79

DINAMICA FLUIDELOR REALE

În dinamica fluidelor reale intervine proprietatea de vâscozitate, care se manifestă prin apariţia unor eforturi

tangenţiale de frecare între straturile alăturate de fluid, precum şi între fluid şi suprafeţele solide cu care

acesta vine în contact.

Astfel, existenţa eforturilor tangenţiale din interiorul fluidelor reale are ca efect modificarea mobilităţii

particulelor şi implicit a profilului de viteze.

Fig. 1 – Profilul de viteze la curgerea unui fluid peste o suprafaţă solidă

Fig. 2 – Profilul de viteze într-un fluid ideal

1. CURGERI LAMINARE ŞI TURBULENTE. EXPERIMENTELE LUI REYNOLDS Curgerea fluidelor reale se poate produce în două regimuri distincte de mişcare din punctul de

vedere al structurii fizice a acestora. Existenţa acestor două regimuri a fost pusă în evidenţă de

fizicianul O. Reynolds, cu ajutorul instalaţiei experimentale prezentată în figura 3.

Fig. 3 – Aparatul Reynolds Aparatul lui Reynolds constă dintr-un rezervor de nivel constant căruia i se ataşează o conductă

orizontală de golire, din sticlă, prevăzută cu un robinet.

În conducta de golire este introdus tub subţire prin care curge un lichid colorat, dintr-un recipient

aflat în partea superioară.

Experimentele au relevat faptul că;

- la viteze mici de golire, curgerea firului de lichid colorat nu este perturbată de curgerea

lichidului din rezervor (figura 4) – curgere laminară

- la viteze mari cele două lichide se amestecă turbulent (figura 5) – curgere turbulentă

Fig. 4 – Curgere laminară Fig. 5 – Curgere turbulentă Trecerea de la un regim de curgere la altul se face pentru aceeaşi valoare a raportului:

Red vd v ==νµ

ρ , (1)

denumit numărul Reynolds, unde:

ρ este densitatea lichidului;

η este vâscozitatea dinamică a lichidului;

ν este vâscozitatea cinematică a lichidului;

v este viteza de curgere;

d este diametrul conductei de golire.

Pentru 2320Re < regimul este unul laminar.

Pentru 2320Re > regimul este turbulent.

Pentru numere Reynolds în intervalul 2320 şi 5000 regimul de curgere este unul de tranziţie.

Pentru valori mai mari de 5000, curgerea este turbulentă complet dezvoltată

2. PROFILUL VITEZELOR ÎN MIŞCARE LAMINARĂ ŞI TURBULENTĂ

Pentru mişcările laminare profilul vitezelor (legea de repartiţie a vitezelor) este unul parabolic, ca în

figura 6. Viteza într-un punct din interiorul unei conducte de rază R este, la distanţa r de axa

conductei, dată de relaţia:

−=

2

max Rr1vv , (2)

Unde maxv este viteza maximă, în axa conductei. Ca valoare, viteza medie v reprezintă jumătate

din valoarea vitezei maxime.

2vv max= ,

81

Fig. 6 – Profilul de viteze în mişcare laminară În mişcarea turbulentă profilul de viteze se aplatisează odată cu creşterea numărului Reynolds,

după cum este prezentat în figura 7.

Fig. 7 - Profilul de viteze în mişcare turbulentă Profilul de viteze este, aproximativ, unul logaritmic. Pe baza unor determinări experimentale,

Ludwig Prandl şi Johann Nikuradze au stabilit că profilul de viteze într-o conductă poate fi

determinat cu relaţia:

n1

max Ryvv

= , (3)

unde y este distanţa pe direcţie radială, măsurată de la perete (vezi figura 8).

Pentru exponentul n s-au determinat diverite valori, care depind de numărul Reynolds. Pentru

domeniul 4105Re ⋅< Nikuradze a indicat 7n = , motiv pentru care relaţia (5) mai este cunoscută

şi ca „legea unu pe şapte”. Pentru 54 102Re105 ⋅<<⋅ a fost determinată valoarea 8n = , iar

pentru 5102Re ⋅> 10n = . În primă aproximaţie, se poate considera că viteza medie într-un regim

de curgere turbulentă reprezintă 0.84 din valoarea vitezei maxime.

