Universidad Nacional de San Cristobalde Huamanga

Facultad de Ingeniera Minas, Geologa y Civil

Escuela de Formacion Profesional deIngeniera Civil

Fsica III

Laboratorio de Fsica III

Tema

Leyes de Kirchhoff

Docente

Porf. Ramirez Quispe, Gilbert

Alumnos:

Huanca Arquiniego, Ray

Zarate Lazo, Dick Fran

11 de octubre de 2014

Indice general

1. Leyes de Kirchhoff 21.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Fundamento Teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1. Primera Ley de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Analisis Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.6. Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1 Ingenieria civil

Ing. Civil

Captulo 1

Leyes de Kirchhoff

1.1 Objetivos

1 Identificar Nodos y Lazos y aplicar leyes de Kirchhoff.

2 Analizar circuitos con resistencias en paralelo y serie.

3 Comprobar experimentalmente las leyes de Kirchhoff en un circuito electricoque tenga resistencias tanto en serie como en paralelo.

2 Ingenieria civil

Ing. Civil

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1.2 Materiales

1 multmetro

2 fuente de DC, AC

3 Resistencias fijas (05)

4 Caja de Resistencias

5 Cable de Conexion

3 Ingenieria civil

Ing. Civil

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1.3 Fundamento Teorico

Las leyes de Kirchhoff son una consecuencia directa de las leyes basicas del Elec-tromagnetismo (Leyes de Maxwell) para circuitos de baja frecuencia. Aunque notienen validez universal, forman la base de la Teora de Circuitos y de gran parte dela Electronica. Pueden enunciarse en la forma siguiente:

1.3.1. Primera Ley de Kirchhoff

en cualquier nodo la suma algebraica de las corrientes debe valer cero. Es decir:Ii =0

Para la suma algebraica tomamos como positivas las corrientes que llegan al nodo ynegativas las que salen de el (esto es arbitrario, pues se puede utilizar la convencioncontraria, y como se trata de una ecuacion igualada a cero, se obtiene el mismoresultado). Esta ley es una consecuencia directa de la conservacion de la carga, y sepuede ilustrar con el circuito de la figura, en el cual hay dos nodos: b y d.

Aplicando la PRIMERA LEY DE KIRCHOFF a los nodos b y d, obtenemosque,

I1 + I2 I3 = 0

4 Ingenieria civil

Ing. Civil

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1.4 Procedimiento

17-1 Un camion que pesa 37,5KN va por una carretera a 100km/h cuando el con-ductor ve, de pronto, res parada en su camino a 60m delante de el (fig,171).Si el conductor tarda 0,4s en pisar el freno y el coeficiente de rozamiento entrerueda y calzada vale 0,5.

a. Puede evitar el atropello sin desviarse a un lado?

b. En que posicion relativa a la res quedara detenido el camion?

c. Si el conductor debiera desviarse a un lado, determinar la celeridad que llevarael camion al pasar junto a la res.

SOLUCION:

Para u = 0,5 y U = um g d2 y v2 = vf ; v1 = vi .Sea d1 la distancia que recorre el conductor mientras tarda 0,4s en pisar elfreno; (vi = 100km/h t = 0,4s) .Sea d2 la distancia que recorre el conductor mientras pisa el freno .

Entonces se tiene:

5 Ingenieria civil

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d1 = vi.td2 = 60 d1U = T

Las ecuaciones de trabajo-energa son:

U = Tum g d2 = 12 m v2f 12 m v2i

v2i2 u g d2 = v

2f

2

vf =v2i 2 u g d2

vf =v2i 2 u g (60 vi t)

vf = 17,088m/s

Es la celeridad que lleva el camion al pasar junto al res.

Sea D la distancia en la que se detiene y W el trabajo que realiza el coeficientede rozamiento:

Uf = Wmv2f

2= m g uD

D =v2f

2guD = 29,8m

Es la posicion relativa a la res que quedara detenido el camion.

En conclusion no podra evitar el atropello si desviarse a un lado.

17-2 Un automovil de masa 1200kg recorre una carretera de montana a 90km/hcuando se produce un desprendimiento 60m delante de el (fig,17 2). Lacarretera es horizontal y el coeficiente de rozamiento entre ella y los neumaticosvale 0,5. Si el conductor tarda 0,4s en pisar el freno:

a. Podra evitar estrellarse contra las rocas desprendidas, sin desviarse a un lado?

b. Si debe desviarse a un lado, determinar la celeridad que llevara el auto al pasarjunto a las rocas desprendidas.

6 Ingenieria civil

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SOLUCION:

Para u = 0,5 y U = um g d2 y v2 = vf ; v1 = vi .Sea d1 la distancia que recorre el conductor mientras tarda 0,4s en pisar elfreno; (vi = 90km/h t = 0,4s) .Sea d2 la distancia que recorre el conductor mientras pisa el freno .

Entonces se tiene:

d1 = vi.td2 = 60 d1U = T

Las ecuaciones de trabajo-energa son:

U = Tum g d2 = 12 m v2f 12 m v2i

7 Ingenieria civil

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v2i2 u g d2 = v

2f

2

vf =v2i 2 u g d2

vf =v2i 2 u g (60 vi t)

vf = 11,597m/s

En conclusion no podra evitar el atropello si desviarse a un lado.

8 Ingenieria civil

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17-3 Un Boeing 747 totalmente cargado tiene un peso en el despegue de 3300kNy sus motores desarrollan un empuje total de 1000kN . Si se desprecian laresistencia del aire y el rozamiento entre los neumaticos y la pista, determinarque longitud ha de tener esta para que la celeridad en el despegue sea de225km/h (fig,17 3).

