DINÁMICA DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDOFundamentos de Mecánica

Grupo 22Saúl David Bertel Hoyos

Introducción

Velocidad angular y aceleración angularP

r

O

x

y

Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje que pasa por O.

El punto P se mueve a lo largo de un círculo de radio r. El arco que describe esta dado por:

rsrs

Donde  está medido en radianes.

La velocidad angular promedio se define como:

ttt

12

12

Introducción

La velocidad angular instantánea es:dtd

tt

0

lim

La aceleración angular promedio se define como: ttt

12

12

La aceleración angular instantánea es:0

limt

dt dt

Alrotaralrededordeunejefijo,todapartículasobreuncuerporígidotienelamismavelocidadangularylamismaaceleraciónangular.

Alrotaralrededordeunejefijo,todapartículasobreuncuerporígidotienelamismavelocidadangularylamismaaceleraciónangular.

Introducción

Cinemática RotacionalLas ecuaciones de cinemática se cumplen para movimiento rotacional sustituyendo x por , v por , a por . De esta forma si  = 0 y  = 0 en t0 = 0  se tiene:

020

2

221

00

0

2

tt

t

Introducción

Relaciones Angulares y LinealesLa velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular de la siguiente manera:

rvdtdr

dtdr

dtdsv

Similarmente para la aceleración:

radtdr

dtdr

dtdva

Introducción

5.3 Energía Cinética de Rotación

5.3 Energía Cinética de Rotación

En donde el término entre paréntesis, se conoce como momento de inercia I

5.3 Energía Cinética de RotaciónLa energía cinética de rotación no es un nueva forma de energía, sino que es elequivalente rotacional de la energía cinética de traslación, se dedujo a partir de esaforma de energía.Existen técnicas del calculo integral para calcular I, y teoremas asociados, que no seusarán en este curso. El momento de inercia I es una cantidad que depende del eje derotación, el tamaño y la forma del objeto.

dmrmrI iimi

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0limPara un objeto tridimensional es conveniente utilizar la densidad de volumen:

dVdm

Vm

V

0

lim

Entonces:

dVrI 2

Ejemplos de momento de inercia

Aro o cascarón cilíndrico

Cilindro huecoCilindro sólido o disco

Barra delgada larga con eje de rotación que pasa por el extremo.

Barra delgada larga con eje de rotación que pasa por el centro.

Placa rectangular

Esfera huecaEsfera sólida

2MRICM 221 MRICM 2

2212

1 RRMICM

22121 baMICM

2121 MLICM

231 MLI

252 MRICM 2

32 MRICM

5.4 RELACIÓNENTRETORQUEYACELERACIÓNANGULAR.La fuerza tangencial se relaciona con laaceleración tangencial at por Ft = mat. Eltorque alrededor del centro del círculoproducido por Ft es:

Como la at se relaciona con la aceleraciónangular por at = rα, el torque se puedeescribir como:Por tanto

Se puede extender este análisis a uncuerpo rígido arbitrario que rota entorno a un eje fijo que pase por Ο, comose ve en la figura 8.2. El cuerpo rígido sepuede considerar formado porelementos de masa dm, que giran entorno a Ο en una circunferencia de radior, por efecto de alguna fuerza tangencialexterna dFt que actúa sobre dm.

5.4 RELACIÓNENTRETORQUEYACELERACIÓNANGULAR.

El torque neto se obtiene integrando esta expresión, considerando que α tiene elmismo valor en todo el cuerpo rígido,entonces

Ejemplo 1Una barra uniforme de longitud L y masa M, que gira libremente alrededor de unabisagra sin fricción, se suelta desde el reposo en su posición horizontal, como semuestra en la figura Calcular la aceleración angular de la barra y su aceleración linealinicial de su extremo.

SoluciónL/2

Mgpivote

El momento de torsión es:

= Fd = Mg(L/2)

La aceleración angular es

Lg

MLMgL

I 23

3/12/2

La aceleración lineal del extremo es

a = L = 3/2 g

Para calcular la aceleración lineal del extremo de la barra, usamos la ecuaciónat = rα, con r = L, reemplazando α:

Ejemplo 2Una rueda de radio R, masa M ymomento de inercia I, puedegirar en torno a un eje horizontalsin roce ( ver figura). Una cuerdaideal se enrolla alrededor de larueda y sostiene un bloque demasa m. Cuando se suelta enbloque, la rueda comienza agirar en torno a su eje. Calcularla aceleración lineal del bloque,la tensión de la cuerda y laaceleración angular de la rueda.

Solución

m

M

T

T

ITR

I

R

La 2a ley de Newton

mRIR

gRa

mRI

ga

ImR

mgT

ITRR

mTmga

maTmgFy

2

2

2

1

1

M = 2 kg, R = 30 cm, I = 9.90 kg m2, m = 0.5 kg

Es todo por hoy

5.5TRABAJO,ENERGÍAYPOTENCIAENELMOVIMIENTODEROTACIÓN.Para un cuerpo rígido que gira en torno a un eje fijo quepasa por Ο, como se ve en la figura. Si una fuerza externa Fse aplica en un punto Q del cuerpo rígido a un distancia r deΟ, el trabajo realizado por F cuando el objeto gira unadistancia infinitesimal ds = rdθ es:

donde F senφ = Ft es la componente tangencial de Fo la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento ds, que es la componente que realiza trabajo. La componente radial de F no realiza trabajo porque es perpendicular al desplazamiento. Como el torque es: τ = r F senφ, el trabajo se escribe:integrando, se obtiene:

El trabajo de rotación es análogo el de traslación:5.5TRABAJO,ENERGÍAYPOTENCIAENEL

MOVIMIENTODEROTACIÓN.

