dinamika kisi kristal
DESCRIPTION
DINAMIKA KISI KRISTALTRANSCRIPT
-
92
Indikator Hasil Belajar
1. Memahami konsep getaran dalam kristal
linier monoatomik
2. Memahami konsep getaran dalam kristal
linier diatomik
-
93
BAB V
DINAMIKA KISI KRISTAL
A. Getaran Dalam Kristal Linier Monoatomik
Kristal linier yang mono-atomik digambarkan dalam gambar 5.1. Indeks posisi n
berjalan dari - sampai +
Gambar 5.1 Getaran dalam Kristal Linier Monoatomik
Kedudukan setimbang atom-atom itu dinyatakan dengan koordinat tetap: 1, , +1, +2
....., yang masing-masing terpisah sejauh jarak a dari tetangga terdekat. Getarannya adalah
longitudinal. Simpangan dari keadaan setimbang masing-masing dinyatakan dengan
,........,,,...... 11 lllll atau massa setiap atom adalah M
Gaya yang bekerja pada atom hanyalah dari tetangga terdekatnya, dan besar gaya itu
mengikuti hukum Hooke, dengan tetapan gaya: . Persamaan gerak atom ke-l adalah :
lllllM 11
atau
11 2 llllM
diandaikan bahwa solusinya adalah :
tklail eA 0
dengan: A0 = amplitude getaran
-
94
k = bilangan gelombang
= frekuensi radial
Substitusi dalam persamaan gerak diatas memberikan:
iakiakiklaikla eeeeM 22
atau iakiak eeM 22
Solusi untuk frekuensi :
2sin
4 22 ka
M
atau
2sin0
ka dengan
21
0
4
M
Dalam hubungan diatas diambil harga mutlak untuk faktor
2sin
ka karena hanya
diperlukan harga yang positif, frekuensi tidak dapat berharga negatif. Hasil yang diperoleh
untuk frekuensi di atas tidak lain daripada hubungan dispersi: kw .
Grafik dispersi itu disertakan pada gambar 5.2 :
Gambar 5.2 Grafik Dispersi
-
95
Catatan mengenai kw :
a. kw setangkup terhadap k = 0; harga k > 0 sesuai denga perambatan gelombang
kekanan (k < 0 sesuai dengan perambatan kekiri)
b. Harga maksimum adalah 0w , diperoleh apabila 12
sin
ka, jadi apabila
12
sin
ka , apabila
ankataun
ka 12
212
2
ambil a
kn
0
c. kecepatan fasa gelombang
2
2
2sin
20
:
2sin
00
0
0
a
ka
ka
avkuntuk
av
akuntuk
k
ka
vjadik
v
d. Kecepatan kelompok gelombang (group velocity)
2cos
2
0 kaa
dk
dvg
Apabila:
k = 0, maka 2
0avg
,jadi apabila k = 0 kecepatan kelompok sama dengan kecepatan
fasa.
04
gvmakak
Interpretasi fisik dari model matematis tersebut.
a. Untuk harga k yang kecil, artinya k
-
96
Terlihat disini suatu hubungan yang linier antara w dan k, seperti halnya pada benda
makro.
Arti k > 2a, artinya panjang gelombang jauh lebih besar dari
jarak antar atomik (sistem yang makro).
b. Untuk k > 2a, maka:
Kecepatan fasa: 2
0av
Kecepatan kelompok: 2
0avg
Artinya kecepatan fasa sama dengan kecepatan kelompok; yang memang diharapkan
apabila kw bersifat linier.
c. Arti dari a
ataua
k
yaitu :
Panjang gelombang yang sesuai dengan a
k
, adalah a2
Hal tersebut digambarkan dalam gambar 5.3
Gambar 5.3
Atom tetangga bergetar dengan fasa yang berlawanan ; gelombang tegak. Kecepatan
kelompok untuk keadaan ini adalah vg = 0,yang sesuai dengan kasus untuk gelombang
tegak.
-
97
d. Arti dari k = 0
Bilangan gelombang k = 0, sesuai dengan harga panjang gelombang = . Ini tidak
lain bahwa semua atom dalam kristal linier tersebut sama fasanya, atau bahwa semua
atom secara bersama bergerak ke satu arah, atau melakukan translasi (ke kanan atau
kekiri). Dalam situasi dengan itu:
2
0avvg
Keadaan ini tidak lagi menggambarkan getaran.
Beberapa istilah yang umum digunakan dalam menelaah getaran dalam kristal adalah :
a. Kasus dengan a
k
, yang sesuai dengan a2 , dinamakan batas gelombang
panjang (long wave length limit).
b. Kasus dengan a
k
, dinamakan kondisi refleksi Bragg; karena apabila suatu
gangguan dengan bilangan gelombang semacam itu dikirimkan melalui kristal linier
tersebut, maka superposisi dari gelombang-gelombang yang dipantulkan oleh masing-
masing atom akan saling menguatkan. (karena jarak antar atom adalah 2
1, dan atom-
atom bergetar dengan fasa yang berlawanan).
