diplomski rad - mathos.unios.hrmdjumic/uploads/diplomski/bak19.pdf · metode ra cunanja...
TRANSCRIPT
Sveuciliste J.J.Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Dunja Bakos
Metode racunanja determinantimatrica n-tog reda
Diplomski rad
Osijek, 2012.
Sveuciliste J.J.Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Dunja Bakos
Metode racunanja determinantimatrica n-tog reda
Diplomski rad
Voditeljica: doc. dr. sc. Darija Markovic
Osijek, 2012.
Sadrzaj
1. Uvod 1
2. O povijesti matrica i determinanti 2
3. Matrice 4
3.1. Definicija matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2. Zbrajanje i mnozenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4. Determinante 13
4.1. Definicija determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2. Svojstva determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3. Geometrijsko znacenje determinante konacnog reda . . . . . . . . . . . . . 24
5. Metode racunanja determinanti matrica n-tog reda 26
5.1. Svodenje matrica na trokutasti oblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2. Metoda promjene elemenata u determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3. Metoda rekurzivnih relacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.4. Gauss-Chioov postupak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.5. Vandermondeova determinanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Sazetak 43
Summary 44
Literatura 45
Zivotopis 46
1
1. Uvod
Poceci teorije matrica i determinanti vezani su za rjesavanje sustava linearnih jednadzbi.
Rjesenje sustava linearnih jednadzbi ocito ovisi o koeficijentima i slobodnim clanovima
sustava. Izraz za rjesenje, kao i diskusiju u vezi s tim, mozemo znatno pojednostaviti ako
uvedemo pojam determinante. Tim su se problemima bavile i stare civilizacije.
Je li racunanje determinanti jednostavan zadatak? Iako je determinanta definirana za
matricu proizvoljnog reda, racunanje determinante viseg reda racunski je vrlo zahtjevan
zadatak. Tako naprimjer, kvadratna matrica reda 10 ima 3.6 milijuna pribrojnika. Samo
za popisivanje tih pribrojnika trebalo bi nam 36 knjiga od kojih bi svaka imala 1000 stra-
nica. Danas su racunala od velike pomoci prilikom racunanja, ali racun se moze znatno
pojednostaviti koristimo li svojstva i metode racunanja determinanti. Neke od tih metoda
su obradene u ovom radu.
Diplomski rad je podijeljen u sest poglavlja. Prvo poglavlje je uvodno. U drugom su
poglavlju navedene povijesne cinjenice o pojavi i razvoju matrica i determinanti. Trece
poglavlje donosi definiciju matrica te svojstva zbrajanja i mnozenja matrica. Definicija
determinante i njena svojstva su obradena u cetvrtom poglavlju. Osim toga, dan je i ge-
ometrijski prikaz determinante. Metode racunanja determinanti n-tog reda obradene su u
petom poglavlju, a to su: svodenje matrica na trokutasti oblik, metoda promjene eleme-
nata u determinanti, metoda rekurzivnih relacija, Gauss-Chioov postupak te Vandermon-
deova determinanta. Posljednje poglavlje donosi popis literature koja je bila koristena u
ovome radu.
2
2. O povijesti matrica i determinanti
Poceci teorije matrica i determinanti vezani su za rjesavanje sustava linearnih jednadzbi.
Tim su se problemima bavile i stare civilizacije. Kinezi su u 2.st.pr.Kr. koeficijente sustava
zapisivali u tablicu koja je transponirana matrica sustava i rjesavali sustav Gaussovom
metodom eliminacije.
Pojam determinante prethodio je pojmu matrice. Do pojma determinante su dosli
gotovo istovremeno Leibniz1 (1678.godine) i Kowa2 (1683.godine). Japanski matematicar
Kowa je objavio djelo koje sadrzi tablicne metode rjesavanja sustava. Vezano za rjesavanje
jednadzbi, koristi determinante te opisuje njihovo racunanje do velicine 5× 5. Iste godine
Leibniz je u pismu l’Hopitalu napisao sustav jednadzbi
a10 + a11x+ a12y = 0
a20 + a21x+ a22y = 0
a30 + a31x+ a32y = 0.
Objasnio je da sustav ima rjesenje jer je a10 · a21 · a32 + a11 · a22 · a30 + a12 · a20 · a31 =
a10 · a22 · a31 + a11 · a20 · a32 + a12 · a21 · a30. Leibniz je brojevima oznacio pozicije koeficije-
nata, odnosno njegove oznake i j znace sto i danas aij. Time je pokazao kako je njegova
jednakost uvjet da je determinanta matrice koeficijenata jednaka nuli. Leibniz je znao da
se determinanta moze razviti po proizvoljnom stupcu, a dokazao je i Cramerovo pravilo.
Opcenito pravilo je objavio 1750. godine svicarski matematicar Gabriel Cramer po kome
je pravilo i nazvano. Otkrio ga je pokusavajuci naci jednadzbu ravninske krivulje koja
prolazi kroz odredeni broj tocaka. Pravilo nije dokazao iako ga je detaljno opisao.
1772. godine Laplace3 dolazi do zakljucka da su prethodno objavljene metode racunanja
determinanti neprakticne te opisuje Laplaceov razvoj determinante. 1773. godine fran-
cuski matematicar Lagrange proucava 3 × 3 deterimanante matrica kojima su elementi
1Gottfried Wilhelm Leibniz, (1646.-1716.), njemacki filozof, matematicar, fizicar i diplomat.2Seki Kowa (Takakazu), (1642.-1708.), japanski matematicar.3Pierre Simon Laplace, (1749. - 1827.), francuski matematicar i astronom
3
funkcije. On je prvi interpretirao determinantu kao volumen.
Naziv determinanta uveo je Gauss4 1801. godine, ali nije bio koristen u suvremenom
znacenju. U djelu Disquisitiones Arithmeticae opisuje racunanje inverza matrice i opisuje
mnozenje matrica. Francuz Cauchy prvi koristi naziv determinanta u suvremenom smislu
te dokazuje pravilo da je determinanta produkta matrica produkt njihovih determinanti
(Binet - Cauchy teorem). Njemacki matematicar Carl Gustav Jacob je prvi dao opcu
definiciju determinante i uveo Jakobijan5.
Algebra matrica potjece od Cayleya6. Njegov rad na matricama ima velike posljedice
za matematiku i njene primjene. 1858. godine dao je prvu apstraktnu definiciju matrica,
definirao mnozenje matrica i opisao odredivanje inverza matrica preko determinanti.
Razvoju teorije determinanti doprinjeli su Vandermonde, Lagrange, Cauchy, Jacobi,
Kronecker, Weierstrass, Henzel, Stephanos, Frobenius. . . Upotrebom matrica i determi-
nanti mnogobrojni dokazi daju se u vrlo sazetoj i elegantnoj formi.7
4Johann Carl Friedrich Gauss, (1777.- 1855.), njemacki matematicar i astronom5determinanta matrice parcijalnih derivacija komponenti vektorske funkcije po njenim varijablama6Arthur Cayley, (1821. – 1895.), engleski matematicar7vidi[1, 101. - 104. str.]
4
3. Matrice
3.1. Definicija matrice
Definicija 3.1 Neka je F osnovno polje ciji su elementi skalari. Neka su m,n ∈ N
prirodni brojevi, a s Dmn neka je oznacen Kartezijev produkt
Dmn = {1, 2, . . . ,m} × {1, 2, . . . , n}.
Svako preslikavanje
A : Dmn → F
tog produkta u osnovno polje nazivamo matrica tipa (m× n) nad poljem F.
Skup svih matrica istog tipa m× n oznacavamo sa Mmn.
Matricu A zapisujemo tablicno.
266664a11 · · · a1n...
...
am1 · · · amn
377775Skalare aij (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n) nazivamo elementima matrice A. Elementi matrice
su najcesce realni brojevi, ali mogu biti i kompleksni brojevi, funkcije, vektori, diferenci-
jalni operatori pa cak i same matrice. Uobicajeno je s aij oznaciti vrijednost A(i, j).
