dinamica - users · misura dinamica della forza e’ il problema generale della dinamicaproblema...
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Sperimentalmente è una estrapolazionead un caso ideale
(bisogna astrarredagli attriti)
superficie scabra
superficie levigata
sup. ancor più levigata
L’argomento di Galileo:
Galileo fu il primo ad osservare che il moto è altrettanto “naturale” della quiete
Se un corpo non interagisce con altri corpila suavelocità non cambia
Se inizialmente fermo rimane in quiete, altrimenti si muove con moto rettilineo uniforme
DinamicaDinamica
Problema generale: determinare il motodi un corpo note le forzeapplicate
Prima Legge di Newton Prima Legge di Newton
In assenza di forze applicateun corpo persevera nel suo stato diquiete o di moto uniforme
Legge di inerziaLegge di inerzia
Es.1. Caduta dei gravi: Es. 2. Moto circolare
02
≠=R
vaN
ovvero se la forza totale ovvero se la forza totale èè nullanulla
vr
costante ( ) tvrtrrr += 0
che succede se si rompe il filo?
quindi rettilineo
in prossimità della superfice terrestre
2/81.9 smga ≅=r
vr
Nar
Tar
Se il moto non è rettilineo uniforme (cioè se )
deve esserci qualche forza in azione
0≠ar
Considerazioni sullaPrima Legge di Newton, Prima Legge di Newton,
Ma i moti sono relativi ! Ma i moti sono relativi ! In quale sistema di riferimento è valida la 1a Legge di Newton?
Sistema inerzialeSistema inerziale: : un sistema in cui vale la 1a legge di Newton si dice inerziale.
Come si stabilisce che un sistema di riferimento è inerziale? • se sappiamo per certo che su un corpo non agiscono forze, verifichiamo se a=0• In pratica, si procede per approssimazioni successive.
Enunciato alternativo della 1a Legge: Esiste almeno un sistema inerziale Esiste almeno un sistema inerziale ……
Se un sistema di riferimento è inerziale, tutti i sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso sono inerziali.
• Sistema solidale con la distribuzione di massa “media” dell’universo.In pratica si utilizza la radiazione cosmica di fondoradiazione cosmica di fondo.
•• In praticaIn praticaanche la Terrapuò andar bene, per moti limitati nel tempo e nello spazio
skmvS /2369±=
Forza e MassaForza e Massa
La presenza di accelerazione (variazione di velocità) indica la presenza di qualche forza(ovvero interazionicon altri corpi). Si può misurare la forza mediante l’accelerazione.
Definizione: l’accelerazione del corpo campione (a0, in m/s2) misura la forza totale agente su di esso (espressa in Newton)
F
corpo campione
a0
piano “senza attrito”
se a0=1m/s2 diciamo che F = 1Nse a0=3m/s2 allora F = 3N ....
con la stessadirezione e versodell’accelerazione. La forzaè una grandezza vettoriale.
Misurata F, mediante applicazione al corpo campione, la si applica al corpo X. In generale
F
aXX
0aaX ≠
si osserva cheaF / per un dato oggetto, non dipende dalla forza
0/ aaX per due oggetti dati, non dipende dalla forza
Forza e MassaForza e Massa
BABAN
N mmma
F
a
F
a
F+===== +...
2
2
1
1
[ ]
[ ] N
kg
2==
=
s
mkgF
m
FA
B
La massaè unagrandezza scalare. Additiva. Grandezza fondamentalenel S.I.
caso unico fra le unità di misura del S.I. l’unità di massa è definita come massa del campioneconservato a Sèvres
Per ora consideriamo oggetti “puntiformi” dotati di massa. Si parla di punto materialeo particella
ma
F
a
F
a
F
XN
N
XX
==== ...2
2
1
1 massadel corpo
La massa è unacostanteche dipende solo dal corpo.Per definizione, l’oggetto campione ha massa 1kg.
se F è in Newton e a in m/s2
il rapporto è la massa, in kg.
2a Legge di Newton22aa Legge di NewtonLegge di Newton
amFr=Dalle esperienze precedenti risulta:
Legge fondamentale della dinamica Legge fondamentale della dinamica
OssOss. 1: . 1: Legge vettorialeLegge vettoriale
=
=
=
ZZ
YY
XX
maF
maF
maF
F
m
a: direzione e verso di F
OssOss. 2:. 2: FF è la forza totaleforza totaleo risultante delle forzerisultante delle forze
F1
F2
F1
F2
FTOT=R
amFTOT
rr=
2a Legge di Newton22aa Legge di NewtonLegge di Newton
OssOss. 3. . 3. EE’’ ll ’’ eequazione del motoquazione del moto
dt
vdmF
r
=2
2
dt
rdmF
r
=
Nota la forza F(t) o F(r) (e le condizioni iniziali) si può ricavare v(t) o r(t)
OssOss.4.4. . Misura dinamica della forzaMisura dinamica della forza
E’ il problema generale della dinamicaproblema generale della dinamica.
