dinâmica de fluidos -...
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Dinâmica de Fluidos
Computacional• Computational Fluid Dynamics• CFD
J. Carlos TeixeiraNelson Rodrigues
2016
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Perspectiva histórica
* Desde cedo o homem tem procurado compreender os fenómenos ligados aos fluídos
# Arquimedes entre 287 e 212 AC realizou estudos que englobavam a área da hidrostática
# Princípio de Arquimedes e parafuso de água
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Isaac Newton - Inglaterra (1643-1727)
* Uma das figuras mais importantes na ciência
* As suas contribuições para a mecânica dos fluídos englobam:
# A 2ª lei de Newton F=m x a# Relação entre a velocidade das ondas numa
superfície livre com o seu comprimento.
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Século XVIII e XIX
* Período de trabalho significativo para tentar descrever matematicamente o movimento dos fluidos.# Daniel Bernoulli (1700-1782) derivou a equação
de Bernoulli# Leonhard Euler (1707- 1783) propôs as
equações de Euler que descrevem a conservação do momento para um fluido invíscido.
* Osborne Reynolds (1842-1912)# Regimes de escoamento
* Claude Louis Marie Henry Navier (1785-1836) e George Gabriel Stokes (1819-1903) introduziram o transporte viscoso nas equações de Euler, resultando nas equações de Navier Stokes que são a base dos modelos CFD modernos.
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55
Século XX
* Ludwig Prandtl (turbulência; comprimento de mistura)
* von Kármann (turbulência)
* Nikuradse (rugosidade)
* Schlichting (camada limite; boundary layer) – (Stanford)
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66
Anos 60 e 70
* Durante os anos 60 a divisão teórica de Los Alamos contribuiu com vários métodos numéricos que ainda estão em uso actualmente, tais como:# Particle-In-Cell (PIC).# Marker-and-Cell (MAC)# Vorticity-Streamfunction Methods# Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE)# k-ε turbulence model
* Durante os anos 70 um grupo liderado por Dr. Brian Spalding no Imperial Collegede Londres desenvolveu:# Parabolic flow codes (GENMIX).# Vorticity-Streamfunction based codes# The SIMPLE algorithm and the TEACH code# The form of the k-e equations that are used today# Upwind differencing# ‘Eddy break-up’ and ‘presumed pdf’ combustion models
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Anos 80 e 90
* Antigamente, o CFD foi elaborado utilizando códigos académicos e caseiros. Sempre que alguém queria fazer um cálculo CFD tinha de escrever um programa.
* Foi durante este período que a maioria dos códigos CFD comerciais hoje disponíveis originou:# Fluent (UK and US)# Flow3D/CFX (UK and Canada)# Fidap (US)# Polyflow (Belgium)# Phoenix (UK)# Star CD (UK)# SCRYU (Japan)
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O que é?
* Computational Fluid Dynamics ou CFD é a análise de sistemas que englobam escoamento de fluidos, transferência de calor e massa, e fenómenos associados tais como reacções químicas através de simulação baseada em computação.
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99
Importância
* Aerodinâmica de aviões e veículos: impulsão e arrasto.
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1010
Importância
* Hidrodinâmica de navios.* Centrais eléctricas: motores de combustão interna e turbinas a gás
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1111
Importância
* Turbo-maquinaria: escoamentos em rotores, difusores, etc.* Engenharia electrónica e de eléctrica: arrefecimento de equipamento incluindo
microcircuitos.
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1212
Importância
* Engenharia de processos químicos: chamas, mistura e separação, moldes de polímeros
* Ambientes externos e internos de edifícios: carga do vento, aquecimento e ventilação.
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1313
Importância
* Engenharia marítima: cargas em estruturas marítimas* Engenharia ambiental: distribuição de poluentes e efluentes.