SOLUCION:

Las ecuaciones de trabajo-energa son:

U = T

Tenemos que velocidad inicial es cero ademas, d=longitud del avion; peso =3300kN ; F = 1000kN y vf = 225km/h entonces:

F d = mv2f

2

d =mv2f2F

d = 657m

17-4 Un tren se mueve a 30km/h cuando se le desprende el ultimo vagon por ro-tura del enganche. En el instante en que se desprende el vagon, se aplicanautomaticamente los frenos, trabando todas las ruedas del vagon desprendi-do. Si el coeficiente de rozamiento entre ruedas rieles vale 0,2, determinar ladistancia que recorrera el vagon de masa 180000kg antes de quedar detenido:

a. Si la va es horizontal.

b. Si la va desciende con una pendiente de 50.

SOLUCION:

Tenemos masa = 180000kg; u = 0,2 y v1 = 30km/h

9 Ingenieria civil

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Cuando la va es horizontal.

U(12) = Tum g d = 1

2m v21

d = v12ug

d = 17,697m

Cuando la va desciende con una pendiente de 50.

UT = TUN + Ug + Uf = T

0 +m g sin d u g cos d = 0 mv212

d =v21

2g(sinucos )d = 31,5789m

17-5 Se captura un avion F15, que pesa 125kN , desde la cubierta de un portaa-viones mediante un ariete hidraulico (fig,17 5). Determinar la fuerza mediaque ejerce el ariete sobre el avion si en 90m lo acelera desde el reposo hasta257km/h

10 Ingenieria civil

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SOLUCION:

W = 125000N m = 1250009,81

= 12742,1kg

UT = T

F d = mv222 0

F =mv222d

F = 360769,457N

17-6 Una bala de masa 10g lleva una velocidad horizontal de 400m/s cuando incidesobre un blanco de madera de 25mm de grosor. Aun cuando el blanco la frena,lo atraviesa y cae en un estanque a 50m (fig,17 6). Determinar la fuerzamedia que el blanco ejerce sobre la bala.

11 Ingenieria civil

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SOLUCION:

Despues de que la bala sale del blanco de madera la velocidad horizontal esconstante y su velocidad vertical es 0m/s luego por cinematica tenemos:

h = gt2

2

t =

2hg

v2 = v3 =d(23)t

=d(23)g

2hUT = TF d(12) = 12 m v22 12 m v21F =

m(v21v22)2d(12)

Reemplazando :F = 29547.5N

17-7 Cuando el avion de 125kN de peso citado en el problema 17 5, regresaal portaaviones, lo detiene una combinacion de rozamiento de rozamiento ycable que le aplica una fuerza semejante a la de un resorte. Si la celeridadde aterrizaje del avion es de 225km/h y el coeficiente de rozamiento entreneumaticos y pista vale 0,6, determinar la constante elastica k necesaria paradetener al avion en una distancia de 120m.

SOLUCION:

UT = TUN + Ue + Uf = T

0 kd22 u g m d = 0 mv21

2

k =mv212umgd

d2

k =m(v212ugd)

d2

k = 2206,516N/m

17-8 Una bala de masa 10g lleva una velocidad horizontal de 400m/s cuando incideen un bloque de madera de 2,5kg (fig,17 8) incrustandose en el. El bloque

12 Ingenieria civil

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se halla inicialmente en reposo, la masa del tope B es despreciable y el suelo esliso. En el movimiento posterior al impacto, la compresion maxima del resorteresulta ser de 73mm. Determinar:

a. El tanto por ciento de la energa cinetica inicial de la bala que se pierde en elimpacto.

b. La velocidad del bloque y bala en el instante en que el bloque entra en contactocon el tope.

SOLUCION:

Ue = T

kx22

= 0 (m+M)v212

v1 =

kx2m+M

v1 = 1,596m/sx% = 100v1

v

x% = 0,399 = 0,4 %Portantoporcientoquesepierdees :100 % 0,4 % = 99,6 %

17-9 En un tinglado, se mueven bultos entre distintos niveles haciendolos deslizarhacia abajo por rampas, segun se indica en la figura 17 9. El coeficientede rozamiento entre bulto y rampa vale k = 0,25. El angulo en la base dela rampa es brusco pero liso y = 300. Si se suelta un bulto de peso 100Npartiendo del reposo en l = 3m, determinar:

a. La celeridad cuando llega al punto mas bajo de la rampa.

b. La distancia d que recorrera el bulto sobre la superficie horizontal antes dedetenerse.

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SOLUCION:

UT = TUN + Ug + Uf = T

0 +m g sin l um g cos l = mv222 0

v2 =

2 l g (sin u cos )v2 = 4,085m/s

Uf = T

um g d = 0 mv232

d =v23

2ugd = 3,4m

17-10 En un tinglado, se mueven bultos entre distintos niveles haciendolos deslizarhacia abajo por rampas, segun se indica en la figura 17 9. El coeficiente derozamiento entre bulto y rampa vale k = 0,20. El angulo en la base de larampa es brusco y liso y = 300. Si se suelta un bulto de masa 10kg partiendodel reposo en l = 3m con una velocidad inicial de 5m/s hacia abajo de larampa, determinar:

a. La celeridad del bulto cuando llega al punto mas bajo de la rampa.

b. La distancia d que recorrera el bulto sobre la superficie horizontal antes dedetenerse.

14 Ingenieria civil

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Figura 1.1: 1

SOLUCION:

Figura 1.2:

N = mg cos

N = (10)(9,81)(cos 30)

N = 84,96

F = ukN

F = (0,20)(84,96)

F = 16,99

Ftds = T + V

16,99(3) = (12

(10)V 2B 1

2(10)(5)2) + (0 10(9,81)(3sen30))

VB = 6,65m/s

b)

16,99d = 12

(10)V 2c 1

2(10)(6,65)2

d = 13,02

15 Ingenieria civil

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17-11 En un tinglado, se mueven bultos entre distintos niveles haciendolos deslizarhacia abajo por rampas, segun se indica en la figura 17 9. Si un bulto depeso 150N parte en l = 7,5m con una celeridad inicial de 4,5m/s hacia abajopor una rampa de = 100, determinar que valor ha de tener el coeficiente derozamiento k para que llegue al punto mas bajo de la rampa con velocidadnula.

