En los anlisis del movimiento de un cuerpo rgido, aparecen a menudo expresiones en las que interviene el producto de la masa de un pequeo elemento por el cuadrado de su distancia a una recta de inters. Este producto recibe el nombre de momento segundo de la masa del elemento o, ms frecuentemente, de momento de inercia del elemento. As pues, el momento de inercia de un elemento de masa respecto al eje representado en la figura 10-24 es, por definicin:

El momento de inercia de todo el cuerpo respecto al eje 00 es, por definicin:

Como tanto la masa del elemento como el cuadrado de su distancia al eje son cantidades positivas, el momento de inercia de una masa ser siempre positivo.Los momentos de inercia tienen las dimensiones de una masa multiplicadas por las del cuadrado de una distancia, . Su unidad de medida ser, en el sistema SI, el . En el U.S. Customary system, las magnitudes fundamentales son fuerza, longitud y tiempo y la masa tiene por dimensiones . Por tanto, el momento de inercia tendr por unidad la . Si la masa del cuerpo se expresara en la unidad de medida del momento de inercia en el U.S. Customary system sera el .Los momentos de inercia de un cuerpo respecto a los ejes de coordenadas de un sistema se pueden determinar considerando un elemento de masa como el representado en la figura 10.25. Por la definicin de momento de inercia,

Para el eje y el eje se pueden escribir expresiones anlogas. As pues,

Radio de giroLa definicin de momento de inercia (ec. 10.20) indica que las dimensiones del momento de inercia son las de una masa multiplicada por el cuadrado de una longitud. En consecuencia, el momento de inercia de un cuerpo puede expresarse mediante el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de una longitud . A esta longitud se le da el nombre de del cuerpo. As pues, el momento de inercia de un cuerpo respecto a una recta dada se puede expresar en la forma

El radio de giro de la masa de un cuerpo respecto a un eje cualquiera puede interpretarse que es la distancia al eje de un punto en el que habra que concentrar toda la masa del cuerpo para tener el mismo momento de inercia respecto al eje que la masa real (o distribuida).Donde:m: masa total del cuerpo rgido.I: momento de inercia

El radio de giro de masa es muy parecido al radio de giro de superficie. El radio de giro de masa no es la distancia al eje dado de ningn punto fijo del cuerpo tal como el centro de masa, El radio de giro de masa de un cuerpo respecto a un eje cualquiera es siempre mayor que la distancia al eje del centro de masa del cuerpo. No existe ninguna interpretacin fsica til del radio de giro; no es ms que un medio conveniente de expresar el momento de inercia de masa de un cuerpo en funcin de su masa y una longitud.Teorema de Steiner para momentos de inerciaEl teorema de Steiner para momentos de inercia es muy parecido al correspondiente a momentos segundos de superficie. Considrese el cuerpo representado en la figura 10.26, en cuyo centro de masa G se toma el origen del sistema de coordenadas y considrese tambin un sistema de coordenadas de origen en el punto y ejes paralelos a los am tenores. En la figura se observa que

La distancia que separa los ejes y es

El momento de inercia del cuerpo respecto al eje x, paralelo al eje x que pasa por el centro de masa es, por definicin,

Ahora bien,

y como los ejes y pasan por el centro de masa G del cuerpo,

Por tanto,

Las ecuaciones (10.23) constituyen el teorema de Steiner para momentos de inercia. El subndice G indica que el eje pasa por el centro de masa G del cuerpo. As pues, si se conoce el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje que pase por su centro de masa, se podr hallar el momento de inercia respecto a otro eje cualquiera paralelo a l, sin necesidad de integracin, utilizando las ecuaciones 10.23.Entre los radios de giro respecto a estos dos ejes existe una relacin similar. As, si se designan por y y k los radios de giro respecto a dichos ejes paralelos, la relacin anterior se puede escribir en la forma

Luego

Nota: Las ecuaciones 10.23 y 10.24 slo son vlidas para pasar de ejes que pasen por el centro de masa a otros ejes paralelos a ellos, o al revs. No son vlidas para ejes paralelos arbitrarios.Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelosEl teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa ms el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

Donde: es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; - Masa Total y - distancia entre los dos ejes paralelos considerados.Lo demostracin de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposicin de coordenadas relativa al centro de masas inmediata.

Donde el segundo trmina es nulo puesta que la distancia vectorial promedio de masa en torna al centro de masa es nula, por la propia definicin de centro de masa.El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa slo depende de la geometra del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que est inmerso dicho cuerpo.