Kazemo da uredena n-torka
(ai1, ai2, . . . , ain)
elemenata iz A cini i-ti redak matrice A, a uredena m-torka
(a1j, a2j, . . . , amj)
njezin j-ti stupac. Kazemo takoder da se element aij nalazi na presjeku i-tog retka i j-tog
stupca.
5
Primjer 3.1 Matrica 2666642 0
1 −3
7 5
377775je tipa 3× 2, a njezin element 7 se nalazi na presjeku treceg retka i prvog stupca.
Matrica tipa 1× n, tj. oblika �a11 a12 . . . a1n
�naziva se retcana matrica ili redak matrica, a matrica tipa m× 1
266664a11...
am1
377775naziva se stupcana matrica ili matrica stupac.
Ako se broj redaka i broj stupaca matrice A podudara, tj. ako je tipa n × n tada
kazemo da je matrica A kvadratna matrica reda n. Za kvadratnu matricu definiramo
glavnu dijagonalu kao n-torku njezinih elemenata (a11, a22, . . . , ann), i sporednu dijagonalu
kao n-torku (a1n, a2n−1, . . . , an1).
Definicija 3.2 Kvadratna matrica A je dijagonalna ako vrijedi implikacija
i 6= j ⇒ aij = 0.
Dijagonalna matrica je oblika 2666666664a11 0 · · · 0
0 a22 · · · 0...
.... . .
...
0 0 · · · ann
3777777775
6
Svi elementi izvan glavne dijagonale matrice jednaki su nuli. Matricu oznacavamo sa
diag(a11, a22, . . . , ann).
Od posebne je vaznosti matrica kod koje su svi elementi aij jednaki nula. Takvu ma-
tricu nazivamo nulmatrica i oznacavamo s 0, neovisno o tome kojeg je tipa ili reda.
Definicija 3.3 Kvadratna matrica I = δij, gdje je δij Kroneckerov simbol 8 naziva se
jedinicnom matricom reda n.
Jedinicna matrica se oznacava jos i slovom E. Pojam trokutastih matrica definiran je samo
za kvadratne matrice. Tako razlikujemo gornjetrokutaste i donjetrokutaste matrice.
Definicija 3.4 Ako je A kvadratna matrica reda n i aij njeni elementi za koje vrijedi
i < j ⇒ aij = 0
tada kazemo da je A donjetrokutasta matrica.
Ako je B kvadratna matrica reda n i bij njeni elementi za koje vrijedi
i > j ⇒ bij = 0
tada kazemo da je B gornjetrokutasta matrica.
Donjetrokutasta i gornjetrokutasta matrica imaju sljedece oblike:
2666666664a11 0 · · · 0
a21 a22. . . 0
......
. . ....
an1 an2 · · · ann
3777777775
2666666664b11 b12 · · · b1n
0 b22 · · · b2n...
. . . . . ....
0 0 · · · bnn
3777777775Svi elementi iznad glavne dijagonale prve matrice su nule. Svi elementi ispod glavne
dijagonale druge matrice su nule.
8S δij oznacavamo Kroneckerov simbol i pri tome je δij :=
8<: 1, za i = j
0, za i 6= j
7
Definicija 3.5 Skalarna matrica je kvadratna matrica oblika diag(α, α, . . . , α) gdje je
α ∈ F.
Primjer 3.2 Skalarna matrica reda n se moze prikazati u obliku α · I gdje je I jedinicna
matrica reda n. Primjer skalarne matrica tipa 4× 4
2666643 0 0 0
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3
377775 = 3 ·
2666641 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
377775Definicija 3.6 Ako je A matrica tipa m× n, tada se matrica B tipa n×m gdje je
bji = aij, i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n
naziva transponiranom matricom matrice A i oznacava AT .
Ova definicija je ekvivalentna jednakosti2666666664a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
am1 am2 · · · amn
3777777775
T
=
2666666664a11 a21 · · · am1
a12 a22 · · · am2
......
. . ....
a1n a2n · · · amn
3777777775Prema tome, transponirana se matrica dobiva iz polazne zamjenom stupaca s recima, tj.
i-ti stupac matrice AT se podudara s i-tim retkom matrice A, za svaki i = 1, . . . ,m.
Primjer 3.3 Matrici A =
2666641 5
2 7
0 4
377775 je transponirana matrica AT =
264 1 2 0
5 7 4
375Primjer 3.4 a) Ako je D dijagonalna matrica, tada je DT = D.
b) Ako je G gornjetrokutasta matrica, tada ce GT biti donjetrokutasta matrica.
c) (AT )T = A za svaku matricu A.
8
Matrica A je simetricna ako je AT = A, tj. aij = aji, ∀i, j. Simetricna matrica je
nuzno kvadratna. Zrcaljenjem s obzirom na dijagonalu simetricna matrica se ne mijenja.
Matrica je antisimetricna ako vrijedi AT = −A, tj. aij = −aji, ∀i, j. Antisimetricna
matrica nuzno je kvadratna i ima nule na dijagonali.
Definicija 3.7 Ako je A = (aij) kvadratna matrica reda n, tada je trag te matrice jednak
sumi elemenata na glavnoj dijagonali.
Funkcija trag ima sljedeca svojstva:
a) tr(αA+ βB) = αtrA+ βtrB, (α, β ∈ C)
b) tr(AB) =tr(BA)
pri cemu u b) matrice A i B mogu biti pravokutne, ali takve da postoje produkti AB i
BA.
Definicija 3.8 Ako je A kvadratna matrica reda n i ako postoji matrica X takva da je
XA = AX = I, kazemo da je X inverzna matrica matrice A i pisemo X = A−1.
Mozemo primjetiti da iz simetrije ove definicije po A i X slijedi
X = A−1 ⇔ A = X−1.
Definicija 3.9 Ako je A kvadratna matrica i ako ona ima inverznu matricu, tada je A
regularna (nesingularna) matrica. Ako kvadratna matrica A nema inverznu matricu, A
je singularna matrica.
Najveci broj (r) linearno nezavisnih redaka matrice A zovemo rang matrice A i pisemo
rang(A) = r.
Definicija 3.10 Neka je A ∈ Mmn. Elementarne transformacije matrice A (ili nad
matricom A) su:
• zamjena dva retka (stupca)
9
• mnozenje nekog retka (stupca) skalarom λ 6= 0
• pribrajanje nekom retku (stupcu) drugog retka (stupca) prethodno pomnozenog ska-
larom λ.
Elementarne transformacije koristimo pri rjesavanju sustava linearnih jednadzbi, ra-
cunanju determinante, nalazenju inverzne matrice itd. U svakom od navedenih problema
elementarne transformacije se primjenjuju s ciljem svodenja matrice na reducirani oblik.
Elementarne transformacije se primjenjuju na retke matrice.
Svaku matricu dobivenu iz jedinicne matrice pomocu jedne elementarne transformacije
nazivamo elementarnom matricom.
Primjer 3.5 Primjer elementarnih matrica drugog reda:264 0 1
1 0
375,
264 k 0
0 1
375,
264 1 0
0 k
375,
264 1 k
0 1
375,
264 1 0
k 1
375.
Pri tome je k ∈ F i k 6= 0.
3.2. Zbrajanje i mnozenje matrica
Na skupu Mmn definirane su dvije operacije
• zbrajanje matrica
• mnozenje skalara i matrica.
Zbrajanje matrica definirano je na nacin
(A)ij + (B)ij =: (A+B)ij
Da bi zbroj matrica bio definiran, matrice A i B moraju biti istog tipa. Rezultat zbrajanja
je matrica istog tipa m × n. Element matrice A + B na mjestu (i, j) jednak je zbroju
elemenata matrica A i B na istom tom mjestu. Tako vrijedi
10
266664a11 · · · a1n...
. . ....
am1 · · · amn
377775+
266664b11 · · · b1n...
. . ....
bm1 · · · bmn
377775 =
266664a11 + b11 · · · a1n + b1n
.... . .
