dimensões do conhecimento - ime.unicamp.brma225/2017tarefa4-grupob.pdf · 2.5 Áreas de um prisma...
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Dimensões do Conhecimento
Espacial
2
Dimensões do Conhecimento
Espacial
2
GRUPO B
Autores: José Laurentino Vieira Ruivo 141748 Lucas Angelo Hernandes 172558 Otávio de Nadae 156899 Paulo César de Oliveira Rodrigues 185451
Diagramação: José Laurentino Vieira Ruivo Lucas Angelo Hernandes
Conteúdo: Otávio de Nadae Paulo César de Oliveira Rodrigues
Editor de Conteúdo: Lucas Angelo Hernandes
Editores de Layout: José Laurentino Vieira Ruivo Lucas Angelo Hernandes
3
Apresentação
O presente livro faz parte da Coleção Dimensões do Conhecimento que contempla os 3 anos do Ensino Médio. A Coleção se
dispõe a apresentar cada capítulo de maneira clara e objetiva, buscando uma linguagem acessível a todos os envolvidos, isto é,
professores e estudantes.
A intenção é que os livros didáticos desta coleção sustentem e consolidem a exposição dos objetos matemáticos em sala de
aula, oferendo recursos flexíveis para atender diferentes tipos de ensino-aprendizagem presentes na aula de Matemática.
4
Manual do Livro
As interações que este livro proporciona são indicadas por ícones. Para entender o que cada ícone representa, consulte
este manual. As interações e seus respectivos ícones estarão presentes em todos os capítulos e ajudam na assimilação dos
conteúdos! Vamos conhecer cada um deles?
Objetivos
O início de cada capítulo conta com uma lista de seus
Objetivos. Espera-se que, ao fim dele, todos os objetivos
tenham sido alcançados pelos estudantes.
Observação
As Observações indicam uma informação adicional so-
bre o tema em questão.
Reflita
Reflita
A interação Reflita alerta para um exercício de reflexão
que será proposto, a fim de dar noções mais aprofun-
dadas dos objetos estudados.
5
Mentes Brilhantes
Mentes Brilhantes
Esta interação apresenta informações sobre grandes pen-
sadores e pensadoras que estão envolvidos nos assuntos
de cada capítulo.
Pesquisa
Pesquisa
Nesta interação, propõe-se que os alunos façam uma
pesquisa e obtenham informações que complementem o
que está sendo estudado.
Exemplos
Exemplos
Esta interação apresenta a solução de exercícios com
comentários que apontam como proceder passo a passo
e chegar na resolução desejada.
Exercícios
Exercícios
Esta interação propõe que os estudantes pratiquem o
que foi aprendido dos conteúdos através de diversos
exercícios.
Exercícios ComplementaresExercícios Complementares
Ao fim de cada capítulo, a interação de Exercícios Com-
plementares possui uma seleção de exercícios variados
que amarram toda a teoria vista nas páginas anteriores.
Ligação InterdisciplinarLigação Interdisciplinar
No fim de cada módulo, a Ligação Interdisciplinar esta-
belece conexões entre a Matemática e outras áreas do
conhecimento.
Fechamento de MóduloFechamento de Módulo
Após um módulo de capítulos relacionados, uma ativi-
dade abordará os temas estudados com um experimento
ou jogo para mobilizar os alunos a aplicarem o que foi
aprendido.
Níveis de dificuldade
Todos os exercícios deste livro estão classificados em três
níveis de dificuldade: fácil, médio e difícil. Eles são indica-
dos por ícones com uma, duas ou três marcações, respecti-
vamente.
Definições
Definições serão destacadas
por caixas como essa.
Resultados e Propriedades
Resultados importantes e propriedades serão
destacadas por caixas como essa.
Sumário
1 Poliedros, Prismas e Pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Poliedros 11
1.1 Poliedros convexos e não convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Relação de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Soma dos ângulos das faces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Poliedros de Platão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Prismas 17
2.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Elementos de um prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Classificações de um prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Paralelepípedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Áreas de um prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Pirâmides 29
3.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Classificações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Áreas de uma Pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.6 Sólidos semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7 Tronco de Pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
REVISÃO E RESUMO 45
45
2 Cilindros, Cones e Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Cilindros 50
6.1 Cilindro Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2 Cilindro Reto e Oblíquo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3 Cilindro Equilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4 Área Lateral e Área Total do Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.5 Volume do Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Cones 57
7.1 Retos e Oblíquos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Secção Meridiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3 Cones Equiláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.4 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.5 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.6 Troncos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Esferas 68
8.1 Esfera de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.2 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.3 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.4 Fuso e Cunha Esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
REVISÃO E RESUMO 77
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Poliedros, Prismas e Pirâmides
O mel sempre foi utilizado como alimento pelo homem, e inicialmente sua obtenção era feita a partir dos favos de mel encontrados nas colmeias. Esses favos de mel são formados por diversos alvéolos hexagonais, cujo formato auxilia no preenchimento do espaço otimizando o armazenamento do mel. Com o passar do tempo, o homem desenvolveu através da apicultura novas técnicas de manejo e armazenamento do mel produzido pelas abelhas. Essas técnicas contaram com a criação de equipamentos apropriados para o desenvolvimento de uma colônia de abelhas possibilitando a produção de mel. Entre essesequipamentos, está o chamado quadro de ninho, como ilustrado abaixo:
1
Um apicultor coletou todo o mel de um quadro de ninho de comprimento 40cm, largura 20cm e espessura 2cm. Quantos ml de mel ele coletou? Considere que o alvéolo hexagonal dos favos de mel de uma colmeia tem o formato de um bloco hexagonal de altura 15 mm e cuja base é um hexágono regular de lados 2 mm. Quantos desses alvéolos seriam necessários para armazenar a mesma quantidade de mel armazenada pelo quadro de ninho? A resposta está neste capítulo.
10
No nosso cotidiano, podemos observar figuras geométricas em diversos utensílios
ao nosso redor: na bola de vôlei, na caixa de chocolates, no cone de trânsito, nas latas
de alimentos, entre outros. A essas figuras damos o nome de sólidos geométricos. Esses
sólidos possuem três dimensões. A importância do estudo desses objetos é a presença
deles em todos os ambientes por onde passamos. Por isso, eles acabam se tornando
ferramentas muito importantes em diversas ciências aplicadas, como a Arquitetura
e a Engenharia e também em áreas como as Artes Visuais. Podemos dividir os sóli-
dos geométricos em três grupos: os poliedros, os corpos redondos e outros (que não
se encaixam nos dois primeiros grupos). Vamos estudar os poliedros e os corpos re-
dondos, pois conseguimos classificá-los e determinar suas principais características e
propriedades.
Objetivos
. Identificar poliedros, prismas, pirâmides, troncos de pirâmides e seus elemen-
tos.
. Reconhecer propriedades dos poliedros e relacionar seus elementos.
. Calcular medidas de comprimento de elementos de poliedros, suas áreas e seu
volume.
Poliedros 11
Poliedros
Os poliedros são sólidos geométricos limitados por superfícies planas, que são
polígonos. Em um poliedro, temos os seguintes elementos: face, aresta e vértice.
As superfícies poligonais que limitam um poliedro são as faces. O encontro de duas
faces é sempre um segmento de reta, que chamamos de aresta. Os vértices são os pontos de
encontro de três ou mais arestas.
1.1 Poliedros convexos e não convexos
Um poliedro é dito convexo quando todo plano que contém uma de suas faces
deixa todas as outras faces em um mesmo semiespaço. Caso isso não ocorra,
o poliedro em questão é dito não convexo.