Momentos de inercia por integracinCuando se utilize mtodos de integracin para determinar el momento de inercia de un cuerpo respecto a uneje, la masa del cuerpo se puede descomponer en elementos de diversas maneras. Segn sea el tipo de elemento que se tome, ser necesaria una integracin simple, doble o triple. La configuracin geomtrica del cuerpo suele determinar que se utilicen coordenadas cartesianas o polares. En cualquier caso, los elementos de masa debern seleccionarse de manera quea. Todas las partes del elemento se encuentren a igual distancia del eje respecto al cual hay que determinar el momento de inercia.b. Si no se cumpliera la condicin 1 , debera seleccionarse el elemento de manera que fuese conocido el momento de inercia del elemento respecto al eje para el cual baque determinar el momento de inercia del cuerpo. Este podr entonces calcularse sumando los momentos de inercia de los elementos.c. Si se conociera la situacin del centro de masa del elemento y el momento de inercia del elemento respecto a un eje que pase por el centro de masa y sea paralelo al eje dado, se podr determinar el momento de inercia del elemento utilizando el teorema de Steiner. A continuacin se podr hallar el momento de inercia del cuerpo sumando los momentos de inercia de los elementos.

Cuando se utilice integracin triple, el elemento satisfar siempre el primer requisito, si bien esta condicin no se cumplir necesariamente en los casos de integracin simple o doble.En algunos casos, el cuerpo puede considerarse que es un sistema de puntos materiales. El momento de inercia de un tal sistema respecto a una recta de inters es la suma de los momentos de inercia de los puntos respecto a la recta dada. As pues, si las masas de los puntos de un sistema son y las distancias de ellos a una recta dada son y el momento de inercia del sistema podr expresarse en la forma

Los momentos de inercia de placas delgadas son fciles de determinar. Por ejemplo, considrese la placa delgada representada en la figura 10.27. La placa tiene una densidad uniforme , un grosor uniforme y una seccin de rea . Los momentos de inercia respecto a los ejes y son, por definicin,

.(10.25)

donde los subndices y significan momentos de inercia y momentos se- gundos de superficie, respectivamente. Como las ecuaciones de los momentos de inercia de placas delgadas contienen las expresiones de los momentos segundos de superficie, los resultados que se consignan en la tabla 10.1 de los momentos segundos de superficie se podrn utilizar para determinar momentos de inercia sin ms que multiplicar aqullos por .En el caso general de cuerpos tridimensionales, los momentos de inercia respecto a los ejes y son

..(10.21)

Si la densidad del cuerpo es uniforme, el elemento de masa se puede expresar en funcin del elemento de volumen en la forma . Las ecuaciones (10.21) quedan entonces en la forma

(10.26)

Si la densidad del cuerpo no fuese uniforme, debera expresarse en funcin de la posicin y mantenerla dentro de la cantidad subintegral.El elemento concreto de volumen que haya que utilizar depender de la configuracin geomtrica del cuerpo. En el caso general de cuerpos tridimensionales, suele utilizarse el elemento diferencial , el cual exige una integracin triple. En el caso de cuerpos con simetra de revolucin, pueden utilizarse como elementos placas circulares que exigen slo una integracin simple. En algunos problemas, son tiles elementos cilndricos y coordenadas polares. En los problemas ejemplo siguientes se ilustran procedimientos para la determinacin de momentos de inercia.Teorema de ejes paralelos y de planos paralelosPara un conjunto dado de momentos y productos de inercia con respecto al sistema , deduciremos las ecuaciones de transformacin para obtener con respecto al sistema que representa la posicin. Tenemos:

Y

En donde m es la masa total. Pueden deducir ecuaciones semejantes para o tambin pueden obtenerse simplemente mediante un cambio cclico de en las ecuaciones anteriores. Se observa fcilmente que las ecuaciones anteriores no conviene usarlas, a menos que los ejes ejes centroidales, siendo el centro de masa. Para tal caso:

Usando en vez de podemos escribir las ecuaciones anteriores de transformacin, como:

Mediante un cambio cclico de se pueden obtener otras cuatro ecuaciones.Ahora se pueden resumir todas estas ecuaciones como sigue:

