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Dipartimento di Economia

Università degli Studi di Cagliari

___________________________ CORSO DI ECONOMETRIA___________________________

Prof. Paolo Mattana

Lez. 3 – Il processo di inferenza statistica

Differenza fondamentale tra popolazione e campione

Popolazione (o spazio campionario):

In termini tecnici è costituita da tutte le possibili realizzazioni di una variabile casuale

Nel caso di dati economici è costituita da tutte le osservazioni possibili su una variabile (passate, presenti e future). Raramente si arriva a conoscere la popolazione (con variabili di natura economica)

Ciò che si fà, è estrarre un campione da una popolazione (che resta sconosciuta).

NOZIONI DI BASE

Campione:

Un campione può essere definito come un’estrazione di n “oggetti” da una popolazione

E’ detto casuale, o stocastico, se ogni possibile combinazione di n oggetti ha la stessa probabilità di essere selezionata.

Poiché le popolazioni sono spesso inaccessibili (o perché materialmente impossibili da raggiungere o per via dei costi elevati implicati), i campioni restano l’unica fonte di informazione a disposizione dell’econometrico

NOZIONI DI BASE

media campionaria

Quesito cruciale:

Che relazione esiste tra media campionaria e media della popolazione?

Si ricordi che

PRINCIPALI MOMENTI CAMPIONARI

NB:

La media campionaria può essere ben diversa in campione ripetuti (Variabilità campionaria).

E(X)μ

ixn

X 1


La media campionaria

La varianza campionaria

ix

nX

1

n

)X(Xv

2

2


La covarianza campionaria

La correlazione campionaria

In contesti bivariati

n

)Y)(YX(Xs XY

22 )Y(Y)X(X

Y))(YX(X

sss

rYx

XYXY

Problema dell’inferenza:

cosa sappiamo dire sulla popolazione partendo dal campione? NB:

Se il campione riproducesse esattamente i singoli momenti della popolazione di appartenenza la soluzione al problema dell’inferenza sarebbe facile da risolvere. Poiché, invece, ciò non accade sono necessari accorgimenti "tecnici" per capire e utilizzare le informazioni derivabili dai campioni.In particolare, sappiamo “molto” su come si comportano i momenti principali dei campioni rispetto ai corrispondenti valori delle popolazioni

L’INFERENZA STATISTICA

Il nostro problema sarà quello di “fare inferenza” sui parametri della popolazione (a noi sconosciuti) sulla base delle osservazioni campionarie. Come possiamo operare?

Abbiamo tre diverse livelli di intervento. Possiamo richiedere:

• una stima puntuale dei parametri della popolazione (point estimation);

• una prob. che tali parametri si collochino entro due valori limite (interval estimation);

• un’indicazione prob. sul fatto che un particolare parametro della popolazione esibisca determinate caratteristiche (hypothesys testing).


)X...,,X,(Xθ n21ˆ

Costruiamo una funzione

delle osservazioni chiamata stimatore.

Stimatore: variabile casuale che rappresenta il nostro ”miglior” tentativo di catturare il valore vero appartenente alla popolazione.

Come costruiamo stime puntuali?

Esempi di inferenza univariata: come faccio a inferire il valore della media o della varianza di una popolazione generica?


Point estimation

Abbiamo già visto che

Possiamo quindi immaginare di utilizzare la media campionaria come (stimatore non distorto della media (vera) della popolazione).

Stiamo, cioè, costruendo una funzione delle osservazioni (stimatore) per “catturare” il valore vero .

La funzione dei parametri (stimatore), in questo caso, è

μ )XE(


Esempi di stime puntuali

μ)X...XE(Xn

XEn

)XE( ni 21

11

E’ molto interessante studiare le proprietà della media campionaria.

Già sappiamo che:

μXE


Se infiniti campioni casuali di dimensione n sono tratti da unapopolazione generica , allora:),(~ 2σμ

22 1σ

nσ

X

Dimostrazione:


NB:

è indicato come standard error della mediaσn

1

(Che fine fanno le covarianze?)

)X...XVar(Xn

)Var(Xn

)XVar(σ niX 21222 11

nσ

)(nσn

)σσσ(σn

22

22222

2

11

Standard deviation Standard error

Popolazione Medie campionarie



Possiamo ora produrre ulteriori indicazioni sulla media campionaria

Si supponga che la popolazione parentale sia

Allora,

2σμ,N~

/nσμ, N~X 2

Dimostrazione:

Essendo la media campionaria una sommatoria di variabili casuali per assunzione

Allora, essa conserverà le proprietà statistico/distributive della popolazione originaria

/nσμ, N~ 2

Cosa succede se non abbiamo informazioni sulla distribuzione

della popolazione originaria?

