo 5.2.2. Supongamos que p =∞. Consideramos la funcion f1 definida en R porf1(x) = e−πx

2. Entonces

ζ∞ (s, idR× , f1) =

∫R×

e−πx2 |x|s∞ d

×x =

∫R×

e−πx2 |x|s−1

∞ dx = 2

∫ +∞

0e−πx

2xs−1dx

= π−s2

∫ +∞

0e−uu

s2−1 du = π−

s2 Γ(s

2

)= L∞(s, idR×),

para s ∈ C con parte real mayor a 0.


Ejemplo 5.2.3. Supongamos que p =∞. Consideramos la funcion f2 definida en R porf2(x) = xe−πx

2. Se tiene que

ζ∞(s, sg, f2) =

∫R×

xe−πx2

sg(x)|x|s∞ d×x =

∫R×

e−πx2 |x|s+1

∞ d×x

= ζ∞ (s+ 1, idR× , f1) = π−s+12 Γ

(s+ 1

2

)= L∞(s, sg),


Ejemplo 5.2.4. Supongamos que p ∈ P . Sea χp un caracter no ramificado de Q×p . Con-sideramos la funcion f3 = 1Zp . Entonces para s con parte real mayor a 0 tenemos que

ζp (s, χp, f3) =

∫Zp\{0}

χp(x)|x|sp d×x =

∞∑k=0

(∫pkZ×p

χp(x)p−ks d×x

),

de aplicar la descomposicion Zp\{0} =⊔k≥0 p

kZ×p . Ademas por la invarianza de µ×p(igualdad (4.1.2)), se tiene que

∞∑k=0

(∫pkZ×p

χp(x)p−ks d×x

)=

∞∑k=0

(∫Z×pχp(p

kx)p−ks d×x

)

=∞∑k=0

((∫Z×pχp(p)

kχp(x) d×x

)p−ks

)=∞∑k=0

((∫Z×pχp(x) d×x

)χp(p)

kp−ks

).

Como χp es constantemente 1 en Z×p , la ultima expresion se reduce a∞∑k=0

(χp(p)p

−s)k =(1− χp(p)p−s

)−1,

pues la parte real de s es mayor a cero. Obtenemos ası que

ζp(s, χp,1Zp

)=(1− χp(p)p−s

)−1= Lp(s, χp),

para s ∈ C con parte real mayor a 0. En particular, si (χ0)p es el caracter trivial de Q×p setiene que

ζp(s, (χ0)p,1Zp

)=(1− p−s

)−1,


Ejemplo 5.2.5. Supongamos que p ∈ P . Sea χp un caracter de Q×p con χp(p) = 1 yconductor pn, donde n ∈ N. Consideramos la funcion f4 = 1p−nZp · ep, donde ep es elcaracter de Qp dado por ep(x) = e−2πi{x}p y {·}p es la funcion definida segun (3.1.22).Entonces para s con parte real mayor a 0,

ζp (s, χp, f4) =

∫Q×p

1p−nZp(x)ep(x)χp(x)|x|sp d×x =

∫p−nZp\{0}

ep(x)χp(x)|x|sp d×x

=∑k≥−n

∫pkZ×p

ep(x)χp(x)|x|sp d×x =

∑k≥−n

p−ks∫pkZ×p

ep(x)χp(x) d×x.

(5.2.6)


Haciendo una traslacion en cada una de las integrales en la suma (igualdad (4.1.2)) yrecordando que χp(p) = 1, obtenemos que el lado derecho de (5.2.6) es igual a

∑k≥−n

p−ks∫Z×pep(p

kx)χp(pkx) d×x =

∑k≥−n

p−ks∫Z×p

(ep)pk (x)χp(x) d×x. (5.2.7)

Afirmamos que la integral ∫Z×p

(ep)pk (x)χp(x) d×x, (5.2.8)

es cero si k > −n. Como el nucleo de ep es Zp, el nucleo de (ep)pk es p−kZp. Si k ≥ 0,entonces la integral de (5.2.8) es igual a

∫Z×p χp(x) d×x. Como cond(χp) 6= 1, el caracter

χp no es trivial en Z×p , y entonces la integral (5.2.8) es 0, por el Lema 4.3.5. Supongamosque 0 > k > −n. Por la Proposicion 3.1.28, tenemos que (5.2.7) es igual a

p−k∑j=1

(j:p)=1

∫jUp(p−k)

(ep)pk (x)χp(x) d×x =

p−k∑j=1

(j:p)=1

∫Up(p−k)

(ep)pk (jx)χp(jx) d×x, (5.2.9)

donde Up(pl) = 1 + plZp si l ∈ N. Si x ∈ Up(p−k), existe a ∈ Zp tal que x = 1 + ap−k.Luego, si 1 ≤ j ≤ p−k, tenemos que pkjx = pkj + ja, y por lo tanto,

(ep)pk (jx) = ep

(pkjx

)= ep

(pkj + ja

)= ep

(pkj)ep(ja) = ep

(pkj).

Entonces el lado derecho de (5.2.9) resulta ser igual a

p−k∑j=1

(j:p)=1

ep

(pkj)χp(j)

∫Up(p−k)

χp(x) d×x. (5.2.10)

Como −k < n y cond(χp) = pn, tenemos que χp no es trivial en Up(p−k). Se sigue

entonces del Lema 4.3.5 que la expresion (5.2.10) es 0, y concluimos que (5.2.8) es 0 si0 > k > −n.