CT aaarrr += con
R
vaC
2
=
R
vmmaF CC
2
==
Rv
FC
⇒
Es: in un moto circolare uniformela forza totale è diretta verso il centro, si dice che è “centripeta”
Strategia per la risoluzione dei problemi: individuare le forze agentiindividuare le forze agentie applicare la 2a legge.
CT FFFrrr
+=
è solo un problema matematico
Nota l’accelerazione adi un corpo di massa m amFTOT
rr=
in generale:
Esempi di misura dinamica della forza Esempi di misura dinamica della forza
Un aereo di massa m sta decollando con velocitàcostante. Determinare la forza totale agente
0
0cost
==
=⇒=
amF
av
TOT
rr
rr
Un’auto di massa m ha accelerazione a.Quanto vale la forza totale agente sull’auto?
portanza
pesoresistenza aria
spinta
Un aereo si muove con moto circolare uniforme su una circonferenzadi raggio R. Detta v la velocità in modulo, determinare la risultante delle forze agenti.
NT aaarrr +=
0
22
=
==
T
N
a
RR
va ω
NCTOT amFFrrr
==⇒ R
vmFTOT
2
=
Osservazione:moto uniformemente accelerato equivale aFtot costante.
∫ ∫=⇒=⇒=2
1
2
1
t
t
t
t
vmddtFvmddtFdt
vdmF
rrrrr
r
∫=2
1
t
t
dtFIrr
Impulso della forza
Esempio. Moto 1D con forza costante. ( )0vvmFt −= cioè
Formulazione integrale della 2Formulazione integrale della 2aa legge di Newton: Teorema delllegge di Newton: Teorema dell’’ impulsoimpulso
[ ]s
mkgNsI ==
vmprr
=quantità di moto
[ ] ][ INss
mkgp ===
dt
pdamF
rrr
==
atvtm
Fvv +=+= 00
Formulazione differenziale Formulazione integrale
pvmIrrr
∆=∆=
2a legge di Newton
2
2
0
1c
v
vmp
−=
rr
2
2
0
1c
v
mm
−
=In Meccanica Relativistica:
m0: massa a riposo
Con questi cambiamenti, la 2a Legge resta valida nella forma:
Limitazioni della 2Limitazioni della 2aa Legge della dinamica. Legge della dinamica.
cv <<
D<<λ Al livello fondamentale, la dinamica di atomi, molecole, particelle elementari,si descrive mediante la Meccanica quantistica.
sistema inerzialeLegge valida per “forze reali” solo se il sistema è inerziale. E’ possibile estendere la legge ad un sistema non inerziale a patto di aggiungereopportune “forze apparenti”.
La 2a legge di Newton vale solo per velocità“non relativistiche”
dt
rr
=
Problemi aperti, di attualitProblemi aperti, di attualitàà
L’anomalia del Pioneer
velocità di rotazione galattica
Problemi di attualitProblemi di attualitàà
andamento osservato
andamento atteso
fra le soluzioni proposte c’è una modifica della legge di Newton, che non sarebbe più valida per accelerazioni molto piccole:
2100 /102.1 smaa −⋅=<
Phys. Rev. Lett. 98 (2007)
pare che la 2a legge sia valida anche per accelerazioni molto piccole (non conclusiva)
velocità di rotazione vs. distanza per le stelle di una galassia.
2a L.Newton
F1
F2
F3
EEquilibrio di un punto materialequilibrio di un punto materiale
Equilibrio di 2 forze: Equilibrio di 2 forze:
F1 F2
−=
−=
−=
ZZ
YY
XX
FF
FF
FF
12
12
12
Forze opposteForze opposte
Equilibrio di 3 forze:Equilibrio di 3 forze:
Forze sullo stesso pianoForze sullo stesso piano
=++
=++
=++
0
0
0
321
321
321
ZZZ
YYY
XXX
FFF
FFF
FFF
P
T
P
N12
21 0
FF
FFrr
rr
−=
=+
0321 =++ FFFrrr
( )213 FFFrrr
+−=
3a Legge di Newton33aa Legge di NewtonLegge di Newton “di azione e reazione”
Le forze sono dovute a interazione mutua fra oggetti fisiciinterazione mutua fra oggetti fisici. Esistono sempre in coppiasempre in coppia.