...
am1 + bm1 · · · amn + bmn
377775Za λ ∈ F i bilo koju matricu A ∈ Mmn definiramo produkt te matrice sa skalarom λ
kao matricu C = (cij) koja je istog tipa kao i matrica A i za cije elemente vrijedi
cij = λaij,
za sve i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n. Pisemo C = λA. Dakle, matrica se mnozi skalarom
tako da se svaki element matrice mnozi tim skalarom.
λ
266664a11 · · · a1n...
. . ....
am1 · · · amn
377775 =
266664λa11 · · · λa1n
.... . .
...
λam1 · · · λamn
377775
Svojstva ovih dviju operacija su:
1. asocijativnost zbrajanja
(∀A,B,C ∈Mmn) A+ (B + C) = (A+B) + C
2. postojanje nul elementa
(∃0 ∈Mmn)(∀A ∈Mmn) A+ 0 = 0 + A = A
3. postojanje suprotnog elementa
(∀A ∈Mmn)(∃(−A) ∈Mmn) A+ (−A) = (−A) + A = 0
4. komutativnost zbrajanja
(∀A,B ∈Mmn) A+B = B + A
5. kompatibilnost mnozenja
(∀α, β ∈ F)(∀A ∈Mmn) α(βA) = (αβ)A
11
6. distributivnost mnozenja prema zbrajanju u Mmn
(∀α ∈ F)(∀A,B ∈Mmn) α(A+B) = αA+ αB
7. distributivnost mnozenja prema zbrajanju u F
(∀α, β ∈ F)(∀A ∈Mmn) (α + β)A = αA+ βA
8. netrivijalnost mnozenja
(1 ∈ F) (∀A ∈Mmn) 1 · A = A
Kazemo da skup svih matrica Mmn uz operacije zbrajanja matrica i mnozenje skalara i
matrice cini vektorski prostor.
Mnozenje matrica znatno je slozenija operacija od zbrajanja matrica ili pak mnozenja
matrica skalarom. Da bi postojao umnozak dviju matrica, broj stupaca prve mora biti
jednak broju redaka druge matrice. Za uredeni par matrica (A,B) kazemo da je ulancan
ako druga matrica ima toliko redaka koliko prva ima stupaca. Rezultat mnozenja dviju
matrica A i B je matrica koja ima jednak broj redaka kao prva i jednak broj stupaca kao
druga matrica.
Neka je A = (aij) tipa m × n, B = (bij) tipa n × p. Tada je opci element umnoska dan
formulom
(AB)ij := ai1b1j + ai2b2j + . . .+ ainbnj =nX
k=1
(aikbkj)
Navedimo neka svojstva mnozenja matrica.
1. Mnozenje matrica je asocijativno, tj. vrijedi
A(BC) = (AB)C,
kad god je umnozak (s bilo koje strane) definiran.
2. Mnozenje matrica je kompatibilno, tj.
(λA)B = λ(AB) = A(λB), ∀λ ∈ F.
12
3. Mnozenje matrica je distributivno prema zbrajanju, tj.
(A+B)C = AC +BC, A(B + C) = AB + AC.
4. Ako je I jedinicna matrica reda n, tad za svaku kvadratnu matricu A istog reda
vrijedi
AI = IA = A.
13
4. Determinante
4.1. Definicija determinante
Determinanta A −→ detA je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a
poprima vrijednosti iz skupa skalara. Osim oznake detA ili det(A) za determinantu
kvadratne matrice
A =
2666666664a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
3777777775 ,koriste se jos i oznake |A|, |aij| ili ako je vazno elemente matrice dati eksplicitno
detA =
��������������
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
��������������.
U ovoj notaciji elemente determinante, stupce, retke, red determinante, glavnu i sporednu
dijagonalu definiramo analogno kao i u pripadnoj matrici.
Determinantu matrice definiramo induktivno, odnosno determinanta matrice n-tog reda
definira se pomocu determinante matrice (n− 1)-vog reda.
Definicija 4.1 (Determinanta prvog reda) 9 Determinanta matrice A = [a] je broj
a.
Prije definicije matrice drugog reda, promotrimo sustav
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
(1)
koji je ekvivalentan sustavu
(a11a22 − a12a21)x1 = b1a22 − a12b2
(a11a22 − a12a21)x2 = b2a11 − a21b1.(2)
9Vidi [5]
14
Drugi smo sustav dobili na nacin da smo prvu jednadzbu sustava (1) pomnozili s a22 i
pribrojali joj drugu jednadzbu prethodno pomnozenu s −a12. Druga jednadzba dobiva
se tako da drugu jednadzbu sustava (1) pomnozimo s a11, a prvu jednadzbu s −a21 i
zbrojimo ih. Struktura sustava (2) navodi nas da definiramo:
Definicija 4.2 Determinantom matrice A =
264 a11 a12
a21 a22
375 zovemo broj detA = a11a22 −
a12a21.
Sada pomocu determinante sustav (2) mozemo krace zapisati u obliku:
x1D = D1, x2D = D2 (3)
gdje su
D =
������� a11 a12
a21 a22
������� , D1 =
������� b1 a12
b2 a22
������� , D2 =
������� a11 b1
a21 b2
������� .Uocimo da je D determinanta matrice sustava (1). Determinanta Di, i = 1, 2, dobiva se
iz determinante D, tako da se njen i-ti stupac zamijeni stupcem slobodnih koeficijenata.
Kao motivaciju za definiciju determinante matrice treceg reda, razmotrimo sustav:
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3.
(4)
Pomnozimo li jednadzbe toga sustava redom s
a22a33 − a23a32, −(a12a33 − a13a32), a12a23 − a13a22,
odnosno s ������� a22 a23
a32 a33
������� , −
������� a12 a13
a32 a33
������� ,������� a12 a13
a22 a23
������� ,
15
a zatim dobivene jednadzbe zbrojimo, dobivamo jednadzbu:
x1
�a11
������� a22 a23
a32 a33
�������− a21������� a12 a13
a32 a33
�������+ a31
������� a12 a13
a22 a23
��������
=
b1
������� a22 a23
a32 a33
�������− b2������� a12 a13
a32 a33
�������+ b3
������� a12 a13
a22 a23
������� . (5)
Determinantu matrice treceg reda definirat cemo pomocu determinante drugog reda:
Definicija 4.3 (Determinanta treceg reda) Determinanta matrice
A =
266664a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
377775je broj detA = a11
������� a22 a23
a32 a33
�������− a21������� a12 a13
a32 a33
�������+ a31
������� a12 a13
a22 a23
������� .Sada jednakost (5) mozemo zapisati u obliku:
x1D = D1, (6)
gdje su
D =
�����������a11 a12 a12
a21 a22 a23
a31 a32 a33
����������� , D1 =
�����������b1 a12 a12
b2 a22 a23
b3 a32 a33
����������� .Slicne jednadzbe imamo za x2 i x3:
x2D = D2, x3D = D3. (7)
Mozemo uociti da je D determinanta matrice sustava (4), a Di, i = 1, 2, 3, determinanta
koja se iz determinante D dobiva zamjenom i-tog stupca stupcem slobodnih koeficijenata.
16
Kada smo definirali determinantu prvog, drugog i treceg reda, mozemo definirati de-
terminantu n-tog reda. Neka je
A =
2666666664a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
3777777775 (8)
Definicija 4.4 (Determinanta n-tog reda) Neka je A = [aij] kvadratna matrica reda
n (8). Tada je njena determinanta,
za svaki 1 ≤ i ≤ n (razvoj po i-tom retku)
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin =nX
i=1
aijAij,
za svaki 1 ≤ j ≤ n (razvoj po j-tom stupcu)
detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj =nX
j=1
aijAij,
pri cemu je kofaktor Aij, (i, j = 1, . . . , n) elementa aij
Aij = (−1)i+jMij.
Ako izostavimo i-ti redak ili j-ti stupac matrice A, dobit cemo matricu ciju determinantu
zovemo subdeterminanta ili minora i oznacavamo je s Mij.
4.2. Svojstva determinante
U ovom poglavlju ce biti navedena neka od najznacajnijih svojstava determinanti. Vecina
svojstava ce biti dokazana metodom matematicke indukcije. Sljedece su tvrdnje iskazane
za retke determinanti, no potpuno identicne tvrdnje vrijede i ako je rijec o stupcima
determinante.