Poliedros convexos Poliedros não convexos
Reflita
O que é semi-
espaço?
1.2 Relação de Euler
Veja a tabela a seguir, onde temos alguns poliedros, a quantidade de cada um de seus
elementos e o valor de uma relação entre os elementos.
12
Poliedro Vértices (V) Arestas (A) Faces (F) V - A + F
8 6 12 2
6 6 10 2
6 5 9 2
Podemos observar que em todos os poliedros da tabela ocorre a igualdade V −A+F = 2.
O matemático Leonhard Euler (1707-1783) observou essa igualdade e foi o primeiro a
verificar que ela é válida para todos os poliedros convexos. Assim, essa relação entre os
elementos de um poliedro convexo ficou conhecida como relação de Euler. Os poliedros que
satisfazem essa relação são chamados poliedros eulerianos.
A relação de Euler, válida para todo poliedro convexo, relaciona o número de
vértices, arestas e faces do poliedro: V −A+F = 2.
Observe ao lado que, apesar de todos os poliedros convexos serem eulerianos, existem
poliedros não convexos que também satisfazem a relação de Euler.
Observação
Observe o poliedro
abaixo:
Contando a
quantidade de seus
elementos, vemos
que ele possui 24
vértices (V = 24),
14 faces (F = 14) e
36 arestas (A = 36).
Assim:
V − A + F =
24−36+14 = 2
Exemplo
Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadran-
gulares. Calcule o número de arestas e de vértices do poliedro.
Solução
Número de arestas: nas seis faces triangulares temos 6 ·3 arestas e nas cinco faces
quadrangulares temos 5 ·4 arestas.
Como cada aresta é comum a duas faces, contamos cada aresta duas vezes. Assim:
2A = 6 ·3+5 ·4→ 2A = 38→ A = 19.
Número de vértices: como o poliedro em questão é convexo, ele satisfaz a relação de
Euler.
V −A+F = 2 =⇒ V −19+11 = 2 =⇒ V = 10.
Poliedros 13
Exercícios
1. Dados os poliedros representados abaixo:
(a) classifique-os em convexo ou não convexo;
(b) determine o número de vértices, de arestas e
de faces em cada um deles;
(c) diga quais são eulerianos.
2. Calcule o número de faces de um poliedro con-
vexo que possui 16 vértices e que em cada vértice
concorrem 3 arestas.
3. O “cubo-octaedro” possui seis faces quadradas
e oito triangulares. Determine o número de
faces, arestas e vértices desse sólido euleriano.
4. (U.F.Pelotas-RS-Adaptado) No país do México,
há mais de mil anos, o povo Asteca resolveu o prob-
lema da armazenagem da pós-colheita de grãos com
um tipo de silo em forma de uma bola colocado
sobre uma base circular de alvenaria. A forma desse
silo é obtida juntando 20 placas hexagonais e mais
12 placas pentagonais. Com base no texto, é correto
afirmar que esse silo tem:
(a) 90 arestas e 60 vértices.
(b) 86 arestas e 56 vértices.
(c) 90 arestas e 56 vértices.
(d) 86 arestas e 60 vértices.
(e) 10 arestas e 60 vértices.
5. (Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas
explorações, um cristal de rocha no formato de um
poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces
triangulares. O número de vértices desse crital é
igual a:
(a) 35.
(b) 34.
(c) 33.
(d) 32.
(e) 31.
14
1.3 Soma dos ângulos das faces
Em um poliedro convexo, a soma dos ângulos de suas faces é
S = (V −2) ·360◦, onde V é o número de vértices do poliedro.
Reflita
Demonstre a pro-
priedade do valor
da soma dos ângu-
los das faces de um
poliedro. Utilize a
relação de Euler e o
fato de que a soma
dos ângulos de um
polígono de n lados
é (n−2) ·180◦.
1.4 Poliedros de Platão
Um poliedro convexo é um poliedro de Platão quando:
todas as faces têm um mesmo número N de arestas;
em todo vértice concorre um mesmo número M de arestas;
a relação de Euler é válida.
Foi demonstrado por Platão que existem exatamente cinco classes de poliedros de Platão,
apresentadas na seguinte tabela:
M N A V F Poliedro
3 3 6 4 4 Tetraedro
3 4 12 8 6 Hexaedro
4 3 12 6 8 Octaedro
3 5 30 20 12 Dodecaedro
5 3 30 12 20 Icosaedro
Mentes Brilhantes
Grande filósofo e matemático da Grécia Antiga, Platão foi o primeiro matemático a
demonstrar que existem apenas cinco poliedros regulares. Platão escreveu sobre eles
no diálogo “Timeu”, em que ele associou cada um dos quatro elementos com um dos
poliedros regulares. O elemento terra seria o cubo, o elemento fogo seria o tetraedro,
o elemento ar seria o octaedro e o elemento água seria icosaedro. O último poliedro
regular, o dodecaedro, representaria todo o Universo.
1.5 Poliedros Regulares
Um poliedro convexo é regular caso satisfaça as seguintes condições:
todas as faces são polígonos regulares e congruentes entre si;
em todo vértice concorre um mesmo número de arestas.
Comparando essas condições às condições estabelecidas anteriormente para os poliedros
de Platão, podemos observar que todos os poliedros regulares também são poliedros de
Poliedros 15
Platão. Logo, existem exatamente cinco poliedros regulares:
Reflita
O que são polígonos
regulares?
16
Exercícios
1. Calcule em graus a soma dos ângulos das faces
de um:
(a) tetraedro;
(b) hexaedro;
(c) octaedro;
(d) dodecaedro;
(e) icosaedro.
2. (PUC-PR) Um poliedro convexo é formado por
faces quadrangulares e 4 faces triangulares. A soma
dos ângulos de todas as faces é igual a 12 ângulos
retos. Qual o número de arestas desse poliedro?
(a) 8
(b) 6
(c) 4
(d) 2
(e) 1
3. Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces
triangulares e heptagonais. Quantas tem de cada
espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos?
4. Da superfície de um poliedro regular de faces
pentagonais tiram-se as três faces adjacentes a um
vértice comum. Calcule o número de arestas, faces
e vértices da superfície poliédrica que resta.
Prismas 17
Prismas
Os prismas são uma categoria específica de poliedros. Suas formas também estão
presentes em diversos objetos do nosso dia a dia. Observe alguns exemplos de prismas:
Vemos que todos eles possuem um par de faces congruentes e paralelas, e as outras faces
são paralelogramos ligando esse par.
2.1 Definição
Consideramos dois planos paralelos e distintos α e β , uma região poligonal P contida
em α e uma reta r interceptando os dois planos.
Chamamos de prisma a região formada por todos os segmentos de reta
paralelos a r que possuem como uma das extremidades um ponto da região P
e como outra extremidade um ponto do plano β .
2.2 Elementos de um prisma
No prisma representado abaixo, temos que:
18
– as bases do prisma são os polígonos ABCDE e A′B′C′D′E ′, que são polígonos congru-
entes e estão situados nos planos paralelos α e β (chamados planos das bases);
– as arestas das bases são os segmentos AB, BC, CD, DE, EA, A′B′, B′C′, C′D′, D′E ′ e
E ′A′;
– as arestas laterais são os segmentos AA′, BB′, CC′, DD′ e EE ′;
– as faces laterais são os paralelogramos AA′B′B, BB′C′C, CC′D′D, DD′E ′E e EE ′A′A;
– a altura do prisma é a distância entre os planos das bases;
– as diagonais do prisma são todos os segmentos cujas extremidades são vértices que
não pertencem a uma única face do prisma (AC′ e AD′ são diagonais do prisma, mas
AB′ e AE ′ não são);
– seção transversal é qualquer interseção não vazia entre o prisma e um plano paralelo
às bases.