Tenemos entonces que (5.2.7) es igual a

pns∫Z×p

(ep)p−n (x)χp(x) d×x = pns∫Z×p

(ep)p−n (x)χp(x) d×x. (5.2.11)

Repitiendo los pasos que hicimos con (5.2.8) para 0 > k > −n, tenemos que podemos


reescribir (5.2.11) como

pnspn∑j=1

(j:p)=1

∫jUp(pn)

(ep)p−n (x)χp(x) d×x = pnspn∑j=1

(j:p)=1

∫Up(pn)

(ep)p−n (jx)χp(jx) d×x

= pnspn∑j=1

(j:p)=1

ep(p−nj)χp(j)

∫Up(pn)

χp(x) d×x.

(5.2.12)

Como χp es trivial en Up(pn), obtenemos de (4.2.10) que

ζp (s, χp, f4) = pnsµ×p (Up (pn))

pn∑j=1

(j:p)=1

ep(p−nj)χp(j) = pns

p1−n

p− 1

pn∑j=1

(j:p)=1

ep(p−nj)χp(j)

= pnsp1−n

p− 1

pn∑j=1

(j:p)=1

e−2πi{p−nj}pχp(j) = pnsp1−n

p− 1

pn∑j=1

(j:p)=1

χp(j)e−2πij/pn ,

para s ∈ C con parte real mayor a 0. Afirmamos que ζp (·, χp, f4) es no nula. En efecto,notemos que por la Proposicion 3.5.12 podemos pensar a χp como un caracter de Di-richlet ξp primitivo modulo pn. Entonces la suma de la derecha de (5.2.12) la podemosponer en terminos de la suma de Gauss de ξp. Concretamente, tenemos que

ζp (s, χp, f4) = pnsp1−n

p− 1τ(ξp)

= pnsp1−n

p− 1χp(−1)τ(ξp),

donde en la ultima igualdad usamos la Proposicion 1.2.4. Por la Proposicion 1.2.3 con-cluimos que ζp (·, χp, f4) es no nula.

Notar que en los cuatro ejemplos, la funcion s 7→ ζp(s, ∗, ∗) resulta tener una ex-tension meromorfa a todo el plano complejo (la extension es la expresion obtenidaen el calculo). Veremos que la misma conclusion se puede obtener en el caso general.Ademas, salvo en el caso p finito y χp ramificado, encontramos una funcion f ∈ S(Qp)tal que ζp(s, χp, f) coincide con Lp(s, χp).

Diremos que dos caracteres de Q×p son equivalentes si su cociente es un caracter no

ramificado. Por el Lema 3.5.2 tenemos que dos caracteres χp, χ′p ∈ Q×p son equivalentessi y solo si existe λ ∈ R tal que χp(x) = χ′p(x)|x|iλp , para todo x ∈ Q×p . El exponente tieneesa forma pues al ser χp y χ′p caracteres, son cuasi-caracteres de exponente 0. Notemostambien que dos caracteres equivalentes tienen el mismo conductor.

Proposicion 5.2.13. Sea χp un caracter de Q×p . Entonces χp es equivalente a un caracter χ′p,que satisface:


a) Si p =∞ y χp es no ramificado, χ′p = idR× .

b) Si p =∞ y χp es ramificado, χ′p = sg.

c) Si p ∈ P y χp es no ramificado, χ′p = idQ×p .

d) Si p ∈ P y χp es ramificado, χ′p(p) = 1.

Demostracion. Se sigue de la Proposicion 3.5.3, tomando χ′p = χp ◦ up.

Observacion 5.2.14. Sea f ∈ S(Qp). Supongamos que χp y χ′p son caracteres de Q×p tales queexiste λ ∈ R que verifica χp(x) = χ′p(x)|x|iλp , para todo x ∈ Q×p . Entonces

ζp(s, χp, f) = ζp(s+ iλ, χ′p, f),

para todo s ∈ C con parte real mayor a 0.

Lema 5.2.15. Sea χp un caracter de Q×p . Entonces existe f ∈ S(Qp) tal que s 7→ ζp(s, χp, f)no es identicamente nula.

Demostracion. Se sigue de combinar la Observacion 5.2.14 y la Proposicion 5.2.13, conlo calculado en los ejemplos 5.2.2, 5.2.3, 5.2.4 y 5.2.5.

Lema 5.2.16. Sean f, g ∈ S(Qp) y χp ∈ Q×p . Entonces, si 0 < <s < 1,

ζp(s, χp, f)ζp(1− s, χ−1p , g) = ζp(s, χp, g)ζp(1− s, χ−1

p , f ). (5.2.17)

Demostracion. La prueba consiste en reescribir el lado izquierdo de (5.2.17) como unaexpresion que sea simetrica al intercambiar f y g. Tenemos que

ζp(s, χp, f)ζp(1− s, χ−1p , g ) =

(∫Q×p

f(x)χp(x)|x|sp d×x

)(∫Q×p

g(y)χp(y)−1|y|1−sp d×y

)

=

∫Q×p

(∫Q×p

g(y)χp(y)−1|y|1−sp f(x)χp(x)|x|sp d×y

)d×x.

(1)

Aplicando una traslacion a la integral interior, la ultima expresion nos queda∫Q×p

(∫Q×p

g(xy)χp(xy)−1|xy|1−sp f(x)χp(x)|x|sp d×y

)d×x

=

∫Q×p

(∫Q×p

g(xy)χp(y)−1|y|1−sp f(x)|x|p d×y

)d×x. (2)

Queremos usar el Teorema de Fubini-Tonelli en la expresion (2). Para ello debemosverificar que la funcion (x, y) 7→ g(xy)χp(y)−1|y|1−sp f(x)|x|p esta en L1

(Q×p ×Q×p

). En


efecto, repitiendo los pasos en la cadena de igualdades (1) y (2), pero en valor absoluto,si σ = <s resulta que∫

Q×p

(∫Q×p

∣∣g(xy)χp(y)−1|y|1−sp f(x)|x|p∣∣ d×y) d×x

=

(∫Q×p|f(x)||χp(x)||x|σp d

×x

)(∫Q×p|g(y)||χp(y)−1||y|1−σp d×y

),

donde las dos integrales de la ultima expresion son finitas por la Proposicion 5.2.1 a).Aplicando entonces el Teorema de Fubini-Tonelli a la expresion (2) obtenemos∫

Q×p

(∫Q×p

g(xy)χp(y)−1|y|1−sp f(x)|x|p d×x

)d×y

=

∫Q×p

(∫Q×p

(∫Qpg(z)ep(−xyz) dz

)f(x)|x|p d

×x

)χp(y)−1|y|1−sp d×y.