Svojstvo 4.1 Determinanta jedinicne n× n matrice je jednaka 1.
17
Dokaz 4.1 Tvrdnju dokazujemo indukcijom po n. Za n = 1 tvrdnja je ocita.������� 1 0
0 1
������� = 1 · 1− 0 · 0 = 1− 0 = 1
Takoder je ocito da brisanjem prvog retka i prvog stupca u jedinicnoj n × n matrici In
dobivamo jedinicnu (n − 1) × (n − 1) matricu In−1, pa iz definicije slijedi det In = 1 ·
det In−1 = 1 · 1 = 1.
Svojstvo 4.2 Determinanta se mnozi skalarom tako da se jedan (bilo koji) njezin redak
mnozi tim skalarom.
Dokaz 4.2 Neka je A pocetna matrica, a A′
matrica kojoj je jedan redak pomnozen ska-
larom λ. Neka je to npr. prvi redak. Tada vrijedi
detA′=
nXj=1
(λa1j)A1j =nX
j=1
λa1jA1j = λnX
j=1
a1jA1j = λ detA.
Svojstvo 4.3 Ako matrica A ima dva jednaka retka, onda je detA = 0.
Dokaz 4.3 Dokaz provodimo indukcijom.
Za n = 2 imamo |A| =
������� a b
a b
������� = ab − ab = 0. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za sve
determinante reda n i dokazimo da vrijedi za determinante reda n+ 1. Neka je matrica A
reda n+1 s dva jednaka retka i neka su to upravo i-ti i j-ti redak. Razvojem determinante
po bilo kojem od preostalih redaka, npr. k-tom (k 6= i, k 6= j)
detA =nX
i=1
((−1)k+laklAkl).
Pri tome je Akl determinanta matrice reda n cija su dva retka jednaka, a takva je po
pretpostavci indukcije jednaka nuli. Zato je i detA = 0.
Svojstvo 4.4 Ako matrica A ima redak sastavljen od samih nula, tada je detA = 0.
Dokaz 4.4 Razvojem po tom retku tvrdnja neposredno slijedi. Primjetimo da determi-
nantu mozemo razviti i po nekom drugom retku ili stupcu i primjeniti indukciju.
18
Svojstvo 4.5 Determinanta trokutaste matrice jednaka je umnosku elemenata na dija-
gonali.
Dokaz 4.5 Za matrice reda n = 2 tvrdnja vrijedi:������� a11 a12
0 a22
������� =
������� a11 0
a21 a22
������� = a11a22.
Pokazimo u opcem slucaju za determinantu gornjetrokutaste matrice. Ona ima oblik
|A| =
������������������
a11 a12 a13 · · · a1n
0 a22 a23 · · · a2n
0 0 a33 · · · a3n...
......
. . ....
0 0 0 · · · ann
������������������Razvojem po prvom stupcu dobivamo:
|A| = a11
��������������
a22 a23 · · · a2n
0 a33 · · · a3n...
.... . .
...
0 0 · · · ann
��������������= a11|A
′|
i mozemo nastaviti razvijajuci determinantu nizeg reda |A′ | (i sve ostale nakon nje) po-
novno po prvom stupcu. Dobit cemo u konacnom rezultatu umnozak dijagonalnih ele-
menata. Druga je mogucnost da vec nakon prvog koraka primjenimo indukciju: dobivena
matrica A′
je reda n−1. Za nju vrijedi induktivna pretpostavka da je njezina determinanta
jednaka umnosku dijagonalnih elemenata
A′= a22a33 · · · ann,
cime je tvrdnja dokazana.
Napomena 4.1 Za donjetrokutaste matrice razvoj bi isao po prvom retku.
19
Svojstvo 4.6 Transponiranjem matrice vrijednost determinante se ne mijenja
detA = detAT .
Dokaz 4.6 Za matrice reda 2 imamo������� a b
c d
������� = ad− bc =
������� a c
b d
������� .Umjesto da ispisujemo korak indukcije prelazeci s matrica reda n na matrice reda n+ 1,
dovoljno ce biti opisati prijelaz na matrice reda 3. Opci se slucaj ne razlikuje od ovoga,
jedino mu je zapis slozeniji. Neka je matrica A reda 3. Determinantu transponirane
matrice razvijamo po prvome retku:
detAT =
�����������a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
����������� = a11
������� a22 a32
a23 a33
�������− a21������� a12 a32
a13 a33
�������+ a31
������� a12 a22
a13 a23
�������Ovdje koristimo pretpostavku indukcije, tj. u minorama reda dva mozemo zamijeniti retke
i stupce.
detAT = a11
������� a22 a23
a32 a33
�������− a21������� a12 a13
a32 a33
�������+ a31
������� a12 a13
a22 a23
������� =
�����������a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
�����������Posljednja jednakost vrijedi jer je to upravo rastav determinante po prvom stupcu.
Svojstvo 4.7 Rastave li se svi elementi nekog retka matrice na zbroj dvaju elemenata,
onda je determinanta jednaka zbroju dviju odgovarajucih determinanti.
Dokaz 4.7 Prije samog dokaza potrebno je pojasniti sto se zeli pokazati ovim svojstvom.
Pri tome cemo koristiti zapis u kojem redak matrice, odnosno determinante, prikazujemo
u obliku vektora. Neka je bas prvi redak onaj o kojem govori ovo svojstvo. Tada moramo
20
pokazati da vrijedi ��������������
a′1 + a
′′1
a2...
an
��������������=
��������������
a′1
a2...
an
��������������+
��������������
a′′1
a2...
an
��������������.
Svaki element prvog retka prikazan je u obliku sume dvaju elemenata. Rastavom de-
terminante po tom retku dobivamo
detA =nX
j=1
(a′
1 + a′′
1)A1j
=nX
j=1
a′
1A1j +nX
j=1
a′′
1A1j
= detA′+ detA
′′
Svojstvo 4.8 Ako zamjenimo dva retka matrice, determinanta mijenja predznak.
Dokaz 4.8 Pretpostavimo da zelimo zamjeniti i-ti i j-ti redak matrice A, dok svi ostali
ostaju nepromijenjeni. Kako bi dokazali svojstvo, krenut cemo od matrice koja ima sve
retke jednake recima matrice A, osim sto su i-ti i j-ti redak medusobno jednaki i odgova-
raju zbroju tih redaka matrice A. Odgovarajuca je determinanta jednaka nuli. Koristeci
Svojstvo 4.7, imamo sljedeci racun:
0 =
������������������
...
ai + aj...
ai + aj...
������������������=
������������������
...
ai...
ai...
������������������+
������������������
...
aj...
ai...
������������������+
������������������
...
ai...
aj...
������������������+
������������������
...
aj...
aj...
������������������Prva i posljednja determinanta su ponovno jednake nuli jer imaju dva jednaka retka. Na
21
taj smo nacin dobili
0 =
������������������
...
aj...
ai...
������������������+
������������������
...
ai...
aj...
������������������,
sto je i trebalo pokazati.
Svojstvo 4.9 Ako nekom retku matrice dodamo neki drugi redak pomnozen skalarom,
vrijednost determinante nece se promijeniti.
Dokaz 4.9 Bez smanjenja opcenitosti mozemo pretpostaviti da se svojstvo odnosi na prvi
i drugi redak matrice. Prema prethodnim svojstvima, opravdan je sljedeci racun�����������a1
λa1 + a2...
����������� =
�����������a1
λa1...
�����������+�����������a1
a2...
����������� = λ
�����������a1
a1...
�����������+�����������a1
a2...
����������� =
�����������a1
a2...
����������� .Time je svojstvo dokazano.
Svojstvo 4.10 Ako je matrica singularna, determinanta joj je nula; ako je matrica inver-
tibilna, determinanta joj je razlicita od nule.