Reflita
Quantas diagonais
possui um prisma
cuja base é um polí-
gono convexo de n
lados?
2.3 Classificações de um prisma
Classificamos os prismas de acordo com o número de lados dos polígonos das bases.
Assim, os prismas podem ser:
– triangulares, se suas bases forem triângulos;
– quadrangulares, se suas bases forem quadriláteros;
– pentagonais, se suas bases forem pentágonos;
– hexagonais, se suas bases forem hexágonos;
– e assim por diante.
Prisma Reto e Oblíquo
Considerando a construção feita na definição de um prisma, podemos separar os prismas
em dois casos levando em conta a inclinação da reta r.
Prismas 19
Se a reta r for perpendicular aos planos α e β , dizemos que o prisma é reto.
Caso contrário, o prisma é dito oblíquo.
Em um prisma reto, as faces laterais são retângulos e perpendiculares ao plano da base.
Em um prisma oblíquo, as faces laterais são paralelogramos.
Prisma Regular
Um caso particular de prisma reto é o prisma regular, cujas bases são polígonos
regulares (como triângulos equiláteros, quadrados, pentágonos regulares, etc) e
cujas faces laterais são retângulos congruentes.
Alguns exemplos de prismas e suas classificações abaixo:
Exemplo
Prove que a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma de n faces
laterais vale S = (n−1) ·720◦.
1a solução
Se o prisma tem n faces laterais, suas bases são polígonos convexos de n lados e a
soma dos ângulos internos de cada uma delas é dada por (n− 2) · 180◦. Cada face
lateral é um paralelogramo e, sendo assim, a soma dos ângulos internos de cada uma
delas é 360◦.
Como o prisma possui 2 bases e n faces laterais, temos:
S = 2 · (n−2) ·180◦+n ·360◦ = n ·360◦−720◦+n ·360◦ = n ·720◦−720◦
S = (n−1) ·720◦
2a solução
Um prisma de n faces laterais possui como bases polígonos de n lados, logo é possível
ver que ele possui 2n vértices. Lembrando que a soma dos ângulos internos das faces
de um poliedro convexo é dada por S = (V −2) ·360◦, temos:
S = (2n−2) ·360◦ = (n−1) ·720◦
20
2.4 Paralelepípedo
Um caso particular de prisma quadrangular muito recorrente e importante no estudo de
primas é o paralelepípedo, que possui paralelogramos como bases. Dessa forma, as seis
faces de um paralelepípedo são paralelogramos.
Quando um prisma quadrangular reto possui retângulos nas bases, ele é chamado
de paralelepípedo reto retângulo, e então suas seis faces são retângulos.
E ainda temos o cubo, que é um paralelepípedo reto retângulo com quadrados em
todas as faces.
Em um paralelepípedo reto retângulo, consideremos suas bases os retângulos com
medidas a e b e sua altura c. Dizemos então que esse paralelepípedo possui dimensões a, b e
c, pois poderíamos tomar os retângulos de medidas b e c ou ainda os retângulos de medidas
a e c como bases desse paralelepípedo.
Reflita
Lembrando-se da
diagonal de um
prisma, determine
o comprimento
da diagonal de
um paralelepípedo
reto retângulo em
função de suas
dimensões a, b e c.
Prismas 21
Exercícios
1. Classifique, em cada caso, o prisma que tem:
(a) 7 faces laterais;
(b) um total de 18 arestas;
(c) 6 vértices;
(d) arestas formando somente ângulos retos, num
total de 24;
(e) arestas formando 20 ângulos retos.
2. Calcule a soma dos ângulos internos de todas as
faces de um prisma que possui 40 diagonais.
3. Em quanto diminui a aresta de um cubo quando
sua diagonal diminui em 3√
3cm?
4. (U.F.ES-82) Uma formiga mora na superfície de
um cubo de aresta a. O menor caminho que ela deve
seguir para ir de um vértice ao vértice oposto tem
comprimento:
(a) a√
2
(b) a√
3
(c) 3a
(d) (1+√
2)a
(e) a√
5
5. (IBMEC-RJ-2002) Em um cubo, de aresta 2, a
distância entre o centro de uma face e um vértice da
face oposta é:
(a) 2√
2
(b) 3√
2
(c) 2√
3
(d) 3√
3
(e)√
6
22
2.5 Áreas de um prisma
Área da base (Ab)
A área da base de um prisma é a área da região poligonal que constitui a base do prisma.
Área lateral (Al)
A superfície lateral de um prisma é constituída de todas as faces laterais do prisma.
Assim, a soma das áreas das faces laterais do prisma é chamada área lateral do prisma.
Área total (At)
A superfície total de um prisma é toda sua superfície lateral mais a superfície das bases.
A área dessa superfície é chamada de área total do prisma e é calculada por:
At = 2 ·Ab +Al
No caso de um paralelepípedo reto retângulo, como podemos considerar qualquer par de
faces congruentes como base, não falamos em área lateral nem área da base. Dessa forma,
considerando um paralelepípedo de dimensões a, b e c, sua área total é dada por:
At = 2(ab+bc+ab)
O mesmo pode ser considerado para o caso de um cubo de aresta a, cuja área total é dada
por At = 6a2.
Exemplo
Determinar a área da base, a área lateral e a área total de um prisma regular de altura
5cm e base hexagonal de lado 8cm.
Solução
A base é um hexágono regular de lado l = 8cm. Assim, a área da base é Ab =
6 · l2√
34
= 6 · 82√
34
, ou seja, Ab = 96√
3cm2.
A superfície lateral é constituída de seis retângulos de dimensões 8cm e 5cm. Assim,
Al = 6 ·8 ·5, ou seja, Al = 240cm2.
Logo, a área total do prisma é:
At = 2 ·Ab +Al = 2 ·96√
3+240 = (192√
3+240)cm2
Prismas 23
Exercícios
1. Deseja-se revestir um paralelepípedo retângulo
com papel. As arestas de sua base medem 5cm e
4cm e a sua diagonal, 3√
10cm.
a) Determine a menor área do papel a ser utilizado.
b) Pode-se fazer esse revestimento com uma folha
de papel tamanho A6 (10,5cm×14,84cm)?
2. A medida da diagonal do cubo C1 é o dobro da
do cubo C2. Determine a razão entre as áreas totais
de C1 e C2 nessa ordem.
3. A base de uma caixa, em forma de um prisma
reto, é um trapézio isósceles cujas bases medem
4dm e 12dm e sua altura, 3dm. Se foram utilizados
178dm2 de cartolina para revestir totalmente a caixa,
determine a medida de sua altura.
4. (UF-PB) Foram feitas embalagens de presente
em forma de prisma regular de altura H = 6√
3cm
e base triangular de lado L = 8cm, conforme ilustra
a figura abaixo.
(a) R$8,16
(b) R$12,30
(c) R$13,60
(d) R$15,20
(e) R$17,30
Sabendo que as embalagens não têm tampa e que o
custo para a sua produção, por cm2, é de R$0,05, en-
tão, considerando a aproximação√
3≈ 1,7, o custo
total de fabricação de cada unidade é:
5. (FGV-2008) A soma das medidas das 12 arestas
de um paralelepípedo reto retângulo é igual a 140cm.