A
BFA FB
NotaNota: il fatto che FA+FB=0 non significa che niente si muove, anzi!:. FA ed FB agiscono su corpi diversi
Le forze della coppia sono
•• opposte lopposte l’’ una alluna all’’ altraaltra•• dirette lungo la congiungentedirette lungo la congiungente
(*) Non sempre, v. ad es. forza magnetica fra cariche in movimento. In questo corso si supporrà che sia sempre vero.
BA FFrr
−=
A
AFr
B
BFr
AFr
BFr
FTFL
Esperimento di Newton
LocomozioneLocomozioneterrestreterrestre
Locomozione Locomozione in un fluidoin un fluido aereo o nave ad elica
Moto a reazioneMoto a reazione
3a Legge della Dinamica33aa Legge della DinamicaLegge della Dinamica
forza esercitatasul fondo stradale
forza agente sull’auto
elica
forza esercitatasull’aria
forza agentesull’aereo
in questo caso non è necessario un mezzo esterno
forza esercitatasul pavimento
forza agentesulla persona
GravitazionaliGravitazionaliinterazioneinterazionefrafra massemasse
ElettromagneticheElettromagnetiche
FortiForti
DeboliDeboli
Attrattiva, raggio d’azione infinitoDomina la dinamica celeste. Forza peso ecc.
Interazioni fra cariche elettricheInterazioni fra cariche elettriche.Attrattiva o repulsiva, raggio infinito. Domina interazioni atomiche/molecolari
Interazione fra quarkInterazione fra quark.Molto complessa. Corto raggio (<10-15 m) Domina struttura e interazioni nucleari, dinamica stellare, primi istanti dell’universo
Interazione fra ‘cariche deboli’. Decadimento beta. Importante nell’evoluzione stellare.
Tutte le forze sono riconducibili a 4 interazioni fondamentali
Interazioni fondamentaliInterazioni fondamentali
Tutte le forze nellTutte le forze nell’’ esperienza comune hanno natura gravitazionale o elettromagneticaesperienza comune hanno natura gravitazionale o elettromagnetica. .
Classificazione “pratica” delle forze trattate nel corso
Forza gravitazionale
Forza elettrostatica Forza di Lorentz
Forza elettromagneticaForze a distanzaForze a distanza
Forza elasticaAttrito viscoso/ resistenza del mezzoForza muscolare, ....
Reazione normaleTensione di una fune/filo Attrito staticoAttrito dinamico
Forze di Forze di ““ contattocontatto””Reazioni vincolariReazioni vincolari
Nota: le reazioni vincolari sono le forze più difficili da trattare: bisogana analizzare il sistema fisico caso per caso.
Forza gravitazionaleForza gravitazionaleo Forza pesoForza peso
g
280665.9 smga ==
Tutti i corpi, in un medesimo luogo, cadono con la stessa accelerazione(nel vuoto)
PgmamFrrrr
===quindi deve agire unaForza peso (o Peso)Forza peso (o Peso)
L’indipendenza di g dalla natura dei corpi è verificata con alta precisione (già da Newton) e vale per ogni forma di materia (inclusa l’antimateria.
• modulo varia leggermente con la latitudine (9.780m/s2 all’equatore, 9.832m/s2 ai poli)
• e con l’altezza (a 10km diminuisce del 0.3%, -10% a 345km)
• “praticamente” campo uniforme (devia di 0.54’ alla distanza di 1 km)
• altre deviazioni locali dovute alla non sfericità della terra
forza proporzionale alla massaproporzionale alla massa: la massa di un corpo si può misurare dal suo peso (bilancia)
può essere molto diversa su altri pianeti o corpi celesti.
attrazione gravitazionalefra la massa del corpo e la massa della Terra.
Quando la forza gravitazionale si può considerare costante si parla di forza peso.
valore medio sulla superficie terrestre
gr
Moto di un corpo soggetto alla sola forza pesoMoto di un corpo soggetto alla sola forza peso
amFrr
=
amgmrr =
garr = costante
( ) tgvtvrr += 0
( ) 200 2
tg
tvrtrr
rrr ++=
l’asse Y verticale, orientato in sul’asse X orizzontale, in modo che il vettore v0 si trovi nel piano XY
(costante)
( )
( )
=
−+=
+=
0)(2
200
00
tz
tg
tvyty
tvxtx
Y
X
Scegliendo:
il moto parabolico di un “proiettile” èdunque il moto più generale in un campo gravitazionale omogeneo
Reazione NormaleReazione Normale
P
N
mgPN
amPN
==
==+ 0rrr
Piano orizzontale. In questo caso:
Piano inclinato liscio (cioè senza attrito: per definizioneun piano “che esercita solo forze normali alla superficie”)
θ
θ
sin
cos
mgP
mgP
P
N
=
=
P
NF
N ? Sensazione di peso.