Por la Proposicion 4.2.6 en la integracion en x, la ultima expresion resulta ser

cp

∫Q×p

(∫Q×p

(∫Qpg(z)ep(−xyz) dz

)f(x)dx

)χp(y)−1|y|1−sp d×y

= cp

∫Q×p

(∫Qp

(∫Qpg(z)ep(−xyz)f(x) dz

)dx

)χp(y)−1|y|1−sp d×y, (3)

donde cp = (1− p−1)−1 si p ∈ P y c∞ = 1. Podemos aplicar nuevamente el Teorema deFubini-Tonelli en x y z pues∫

Qp

(∫Qp|g(z)ep(−xyz)f(x)| dz

)dx =

∫Qp

(∫Qp|g(z)||f(x)| dz

)dx

=

(∫Qp|g(z)| dz

)(∫Qp|f(x)| dx

),

y las dos integrales de la derecha son finitas, por ser f y g funciones de Schwartz-Bruhat.Luego, la expresion de (3) resulta ser igual a

cp

∫Q×p

(∫Qp×Qp

g(z)ep(−xyz)f(x)d(x, z)

)χp(y)−1|y|1−sp d×y.

Esta expresion de ζp(s, χp, f)ζp(1 − s, χ−1p , g) es claramente simetrica en f y g, lo que

finaliza la demostracion.

Teorema 5.2.18 (Ecuacion funcional local). Sea χp ∈ Q×p . Existe una funcion meromorfas 7→ γp(s, χp) definida en {0 < <s < 1}, tal que para toda funcion f ∈ S(Qp) se tiene que

ζp(s, χp, f) = γp(s, χp)ζp(1− s, χ−1p , f ), (5.2.19)

para todo s con 0 < <s < 1.


Demostracion. Por el Lema 5.2.15, existe una funcion f ∈ S(Qp) tal que la funcion holo-morfa s 7→ ζp(1− s, χ−1

p , f) no es identicamente nula en {<s < 1}. En virtud de (4.3.12)existe g ∈ S(Qp) tal que g = f . Consideremos para {0 < <s < 1} la funcion

γp(s, χp) =ζp(s, χp, g)

ζp(1− s, χ−1p , g )

.

Esta bien definida por lo anterior y es una funcion meromorfa en s. Por el Lema 5.2.16se verifica (5.2.19).

Corolario 5.2.20. Dadas f ∈ S(Qp) y χp ∈ Q×p , la funcion s 7→ ζp(s, χp, f) es no nula si ysolo si la funcion s 7→ ζp(1− s, χ−1

p , f) es no nula. En tal caso,

γp(s, χp) =ζp(s, χp, f)

ζp(1− s, χ−1p , f )

, (5.2.21)

para s ∈ C con 0 < <s < 1.

Demostracion. Por el Lema 5.2.15 y (5.2.19), la funcion meromorfa s 7→ γp(s, χp) no esidenticamente nula. Las afirmaciones del enunciado son inmediatas de (5.2.19).

Calculemos explıcitamente γp en los caracteres que consideramos en los ejemplos5.2.2, 5.2.3, 5.2.4 y 5.2.5. Por el Corolario 5.2.20, podemos tomar la funcion fi ∈ S(Qp)de cada uno de los ejemplos y utilizar (5.2.21).

Ejemplo 5.2.22. Supongamos que p = ∞ y que el caracter es idR× . Por (1.4.10), latransformada de Fourier de f1 es f1. Luego, del Ejemplo 5.2.2, tenemos que para s con0 < <s < 1,

γ∞ (s, idR×) =ζ∞ (s, idR× , f1)

ζ∞ (1− s, idR× , f1)= π

12−s Γ

(s2

)Γ(

1−s2

) = 21−sπ−sΓ (s) cos(πs

2

).

donde la ultima igualdad se puede obtener utilizando las propiedades (III) y (IV) de lafuncion Γ. El termino de la derecha de esta igualdad nos recuerda al factor que apareceen (1.5.13).

Ejemplo 5.2.23. Supongamos que p =∞ y que el caracter es sg. Tenemos que f2 = −if2

por (1.4.11). Luego, del Ejemplo 5.2.3, tenemos que para s ∈ C con 0 < <s < 1,

γ∞(s, sg) =ζ∞(s, sg, f2)

ζ∞(1− s, sg,−if2)=

π−s+12 Γ

(s+1

2

)−i π−

1−s+12 Γ

(1−s+1

2

) = iπ12−s Γ

(s+1

2

)Γ(1− s

2

)= i 21−sπ−sΓ(s) sin

(πs2

).

Ejemplo 5.2.24. Supongamos que p ∈ P y que el caracter es (χ0)p. Como f3 = f3,resulta que

γp(s, (χ0)p) =ζp(s, (χ0)p, f3)

ζp(1− s, (χ0)p, f3)=

(1− p−s)−1(1− p−(1−s)

)−1 =1− ps−1

1− p−s,

si s ∈ C con 0 < <s < 1.