Figura 1.3:

SOLUCION:

Figura 1.4:

N = mg cos

N =150

9,81(9,81)(cos 10)

N = 147,72

F = ukN

F = uk(147,72)

16 Ingenieria civil

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Ftds = T + V

uk(147,72) = (0 (150)(4,5)2

2(9,81)) + (0 150(9,81)(7,5sen(10))

9,81)

uk = 2,37

17-12 Por una rampa de 300 se desliza una caja de masa 10kg segun se indica en lafigura 17 9. El coeficiente de rozamiento en el suelo y entre la caja y rampaes k = 0,25 y el angulo en la base de la rampa es brusco y liso. Si la cajaparte en l = 3m, hacia arriba de la rampa con una celeridad inicial de 5m/s,determinar:

a. La celeridad de la caja cuando vuelva a estar en su posicion de partida.

b. La celeridad de la caja cuando llegue al punto mas bajo de la rampa.

c. La distancia d que se deslizara la caja sobre la superficie horizontal antes dedetenerse.

SOLUCION:

Figura 1.5:

N = mg cos

N = (10)(9,81)(cos 30)

N = 84,96

F = ukN

F = (0,25)(84,96)

F = 21,24

17 Ingenieria civil

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a)

Ftds = T + V

21,24d = (10)(5)2

2+ 10(9,81)(dsen(30))

70,29d = 125

d = 1,77m

21,24(1,77) = (10)V2A

2 10(9,81)(1,77sen(30))

VA = 3,14

b)

21,24(4,77) = (10)V2c

2 10(9,81)(4,77sen(30))

Vc = 5,15

c)

21,24d = (0 (10)(V2C)

2)

d = 6,24m

17-13 Una caja que pesa 100N se desliza por una rampa segun se indica en la figura179. La caja parte en l = 3m con una celeridad de 4,5m/s hacia arriba de larampa y el angulo en la base de esta es brusco pero liso. Si los coeficientes derozamiento estatico y cinetico valen 0,40 y 0,30, respectivamente, determinar:

a. El mnimo angulo para el cual caja volvera a su posicion inicial.

b. La celeridad de la caja cuando llegue al punto mas bajo de la rampa.

c. La distancia d que se deslizara la caja sobre la superficie horizontal antes dedetenerse.

SolucionD.C.L

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d

l

FrW=200kg

wcos

wsin

N

x

y

a).................................................

N = w cos N = 100 cos

yFr = ukN = 0,3(100cos)

Por el teorema de fuerzas vivas

U = T + Vg

Hallando por partes se tiene:

i Trabajo de las fuerzas externas

U = 3

030 cos dx = 90 cos

ii Energa cinetica.T = T2 T1

T = 12m(v0

2) = 12

1009,81

(4,52) = 5,097

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iii Energa potencial gravitatoria.

Vg = V2 V1 = mgh2 mgh1 = mg(0 3sin)

Vg = 100(3sin) = 300 sin Reemplazando

U = T + Vg

90 cos = 12

100

9,81(4,52) +

100

9,819,81(3sin)

90 cos + 300sin = k

, al derivar esta expresion se obtendra el mnimo angulo.

90 sin + 300 cos = 0tan = 73,3

el signo negativo indica que el angulo esta en el segundo cuadrante, por lo que es73,3

b).................................................

Por conservacion de energa , de la relacion anterior extraemos:

90 cos = 12

100

9,81(vf

2 4,52) + 1009,81

9,81(3sin)

90 cos + 300 sin = 5,097(vf 2 4,52)

... Para = 73,3

vf = 8,459m/s

... Rpta.

c).................................................

D.C.L

N = 100N ; Fr = 0,3(N) = 30N , luego por conservacion de energa o teoremade las fuerzas vivas:

U = T

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d

Fr

N

W

d

0

30dx =1

2m(vf

2 v02) = 12mv0

2

30d =1

2

[100

9,818,4592

] d = 12,157m

... Rpta.

17-14 Cuando los bultos del problema 17-10 salgan de la rampa con demasiada ve-locidad, sera necesario un tope como el representado en la figura P17-14 parafrenarlos. El coeficiente de rozamiento entre bulto y suelo es uk = 0,25,la cons-tante del resorte es k = 1750N/m y la masa del tope B es despreciable. Silna celeridad de un bulto de 2,5kg es v0 = 8m/s cuando se halle a l = 3m deltope, determinar.

a El maximo acortamiento del resorte .

b La posicion final del bulto en reposo.

solution

a).................................................Por el teorema de fuerzas vivas

U = T + Ve

Hallando por partes se tiene:

solo existira trabajo de la fuerza de rozamiento, mas no de la normal por serortogonal.

21 Ingenieria civil

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k

B

v0

ls

m

3 s

k

v0

v0=0

2.5kg

Fr

W

N

Fe

1 2

i Trabajo de las fuerzas externas

U = 3+s

00,25 24,5dx = 6,125(3 + s)

ii Energa cinetica

T = 12m(v2

2 v12) = 12

2,5(82) = 80

iii Energa potencial elastica

Ve = Ve2 Ve1Ve2 =

s0kd = k

[2

2

]s0

= ks2

2

Ve2 =1750s2

2= 875s2

Reemplazando

U = T + Ve

6,125(3 + s) = 80 + 875s2875s2 + 6,125(3 + s) 80 = 0s = 0,262m...

s = 0,262m ... Rpta

22 Ingenieria civil

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b).................................................La posicion final sera: l + 0,262

d = 3,262m... Rpta

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17-15 Cuando los bultos del problema 17-9 salgan de la rampa con demasiada velo-cidad, sera necesario un tope como el representado en la figura P17-14 parafrenarlos.La constante del resorte es k = 100N/m y la masa del tope B es des-preciable.Si los coeficientes de rozamiento estatico y cinetico de un bulto de75N de peso valen 0,6 y 0,4, respectivamente, determinar la maxima celeridadinicial v0 que puede tener el bulto en l = 1,5m para no rebotar en el tope.

k

B

v0

ls

m

Solution Si

1.5 s

k

v0

v0=0

Frk Frs

W=75N

N

Fe

1 2

N = W = 75NFr = 0,4 75 = 30NFe = ks

Por el teorema de fuerzas vivas.