Misura di una bilancia.
=
=⇒
==−
=
θ
θ
θ
θ
cos
sin
0cos
sin
mgN
ga
mamgN
mamg x
y
x
Forza di contatto. Reazione vincolare.
P
N
Reazione normale in sistema accelerato. Distacco per
P
N
PN
PP
x
y
0=N
Sensazione di pesoSensazione di peso
ascensore acceleraverso l’alto
ascensore acceleraverso il basso
mamgNFTOT =−=
( )agmmamgN +=+=
Se a = a = --gg (caduta libera) la sensazione di peso scompare
Se a < a < --gg si ha distacco
che cosa misura una bilancia?
ascensore fermo o in moto uniforme
Nr
Nr
gmr gm
rgmr
Nr
ar a
r
Forze di Attrito radente. Attrito statico.Forze di Attrito radente. Attrito statico.
Il corpo non si muovese F<FlimF
AS mg
N
Questa reazione del piano è detta attrito statico ed è
F
AS mg
NF0
NmgF SS µµ ==lim
( ) NFmgF SS µµ =+= 0lim
F
AS mg
N
AS non dipende dalla superficie d’appoggio
Riassumendo, se lim
lim
FF
NFF S
>=≤ µ NA SS µ≤FAS
rr−=
Forza di contatto. Reazione vincolare.
costante adimensionale dipende dalle superfici a contatto
equilibrio
il corpo scivola
FAS
rr−=
Forze di Attrito radente. Attrito statico.Forze di Attrito radente. Attrito statico.
il corpo non scivolaF
fS mg
N
è la forza diforza diattrito statico:
Forza di contatto. Reazione vincolareReazione vincolare.
FS
rr−=f
LIMFF ≤se
Sperimentalmente
coefficiente di attrito statico, adimensionale. Dipende solo dalla natura delle superfici a contatto. Non dipende dallNon dipende dall’’ area di contattoarea di contatto.
NF Sµ=lim
lim
lim
FF
NFF S
>
=≤r
rµ il corpo non scivola
il corpo scivola
Attenzione: Attenzione: Non è NSS µ=f nè tantomeno mgSS µ=f
tranne casi particolari
F
AS mg
N
Quindi NSS µ≤fr
Forze di Attrito radente. Attrito statico.Forze di Attrito radente. Attrito statico.
P
N
PN
PP
fS
x
y
Nr
Fr
Sfr
gmr
Nr
gmr
Fr
Sfr
0Fr
Fr
Sfr
gmr
Nr
Se le figure rappresentano situazioni di equilibrio, quanto vale fS nei vari casi?
Piano inclinato con attrito.
==
⇒
==−==−
θθ
θθ
cos
sin
0cos
0sin
mgN
mgA
mamgN
maAmgs
y
xS
Forze di Attrito radente. Attrito statico.Forze di Attrito radente. Attrito statico.
possibile purché SSS NA µθµ ≤⇒≤ tan
Il blocco inizialmente in quiete rimane in equilibrio?La strategia è la seguente:
� si suppone equilibrio� si calcola il valore di AS necessario per l’equilibrio� si verifica se è soddisfatta la condizione di equilibrio
• se sì, il problema è risolto• se no, il corpo scivola [usare attrito dinamico (v.)]
componente x
componente y
Condizione di equilibrioCondizione di equilibrio
P
N
PN
PP
AS
x
y
Forze di attrito radente. Attrito dinamico.Forze di attrito radente. Attrito dinamico.
F
AD mg
N
NA DD µ=
l’ attrito dinamico.
Note:
• l’attrito dinamico ha modulo proporzionale ad N
• in genereSD µµ ≤
direzione e verso: opposto al “moto”cioèalla velocità
Fisicamente, l’attrito radente è un fenomeno complesso: interazioni a livello microscopico (es. nanosaldature al contatto). Le formule date rappresentano una schematizzazione del problema.
Forza di contatto. Reazione vincolare
Anche quando l’oggetto slitta (ad es. se F è sufficientemente grande) esiste una forza fra il corpo e la superficie di contatto
Com’è possibile che la forza di attrito non dipenda dalla superficie di contatto? Il fatto è che la superficie di contatto veravera rimane costante.
Forze di Attrito radente. Attrito statico.Forze di Attrito radente. Attrito statico.
