dipartimento di informatica - nessun titolo diapositiva...congettura di goldbach (1742) proposizione...
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Progamma sintetico
• Nozioni preliminari
• Automi Finiti
• Macchine di Turing
• Limiti delle macchine di Turing
• La tesi di Church-Turing
• Le classi P e NP
•
Nozioni preliminari
•Conoscenza del significato dei termini:
Definizione, Enunciato, Dimostrazione, Implicazione, Equivalenza,...
• Familiarità con i vari tipi di dimostrazioni:
per contraddizione, prova per induzione, …
• Definizioni delle operazioni logiche AND, OR, NOT.
• Alfabeti
• Stringhe
• Linguaggi
DIMOSTRAZIONE ?
DIMOSTRAZIONE
Metodo per stabilire una verità
DIMOSTRAZIONE
Metodo per stabilire una verità
Differente in vari campi
• Legale: giuria – prove processuali
• Scientifica: esperimenti ripetibili
• Filosofica: persuasione basata su argomenti plausibili
DIMOSTRAZIONE
Metodo per stabilire una verità
Differente in vari campi
• Legale: giuria – prove processuali
• Scientifica: esperimenti ripetibili
• Filosofica: persuasione basata su argomenti plausibili
Cartesio: “Cogito ergo sum,”
Deriva esistenza dal fatto di pensare sull'esistenza
PROVA Matematica
Una prova formale è una catena di deduzioni logiche che portano ad una affermazione partendo da un insieme di assunzioni
c=cent E=Euro
Assunzione 1E=100c
1 c= 0,01 E=(0,1 E)2=(10c)2=100c=1E
?
Dimostrazione
c=cent E=Euro
1 c= 0,01 E=(0,1 E)2=(10c)2=100c=1E
ERRATA!!
Affermazione
Se a e b sono due numeri reali uguali allora a = 0.
Affermazione
Se a e b sono due numeri reali uguali allora a = 0.
Dimostrazione
Assunzione a=b
Affermazione errata:
Se a e b sono due numeri reali uguali allora a = 0.
Dimostrazione sbagliata:
• Proposizione: affermazione che può essere vera o falsa
• Proposizioni matematiche devono essere formulate in modo preciso
Aldo guarda Beatrice con il binocolo
• Proposizione: affermazione che può essere vera o falsa
• Proposizioni matematiche devono essere formulate in modo preciso
Aldo guarda Beatrice con il binocolo
• Proposizione: affermazione che può essere vera o falsa
• Proposizioni matematiche devono essere formulate in modo preciso
Aldo guarda Beatrice con il binocolo
• Devono riferirsi ad oggetti ben definiti matematicamente (numeri, insiemi, funzioni,...)
• Es. 2 + 3 = 5.
Proposizione: può essere vera o falsa
Dimostrazione: Data una proposizione, vogliamo dimostrare che essa è vera.
Es.Proposizione p(n)=n2+n+41 è numero primo
per ogni n > 1.
Come facciamo?
Es.p(n)=n2+n+41 è primo
per ogni n > 1.
Proviamo per qualche valorep(1)=43 primoP(2)=47 primoP(3)=53 primo
Proviamo per qualche valorep(1)=43 primoP(2)=47 primoP(3)=53 primo…P(20)=461 primo
Es.p(n)=n2+n+41 è primo
per ogni n > 1.
Proviamo per qualche valorep(1)=43 primoP(2)=47 primoP(3)=53 primo…P(20)=461 primo…P(39)=1601 primo
VERA?
Es.p(n)=n2+n+41 è primo
per ogni n > 1.
Proviamo per qualche valorep(1)=43 primoP(2)=47 primoP(3)=53 primo…P(20)=461 primo…P(39)=1601 primo
P(40)=40x40+40+41=41x41 FALSO!
Es.p(n)=n2+n+41 è primo
per ogni n > 1.
