DINAMIČKI MODEL (SIMETRIČNOG) TROFAZNOG ASINHRONOG MOTORA

ar

as

bs

cscr

asbs

br br

cr

ar

ascs

brbs

cr

arcs

1856-1943

Asinhroni (indukcioni) motorPatent iz1888 godine

Naponska jednačina:

abcs s abcs abcs

abcr r abcr abcr

u it

u it

R

R

Ts srabcs abcs

abcr abcrsr r

i

i

L L

L L

U prethodnim jednačinama koristi se:

T? ? ? ?abc a b cf f f f

Matrice induktivnosti: 0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

s s s s

s s s s s

s s s s

M M M

M M M

M M M

L

Ako uvedemo smenu:2

3

Matrica međusobne induktivnosti statora i rotora:

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cossr srL

L

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

r r r r

r r r r r

r r r r

M M M

M M M

M M M

L

Svođenje rotorskih veličina na stator

/

/

/

abcr r s abcr

abcr s r abcr

abcr s r abcr

i N N i

u N N u

N N

Na osnovu analogije sa magnetno spregnutim kolima

/s s r srM N N L

Može se napisati:

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

ssr sr s

r

NM

N

L L

Ponovo na osnovu analogije sa magnetno spregnutim kolima, može se napisati:

Ako se uzme:

dobija se:

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

r s s s

s r s s

s s r s

M M M

M M M

M M M

Lr

gde je:

2r r s sN N M M

2r s r rN N L L

2r s r rN N

Posle svođenja "rotora na stator" jednačine za fluks i naponske jednačina su:

Ts srabcs abcs

abcr abcrsr r

i

i

L L

L L

Ts s srabcs abcs

abcr abcrsr r r

p pu i

u ip p

R L L

L R L

Pri čemu važi relacija:

pt

- operator diferenciranja

2r s r rN N R R

Na osnovu relacija koje važe za elektro-mehaničku konverziju energije može se napisati izraz za električnu energiju koja se pretvara u mehaničku:

T T T1 1

2 2e abcs s s abcs abcs sr abcr abcr r r abcrW i i i i i i L I L L I

Mehanička snaga motora može se izraziti preko elektromagnetnog momenta i brzine obrtanja:

e e mW mt t

m - stvarni mehanički položaj rotora.

mP - položaj rotora izražen u el.rad/s.

e eW m Pt t

JEDNAČINA MOMENTA

Elektromagnetni moment motora je:

Tee abcs sr abcr

Wm P P i i

L

1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2

sin

3cos

2

as ar br cr bs ar br cr cs ar br cr

e s

as br cr bs cr ar cs ar br

i i i i i i i i i i i i

m P Mi i i i i i i i i

Dobijeni izraz je veoma komplikovan i praktično neupotrebljiv.

TRASFORMACIJA KOORDINATA

• U cilju uprošćenja analize uvodi se novi REFERENTNI q-d-0 -sistem koji može imati proizvoljnu brzinu. Prelazak iz realnog abc - sistema u qd0 - sistem vrši se pomoću matrice transformacije K.

• Izborom brzine referentnog sistema postižu se jednostavnije analize prelaznih procesa.

Izbor referentnog sistema• Stacionarni referentni sistem

obezbeđuje rasprezanje namotaja mašine, čime se pojednostavljuje matrica induktivnosti.

• Sinhrono rotirajući referentni sistem pored rasprezanja koordinata, oslobađa matricu induktivnosti zavisnosti od ugla rotora, odnosno vremena

• Referentni sistem vezan za rotor pruža pogodnosti analize mašina sa dvostranim napajanjem.

rs s

0rs

rs

U slučaju simetričnog sistema, nulta komponenta je nula, u svim referentnim sistemima.