Viteza medie în timp, într-un punct, este dată de media vitezelor instantanee. Mărimea acestor

fluctuaţii după cele trei direcţii ale sistemului de referinţă ,v ,v ,v 'z

'y

'x ale vitezei medii, este

caracterizată de gradul de turbulenţă al fluidului T , definit de relaţia:

v'v100

3'v'v'v

v100T

22z

2y

2x =

++= [%]. (4)

Fig. 8 – Variaţiile locale în timp ale vitezei

Fig. 9 – Variaţia în timp a vitezei instantanee

3. PIERDERI ENERGETICE LA CURGEREA

FORŢATĂ A FLUIDELOR

3.1. NOŢIUNI TEORETICE Ca orice fenomen fizic real şi transportul fluidelor prin conducte se realizează cu pierderi de

energie, în acest caz fiind vorba de energie hidraulică. Calculul acestor pierderi se face pornind de

la ecuaţia conservării energiei în cazul mişcării permanente a fluidelor incompresibile, în câmp

gravitaţional, scrisă pentru două secţiuni de calcul:

=>+++⋅

=++⋅

∑21 r2

222

11

21 hzp

g2νzp

g2ν

γγ (5)

2121

22

212

1 r zzppg2ννh −+

−+

⋅−

=∑ γ [m col. fluid], (6)

unde: 21,νν vitezele medii ale fluidului prin secţiunile de calcul;

21,pp presiunile statice ale fluidului pentru aceleaşi secţiuni;

21 z,z cotele de nivel ale celor două secţiuni de calcul faţă de un plan de referinţă.

Termenul ∑2

1 rh din ecuaţia anterioară reprezintă tocmai pierderile energetice (denumite si pierderi

hidraulice sau pierderi de sarcină), care apar la curgerea fluidului între secţiunile 1 şi 2 .

83

Deşi din punct de vedere fizic, pierderile hidraulice în orice element al unei reţele sunt indivizibile,

pentru uşurinţa calculelor, acestea sunt adesea împărţite, convenţional, pentru aceeaşi secţiune de

calcul, în:

pierderi liniare, numite şi distribuite, linh ;

pierderi locale, loch .

Ambele tipuri de pierderi se însumează după principiul suprapunerii pierderilor, pentru care se ia

suma aritmetică a pierderilor distribuite şi a pierderilor locale:

loclinr hhh += [m col. fliud]. (7)

Practic, valoarea linh trebuie luată în considerare numai pentru componentele de lungime relativ

mare sau atunci când este apropiată ca valoare de loch .

În calculele moderne ale reţelelor hidraulice se operează cu coeficienţi adimensionali ai

rezistenţelor hidraulice. Este mult mai convenabil, deoarece în curenţii dinamic asemenea,

pentru care se respectă asemănarea geometrică a sectoarelor şi egalitatea numerelor

Reynolds (şi a altor criterii de similitudine, dacă ele sunt importante), valoarea acestor

coeficienţi este independentă de natura fluidului, de viteza curentului, precum şi de

dimensiunile sectoarelor calculate. În general pierderile de energie hidraulică se exprimă în

raport cu termenul cinetic, utilizând viteza medie pe secţiune, sub forma generală:

g2νh

2

r ⋅= ζ [m col. fluid], (8)

unde: ζ [-] coeficientul pierderilor energetice (denumit şi coeficientul pierderilor

hidraulice, coeficientul pierderilor de sarcină sau coeficient de rezistenţă

hidraulică).

În funcţie de coeficienţii adimensionali caracteristici, relaţia (7) se poate scrie astfel:

g2v

g2v)(h

2

tot

2

loclinr ζζζ =+= [m col. fluid], (9)

unde: linζ [-] coeficientul de rezistenţă liniară;

locζ [-] coeficientul de rezistenţă locală.

Observaţie Principiul însumării pierderilor se aplică nu numai la calculul unui element separat al

unei reţele hidraulice, dar şi la calculul hidraulic al întregului ansamblu, adică suma aritmetică a

pierderilor în diferitele elemente de pe traseu dă rezistenţa totală a reţelei. În acest caz se iau în

considerare influenţele reciproce ale elementelor ce compun reţeaua hidraulică, situate la distanţe

mici unele faţă de altele.