Se a distância máxima entre dois vértices do par-
alelepípedo é 21cm, sua área total, em cm2, é:
(a) 776
(b) 784
(c) 798
(d) 800
(e) 812
6. Para fazer uma caixa sem tampa com um único
pedaço de papelão, utilizou-se um retângulo de
16cm de largura por 30cm de comprimento. De
cada um dos quatro cantos desse retângulo foram re-
tirados quadrados de área idêntica e, depois, foram
dobradas para cima as abas resultantes. Determine a
medida do lado do maior quadrado a ser cortado do
pedaço de papelão, para que a caixa formada tenha
área lateral de 204cm2.
7. Um prisma triangular regular tem aresta da
base medindo 10dm. Em quanto se deve aumentar
a altura, conservando-se a mesma base, para que a
área lateral do novo prisma seja igual à área total do
prisma dado?
8. (UERJ-2004) Dois primas regulares retos P1
e P2, o primeiro de base triangular e o outro de base
hexagonal, têm a mesma área da base e a mesma
área lateral. A razão entre o volume de P1 e o de P2
equivale a:
(a)
√2
3
(b)
√6
3
(c)
√3
2(d) 1
24
2.6 Volume
Para podermos calcular o volume de um sólido geométrico, como ocorre com todas as
medições, devemos ter uma unidade de referência com a qual podemos fazer comparações.
Dessa forma, tomamos um cubo unitário, de medida unitária (aresta de comprimento
1u), cujo volume também é unitário (seu volume é 1u3).
Agora, podemos tomar um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 5u, 3u e 4u, como
abaixo:
Podemos decompor cada dimensão desse paralelepípedo em medidas unitárias obtendo
assim 5 unidades em uma dimensão, 2 unidades em outra dimensão e 3 unidades na última
dimensão. Dessa forma, conseguimos decompor o paralelepípedo em 5 ·2 ·3 = 30 cubos
unitários, todos com volume 1u3. Logo o volume desse paralelepípedo é o mesmo volume
dos 30 cubos, que é 30u3.
Em geral, o volume de um parelelepípedo reto retângulo de dimensões a, b e c é dado
pelo produto de suas dimensões:
V = a ·b · c
Se considerarmos o lado de medidas a e b como base desse paralelepípedo, teríamos que
a área da base é Ab = a ·b, enquanto a dimensão c seria a altura desse paralelepípedo. Dessa
forma, o volume de um paralelepípedo reto retângulo também é dado pelo produto da área
da base pela altura.
Do mesmo modo, o volume de um cubo de aresta a é dado por V = a3
O princípio de Cavalieri e o volume de um prisma qualquer
Para explicar o cálculo do volume de um prisma qualquer, utilizamos um princípio
denominado o princípio de Cavalieri.
Como introdução intuitiva, vamos tomar dois blocos de papel, com mesmo número de
folhas, todas idênticas. Observe que o espaço ocupado pelos dois (que nada mais é do que o
volume de cada um deles) é o mesmo, afinal ambos são formados pela mesma coleção de
folhas.
Prismas 25
Agora, deixaremos um dos blocos imóvel enquanto no outro deslizaremos as folhas umas
sobre as outras, podendo obter formas como na figura abaixo:
Observe que, independente do formato dos blocos, os volumes deles se mantiveram
iguais, pois o volume do bloco que foi deformado continua sendo o volume total das folhas.
Considerando cada um dos blocos como um sólido geométrico, é possível ver que
qualquer plano que corte os blocos paralelo ao plano onde eles estão apoiados formará seções
transversais idênticas (que serão retângulos, ou seja, as folhas dos blocos). Como todas as
folhas são idênticas, as duas seções serão congruentes e equivalentes, isto é, de mesma área.
Seguindo essa intuição e expandindo a ideia para outros sólidos, Cavalieri enunciou o
seguinte postulado, que ficou conhecido como princípio de Cavalieri:
Sejam dois sólidos S1 e S2. Se todos os planos numa certa direção, ao interceptarem
S1 e S2, determinam seções de áreas iguais, então S1 e S2 têm mesmo volume.
A1 = A2 =⇒ V1 =V2
Tendo esse princípio em mãos, agora conseguimos determinar o volume de um prisma
qualquer. Sejam h a altura e Ab a área da base de um prisma. E seja um paralelepípedo reto
retângulo de mesma altura h e mesma área da base Ab.
Nessas condições, para os dois primas, todas as seções transversais paralelas ao plano
da base possuem área igual à área da base Ab dos primas. Pelo princípio de Cavalieri, isso
significa que os dois sólidos possuem volumes iguais.
Sabendo que o volume de um paralelepípedo reto retângulo é dado pelo produto da área
26
da base pela altura, o mesmo ocorre com o prisma:
Vprisma = Ab ·h
Mentes Brilhantes
O italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647), discípulo de Galileu Galilei, publicou
em 1635 sua teoria dos indivisíveis, que hoje é conhecida como “princípio de Cava-
lieri”. Essa teoria buscava calcular áreas de figuras planas e volume de figuras sólidas,
dizendo que uma figura plana seria formada por uma infinidade de cordas paralelas
entre si e uma figura sólida por uma infinidade de seções planas paralelas entre si.
Embora funcionasse, sua teoria foi recebida com muitas críticas em sua época
dizendo que ela não possuía rigor matemático adequado. Apesar disso, seu princípio
foi um dos pilares para o desenvolvimento do que é conhecido hoje como cálculo
integral, pois ajudou a definir a noção de integral.
Exemplo
Retomando as questões do início do capítulo:
SoluçãoO quadro de ninho, por ter formato
de um paralelepípedo reto retângulo,
tem uma capacidade de: 40 · 20 · 2 =
1600cm3. Como 1cm3 = 1ml, o apicul-
tor coletou 1600ml.
Cada alvéolo do favo de mel tem o for-
mato de um prisma hexagonal regular.
Precisamos calcular a área de sua base
para então calcular seu volume:
Ab = 6 · 22√
34
= 6√
3mm2
V = Ab · h = 6√
3 · 15 = 90√
3mm3 ≈
155,88mm3.1600cm3
155,88mm3 =1600 ·103mm3
155,88mm3 ≈ 10264
Assim, seriam necessários aproximada-
mente 10264 alvéolos desse tipo para
armazenar a mesma quantidade de mel
armazenada pelo quadro de ninho.
Prismas 27
28
Exercícios
1. Determine o volume de cada um dos prismas
abaixo.
a) Cubo cuja aresta mede 3cm.
b) Paralelepípedo reto retângulo de dimensões 6cm,
8cm e 10cm.
c) Cubo cuja área da base é 100dm2.
d) Prisma hexagonal regular com 10m de altura e
aresta da base medindo 1m.
e) Prisma triangular regular com 4cm de altura e
perímetro da base igual a 21cm.
2. Um pequeno vaso tem a forma de um prisma
triangular regular. Sabe-se que todas as suas arestas
têm a mesma medida e sua área lateral é 192cm2.
Determine seu volume.
3. Um prisma reto tem por base um losango em
que uma de suas diagonais mede 3/4 da outra, e
a soma de ambas é 14cm. Calcule a área total e o
volume desse prisma, sabendo que sua altura é igual
ao semiperímetro da base.
4. (Unifesp-SP) Um cubo de aresta de compri-
mento a vai ser transformado num paralelepípedo
reto retângulo de altura 25% menor, preservando-se,
porém, o seu volume e o comprimento de uma de
suas arestas.