U = T + Ve

Hallando por partes se tiene:

i Trabajo de las fuerzas externas.

U = 1,5+s

00,4 75dx = 30(1,5 + s)

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ii Energa cinetica.

T = 12m(v2

2 v12) = 12

[75

9,8(v1

2)] = 3,827v12

iii Energa potencial elastica.

Ve = Ve2 Ve1Ve2 =

s0kd = k

[2

2

]s0

= ks2

2

Ve2 = 50s2

Reemplazando

U = T + Ve

30(1,5 + s) = 3,827v12 + 50s2v1

2 = 50s2+30(1,5+s)

3,827

............ (*)Ademas cunado la caja llega a la posicion 2, estara en equilibrio(

Fx = 0),

es decir Fe = Frs.donde:Fe es fuerza de restitucion elastica.

Frs es fuerza de rozamiento estatico.Por lo que:

Frs = 0,6 75 = 45NFe = k s = 100s

dondes = 4,5m...............(**)

luego reemplazamos(**) en(*)

v12 = 50(4,5)

2+30(1,5+4,5)3,827

v1 = 17,652m/s

17-16 Cuando los bultos del problema 17-10 salgan de la rampa con demasiadavelocidad, sera necesario un tope como el representado en la figura P17-14 para frenarlos.El coeficiente de rozamiento cinetico entre el bulto ysuelo es uk = 0,2,la constante del resorte es k = 250N/m y la masa deltope B es despreciable. Si la celeridad de un bulto de 5kg es v0 = 3,5m/scuando se halle a l = 3m del tope, determinar el mnimo coeficiente derozamiento estatico que haga que el bulto no rebote en el tope.

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k

B

v0

ls

m

W=49N

N

Fr Frestatico

V0=0

Vf=0

3 s

k

1 2

Solucion

N = W = 5 9,81N = 49NFr = 0,2 49 = 9,8NFe = ks = 250 s

Por el teorema de fuerzas vivas.

U = T + Ve

Hallando por partes se tiene:

i) Trabajo de las fuerzas externas.

U = 3+s

00,2 49dx = 9,8(3 + s)

ii) Energa cinetica.

T =1

2m(v2

2 v12) = 12

5[0 (v12)] = 2,5(3,52) = 30m/s

iii) Energa potencial elastica.

Ve = Ve2 Ve1, si Ve1 = 0Ve2 =

s0ksds = k

[s2

2

]0

= k2

2

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Ve2 = 1252

ReemplazandoU = T + Ve

9,8(3 + ) = 2,5(3,52) + 1252 1252 + 9,8 1,225 = 0 = 0,067m

Ademas debe existir el equilibrio en la posicion N2 es decir(Fx = 0),o Fe =

Frs. donde: Fe es fuerza de restitucion elastica.

Frs es fuerza de rozamiento estatico. Por lo que:

Fr = us 49 Fe = 250 s = 250(0,067) us 49 = 16,75

Luego

us = 0,342

...Rpta.

17-17 Un punto material esta unido a un resorte alineal(suanvizante) para el cual larelacion entre fuerza y deformacion es F = 60 267()2 donde F se expresaen newton y en metros. Determinar el trabajo que el resorte efectua sobre elpunto cuando su alargamiento pasa de = 25mm hasta = 62,5mm

Solution El trabajo hecho por la fuerza F = 60 267()2 se expresa de laforma:

U =0,06250,025

(60 2672)d = (302 893)|0,06250,025U = 0,078J

17-18 Un punto material esta unido a un resorte alineal(endurecedor) para el cualla relacion entre fuerza y deformacion es F = 1200( + 10()2) donde F seexpresa en newton y en metros. Determinar el trabajo que el resorte efectuasobre el punto cuando su alargamiento pasa de = 150mm hasta = 50mm

U = 0,050,15

1200( + 102)d = 1200( 22

+ 103

3)0,050,15

U = 25J

17-19 la presion en el cuerpo de bomba cilndrica de la figura

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2kg

B2

4m/s

k

k

B1

100mm

17-20 Un bloque de 2kg se desliza por un piso exento de rozamiento

2kg

B2

4m/s

k

k

B1

100mm

17-21 Una caja de25N asciende por una rampa, inclinada 25 con una celeridad inicialde 13,5m/s, segun se indica en figura P17-21. Si el coeficiente de rozamientoentre rampa y caja es uk = 0,3 y l = 3m, determinar:

a La celeridad de la caja cuando alcance la parte mas alta de la rampa.

b La maxima altura h que alcanzara la caja.

c La distancia d a la cual la caja chocara contra la superficie horizontal.

h

d

l

1

2

Solution Si W = 25N , entonces m = 2,55kg = 300 v0 = 13,5m/s uk = 0,3y l = 3m

N = W cos = 25 cos(25) = 22,657NFr = ukN = 0,3 22,657 = 6,797N

28 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

Fr

N

Wcos

Wsin

W

a).................................................Por el teorema de fuerzas vivas

U = T + Vg

Hallando por partes se tiene:

i) Trabajo de las fuerzas externas

U = 1

00,3 22,657dx = 6,797J

ii) Energa cinetica.