Nature 430, 2004, p. 1005Nature 430, 2004, p. 1005
Una dimostrazione sperimentale:
Tensione di un filo o fune ideale Tensione di un filo o fune ideale
• è perfettamenteflessibile
• è inestensibile
• ha massa trascurabile
Forza di contatto. Reazione vincolare.
In equilibrio:
solo forze lungo il filo (in trazione)
stessa v, a degli estremi (se il filo trasla parallelo a sè stesso)
stessa tensione (in modulo) in ogni punto
AFr
BFr
ATr
BTr
AA FT =BB FT =
TTT BA ==
in mancanza di equilibrio il risultato è lo stesso, purché la fune abbia massa trascurabile.
In pratica, su ogni sezione della fune agiscono forze opposte
Tsx Tdx
( ) 0≅=+ amTT sxdx
rrr
elemento di filo
0≅mse il filo non è in equilibrio, ma la sua massa è trascurabile
Tensione di un filo o fune ideale Tensione di un filo o fune ideale
⇒
ATr
BTr
BA TT =
anche cambiando direzione il modulo della tensione non cambia
se la puleggia• è senza attrito • ha massa trascurabile
TTT sxdx ==
Se la puleggia è senza attritoe/o ha massa trascurabile
T1
T2
21 TTrr
=
Tensione di un filo o fune ideale Tensione di un filo o fune ideale
Fr
1Tr
2Tr
gmr
2
mgF =
Senza attrito, T ha lo stesso modulo in ogni
tratto di fune.
m2 m1
T1
m3
T2T3
( )( )
++=+=
=
ammmT
ammT
amT
3211
322
33
Tratti di filo distinti. Qui le tensioni differiscono. Nell’esempio:
Tensione di un filo o fune ideale Tensione di un filo o fune ideale
P
F
TTT
se il piano èliscio
=−=−
=
amTT
amTT
amT
121
232
33
Te
nsio
ne
deformazione
Forza elasticaForza elastica
Forza proporzionale alla deformazione(compressione o allungamento)
lavoriamo qui
E’ la forza esercitata da un corpo deformato, per deformazioni piccole e reversibili. Deformazione elastica.
xkF ∆=in modulo
costante elastica della molla[k]=N/m
Forza elasticaForza elastica
Es. molla con estremo fisso.
xkFrr
∆−=
kxxkF −=∆−=
Forza di richiamoproporzionale allo spostamento dell’estremo liberorispetto alla posizione di riposo
asse X
O
∆x
P
ol
ox ll −=∆ dal momento che la molla è orientata come l’asse x
Tratteremo solo molle ideali: • per cui vale sempre F=-kx• di massa trascurabile
(legge di Hooke)
Vettorialmente:
Se si pone l’origine nell’estremo libero (a riposo) e l’asse X è nel verso della molla:
Moto di un corpo soggetto alla sola forza elastica. Moto armonicMoto di un corpo soggetto alla sola forza elastica. Moto armonicoo
−=
−=∆−=
kxdt
xdm
kxxkF
2
2 xxm
k
dt
xd 2
2
2
ω−=
−=
Equazione del moto armonico
)cos()( ϕω += tAtx
txtxv
xxωcos)(
0)0(
)0(
0
0=⇒
=
=
postom
k=ω
la soluzione generale si può scrivere
Le costanti si determinano dalle condizioni iniziali. Ad es.
tv
txvv
xω
ωsin)(
)0(
0)0(0
0
=⇒
=
=
il moto armonico è molto importante: è il moto caratteristico delle piccole oscillazioniintorno alla posizione di equilibrio.
NotaNota: il moto resta armonico anche in presenza di un’altra forza costante (es. peso)
Esempio di piccole oscillazioni intorno allEsempio di piccole oscillazioni intorno all’’ equilibrio. Pendolo semplice.equilibrio. Pendolo semplice.
θ
θωθθ
θθ
22
2
2
2
sin
sin
−≅
−=
−=
=
l
l
g
dt
d
mgdt
dm
Fma TT
l
g=ωg
Tlπ2=mgsinθ
mgcosθ posto
in questa approssimazione il periodo non dipende dall’ampiezza delle oscillazioni.
se θ<<1 rad
componenti tangenti
componenti radiali
l
l
2
2
cos
cos
vmmgT
vmmamgT N
+=
==−
θ
θ
la tensione dipende dalla velocità
l
RRv
Esempi di moto circolareEsempi di moto circolare
Forza gravitazionale
RR
v
+ e
Forza elettrostatica
Pendolo conico. Tensione del filo
Curva inclinata. Attrito statico e reazione normale
P
N
fS
RR
T
lθ
P
RR
P
N
fS=RR
Attrito statico
curva sopraelevata