9. Efectos de la estratificación

El océano está estratificado, es decir la densidad no es uniforme. Hasta ahora sin embargo hemos considerado un océano homogéneo y estudiamos el efecto de la rotación en su movimiento. Notamos que la rotación imparte al océano una fuerte tendencia al comportamiento columnar, o sea verticalmente rígido. Por el contrario un océano estratificado, que consiste en parcelas de fluído de diferente densidad tenderá a ajustarse bajos los efectos de la gravedad de tal forma que las densidades mayores estén por debajo de las densidades menores. Esta distribución en capas introduce un gradiente vertical en las propiedades del océano, por lo que la rigidez impuesta por la rotación se verá disminuída por la presencia de la estratificación. Por otro lado, la distribución vertical de densidad tenderá a impartir al océano una rigidez horizontal, o sea que tenderá a moverse a lo largo de superficies de densidad constante.

En el primer capítulo vimos que en un océano estratificado la estabilidad vertical está dada por

E=N2

g

donde N es la frecuencia de Brunt-Vaisalla. La frecuencia de Brunt-Vaisala cuantifica la importancia de la estabilidad, y es una variable fundamental en la dinámica de fluídos estratificados. En terminos sencillos, esta frecuencia puede ser interpretada como la frecuencia vertical excitada por un desplazamiento vertical de la parcela de fluido. Por lo tanto, es la mayor frecuencia de las ondas internas en el oceano. Valores tipicos de N son algunos ciclos por hora (ver figura 9.1)

Figura 9.1 – Frecuencia de Brunt-Vaisala en el Pacifico. a) al este de la corriente de Kuroshio, y b) en el tropico. Notar diferencia de escalas. Recordar que 1dbar = 104 Pa ~ 1 m.

Por definición N es

De la misma forma que el número de Rossby marca cuando los efectos de la rotación son importantes en el movimiento, es posible derivar otro número adimensional que indica cuando los efectos de la estratificación son importantes.

Consideremos un océano estratificado de escala vertical H y frecuencia N fluyendo horizontalmente a una velocidad U sobre un obstáculo de largo L y altura Δz (figura 9.2).La presencia del obstáculo fuerza parte del fluído a desplazarse verticalmente y por lo tanto requiere una entrega de energía. La estratificación actúa para restringir o minimizar los desplazamientos verticales forzando al flujo a rodear el obstáculo.

Figura 9.2

Una parcela de fluído demora T=L/U en pasar por el obstáculo. Para subir una altura Δz el fluído debe adquirir una velocidad

Este movimiento vertical induce una perturbación en la estratificación

A su vez esta perturbacion en la densidad induce una perturbación en la presión dada por el balance hidrostático

Para que haya un balance de fuerzas en la dirección horizontal la fuerza del gradiente de presión debe estar acompñada por un cambio en la velocidad del fluído

entonces

De esta expresión el cociente entre la convergencia vertical y la horizontal es

Por lo tanto si U<NH entonces W/H < U/L o sea que la convergencia en la vertical no puede balancear la convergencia horizontal. Por lo tanto el fluido debe rodear parcialmente al obstaculo. Cuanto mayor es la estratificación menor es U comparado a NH y por lo to tanto W/H comparado a U/L.

De este razonamiento concluímos que el número de Froude

Fr= UNH

mide la importancia de la estratificación. Si Fr<1 los efectos de la estratificación son importantes; cuanto mas chico es Fr mayor importancia tiene la estratificación en la dinámica oceánica.

En general, Fr se puede pensar como la velocidad horizontal de una parcela del fluído U sobre la velocidad de las ondas (c=NH).

Es posible definir otro número adimensional que caracteriza la importancia relativa de la rotación y la estratificación en el movimiento del océano: el número de Burger

En el océano H << L, pero en general también Ω << N, por lo que Bu puede ser

de O(1), y en este caso la estratificacion y la rotación son igualmente importantes en el movimiento oceánico. Si Bu=O(1)

En este caso para el océano, para escalas típicas de H=100 m, L=50km. Más adelante veremos que esta escala horizontal se denomina radio de deformación de Rossby interno.