A diferença entre a área total (a soma das áreas das
seis faces) do novo sólido e a área total do sólido
original será:
(a)16
a2
(b)13
a2
(c)12
a2
(d)23
a2
(e)56
a2
5. (U.E. Londrina-PR) Um arquiteto fez um projeto
para construir colunas de concreto que vão sustentar
um viaduto. Cálculos mostram que 10 colunas, com
a forma de um prisma triangular regular de aresta de
1 metro por 10 metros de altura, são suficientes para
sustentar o viaduto. Se 1 metro cúbico de concreto
custa R$200,00, qual será o custo total das colunas?
(a) R$1.000,00
(b) R$5.000,00
(c) aproximadamente R$4.320,00
(d) aproximadamente R$8.650,00
(e) aproximadamente R$17.300,00
6. (PUC-SP-2005) Para obter a peça esboçada
na figura ao lado, um artesão deve recortar 8
cubos iguais, a partir dos vértices de um bloco
maciço de madeira que tem as seguintes dimensões:
25cm× 18cm× 18cm. Se ele pretende que o peso
da peça obtida seja 6,603kg e sabendo que a densi-
dade da madeira é 0,93g/cm3, a aresta de cada cubo
recortado deverá medir, em centímetros:
(a) 6,5
(b) 6
(c) 5,5
(d) 5
(e) 4,5
7. Uma caixa-d’água tem a forma de um prisma
hexagonal regular. Sua altura mede 15√
3dm e sua
área lateral é o triplo da área da base. Determina sua
capacidade, em litros.
Pirâmides 29
Pirâmides
As pirâmides constituem uma outra classe de poliedros. Apesar de seu formato não estar
tão presente em objetos do nosso dia-a-dia, ele é encontrado em diversas construções da
Antiguidade. Por isso, as pirâmides sempre intrigaram o homem e atualmente são um objeto
geométrico utilizado amplamente no universo artístico.
3.1 Definição
Consideramos uma região poligonal P situada em um plano α e consideramos um ponto
V situado fora desse plano.
Chamamos de pirâmide a região formada por todos os segmentos de reta que
possuem como uma extremidade um ponto da região P e como outra extremidade
o ponto V .
3.2 Elementos
Na pirâmide representada abaixo, temos que:
– a base da pirâmide é o polígono ABCDE, que está situado em um plano que chamamos
plano da base;
– o vértice da pirâmide é o ponto V ;
– as arestas da base são os segmentos AB, BC, CD, DE e EA;
– as arestas laterais são os segmentos AV , BV , CV , DV e EV ;
– as faces laterais são os triângulos ABV , BCV , CDV , DEV e EAV ;
– a altura da pirâmide é a distância entre o ponto V e o plano da base.
3.3 Classificações
Classificamos as pirâmides de acordo com o número de lados do polígono de sua base.
Assim, uma pirâmide pode ser:
30
– triangular, se sua base for um triângulo;
– quadrangular, se sua base for um quadrilátero;
– pentagonal, se sua base for um pentágono;
– assim por diante.
Pirâmide regular
Chamamos de pirâmide regular uma pirâmide cuja base é um polígono
regular e cuja projeção ortogonal O do vértice V sobre o plano da base é o
centro desse polígono.
Em uma pirâmide regular, as arestas laterais são congruentes entre si e portanto todas as
faces laterais são triângulos isósceles congruentes. Podemos também destacar dois elementos
importantes em uma pirâmide regular: o apótema da pirâmide e o apótema da base.
O apótema de uma pirâmide (indicado por g) é a altura de uma face lateral relativa à
aresta da base. Enquanto o apótema da base (indicado por m é a distância do centro do
polígono da base a um de seus lados.
Podemos observar uma relação entre a altura da pirâmide (h), o apótema da pirâmide (g)
e o apótema da base (m):
g2 = h2 +m2
Pirâmides 31
3.4 Áreas de uma Pirâmide
Área da base (Ab)
A área da base de uma pirâmide (Ab) é a área do polígono de sua base.
Área lateral (Ab)
A superfície lateral de uma pirâmide é constituída de todas as suas faces laterais. A área
dessa superfície é chamada área lateral da pirâmide.
Al = soma das áreas de todas as faces laterais
Área total (At)
A superfície total de uma pirâmide é constituída tanto da superfície da sua base quanto
da superfície lateral. Assim, a área total é a soma da área da base com a área lateral.
At = Ab +Al
32
Pirâmides 33
Exercícios
1. Determine, em cada item, o número de faces
laterais, arestas e vértices de uma pirâmide:
a) hexagonal.
b) octogonal.
c) cuja base tem n lados.
2. Classifique, em cada caso, o polígono da base de
uma pirâmide que tem:
a) 5 faces laterais.
b) um total de 20 arestas.
c) 10 vértices.
d) a soma das medidas dos ângulos das faces lat-
erais é 1080◦
e) a soma das medidas dos ângulos das faces late-
rias com os da base a 2520◦.
3. A soma das medidas de todas as arestas de uma
pirâmide triangular regular é igual a 72√
3cm. Se
seu apótema mede 17cm e as arestas da base me-
dem o dobro das arestas laterais, quanto mede a sua
altura?
4. Calcule a medida do raio da base, a altura e a
medida do apótema de uma pirâmide quadrangular
regular cuja aresta da base mede 8cm e aresta lateral
mede√
41cm.
5. Calcule a área total da superfície de uma
pirâmide triangular regular cuja aresta lateral mede
82mm e a aresta da base mede 36mm.
6. Em uma pirâmide quadrangular regular, as me-
didas em centímetros da aresta da base, da altura e
do apótema formam, nessa ordem, uma progressão
aritmética de razão 1. Determine sua área lateral.
7. A base de uma pirâmide coincide com uma face
de um cubo de aresta 10cm e o vértice principal
desta pirâmide é um dos vértices da face do cubo,
oposta à base da pirâmide. Calcule a área lateral
desta pirâmide.
8. Uma indústria irá fabricar uma peça no formato
de uma pirâmide de base triangular com as medidas
indicadas na figura. Sabendo que serão fabricadas
500 peças, determine a área total da lamina de aço
que será gasto na produção dessas peças.
9. (Vunesp) O prefeito de uma cidade pretende colo-
car em frente à prefeitura um mastro com uma ban-
deira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base
quadrada feita de concreto maciço, como mostra a
figura.
Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3m
e que a altura da pirâmide será de 4m, quanto é área
superficial (em m2) após construído da pirâmide?
34
3.5 Volume
Para calcularmos o volume de uma pirâmide, devemos conhecer inicialmente algumas
propriedades dos tetraedros.
Dado um tetraedro e uma seção transversal paralela à sua base, temos que:
– as arestas laterais e a altura ficam divididas na mesma razão;
– a seção e a base são triângulos semelhantes;
– a razão entre as áreas da seção e da base é igual ao quadrado da razão de suas distâncias
ao vértice.
Dadas duas pirâmides triangulares (tetraedros) de bases de áreas
iguais e alturas congruentes, seus volumes são iguais.
Reflita
Tente demonstrar as
propriedades relati-
vas à seção par-
alela de um tetrae-
dro. Depois, uti-
lizando essas pro-
priedades, demon-
stre a propriedade
da equivalência dos
tetraedos. Lembre-
se da semelhança de
triângulos e propor-
cionalidade.
Volume do tetraedro
Considere um prisma triangular ABCDEF.
Podemos cortar esse prisma com um plano contendo os pontos A, C e E, obtendo assim
o tetraedro T1 = E(ABC) e a pirâmide quadrangular E(ACFD).
Agora, cortaremos a pirâmide quadrangular com um plano contendo os pontos C, D e E,
obtendo o tetraedro T2 =C(DEF)[ou T2 = E(CDF)] e o tetraedro T3 = E(ACD).