T =1

2m(v2

2 v12) = 12

2,55[v22 (13,52)]

iii) Energa potencial gravitatoria.

Vg = Vg2 Vg1Vg2 =

1sin(250)0

mgdh = 25(0,423) = 10,565J

Vg2 = 10,565J

ReemplazandoU = T + Vg

6,797 = 1,27513,52 1,275 v12 + 10,565v2 = 12,985m/s

b).................................................

La unica fuerza que realiza trabajo es la gravedad. Haciendo la conservacionde energa del punto 2 a la parte mas alta de la trayectoria parabolica, dondela velocidad vertical es nula. Por el teorema de fuerzas vivas.

U = T + Vg

Hallando por partes se tiene:

29 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

i) Trabajo de las fuerzas externas

U = 0

ii) Energa cinetica.

T =1

2m(vf2

2 vi22) = 12

2,55[0 (13,52)]

iii) Energa potencial gravitatoria.

Vg = Vgf2 Vgi2Vg2 =

H0mgdh = 25(H)J

Reemplazando

U = T + Vg

0 = 122,55[13,52] + 25(H)

H = 1,536m

c).................................................

Por cinematica, se sabe que el desplazamiento horizontal es M.R.U.

vyf = vy0 gt = 12,985 sin(25) 9,8t = 0t = 0,560

tsuv. = 0,560D = 2(vxtsuv.) = 2(12,985 cos(25) 0,560) = 13,181m

...Rpta.

30 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

17-22 Una caja de 5kg asciende por una rampa, inclinada 25 con l = 5m, segun seindica en figura P17-21. Si el coeficiente de rozamiento entre rampa y caja esuk = 0,5, determinar la celeridad inicial v0 para la cual la caja alcanzara elangulo da arriba con una celeridad nula.

Solucion

5m

v2=0

V1

1

2

DatosN = Wcos, entonces

N = 44,409N

Fr = ukN = 0,3(44,409) = 22,205N

N

W

Fr

Wcosu

Wsinu

Por el teorema de fuerzas vivas, en el tramo 1 a 2

U = T + Vg

Hallando por partes:

i) Trabajo de las fuerzas externas

U = 5

0

22,205dx = 22,205 5 = 111,025J

Negativo por que la fuerza de rozamiento es opuesto al desplazamiento

31 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

ii) Energa cinetica

T =1

2m(v2

2 v12) = 12

5[0 (v12)] = 2,5v12

iii) Energa potencial gravitatoria

Vg = Vg2 Vg1, comoVg2 = 0Vg1 =

50mg sin(25)dx = 103,541J

Reemplazando

U = T + Vg

111,025 = 2,5v12 + 103,541v1 = 9,264m/s

17-23 Una caja de paso de 50N asciende por una rampa, inclinada 30 con l = 4m,segun se indica en figura P17-21. Si el coeficiente de rozamiento entre rampay caja es uk = 0,3, y la caja choca contra la superficie horizontal en d = 1,5m,determinar.

a La celeridad inicial v0 de la caja.

b La maxima altura h que alcanzara la caja.

Solucion

h

d

l

1

2

Si = 30N = 50 cos(30) = 43,301NFr = uk N = 0,3 44,550 = 12,990J

a).................................................Por el teorema de fuerzas vivas, en el tramo 1 a 2

U = T + Vg

Hallando por partes:

32 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

N

W=50N

Fr

Wcos30

Wsin30

xy

i) Trabajo de las fuerzas externas

U = 4

0

12,990dx = 12,990 4 = 51,962J

El signo negativo indica que las fuerza de rozamiento es opuesto al desplaza-miento

ii) Energa cinetica.

T =1

2m(v2

2 v12) = 2,55(v22 v12)

iii) Energa potencial gravitatoria.

Vg = Vg2 Vg1Vg1 =

4sin 300

mgdh = 50(4 sin 30) = 100J

ReemplazandoU = T + Vg

51,962 = 2,55(v22 v12) + 100v2 =

v12 51,962m/s....()

relacionando el tiempo en las ecuaciones de cinematica, para hallar v2. Estoes:

v2x = v2 cos(30)

1,5 = v2 cos(30) t t = 1,52 v2 cos(30)

Sabemos por cinematica. tiempo de subida tsub, es:

tsub. =v2 sin(30)

g

33 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

luego comparando se obtendra la v2.

v2 sin(30)g

=1,5

2 v2 cos(30) v2 = 4,120m/s

... (a) por lo tanto reemplazando (a) en (*) :

4,120 =v12 51,962 v1 = 8,303m/s

v1 = 8,303m/s

...Rpta.

b).................................................Ademas por la conservacion de la energa entre el tramo 2 hasta la cima de latrayectoria parabolica

U = T + Vg

donde U = 0E. cinetica

T =1

2m(vc

2 v22) = 2,55(vc2 v22)

E. potencial grav.

Vg =

H0

mgdh = mg(H)

sumando, y Con la componente vertical de la velocidad en 2 se calcula H.

H =v2y

2

2g=

(4,120 sin(30))22 9,8 = 0,217m

...Rpta.

34 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

17-24 Una caja de paso de 7kg asciende por una rampa, inclinada 60 con l = 3m,segun se indica en figura P17-21. Si el coeficiente de rozamiento entre rampay caja es uk = 0,3, y la maxima altura alcanzada por la caja es 360mm,determinar.

a La celeridad inicial v0 de la caja.

b La distancia d a la cual chocara la caja contra la superficie horizontal.Solucion

h

d

l

1

2

N

W=68.6N

Fr

Wcos60

Wsin60

xy

0

Cuando = 60

m = 7kguk = 0,3g = 9,8m/s2

N = 7 9,8 cos(60) = 34,3NFr = uk N = 0,3 34,30 = 10,29J

Por el teorema de fuerzas vivas, en el tramo 1 a 2

U = T + Vg

Hallando por partes:

35 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

i) Trabajo de las fuerzas externas(Fuerza de rozamiento,etc.)

