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DINAMICA MOLECULAR
Métodos de simulación
-Permitir el estudio de propiedades de sistemas complejos
-Generación de conjunto de configuraciones distintas para un mismo sistema
-Predicción del comportamiento temporal de un sistema (MD)
Dos métodos:
-Dinámica molecular - promedio temporal
-Monte Carlo - promedio de ensamblado
Propiedad A: dependiente de las posiciones y momentos de todas las partículas:
A(pN(t), rN(t))
pN(t) = momentos de las partículas en el tiempo t
rN(t) = posiciones de las partículas en el tiempo t
Momentos y posiciones definen el ESPACIO DE FASE
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Valor exp. = promedio durante el tiempo del exp. (promedio temporal)
Aave = lim ∞
dtttA NN
t
))(),((1
0
rp
Se puede calcular el valor promedio de una propiedad simulando el comportamiento de un sistema, i.e. determinando los valores instantáneos de la propiedad
Alternativa: promedio de ensamble mecánica estadística
),(),( rprprp NNNNNN AddA
<A> = valor esperado de la propiedad
(pN, rN) = densidad de probabilidad
Hipótesis ergódica
<A> = Aave
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corresponde a la distribución de Boltzmann:
QTkE BNNNN /)/),(exp()( rprp
E(pN, rN) = energía
Q = función de partición
)]/),(exp[1
!
13
TkEddhN
Q BNVT NNNN
Nrprp
Q para el ensamble canónico = N, V y T ctes.
Propiedades termodinámicas
Mecánicas
-Energía
M
i
iEMU1
/1
-Capacidad calorífica
VVT
UC )(
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A partir de una sola simulación:
CV = {<E2> - <E>2}/kBT2 = <(E -<E>)2>/kBT2
-Presión
Teorema del virial
TNkpxW Bxi i 3´
xi = coordenada i
p´xi = derivada de p a lo largo de coordenada i (fuerza)
Para un gas real:
TNkdr
rdVrPVW B
N
i
N
ij ij
ijij 3
)(3
1 1
N
i
N
i
ijijB
B frTk
TNkVP1 13
1/1
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Temperatura
)3(22
||
1
2
cB
N
i iNN
Tk
m
iK
p
NC = número de “constricciones” del sistema
Térmicas
-Entropía
-Energía libre
-Potencial químico
No son fácilmente derivables técnicas especiales
Propiedades mecánicas dependen de la derivada primera de la función de partición
Propiedades térmicas - dependen de la función de partición misma
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Método de Dinámica Molecular (DM o MD)
Concepto básico: generación de configuraciones sucesivas de un sistema a partir de la integración de las leyes de movimiento de Newton:
i
xi
m
F
dt
xid 2
2
Fxi = fuerza sobre una partícula en la dirección xi
Tres situaciones
1) Conjunto de moléculas que sufren colisiones en ausencia de fuerzas externas entre colisiones
2) Cada partícula experimenta una fuerza constante entre las colisiones (ej: carga en un campo eléctrico)
3) La fuerza sobre cada partícula depende de la posición relativa de las demás partículas
Primeras simulaciones fueron del tipo 1 (modelos de esferas duras)
Primera simulación “real”: Argon (1964)
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Simulaciones con potenciales continuos y variables
Para resolver las ecuaciones diferenciales (Newton) se aplican métodos de “diferencia finita”
Idea básica: la integración de las ecuaciones se realiza en etapas de tiempo muy pequeñas (t)
Para cada t:
1) Evaluar la energía potencial de sistema (FF) a partir de las posiciones actuales de las partículas
2) Derivar la fuerza para cada partícula
3) Obtener la aceleración para cada partícula
4) Calcular nuevas posiciones a partir de aceleración, velocidad y posiciones actuales
Se asume fuerzas ctes. durante cada t
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)()()(2)( 2 ttttttt arrr
tttttt Δ2/)]()([)( rrv
Ventajas:
-Simple y expeditivo
-Combinable con otros algoritmos
Desventajas:
-Poca precisión
-Cálculo de velocidades
2) Leap-frog
Utiliza la aceleración y velocidad para el cálculo de la posición:
)()()( 2/12/1 tttttt avv
)()()( 2/1 tttttt vrr
Algortimos de integración
Verlet)()()()( 22/1 ttttttt avrr
)()()()( 22/1 ttttttt avrr
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Ventajas:
-Simple
-Calculas las velocidades explícitamente
Desventajas:
-Posiciones y velocidades se obtienen desfasadas en el tiempo
3) Velocity Verlet
)]()([)()( 2/1 ttttttt aavv
)()()()( 22/1 ttttttt avrr
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Ventajas:
-Calcula velocidades explícitamente y en fase con posiciones
4) Beeman
Asume una variación lineal de la aceleración en el intervalo t
tttttttt /)]()([)()( aaaa
)(
)()()()(
6/1
6/53/1
ttt
tttttttt
a
aavv
)(
)()()()(
2
2
6/1
3/2
ttt
ttttttt
a
avrr
Ventajas:-Mayor precisión-Mayor tamaño det-Cálculo explícito de velocidades
Desventajas:
-Mayor costo computacional
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5) Gear (predictor-corrector)
3 pasos:
1) Predicción de r(t + t), v(t + t), a(t + t), etc. a partir de expansiones de Taylor
2) Cálculo de la fuerza en las nuevas posiciones y obtención de a(t + t)
3) Comparación de a (t + t) calculadas y predichas
La diferencia entre los valores predichos y calculados se usan para corregir las posiciones, velocidades, etc., en el paso de corrección:
)()()( tttttt c aaa
aceleración teórica
)()()( 0 ttcttttc arr
)()()( 1 ttcttttc avv
)(2/)(2/)( 2 ttcttttc aaa
)(6/)(6/)( 3 ttcttttc abb
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Ventajas:
-Gran precisión
-Uso de t mayor
Desventajas:
-Mayor espacio de almacenamiento
-Evaluación doble de las fuerzas en cada t
SHAKE
Algoritmo de constricción
Permite el uso de t significativamente mayores simulaciones más largas
Constraints del tipo:
rij2 – dij
2 = 0 constricción holonómica
rij = distancia entre átomos i y j
dij= valor fijo de distancia entre i y j
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Elección del algoritmo de DM
Factores:
1) Esfuerzo computacional en cada paso2) Tamaño de t3) Conservación de la energía (ens. microcanónico)4) Requerimientos de memoria y espacio en disco5) Precisión
En general, el algoritmo óptimo debe demandar poco costo computacional (cálculo, memoria y espacio), debe ser preciso (resultados similares a los experimentales), posibilitar trayectorias largas en tiempos razonables, ser moldeable (sencillo de modificar) y adaptarse adecuadamente a diferentes condiciones de simulación
SHAKE utiliza un procedimiento iterativo que en cada t ajusta todas las distancias de enlace a valores pre-establecidos
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Dinámica Molecular a temperatura y presión constantes
-Ensamble microcanónico: N, V y E ctes.
-Ensamble canónico: N, V y T ctes.
-Ensamble isotermo-isobárico: N, T y P ctes.
Temperatura:
<K>NVT = 3/2NkBT
1) Escalamiento de velocidades
Se multiplican las velocidades por un cierto factor )
))(/( tTToT0 = temperatura de referencia
T(t) = temperatura instantánea
N
i B
iiN
i B
ii
Nk
vm
Nk
vmT
1
2
1
2
)) (2/1
(2/1 3/23/2
T = (2 -1)T(t)
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2) Acople térmico
Se acopla el sistema a un baño térmico (T) con el cual intercambia energía
))((/1)(
tTTdt
tdTba
Tba = temperatura del baño
= constante de acoplamiento
T = t/(Tba – T(t))
t = tiempo de integración
)1)(
(12 tT
Tt ba
Ventaja
-Permite la fluctuación de temperatura alrededor del valor de referencia
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3) Colisiones estocásticas
Se reasignan velocidades a partir de una distribución de Maxwell-Boltzmann a la temperatura de referencia
Baño térmico emitiendo partículas térmicas!