9.1 Densidad como coordenada vertical

En el océano la estable estratificación que aumenta con la profundidad permite usar la densidad como variable vertical, en lugar de la profundidad z. Como la densidad de las parcelas se conserva en el movimiento es posible simplificar la descripción matemática. En el sistema cartesiano de coordenadas z es la variable independiente y ρ(x,y,z,t) es la variable dependiente. En el sistema de coordenadas transformado (x,y,ρ,t), z(x,y,ρ,t) es la variable dependiente. Si a=a(x,y,ρ(x,y,z,t),t) donde a es una funcion cualquiera, de acuerdo a las reglas de cambio de variable se tiene

Si a=z, entonces la primer y tercera ecuaciones dan

0=∂ z∂ x

∂ z∂

∂

∂ x

1=∂ z∂

∂

∂ z

y proveen la regla para cambiar la derivada de ρ a z=cte por aquella de z a ρ=cte. Para cualquier función a podemos escribir entonces

y expresiones similares reemplazando x por y ó t. Asimismo

por lo que la ecuación hidrostática queda de la forma

Lso gradientes horizontales de presión se pueden escribir como

y la forma análoga para y. La función P que juega el rol de la presión en el sistema de coordenadas de densidad se define como

y se denomina potencial de Montgomery.

Usando P en la ecuación hidrostática se obtiene

indicando que P es el sustituto natural de la presión cuando se usan coordenadas de densidad. De ahora en más todas las derivadas con respecto a x, y, t son tomadas a ρ=cte, y el subindice ρ ya no es necesario.

En ausencia de difusión la ecuación de conservación de la energía en el sistema (x,y,z,t) era

∂

∂ tu ∂

∂ xv ∂

∂ yw ∂

∂ z=0

y en el nuevo sistema de coordenadas se puede escribir como

que dice cual es la velocidad vertical necesaria para que la parcela se matenga siempre en la misma isopicnal. Usando esta ecuación podemos eliminar la velocidad vertical de todas las ecuaciones que describen el movimiento del océano.

Así, como el movimiento es ahora a lo largo de superficies de densidad constante la derivada total adquiere una forma bi-dimensional

En ausencia de fricción las ecuaciones de movimiento horizontal quedan

o sea que tienen una forma casi idéntica a las originales en el sistema de coordenas (x,y,z,t) pero con un par de diferencias importantes: la derivada total es a lo largo de isopicnals, la presión p fue reemplazada por el potencial de Montgomery y todas las derivadas temporales y horizontales son tomadas a densidad constante. No obstante, las componentes u y v son todavía las componentes horizontales de velocidad originales, y no son medidas a lo largo de las superficies de densidad.

Para completar el sistema de ecuaciones falta transormar la ecuación de continuidad usando las reglas de transformación de coordenadas y la expresión para la velocidad vertical. Se obtiene

donde

y se puede interpretar como el espesor de la capa de fluído entre la densidad ρ y ρ + Δρ. El valor de Δρ es por ahora arbitrario pero en la sección siguiente se asimilará a la diferencia de densidades entre dos capas adyacentes.

El conjunto de ecuaciones anterior: 2 ecuaciones de momento horizontal, balance hidrostático, continuidad y la definición de h, forman un conjunto completo de ecuaciones para las variables u,v,P,z,h. Una vez conocidas estas variables la presión p y la velocidad vertical w pueden calcularse a partir de las expresiones correspondientes derivadas mas arriba.

9.2 Modelo de capas

Un modelo de capas es una idealización a través de la cual un fluído estratificado es representado por un número finito de capas en movimiento ubicadas una sobre la otra, cada una con densidad uniforme. En este caso la densidad no varía en forma uniforme sino que toma un número finito (discreto) de valores.

Cada capa k=1...m está caracterizada por la densidad ρk, espesor hk, potencial de Montgomery Pk y velocidad horizontal (uk,vk). La superficie entre dos capas se denomina interfase y se describe por su elevación zk medida desde el nivel de superficie medio. El desplazamiento de superficie se denomina z0 (figura 9.3). La altura de las interfaces se nota desde el fondo donde zm=b hacia arriba

La discretización de la relación hidrostática puede usarse para proveer una relación recursiva para evaluar el potencial de Montgomery P desde la superficie

hacia abajo

O sea que la densidad de la capa de mas arriba ρ1 se toma como referencia y se denota ρ0 . Introduciendo la gravedad reducida

las relaciones recursivas anteriores para z y P dan lugar a expresiones simples para la altura de las interfaces y el potencial de Montgomery (figura 9.4).

Figura 9.3 – Modelo de m capas.

Figura 9.4

A veces es útil descartar las ondas gravitatorias de superficie pues viajan mucho más rápidamente que las ondas internas y perturbaciones cuias-geostróficas. Para eliminarlas se considera la aproximación “rigid lid”, o sea que el océano está tapado por una tapa rígida que no permite desplazamientos verticales. Esta aproximación es útil para escalas largas. En este caso z0=0 y existen únicamente (m-1) capas independientes (figura 9.5). Las ecuaciones para este caso se muestran en la figura 9.6.

Figura 9.5 - Modelo de m capas con “rigid lid”.