0

T

T0 0

qd s s abcs

abcs as bs cs

qd s qs ds s

f f

f f f f

f f f f

K

Transformacije statorskih veličina

as

bs

cs

asbs

ascs

bs

cs

q

d

rs

cos cos cos2

sin sin sin3

0,5 0,5 0,5

rs rs rs

s rs rs rs

K

0

( ) (0)t

rs rs rst d

1cos sin 1

cos sin 1

cos sin 1

rs rs

s rs rs

rs rs

K

Matrice transformacije

rsr rs

Trenutni položaj rotora u odnosu na referentni sistem.

0

T

T0 0

qd r abcr

abcr ar br cr

qd r qr dr r

f f

f f f f

f f f f

rK

Transformacije rotorskih veličina

ar

as

cr

br

q

d

rsrsr

cos cos cos2

sin sin sin3

0,5 0,5 0,5

rsr rsr rsr

r rsr rsr rsr

K

1cos sin 1

cos sin 1

cos sin 1

rsr rsr

r rsr rsr

rsr rsr

K

Matrice transformacije

0 0

( ) (0) ( ) (0)t t

rs rs rst d t d

rs - trenutni položaj referentnog sistema,

- trenutni položaj rotora motora,

rs - brzina referentnog sistema,

- brzina motora,

s - sinhrona brzina.

2

3

Korišćene oznake

Stacionarni koordinatni sistem

Kada je rs=0, rs (0) = 0 i 2

,3

0

0 0 0,t

rs rsd

2 2cos0 cos 0 cos 0

3 3

2 2 2sin 0 sin 0 sin 0

3 3 3

0,5 0,5 0,5

s

K

Stacionarni koordinatni sistemMatrice transformacije statorskih veličina

1 0,5 0,5

2 3 30

3 2 20,5 0,5 0,5

s

K

1

1 0 1

30,5 1

2

30,5 1

2

s

K

Stacionarni koordinatni sistemMatrice transformacije rotorskih veličina

cos cos cos2

sin sin sin3

0,5 0,5 0,5r

K

1cos sin 1

cos sin 1

cos sin 1r

K

Primer simetričnog trofaznog sistema koji ima konstantnu učestanost:

max

max

max

cos 0

cos 0

cos 0

as s s s

bs s s s

cs s s s

f f t

f f t

f f t

posle transformacije se dobija:

max

max

0

cos 0

sin 0

0 const.

qs s s s

ds s s s

s

f f t

f f t

f

Umesto trofaznog naizmeničnog sistema dobijamo dvofazni sistem.

2 2max s qs dsf f f

Šta se postiže ovom transformacijom?Statorske veličine

Statorske veličine rs=0

0 5 102

1

0

1

2

fas t( )

fbs t( )

fcs t( )

t

0 5 100.1

0.050

0.050.1

f0s t( )

t

0 5 102

1

0

1

2

fqs t( )

fds t( )

t

max

max

max

cos 0

cos 0

cos 0

ar r s r

br r s r

cr r s r

f f t

f f t

f f t

posle transformacije dobija se:

max

max

0

cos 0

sin 0

0

qr r s r

dr r s r

r

f f t

f f t

f

Kada je rs=0, rs (0) = 0 i rsr= 0 – = – za simetričan rotorski

sistem:

Šta se postiže ovom transformacijom?Rotorske veličine

Rotorske veličine rs=0

0 5 102

1

0

1

2

far t( )

fbr t( )

fcr t( )

t

0 5 100.1

0.050

0.050.1

f0r t( )

t

0 5 102

1

0

1

2

fqr t( )

fdr t( )

t

Sinhrono rotirajući koordinatni sistem

Kada je rs= s, rs (0) = 0, s (0) = 0 i 2

,3

0

( ) 0t

rs s s sd

2 2cos cos cos

3 3

2 2 2sin sin sin

3 3 3

0,5 0,5 0,5

s s s

s s s s

K

Sinhrono rotirajući koordinatni sistem

Matrice transformacije statorskih veličina

cos cos cos2

sin sin sin3

0,5 0,5 0,5

s s s

s s s s

K

1cos sin 1

cos sin 1

cos sin 1

s s

s s s

s s

K

Sinhrono rotirajući koordinatni sistem

Matrice transformacije rotorskih veličina

cos cos cos2

sin sin sin3

0,5 0,5 0,5

s s s

r s s s

K

1cos sin 1

cos sin 1

cos sin 1

s s

r s s

s s

K

Primer simetričnog trofaznog sistema koji ima konstantnu učestanost:

max

max

max

cos 0

cos 0

cos 0

as s s s

bs s s s

cs s s s

f f t

f f t

f f t

posle transformacije se dobija:

max

max

0

cos 0

sin 0

0 const.

qs s s

ds s s

s

f f

f f

f

Umesto trofaznog naizmeničnog sistema dobijamo dvofazni sistem. Transformisane veličine se ne menjaju u vremenu.

2 2max s qs dsf f f

Šta se postiže ovom transformacijom?Statorske veličine

Statorske veličine rs= s

0 5 102

1

0

1

2

fas t( )

fbs t( )

fcs t( )

t

0 5 100.1

0.050

0.050.1

f0s t( )

t

0 5 100.5

0

0.5

1

1.5

fqs t( )

fds t( )

t

max

max

max

cos 0

cos 0

cos 0

ar r s r

br r s r

cr r s r

f f t

f f t

f f t

posle transformacije dobija se:

max

max

0

cos 0

sin 0

0

qr r r

dr r r

r

f f

f f

f

Kada je rs=s =const, s (0) = 0 i rsr= r = s –, za simetričan rotorski sistem:

Šta se postiže ovom transformacijom?Rotorske veličine

Rotorske veličine rs= s

0 5 102

1

0

1

2

far t( )

fbr t( )

fcr t( )

t

0 5 100.1

0.050

0.050.1

f0r t( )

t

0 5 100.5

0

0.5

1

1.5

fqr t( )

fdr t( )

t

Prvi karakterističan slučaj: abc abcu i R

Množeći ovu jednačinu sa desne strane sa K dobija se:

10 0qd abc abc qdu u i i K K R K R K

TRANSFORMACIJE NAPONSKIH JEDNAČINA ASINHRONOG MOTORA

Kod simetričnih sistema je:

1 1R R K R K K I K I R

Prema tome dobija se: 0 0qd qdu i R

Drugi karakterističan slučaj: abc abcd

udt

Posle množenja sa K dobija se:

10 0

1 10 0

qd abc qd

qd qd

du u

dtd d

dt dt

K K K

K K K

K

ako je rs = rs .t, sledi:

1sin cos 0

sin cos 0

sin cos 0

rs rs

rs rs rs

rs rs

d

dt

K

10 1 0

1 0 0

0 0 0rs rs

d

dt

K K W

Konačno je:

0 0

0

d

qd rs q qdd

udt

Da bi bilo jasnije, prethodna jednačina se može razbiti na:

0 0

q rs d q

d rs q d

du

dtd

udt

du

dt

0 0

0 0

0 0

0 0

qd s qd ss

rqd r qd r

rs qd s qd s

rs qd r qd r

u i

u i

d

dt

R 0

0 R

W 0

0 W

0 - kvadratna (33) nula matrica.

Izvedene relacije primenjene na naponske jednačine asinhronog motora:

1 10 0

1 10 0

qd s qd ss s s s sr r

qd r qd rr sr s r r r

i

i

K L K K L K

K L K K L K

10 0

0 0

0 0

s

s s s s

s

M

M

M

K L Κ

3

2 sM M

TRANSFORMACIJE JEDNAČINA FLUKSA

ASINHRONOG MOTORA

10 0

0 0

0 0

r

r r r r

r

M

M

M

K L K

110 0

0 0

0 0 0s sr r r sr s

M

M

K L K K L K

U slučaju simetričnog sistema, nulta komponenta je nula u svim referentnim sistemima.