7.3.2 Pierderile liniare (distribuite) de sarcină Pierderile distribuite sunt provocate de vâscozitatea (atât moleculară, cât şi turbulentă) fluidului de

lucru şi constituie rezultatul schimbului de cantitate de mişcare între molecule (în cazul mişcării

laminare), precum şi între particulele aflate în straturi învecinate ale fluidului, care se mişcă cu

viteze diferite (în cazul mişcării turbulente). Valoarea acestora este proporţională cu lungimea

traseului parcurs. Conform H. P. G. Darcy, relaţia de calcul a acestor pierderi este:

g2ν

dlh

2

Hlin ⋅⋅= λ [m col. fluid], (10)

unde: λ [ - ] coeficientul Darcy-Weissbach de frecare vâscoasă;

l [m] lungimea traseului parcurs între secţiunile 1 şi 2 ;

Hd [m] diametrul hidraulic;

udat Perimetrulcurentului a vii sectiunii Aria4

PA4R4d

u

scHH === [m]. (11)

În figura 10 sunt prezentate două situaţii de calcul ale diametrului hidraulic, frecvent întâlnite în

practică. După cum se observă, în cazul conductelor circulare diametrul hidraulic coincide cu

diametrul geometric.

Fig. 10 – Situaţii de calcul ale diametrului hidraulic

Coeficientul rezistenţei distribuite pentru un element considerat se exprimă în funcţie de

coeficientul lui Darcy, după cum urmează:

Hlin d

lλζ = [-]. (12)

Când raportul Hdl este constant şi fluidul este incompresibil, coeficienţii de rezistenţă λ ,

respectiv linζ depind de numărul Re şi de rugozitatea relativă k a pereţilor elementului calculat:

Hdkk = [-], (13)

85

unde: k rugozitatea pereţilor elementului hidraulic calculat, definită conform figurii 11.

Fig. 11 – Definirea rugozitaţii Inversul rugozităţii se numeşte netezime.

7.3.3 Pierderile locale de sarcină Pierderile locale de presiune apar pe porţiuni scurte ale curgerii (numite singularităţi) unde are loc

o perturbare a curgerii normale (o variaţie a vectorului viteză medie, ca modul şi/sau direcţie).

Apar în locurile cu schimbări ale configuraţiei traseului (difuzoare, confuzoare, coturi, filtre, armaturi

etc.), la întâlnirea şi ocolirea obstacolelor sau la desprinderea curentului de pereţii reţelei.

Formarea vârtejurilor şi amestecarea turbulentă intensivă a curentului intensifică schimbul de

cantitate de mişcare (eforturile tangenţiale de frânare), mărind disiparea de energie.

Relaţia de calcul a acestora este de forma (8):

g2νh

2

loc ⋅⋅= ζ [m col. fluid], (14)

unde: ζ [ - ] coeficientul pierderilor locale; se determină în majoritatea cazurilor pe cale

experimentală.

Coeficientul rezistenţei locale locζ depinde în special de caracteristicile geometrice ale elementului

considerat, precum şi de câţiva parametri ai mişcării, precum:

• Caracterul distribuţiei vitezei la intrarea fluidului în elementul examinat; la rândul ei,

distribuţia de viteze depinde de regimul de curgere, de forma intrării în element, de

lungimea porţiunii drepte ce precede intrarea, de distanţa până la diferitele părţi

prelucrate ale tronsonului sau obstacole etc.;

• Numărul Reynolds:

• Numărul Mach M (pentru curgeri cu variaţii ale densităţii).

7.3.4 Calculul coeficientului lui Darcy 1. Pentru curgeri laminare, Re < 2300, λ se calculează cu relaţia lui Stokes (determinată

analitic), şi este funcţie doar de numărul Reynolds:

Re64

=λ [-] (15)

2. Pentru curgeri turbulente netede, Re > 5000 neinfluenţate de rugozitatea relativă a conductei

00008.0k < , λ se calculează cu relaţia lui Blasius:

25.0Re3164.0

=λ [-] (16)

3. Pentru curgeri turbulente complet dezvoltate 5000Re > , în conducte rugoase

0125.0 k00008.0 << , λ se poate calcula cu una din relaţiile: 25.0

H Re68

dk11.0

+=λ [-] (stabilită de Idelcik) (17)

2Hk

d lg 274.1

1

+

=λ [-] (stabilită de Nikuradze) (18)

Valoarea numărului Reynolds, kRe , de la care rugozitatea începe să influenţeze curgerea, deci şi

valoarea λ , se poate poate aproxima cu relaţia lui Pecornik:

=

kd1.0lg

kdRe HH

k . (19)

4. Pentru regimurile de tranziţie se poate utiliza relaţia lui Moody’:

kd

Re260 H=λ [-]. (20)

Fig. 12 – Diagrama Colebrooke – White În figura 12 sunt prezentate grafic situaţiile de calcul ale λ , reprezentare cunoscută şi sub

denumirea de diagrama Colebrooke – White.