Teorema del limite centrale

In grandi campioni, la media campionaria si distribuisce secondo una normale centrata sulla media vera e con varianza pari aindipendentemente dalla forma della distribuzione dellapopolazione originariaSito divertente:

http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/sampling_dist/index.html

2(1/n)σ


Popolazione Campione

X6.18

6.186.18

6.18

X X

X


Inferenza sulla varianza della popolazione

Posso usare:


Per la dimostrazione useremo il sito:

http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/sampling_dist/index.html

1

22

n

)X(Xs

Né accurato, né preciso Preciso e accurato


Preciso, non accurato Accurato, non preciso


Preciso e accurato

Accurato, non preciso


Bias

Né accurato, né precisoPreciso, non accurato


e diciamo che il valore vero θ giace fra i due estremi θ1 e θ2 con una certa probabilità. Gli intervalli di confidenza al 95% e 99% sono quelli più usati

( )nX...,X,Xθ ,ˆ211

( )nX...,X,Xθ ,ˆ212

Possiamo, alternativamente, immaginare di essere interessati a

Conoscere la probabilità che la media della popolazione si trovi fra due intervalli. Costruiamo ora due funzioni delle osservazioni:

Interval estimation


Intervalli di confidenza nel caso della media campionaria

Sappiamo che:

• La media campionaria si distribuisce secondo una normale (teorema del limite centrale);

• Per ogni distribuzione normale: il 95% delle osservazioni è compreso all’interno dell’intervallo:

X

_

σX 1.96

dovenσ/σ X

Quindi, il 95% delle medie sarà compreso nell’intervallo:

nσX 1.96_


Ovviamente, gli intervalli di confidenza possono essere costruitiper ogni parametro stimato, non solo per μ.

Media (σ noto)Media (σ stimato)Differenza tra medie (σ noto)Differenza tra medie (σ stimato)Differenza tra correlazioni

Interval estimation


Se fosse conosciuto potremmo "fare inferenza" sulla popolazione utilizzando le proprietà della distribuzione normale.

Tuttavia, anche quando è sconosciuto possiamo sostituirlo con la DS del campione s, a patto che si abbia a che fare con un campione "grande” .

Cosa possiamo fare per campioni piccoli?


Problema quando il campione è piccolo e non si conosce

• Non possiamo utilizzare la distribuzione normale per formare IC • Possiamo stimare il valore di dal campione

• Dobbiamo però usare la distribuzione t


La t è una FDP che presenta una forma schiacciata rispetto alla Z

E’ stata calcolata dal matematico inglese Gosset (1908), che la pubblicò sotto lo pseudonimo di Student

La sua forma esatta dipende dai gradi di libertà:

GdL = n – parametri da stimare

dove n è la dimensione del campione

I valori della t sono tabulati (oppure si può usare la rete…)


.

Per campioni molto grandi, il valore di s oscilla poco intorno al suovalore medio .

Quindi per valori molto grandi la distribuzione t si avvicina molto a quella di Z ed arriva a coincidere per infiniti gradi di libertà.

Per piccoli campioni le differenze sono notevoli, data l’oscillazione casuale di s intorno a

NB: In generale, la distribuzione t è rilevante ogniqualvolta si abbia:

DISTRIBUZIONE t

n

i

i

nz

/Zt1

2

0

etc15

3.02.151.7.6914

3.02.21.8.6913

……………

9.94.32.9.812

63.712.76.31.01

0.010.050.10.5

Parte della distribuzioneche cade all’esterno dei valori tabulati

Valore critico di t perdf=14 (con valore critico al 5%)

Gra

di

di

lib

ertà

DISTRIBUZIONE t

Usiamo 2.15 al posto di 1.96.

NB:

i valori tabulati della distribuzione t sono più grandi di quelli della distribuzione normale

Quindi, per n = 15, l’intervallo di confidenza del 95% sarà pari a:

ns/mediaIC 2.15

DISTRIBUZIONE t

Esercizio 3.6

135$X 38n 22s

Intervallo al 99%

1) Campione grande

2) 2.58 -1 θ

2.582 θ

Tavole normale standardizzata

Affitto medio


9.2113538

222.58135

38

222.58135 μ

Trovare ora la dimensione del campione che comporta un

Intervallo di confidenza di 2$

222

2.58 n 805X


Esercizio 3.5

Gli onorari orari in un campione di 40 studi risultano in media pari a 25$ con s = 3,7.