Ejemplo 5.2.25. Supongamos que p ∈ P . Sea χp un caracter de Q×p con χp(p) = 1 yconductor pn, donde n ∈ N. Tenemos que

f4 = 1p−nZp · ep = pn · g ◦ i, (5.2.26)

donde g = p−n1p−nZp · (ep)−1 e i es la funcion de Qp dada por i(x) = −x. Notemos quedel Lema 4.3.9, resulta que

1Un(pn) = 11+pnZp = p−n(1Zp)pn· (ep)−1 = p−n1p−nZp · (ep)−1 = g. (5.2.27)

Combinando (5.2.26) y (5.2.27), por (4.3.12) y la Observacion 4.3.2 tenemos que

f4 = pn g ◦ i = pn g ◦ i = pn1Up(pn) ◦ i = pn1Up(pn). (5.2.28)

Luego para s ∈ C con <s < 1,

ζp

(1− s, χ−1

p , f4

)=

∫Q×p

pn1Up(pn)(x)χp(x)−1|x|1−sp d×x

= pn∫Up(pn)

χp(x)−1|x|1−sp d×x.

Como χp es trivial en Up(pn) y |x|p = 1 para todo x ∈ Up(pn), nos queda por (4.2.10) que

ζp

(1− s, χ−1

p , f4

)= pnµ×p (Up(p

n)) =p

p− 1, (5.2.29)

para s ∈ C con parte real mayor a 0.Finalmente obtenemos

γp(s, χp) =ζp (s, χp, f4)

ζp(1− s, χ−1p , f4 )

= pns−npn∑j=1

(j:p)=1

ep(p−nj)χp(j) = p−n(1−s)

pn∑j=1

(j:p)=1

e−2πijpn χp(j)

= p−n(1−s)χp(−1)τ(ξp),

para todo s ∈ C con 0 < <s < 1.

La siguiente proposicion nos permite relacionar las funcion γp de caracteres equiva-lentes.

Proposicion 5.2.30. Supongamos que χp y χ′p son caracteres de Q×p tales que existe λ ∈ R queverifica χp(x) = χ′p(x)|x|iλp , para todo x ∈ Q×p . Entonces

γp(s, χp) = γp(s+ iλ, χ′p),

para todo s ∈ C, con 0 < <s < 1.


Demostracion. Notemos que para todo x ∈ Q×p se verifica que χ−1p (x) = χ′p

−1(x)|x|−iλp .Entonces si f ∈ S(Qp), 0 < <s < 1 y ζp(1 − s, χ−1

p , f ) 6= 0, por la Observacion 5.2.14tenemos que

γp(s, χp) =ζp(s, χp, f)

ζp(1− s, χ−1p , f )

=ζp(s+ iλ, χ′p, f)

ζp(1− s− iλ, χ−1p , f )

= γp(s+ iλ, χp).

Lema 5.2.31. Sea χp ∈ Q×p . Entonces s 7→ γp(s, χp) tiene una extension meromorfa a todo C.

Demostracion. En el caso particular de un caracter χp como en cada uno de los ejemplos5.2.22, 5.2.23, 5.2.24 y 5.2.25, vimos que s 7→ γp(s, χp) tiene una extension meromorfa atodo C (gracias a las formulas explıcitas que obtuvimos). De las proposiciones 5.2.13 y

5.2.30 se sigue que para cualquier caracter χp ∈ Q×p , la funcion s 7→ γp(s, χp) tiene unaextension meromorfa a todo C.

Teorema 5.2.32 (Continuacion meromorfa de las funciones zeta locales). Sean f ∈ S (Qp)

y χp ∈ Q×p . Entonces s 7→ ζp(s, χp, f) tiene una continuacion meromorfa a todo C. Ademas(5.2.19) vale en todo C.

Demostracion. Dado que por el Lema 5.2.31 el lado derecho de (5.2.19) es una funcionmeromorfa en la region {<s < 1}, podemos extender s 7→ ζp(s, χp, f) a todo C segunesta ecuacion.

Root number local

Sea χp un caracter de Q×p . La funcion

εp(s, χp) = γp(s, χp)−1 · Lp(s, χp)

Lp(1− s, χ−1p )

, (5.2.33)

donde s es un numero complejo con 0 < <s < 1, se llama root number local. Notemosque por el Corolario 5.2.20, para toda f ∈ S(Qp) tal que s 7→ ζp(s, χp, f) es no nula, setiene que

εp(s, χp) =Lp(s, χp)

ζp(s, χp, f)·ζp(1− s, χ−1

p , f)

Lp(1− s, χ−1p )

. (5.2.34)

Como consecuencia inmediata de las proposiciones 3.5.18 y 5.2.30 tenemos:

Observacion 5.2.35. Supongamos que χp y χ′p son caracteres de Q×p tales que existe λ ∈ Rque verifica χp(x) = χ′p(x)|x|iλp , para todo x ∈ Q×p . Entonces

εp(s, χp) = εp(s+ iλ, χ′p),

para todo s ∈ C, con 0 < <s < 1.

96 5.3. RESULTADOS GLOBALES

Proposicion 5.2.36. Para todo s con 0 < <s < 1 se tiene que

εp(s, χp) =

1, si χp es no ramificado;

γp(s, χp)−1, si p ∈ P y χp es ramificado;

−i, si p =∞ y χ∞ es ramificado.

En particular, el root number local puede extenderse a todo C como funcion de s, y su extensiones entera y nunca se anula.

Demostracion. Por la Observacion 5.2.35, basta reducirse a los casos de la Proposicion5.2.13. En tales casos, el resultado se sigue facilmente de lo visto en los ejemplos 5.2.2,5.2.3, 5.2.4 y 5.2.23, y las igualdades (5.2.33) y (5.2.34).