Figura 9.6

En otras instancias uno quiere estudiar los procesos oceánicos por encima de la termoclina. En estos casos se puede considerar que el océano profundo se encuentra en reposo (figura 9.7). Si mantenemos el número de capas activas en m, entonces asignamos m+1 a la capa profunda que consideramos tiene velocidad nula y por lo tanto un potencial de Montgomery P uniforme. Sin pérdida de generalidad asignamos Pm+1=0. Las ecuaciones en este caso se muestran en la figura 9.8. Estos modelos se conocen como modelos de gravedad reducida.

Figura 9.7 – Modelo de gravedad reducida de m capas.

Figura 9.8

Para cada caso de los anteriores, una vez definidos el espesor de cada capa, la profundidad de la interface y los potenciales de Montgomery, el sistema de ecuaciones queda completo considerando las ecuaciones de momento horizontal y de continuidad, cada una escrita para cada capa.

Más arriba vimos que para L=NH/Ώ los efectos de rotacion y estratificación son comparables. Calculemos este L para un sistema de capas. Si H es una escala típica del espesor de las capas, Δρ es la diferencia de densidad entre dos capas adyacentes entonces es posible derivar una expresión para la frecuencia de Brunt-Vaisalla

donde g' es la gravedad reducida. Sustituyendo en la definición de L se obtiene

L~g ' H

Como la rotación entra en la dinámica a través del parámetro de Coriolis es mas conveniente definir la escala horizontal

llamado radio de deformación de Rossby interno, para diferenciarlo del radio de deformación de Rossby (externo) visto en capítulos anteriores. Como diferencias de densidad en el océano son un porcentaje pequeño de la densidad promedio el radio de deformación interno es menor a 1/10 que el radio de deformación externo.

El modelo de una sola capa activa moviéndose sobre una capa en reposo tiene las siguiente equaciones

y se denomina modelo de aguas someras de gravedad reducida. La gravedad reducida en este caso es g'=g(ρ2-ρ1)/ρ0. El modelo tiene las misma ecuaciones que el modelo de aguas someras, pero con g' en lugar de g.

9.3 Modelo de 2 capas

El modelo de 2 capas es el mínimo que captura las propiedades escenciales de un océano estratificado. En esta sección analizaremos su dinámica. De acuerdo a la sección anterior para un modelo de dos capas se tiene que (despreciando patm)

z0=h1h2bz1=h2b

z2=bP1=0gh1h2b

P2=0gh10gg'h2b

Por lo tanto las ecuaciones son

y la figura 9.9 muestra la notación.

Figura 9.9 – Modelo de 2 capas.

Si introducimos la elevación de la superficie η y el desplazamiento vertical a de la interface entre dos capas de tal forma que

h1+h2+b=H+ ηh2+b=H2+a

donde H y H2 son dos constantes que representan el nivel medio en superficie y en la interface, respectivamente., entonces los términos de presión en la dirección x pueden reescribirse como

y en forma análoga para la dirección y.

Para poder seguir analizando el modelo analíticamente es necesario linealizarlo. En este caso el modelo lineal queda

donde H1=H-H2 es el espesor medio de la capa superior.

Consideremos fondo plano (b=0), y consideremos soluciones de la forma

u2=λu1

v2=λv1

η=μa

o sea que las variables de una capa sean proporcionales a las variables de la otra capa. En este caso las ecuaciones de momento de la capa 2 son iguales a las de la capa 1 si

mientras que la ecuacion de continuidad de la capa 2 es igual a la de la capa 1 si

Eliminando μ entre las dos ecuaciones anteriores se obtiene una ecuacion para λ

Despreciando el cociente g'/g=Δρ/ρ0<<1 las soluciones son de la forma

El signo + de la ecuación resulta en λ=1, o sea un flujo verticalmente uniforme (u1=u2, v1=v2). Este es el llamado modo barotrópico. El desplazamiento de la interface a esta relacionado con la altura de la superficie libre por a=η/μ=H2η/H y por lo tanto a tiene el mismo signo y es una fracción de η. Para este modo no existen diferencias de densidad entre capas y se denomina modo barotrópico.

El signo – de la ecuación provee el otro modo con λ=-H1/H2, H2u2=-H1u1 y H2v2=-H1v1. El transporte integrado verticalmente es nulo para este modo. De la ecuación para λ se tiene que μ=-g'H2/gH es cual es pequeño pues es del orden de la diferencia de densidades relativa Δρ/ρ0. Esto significa que la elevación de la superficie es pequeña comparada con el desplazamiento de la interface a. Para este modo, por lo tanto, el flujo se compensa verticalmente y la superficie es casi rigida. O sea que es un modo interno y se denomina modo baroclínico.