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1414
Importância
* Engenharia biomédica: escoamento de sangue pelas artérias e veias; e do ar pelas vias respiratórias
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1515
Vantagens
* Baixo custo na fase de projecto# Não é necessária a construção de modelos físicos# O custo em relação ao anterior provém sobretudo da obtenção de poder
computacional e das licenças
* Baixo custo na fase de projecto# As simulações podem ser realizadas num espaço de tempo relativamente
curto# Facilidade de mudar a situação de teste
* Capacidade de estudar situações perigosas na vida real
* Capacidade de simular condições ideais (adiabáticas, fluxos constantes…)
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1616
Limitações
* Modelos computacionais# O CFD só pode ser tão preciso quanto os modelos em que este é baseado
* Erros numéricos# Erros por aproximação# Erros por truncatura
* Está dependente da precisão na definição do problema que muitas vezes é aproximado
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1717
Equações de conservação (eq Navier-Stokes)
Massa
Momentum x, y, z
Energia
0 ut
xxxx Su
xpuu
tu
grad
yyyy Su
ypuu
tu
grad
iSTkupuiti
grad
zzzz Su
zpuu
tu
grad
2222222
2 uλyu
zu
xu
zu
xu
yu
zu
yu
xuμΦ zyzxyxzyx
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1818
a 2 dimensões:
0
yu
xu yx
xx
yxx
xx SxP
dyuuu
ydxuuu
x
yy
yyy
yx SyP
dyu
uuydx
uuu
x
0
yu
xu yx
Problemas convectivos ou difusivos! Interpolação
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1919
Equações de conservação (Simplificações)
Escoamento invíscido (Euler)
Momentum xx
xxx S
xpuu
tu
0 ut
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2020
Equações de conservação (Simplificações)
creeping flow (Stokes)(Re<<1)
Momentum xx
ex: meios porosos, micro fluidos
0 ut
0grad
xx Suxp
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2121
Equações de conservação (Simplificações)
Aproximação de Boussinesq (cont)
se não constante (g cte)
Tratar a parte variável apenas no termo de fonte (massa)
iii ggg 00
000 TTgg ii
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2222
Discretização das Equações
Porquê
Linearizar
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2323
Equações de conservação
Formulação diferencial
Formulação integral
Teorema de Gauss
Sut
grad
CVCVCVCV
dVSdVdVudVt grad
ACV
dAdV ana
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2424
Equações de conservação
(significado)
Em estado estacionário:
CVAACV
dVSdAdAudVt grad nn
CVAA
dVSdAdAu grad nn
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2525
Volumes finitos; difusão
Formulação diferencial
Formulação integral
Aplicando o Teorema de Gauss:
Sut
grad
CVCVCVCV
dVSdVdVudVt grad
CVAACV
dVSdAdAudVt grad nn
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2626
Volumes finitos; difusão
Só difusão:
a 1D:
0grad CVA
dVSdA n
0ˆˆ
dVSdAix
iA
0
dVSx
Ax
Awe
0
dVSdAxk Ak
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2727
Volumes finitos; difusão
0
dVSx
Ax
Awe
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2828
Volumes finitos; difusão
PE
PEee
e xA
xA
WP
WPww
w xA
xA
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2929
Volumes finitos; difusão
PPu SSdVS
0
PPu
WP
WPww
PE
PEee SS
xA
xA
uEePE
eWw
WP
wPPw
WP
we
PE
e SAx
Ax
SAx
Ax
Agrupando:
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onde:
3030
Volumes finitos; difusão
uEEWWPP Saaa
Wa Ea Pa
wWP
w Ax e
PE
e Ax PPW Saa
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Exemplo:
3131
Volumes finitos; difusão
KW/m1000m01.0
2
2
kA
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Linear
Expandindo em séries de Taylor
3232
Interpolação
ePEee 1
PE
PEee
e xA
xA
PE
Pee xx
xx
.....2
1 2
2
x
xxxx eEPeePEee
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Up-wind
Expandindo em séries de Taylor
3333
Interpolação
0. se ,0. se ,
eE
ePe nu
nu
.....2 2
22
x
xxx
xx PePePe
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QUICK (quadratic upwind interpolation)
Erro de 3ª ordem!!
3434
Interpolação
UUUUDUe gg 21
UUDUD
UUeUe
xxxxxxxxg
1
UUDUUU
eDUe
xxxxxxxxg
2
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Derivada temporal
3535
Integração no tempo
SxTk
xtTcp
Δtt
t
Δtt
t
Δtt
tp SdVdtdVdt
xTk
xdVdt
tTc
CVCVCV
Δtt
t
tt
t we
e
w
tt
tp VdtSdt
xTkA
xTkAdVdt
tTc
VTTcdVdttTc PPp
e
w
tt
tp
0
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Onde calcular temperatura?