Proviamo per qualche valorep(1)=43 primoP(2)=47 primoP(3)=53 primo…P(20)=461 primo…P(39)=1601 primo
P(40)=40x40+40+41=41x41 FALSO!
Es.p(n)=n2+n+41 è primo
per ogni n > 1.
Dimostrazione per esempi=
Esempio di dimostrazione sbagliata
Es.Proposizionea4 +b4 +c4 = d4 non ha soluzione con a, b, c, d interi positivi
Congettura di Eulero del 1769. Dimostrata FALSA 218 anni dopo da Noam Elkies:
a = 95800; b = 217519; c = 414560; d = 422481.
Es.Proposizione313(x3 +y3 ) = z3
non ha soluzione con x,y,z interi positivi
FALSA:controesempio più piccolo ha più di 1000 digit!
Es.Congettura di Goldbach (1742)
Proposizione P(n): n si può scrivere come somma di due primi
per ogni n>2 ?
Non possimo stabilire VERO provando per un numero finito di valori!
Servono altri metodi!
Es.Congettura di Goldbach (1742)
Proposizione P(n): n si può scrivere come somma di due primi
per ogni n>2 ?
Proposizione: affermazione che può essere può essere vera o falsa
Dimostrazione: Data una proposizione, vogliamo dimostrare che essa è vera.
Proposizione P: vera (T) o falsa (F)
Operazioni Logiche: NOT, OR, AND
Tavole di verità:
Implicazioni: Deduzioni logiche per provare nuove proposizioni a partire da altre note (vere)
• P Q(P implica Q: se P è vera allora Q e' vera )
Implicazioni: Deduzioni logiche per provare nuove proposizioni a partire da altre note (vere)
• P Q(P implica Q: se P è vera allora Q è vera )
Es. “Se gli asini volano, allora voi capirete questa lezione.”E’ un insulto?
Implicazioni: Deduzioni logiche per provare nuove proposizioni a partire da altre note (vere)
• P Q(P implica Q: se P è vera allora Q e' vera )
Es. “Se gli asini volano, allora voi capirete questa lezione.”E’ un insulto?Nel linguaggio comune: SiMatematicamente è un affermazione vera!
Implicazioni: Deduzioni logiche per provare nuove proposizioni a partire da altre note (vere)
• P Q(P implica Q: se P è vera allora Q è vera )
Es. “Se gli asini volano, allora voi capirete questa lezione.”E’ un insulto?Nel linguaggio comune: SiMatematicamente è un affermazione vera!
PQ è vera ogni volta che P è falsa o Q è vera
Deduzioni logiche: per provare nuove proposizioni a partire da altre note (vere)
• (P vera, P Q) Allora Q Vera
Es. • P: la vittima è stata uccisa nella vasca da bagno e
ritrovata sul letto• Q: l’omicida ha abbastanza forza da spostare un
cadavere• PQ: se la vittima è stata spostata allora l’assassino ha
abbastanza forza da spostare un cadavere• (P vera, PQ) l’omicida è ‘’forte’’
Deduzioni logiche: per provare nuove proposizioni a partire da altre note (vere)
• (P vera, P Q) ALLORA Q vera
• (P Q; Q falsa) ALLORA P?