Las ecuaciones que gobiernan la evolución de cada modo separadamente se pueden obtener de la siguiente forma. Para el modo barotrópico se define uT=u1=u2, vT=v1=v2 y a=H2η/H. Dentro de un error de orden Δρ/ρ0 las ecuaciones de momento se reducen a

mientras que la ecuación de continuidad se reduce a

Dividiendo el tiempo entre 1/f, la distancia entre L, y la velocidad entre U las ecuaciones de momento indican que la elevación de la superficie es de órden fLU/g. Sustituyendo esta escala en la ecuación de continuidad requiere que f(fLU/g) sea similar a HU/L. Por lo tanto L2 ~ gH/f2, y podemos definir el radio de

deformación de Rossby barotrópico (o externo)

En forma similar las ecuaciones gobernantes del modo baroclínico son obtenidas definiendo uB=u1-u2 , vB=v1-v2 y η=-(g'H2/gH)a. Sustrayendo las ecuaciones de momento y usando que H1u1=-H2u2 se encuentra que

mientras que sustracción de la ecuación de continuidad da

Para determinar el radio de deformación correspondiente dividimos el tiempo entre 1/f, distancias entre L' y velocidad entre U'. De acuerdo a las ecuaciones de momento los desplazamientos de la interface son de orden fL'U'/g'. Sustituyendo esta escala en la ecuación de continuidad requiere f(fL'U'/g') ~ H1H2U'/HL', o sea que L'2=g'H1H2/f2H. Por lo tanto el radio de deformación de Rossby baroclínico (o interno) es

Notemos que este radio es mucho menor que el externo pues la gravedad reducida es mucho menor que g. Asimismo, notemos que

es la velocidad de propagación de ondas de gravedad internas y es mucho menor

que la velocidad de las ondas gravitatorias externas. El h0

se denomina

profundidad equivalente pues es la profundidad tal que un océano de una capa tendría ondas de gravedad con la misma velocidad de fase que el modo baroclínico del sistema de dos capas.

Puesto que las ecuaciones que gobiernan el modo baroclínico son estructuralmente idénticas a las ecuaciones del modo barotrópico las soluciones también lo serán y por lo tanto todas las soluciones de onda que se vió para las ondas barotrópicas pueden ser aplicadas al modo interno con las definiciones apropiadas de gravedad y profundidad. Mientras que el modo barotrópico es

uniforme en la vertical, el modo baroclínico tiene transporte vertical nulo y por lo tanto velocidades opuestas en cada capa (figura 9.10)

Figura 9.10 – (a) modo barotrópico y (b) modo baroclínico.

Consideremos un océano costero como compuesto de dos capas, una capa superficial de 100 m de profundidad y otra capa inferior de 500m de profundidad. La densidad de la capa de arriba es 1024 kg/m3 y la de la de abajo es 1026 kg/m3. Cual es la velocidad de propagación de las ondas de gravedad interna barotrópica y baroclínica?

La onda barotrópica viaja a una velocidad

c=gH=9.8∗600=77m/s

La onda baroclínica viaja a una velocidad

c=g' H1 H2

H1H2

= 9.8∗21025

100∗500

600=1.3m/s

La figura 9.11 muestra la propagación de ondas en un modelo de dos capas.

La termoclina separa una capa superficial relativamente somera de una capa profunda, por lo que H1/H2 << 1. Asi, para el modo interno se tiene c= g' H1

donde H1 es la profundidad de la termoclina. A través de la termoclina generalmente Δρ/ρ0 ~ 1%, por lo que g' ~ 0.01g. Por lo tanto la velocidad de fase de las ondas internas en la termoclina es 100 veces menor que la de las ondas barotrópicas en la superficie. Asimismo, el desplazamiento de la termoclina es mucho mayor que el desplazamiento de la superfice.

Figura 9.11 – Configuración en un sistema de dos capas de (a) una onda barotrópica, y (b) una onda baroclínica propagándose de izquierda a derecha. En el caso mostrado la capa inferior es tres veces mas profunda que la superior y tiene una densidad 10% mayor. Se muestra la dirección del flujo en las crestas y valles y las velocidades relativas de las capasen esos puntos.

9.4 Ondas internas en un océano con estratificación contínua

El número de modos verticales aumenta con el número de capas. Para un modelo de 3 capas hay 3 modos, para un modelo de 4 capas hay 4 modos, etc. Así, en un modelo de 3 capas existen dos modos internos de propagación de ondas y puede ocurrir que si la capa del medio es suficientemente fina, los desplazamientos de las interfaces interactúan dejando pasar energía de un nivel a otro. En el límite de un número infinito de capas se tiene una estratificación contínua, el número de modos verticales es infinito, y las ondas se propagan horizontal y verticalmente. El patrón de propagación de ondas es más complejo cuantos mas modos se tienen; no obstante el mecanismo de propagación es siempre el mismo: el juego permanente entre gravedad e inercia.