Assim, temos que o prisma triangular ABCDEF foi decomposto em três tetraedros (T1,
T2 e T3), ou seja, Vprisma =VT1 +VT2 +VT3 .
Observe que os tetraedros T1 = E(ABC) e T2 =C(DEF) possuem bases congruentes (os
triângulos ABC e DEF) e mesma altura (que é a altura do prisma). Então, pela propriedade
vista anteriormente, sabemos que seus volumes são iguais (VT1 =VT2).
Pirâmides 35
Agora, olhando para os tetraedros T2 = E(CDF) e T3 = E(ACD), vemos que suas bases
(CDF e ACD) são congruentes, pois CD é a diagonal do paralelogramo ACFD, e que os dois
possuem mesma altura (distância do vértice E ao plano ACFD). Logo, seus volumes são
iguais (VT2=VT3).
Podemos concluir que os três tetraedros possuem mesmo volume:
VT1 =VT2 =VT3
Considere que o prisma que foi decomposto tenha área da base Ab e e altura h. Podemos
observar que o tetraedro T1 também possui área da base Ab e altura h.
Assim, tendo em vista o resultado que encontramos, temos:
Vprisma =VT1 +VT2 +VT3 =⇒ 3VT = Ab ·h =⇒
VT =13
Ab ·h
Volume de uma pirâmide qualquer
Consideremos uma pirâmide qualquer, cuja base é um polígono de n lados, com área da
base igual a Ab e altura h. Podemos decompor essa pirâmide em (n−2) tetraedros (basta
dividir a base em n−2 triângulos).
Assim, o volume da pirâmide é igual à soma do volume desses (n−2) tetraedros.
V =VT1 +VT2 + . . .+VTn−2 =⇒ V =13
Ab1 ·h+13
Ab2 ·h+ . . .+13
Abn−2 ·h =⇒
=⇒ V =13(Ab1 +Ab2 + . . .+Abn−2) ·h =⇒ V =
13
Ab ·h
O volume de uma pirâmide é um terço do produto da área da base
pela medida da altura: V =13
Ab ·h.
Tetraedro Regular
O tetraedro regular é uma pirâmide triangular regular em que as quatro faces são congru-
entes. Um tetraedro regular possui as seis arestas.
Note que, no tetraedro regular ABCD abaixo, que as quatro faces ABC, ABD, ACD e
BCD do tetraedro são triângulos equiláteros e qualquer uma das faces pode ser considerada a
36
base do tetraedro regular.Pesquisa
Considerando um
tetraedro regular
com arestas de
medida a, calcule
sua área total, altura
e volume em função
de a.
Pirâmides 37
Exercícios
1. Determine o volume de uma pirâmide regu-
lar com 9m de altura e cuja base quadrada tem
perímetro 8m.
2. Uma pirâmide tem por base um triângulo equi-
látero de lado 6m. Uma de suas faces laterais é per-
pendicular à base. Essa face é um triângulo isósceles
não retângulo, cujos lados congruentes medem 5cm.
Determine o volume da pirâmide.
3. Uma pirâmide regular hexagonal tem aresta lat-
eral de medida 4√
2dm. Se o perímetro da base tem
24dm, qual é seu volume?
4. Determine a área total e o volume do tetraedro
regular em que a altura de uma face é 2√
3cm.
5. Um colecionador comprou um objeto com a
forma de uma pirâmide. Ela é triangular regular,
sua altura mede 15cm e seu apótema, 25cm. Deter-
mine seu volume.
6. A base de um prisma é um quadrado de lado
de medida 2m, e a base de uma pirâmide é um
quadrado de lado de medida 1m. Se o prisma e
a pirâmide têm mesmo volume, qual é a razão entre
suas alturas?
7. (U.F. São Carlos - SP) As bases ABCD e ADGF
das pirâmides ABCDE e ADGFE são retângulos e
estão em planos perpendiculares. Sabe-se também
que ABCDE é uma pirâmide regular de altura 3cm
e apótema lateral 5cm, e que ADE é face lateral
comum às duas pirâmides.
Se a aresta AF é 5% maior que a aresta AD, então o
volume da pirâmide ADGFE, em cm3, é:
a) 67,2
b) 80
c) 89,6
d) 92,8
e) 96
8. (UEL-PR) As maiores pirâmides egípcias são
conhecidas pelo nome de “Pirâmides de Gizé” e es-
tão situadas nas margens do Nilo. A maior e mais
antiga é a de Quéops que tem a forma aproximada
de uma pirâmide de base quadrada com 230 met-
ros de lado e cujas faces laterais se aproximam de
triângulos equiláteros. Com essas informações, de-
termine:
a) Qual é a medida de cada aresta da pirâmide de
Queóps?
b) Qual é a altura de cada face da pirâmide de
Queóps?
c) Qual é a altura da pirâmide de Queóps?
d) Qual é o volume da pirâmide de Queóps?
38
3.6 Sólidos semelhantes
• 1a situação: Observe os cubos abaixo.
A razão entre a medida das arestas do cubo menor e a medida das arestas do cubo
maior é de23
.
A razão entre a medida da diagonal da face do cubo menor e a medida da diagonal da
face do cubo maior é:DBD′B′
=2√
2cm3√
2cm=
23
A razão entre a medida da diagonal do cubo menor e a medida da diagonal do cubo
maior é:HBH ′B′
=2√
3cm3√
3cm=
23
• 2a situação:
Observe os dois cilindros abaixo.
Como fizemos na 1a situação, vamos calcular a razão entre as medidas de um segmento
do cilindro da esquerda e o segmento correspondente no cilindro da direita:BCB′C′
=20cm10cm
= 2;OBO′B′
=4cm2cm
= 2;ABA′B′
=8cm4cm
= 2.
• 3a situação
Pirâmides 39
Observe os dois paralelepípedos abaixo, ambos são reto retângulos:
Novamente, vamos calcular a razão entre uma dimensão do paralelepípedo de cima e
a dimensão correspondente do paralelepípedo de baixo:ABA′B′
=15cm10cm
=32
;BCB′C′
=3cm
1,2cm=
52
;
CGC′G′
=2cm1cm
= 2.
Dizemos que dois sólidos são semelhantes quando a razão entre
a medida de um segmento qualquer do primeiro sólido e a do segmento
correspondente (ou segmento homólogo) do segundo sólido é constante.
Observe que na 1a e na 2a situação os sólidos representados são semelhantes, mas os
dois sólidos da 3a situação não são semelhantes.
Pirâmides semelhantes
Ao secionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, ela fica dividida em dois sólidos:
Uma nova pirâmide, posicionada acima do plano que secionou a pirâmide original, e um
tronco de pirâmide (que estudaremos mais adiante), entre o plano da base e o plano secante.
Vamos comparar a nova pirâmide e a pirâmide original.
Note que:
• os polígonos das bases têm o mesmo número de lados;
• os ângulos de duas faces homólogas são dois a dois congruentes;
40
• os elementos lineares homólogos são proporcionais.
Assim, vemos que as duas pirâmides são semelhantes.
Vamos agora estudar a relação entre a razão das medidas de segmentos dessas duas
pirâmides, a razão entre suas áreas e a razão entre seus volumes.
Chamemos de k a razão entre dois segmentos homólogos das duas pirâmides, essa razão
k é chamada razão de semelhança entre as pirâmides. Escrevendo essa razão de semelhança
entre a pirâmide nova e a original, nessa ordem, temos:
ai
Ai=
liLi
=hH
= k
Considerando duas pirâmides semelhantes, temos as seguintes propriedades:
• A razão entre as áreas das bases é igual ao quadrado da razão de semelhança.