87

EXAMPLU 1 O pompă alimentează cu apă un rezervor (vezi figura) printr-o conductă de diametru mm 30D = ,

lungime m30L = şi rugozitate medie mm 2.0k = . Suma coeficienţilor ce caracterizează

pierderilor locale este 6.0=∑ζ (în cot şi în secţiunea de intrare în rezervor). Să se determine

presiunea 1p în secţiunea de ieşire din pompă pentru un debit de /s dm4.1Q 3= . Vâscozitatea

cinematică a apei este s/m 10 26−=ν .

SOLUŢIE: Se trec datele problemei în sistemul internaţional (dacă este cazul):

m1030 mm30D 3−⋅== ;

m1015.0 mm15.0k 3−⋅== ;

/s m104.1/s dm4.1Q 333 −⋅== ;

m30L = ;

De asemenea, 3m/kg 1000=ρ , (densitatea apei).

Se aplică ecuaţia lui Bernoulli între punctele (1), la nivelul secţiunii de ieşire din pompă şi (2), la

nivelul suprafeţei libere a apei din bazin:

[ ]m hzgρ

pg 2

vzgρ

pg 2

v 2

1r2

222

11

21 ∑+++=++ .

Pentru acest caz:

Viteza la suprafaţa liberă a apei din bazin este foarte mică şi se poate neglija: s/ m0v2 ≅ ;

Presiunea (relativă) la suprafaţa liberă a apei din bazin este nulă: 22 m/ N0p = ;

Pentru: m25 z 0z 21 =⇒= .

Pentru aceste condiţii, ecuaţia lui Bernoulli se rescrie:

[ ]m hzgρ

pg 2

v 2

1r2

121 ∑++=+ .

Pierderile de energie hidraulică între cele două puncte sunt (liniare şi locale):

[ ]m ζDL

g 2v

g 2vζ

g 2v

DLh

21

21

21

2

1r

+=+=+ ∑∑∑ λλ .

Astfel:

[ ]m 1ζDL

2vz gρ p

ζDL

g 2vz

gρ p

g 2v

21

21

21

21

21

−++=

⇒

++=+

∑

∑

λρ

λ

Viteza medie în punctual (1) se determină din ecuaţia continuităţii (debitului):

( )s/m 98.1

1030

104.14D Q 4v

4D vct.Q 23

3

21

2

1 =⋅

⋅⋅==⇒==

−

−

πππ .

Pentru a calcula valoarea coeficientului λ , corespunzător pierderilor liniare, trebuie determinat

regimul de curgere al apei prin conducta de alimentare (se calculează numărul Reynolds):

46

31094.5

10103098.1D vRe ⋅=⋅⋅

== −

−

ν.

Deoarece 5000Re > , curgerea este turbulentă, complet dezvoltată. În aceste condiţii se

determină dacă rugozitatea influenţează curgerea (se calculează rugozitatea relativă a conductei):

005.010301015.0

Dkk 3

3=

⋅⋅

== −

−.

Întrucât 0125.0- 00008.0)Dk( = , curgerea este de asemenea rugoasă, deci:

031.01094.5

68005.011.0Re68

Dk11.0

25.0

4

25.0=

⋅+=

+=λ .

În final:

25

3

2

21

21

mN 10052.316.0

103030031.0

298.110002581.91000

1ζDL

2vz gρ p

⋅=

−+

⋅+⋅⋅=

=

−++=

−

∑λρ.

EXEMPLU 2 Rezervorul din figură este golit printr-o conductă orizontală având diametrul mm 50D = ,

lungimea m 10L = şi rugozitatea medie mm 2.0k = .