Dokaz 4.10 Redukcija singularnu matricu vodi na matricu s redom 0, pa joj determi-
nanta mora biti jednaka nuli. Regularnu matrica mozemo pomocu elementarnih transfor-
macija svesti na gornjetrokutastu matricu ciji ce svi dijagonalni elementi biti razliciti od
nule. Determinanta takve matrice se od determinante polazne matrice razlikuje do na
predznak (ako ne koristimo elementarnu transformaciju mnozenja retka sa skalarom) ili
do na skalar razlicit od nule (ukoliko koristimo i tu elementarnu transformaciju). Time
smo dokazali da je determinanta regularne matrice razlicita od nule.
Svojstvo 4.11 [Binet-Cauchyjev teorem] Determinanta umnoska dviju matrica jednaka
je umnosku determinanti
det(AB) = detA · detB. (9)
22
Da bi mogli dokazati ovaj teorem, najprije moramo pokazati da vrijedi sljedeca lema:
Lema 4.1 Ako je E elementarna matrica istog tipa kao i A, tada je
detAE = detA · detE. (10)
Dokaz leme 4.1 Neka je E matrica koja nastaje iz matrice I medusobnom zamjenom
dvaju redaka; tada je po Svojstvu 4.8
detE = − det I = −1,
jer je det I = 1. Dakle tada je
detA · detE = detA · (−1) = − detA. (11)
Buduci da je AE matrica koja se dobije iz A medusobnom zamjenom dvaju stupaca, to je
po Svojstvima 4.6 i 4.8
det(AE) = − detA. (12)
Iz (11) i (12) vidimo da vrijedi (10).
Uzmimo sada da je E matrica koja se dobije iz I tako da i-ti redak te matrice pomnozimo
s k. Tada je po Svojstvu 4.2
detE = k · det I = k,
pa je
detA · detE = (detA) · k = k · detA. (13)
Buduci da je AE matrica koja se dobije iz A tako da se i-ti stupac pomnozi sa k, to je po
Svojstvu 4.2
detAE = k · detA (14)
Iz (13) i (14) vidimo da vrijedi (10). Konacno, uzmimo da je E matrica koja se dobije iz
I tako da i-tom retku dodamo j-ti pomnozen s k. Tada je po Svojstvu 4.9
detE = det I,
23
pa je
detA · detE = detA. (15)
Iz (14) i (15) vidimo da vrijedi (10). Determinanta matrice AE ce biti jednaka determi-
nanti matrice A buduci da se i-tom retku matrice A dodaje j-ti redak matrice A pomnozen
s k, a pri tome determinanta ostaje ista. Time je ova lema dokazana.
Dokaz 4.11 Ako je B regularna matrica, tada postoje elementarne matrice Q1, Q2, . . . ,
Qs tako da vrijedi
Q1 ·Q2 · · ·QsB = I.
Ta jednakost povlaci jednakost B = Q−1s · · ·Q−1
2 ·Q−11 ili krace zapisano
B = Es · · ·E2 · E1, (16)
gdje je Ei = Q−1i . Matrice E1, E2, . . . , Es su elementarne matrice jer je inverz elemen-
tarne matrice elementarna matrica. Produkt AB mozemo pisati u obliku
AB = AEs · · ·E2E1.
Na temelju leme je
det(AB) = det(AEs · · ·E2) · detE1
= [det(AEs · · ·E3) · detE2] · detE1
= detA · detEs · · · detE2 · detE1
ili
detAB = detA · detB
jer je
detB = det(Es · · ·E2 · E1)
= detEs · · · detE2 · detE1.
Ako je B singularna matrica, tada je singularna i matrica AB pa je u tom slucaju
detB = 0, detAB = 0.
Dakle, i u tom slucaju vrijedi jednakost (9). Time je dokaz zavrsen.
24
4.3. Geometrijsko znacenje determinante konacnog reda
Determinantu mozemo shvatiti i kao funkciju koja je definirana na skupu redaka matrice
A 10. Ekvivalentno se moze pokazati polazeci od skupa stupaca. To znaci da je
detA = det
266664a11 · · · a1n...
...
an1 · · · ann
377775 = det
�266664a11...
a1n
377775 , . . . ,266664an1...
ann
377775�
= det(~r1, . . . , ~rn).
Pri tome retke, kao i vektore pisemo u obliku vektor - stupaca. Izracunajmo povrsinu
paralelograma odredenog s ~r1 i ~r2 smjestenih tako da je rotacija od ~r1 prema ~r2 u smjeru
kretanja kazaljke na satu.
Slika 1. Paralelogram odreden s ~r1 i ~r2.
Donja polovina paralelograma je trokut povrsine:
(a11 + a21)(a12 + a22)
2− a11a12
2− a21a22
2− a11a22 =
a12a21 − a11a222
,
10Vidi [2]
25
sto znaci da je povrsina a12a21 − a11a22 broj veci od 0. Prema tome, mozemo zakljuciti
da je P povrsina paralelograma dana s P = |a11a22 − a12a21|.
I u slucaju matrice treceg reda determinantu mozemo promatrati kao funkciju redaka
det
266664a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
377775 = det(~r1, ~r2, ~r3).
Sada determinantu mozemo povezati s volumenom paralelepipeda, koje vektori ~r1, ~r2,
~r3 odreduju u prostoru, tako da njena vrijednost bude razlicita od nule ako su vektori
razliciti od nule i ne leze u jednoj ravnini ili na jednom pravcu. Najjednostavniji poseban
slucaj nastaje ako su ~r1, ~r2, ~r3 visekratnici jedinicnih vektora~i, ~j, ~k u smjeru koordinatnih
osi: ~r1 = a1~i, ~r2 = a2~j, ~r3 = a3~k. Izraz za volumen V kvadra koji oni odreduju je tada V =
|a1a2a3|; izraz od kojega se uzima apsolutna vrijednost moze biti pozitivan i negativan.
Analogno izrazu za povrsinu paralelograma u ravnini, u ovom posebnom slucaju mozemo
uzeti da je
detA = a1a2a3, V = | detA|.
Primjer 4.1 Odredimo determinantu jedinicne matrice 2× 2 i 3× 3.
U slucaju 2× 2 matrice,
I2 =
264 1 0
0 1
375 ,det I2 odgovara vrijednosti povrsine jedinicnog kvadrata u ravnini. U slucaju matrice
I3 =
2666641 0 0
0 1 0
0 0 1
377775 ,det I3 je volumen jedinicne kocke u pravokutnom koordinatnom sustavu.
26
Slika 2. Geometrijski prikaz jedinicne matrice 2× 2 i 3× 3.
5. Metode racunanja determinanti matrica n-tog reda
U prethodnom smo poglavlju racunali determinantu matrice pomocu definicije. Mozemo
primjetiti da je za matricu reda jedan ili dva to ocito, no za matrice reda tri ili vise postu-
pak racunanja nije tako jednostavan. Zato postoje razne metode kojima se determinanta
racuna.
Laplaceov razvoj determinante moze se provesti po bilo kojem stupcu ili retku deter-
minante. Neka je matrica A reda n.
Laplaceov razvoj po i-tom retku:
detA =nX
j=1
aijAij
Laplaceov razvoj po j-tom stupcu:
detA =nX
i=1
aijAij
Primjer 5.1 Izracunajte determinantu matrice A =
2666641 3 −5
−1 2 0
4 6 3
377775 Laplaceovim razvo-
jem po trecem stupcu.
27
Rjesenje:
detA =
�����������1 3 −5
−1 2 0
4 6 3
����������� = (−1)4 · (−5) ·
������� −1 2
4 6
�������+ (−1)5 · 0 ·
������� 1 3
4 6
�������+ (−1)6 · 3 ·
������� 1 3
−1 2
�������= (−5) · (−6− 8) + 0 · (6− 12) + 3 · (2 + 3) = −5 · (−14) + 0 + 3 · 5 = 70 + 15 = 85
5.1. Svodenje matrica na trokutasti oblik
Metoda se sastoji u transformiranju matrice elementarnim transformacijama u oblik u ko-
jem su svi elementi s jedne strane glavne dijagonale jednaki nuli. Tada je prema Svojstvu
4.5 vrijednost determinante matrice jednaka produktu elemenata na glavnoj dijagonali.