3636
Integração no tempo
Δtt
t
tt
t WP
WPw
PE
PEePPp VdtSdt
xTTAk
xTTAkVTTc
0
tTTdtT PP
tt
tP
01
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explicito
3737
Integração no tempo
xSxTTk
xTTk
xTTk
xTTkx
tTTc
WP
WPw
PE
PEe
WP
WPw
PE
PEe
PPp
0000
0
1
0
xSxTTk
xTTkx
tTTc
WP
WPw
PE
PEe
PPp
00000
1
xk
txcp
2
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Crank-Nicholson
Implícito
3838
Integração no tempo
21
kxct p
2
1
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Convecção-difusão (estacionário)
Exemplo (1D; s/ termo fonte)
3939
Convecção
CVAA
dVSdAdAu gradnn
Su grad
dxd
dxdu
dxd
0dxud
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integrando
4040
Convecção
we
we dxdA
dxdAuAuA
0 we uAuA
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Fluxos nas faces
4141
Convecção
dxDuF e
WPwPEewwee DDFF
wwee uFuF
we
ee dx
Ddx
D
0 we FF
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Interpolação nas faces (diferenças centrais)
transporte
4242
Convecção
2
2PW
w
EPe
dx
uDF
Pe
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Interpolação nas faces (upwind)
Fluxos faces
4343
Convecção
WwPe ;
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4444
Solução exacta
Interpolação
11
Pe
.Pe
0
0
ee L
x
L
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4545
Malhas (vertex centered vs cell centered)
a)i-1 i+1i N1 j-1
j+1
Nxi-1 i i+111
j
Ny
(i,j)
b)
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4646
Malhas (estrutura)
x
y
ij xi-1 xi xi+1
x
yyj-1
yj
P
nw ne
sw se
w e
n
s
WW W E
SSW SE
yj+1
EE
NENNW
ne
Sttagered/Colocated grid
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4747
Solução (forma)
=* QP
w
SPN
E
APANAS AEAW
Ps
SPs
n
PNn
w
WPw
e
PEe
SPs
PNn
WPw
PEe
Qx
xx
x
xy
xyxv
xvyuyu
2
222
PSSNNEEWWPP QAAAAA
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4848
Solução (procedimento): SIMPLE
* A pressão, (incógnita!) faz parte do termo de fonte.
A solução destas equações permite ter uma estimativa do campo de velocidades!
y
x
Sypvuv
tv
Sxpuuu
tu
11
11
ypASvava
xpASuaua
yyl
llPP
xxl
llPP
yPP
yp
xPP
xp
sn
we
![Page 49: Dinâmica de Fluidos - repositorium.sdum.uminho.ptrepositorium.sdum.uminho.pt/bitstream/1822/53398/1/CFD_2016.pdf · Fluidos Computacional ... * As suas contribuições para a mecânica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081401/5bf3206909d3f256398c41b3/html5/thumbnails/49.jpg)
4949
Solução (procedimento): SIMPLE
* A solução satisfaz a conservação da massa?
Necessidade de correcções para o campo de velocidades e pressão!
0 ssnnwwee uAuAuAuA
'ppp'vvv'uuu
0'''' sssnnnwwweee uuAuuAuuAuuA
nnsseewwssnnwwee uAuAuAuAuAuAuAuA ''''
y'p
aA
v
x'p
aA
u
P
y'P
P
x'P
cPbPbPbPbPb SSNNWWEEPP '''''
n
PN
Pn
ynn
e
PE
Pe
xee
yPP
aA
v
xPP
aA
u
''
'
'''
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5050
Solução (Algoritmo): SIMPLE
1 Iniciar campo de pressão (arbitrado), p*
2 Resolver as equações de Momentum e determinar, u*, v*
3 Resolver equação de correcção de pressão, p’
4 Corrigir pressão p**=p*+p’
5 Corrigir velocidades, u**=u*+u’
6 Calcular outras variáveis de interesse
7 Com a nova pressão repetir os passos 2 e seguintes até convergir
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5151
Solução (procedimento): SIMPLE
* Actualização de variáveis. (factor de relaxação)
* Convergência da soluçãoresíduos
* Solução no tempo ou estacionária
'
'
'
ppp
vvv
uuu
P
u
u
N
uuR
N
igii
1
2
N
ii
N
igii
N
ii
N
igii
u
uuN
u
NN
uuR
1
1
2
1
1
2
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5252
FRONTEIRA (condições de)
* ParedesDirichlet
Neumann
* Entradas/saídasfixar valorlivre
* Simetria
b
'bn
0n
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5353
MALHA
* O CFD usa a subdivisão do domínio para efectuar a discretização em Volumes Finitos
* Dá-se o nome de malha ao conjuntos de todas as células que constituem o domínio.