89

Să se calculeze presiunea în punctual (2) când robinetul este parţial astfel încât debitul se reduce

la jumătate. Coeficientul pierderii locale la schimbarea de secţiune este 5.0S =ζ . Vâscozitatea

cinematică a apei este s/m 10 26−=ν .

SOLUŢIE: Observaţii: Deoarece nu sunt cunoscute nici debitul, nici viteza medie de golire, coeficientul ce

caracterizează pierderile liniare nu poate fi determinat în mod direct. Calculul

acestuia se face iterativ, precum este prezentat în continuare.

Debitul maxim prin conductă, când robinetul este complet deschis, se determină

aplicând ecuaţia lui Bernoulli între punctele (1), la nivelul suprafeţei libere a apei în

rezervor şi (3), în secţiunea de ieşire din conductă:

[ ]m hzgρ

pg 2

vzgρ

pg 2

v 3

1r3

323

11

21 ∑+++=++ .

Pentru acest caz:

- viteza în punctul (1) este foarte mică: s/ m0v1 = ;

- presiunea (relativă) în punctele (1) şi (3) este nulă: 231 m/ N0pp == ;

- pentru: m15 z 0z 13 =⇒= .

- pierderile energetice (liniare şi locale) sunt:

[ ]m ζDL

g 2v

g 2vζ

g 2v

DLh S

23

23

S

23

2

1r

+=+=∑ λλ .

Astfel, pentru acest caz, ecuaţia lui Bernoulli devine:

S

1max3S

23

23

1ζ

DL1

z g 2vvζDL

g 2v

g 2vz

++==⇒

++=

λλ .

Se adoptă o valoare pentru λ în intervalul 1.001.0 ÷=λ . Pentru 03.01 =λ :

m/s 264.65.0

05.01003.01

1581.92

ζDL1

z g 2vS1

1max1

=++

⋅⋅=

++=

λ.

Cu această valoare a vitezei, se verifică valoare adoptată pentru λ .

56

max1 10131.3

1005.0264.6D v

Re 1 ⋅=⋅

== −ν.

Deoarece 5000Re > , curgerea este turbulentă, complet dezvoltată. Se calculează rugozitatea

relativă:

004.050

2.0Dkk === .

Întrucât 0125.0- 00008.0)Dk( = , curgerea este de asemenea rugoasă, deci:

028.010131.3

68004.011.0Re68

Dk11.0

25.0

5

25.0

verificat 1 =

⋅+=

+=λ .

Eroarea relativă este:

% 67.61001

checked 111 =⋅

−=

λλλε .

Pentru a descreşte eroarea de calcul, se reia procedura de determinare pentru coeficientul

corespunzător pierderilor liniare. Se adoptă 028.02 =λ , astfel:

m/s 438.65.0

05.010028.01

1581.92

ζDL1

z g 2vS2

1max2

=++

⋅⋅=

++=

λ.

56

max2 10219.3

1005.0438.6D v

Re 2 ⋅=⋅

== −λ.

028.010219.3

68004.011.0Re68

Dk11.0f

25.0

5

25.0

2verificat 2 =

⋅+=

+= .

% 0.0100f2

checked 222 =⋅

−=

λλε .

În final, viteza (medie) prin conducta de golire, corespunzătoare debitului maxim este

m/s438.6vmax = , iar debitul maxim:

;

/sm10641.12405.0438.6

4DvQ 33

22maxmax −⋅===

ππ .

Pentru un debit /sm10321.62

Q 33max −⋅= , viteza prin conducta de golire este: m/s219.3v2 = .

Astfel, înălţimea piezometrică în punctul (2), g ρ2

2ph = , poate fi determinată aplicând ecuaţia lui

Bernoulli înre punctele (1) şi (2):

++−=

⇒+++=

S

22

12

22

S

222

22

1

ζDL1

g 2vz

gρ p

g 2vζ

g 2v

DL

gρ p

g 2vz

λ

λ

Pentru acest regim de curgere se recalculează λ :

91

56

2 10610.110

05.0219.3D vRe ⋅=⋅

== −ν

)37(028.010610.1

68004.011.0Re68

Dk11.0

25.0

5

25.0

=

⋅+=

+=λ

În final:

m 25.115.005.0

10028.0181.92

219.315ζDL1

g 2vz

gρ p 2

S

22

12 =

++

⋅−=

++−= λ .