U = 3

0

10,29dx = 10,29 3 = 30,87J

ii) Energa cinetica

T =1

2m(v2

2 v12) = 12

7[v22 v12] = 3,5[v22 v12]

iii) Energa potencial gravitatoria

Vg = Vg2 Vg1, si Vg1 = 0Vg2 =

3sin(60)0

mgdx = 68,67 3 sin(60) = 178,409J

Reemplazando

U = T + Vg

30,87 = 3,5[v22 v12] + 178,409v2

2 v12 = 59,794m/sLuego repetiremos el proceso para el tramo 2 al punto mas alto de la trayectoriaparabolica

Es decir reemplazando en cada factordespejando se tiene:

v2 =v12 59,794

con el cual.U = T + Vg

0,36 mg = 12m[vf

2 v22]

2 0,36 g = (v12 59,794 cos(60))

2

(v12 59,804)

7,056 = (v12 59,804) 0,25 v12 + 59,794 = 0,75 v12 + 44,853

v1 = 8,32m/s

...Rpta.

36 Ingenieria civil

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17-25 Cuando se dispara una bala con un rifle, la presion en el interior del canon variasegun se indica en la figura P17 25. El canon tiene una longitud de 60cm yun diametro de 6,25mm. Si la bala pesa 0,125N y las fuerzas de rozamientoson despreciables frente a la fuerza del gas, estimar la velocidad inicial (con laque la bala sale por la boca del canon).

17-26 Un bloque de 5kg se desliza por el interior de un canjilon cilndrico, segun seindica en la figura P1726. El radio del cilindro es de 3cm. Si el bloque partedel reposo cuando = 300, determinar su celeridad cuando = 900.

SOLUCION:

OC = 3x sin 30 = 1,5mCB = 1,5m = hA

37 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

Las ecuaciones de trabajo-energa, por conservacion de energa son:

TA + VgA + VeA = TB + VgB + VeB0 + VgA + 0 = 0 + VgB + 0mAghA =

12mAVB

2

2(9,81)(1,5) = VB2

5,425m/s = VB

38 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

17-27 Los dos bloques representados en la figura P17 27 estan unidos medianteun hilo inextensible y sin peso. Se sueltan, partiendo del reposo, siendo d =45cm. Sus pesos son WA = 25N y WB = 50N y el resorte (k = 333N/m) seindeformado en la posicion inicial. Determinar que velocidad lleva el bloque Bcuando alcanza el suelo.

SOLUCION:

d = 45cm = 0,45mWA = 25NWB = 50Nk = 333N/m

39 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

Haciendo el D.C.L:

2SA + SB = LDerivando :SB =

2SAVB

2= VA

En modulo: VB2

= VA

Las ecuaciones de trabajo-energa seran:

U12 = mAg d2 +mBgd 12k(d2)2Tf =

12mBVB

2 + 12mAVA

2

Tf =12mBVB

2 + 12mA(

VB2

)2

Ti + Vgi + U12 = Tf + Vgf + Uf0 + 0mAg d2 +mBgd 12k(d2)2 = 12mBVB2 + 12mA(VB2 )2 + 0 + 0gd(mA

2+mB) 12k(d2)2 = 12VB2(mB + 14mA)

2gd(mA2

+mB) 14k(d)2mB+

14mA

= VB2

2gd(WA2g

+WBg

) 14k(d)2

WA4g

+WBg

= VB2

2d(WA2

+WB) 14k(d)2WA4g

+WBg

= VB2

2(0,45)( 252

+50) 14

333(0,45)2

254(9,81)

+ 509,81

= VB2

VB = 1,946m/s

40 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

17-28 Los dos bloques representados en la figura P17 27 estan unidos medianteun hilo inextensible y sin peso. Se sueltan, partiendo del reposo, siendo d =500mm. Las masas de los bloques son mA = 6kg y mB = 4kg y el resorte estaindeformado en la posicion inicial. Determinar el mnimo valor que ha de tenerla constante de resorte para que el bloque B no choque contra el suelo en elulterior movimiento.

SOLUCION:

6kg 4kg

d=500mm

SASASB

k

AAB

B

1.......

2 ........

41 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

d = 500mm = 0,5m2SA = SBDerivando : VA =

12VB

WA WBFs=ks

2T T

A B

La tension no realiza por ser hilo inextensible y sin peso.

Las ecuaciones de trabajo-energa son:

U12 = mAgd2

+mBgd 12k(d

2)2

T2 =1

2mAVA

2 +1

2mBVB

2

Por conservacion de energa.

mAgd2

+mBgd 12k(d

2)2 =

1

2mAVA

2 +1

2mBVB

2

El mnimo valor de la constante del resorte ocurre cuando la energa cineticaes cero; esto es:

Tf = 0Entonces :6(9,81)(0,25) + 4(9,81)(0,5) 1

2k(0,25)2 = 0

4,905 k32

= 0 k = 156,96N/m

42 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

17-29 Los dos bloques representados en la figura P17 29 estan unidos mediante unhilo inextensible y sin peso. Se sueltan, partiendo del reposo, cuando el resorteesta indeformado. Los coeficientes de rozamiento estatico y dinamico valen 0,2y 0,1, respectivamente. Para el ulterior movimiento, determinar:

a. La maxima velocidad de los bloques y el alargamiento que en esa condicion,sufre el resorte.

b. La maxima cada del bloque 25N .

c. Si rebotaran los bloques en la posicion del apartado b.

SOLUCION:

us = 0,2uk = 0,1

Sea A el bloque de 50N .Sea B el bloque de 25N .