U tom slučaju naponska jednačina asinhronog motora je:

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

p 0 0

p 0 0

0 0 p

0 0 p

qs qss

ds dss

qr qrr

rdr dr

qsrs

rs ds

rs qr

rs dr

u iR

u iR

u iR

Ru i

Veza između flukseva i struja je:

0 0

0 0

0 0

0 0

qs qss

ds dss

qr qrr

rdr dr

iM M

iM M

iM M

M M i

U nekim slučajevima je pogodno uvesti sledeće smene:

 = b  - " fluks po sekundi " Wbs-1 = V;

X? = b L? - reaktansa ;

Xm = b M - reaktansa magnećenja ;

p' = p/b = d()/d(b t) - ovaj novi operator nema dimenziju.

Sada je naponska jednačina: p 0 0

0 0 0p 0 0

0 0 0

0 0 00 0 p

0 0 0

0 0 p

rs

b

qs qs qss rs

bds ds dss

qr qr qrr rs

brdr dr dr

rs

b

u iR

u iR

u iR

Ru i

a izrazi za flukseve: 0 0

0 0

0 0

0 0

qs qss m

ds s m ds

qr m r qr

m rdr dr

iX X

X X i

X X i

X X i

Gde je: s s m r r mX X X X X X

Ekvivalentna šema asinhronog motora po q osi

sR s r rR

qsi qri

qsu M

rs dr rs ds

qru

Ekvivalentna šema asinhronog motora po d osi

sR s r rR

dsi

dsu M

rs qr rs qs

dru

dri

Obratiti pažnju na smerove u generatorima “elektromotorne sile”.

Ako se pođe od jednačine za moment (strana 8):

T1 1

0 0e s qd s sr r qd rm P i i

K L K

mogu se dobiti sledeći izrazi:

3

23

23

23

2

3 1

2

e qs dr ds qr

e qr dr dr qr

e qs ds ds qs

e qs dr ds qrr

e qr dr dr qrb

Pm M i i i i

Pm i i

Pm i i

P Mm i i

L

Pm i i

itd.

3

2e s sP

m i

JEDNAČINE MOMENTA

Potrebno je na već poznate bazne vrednosti dodati:

max

max

2

2

3 / 2

jer imaju istu dimenziju.

qdb s fazno b

qdb s fazno b

b qdb qdb

b qdb

U U U

I I I

P U I

U

Važno je napomenuti da je sada i vreme normalizovano

b t odnosno p

b t

Sve ostalo je kao što je već pokazano.

NORMALIZACIJA

Posle normalizacije naponska jednačina se može napisati u obliku

pogodnom za modelovanje. Ukoliko se izabere rs = s, dobijamo:

N: 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0p

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

qs qs qs qss s

ds ds ds dss s

qr qr qr qrr r

r rdr dr dr dr

u iR

u iR

u iR

Ru i

Jednačina za flukseve može se napisati i u obliku:

0 0

0 010 0

0 0

qs qsr m

ds r m ds

qr m s qr

m sdr dr

i X X

i X X

i X XD

X Xi

gde je:2

s r mD X X X

Elektromagnetni moment motora:

e m qs dr ds qrm X i i i i

Na sličan način se normalizuju i ostali izrazi za moment.

Normalizovana Njutnova jednačina je:

pm b e mT m m gde je:

sbm

b

JT

P M

Mora se zapaziti da je u jednačini brzina obrtanja [rad.el./s], a ne mehanička ugaona brzina m [rad.meh].

Posmatrajmo prethodni sistem jednačina u stacionarnom stanju p'  0.

Definišimo fazore promenljivih u abc – sistemu preko odgovarajućih promenljivih iz qd – sistema.