La potencia con la cual se realiza el trabajo esPor tanto, la potencia instantánea es:

Tomando ahora la expresión del torque rotacional τ = Iα, aplicando la regla de lacadena:

5.5TRABAJO,ENERGÍAYPOTENCIAENELMOVIMIENTODEROTACIÓN.Al reagrupar esta expresión y considerando que τ dθ =dW ⇒ dW =Iωdω. Integrando se encuentra el trabajo total realizado durante la rotación:

Por lo tanto, el trabajo neto realizado por las fuerzas externas al hacer girar uncuerpo rígido es igual a la variación de energía cinética rotacional del objeto.una barra uniforme de longitud L y masa Mtiene libertad de dar vuelta sobre un pivotesin fricción que pasa a través de un extremo(ver figura). La barra se libera desde elreposo en la posición horizontal.calcular su rapidez angular, la rapidez linealde su centro de masa y del punto mas bajo dela barra cuando está vertical.

Ejemplo 3

SoluciónAplicando conservación de energía mecánicaResolviendo para ω

Para calcular la rapidez del centro de masa, se usa:

En el punto mas bajo la rapidez es

Ejemplo 4Para el sistema de la figura , las masas tienen momentode inercia I en torno a su eje de rotación, la cuerda noresbala en la polea y el sistema se suelta desde elreposo. Calcular la rapidez lineal de las masas despuésque una ha descendido H y la rapidez angular de lapolea.Solución: como no hay roce en la polea, se conserva laenergía, que aplicada a cada masa m1 y m2, suponiendoque m2 se encuentra inicialmente en la parte superiordel sistema, es:

Soluciónejemplo4

Por tantoCalcule la velocidad angular a partir del anterior resultado. ?????

5.6MOVIMIENTODERODADURADEUNCUERPORÍGIDO.Se considerará ahora el caso más general de movimiento de rotación, donde el eje de

rotación no está fijo en el espacio, sino que en movimiento, este se llamamovimiento de rodadura. El movimiento general de un cuerpo rígido es muycomplejo, pero se puede usar un modelo simplificado limitando el análisis a un cuerporígido homogéneo con gran simetría, como un cilindro, una esfera o un aro, ysuponiendo que el cuerpo tiene movimiento de rodadura en un plano.Considerar un cilindro uniforme de radio R que rueda sin deslizar en una trayectoriarecta, como en la figura. El centro de masa se mueve en línea recta, pero un punto en elborde se mueve en una trayectoria más compleja, llamada cicloide.La cicloide es la curva que traza un punto situado en el borde de un círculo que rueda sinresbalarse sobre una recta.

5.6MOVIMIENTODERODADURADEUNCUERPORÍGIDO.A medida que el cilindro gira un ángulo θ, su centro de masa se mueve una distancia s=Rθ, por lo tanto, las magnitudes de la velocidad y la aceleración del centro de masa para el movimiento de rodadura puro son:

Un punto general del cilindro, como Q tiene una velocidad con componentehorizontal y vertical. Pero los puntos P, CM y P’ tienen velocidades respectivamentecero en P porque R =0, vcm= Rω en el CM y (2R)ω =2(Rω) = 2νcm en P’, ya que todoslos puntos del cilindro tienen la misma ω.La energía cinética total del cilindro rodante es:donde IPes el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por P. Se puededemostrar que Ip =Icm +MR2y al reemplazar en Ec se tiene:

5.6MOVIMIENTODERODADURADEUNCUERPORÍGIDO.Pero vcm=Rω, entonces:

Esto significa que la energía cinética total de un objeto en movimiento derodadura está dada por la energía cinética de rotación en torno al centro demasa y la energía cinética de traslación del centro de masa del objeto. Elmovimiento de rodadura sólo es posible si existe roce entre el cuerpo rígido quese mueve y la superficie, ya que la fuerza de roce produce el torque necesariopara hacer rodar el cuerpo rígido en torno al centro de masa.

Ejemplo 5Usar la conservación de la energía paradescribir el movimiento de rodadura deun cuerpo rígido de masa M que ruedapor un plano inclinado y rugoso, que semuestra en la figura

Solución: Aplicando conservación de laenergía se tiene:Como vcm= Rω ⇒ ω = vcm/R, se reemplaza en la ecuación anterior y se obtiene:

La aceleración lineal se puede calcular con la ecuación Ejemplo5

5.7 Cantidad De Movimiento Angular

5.7 Cantidad De Movimiento Angular

5.7 Cantidad De Movimiento Angular

5.7CantidadDeMovimientoAngular

5.7CantidadDeMovimientoAngular5.7.1 Cantidad De Movimiento Angular De un Objeto Rígido.

El vector L está en dirección del eje z igualque el vector ω, por lo que se consideracomo la componente z del momento angularde la partícula i.

5.7.1CantidadDeMovimientoAngularDeunObjetoRígido

5.8 Conservación De la Cantidad De Movimiento AngularDe la ecuación:

si el torque neto que actúa sobre el sistema es cero, entonces:

Esta ecuación dice que el momento angular total de unsistema es constante si el torque neto que actúa sobreel sistema es cero: es el principio de conservacióndel momento angular.

5.8ConservaciónDelaCantidadDeMovimiento

Angular

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