Hasil superposisi ini adalah suatu pantulan oleh semua atom kristal linier secara
kolektif; a
k
adalah kondisi Bragg untuk refleksi.
c. Kasus k = 0 adalah translasi kristal sebagai satu kesatuan. Karena maknanya yang
khusus ditinjau kembali keadaan untuk a
k
, atau lebih tepat lagi daerah bilangan
gelombang: a
ka
.
-
98
Getaran suatu kristal linier mono-atomik seperti pada gambar 5.4. Gambar tersebut
menggambarkan getaran transversal.
Gambar 5.4 Getaran Kristal Linier Monoatomik
Titik-titik pada sumbu datar merepresentasikan kedudukan setimbang atom-atom. Titik-titik
penuh menggambarkan kedudukan atom-atom itu pada suatu saat tertentu. Jarak antara
keduanya adalah simpangan dari keadaan setimbang.
Panjang gelombang terpendek bagi gelombang dalam kristal linier yang masih
mempunyai makna fisik adalah apabila:
a2
dengan a jarak antara kedudukan setimbang dari atom-atom kristal yang bersebelahan.
Panjang gelombang a2 itu, sesuai dengan bilangan gelombang a
k
. Oleh karena itu
semua getaran yang mempunyai makna fisik, yaitu dari 0 sampai ,berada dalam
interval bilangan k:
a
k
0
Daerah antara a
ka
dinamakan zona Brillouin pertama, yang merepresentasikan semua
gelombang yang masih mempunyai makna fisik dalam kristal linier. Sebagai ilustrasi dapat
diberiakan contoh pada gambar 5.5.
-
99
Gambar 5.5 Gelombang Pada Zona Brillouin Pertama
Dua gambar pada gambar 5.4 dan 5.5 merepresentasikan suatu situasi fisik yang sama, tetapi
dengan dua representasi matematis yang berbeda, yaitu:
sebagai gelombang dengan a4 dan sebagai gelombang dengan 5
4a masing-masing
gelombang di atas tadi memiliki bilangan gelombang:
45.25.0
kdan
ak
Kedua representasi matematis tersebut digambarkan pada gambar 5.6:
Gambar 5.6
Selanjutnya kita substitusikan kedua harga k tersebut dalam:
2242
5.0 0
dengan
ka
ak
-
100
224
5
25.2 0
dengan
ka
ak
sedangkan harga
akatau
5.2
4sin
4
5sin dan
ak
5.0 member harga
yang sama. Dipadang dari segi ini
ak
5.0 dan
ak
5.2 adalah ekivalen.
Hal tersebut digambarkan dalam sketsa k pada gambar 5.7.
Gambar 5.7
Zona Brillouin pertama: a
ka
B. Getaran Dalam Kristal Linier Diatomik
Kristal linier diatomik mempunyai dua jenis atom yang massanya masing-masing
dinyatakan sebagai M dan m. Atom-atom yang bertetangga dipisahkan oleh jarak sebesar a;
jarak ini diukur untuk keadaan keseimbangannya.
Sketsa keadaan dicantumkan pada gambar 5.8.
-
101
Gambar 5.8 Getaran Dalam Kristal Linier Diatomik
Gaya antar atom adalah antara atom yang bersebelahan; berupa gaya Hooke, dengan tetapan
gaya .
Ada persamaan gerak; masing-masi dan untuk atom bermassa M dan yang bermassa m; kita
ambil yang berada dikedudukan setimbang 122 ll xdanx ,sebagai berikut:
lllllM 2122122
122122212 lllllm
Diharapkan solusi berbentuk.
tlkail eA 222
tlkail eA
12
112
Substitusi memberikan:
212
2 2cos2 AkaAMA
121
2 2cos2 AkaAmA
Ini memberikan persamaan untuk A1 dan A2:
0cos22 2112 AkaAAm
02cos2 221 AMAka
-
102
Yang mempunyai solusi yang tidak trivial apabila
0
2cos2
cos22
2
2
Mka
kam
Yang memberikan pula solusi untuk 2:
0cos142 22222 kaMmMm
0sin42 22222 kaMmmM
21
22
2
2,1
sin41111
mM
ka
MmMm
Ada dua solusi untuk 2 , yaitu:
Mma
kataukuntukMm
kuntukMm
mM
ka
MmMma
;2
;2
112
011
2
sin41111.
2
2
2
2
21
22
2
2
Mma
kataukuntukM
kuntuk
mM
ka
MmMmb
;2
;2
12
00
sin41111.
2
1
2
1
21
22
2
1
Hal tersebut dapat digambarkan pada gambar 5.9
-
103
Gambar 5.9 Cabang Optik dan Cabang Akustik
Sifat solusi
a. Solusi k ternyata terdiri dari dua cabang, yaitu k11 dan k22 .