FY = may N 50 = 0

La fuerza de friccion es:F = ukN = (0,1)(50) = 5N

El bloque A se mueve una distancia hacia la derecha, entonces el bloque Bse mueve la misma distancia hacia abajo.

La tension no realiza trabajo por ser hilo inextensible y sin peso.

43 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

El trabajo realizado por las fuerzas externas y el resorte es:

U =0

(333x)dx+ 25 5U = 333

2

2+ 20

Por lo tanto las ecuaciones de trabajo-energa son:

U + Ti = TfU + 0 = (1

2WAgV 2 + 1

2WBgV 2)

33322

+ 20 = (12

509,81

V 2 + 12

259,81

V 2)3332

2+ 20 = 3,82V 2

a. La maxima velocidad sera cuando: dVd

= 0, esto es:

333 + 20 = 0 = 6x102

La velocidad maxima sera:

Vmax =

20(6x102) 333

2(6x102)2

3,82

Vmax = 0,307m/s

b. La maxima cada del bloque de 25N ocurre cuando V = 0

33322

+ 20 = 0 = 0,12m

c. Comprobando si hay equilibrio estatico en el punto de maximo desplazamiento:

FY = 0

T 25 = 0T = 25

44 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

FX = 0

T + F 333(0,12) = 0FY = 0

N = 50 F = Freq = 14,96

Hallando FS:FS = (0,2)(50)FS = 10N

Como Freq > FSSe concluye que los bloques no estaran en equilibrio por lo tanto si efectiva-mente rebotaran.

17-30 Los dos bloques representados en la figura P17 30 estan unidos mediante unhilo inextensible y sin peso. Se sueltan, partiendo del reposo, cuando el resorteesta indeformado. Los coeficientes de rozamiento estatico y cinetico valen 0,3y 0,2, respectivamente. Para el ulterior movimiento, determinar:

a. La maxima velocidad de los bloques y el alargamiento que en esa condicion,sufre el resorte.

b. La maxima distancia que recorrera el bloque de 10kg hacia abajo, por el planoinclinado.

c. Si rebotaran los bloques en la posicion del apartado b.

SOLUCION:

us = 0,3uk = 0,2

Sea A el bloque de 5kg.Sea B el bloque de 10kg.

45 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

D.C.L en A:

FAY = may

NA WA = 0NA = 5(9,81)NA = 49,05N

La fuerza de friccion es:

FA = 0,2(NA) = 0,2(49,05)FA = 9,81N

D.C.L en B:

FBY 1 = maY 1

NB WB cos 50 = 0NB 10(9,81) cos 50 = 0NB = 63,06N

La fuerza de friccion es:

FB = 0,2(NB) = 0,2(63,06)FB = 12,61N

Como A se mueve una distancia hacia la derecha, entonces el bloque B semovera la misma distancia hacia abajo.

La tension no realiza por ser hilo inextensible y sin peso.

46 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

El trabajo realizado por el resorte y el resto de las fuerzas es:

U =0

(Kx 9,81)dx+0

(98,10 sin 50 12,61)dx1U = 5002 9,81 + 62,539U = 52,73 5002

Por lo tanto las ecuaciones de trabajo-energa son:

52,73 5002 + 0 = 12mAVA

2 12mBVB

2 VA = VB = V52,73 5002 = 1

25V 2 1

210V 2

52,73 5002 = 7,5V 2

a. La maxima velocidad sera cuando: dVd

= 0, esto es:

52,73 1000 = 0 = 0,0527m

La velocidad maxima sera:

V =

52,7350027,5

V =

52,73(0,0527)500(0,0527)2

7,5

V = Vmax = 0,431m/s

b. La maxima distancia que recorre el bloque 10kg sera cuando V = 0:

52,73 5002 = 0 = max = 0,1055m

c. Comprobando si hay equilibrio estatico en el punto de maximo desplazamiento:

Analizando en A:

FAX = 0

T + FA 1000(0,1055) = 0T + FA = 105,5FAY = 0

NAWA = 0NA 5(9,81) = 0 NA = 49,05

47 Ingenieria civil

Ing. Civil

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Analizando en B:

FBX1 = 0

FB T + 10(9,81) sin 50 = 0FB T = 69,367FBY 1 = 0

NB 10(9,81) cos 50 = 0NB = 69,367

Entonces se tiene:

NA+NB = 112,107NFA+ FB = 30,35 = (FA+ FB)I(FA+ FB)II = 0,3(112,107)(FA+ FB)II = 33,63N(FA+ FB)I < (FA+ FB)II

Se concluye que los bloques estaran en equilibrio por lo tanto no rebotaran.

17-31 Los dos bloques representados en la figura P17 31 estan unidos mediante unhilo inextensible y sin peso. El coeficiente de rozamiento entre el bloque de 50NY el suelo es k = 0,6. Si se sueltan los bloques partiendo del reposo cuandoel resorte esta alargado 375mm, determinar, para el ulterior movimiento, lamaxima velocidad de los bloques y el alargamiento que en esa condicion sufreel resorte.

48 Ingenieria civil

Ing. Civil

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17-32 Los dos bloques representados en la figura P17 32 estan unidos medianteun hilo inextensible y sin peso. Se sueltan, partiendo del reposo, en laposicion representada, en la que el resorte esta alargado 150mm. Rozamientosdespreciables. Para el ulterior movimiento, determinar la maxima distanciasobre el suelo a la que ascendera el bloque de 2kg.

17-33 Los dos bloques representados en la figura P17 33 estan unidos medianteun hilo inextensible y sin peso. La superficie horizontal y el poste verticalcarecen de rozamiento. En la posicion representada, el bloque de 10N lleva unavelocidad de 1,5m/s hacia la derecha. Determinar, para el ulterior movimiento,la maxima distancia a la que ascendera, desde su posicion inicial, el bloque de25N .