Es. • P: la vittima è stata uccisa nella vasca da bagno e
ritrovata sul letto• Q: l’omicida ha abbastanza forza da spostare un
cadavere; Q falsa: l’omicida è debole• PQ: se la vittima è stata spostata allora l’assassino ha
abbastanza forza da spostare un cadavere• (PQ, Q falsa) Il cadavere non può essere stato
spostato
Deduzioni logiche: per provare nuove proposizioni a partire da altre note (vere)
• (P vera, P Q) ALLORA Q vera
• (P Q; Q falsa) ALLORA P Falsa
Deduzioni logiche
• NOT(Q) NOT(P)
Equivalente a PQEs. • P: la vittima è stata uccisa nella vasca da bagno e
ritrovata sul letto• Q: l’omicida è abbastanza ‘’forte’’; • PQ: se la vittima è stata spostata allora l’assassino ha
abbastanza forza da spostare un cadavere• NOT(Q) NOT(P): Se l’omicida non è abbastanza forte
allora la vittima non è stata spostata
Deduzioni logiche
• NOT(Q) NOT(P)
Equivalente a PQ
• NOTA: NOT(P) NOT(Q) NON EQUIVAL. P Q: Es. • P: la vittima è stata uccisa nella vasca da bagno e
ritrovata sul letto• Q: l’omicida è ‘’forte’’; • PQ: se la vittima è stata spostata allora l’assassino ha
abbastanza forza da spostare un cadavere• NOT(P) NOT(Q): Se la vittima non è stata spostata
allora non è vero che l’omicida deve essere forte
Come dimostrare che P Q:1. “Assumiamo P.”2. mostriamo che Q segue
Come dimostrare che P Q:1. “Assumiamo P.”
2. mostriamo che Q segue
Es.Se 0<x<2, allora -x3 + 4x + 1 > 0.
Dim. Assumiamo 0 < x < 2.
Come dimostrare che P Q:1. “Assumiamo P.”
2. mostriamo che Q segue
Es.Se 0 < x < 2, allora -x3 + 4x + 1 > 0.
Dim. Assumiamo 0 < x < 2
Scriviamo -x3 + 4x = x(2 - x)(2 + x)Sappiamo che x, 2 - x, e 2 + x nonnegativi ( >0 ). Allora il loro prodotto è nonnegativo (>0). Sommando 1 abbiamo numero positivo (>0):
-x3 + 4x+1= x(2 - x)(2 + x) + 1 > 0.
“P IFF Q”
equivale a
“P Q” AND “Q P”.
“P IFF Q”
equivale a
“P Q” AND “Q P”.
Provare “iff” :
1. “Proviamo che P implica Q e vice-versa.”
2.“Per prima cosa, mostriamo che
P implica Q.” (Come prima)
3. “Secondo passo, mostriamo che Q
implica P.” (Come prima)
Dimostrazione per contraddizione
per dimostrare P
Schema:
1.Assumiamo che l’ipotesi P è falsa
2.Dimostriamo che NOT(P) NOT(Q) per qualche Q che sappiamo essere vera
3.A questo punto abbiamo una contraddizione e possiamo concludere che P deve essere vera
Teorema. La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale.
Dim.
Assumiamo che ipotesi P è falsa, cioè
NOT(P): sqrt(2)=m/n (m,n interi primi fra loro)
Dimostriamo NOT(P) NOT(Q) [Q: m, n primi tra loro]
Teorema. La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale.
Dim.
Assumiamo che ipotesi P è falsa, cioè
sqrt(2)=m/n (m,n interi primi fra loro)
Dimostriamo NOT(P) NOT(Q) [Q: m, n primi tra loro]
m2 =(n sqrt(2))2=n22 m2=2n2 m2 pari m pari,
Teorema. La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale.
Dim.
Assumiamo che l’ipotesi P è falsa, cioè
sqrt(2)=m/n (m,n interi primi fra loro)
Dimostriamo NOT(P) NOT(Q) [Q: m, n primi tra loro]
m2 =(n sqrt(2))2=n22 m2=2n2 m2 pari m pari,
Poniamo m=2k
Allora 2n2= m2= 4k2 n2=2k2
n pari
Teorema. La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale.
Dim.
Assumiamo che l’ipotesi P è falsa, cioè
sqrt(2)=m/n (m,n interi primi fra loro)
Dimostriamo NOT(P) NOT(Q) [Q: m, n primi tra loro]
m2 =(n sqrt(2))2=n22 m2=2n2 m2 pari m pari,
Poniamo m=2k
Allora 2n2= m2= 4k2 n2=2k2
n pari
Abbiamo che n,m entrambi pari m,n hanno fattore comune 2
Teorema. La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale.