Masing-masing cabang diberi nama, yaitu cabang akustik (1) dan cabang optik
(2).
b. Daerah getar berjalan dari:
0 sampai 2
1
2
M
,cabang akustik
21
2
M
sampai
21
112
Mm ,cabang optic
Tidak ada getaran antara:
2
1
2
M
sampai
21
2
m
,frequency gap.
c. Untuk harga a
k2
0
2
a
k
gk
V
;baik untuk cabang akustik maupun optik.
d. Untuk harga k = 0
-
104
00 =k
2
kVg
;cabang optik.
e. Untuk harga k = 0
?0 =k
1
kVg
Interpretasi fisik dari hasil yang diperoleh :
a. Daerah harga k yang mempunyai arti fisik adalah dari k = 0 sampai a
k2
; sesuai
dengan panjang gelombang dari a4 sampai .
Untuk a
k2
, 0gV artinya untuk harga itu terjadi refleksi Bragg.
Daerah Brillouin pertama adalah dari k = 0 sampai a
k2
b. Panjang sel satuan adalah a2
c. Beda antara sifat getar cabang optic dan cabang akustik dapat dipelajari dari A1 dan
A2.
Hal itu dapat diperoleh dari persamaan untuk amplitude:
0cos22 212 AkaAm
Solusi untuk batas gelombang panjang ialah apabila k = 0.
Apabila k = 0, maka untuk cabang akustik:
01 , sehingga persamaan di atas menjadi
2121 022 AAAA
Apabila k = 0, maka untuk cabang optik
21
2
112
Mm
0211
22 21
AAm
Mm
-
105
yang menghasilkan:
01212 mAMAatauAM
mA
Jadi apabila atauk 0
Untuk cabang akustik, A1=A2, amplitude getaran sefase dan seharga. Untuk cabang optik,
012 mAMA ; getaran atom bermassa M berlawanan fasa dengan getaran atom bermassa m;
012 mAMA menyatakan bahwa titik pusat massa atom-atom tidak berubah. Keadaan di
atas dapat digambarkan seperti pada gambar 5.10
Gambar 5.10 Getaran Cabang Akustik dan Optik
C. Getaran Dalam Tiga Dimensi
Model matematika tentang getaran untuk suatu kristal linier memberikan suatu
gambaran kualitatif tentang getaran dalam kristal. Hal-hal pokok yang diperoleh adalah
sebagai berikut:
a) Hubungan disperse (k) tidak linier terhadap k, ada simpangan terhadap kelinieran
pada k tinggi (relatif tinggi).
b) Apabila ada atom yang lain jenisnya dalam susunan Kristal, maka terdapat dua
cabang yang sifatnya berlainan, cabang akustik 0,0 kapabila dan
0,0 kapabila .
-
106
c) Bahwa internal k untuk hubungan disperse tidak perlu dari k = - sampai k=+ tetapi
dapat dikembalikan pada suatu daerah terbatas 00 kkk . Ternyata bahwa semua
harga k yang lain dapat dikembalikan ke daerah 0kk termaksud (Daerah Brillouin
Pertama).
d) Refleksi Bragg terjadi apabila panjang gelombang getaran sama dengan panjang sel
satuan, yaitu apabila sel satuan yang bersebelokan bergetar dengan fasa yang
berlawanan.
Model linier sederhana itu tidak dapat menggambarkan sifat-sifat kristal yang
berhubungan dengan getaran, tetapi secara kualitatif memberikan petunjuk mengenai sifat-
sifat yang dapat diharapkan.
Andaikanlah kita mempunyai kisi Bravais tiga dimensi, dengan satu atom per sel
satuan. Maka diandaikan bahwa solusi gelombang yang merambat dalam kristal berbentuk:
trkieAn
.
A
adalah amplitude, dapat memiliki arah-arah berlainan, sesuai dengan polarisasi gelombang.
Apabila solusi diatas disubstitusikan dalam persamaan gerak, maka persamaan sekular
yang terjadi akan memberikan 3 harga untuk 2
Tiga harga i2 berhubungan dengan 3 hubungan dispersi yang semuanya melalui titik k=0.
Fungsi dispersi termaksud tidak sama untuk arah yang berbeda dalam kristal.
-
107
SOAL- SOAL LATIHAN
Kerjakan soal-soal latihan di bawah ini:
1. Dapatkan perbedaan pada cabang optik dan cabang akustik!
2. Untuk harga k = 0 Berapakah kecepatan group untuk cabang akustik, ?0 =k
1
kVg
3. a. Dapatkan kecepatan group dan kecepatan fase pada getaran dalam kristal linier
monoatomik !
b. Bilamana kedua kecepatan tersebut memiliki nilai yang sama?
4. Untuk harga k yang kecil, k
-
108