5.3. Resultados globales

Proposicion 5.3.1. Sean χ un caracter del grupo de clases de ideles y f ∈ S(A). Entonces, si<s > 1:

a) La integral (5.1.1) converge absolutamente.

b) La funcion s 7→ ζ(s, χ, f) es una funcion holomorfa en {<s > 1}.

c) Si ademas f es de la forma (5.1.2), la descomposicion (5.1.3) es valida.

Demostracion. a) Se puede suponer que f es de la forma (5.1.2) pues en caso contrarioes una combinacion lineal de funciones de este tipo.

Sea s ∈ C tal que σ = <s > 1. Como∣∣f(x)χ(x)‖x‖s∣∣ =

∏p∈P ′|fp(x)| ||x|sp| =

∏p∈P ′|fp(x)||x|σp ,

usando (4.1.15) obtenemos que∫A×|f(x)χ(x)‖x‖s| d×x =

∏p∈P ′

(∫Q×p|fp(x)||x|σp d

×x

). (1)

Notar que, salvo en el caso p = ∞, cada integral del lado derecho de (1) es igual aζp(σ, (χ0)p, |fp|) (recordar que denotamos con (χ0)p al caracter trivial de Q×p ). En el casop =∞, no podrıamos escribir esa igualdad porque no necesariamente |f∞| es una fun-cion de Schwartz (no tiene porque ser derivable). De todos modos, podemos usar dichanotacion haciendo el abuso ζ∞(σ, (χ0)∞, |f∞|) =

∫Q×p |fp(x)||x|σp d×x. Se tiene entonces

que para todo p ∈ P ′, el numero ζp(σ, (χ0)p, |fp|) es finito por la Proposicion 5.2.1 a).Notemos ademas que si fp = 1Zp , de lo visto en el ejemplo 5.2.4, tenemos que

ζp(σ, (χ0)p, |fp|) = (1− p−σ)−1. Luego, el lado derecho de (1) lo podemos reescribir

como ∏p∈P ′

ζp(σ, (χ0)p, |fp|) =

∏p∈S

ζp(σ, (χ0)p, |fp|)

·∏p/∈S

(1− p−σ

)−1

, (2)


donde S es un subconjunto finito de P ′ que contiene a∞. Por ser σ mayor a 1, el Lema1.3.1 implica que el producto de la derecha de (2) es un numero finito, como querıamosver.

b) Es una cuenta muy similar a la demostracion de la Proposicion 5.2.1 b). Existe unasucesion de compactos creciente cuya union es A× por ser A× σ-compacto. (Por la Ob-servacion 2.4.5 es σ-compacto, pues A× verifica el segundo axioma de numerabilidadpor la Proposicion 3.2.8).

c) Por la parte a), la aplicacion

x 7−→ f(x)χ(x)‖x‖s

es una funcion de L1(A×). La igualdad (4.1.16) nos dice que la descomposicion (5.1.3)es valida.

Ejemplo 5.3.2. Sea f =∏p∈P ′ fp, donde

fp(xp) =

{e−π(x∞)2 , si p =∞;

1Zp(xp), si p ∈ P.

Sea χ0 el caracter trivial de A×. Entonces por lo visto en los ejemplos 5.2.2 y 5.2.4 setiene que

ζ(s, χ0, f) =∏p∈P ′

ζp(s, (χ0)p, fp) = ζ∞(s, (χ0)∞, f∞)∏p∈P

(1− χ(p)p−s

)−1

= π−s2 Γ(s

2

)ζ(s) = Ξ(s) = L(s, χ0),

(5.3.3)

para s ∈ C con <s > 1.

Ejemplo 5.3.4. Sea χ un caracter del grupo de clases de ideles. Sea f =∏p∈P ′ fp, donde

fp ∈ S(Qp) esta dada por

fp(xp) =

e−π(x∞)2 , si p =∞ y χ es no ramificado en∞;

xe−π(x∞)2 , si p =∞ y χ es ramificado en∞;

1Zp(xp), si p ∈ P y χ es no ramificado en p;(p− 1)pn−11Up(pn)(xp), si p ∈ P y cond(χ) = pn con n ≥ 1.

(5.3.5)

Sea s ∈ C con <s > 0. Es inmediato de combinar las proposiciones 3.5.18, 5.2.13, laObservacion 5.2.14, y lo visto en los ejemplos 5.2.2, 5.2.3, 5.2.4 y 5.2.25 (ver (5.2.28) y(5.2.29)), que ζp(s, χp, fp) = Lp(s, χ). Por lo tanto de la Proposicion 5.3.1 c) tenemos que

ζ(s, χ, f) = L(s, χ), (5.3.6)

si <s > 1.


Observacion 5.3.7. Sea f ∈ S(A). Supongamos que χ y χ′ son caracteres del grupo de idelestales que existe λ ∈ R que verifica χ(x) = χ′(x)‖x‖iλ, para todo x ∈ A×. Entonces

ζ(s, χ, f) = ζ(s+ iλ, χ′, f),

para todo s ∈ C con parte real mayor a 1.

Antes de continuar, vamos a fijar y recordar algunas convenciones. En el grupoA×/Q× se toma la medida de Haar ν× que nos da el Teorema 4.1.7, con G = A×, H =Q×, la medida µ× en A× y la medida contante en Q×. Por otro lado, la Proposicion 3.3.13nos dice que la inclusion R>0 ↪→ A× induce un isomorfismo R>0

∼= (A×/Q×)/(A1/Q×).Le damos a (A×/Q×)/(A1/Q×) la medida inducida por µ×∞. Por el Corolario 4.1.10,existe una unica medida de Haar η en A1/Q× tal que para toda funcion medible f quesea no negativa o este en L1(A×/Q×),∫

A×/Q×f(x) dν×(x) =

∫R>0

∫A1/Q×

f(tx) dη(x) d×t. (5.3.8)

Lema 5.3.9. Se tiene que η(A1/Q×

)= 1.