Essa propriedade decorre do fato de que as duas bases são polígonos semelhantes.
Chamando de Ab a área da base da pirâmide nova e AB a área da base da pirâmide
original, temos:
Ab
AB= k2
• A razão entre as área laterais é igual ao quadrado da razão de semelhança.
Como duas faces laterais homólogas são triângulos semelhantes, sabemos que a razão
entre suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança.
Sendo Al a área lateral da pirâmide nova e AL a área lateral da pirâmide original, e
lembrando que a área lateral de uma pirâmide é igual à soma das áreas de suas faces
laterais, temos:
Al
AL= k2
• A razão entre as áreas totais é igual ao quadrado da razão de semelhança.
ComoAb
AB= k2 e
Al
AL= k2, decorre que
Ab +Al
AB +AL= k2, e assim:
At
AT= k2
• A razão entre os volumes é igual ao cubo da razão da semelhança.
Chamando de v o volume da nova pirâmide e V o volume da pirâmide original.
Já vimos das outras propriedades queAb
AB= k2 e
hH
= k.
Dessa forma, podemos obter a razão entre seus volumes:
Pirâmides 41
vV
=
13·Ab ·h
13·AB ·H
=Ab
AB· h
H= k2 · k =⇒
vV
= k3
Observação
Sabemos que a
razão de semel-
hança entre o cubo
menor e o cubo
maior é k =23
, pois
o menor possui
arestas de 2cm e
o maior possui
arestas de 3cm. A
área total do cubo
menor é: 6 · 22 =
6 · 4 = 24cm2; a
área total do cubo
maior é: 6 · 32 =
6 · 9 = 54cm2. A
razão entre a área
do cubo menor e a
área do cubo maior
é:24cm2
54cm2 =49=
(23)2 = k2
O volume do
cubo menor é 23 =
8cm3; o volume do
cubo maior é 33 =
27cm3. A razão
entre o volume do
cubo menor e o vol-
ume do cubo maior
é:8cm3
27cm3 =
(23)3 = k3
As propriedades estudadas acima podem ser estendidas para dois sólidos semelhantes
quaisquer.
Retornando aos dois cubos apresentados na 1a situação dos sólidos semelhantes, observe
ao lado as razões entre os segmentos, as áreas e os volumes deles.
3.7 Tronco de Pirâmide
Definição
Tronco de pirâmide de bases paralelas constitui-se da base, de uma
seção transversal a ela e de todos os pontos da pirâmide compreendidos
entre o plano da base e o plano da seção transversal.
A pirâmide original é repartida pela seção transerval em dois sólidos: uma nova pirâmide
(semelhante à primeira e com mesmo vértice V ) e um tronco de pirâmide de bases paralelas.
Elementos
Na pirâmide mostrada acima, destacamos os seguintes elementos:
– a base maior do tronco é o polígono ABCDE, que é a base da pirâmide original;
– a base menor do tronco é o polígono A′B′C′D′E ′, que é a seção transversal da
pirâmide;
– a altura do tronco é a distância entre os planos das duas bases;
– as arestas laterais são os segmentos AA′, BB′, CC′, DD′ e EE ′;
– as faces laterais são os trapézios ABB′A′, BCC′B′, CDD′C′, DEE ′D′ e EAA′E ′.
Tronco de pirâmide regular
Tronco de pirâmide regular é o tronco de pirâmide de bases parelelas obtido de uma
pirâmide regular. Em um tronco regular, temos que:
– as arestas laterais são congruentes entre si;
– as bases são polígonos regulares semelhantes;
– as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre si;
– a altura de qualquer desses trapézios chama-se apótema do tronco.
Áreas
A área da base maior é indicada por AB e a área da base menor é indicada por Ab.
42
A superfície lateral de um tronco de pirâmide constitui-se de suas faces laterais. A área
da superfície lateral é chamada área lateral e é indicada por Al .
Al = soma das áreas das faces laterais
A superfície total do tronco de pirâmide é a reunião da superfície lateral com a base
maior e com a base menor. A área dessa superfície é chamada de área total e indicamos por
At .
Assim:
At = Al +AB +Ab
Volume
O volume de um tronco de pirâmide de bases paralelas é obtido calculando a diferença
entre o volume de duas pirâmides: a de base AB e a de base Ab.
V =V1−V2
Sejam x a altura da pirâmide de área da base Ab e h a altura do tronco. Então, pela razão
de semelhança entre a pirâmide de área da base Ab e a pirâmide de área da base AB:x2
(x+h)2 =Ab
AB=⇒ x
x+h=
√Ab√AB
=⇒ x ·√
AB = x ·√
Ab +h ·√
Ab =⇒
=⇒ x =h√
Ab√AB−
√Ab
=⇒ xh=
√Ab√
AB−√
AbObserve que a altura da pirâmide de área da base AB é x+hm e lembre que o volume de
uma pirâmide é dado por um terço do produto da área da base pela medida da altura. Assim,
desenvolvendo a diferença V1−V2:
V =13
Ab · (x+h)− 13
Ab · x =13(ABx+ABh−Abx) =
Pirâmides 43
=13[AB ·h+ x(AB−Ab)] =
h3
[AB +
xh(AB−Ab)
]=
=h3
[AB +
√AB√
AB−√
Ab· (AB−Ab)
]=
h3[AB +
√Ab · (√
AB +√
Ab)]
Por fim, temos que:
V =h3(AB +
√AB ·Ab +Ab)
é a fórmula do volume de um tronco de pirâmide, em função da sua altura e das áreas
das suas bases.
Exemplo
Calcule o volume do tronco de pirâmide regular abaixo, com medidas indicadas na
figura, em cm:
1a solução
Podemos calcular o volume do tronco de pirâmide acima utilizando a fórmula ap-
resentada anteriormente: V =h3(AB +
√AB ·Ab +Ab). Nesse caso, temos: h = 3cm,
AB = 62 = 36cm2 e Ab = 42 = 16cm2.
Utilizando a fórmula, obtemos:
V =33(36+
√36 ·16+16) = 1 · (36+6 ·4+16) = 36+24+16 = 76cm3
2a solução
Sabemos que a pirâmide maior é semelhante à pirâmide menor, e a razão de semel-
hança entre elas é k =64=
32
.
Assim, podemos descobrir o valor de x: k =32=
x+3x⇒ 2(x+3) = 3x⇒ x = 6cm
Com isso, sabemos que a altura H da pirâmide maior é H = 3+6= 9cm, e seu volume
é dado por Vmaior =13
H ·AB =13
9 ·36 = 108cm3.
Lembrando que a razão entre os volumes éVmaior
Vmenor= k3 =
(32
)3
=278
, temos:
Vmaior
Vmenor=
278⇒Vmenor =
8 ·10827
= 8 ·4 = 36cm3
Portanto, o volume do tronco é V =Vmaior−Vmenor = 108−36 = 72cm3
44
Exercícios
1. Um tronco de pirâmide quadrangular regular
tem áreas das bases iguais a 100cm2 e 64cm2. Se o
apótema do tronco mede 6cm, qual é a área total do
tronco?
2. Cada trapézio que serve como face lateral de um
tronco de pirâmide regular quadrangular tem bases
de medidas 3cm e 5cm. Sabendo que a altura do
tronco mede 4cm, determine a área total e o volume
do tronco.
3. Uma pirâmide tem 12cm de altura e base com
área de 81cm2. Secionando-se a pirâmide por um
plano paralelo ao plano da base, exatamente à distân-
cia de 8cm da base, obtemos um tronco de pirâmide.
Calcule o volume desse tronco.