Si ottenga un intervallo di confidenza al 95% per tutti i professionisti.

i) Suppongo che il campione sia "grande" posso trovare una Z ~N(0,1) tale che:

0.9521 )θZP(θ


ii) Controllo le tavole (già sappiamo che 1 = - 1,96 ; 2 = 1,96)

iii) Se il campione è piccolo, cosa succede?


ns/μns/ 1.96251.9625

0.95

1.961.96-

ns

μXP i

1.146625

Cosa sappiamo sulla distribuzione della popolazione?

Normale Non normale

Conosciamo σ? Dimensione del campioneGrande?

Piccola?

No Si

Dimensionedel campione

StopPiccola

Grande

ns

μ-Xt

_

=

nsμ-X

Z

_

=

RIEPILOGANDO….

DISTRIBUZIONE CHI-QUADRATO

22

2 =)(=∑ χσμ-X

Zi

i∑

URL utile: http://www.statlets.com/free/pdist.htm-

Se Z1, Z2,…., Zn sono N(0, 1), allora:

Es: sotto H0 si distribuisce secondo un( )

2

21

σ

s-n

Infatti:( ) ( )

∑∑∑ 22

2

2

2

2

=)(==1

Nσ

X-X

σ

X-X

σ

s-n ii

Useremo spesso per fare RSSR - RSSUUR

2χ

DISTRIBUZIONE CHI-QUADRATO

(v = 1 o 2)

0

0

(v = 3 o 5)NB: la distribuzione

approssima una normale

man mano che v sale

vχ

uχ vu

22

DISTRIBUZIONE “ F “ di Fischer

URL utile: http://www.statlets.com/free/pdist.htm-

Se u e v sono due variabili casuali distribuite indipendentemente

secondo un , allora:

Es: sotto H0

si distribuisce secondo una F con u GL al numeratore e v GL al denominatore

2

22

2

21=

σ

s

σ

sF

DISTRIBUZIONE “ F “ di Fischer

0 1 2 3 4 50.00.10.20.30.40.50.60.70.8

d.f.N = 8d.f.D = 20

In questo caso si suggeriscono alcune ipotesi su θ e si accetta o si rifiuta questa ipotesi sulla base dei dati

Teoria

Ipotesi

Deduzione

La teoria è collegata all’ipotesi attraverso la deduzione logica.Deduciamo le ipotesi a partire dalla teoriaSe la teoria è vera, l’ipotesi sarà vera


Hypothesis testing

Nei modelli statistici distinguiamo due tipi di ipotesi

Quelle riguardanti la struttura del modello:

Forma della distribuzione;Modelli di campionamento.

Quelle riguardanti i valori assunti dai parametri delmodello data la sua struttura.

TEST DELLE IPOTESI

I test sull’adeguatezza della struttura del modello sono detti

Test diagnostici

O

Test di cattiva specificazione

I test sui parametri sono detti

Test di specificazione

TEST DELLE IPOTESI

Definizioni

Ipotesi nulla: (H0) ipotesi (tentativo) intorno a un parametro della popolazione

Ipotesi alternativa: (H1) solitamente il complemento rispetto all’universo

Statistica: Una statistica è una quantità numerica calcolata in un campione.

Livello di significatività: il livello di significatività è il criterio usato per rigettare l’ipotesi nulla

TEST DELLE IPOTESI

Approccio di Neyman – Pearson (1933)

Specificare un ipotesi nulla (H0) e un ipotesi alternativa (H1)

Scegliere un livello di significatività α

Calcolare una statistica

Calcolare il p value della distribuzione appropriata sotto H0

Confrontare il p value con α

se p value ≤ α rifiutiamo l’ipotesi nulla;se p value > α non rifiutiamo l’ipotesi nulla.

TEST DELLE IPOTESI

I test di significatività statistica si conducono per stabilire se una ipotesi nulla può essere accettata

Se H0 è rifiutata significatività statistica

Se H0 è non rifiutata assenza di significatività statistica

La scelta di α determina la probabilità di errore di Iª specie

NB:

La significatività statistica di un coefficiente non implica la sua significatività pratica.

TEST DELLE IPOTESI

Errore di Iª specie (α):

Probabilità di rigettare l’ipotesi nulla quando è vera

Errore di IIª specie (β)

Probabilità di non rigettare l’ipotesi nulla quando è falsa

TEST DELLE IPOTESI

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