Dim.
Assumiamo che l’ipotesi P è falsa, cioè
sqrt(2)=m/n (m,n interi primi fra loro)
Dimostriamo NOT(P) NOT(Q) [Q: m, n primi tra loro]
m2 =(n sqrt(2))2=n22 m2=2n2 m2 pari m pari,
Poniamo m=2k
Allora 2n2= m2= 4k2 n2=2k2
n pari
Abbiamo che n,m entrambi pari m,n hanno fattore comune 2
A questo punto abbiamo NOT(Q)
possiamo dedurre che P è falsa (cioè sqrt(2) è irrazionale)
Teorema.
La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale.
Dim.
Assumiamo che l’ipotesi è falsa, possiamo scrivere
a) sqrt(2)=m/n
b) con m,n interi primi fra loro
Abbiamo
• m2 =(n sqrt(2))2=n22 m2=2n2 m2 pari m pari,
• Ponendo m=2k si ha 2n2= m2= 4k2 n2=2k2
n pari
Quindi n,m entrambi pari m,n hanno fattore comune 2
che contraddice punto b)
possiamo concludere che sqrt(2) è irrazionale.
Dimostrazioni Corrette in Pratica• Definire il metodo che si vuole seguirees. “Usiamo un distinzione di casi” o
“Ragioniamo per assurdo.”
• Una dimostrazione e` un “saggio” non un calcolo
Approccio errato: sequenza di espressioni senza commenti
Una dimostrazione comprensibile e` un “saggio” inframmezzato da calcoli
Buone dimostrazioni Buoni programmi
Stesso rigore necessario per scrivere programmi funzionanti
• Programma che ''sembra funzionare'' puo` causare molti problemi
Buone dimostrazioni <=> Buoni programmi
Stesso rigore necessario per scrivere programmi funzionanti
• Programma che ''sembra funzionare'' può causare molti problemi
• Es. Therac 25: macchina per radioterapia che ''ogni tanto'' ha ucciso i pazienti per eccesso di radiazioni (problema software)
• Es. (Agosto 2004) problema software usato da United e American Airlines ha messo a terra l'intera flotta delle due compagnie
Buone dimostrazioni Buoni programmi
• Es. Errori di commutazione nei computer di gestione delle chiamate della AT&T rendono inutilizzabile per nove ore la rete interurbana e interstatale statunitense della societa’.
• Es. Il vettore Ariane 5 esplode al decollo. Il 4 giugno 1996 viene lanciato per la prima volta il vettore Ariane 5. Dopo 39 secondi di volo interviene il sistema di autodistruzione, trasformando l’Ariane 5 e il suo carico pagante (quattro satelliti scientifici non assicurati) in quello che e’ stato definito “il piu’ costoso fuoco d’artificio della storia”.Il disastro avviene perche’ un programma del sistema di navigazione tenta di mettere un numero a 64 bit in uno spazio a 16 bit.
INDUZIONE
Data una affermazione, vogliamo dimostrare che essa vale per ogni intero n>a.
Es.La somma dei primi n interi vale n(n+1)/2per ogni n > 1.
INDUZIONE
Vogliamo dimostrare che un certo predicato è vero.
• Formaliziamo con affermazione S(n) • dimostriamo per induzione che S(n) vera
(per ogni intero n>a).
Una dimostrazione per induzione consiste di 2 fasi
1. BASE INDUTTIVA. Si dimostra che l’affermazione è vera per il primo valore, cioè S(a) è vera.
1. PASSO INDUTTIVO. Assumiamo che S(n-1) è vera e dimostriamo che allora anche S(n) è vera.
INDUZIONE
Formalizzazione
S(n):
Si vuole dimostrare per induzione che S(n) vale per ogni n > 1.
Es.La somma dei primi n interi vale n(n+1)/2per ogni n > 1.