La frecuencia de “colisiones” para una partícula es:
Nk
a
B3/23/13
2
= conductividad térmica
= densidad de partículas
N = número de partículas
o
=c/N2/3 c = frecuencia de colisión intermolecular
Desventaja
-Introduce discontinuidades en la trayectoria
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Presión
1) Escalamiento del volumen
2) Acople a baño de presión
))((/1)(
tPPdt
tdPbap
)(1 bap
PPt
= compresibilidad isotérmica
T
P
V
V)(
1
r´i =1/3ri
Escalamiento:
-isotrópico
-anisotrópico
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Algoritmo de Dinámica Molecular
En cada t de integración, el algoritmo tipo (basado en leap-frog) de DM puede resumirse en los siguientes pasos:
0) Las posiciones (ri(tn)) y velocidades (vi(tn – t/2) para todos los átomos y el largo (Rbox(tn)) y volumen (Vbox(tn) ) de la caja son conocidos en t = tn
1)Cálculo de las fuerzas (no constreñidas):
2) Cálculo de la energía cinética, el virial y la presión:
i
nni
r
trVtF
))((
)(
)(3
))()2/((2)(
))().((2/1)(
))2/((2/1)(1
2
nbox
nnkinn
ji
nijnijn
N
i
iinkin
tV
tttEtP
tFtrt
ttnvmtE
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Algoritmo de Dinámica Molecular
3) Cálculo de la temperatura:
4) Cálculo de las nuevas velocidades no constreñidas:
5) En caso de ajuste de temperatura, multiplicación de velocidades por factor:
6) Cálculo de las nuevas posiciones no constreñidas:
i
ninini
m
ttFttvttv
)()2/()2/(
Bdf
nkinn
kN
ttEttT
)2/(2)2/(
)2/(
121
0
ttT
Tt
k
c
nB
vT
tttvtrttr ninini )2/()()(
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Algoritmo de Dinámica Molecular
7) En caso de aplicación de constricciones (SHAKE), almacenamiento de posiciones no constreñidas:
8) En caso de aplicación de constricciones (SHAKE), cálculo de nuevas posiciones constreñidas:
9) En caso de aplicación de constricciones (SHAKE) cálculo de nuevas velocidades constreñidas:
)()(' ttrttr nini
))(),('),(( ttrttrtrSHAKE ninini
t
trttrttv
ninini
)()(
)2/(
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Algoritmo de Dinámica Molecular
10) En caso de aplicación de constricciones (SHAKE), cálculo de fuerzas no constreñidas:
11) En caso de ajuste de presión, multiplicación de posiciones por factor:
y cálculo del nuevo largo y volumen de la caja:
tttrttr
mtFnini
ini
2
)(')()(
))((1 0
3/1
n
p
Tp tPPt
)()( nboxpnbox tRttR
)()( 3nboxpnbox tVttV
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Fases de una simulación (MD o MC)
1) InicioElección del modelo energético (FF)Elección de la configuración de partida y entornoAsignación de velocidades
2) Equilibramiento
Evolución del sistema desde la configuración inicial hasta el equilibrio (incluye pre-calentamiento)
3) Producción
Recolección de datos y cálculo de propiedades simples
4) AnálisisCálculos más complejos de propiedadesExamen estructuralDetección de problemasEstimación de errores
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Condiciones de borde o frontera
Aspecto relevante en una simulación
Tipos de borde
1) Vacío
El sistema se encuentra totalmente aislado
Aproximación pobre:
-Distorsión de la forma molecular en la interfase
-Cambios en la forma global por efecto de interacciones intramoleculares
2) Seudovacío
Sin solvente explícito pero se incluyen efectos del solvente
Ej: campo de fuerza NIS, dinámica estocástica
Mejor aproximación: algunos efectos del solvente son tenidos en cuenta: apantallamiento de cargas e interacciones de van der Waals.