Primjer 5.2 Izracunajte determinantu matrice A =
26666666666664
1 x12 x13 · · · x1n
1 2 x23 · · · x2n
1 2 3 · · · x3n...
......
. . ....
1 2 3 · · · n
37777777777775Rjesenje:
D =
������������������
1 x12 x13 · · · x1n
1 2 x23 · · · x2n
1 2 3 · · · x3n...
......
. . ....
1 2 3 · · · n
������������������Pomnozimo prvi redak s −1 i dodajmo ga svim ostalim retcima. Dobit cemo
D =
������������������
1 x12 x13 · · · x1n
1 2 x23 · · · x2n
1 2 3 · · · x3n...
......
. . ....
1 2 3 · · · n
������������������=
������������������
1 x12 x13 · · · x1n
0 2− x12 x23 − x13 · · · x2n − x1n0 2− x12 3− x13 · · · x3n − x1n...
......
. . ....
0 2− x12 3− x13 · · · n− x1n
������������������
28
Dalje se postupak nastavlja analogno. Drugi redak pomnozimo s −1 i dodamo ostalim
retcima. Postupak se ponavlja dok ne dodemo do (n− 1)-og retka. Tada se dobije:
D =
������������������
1 x12 x13 · · · x1n
0 2− x12 x23 − x13 · · · x2n − x1n0 0 3− x23 · · · x3n − x1n...
......
. . ....
0 0 0 · · · n− xn−1,n
������������������= (2− x12)(3− x23) · · · (n− xn−1,n).
Primjer 5.3 Izracunajte determinantu matrice A =
26666666641 2 0 −1
2 3 −1 0
0 −1 2 4
−1 0 4 −1
3777777775 svodenjem
matrice na trokutasti oblik.
Rjesenje:
detA =
��������������
1 2 0 −1
2 3 −1 0
0 −1 2 4
−1 0 4 −1
��������������Najprije pomnozimo prvi redak s −2 i dodamo ga drugom redku. Takoder dodamo prvi
redak zadnjem redku. Nakon toga ce determinanta izgledati:��������������
1 2 0 −1
0 −1 −1 2
0 −1 2 4
0 2 4 −2
��������������.
Nakon toga pomnozimo drugi reda s −1 i dodamo ga trecem retku. Isto tako pomnozimo
drugi redak sa 2 i dodamo ga zadnjem retku.
29
��������������
1 2 0 −1
0 −1 −1 2
0 0 3 2
0 0 2 2
��������������.
Da bi matrica bila trokutasta, na mjestu a43 mora biti nula. Zato cemo treci redak
pomnoziti s −23
i dodati ga zadnjem retku. Primjenom Svojstva 4.2 izracunat cemo de-
terminantu matrice A ��������������
1 2 0 −1
0 −1 −1 2
0 0 3 2
0 0 0 23
��������������= 1 · (−1) · 3 · 2
3= −2.
5.2. Metoda promjene elemenata u determinanti
Neka je
D =
��������������
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
��������������determinanta kvadratne matrice A, a
fD =
��������������
a11 + x a12 + x · · · a1n + x
a21 + x a22 + x · · · a2n + x...
.... . .
...
an1 + x an2 + x · · · ann + x
��������������determinanta u kojoj smo svakom njenom elementu dodali broj x. Primjenom Svojstva
4.2, rastavimo determinantu fD po prvom retku na zbroj dvije determinante. Nakon
toga svaku od njih rastavimo na zbroj dvije determinante po drugom retku i analogno
nastavimo rastavljati do ntog retka. Prema Svojstvu 4.3 determinante s dva ili vise redaka
30
koji se sastoje samo od elemenata x jednake su nuli. Svojstvo 4.2 primjenimo nad one
koje sadrze jedan redak s elementima x i razvijemo Laplaceovim pravilom po tom retku.
Dobit cemo:
fD =
��������������
a11 + x a12 + x · · · a1n + x
a21 + x a22 + x · · · a2n + x...
.... . .
...
an1 + x an2 + x · · · ann + x
��������������
=
��������������
a11 a12 · · · a1n
a21 + x a22 + x · · · a2n + x...
.... . .
...
an1 + x an2 + x · · · ann + x
��������������+
��������������
x x · · · x
a21 + x a22 + x · · · a2n + x...
.... . .
...
an1 + x an2 + x · · · ann + x
��������������
=
��������������
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 + x an2 + x · · · ann + x
��������������+
��������������
a11 a12 · · · a1n
x x · · · x...
.... . .
...
an1 + x an2 + x · · · ann + x
��������������
+
��������������
x x · · · x
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 + x an2 + x · · · ann + x
��������������+
��������������
x x · · · x
x x · · · x...
.... . .
...
an1 + x an2 + x · · · ann + x
��������������| {z }=0
Dalje se nastavlja analogno rastavljati od treceg do n-tog retka da bi se dobilo:
=
��������������
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
��������������+
nXi=1
0BBBBBBBBBBBBBBBBBBB@
a11 a12 · · · a1n...
.... . .
...
ai−1,1 ai−1,2 · · · ai−1,n
x x · · · x
ai+1,1 ai+1,2 · · · ai+1,n
......
. . ....
an1 an2 · · · ann
1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCA
31
= D +nX
i=1
xnX
j=1
Aij = D + xnX
i,j=1
Aij,
gdje je Aij algebarski komplement elemenata aij.
Primjer 5.4 Metodom promjene elemenata u determinanti izracunajte determinantu ma-
trice
A =
26666666642 1 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2
3777777775 .Rjesenje:
detA =
��������������
2 1 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2
��������������=
��������������
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
��������������+
��������������
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 1 1
��������������+
��������������
1 0 0 0
0 1 0 0
1 1 1 1
0 0 0 1
��������������+
��������������
1 0 0 0
1 1 1 1
0 0 1 0
0 0 0 1
��������������+
��������������
1 1 1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
��������������= 5
5.3. Metoda rekurzivnih relacija
Neka je
Dn = pDn−1 + rDn−2, n ≥ 3 (17)
dvoclana rekurzija s konstantnim koeficijentima. Postoje dva slucaja:
1. za r = 0
Dn = pDn−1 = p(pDn−2) = p2Dn−2 = · · · = pn−1D1. (18)
2. r 6= 0
Rekurziji (17) pridruzujemo karakteristicni polinom k(x) = x2− px− r. Neka su x1
32
i x2 korijeni karakteristicne jednadzbe x2 − px− r = 0.
Tada imamo slucajeve:
a) x1 6= x2, onda je
Dn = k1xn1 + k2x
n2 , n ∈ N, (19)
gdje se konstante k1 i k2 odrede pomocu poznatih D1 i D2, tj.
k1 =D2 − x2D1
x1(x1 − x2), (20)
k2 = −D2 −D1x1x2(x1 − x2)
. (21)
b) x1 = x2, onda je
Dn = xn−11 D1 + (n− 1)xn−1
1 (D2 − x1D1), n ∈ N. (22)
Primjer 5.5 Izracunajte determinantu matrice A =
26666666646 5 0 0
1 6 5 0
0 1 6 5
0 0 1 6
3777777775 .Rjesenje:
D4 =
��������������
6 5 0 0
1 6 5 0
0 1 6 5
0 0 1 6
��������������= 6 · (−1)2 ·
�����������6 5 0
1 6 5
0 1 6
�����������+ 5 · (−1)3 ·
�����������1 5 0
0 6 5
0 1 6
����������� = 6 ·D3− 5 · 1 · (−1)2 ·
������� 6 5
1 6
������� = 6 ·D3 − 5 ·D2. Za daljnji racun, moramo odrediti vrijednost determinante D1
i D2.