Momentos de inercia de cuerpos compuestosMuchas veces, en la prctica, el cuerpo de inters puede descomponerse en varias formas simples, tales como cilindros, esferas, placas y varillas, para las chales se han calculado y tabulado previamente los momentos de inercia. El momento de inercia del cuerpo compuesto respecto a un eje cualquiera es igual a la suma de los momentos de inercia de las distintas partes que lo componen respecto a dicho eje. Por ejemplo,

Cuando una de las partes componentes sea un agujero, su momento de inercia deber restarse del momento de inercia de la parte mayor para obtener el mo- mento de inercia del cuerpo compuesto. En la tabla 10.4 se consignan los mo- mentos de inercia de algunas formas corrientes tales como varillas, placas. cilindros, esferas y conos.

producto de inerciaEn los estudios del movimiento de cuerpos rgidos aparecen, a veces, expresiones en las que interviene el producto de la masa de un pequeo elemento por las distancias del mismo a un par de planos de coordenadas ortogonales. Este producto, semejante al momento segundo mixto de superficie, se denomina del elemento. Por ejemplo, el producto de inercia del elemen- to representado en la figura 10.31 respecto a los planos e es, por definicin,..(10.27)La suma de los productos de inercia de todos los elementos de masa del cuerpo respecto a los mismos planos ortogonales se define diciendo que es el producto de inercia del cuerpo. Los tres productos de inercia del cuerpo representado en la figura P10.31 son.

..(10.28)

Los productos de inercia, como los momentos de inercia, tienen las dimensiones de una masa multiplicada por el cuadrado de una longitud, . En el sistema SI se miden en y en el U.S. Customary system, en .El producto de inercia de un cueipo puede ser positivo, negativo o nulo ya que las dos coordenadas tienen signos independientes. El producto de inercia ser positivo cuando las dos coordenadas sean de igual signo y negativo cuando tengan signos opuestos. El producto deinercia ser nulo cuando uno u otro de los planos sea un plano de simetra, ya que los pares de elementos simtricos respecto a ste tendrn productos de inercia opuestos cuya suma dar cero.Los mtodos de integracin utilizados para determinar momentos de inercia son igualmente aplicables al clculo de productos de inercia. Segn de qu manera se tome el elemento, ser necesaria una integracin simple, doble o triple. Los momentos de inercia de placas delgadas estaban relacionados con los momentos segundos de superficie de la misma placa. Anlogamente, se po- drn relacionar los productos de inercia con los momentos segundos mixtos de las placas. Si la placa tiene una densidad uniforme, un grosor uniforme y una seccin de rea , los productos de inercia sern, por definicin,

..(10.29)

donde los subindices y se refieren a productos de inercia de masa y mo superficie, resefiirnente. Los productos de inercia e de una placa delgada son nulos ya que se supone que los ejes e y estan contenidos en el plano medio de la placa (plano de simetra).Se puede desarrollar, para los productos de inercia, un teorema de Steiner muy parecido al correspondiente a los momentos segundos mixtos de superficie que se desarroll en el apartado 10.2.5. Considrese el cuerpo representado en la figura 10.32, el cual tiene un sistema de coordenadas con origen en el centro de masa G del cuerpo y un sistema de coordenadas con origen en el punto y ejes paralelos a los anteriores. En la figura se observa que

El producto de inercia I del cuerpo respecto a los planos e es, por definicin,

Como e tienen el mismo valor para todo elemento de masa

Ahora bien,

y como los ejes e pasan por el centro de masa G del cuerpo,

Por tanto,

.(10.30)

Las ecuaciones 10.30 constituyen el teorema de Steiner para productos de inercia. El subndice G indica que los ejes e pasan por el centro de masa G del cuerpo. As pues, si se conoce el producto de inercia de un cuerpo respecto a un par de planos ortogonales que pasen por su centro de masa, podr hallar el producto de inercia de dicho cuerpo respecto a todo par de planos paralelos a los anteriores, sin necesidad de integracin, utilizando las ecuaciones 10.30.

EJERCICIOS

El cono circular recto est formado por rotacin de la zona de sombra alrededor de la x eje. Determinar el momento de inercia y expresar el resultado en trminos del total la masa del cono. El cono tiene un densidad constante.

Determinar el momento de inercia de la semielipsoide con respecto al eje y expresar el resultado en trminos de la masa de la semielipsoide. El material tiene una densidad constante.

Determinar el momento de inercia del elipsoide con respecto al eje y expresar el resultado en trminos de la masa del elipsoide. El material tiene una densidad constante.