Demostracion. Consideremos el subconjunto de A× dado por B = [1, e] ×∏p∈P Z×p .

Afirmamos que µ×(B) = 1. En efecto,

µ×(B) = µ×∞([1, e]) ·×p∈P

µ×p

(∏p∈P

Z×p

)=

(∫ e

1

dt

t

)· 1 = 1.

Luego por el Corolario 4.1.10,

1 =

∫A×

1B(x) dµ×(x) =

∫A×/Q×

F (x) dν×(x), (1)

donde F es la funcion de A× dada por F (x) =∑

q∈Q× 1B(qx)La ecuacion (5.3.8) nos dice que (1) es igual a∫

R>0

∫A1/Q×

F (tx) dη(x) d×t =

∫R>0

(∫A1/Q×

F (tx) dη(x)

)1t dt. (2)

Consideremos x ∈ A1 y t ∈ R>0 fijos y calculemos F (t.x). Sea q ∈ Q×. El idele qtx estaen B si y solo si qtx∞ ∈ [1, e] y |qxp|p = 1 para todo p ∈ P . Por el Lema 3.3.11, estoocurre si y solo si qtx∞ ∈ [1, e] y |qx∞|p = 1 para todo p ∈ P . Por la Observacion 3.1.10,la segunda condicion es equivalente a qx∞ ∈ {−1,+1}, y como la primera nos dice enparticular que el signo de q y x∞ es el mismo, tenemos que qtx esta en B si y solo siq = 1/x∞ y t ∈ [1, e]. Luego como x∞ ∈ Q× (por Lema 3.3.11),

F (tx) =∑q∈Q×

1B(q(tx)) = 1[1,e](t).


Entonces el lado derecho de (2) es igual a∫R>0

(∫A1/Q×

1[1,e](t) dη(x)

)1t dt =

∫R>0

1[1,e](t)η(A1/Q×

)1t dt

= η(A1/Q×

) ∫ e

1

dt

t= η

(A1/Q×

).

Concluimos por (1) que η(A1/Q×

)= 1.

Consideremos los subconjuntos de A× dados por

A+ = {x ∈ A× : ‖x‖ > 1}; A− = {x ∈ A× : 0 < ‖x‖ < 1}.

Sean χ un caracter del grupo de clases de ideles y f ∈ S(A). Por la Proposicion 4.2.11,tenemos que todo s ∈ C con parte real mayor a 1,

ζ(s, χ, f) =

∫A+

f(x)χ(x)‖x‖s d×x+

∫A−

f(x)χ(x)‖x‖s d×x. (5.3.10)

Similarmente a lo hecho en la Seccion 1.5, vamos a ver que la primera integral de (5.3.10)es absolutamente convergente en todo C, y hallar una relacion entre ambas integralesque nos permitira obtener la extension meromorfa de ζ(·, χ, f) a todo C.

Consideramos para cada s ∈ C tal que la integral correspondiente converja absolu-tamente,

ζ+(s, χ, f) =

∫A+

f(x)χ(x)‖x‖s d×x; (5.3.11)

ζ−(s, χ, f) =

∫A−

f(x)χ(x)‖x‖s d×x.

Notar que ambas integrales convergen absolutamente al menos en {<s > 1} por laProposicion 5.3.1 a). En dicha region se tiene que

ζ(s, χ, f) = ζ+(s, χ, f) + ζ−(s, χ, f).

Proposicion 5.3.12. La funcion s 7→ ζ+(s, χ, f) es entera.

Demostracion. Haciendo la misma cuenta que en la demostracion de la Proposicion 5.3.1b), basta ver que la integral (5.3.11) converge absolutamente para todo s ∈ C. Sean s ∈ Cy σ = <s. Tomemos M > max{σ, 1}, como ‖x‖σ < ‖x‖M para todo x ∈ A+, resulta que∫

A+

|f(x)χ(x)‖x‖s| d×x =

∫A+

|f(x)|‖x‖σd×x ≤∫A+

|f(x)|‖x‖Md×x

≤∫A×|f(x)|‖x‖Md×x.

Por la Proposicion 5.3.1 a), la ultima integral es finita, ası que podemos concluir que(5.3.11) es absolutamente convergente.


Si f ∈ S(A), consideramos la funcion

θf (x) =∑α∈Q

f(αx), (5.3.13)

para x ∈ A×, donde x es la clase de x en A×/Q×.

Observacion 5.3.14. Por la formula de sumacion de Poisson (4.4.6) obtenemos la ecuacionfuncional:

θf (x) =1

‖x‖θf

(x−1

), (5.3.15)

para todo x ∈ A×/Q×.

Denotemos A+/Q× y A−/Q× a los conjuntos

A+/Q× = {x ∈ A×/Q× : 1 < ‖x‖}; A−/Q× = {x ∈ A×/Q× : 0 < ‖x‖ < 1}.

Lema 5.3.16. Sea σ ∈ R. Entonces:

a) La integral∫A+/Q×‖x‖

σ dν×(x) converge si y solo si σ < 0.

b) La integral∫A−/Q×‖x‖

σ dν×(x) converge si y solo si σ > 0.

Demostracion. a) Por el Corolario 4.1.10 y el Lema 5.3.9 tenemos que∫A+/Q×

‖x‖σ dν×(x) =

∫ +∞

1

∫A1/Q×

‖tx‖σdη(x) d×t =

∫ +∞

1

∫A1/Q×

|t|σdη(x) d×t

=

∫ +∞

1|t|σ−1 dt,

el cual es un numero finito si y solo si σ < 0.b) Es inmediato de la Proposicion 4.1.6, de que 1A−/Q×

(x−1

)= 1A+/Q×(x) para todo

x ∈ A×/Q×, y de la parte a).