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3) Condiciones periódicas (PBC)
Copias del modelo repetidas periódicamente
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Ventaja:
-Permite simular sistemas pequeños atenuando efectos de vacío: los átomos siempre están rodeados de otros átomos
Desventajas:
-Pérdida de fluctuaciones con longitud de onda mayor al largo de la celda
-Pérdida de interacciones no enlazantes
4) Solvente
-Condiciones periódicas
-Pared extendida (“extended wall”)
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Tratamiento de las interacciones no enlazantes
Evaluación costosa - pares de interacciones prop. a N2
Potenciales no enlazantes dependen inversamente de la distancia:Uso de radios de cut off:
1) Twin range method
Dos radios de cut off
-rc1 Lennard Jones + Coulomb
-rc2 Coulomb
rc2 > rc1 (ej: rc1 = 8Å y rc2 = 15Å)
En PBC convención de mínima imagen: la interacción se calcula con respecto al átomo mismo o a su imagen más cercana (una sólo vez)
rc2 < l/2 (caja cúbica)
Combinación de radios cut off con lista de vecinos no enlazantes (non bonded neighbour list)
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Los vecinos se determinan cada n ts y se almacenan en una lista:
En cada t, se calculan las distancias con respecto a la lista de vecinos
rcnei >= rc2
Necesidad de actualizar la lista de vecinos periódicamente
2) Twin range + neighbour pair list
r < rc1 todas las interacciones en cada t
rc1 < r < rc2 - sólo interacciones electrostáticas cada vez que se actualiza la lista de vecinos
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3) Radios de cut off entre grupos
Cálculo de interacciones no enlazantes entre grupos de átomos en vez de átomos aislados.
Concepto de grupos de carga (charge groups):
Carga total = 0 dipolo-dipolo término dominante
Radios de cut off entre grupos:
-Medido entre los centros de masa
-Considerando un átomo marcador
Ventajas
-Menor alcance de interacciones electrostáticas (1/r3)
-Funciona mejor con radios de cut off
Desventajas del uso de radios de cut off
1) Aproximación
2) Introducción de discontinuidades en el potencial y la fuerza
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Mejoras en la discontinuidad del potencial
1) Potenciales corridos: “shifted potentials”
V´(r) = V(r) – Vc r <= rc
V´(r) = 0 r > rc
Vc = valor del potencial en rc
2) Funciones de cambio: “switching functions”
S = 1 rij < rc1
S = (rc2 –rij)/(rc2 –rc1) rc1<=rij<=rc2
S = 0 rc2 < rij
V´(r) = V(r)S(r)Tratamiento de las fuerzas de largo alcance
-Sumatoria de Ewald
-Campo de reacción-Celdas multipolo
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Campo de reacción
Término adicional al potencial electrostático (calculado dentro de rc)
Vi = Ei.i
cij rrj
j
cs
si
r ;2)
1(
1
)1(2μE
i: dipolo de molécula i
j: dipolo de molécula j dentro de rc
s: constante dieléctrica del medio fuera de rc
Se modelan los átomos fuera del radio de cut off como un dieléctrico continuo (buena aproximación para fluidos)
Ventajas-Simple conceptualmente-Fácil de implementar
Desventajas:
-Necesidad de conocer s
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Análisis de la simulación
1) Energético:
Evolución de la energía total (cinética + potencial)
Evolución de la energía potencial
Evaluación de componentes de energía potencial:
-Energía covalente: enlaces y ángulos
-Energía no covalente: diedros e interacciones no enlazantes
-Energías de interacción no enlazante entre grupos (soluto-solvente, ligando-proteína, etc.)
Promedios de energía total y potencial y cálculo de energías libres
2) Estructural:
RMSD (desviaciones cuadráticas medias)
Valor de la desviación promedio entre todos los átomos o coordenadas de conformaciones
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Factores B (temperatura)
Valor de la desviación promedio de cada átomo por separado en las distintas conformaciones
m: masa del átomo i
ri(tk): posición de átomo i en el tiempo tk
<r>i: posición promedio de átomo i
at
at
refiirefiirefii
coordN
ZZYYXX
DSMR
N
i
3
)()()(
.... 1
222,,,
at
at
refiirefiirefii
atN
ZZYYXX
DSMR
N
i
1
222 )()()(
....
,,,
n
kikii rtr
mB
1)(
22
3
8
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P.M.I. (momentos principales de inercia)
Medida de la distribución de masa del sistema entre los ejes cartesianos
Noción de volumen y forma del sistema
Centro de masas para fragmento k:
ri: posición de átomo i ; mi: masa del átomo i
nk: número de átomos de fragmento k
Radio de giro para fragmento k:
Matriz de momentos de inercia:
3 valores propios de Mk --- momentos de inercia del fragmento K
k
k
n
i
i
n
i
ii
gk
m
rmR
1
1
nk
igkiik RrmI
1)(
2
kn
i
gkigkiiKk RrRrmIM1
)()(1 1: matriz identidad