De acuerdo a la figura 9.1 la estratifiación oceánica no es uniforme, sino que es máxima en la termoclina y menor en el océano profundo. Consideremos un océano con fondo plano, eliminamos las ondas de superficie considerando “rigid lid”, y en un plano-f. Asumamos además que f2<N2, una aproximación válida en general.

Dado que las aceleraciones verticales juegan un papel importante en la propagación de las ondas internas no podemos despreciar este término en la ecuación de momento vertical. Como resultado las ondas no están en equilibrio hidrostático. Finalmente descomponemos la densidad como

=0z 'x, y , z ,t

donde ρ0 es una densidad de referencia, ρ(z) es la estratificación de equilibrio y ρ' la perturbación en la densidad debido a la propagación de la onda. Por Boussinesq debe valer ρ0 >> ρ(z), y para linealizar el problema asumimos que ρ' << ρ(z). El campo de presiones se descompone en forma análoga. Con estas aproximaciones las ecuaciones quedan de la forma

Buscamos soluciones de la forma

Las amplitudes elegidas aseguran que la última ecuación se verifica aumtomáticamente. Sustituyendo en las otras cuatro ecuaciones resulta

Las dos primeras ecuaciones no dependen de z; la tercera ecuación no depende de las direcciones horizontales, y la cuarta ecuación tiene el término de la izquierda independiente de z y el de la derecha intepdendiente de (x,y). Por lo tanto la última ecuación se satisface si los términos son igualados a una constante a la que notaremos como iw/gh(j) donde h(j) se denomina profundidad equivalente. Igualando el término de la derecha se tiene

y sustituyendo en la tercera ecuación obtenemos una ecuación que gobierna la estructura vertical de los modos

Por otro lado, igualando la constante al lado izquierdo de la cuarta ecuación obtenemos

que en conjunto con las dos primeras ecuaciones es posible econtrar la

estructura horizontal de U, V y P. Estas tres ecuaciones tienen la misma estructura que las ecuaciones de ondas en aguas someras descritas en el capítulo 7 con la elevación de la superficie η reemplazada por P/g y la profundidad h por h(j). Por lo tanto recuperamos las soluciones de ondas en aguas someras. Por ejemplo para una solución del tipo

con coeficientes constantes, las ondas obedecen la relación de las ondas de Poincare

Una vez conocida la estructura horizontal de la onda debemos hallar su estructura vertical. Esto puede hacerse insertando la relación de dispersión horizontal en la ecuación de la estructura vertical resultando en lo siguiente

con condiciones de borde

que corresponden a “rigid lid” en la superficie y a un fondo plano.

La ecuación diferencial anterior tiene como solución trivial W=0 a menos que w asuma valores especiales. De hecho existe otro conjunto de soluciones para w que permiten valores no nulos de W. Para hallarlos hay que resolver el problema de Sturm Liouville: los w son los autovalores de la ecuación y W(z) serán los autovectores (o modos verticales) correspondientes.

Problema de Sturm-Liouville: Dada la ecuación −ddx

[ p x ddx

]q x =wx

sujeto a las condiciones de borde ψ(xa), ψ(xb), existen soluciones no triviales de la misma para un conjunto infinito de autovalores discretos, λn, con sus correspondientes autovectores ψn.

Notemos que los autovalores w están acotados. Multiplicando la ecuación vertical por el complejo conjugado W*, integrando verticalmente en el dominio, integrando por partes el primer término y usando las condiciones de frontera se llega a

Para f2<N2 vale que w debe satisfacer f²w2N 2 por lo que N es la máxima frecuencia de las ondas internas.

9.4.1 Caso N constante

El problema de autovalores se resuelve generalmente en forma numérica. En particular, si el perfil de densidades fue medido en diferentes niveles de la columna de agua. La figura 12 muestra los primeros 4 modos verticales (el barotrópico y 3 baroclínicos) para un perfil de densidades en el océano Indico.

Figura 9.12 – Ejemplo de perfil de densidad y primeros 4 modos verticales asociados.

No obstante es posible resolverlo si N es constante o sea que el océano está estratificado en forma uniforme. En este caso el problema de autovalores tiene la siguiente solución

y la relación de dispersión es

Notemos que el número de onda vertical puede asumir sólo algunos valores discretos impuestos por las condiciones de borde. No obstante, hay todavía un número infinito de modos verticales.

Para cada modo se tiene una profundidad equivalente asociada. Considerando la relación de dispersión horizontal

y se define un radio de deformación de Rossby interno

que juega el mismo papel que el radio de deformación de Rossby externo en el modelo de aguas someras.