2/)1(...211
nnnin
i
INDUZIONE
1. BASE INDUTTIVA. S(a) è vera.2. PASSO INDUTTIVO. S(n-1) implica S(n) vera.
Es.S(n):
Si vuole dimostrare che S(n) vale per ogni n > 1.
2/)1(...211
nnnin
i
INDUZIONE
1. BASE INDUTTIVA. S(a) è vera.2. PASSO INDUTTIVO. S(n-1) implica S(n) vera.
Es.S(n):
Si vuole dimostrare che S(n) vale per ogni n > 1.
Base. S(1) è vera perché
2/)1(...211
nnnin
i
2/)11(111
1
i
i
INDUZIONE
1. BASE INDUTTIVA. S(a) è vera.2. PASSO INDUTTIVO. S(n-1) implica S(n) vera.
Es.S(n):
Si vuole dimostrare che S(n) vale per ogni n > 1.
Base. S(1) è vera perché
Passo. Ipotesi induttiva S(n-1):
2/)11(111
1
i
i
2/)1(1
1
nnin
i
2/)1(...211
nnnin
i
INDUZIONE
1. BASE INDUTTIVA. S(a) è vera.2. PASSO INDUTTIVO. S(n-1) implica S(n) vera.
Es.S(n):
Si vuole dimostrare che S(n) vale per ogni n > 1.
Base. S(1) è vera perché
Passo. Ipotesi induttiva S(n-1):
Si ha
Quindi S(n) è vera.
2
)1(
2
2)1(
2
)1(1
11
nnnnnn
nnnii
n
i
n
i
2/)1(...211
nnnin
i
2/)11(111
1
i
i
2/)1(1
1
nnin
i
INDUZIONE
Esercizio.
Dimostrare per induzione che la seguente affermazione S(n) è vera per ogni intero n>0.
S(n):
2i
i0
n
2n1 1
INDUZIONE
Es. Se x≥4, allora 2x ≥x2
•Affermazione S(x): 2x ≥x2
•Mostriamo per induzione che S(x) vera per ogni x≥4.
Base: x = 4 ⇒ 2x = 24 = 16 e x2 = 42 = 16
Passo I.: Supponiamo che 2x ≥x2 per x ≥ 4 Dobbiamo dimostrare che 2x +1 ≥ (x + 1)2
Abbiamo: 2x +1 = 2 2x ≥ 2 x2 (dalla ipotesi induttiva)
Dimostriamo adesso che 2x2 ≥ (x + 1)2=x2+1+2xSemplificando: x2-2x ≥ 1Se x ≥ 4, x(x-2) ≥ 8>1
VALIDITA’ delle dimostrazioni per INDUZIONE
Dim. per induzione S(n) vera, ogni n>aBase: S(a) vera
Passo induttivo
Minimo controesempio. IPOTESI: S(n) falsa per qualche n.Sia b il più piccolo intero tale che S(b) falsa.
VALIDITA’ delle dimostrazioni per INDUZIONE
Dim. per induzione S(n) vera, ogni n>aBase: S(a) vera
Passo induttivo
Minimo controesempio. IPOTESI: S(n) falsa per qualche n.Sia b il più piccolo intero tale che S(b) falsa.DEDUCIAMO:Se b=a contraddiciamo la base. Quindi b>a.
VALIDITA’ delle dimostrazioni per INDUZIONE
Dim. per induzione S(n) vera, ogni n>aBase: S(a) vera
Passo induttivo
Minimo controesempio. IPOTESI: S(n) falsa per qualche n.Sia b il più piccolo intero tale che S(b) falsa.DEDUCIAMO:Se b=a contraddiciamo la base. Quindi b>a.
Essendo b = minimo intero per cui l’affermazione è falsa, risulta S(b-1) vera (nota b-1 > a).Per il Passo Induttivo, S(b-1) S(b).