Lema 5.3.17. Para todo s ∈ C tal que ζ±(s, χ, f) este definida se tiene que

ζ±(s, χ, f) =

∫A±/Q×

(θf (x)− f(0))χ(x)‖x‖s dν×(x).

Demostracion. Sea s como en la hipotesis. Por (4.1.8),

ζ±(s, χ, f) =

∫A±

f(x)χ(x)‖x‖s d×x =

∫A±/Q×

∑α∈Q×

f(αx)χ(αx)‖αx‖s dν×(x),

Como χ y ‖·‖ son triviales en Q× y teniendo en cuenta (5.3.13), podemos escribir laultima integral como∫

A±/Q×

∑α∈Q×

f(αx)

χ(x)‖x‖s dν×(x) =

∫A±/Q×

(θf (x)− f(0))χ(x)‖x‖s dν×(x).


Ahora vamos a probar la ecuacion funcional y la extension meromorfa de la funcionzeta global. La demostracion va a ser muy parecida a la demostracion que presentamospara las funciones L del caso clasico.

Teorema 5.3.18. Sean χ un caracter del grupo de clases de ideles y f ∈ S(A). Entonces lafuncion s 7→ ζ(s, χ, f) tiene continuacion meromorfa a todo C, y su extension es entera, salvoquizas si el caracter χ es trivial sobre A1. En este ultimo caso, existe λ ∈ R tal que χ(x) = ‖x‖iλpara todo x ∈ A× y s 7→ ζ(s, χ, f) tiene a lo sumo dos polos simples en 1 − λi y −λi, conresiduos f(0) y−f(0), respectivamente. Ademas, en ambos casos, tenemos la ecuacion funcional

ζ(s, χ, f) = ζ(1− s, χ−1, f), (5.3.19)

la cual vale para todo s ∈ C.

Demostracion. Sea s ∈ C con <s > 1. Por el Lema 5.3.17 y utilizando la Proposicion4.1.6, obtenemos que

ζ−(s, χ, f) =

∫A−/Q×

(θf (x)− f(0))χ(x)‖x‖s dν×(x)

=

∫A+/Q×

(θf(x−1

)− f(0)

)χ−1(x)‖x‖−s dν×(x).

(1)

De la ecuacion funcional (5.3.15), vemos que la ultima lınea de (1) es igual a∫A+/Q×

(‖x‖θ

f(x)− f(0)

)χ−1(x)‖x‖−s dν×(x)

=

∫A+/Q×

(θf

(x)− f(0)

‖x‖

)χ−1(x)‖x‖1−s dν×(x)

=

∫A+/Q×

((θf(x)− f(0)

)χ−1(x)‖x‖1−s +

(f(0)− f(0)

‖x‖

)χ−1(x)‖x‖1−s

)dν×(x).

(2)

Como la parte real de s es mayor a 1, por el Lema 5.3.16 a), las integrales∫A+/Q×

f(0)χ−1(x)‖x‖1−s dν×(x) y∫A+/Q×

f(0)

‖x‖χ−1(x)‖x‖−s dν×(x)

existen y tienen valor absoluto finito, y por lo tanto la integral (2) la podemos escribircomo ∫

A+/Q×

(θf(x)− f(0)

)χ−1(x)‖x‖1−s dν×(x)

+

∫A+/Q×

(f(0)− f(0)

‖x‖

)χ−1(x)‖x‖1−s dν×(x).


Por el Lema 5.3.17, la integral de la primera lınea es ζ+(1 − s, χ−1, f). Para la integralde la segunda lınea, usamos (5.3.8) y vemos que es igual a∫ +∞

1

∫A1/Q×

(f(0)− f(0)

|t|

)χ−1(tx)|t|1−s dη(x) d×t

=

(∫ +∞

1

(f(0)− f(0)

|t|

)χ−1(t)|t|1−s d×t

)(∫A1/Q×

χ−1(x) dη(x)

). (3)

Siguiendo la cadena de igualdades que empieza (1), tenemos hasta ahora que:

ζ(s, χ, f) = ζ+(s, χ, f) + ζ−(s, χ, f) = ζ+(s, χ, f) + ζ+(1− s, χ−1, f)

+

(∫ +∞

1

(f(0)− f(0)

|t|

)χ−1(t)|t|1−s d×t

)(∫A1/Q×

χ−1(x) dη(x)

).

(4)

Si χ no es trivial en A1, entonces (3) nos queda igual a 0 y por lo tanto,

ζ(s, χ, f) = ζ+(s, χ, f) + ζ+(1− s, χ−1, f). (5)

Por la Proposicion 5.3.12, el lado derecho de (5) es una funcion entera. Luego, la funcions 7→ ζ(s, χ, f) tiene una extension entera.

Si χ es trivial en A1, por el Corolario 3.5.8, existe λ ∈ R tal que χ(x) = ‖x‖iλ paratodo x ∈ A×. Luego, del Lema 5.3.9, resulta que (3) es igual a(∫ +∞

1

(f(0)− f(0)

|t|

)|t|1−s−iλ d×t

)η(A1/Q×

)=

∫ +∞

1

(f(0)− f(0)

|t|

)|t|−s−iλ dt

= f(0)

∫ +∞

1|t|−s−iλ dt− f(0)

∫ +∞

1|t|−1−s−iλ dt =

f(0)

s+ iλ− 1− f(0)

s+ iλ.