Se puede escribir

por lo que ondas con una longitud de onda menor al radio de deformación son influenciadas fundamentalmente por la estratificación, mientras que ondas con longitud de onda mayores están influenciadas fundamentalmente por la rotación. El radio de deformación, es aquella distancia a la cual la estratificación y la rotación juegan papeles similares en la dinámica. Notar que esta distancia varía con el modo vertical. Ondas que varían rápidamente en la vertical (j>>1) tienen radios de deformación pequeños y están sujetos a una mayor influencia de la estratificación.

9.5 Ondas costeras atrapadas

En el océano costero los centros de alta y baja presión no pueden estar rodeados de regiones de presión uniforme como es el caso de “eddies” en el mar abierto, pero por otro lado, pueden recostarse sobre la costa. Esto significa que la corriente puede ir a lo largo de las isobaras solo de un lado de los centros de presión pues no puede atravezar la costa. El resultado es transporte de agua de un lado del centro de presión al otro, lo que significa que el nivel del mar baja de un lado y sube del otro. Como un cambio de nivel del mar es equivalente a un cambio de presión los centros de presión no son estacionarios sino que se propagan a lo largo de la costa. Este es el mecanismo de las ondas de Kelvin visto anteriormente y se muestra en la figura 9.13.

Figura 9.13 – Ondas de Kelvin. Regiones de nivel del mar alto corresponden a regiones de alta presión. Las corrientes siguen las isóbaras. El movimiento es el

mismo para centros de baja presión.

Las ondas de Kelvin costeras dependen de la existencia de una costa sobre la cual recostarse pero no requieren de la existencia de la plataforma continental. Estas ondas pueden existir en regiones donde no existe plataforma, como en la costa de Chile y Peru. La presencia de la plataforma da lugar a otro tipo de ondas llamadas en general ondas costeras atrapadas. La existencia de estas ondas depende enteramente de la presencia de la región somera entre el océano abierto y la costa, y existen pues la plataforma tiene una pendiente, o sea dependen del gradiente de la batimetría.

Para entender cómo son generadas estas ondas costeras es necesario considerar el efecto de los vientos. Supongamos que la plataforma está expuesta a vientos variables en la direccion paralela a la costa y que varía periódicamente en el tiempo. Esto producirá afloramiento y hundimiento de agua a lo largo de la costa

en forma periódica. A su vez, por debajo de la capa de Ekman esto produce movimiento de la columna de agua hacia dentro y fuera de la costa (figura 9.14).

Figura 9.14 – Esquema de la situación que da lugar a ondas costeras atrapadas causadas por un viento periódico a lo largo de la costa.

Como consecuencia de este movimiento perpendicular a la costa, y por conservación de la vorticidad potencial, las columnas de agua por debajo de la capa de Ekman adquiriran vorticidad relativa y por lo tanto darán lugar a la propagación de una onda (figura 9.15).

Figura 9.15 – Para el H.S. El esfuerzo de los vientos hacia el norte produce hundimiento y empuja el agua debajo de la capa de Ekman hacia mar adentro. Un esfuerzo de vientos hacia el sur produce afloramiento y trae la columna de agua hacia la costa. Como resultado el agua que originalmente estaba ubicada en una línea a lo largo de la costa se mueve hacia la ubicación mostrada por la

línea roja. Una columna de agua en la sección central se mueve hacia aguas profundas y por lo tanto debe ganar vorticidad negativa; columnas de agua que

se mueven hacia aguas someras ganan vorticidad positiva. El panel de abajo muestra el movimiento de las parcelas desde arriba para el H.N.

Como las ondas de Kelvin, las ondas costeras atrapadas pueden propagarse solamente con la costa a la izquierda en el H.S., pero no pueden existir en el ecuador (figura 9.16). Tienen períodos similares a las ondas de Kelvin (2-3 semanas) pero no decaen monotónicamente al alejarse de la costa como las ondas de Kelvin. Las ondas costeras tienen un máximo relativo al fnal de la plataforma. Si se considera la estratificación de las aguas costeras la estructura de la onda cambia y pueden llegar a tener las corrientes asociadas mas intensas en profundidades medias. Como la estratificación en aguas someras depende fuertemente de la estación del año, el efecto de las ondas costeras sobre las corrientes en la plataforma y los niveles del mar puede variar estacionalmente.

Figura 9.16 – Esquema de una onda costera atrapada en el H.S.

9.6.1 Ondas de plataforma barotrópicas

Consideremos variaciones en la profundidad de la plataforma h(x) en la dirección perpendicular a la costa de acuerdo a la figura 9.17.

Figura 9.17 – Esquema de un modelo barotrópico de onda costera.

Las ecuaciones para describir las ondas costeras son

∂u∂t

− fv=−g ∂

∂x∂v∂t

fu=−g∂

∂ y∂hu∂x

∂hv∂ y

∂

∂t=0

o sea consideramos un océano lineal, sin fricción, barotrópico y en el plano-f. Examinaremos movimientos cuyas frecuencias sean menores que la inercial (w<f).