D1 =���� 6
���� = 6, D2 =
������� 6 5
1 6
������� = 6 · 6− 5 · 1 = 36− 5 = 31
Rjesenja karakteristicne jednadzbe x2 − 6x + 5 = 0 su x1 = 5 i x2 = 1. Pomocu formula
33
(20) i (21) odredimo koeficijente k1 i k2 koje uvrstimo u formulu (19) zajedno s rjesenjima
x1 i x2. Dobit cemo da je k1 = 54, a k2 = −1
4. Konacno slijedi
D4 =5
4· 54 − 1
4· 14 = 781
5.4. Gauss-Chioov postupak
Promatrajmo ove dvije determinante:
A =
�����������a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
����������� , B =
�����������a11 −a12 −a13
0 a11 0
0 0 a11
�����������i njihov produkt
AB =
�����������a211 0 0
a11a21 a11a22 − a12a21 a11a23 − a13a21a11a31 a11a32 − a12a31 a11a33 − a13a31
�����������
=
����������������������
a211 0 0
a11a21
������� a11 a12
a21 a22
�������������� a11 a13
a21 a23
�������a11a31
������� a11 a12
a31 a32
�������������� a11 a13
a31 a33
�������
����������������������
= a211
���������������
������� a11 a12
a21 a22
�������������� a11 a13
a21 a23
�������������� a11 a12
a31 a32
�������������� a11 a13
a31 a33
�������
���������������
34
Kako je B = a311, u slucaju kad je a11 6= 0, iz posljednje jednakosti dobijemo
A =
�����������a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
����������� =1
a11
������� (a11a22) (a11a23)
(a11a32) (a11a33)
������� ,
gdje je, na primjer, (a11a22) =
������� a11 a12
a21 a22
������� . Element a11 6= 0 zove se stozerni element.
Uzmimo sada determinantu cetvrtog reda A = |aik|, (i, k = 1, 2, 3, 4) i usporedo s njom
promatrajmo determinantu
B =
��������������
a11 −a12 −a13 −a140 a11 0 0
0 0 a11 0
0 0 0 a11
��������������.
Ako determinante A i BT pomnozimo, dobit cemo
ABT =
��������������
a211 0 0 0
a11a21 (a11a22) (a11a23) (a11a24)
a11a31 (a11a32) (a11a33) (a11a34)
a11a41 (a11a42) (a11a43) (a11a44)
��������������= a211
�����������(a11a22) (a11a23) (a11a24)
(a11a32) (a11a33) (a11a34)
(a11a42) (a11a43) (a11a44)
�����������
.
Kako je B = a411, iz posljednje jednakosti, ako je a11 6= 0, tada je��������������
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
��������������=
1
a211
�����������(a11a22) (a11a23) (a11a24)
(a11a32) (a11a33) (a11a34)
(a11a42) (a11a43) (a11a44)
�����������
35
Za determinantu reda n dobit cemo sljedecu formulu kondenzacije��������������
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
��������������=
1
an−211
��������������
(a11a22) (a11a23) · · · (a11a2n)
(a11a32) (a11a33) · · · (a11a3n)...
.... . .
...
(a11an2) (a11an3) · (a11ann)
��������������, (23)
gdje je a11 6= 0. Ako je a11 = 0, tada cemo za stozerni element uzeti neki drugi element
koji je razlicit od nule. Promatrajmo ponovno determinantu treceg reda A = |aik|, (i, k =
1, 2, 3) i usporedo sa njom determinantu
C =
�����������a12 0 0
−a12 a11 0
0 −a13 a12
����������� .Produkt determinanti A i CT je
ACT =
�����������a11a12 0 0
a21a22 (a11a22) (a12a23)
a31a12 (a11a32) (a12a33)
����������� = a11a12
������� (a11a22) (a12a23)
(a11a32) (a12a33)
������� .Kako je C = a212a11, iz posljednje jednakosti, a pri uvjetu a11a12 6= 0, slijedi�����������
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
����������� =1
a12
������� (a11a22) (a12a23)
(a11a32) (a12a33)
������� .Ova jednakost takoder vrijedi kada je a11 = 0. Ako podemo od jednakosti��������������
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
��������������
��������������
a13 −a12 0 0
0 a11 −a13 0
0 0 a12 −a140 0 0 a13
��������������=
��������������
a11a13 0 0 0
a21a13 (a11a22) (a12a23) (a13a24)
a31a13 (a11a32) (a12a33) (a13a34)
a41a13 (a11a42) (a12a43) (a13a44)
��������������= a11a13
�����������(a11a22) (a12a23) (a13a24)
(a11a32) (a12a33) (a13a34)
(a11a42) (a12a43) (a13a44)
����������� .
36
Za a11a12a13 6= 0, nalazimo��������������
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
��������������=
1
a12a13
�����������(a11a22) (a12a23) (a13a24)
(a11a32) (a12a33) (a13a34)
(a11a42) (a12a43) (a13a44)
����������� .Ova jednakost vrijedi i u slucaju kada je a11 = 0. Na analogan se nacin dokazuje i opca
formula ��������������
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
��������������=
n−1Yr=2
1
a1r
��������������
(a11a22) (a12a23) · · · (a1,n−1a2n)
(a11a32) (a12a33) · · · (a1,n−1a3n)...
.... . .
...
(a11an2) (a12an3) · · · (a1,n−1ann)
��������������, (24)
gdje jen−1Yr=2
a1r 6= 0.
Pomocu formula (23) i (24) sveli smo determinantu matrice A na jednu determinantu
reda n − 1. Navedeni nacin svodenja determinante reda n na jednu determinantu reda
n− 1 zove se Gauss-Chioov postupak kondenzacije determinante.
Primjer 5.6 Gauss-Chioovim postupkom odredi determinantu matrice A =
26666666641 2 0 1
2 3 −1 0
0 −1 2 4
−1 0 4 −1
3777777775 .Rjesenje:
detA =
��������������
1 2 0 1
2 3 −1 0
0 −1 2 4
−1 0 4 −1
��������������= 1
14−2 ·
�������������������������
������� 1 2
2 3
�������������� 1 0
2 −1
�������������� 1 1
2 0
�������������� 1 2
0 −1
�������������� 1 0
0 2
�������������� 1 1
0 4
�������������� 1 2
−1 0
�������������� 1 0
−1 4
�������������� 1 1
−1 −1
�������
�������������������������
=
�����������−1 −1 −2
−1 2 4
2 4 0
����������� =
37
11·(−1)
����������������
������� −1 −1
−1 2
�������������� −1 −1
−1 4
�������������� −1 −1
2 4
�������������� −1 −2
2 0
�������
����������������= (−1) ·
������� −3 −6
−2 4
������� = (−1) · (−12− 12) = 24
5.5. Vandermondeova determinanta
Dani su parovi tocaka (ai, bi), i = 0, . . . , n gdje su bi = f(ai) vrijednosti dane funkcije f
u tockama ai. Funkciju f zelimo aproksimirati polinomom p(a) stupnja n pri cemu treba
vrijediti p(ai) = bi = f(ai). Tako dobiveni polinom nazivamo interpolacijski polinom.
Ako p(a) prikazemo u kanonskom obliku
p(a) = c0 + c1a+ c2a2 + · · ·+ cna
n
tada treba odrediti koeficijente c0, . . . , cn tako da vrijede uvjeti interpolacije p(ai) =
bi, i = 0, . . . , n , tj.
c0 + c1a0 + c2a20 + · · ·+ cn−1a
n−10 + cna
n0 = b0
c0 + c1a1 + c2a21 + · · ·+ cn−1a
n−11 + cna
n1 = b1
......
c0 + c1ai + c2a2i + · · ·+ cn−1a
n−1i + cna
ni = bi
......
c0 + c1an + c2a2n + · · ·+ cn−1a
n−1n + cna
nn = bn
(25)
Vidimo da svaki uvjet interpolacije daje jednu jednadzbu u kojoj se nepoznati koefi-
cijenti pojavljuju linearno. Sve jednadzbe cine sustav linearnih jednadzbi kojeg mozemo
matricno zapisati u obliku V · c = b , tj.
38
26666666666666664
1 a0 a20 a30 · · · an−10 an0
1 a1 a21 a31 · · · an−11 an1
......
......
......
1 ai a2i a3i · · · an−1i ani
......
......
......
1 an a2n a3n · · · an−1n ann
37777777777777775
26666666666666664
c0
c1...
ci...
cn
37777777777777775=
26666666666666664
b0
b1...
bi...
bn
37777777777777775.