U skladu sa gornjom slikom može se napisati: 2 a q dF F j F

Im

Re

+

+

Fd

Fq

aF

q

d

Stacionarno stanje

Naponske jednačine u stacionarnom stanju su:

N:

qs s qs s s ds s m dr

ds s ds s s qs s m qr

qr r qr s m ds s r dr

dr r dr s m qs s r qr

U R I X I X I

U R I X I X I

U R I X I X I

U R I X I X I

Napon u a – fazi statora:

1

2as qs ds s s s as s m as arU U j U R j X I j X I I

Napon u a – fazi rotora:

1

2ar qr dr

r s r ar s m as ar

U U jU

R j X I j X I I

Uvedimo smenu: ,s s rs s – klizanje

ar rs r ar s m as ar

U Rj X I j X I I

s s

1

2s qs dsI I j I

Ekvivalentna šema je:

N:sR s sj X s rj X rR s

asI

arI

asU

arU

s mj X

Prelazni procesiStart motora u praznom hodu, promene opterećenja

• Vremenski dijagrami momenta i brzine

• Vremenski dijagrami promene faznih struja statora i rotora

• Mehanička karakteristika (me())• Vremenski dijagram promene qd-komponenti

statorskih i rotorskih struja i flukseva

• Dijagrami prostornih vektora statorske i rotorske struje, statorskog i rotorskog fluksa

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Vremenski dijagram brzine i momenta

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.62

1

0

1

2

3

4

Brz

ina

[r.j.

]M

omen

t [r

.j.]

Vreme [s]

me

mm

Statička karakteristika i dijagram me()

Brzina [r.j.]

Mom

ent

[r.j.

]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.62

1

0

1

2

3

4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.12

1

0

1

2

3

4

Statička karakteristika i dijagram me()

Brzina [r.j.]

Mom

ent

[r.j.

]

0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.11

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Vremenski dijagrami statorskih struja

Vreme [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.66

4

2

0

2

4

6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.66

4

2

0

2

4

6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.66

4

2

0

2

4

6

[r.j.]2

asi

[r.j.]2

bsi

[r.j.]2

csi

Vremenski dijagrami statorskog faznog napona i struje

Vreme [s]

[r.j.]2

asu

[r.j.]2

asi

0.38 0.39 0.4 0.41 0.421.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.68 0.69 0.7 0.71 0.721.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.08 1.09 1.1 1.11 1.121.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Vremenski dijagrami statorskog faznog napona i struje

Vreme [s]

[r.j.]2

asu

[r.j.]2

asi

Vremenski dijagrami statorskog faznog napona i struje

Vreme [s]

[r.j.]2

asu

[r.j.]2

asi

0.94 0.951 0.963 0.974 0.985 0.996 1.008 1.019 1.03 1.041 1.053 1.064 1.075 1.086 1.098 1.109 1.121.2

10.80.60.40.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

NaponStruja

0.96 0.965 0.97 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 11.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.08 1.085 1.09 1.095 1.1 1.105 1.11 1.115 1.121.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Vremenski dijagrami q i d komponente statorske struje

Vreme [s]

[r.j.]qsi

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.61

0

1

2

3

4

5

[r.j.]dsi

Vremenski dijagrami q i d komponente statorskog fluksa

Vreme [s]

[r.j.]qs

[r.j.]ds

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.60.5

0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

Vremenski dijagrami rotorskih struja

Vreme [s]

[r.j.]2

ari

[r.j.]2

bri

[r.j.]2

cri

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.66

4

2

0

2

4

6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.66

4

2

0

2

4

6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.66

4

2

0

2

4

6

Vremenski dijagrami q i d komponente rotorske struje

Vreme [s]

[r.j.]qri

[r.j.]dri

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.64

3

2

1

0

1

Vremenski dijagrami q i d komponente rotorskog fluksa

Vreme [s]

[r.j.]qr

[r.j.]dr

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.61

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Vremenski dijagram statorske i rotorske struje

Vreme [s]

[r.j.]2

ari

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.66

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

[r.j.]2

asi

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

Dijagrami prostornih vektora statorske i rotorske struje

d

[r.j.]si

[r.j.]ri

q

0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Dijagrami prostornih vektora statorskog i rotorskog fluksa

d

[r.j.]s

[r.j.]r

q