Si se tiene equilibrio geostrófico en la dirección perpendicular a la costa vale

− fv~−g ∂

∂x

fU~gZL⇒Z~

fULg

Si el tiempo T~1/f, usando la ecuación de continuidad se tiene entonces que las variaciones en el nivel de la superficie comparadas con la divergencia horizontal es de orden

fZhUL

=f 2UL

gL

UH=

fgh

2

L2=

L2

Ro2

o sea, es el radio de la longitud de la plataforma continental sobre el radio de deformación de Rossby externo. En general este radio es muy chico y por lo tanto podemos despreciar las variaciones en el nivel del mar en la ecuación de continuidad (aproximación “rigid lid”). Notar que en la aproximación de “rigid lid” se desprecian las variaciones del nivel del mar en la ecuación de continuidad, pero se mantienen en las ecuaciones de momento pues son requeridas para generar los gradientes de presión en superficie.

En ausencia de variaciones en la superficie, la ecuación de continuidad se satisface si definimos una función corriente tal que

uh=−∂

∂y

vh=∂

∂x

Por otro lado, es posible hayar la ecuación de vorticidad tomando el rotor de las ecuaciones de momento, y se obtiene

∂∂t

∂v∂x

−∂u∂ y

f ∂u∂x

∂v∂y

=0

Sustituyendo en esta ecuación la definición de φ llegamos a la ecuación de onda

∂∂t

∂

2

∂2 x

∂

2

∂2 y

−hx

h∂

∂xf

∂h∂x

1h∂

∂y=0

Buscamos soluciones de la forma de una onda propagándose en la dirección positiva de y

=ℜx ei lywt

Sustituyendo en la ecuación de onda

∂2

∂x2−∂h∂x

1h∂

∂ x

flw

∂h∂x

1h−l2

=0

Las condiciones de borde que debe cumplir son:

1)no puede haber velocidad que atraviese la costa: u=0 en x=0.

u=0⇒−1h∂

∂ y=0⇒il x=0=0

2)la solución debe ser finita lejos de la costa

x∞ finita

La resolución de la ecuación anterior en el caso general es un problema de autvalores y autovectores (problema de Sturm-Liouville).

Asumamos ahora que para x<L la profundidad de la plataforma aumenta exponencialmente hacia el talud

hx=h0e2 x⇒

∂h∂xh

=2

Por lo tanto la ecuación para la estructura de la onda en la dirección perpendicular a la costa queda

∂s2

∂x2−2

∂s

∂x2 fl

w−l2s=0

donde ψs denota la solución sobre la plataforma. Buscamos soluciones de la forma

sx =Asinkx ex−L=ℜ−iAeikxe x−L

=ℜ−iAeikxe−L

que satisfacen automáticamente la condición u=0 en x=0.

Sustituyendo

∂s

∂x=−ik iAe−Leikx

=iks

en la ecuación para la estructura de la onda obtenemos

ik2−2ik2

flw−l2=0

w=2 f l

k2l2

2

que es la relación de dispersión para las ondas de plataforma barotrópicas.

La velocidad de fase en la dirección y (a lo largo de la costa) es

c=wl=

2 fk2l2

2

y se ve que la fase de las ondas siempre se propaga con la costa a la derecha (izquierda) en el hemisferio norte (sur).

Mas allá del talud, para x>L, la profundidad h es constante y la ecuación que gobierna la dinámica es

∂d2

∂x2−l2d=0

donde ψd denota la solución en mar abierto. La solución es d=Be−l x−L .

Al pie del talud el nivel del mar y la velocidad perpendicular a la costa deben ser iguales, lo cual impone condiciones para ψs y ψd.

Para imponer igual u en x=L es necesario imponer que

u=−1h

∂

∂ y=−ilh

lo cual indica que es suficiente con igualar los modos en la plataforma y en mar abirto ya que h es contínua. Para imponer igualdad en el nivel del mar procedemos de la siguiente forma. Asumiendo que el nivel del mar variará de la forma

=Z x e i ly−wt

la ecuación de momento a lo largo de la plataforma se puede escribir como

∂v∂t

fu=−g ∂

∂ y

iw1h∂

∂x−

filh

=−gilZ ei lywt

por lo que el nivel del mar será igual en x=L si el gradiente en la dirección perpendicular a la costa de la estructura de los modos es igual, o sea ∂s

∂x=∂d

∂xen x=L. Esta condición también igualará la velocidad a lo largo de la

plataforma en x=L.

Impongamos las condiciones en x=L. De acuerdo a la igualdad de u debemos imponer igualdad de

d=B

s=A sin kL

o sea que B=Asin kL .