Allora S(b) vera
VALIDITA’ delle dimostrazioni per INDUZIONE
Dim. per induzione S(n) vera, ogni n>aBase: S(a) vera
Passo induttivo
Minimo controesempio. IPOTESI: S(n) falsa per qualche n.Sia b il più piccolo intero tale che S(b) falsa.DEDUCIAMO:Se b=a contraddiciamo la base. Quindi b>a.
Essendo b = minimo intero per cui l’affermazione è falsa, risulta S(b-1) vera (nota b-1 > a).Per il Passo Induttivo, S(b-1) S(b).
Allora S(b) vera: contraddizione con assunzione che S(b) falsa. Quindi ipotesi è sbagliata
VALIDITA’ delle dimostrazioni per INDUZIONE
Dim. per induzione S(n) vera, ogni n>aBase: S(a) vera
Passo induttivo
PER CONTRADDIZIONE IPOTESI: S(n) falsa per qualche n.Sia b il più piccolo intero tale che S(b) falsa.DEDUCIAMO:Se b=a contraddiciamo la base. Quindi b>a.
Essendo b = minimo intero per cui l’affermazione è falsa, risulta S(b-1) vera (nota b-1 > a).Per il Passo Induttivo, S(b-1) S(b).
Allora S(b) vera: contraddizione con assunzione che S(b) falsa. Quindi ipotesi è sbagliata,Cioè non esiste intero per cui l’affermazione è falsaCioè S(n) vera per ogni intero
Teorema. Tutti i cavalli hanno lo stesso colore
Dim. Sia P(n): ''in ogni insieme di n cavalli, tutti i cavalli hanno lo stesso colore.''
Mostriamo per induzione che P(n) vera per ogni n ≥ 1.
Base : P (1) vera.
Passo. Assumiamo P (n) vera, n>1.
Consideriamo insieme di n + 1 cavalli:h1 , h2 , . . . , hn , hn+1
Teorema. Tutti i cavalli hanno lo stesso colore
Dim. Sia P(n): ''in ogni insieme di n cavalli, tutti i cavalli hanno lo stesso colore.''
Mostriamo per induzione che P(n) vera per ogni n ≥ 1.
Base : P (1) vera.
Passo. Assumiamo P (n) vera, n>1.
Consideriamo insieme di n + 1 cavalli:h1 , h2 , . . . , hn , hn+1
Per I.I. I primi n cavalli h1 , h2 , . . . , hn hanno stesso colore,
Per I.I. Gli ultimi n cavalli h2 , h3 , . . . , hn+1 hanno stesso colore,
Teorema. Tutti i cavalli hanno lo stesso colore
Dim. Sia P(n): ''in ogni insieme di n cavalli, tutti i cavalli hanno lo stesso colore.''
Mostriamo per induzione che P(n) vera per ogni n ≥ 1.
Base : P (1) vera.
Passo. Assumiamo P (n) vera, n>1.
Consideriamo insieme di n + 1 cavalli:h1 , h2 , . . . , hn , hn+1
Per I.I. I primi n cavalli h1 , h2 , . . . , hn hanno stesso colore,
Per I.I. Gli ultimi n cavalli h2 , h3 , . . . , hn+1 hanno stesso colore,
Quindi h1 , h2 , . . . , hn+1 hanno stesso colore, e P(n+1) vera
Poiche` P (n) P (n + 1), allora P(n) vera per ogni n ≥ 1.
Teorema. Tutti i cavalli hanno lo stesso colore
Dim. Per induzione su n. Sia P(n): ''in ogni insieme di n cavalli, tutti i cavalli hanno lo stesso colore.''
Conseguenza: se n=(numero cavalli nel mondo)
allora tutti cavalli hanno lo stesso colore.
Teorema. Tutti i cavalli hanno lo stesso colore
Dim. Per induzione su n. Sia P(n): ''in ogni insieme di n cavalli, tutti i cavalli hanno lo stesso colore.''