Matrica V zove se Vandermondeova matrica. Zahvaljujuci njenom specijalnom obliku,
moguce je odrediti c = V −1b.
Definicija 5.1 Determinanta
V (a1, a2, . . . , an) =
��������������
1 a1 · · · an−11
1 a2 · · · an−12
......
. . ....
1 an · · · an−1n
��������������zove se Vandermondeova determinanta.
Dodajmo elementima drugog stupca ove determinante elemente prvog stupca pret-
hodno pomnozene s −a1. Isto tako dodajmo elementima treceg stupca elemente drugog
stupca prethodno pomnozene s −a1 i tako sve do posljednjeg stupca. Na taj nacin se
dobije
V (a1, a2, . . . , an) =
��������������
1 0 0 · · · 0
1 (a2 − a1) a2(a2 − a1) · · · an−22 (a2 − a1)
......
.... . .
...
1 (an − a1) an(an − a1) · · · an−2n (an − a1)
��������������tj.
V (a1, a2, . . . , an) = (a2 − a1)(a3 − a1) · · · (an − a1)V (a2, a3, . . . , an),
39
gdje je
V (a2, a3, . . . , an) =
��������������
1 a2 · · · an−22
1 a3 · · · an−23
......
. . ....
1 an · · · an−2n
��������������.
Primjenom navedenog postupka i imajuci u vidu da je
V (an−1, an) =
������� 1 an−1
1 an
������� = an − an−1,
dobije se
V (a1, a2, . . . , an) = (a2 − a1)(a3 − a1) · · · (an − a1)V (a2, a3, · · · an)
V (a2, a3, . . . , an) = (a3 − a2)(a4 − a2) · · · (an − a2)V (a3, a4, · · · an)...
V (an−2, an−1, an) = (an−1 − an−2)(an − an−2)V (an−1, an).
Iz cega slijedi
V (a1, a2, . . . , an) = (a2 − a1)(a3 − a1) · · · (an − a1)
×(a3 − a2)(a4 − a2) · · · (an − a2)...
×(an − an−1)
Ovaj se rezultat moze predstaviti u sazetom obliku
V (a1, a2, . . . , an) =Y
1≤k<i≤n
(ai − ak).
Primjer 5.7 Odredimo interpolacijski polinom ciji graf prolazi tockama
ai -2 -1 1 2 4
bi 26 -2 -4 -2 128
40
• Dane tocke uvrstimo u (25)
c0 − 2c1 + 4c2 − 8c3 + 16c4 = 26
c0 − c1 + c2 − c3 + c4 = −2
c0 + c1 + c2 + c3 + c4 = −4
c0 + 2c1 + 4c2 + 8c3 + 16c4 = −2
c0 + 4c1 + 16c2 + 64c3 + 256c4 = 128
• Cramerovim pravilom11 rijesimo sustav:26666666666664
1 −2 4 −8 16
1 −1 1 −1 1
1 1 1 1 1
1 2 4 8 16
1 4 16 64 256
37777777777775
26666666666664
c0
c1
c2
c3
c4
37777777777775=
26666666666664
26
−2
−4
−2
128
37777777777775• Na prethodno opisan nacin odredimo Vandermondeovu determinantu:
D =
������������������
1 −2 4 −8 16
1 −1 1 −1 1
1 1 1 1 1
1 2 4 8 16
1 4 16 64 256
������������������= (4− (−2))(4− (−1))(4− 1)(4− 2)(2− 1)(2− (−1))(2− (−2))
(1− (−1))(1− (−2))(−1− (−2))
= 6 · 5 · 3 · 2 · 1 · 3 · 4 · 2 · 3 · 1
= 12960
• Odredimo vrijednosti determinanti D0, D1, D2, D3 i D4 jednom od metoda opisanih
11Vidi [2], 199. str.
41
u ovome radu:
D0 =
������������������
26 −2 4 −8 16
−2 −1 1 −1 1
−4 1 1 1 1
−2 2 4 8 16
128 4 16 64 256
������������������= −51840
D1 =
������������������
1 26 4 −8 16
1 −2 1 −1 1
1 −4 1 1 1
1 −2 4 8 16
1 128 16 64 256
������������������= 12960
D2 =
������������������
1 −2 26 −8 16
1 −1 −2 −1 1
1 1 −4 1 1
1 2 −2 8 16
1 4 128 64 256
������������������= 0
D3 =
������������������
1 −2 4 26 16
1 −1 1 −2 1
1 1 1 −4 1
1 2 4 −2 16
1 4 16 128 256
������������������= −25920
D4 =
������������������
1 −2 4 −8 26
1 −1 1 −1 −2
1 1 1 1 −4
1 2 4 8 −2
1 4 16 64 128
������������������= 12960
42
• Rjesenje sustava je:
c0 =D0
D=−51840
12960= −4, c1 =
D1
D=
12960
12960= 1,
c2 =D2
D=
0
12960= 0, c3 =
D3
D=−25920
12960= −2,
c4 =D4
D=
12960
12960= 1
• Sada mozemo odrediti interpolacijski polinom:
p(a) = a4 − 2a3 + a− 4
43
Sazetak
U radu je opisan razvoj matrica i determinanti kroz povijest. Navedena je definicija ma-
trice te je opisan postupak zbrajanja i mnozenja matrica. Takoder je dana induktivna
definicija determinante te su navedena i dokazana svojstva determinante. Kao jedno
od znacajnijih svojstava iskazan je i dokazan Binet-Cauchy teorem. Opisane su metode
racunanja determinanti matrica n-tog reda: svodenje matrica na trokutasti oblik, metoda
promjene elemenata u determinanti, metoda rekurzivnih relacija, Gauss-Chioov postu-
pak, te je kao poseban slucaj navedena Vandermondeova determinanta. Svaka od njih je
ilustrirana primjerima.
44
Methods of computing determinants of the n-th order
Summary
This paper describes the development of matrices and determinants. The above is denfi-
nition of matrices and is described the process of addition and multiplication of matrices.
It also has been given inductive definition of determinants and are listed and proven
properties of determinants. As one of the most important properties is presented and
proven Binet-Cauchy theorem. We described the methods of computing determinants of
matrices n-th order: the reduction of matrices to triangular form, method of changing
elements in the determinant, the method of recursive relations, Gauss-Chioov process and
Vandermonde’s determinant. Each of them is illustrated by examples.
45
Literatura
[1] F. M. Bruckler: Povijest matematike I, Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku,
Odjel za matematiku, 2007.
[2] D. Butkovic: Predavanja iz linearne algebre, Odjel za matematiku, Osijek, 2010.
[3] N. Elezovic: Linearna algebra, Element, Zagreb, 2003.
[4] K. Horvatic: Linearna algebra II. dio, Matematicki odjel PMF-a Sveucilista u Za-
grebu, Zagreb, 1995.
[5] D. Jukic, R. Scitovski: Matematika I., Prehrambeno tehnoloski fakultet; Elektro-
tehnicki fakultet, Osijek, 1998.
[6] D. Kurepa: Visa algebra, Skolska knjiga Zagreb, 1965.
[7] D. S. Mitrinovic, D. Z. Dokovic: Polinomi i matrice, Izdavacko-informativni
centar centar studenata, Beograd, 1975.
[8] M.Radic: Algebra II. dio, Skolska knjiga Zagreb, 1972.
46
Zivotopis
Rodena sam 17. ozujka 1985. godine u Vinkovcima. Prvi razred osnovne skole Ivana
Mazuranica u Vinkovcima pocela sam pohadati 1991.godine. Osnovnoskolsko obrazovanje
okoncala sam 1999.godine kada upisujem Gimnaziju Matije Antuna Reljkovica, opci smjer,
takoder u Vinkovcima. Odjel za matematiku, smjer matematika i informatika, upisala sam
2003. godine. Od rujna 2010. godine do listopada 2011. godine sam zaposlena u Gimnaziji
Matije Antuna Reljkovica u Vinkovcima gdje predajem matematiku i informatiku. Od
studenog 2011. godine sam zaposlena u osnovnoj skoli Bartol Kasic u Vinkovcima gdje
predajem matematiku.