Por otro lado, para igualar niveles del mar

∂s

∂ x=Asin kx ex−L

Ak cos kxex−L

⇒∂s

∂ xx=L =A sin kLAk cos kL

y ∂d

∂ xx=L =−l A sin kL

O sea que −lsin kL= sin kLk cos kL−k coskL=l sin kL

tg kL= −kl

Esta es una ecuación trasendental que tiene un número infinito de soluciones discretas y puede ser resuelta graficamente (figura 9.18)

Para kL>>1 la solución se acerca a las asíntotas verticales de la función tangente para

kL=n−12 n=1,2,3. ..

Para ondas largas con longitud de onda mucho mayor que el ancho de la plataforma (l << k) se tiene

w~2 f lk2

2

que son ondas no dispersivas (c=w/l no depende de l), pero la velocidad c disminuye con el número de modo pues k aumenta.

Figura 9.18 – Solución gráfica de tg(x)=-ax. Se obtienen múltiples soluciones n=1,2,3... representando diferentes modos.

Para ondas cortas (l>>k) se tiene

w~2 f

l

que son ondas muy dispersivas cuya frecuencia disminuye a medida que la longitud de onda se acorta.

Como se mencionó en la introducción estas ondas son forzadas por la componentes de los vientos paralela a la costa. Como la escala de los sistemas sinópticos atmosféricos es cercana a 1000 km y la plataforma es de orden de 100 km, vale que Ly >> Lx, o sea que l<<k. Por lo tanto las ondas de plataforma mas usuales son ondas largas.

En general la relación de dispersión tiene la forma indicada en la figura 9.19.

Figura 9.19 – Frecuencia adimensional de las ondas de plataforma barotrópicas en función del número de onda (normalizado por el ancho de la plataforma) para

los 5 primeros modos.

Las ondas largas se extienden mas allá del pie del talud mientras que las ondas cortas están atrapadas en la plataforma (figura 9.20).

Figura 9.20 – Ondas de plataforma cortas (a), y largas (b). Se muestran los primeros tres modos.

Recordemos que el conjunto de modos encontrados forman una base ortonormal sobre la cual es posible proyectar la dinámica lineal del problema, y por lo tanto es muy útil para entender la respuesta del océano costero.

9.5.2 Ondas de plataforma baroclínicas

En presencia de un gradiente vertical de densidad la dinámica esencial se puede representar usando las ecuaciones de aguas someras en un océano de dos capas con la aproximación “rigid lid”.

Consideremos de nuevo un perfil exponencial para la profundidad de la plataforma. Se pueden dar dos casos en un océano costero de dos capas. Como la solución de la onda de Kelvin interna está presente en la región de mar abierto el comportamiento de la onda dependerá del ancho de la plataforma L relativa al radio de deformación de Rossby interno

Rinterno=1f g '

h1 h2

D

que determina la escala horizontal dentro de la cual está atrapada la onda de

Kelvin. Si R

interno2

L2≪1 las ondas de plataforma en el caso con estratificación en

mar abierto son esencialmente barotrópicas (figura 9.21a).

Figura 9.21 – Modelos de dos capas para ondas de plataforma. (a) Caso de estratificación en mar abierto, y (b) caso de estratifiación en plataforma.

En el caso que la estratifiación sea en la región de la plataforma (figura 9.21b), la relación de dispersión se muestra en la figura 9.22. Las curvas de dispersión son muy parecidas al caso barotrópico. Un nuevo aspecto es que la intersección

de los diagramas de dispersión de ondas de plataforma y la onda de Kelvin interna da lugar a un acoplamiento entre ellas. Como resultado la onda de Kelvin se convierte en onda de plataforma y vice-versa a medida que se acerca al punto de intersección.

Figura 9.22 – (a) Diagramas de dispersión de las ondas de plataforma baroclínicas y de la onda de Kelvin interna con la intersección marcada con

círculos. (b) Detalles de la transición entre la onda de plataforma y la de Kelvin.

En el caso de estratificación contínua, si se tiene una estratificación muy fuerte, la plataforma actúa como pared vertical para la onda de Kelvin interna y ondas cortas sobre el talud se vuelven ondas de Rossby atrapadas por la topografía. En el caso de estratificación débil las ondas de plataforma son barotrópicas. La combinación de onda de Kelvin y de plataforma se denominan ondas costeras atrapadas. En general las ondas largas tienden a ser barotrópicas sobre la plataforma y las ondas cortas están atrapadas por el talud.

Bibliografía principal– Introduction to geophysical fluid dynamics. B. Cushman-Roisin– Notas de: http://marine.rutgers.edu/dmcs/ms503/– Shelf and Coastal Oceanography. M. Thomczak