* A resolução da malha está ligada à precisão do cálculo.
* Esta deve ser tão pequena de forma a que, idealmente, seja possível dizer que não há variações de propriedades dentro de um volume
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5454
MALHA
* EstruturadasFácil de referenciarDifícil de aplicar a geometrias “reais”
* Não estruturadasMuito flexíveis em função da geometriaDifícil de referenciar
* Axi-simétricas
* Compostas (por blocos)
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5555
MALHA (exemplos)
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5656
MALHA
* QualidadeO que é?Importância da malha
* IndicadoresCGI Celik IB et al (2008), “Procedure for Estimation and Reporting of Uncertainty Due to Discretization in CFD Applications” Journal of Fluids Engineering, 130(7)
Ortogonalidade; skewness (índices)
* Refinamentos locais
* Compostas (por blocos)
* Sliding meshes
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5757
TURBULÊNCIA
* Características
´´´
wwwvvvuuu
T
dtuT
u0
2___
2 '1'
_____________
2 ''''' wuzu
zvu
yu
yu
xu
xg
xp
tu
x
Termos adicionais! Modelos de Turbulência
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5858
TURBULÊNCIA
* ConceitosEnergia cinética turbulenta
Viscosidade turbulenta
____2
____2
____2 '''
21 wvuk
xu
T
iji
j
j
iTji k
xu
xuuu
32''
________
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5959
TURBULÊNCIA (zero equações)
* Prandtl
* Smagorinsky
* Baldvin-Lomaz
kyldydulT
;2
i
j
j
iijijijT x
uxuSSSl
21;2
_________2
i
j
j
iiiiT x
uxul
_________2 ;
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6060
TURBULÊNCIA (uma equação)
* Equação de transporte para k
k é uma escala de velocidade para os eddies de grande escala
* Kolomogorov-Prandtl
LkCT '
![Page 61: Dinâmica de Fluidos - repositorium.sdum.uminho.ptrepositorium.sdum.uminho.pt/bitstream/1822/53398/1/CFD_2016.pdf · Fluidos Computacional ... * As suas contribuições para a mecânica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081401/5bf3206909d3f256398c41b3/html5/thumbnails/61.jpg)
6161
TURBULÊNCIA (duas equações)
* Distinção entre eddies (conceito de dissipação de energia)
* Equações de transporte
* k-ε; k-ω; lowRe k- ε…..* Outros
____________''
j
i
j
i
xu
xu
2kCT
k
Cxu
kCC
DtDk
xukC
DtDk
j
iijT
j
iijT
2
543
2
'
'
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6262
TURBULÊNCIA (parede)
* Wall function
* Near wall treatment
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1
y (m)
u (m
/s)
.
sub camadazona intermediaperfil v Karman
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6363
2 FASES
* Euleriano-Eulerianoduas fases densas; escoamentos com separação, estratificados
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6464
2 FASES
* Euleriano-EulerianoVolume Of Fluid (VOF)
Fluido 1Fluido 1
Fluido 2
Fluido 1
Fluido 2 Fluido 2
0 ut
0.09 0.22 0.00 0.00
0.96 1.00 0.64 0.68
1.00 1.00 1.001.00
21
21
1
1
interface de zona na , ponto um para 10fluido2 de zona na , ponto um para 0fluido1 de zona na , ponto um para 1
,txtxtx
tx
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6565
2 FASES
* Euleriano-Lagrangeanofase dispersa; sprays
* eddy-particle interaction (Hewitt, 1980)particle motion
trajectória
turbulência; tempo de cálculo
xD
DxDD
D FguuFdtdu
)(
24Re18
2D
DDD
Cd
F
uud DD
Re232
1 ReReaaaCD
DD uudtdu
ttDDD etuututtu 1
Dudtdx
2'' uu kTLe 3.02
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6666
VALIDAÇÃO
* Soluções teóricas
* Dados experimentaisPróprios Laufer (1954) – pipe flowDriven cavityback step e forward step
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6767