Volviendo a (4), obtenemos que

ζ(s, χ, f) = ζ+(s, χ, f) + ζ+(1− s, χ−1, f) +f(0)

s+ iλ− 1− f(0)

s+ iλ. (6)

Por la Proposicion 5.3.12, el lado derecho de (6) es una funcion meromorfa en todo C,con dos polos simples en 1 − λi y −iλ, y con residuos f(0) y −f(0), respectivamente.Luego, la funcion s 7→ ζ(s, χ, f) tiene una extension meromorfa en todo C como dice elenunciado.

Tanto en (5) como en (6), las expresiones son invariantes al hacer el cambio

s 7−→ 1− s, χ 7−→ χ−1, f 7−→ f .

(Notar que en el caso que χ‖·‖iλ, tenemos que χ−1 = ‖·‖−iλ). Concluimos que vale laigualdad (5.3.19) para todo s ∈ C.


Ejemplo 5.3.20. Sean f y χ0 como en el ejemplo 5.3.2. Por la Proposicion 4.3.14 tenemosque f =

∏p∈P ′ fp =

∏p∈P ′ fp = f y que χ0 = ‖·‖iλ con λ = 0. Por el Teorema 5.3.18,

s 7→ ζ(s, χ0, f) = π−s2 Γ(s2

)ζ(s) = Ξ(s) tiene continuacion meromorfa a todo C, tiene

dos polos simples en 1 y 0, ambos con residuos f(0) = 1 y −f(0) = −1, respectivamen-te. Ademas se verifica la ecuacion funcional ζ(s, χ0, f) = ζ(1 − s, χ0, f) que podemosreescribir como

π−s2 Γ(s

2

)ζ(s) = π−

1−s2 Γ

(1− s

2

)ζ(1− s).

Equivalentemente,

ζ(s) = π−12

+sΓ(

1−s2

)Γ(s2

) ζ(1− s),

para s ∈ C con <s > 1. Vemos ası que recuperamos la ecuacion funcional (1.5.13).

Si χ es un caracter del grupo de clases de ideles, la funcion

ε(s, χ) =∏p∈P ′

εp(s, χp),

donde s es un numero complejo, se llama root number global. Notemos que como χ esno ramificado en p para casi todo p ∈ P ′, por la Proposicion 5.2.36, el producto es finitoy s 7→ ε(s, χ) es una funcion entera que nunca se anula.

Teorema 5.3.21. Sea χ un caracter del grupo de clases de ideles. Entonces la funcion s 7→L(s, χ) tiene continuacion meromorfa a todo C, y su extension es entera, salvo si el caracter χes trivial sobre A1. En este ultimo caso, existe λ ∈ R tal que χ(x) = ‖x‖iλ para todo x ∈ A×y s 7→ L(s, χ) tiene dos polos simples en 1 − λi y −λi con residuos 1 y -1, respectivamente.Ademas, en ambos casos, tenemos la ecuacion funcional

L(s, χ) = ε(s, χ)L(1− s, χ−1

), (5.3.22)

la cual vale para todo s ∈ C. En el caso χ = ‖·‖iλ, la funcion s 7→ ε(s, χ) es identicamente 1, yla ecuacion (5.3.22) resulta ser

Ξ(s+ iλ) = Ξ(1− s− iλ),

para todo s ∈ C.

Demostracion. Sea f ∈ S(A) la funcion de (5.3.5). Entonces de (5.3.6) y el Teorema 5.3.18,tenemos que s 7→ L(s, χ) = ζ(s, χ, f) tiene continuacion meromorfa a todo C, con lascaracteristicas de las singularidades como en el enunciado. Sea s ∈ C con <s > 1. De(5.2.34) y la Proposicion 4.3.14 resulta que

ε(s, χ) =∏p∈P ′

(Lp(s, χ)

ζp(s, χp, fp)·ζp(1− s, χ−1

p , fp)

Lp(1− s, χ−1)

)=

L(s, χ)

ζ(s, χ, f)· ζ(1− s, χ−1, f)

L(1− s, χ−1).


Por (5.3.19), concluimos que L(s, χ) = ε(s, χ)L(1− s, χ−1

)para s con parte real mayor

a 1, lo que implica que vale dicha igualdad en todo C.Si χ no es trivial en A1, entonces s 7→ L(s, χ) es entera.Supongamos que χ es trivial es A1, entonces por el Corolario 3.5.8, existe λ ∈ R tal

que χ(x) = ‖x‖iλ para todo x ∈ A×. Ademas como χ es trivial en K, por la Proposicion3.5.9, es no ramificado para todo p ∈ P ′. Luego, la funcion s 7→ ε(s, χ) es identicamente1, y la funcion f es la del Ejemplo 5.3.2. De combinar la Observacion 5.3.7 y (5.3.3),tenemos que

ζ(s, χ, f) = ζ(s, χ0‖·‖iλ, f) = ζ(s+ iλ, χ0, f) = Ξ(s+ iλ),

para todo s con <s > 1, y luego para todo s ∈ C. Entonces, la ecuacion funcional nosqueda

Ξ(s+ iλ) = Ξ(1− s− iλ),

para todo s ∈ C. El residuo en 1 − λi es f(0) = f(0) = 1, y el residuo en λi es −f(0) =−1.

Corolario 5.3.23. Sea χ un caracter del grupo de clases de ideles de orden finito, y sea ξ elcaracter de Dirichlet primitivo que le corresponde por la biyeccion del Teorema 3.5.27. Entoncespara todo s ∈ C se tiene que

ε(s, χ) = N12−sW (ξ),

donde W (ξ) es el root number de ξ y N es el conductor de χ y ξ.

Demostracion. Resulta facilmente de combinar (1.5.11), (3.5.28), (5.3.22), y el hecho claroque la biyeccion del Teorema 3.5.27 manda χ−1 en ξ.

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