SOLUCION:

375mm = 0,375m500mm = 0,500m

Y; es la variacion a lo largo del eje Y:

49 Ingenieria civil

Ing. Civil

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l; es la variacion a lo largo del eje l:

Consideremos en triangulo:

(0,500)2 + Y 2 = l2

Derivando :

YY = l

l VA =

Y ();VB =

l()

VA =lYVB

Inicialmente se tiene:

Y = Y0 = 0,375ml = l0 = 0,625mEntonces :VB = 1,5m/s VA = 0,6250,375(1,5)VA = 2,5m/s

Haciendo el D.C.L se tiene:

No existe rozamiento:

La tension no realiza trabajo por ser hilo inextensible y sin peso:

Las ecuaciones de trabajo-energa:

Ti + Vi + Ui = Tf + UfTi + 0 + 0 =

12WAgV 2FA +

12WBgV 2FB + 25a

12

259,81

(2,5)2 + 12

109,81

(1,5)2 = 12

259,81

V 2FA +12

109,81

V 2FB + 25a

50 Ingenieria civil

Ing. Civil

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OJO:

a es la distancia que asciende A.

El maximo desplazamiento ocurre cuando VFA = VFB = 0.

Entonces operando se tiene: a = 0,604m

17-34 Los dos bloques representados en la figura P17 34 estan unidos medianteun barra inextensible y sin peso. Las guas horizontal y vertical estan exentasde rozamientos. Si se sueltan los bloques, partiendo del reposo, en la posicionrepresentada, determinar la velocidad del bloque de 3kg cuando:

a. Este al mismo nivel que el bloque de 2kg.

b. Este 150mm por debajo del bloque de 2kg.

SOLUCION:

Sea A el bloque de 3kg.

Sea B el bloque de 2kg.

51 Ingenieria civil

Ing. Civil

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Consideremos:

Y 2 +X2 = l2

Derivando :

YY = X XY = VAX = VA

En modulo:YY = X

X

XYVB = VA

Para condiciones iniciales:

Y0 = 240mm = 0,24mX0 = 100mm = 0,10m

Y Y = X X125VA = VB

El D.C.L sera:

No existe tension por ser una barra inextensible y sin peso:

52 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

No existe rozamiento:

Las ecuaciones de trabajo-energa sera:

Ti + Vgi + Ui = Tf + Vgf + Uf

Como parte de reposo:

a.

Ti + Vgi + Ui = Tf + Vgf + Uf0 +mAghA + 0 =

12mBVfB

2 + 12mAVfA

2 + 0 + 03(9,81)(0,24) = 1

23VA

2 + 122(12

5VA)

2

0,973m/s = VA

a. Cuando A este a 150mm por debajo de B:

240mm = 0,24m150mm = 0,50m

Ti + Vgi + Ui = Tf + Vgf + Uf0 +mAghA + 0 =

12mBVfB

2 + 12mAVfA

2 +mAghA + 03(9,81)(0,24) = 1

23VA

2 + 122(12

5VA)

2 + 3(9,81)(0,15)0,604m/s = VA

53 Ingenieria civil

Ing. Civil

DINAMICA IC-244

17-35 Un bloque de 15N se desliza por una gua vertical sin rozamiento, segun se in-dica en la figura P1735. Al extremo del hilo inextensible y sin peso amarradoal bloque, se aplica una fuerza de 60N . Si se suelta el bloque, partiendo del re-poso, cuando d = 80cm, determinar la velocidad del bloque cuando d = 45cm.

SOLUCION:

Sea A el bloque de 15N .

Sea B un punto cualquiera donde se aplica la fuerza de 60N .80cm = 0,80m60cm = 0,60m

Y 2 + (0,6)2 = l2

YY = l

l

VA =Y ()

VB =l()

Y VA = lVB Yl VA = VB

Condicion inicial (Parten de reposo):

Y = Y0 = 0,80ml = l0 = 1mV0A = V0B = 0

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Entonces se tiene:3

5VA = VB

Condicion final:

lf = 0,75mYf = 0,45m

Haciendo el D.C.L Para A:

No existe rozamiento.

La tension no realiza trabajo por ser hilo inextensible y sin peso.

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Las ecuaciones de trabajo-energa por conservacion de energa son:

Ui = (60)(0,35)Uf = (15)(0,35)Ti + Vgi + Ui = Tf + Vgf + Uf0 + 0 + (60)(0,35) = 1

2mAVA

2

0 + 0 + (60)(0,35) = 12

159,81

VA2

4,539m/s = VA

17-36 Un bloque de 10kg se desliza por una superficie horizontal exenta de rozamien-tos, segun se indica en la figura P1736. Al extremo del hilo inextensible y sinpeso amarrado al bloque se aplica una fuerza constante de 50N . Si se sueltael bloque, partiendo de reposo, desde la posicion representada en la cual elresorte esta indeformado, determinar para el ulterior movimiento:

a. La maxima velocidad del bloque y el alargamiento que en esa condicion sufreel resorte.

b. El alargamiento maximo que sufre el resorte.

1.5 Analisis Experimental

1 Que entiende ud. por una resistencia interna de una batera?Una batera, esta compuesta de placas, electrolito y contactos intercelda. Todosesos elementos intervienen en el valor de la resistencia interna. Por ejemplo,placas sulfatas, presentaran alto valor de resitencia. Contactos intercelda detamano insuficiente, son una limitante a la circulacion de altas corrientes. Ladensidad del electrolito, influye tambien en el valor de la resistencia, ya que elelectrolito varia su resistividad de acuerdo al grado de concentracion.

= 0 [1 + (T T0)]

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1.6 Bibliografa

1 Hugo medina, fisca III

2 URL: www.es.wikipedia.org/wiki/fem

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