Conseguenza: se n=(numero cavalli nel mondo) allora tutti cavalli hanno lo stesso colore.
Abbiamo provato una cosa FALSA!
ERRORE?
Teorema. Tutti i cavalli hanno lo stesso colore
Dim. Per induzione su n. Sia P(n): ''in ogni insieme di n cavalli, tutti i cavalli hanno lo stesso colore.''
Conseguenza: se n=(numero cavalli nel mondo) allora tutti cavalli hanno lo stesso colore.
Abbiamo provato una cosa FALSA!
ERRORE?
Abbiamo provato:P (1) P (2) P (3), P (3) P (4), etc.
NON P (1) P (2)
INDUZIONE COMPLETA
Vogliamo dimostrare che P(n) vale per ogni intero n>a.
Dimostrazione per induzione completa:
1. BASE INDUTTIVA. Si dimostra che l’affermazione è vera per il primo valore, cioè P(a) è vera.
2. PASSO INDUTTIVO. Assumiamo che P(a), P(a+1),…, P(n-1)
sono tutte vere e dimostriamo che anche P(n) è vera.
Teorema. Ogni intero maggiore di 1 è un prodotto di primi
Dim. Stabiliamo affermazioneP(n): l’intero n è un prodotto di primiVogliamo dimostrare per induzione completa che p(n) vera per ogni n>1.
Teorema. Ogni intero maggiore di 1 è un prodotto di primi
Dim. Stabiliamo affermazioneP(n): l’intero n è un prodotto di primiVogliamo dimostrare per induzione completa che p(n) vera per ogni n>1.
Base. P(2) vera, poichè 2 è primo
Teorema. Ogni intero maggiore di 1 è un prodotto di primi
Dim. Stabiliamo affermazioneP(n): l’intero n è un prodotto di primiVogliamo dimostrare per induzione completa che p(n) vera per ogni n>1.
Base. P(2) vera, poichè 2 è primoPasso. II: p(2),…,p(n-1) vere
Proviamo che P(n) è vera.
Teorema. Ogni intero maggiore di 1 è un prodotto di primi
Dim. Stabiliamo affermazioneP(n): l’intero n è un prodotto di primiVogliamo dimostrare per induzione completa che p(n) vera per ogni n>1.
Base. P(2) vera, poichè 2 è primoPasso. II: p(2),…,p(n-1) vere
Proviamo che P(n) è vera.Se n è primo, okSe n non è primo allora n=km per qualche k e mII ci dice che P(k), p(m) vere,Cioè k ed m sono prodotti di primiQuindi anche il loro prodotto n=km è un prodotto di primi.
Definizioni Induttive
;Una definizione per induzione (o induttiva o ricorsiva)di un insieme di oggetti consiste di una base e di un passo induttivo.
BASE definisce uno o più oggetti elementari. Passo Induttivo definisce la regola che permette di costruire oggetti più complessi in termini di quelli già definiti
Definizioni Induttive
;
BASE definisce uno o più oggetti elementari. Passo Induttivo definisce la regola che permette di costruire oggetti più complessi in termini di quelli già definiti
Es. Definizione induttiva di n! (prodotto primi n interi)
BASE 1!
P.I. n!=n (n-1)! Per ogni n>1
Definizioni Induttive
;
BASE definisce uno o più oggetti elementari. Passo Induttivo definisce la regola che permette di costruire oggetti più complessi in termini di quelli già definiti
Es. Definizione dei numeri di fibonacci
BASE f(0)=f(1)=1
P.I. f(n)=f(n-1)+f(n-2), per ogni n>1
Definizioni Induttive e Dimostrazioni Induttive
;
Es. Mostrare che il numero di fibonacci f(n) soddisfa
f(n)<2n, per ogni n>0
Definizioni Induttive e Dimostrazioni Induttive
;
Dimostrare che il numero di coppie (x,y) con x<y scelti tra 1 ed n è n(n-1)/2