4. No preparo de um vaso para plantio de uma
muda de árvore, um funcionário da prefeitura enche-
o completamente de terra. O vaso tem a forma de
um tronco de pirâmide quadrangular regular inver-
tido; suas arestas das bases medem 80cm e 120cm.
Quantos metros cúbicos de terra foram colocados
no vaso, se a distância entre duas arestas paralelas
de uma face lateral do tronco é de 140cm? Use√
3≈ 1,7.
5. Uma caçamba de entulho tem 1m de altura e a
forma de um tronco de pirâmide regular quadran-
gular invertido. A superfície apoiada no solo tem
área de 4m2. Se o volume de entulho necessário
para enchê-la até a borda é 6m3, qual é a medida da
aresta da superfície superior da caçamba?
6. (Vunesp-SP) Para calcularmos o volume aprox-
imado de um iceberg, podemos compará-lo com
sólidos geométricos conhecidos. O sólido da figura,
formado por um tronco de pirâmide regular de
base quadrada e um paralelepípedo reto retângulo,
justapostos pela base, representa aproximadamente
um iceberg no momento em que se desprendeu da
calota polar da Terra. As arestas das bases maior
e menor do tronco de pirâmide medem, respectiva-
mente, 40dam e 30dam, e a altura mede 12dam.
Passado algum tempo do desprendimento do ice-
berg, o seu volume era de 23100dam3, o que corre-
spondia a34
do volume inicial. Determine a altura
H, em dam, do sólido que representa o iceberg no
momento em que se desprendeu.
REVISÃO E RESUMO 45
REVISÃO E RESUMO
Poliedros são os sólidos geométricos limitados por superfí-
cies planas. Seus elementos são os vértices, as arestas e as
faces.
Poliedros convexos são os poliedros em que cada plano que
contém uma face do poliedro posiciona as demais faces em
um mesmo semiespaço.
A relação de Euler, que vale para todo poliedro convexo,
relaciona o número de vértices, arestas e faces do poliedro:
V −A+F = 2.
A soma dos ângulos das faces de um poliedro é dada por:
S = (V −2) ·360◦
Os poliedros de Platão têm como faces polígonos do mesmo
e vértices em que concorrem o mesmo número de arestas.
Há cinco classes de poliedros de Platão: tetraedro, hexaedro,
octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Prisma é o poliedro formado por todos os segmentos de reta
paralelos a uma reta r dada tais que uma extremidade é um
ponto numa região poligonal contida num plano e a outra ex-
tremidade é um ponto num plano paralelo ao plano da região
poligonal.
Um prisma é reto quando a reta r for perpendicular aos planos,
caso contrário ele é oblíquo.
Prisma regular é um prisma reto cujas bases são polígonos
regulares.
Paralelepípedo reto retângulo é um prisma reto com bases
retangulares. Um paralelepípedo reto retângulo com faces
quadradas é chamado cubo.
Área Total do Prisma é dada por:
At = 2Ab +Al
Volume do Prisma é dado por:
V = Ab ·h
Pirâmide é o poliedro formado por todos os segmentos de
reta tais que uma extremidade é um ponto de uma região polig-
onal contida num plano e a outra extremidade é um ponto V
fora desse plano.
Pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono
regular e a projeção do vértice no plano do base é o centro
desse polígono.
Área Total da Pirâmide é dada por:
At = Al +Ab
Volume da Pirâmide é dado por:
V = 13 Ab ·h
Tronco de Pirâmide: se um plano paralelo ao plano da base
seciona uma pirâmide, ele a divide em dois sólidos, uma
pirâmide menor acima do plano e um tronco de pirâmide
situado entre os dois planos.
Área da superfície do tronco de pirâmide é dada por:
At = Ab +AB +Al
Volume do tronco de pirâmide é dado por:
V =h3(AB +
√AB ·Ab +Ab)
*
46
Exercícios Complementares
1. (Cefet-SP)Leia atentamente as afirmativas a
seguir.
I Em um poliedro, a soma do número de vértices
com o número de faces é igual ao número de
arestas mais dois.
II O número de diagonais de um hexágono regu-
lar é igual a nove.
III A soma dos ângulos internos de um paralelo-
gramo é 360◦.
Das afirmativas anteriores, está(ão) correta(s):
a) a I, a II e a III.
b) apenas a II.
c) apenas I e II.
d) apenas I e III.
e) apenas II e III.
2. (CEFET-2001) Ari Qui Teto, projetista famoso,
pretendendo construir o prédio de um centro de con-
venções, inspirou-se em formas poliédricas com
bases regulares. Inicialmente pensou num prédio
com o formato de um poliedro de base quadrada,
depois evoluiu para um poliedro de base hexagonal
(veja esboços abaixo) e finalmente concluiu que o
mais adequado seria o formato poliédrico com base
igual a um polígono regular de 32
lados (não esboçado). Calculando-se a soma S = no
de vértices + no de arestas desse “prédio poliédrico”,
finalmente definido por Ari Qui Teto, obtém-se:
a) 130
b) 200
c) 193
d) 128
e) 224
3. (Fuvest 97) No paralelepípedo reto retângulo
mostrado na figura, AB = 2cm e AD = AE = 1cm.
Seja X um ponto de segmento AB e x a medida do
segmento AX .
a) Para que valor de x, CX = XH?
b) Para que valor de x, o ângulo CX̂H é reto?
47
4. (MACKENZIE-2001) As dimensões a, b e c
de um paralelepípedo reto retângulo são tais que
a > b > c. Aumentando-se a de 25% e mantendo-se
b constante, para que o volume do paralelepípedo
mantenha-se o mesmo, a dimensão c deve ser dimin-
uída de:
a) 15%
b) 18%
c) 20%
d) 25%
e) 28%
5. (ESPM-2004) Um prisma regular hexagonal
tem arestas da base medindo 2m e arestas laterais
medindo 5m. Uma formiga dá uma volta completa
em torno da sua superfície lateral, partindo de um
vértice da base de baixo e chegando no vértice cor-
respondente da base de cima. A menor distância
percorrida pela formiga foi:
a) 17m
b) 16m
c) 15m
d) 14m
e) 13m
6. (UEL-2002) Aumentando-se em 1m a altura de
um paralelepípedo, seu volume aumenta 35m3 e sua
área total aumenta 24m2. Se a área lateral do par-
alelepípedo original é 96m2, então o volume original
é:
a) 133m3
b) 135m3
c) 140m3
d) 145m3
e) 154m3
7. Remove-se, do cubo da figura, a pirâmide trian-
gular ABCD.
Obtém-se, dessa forma, um sólido de volume:
a)143
b)115
c)185
d)203
e)165
8. As arestas laterais de uma pirâmide triangular
regular medem 8√
3cm e formam ângulos de 60◦
com o plano da base. Determine o seu volume.
9. (PUC-RS-2002) O volume de uma pirâmide
quadrangular regular cujas faces laterais são triân-
gulos equiláteros de lado a é:
a)a3√
22
b) a3√
2
c)a3√
32
d)a3√
26
e)a3√
36
10. De cada vértice de um tetraedro regular de aresta
3a, retira-se um tetraedro de aresta a. Calcule a área
total e o volume do sólido resultante.
48
11. Calcule a área total e o volume de um octaedro
regular de aresta a.
12. Os pontos médios das arestas de um tetraedro
regular são vértices de um octaedro regular. Qual
a razão entre o volume do octaedro regular e do
tetraedro regular?
13. (UF-ES) Um reservatório de água tem a forma
de uma pirâmide regular de base quadrada. O vér-
tice do reservatório está apoiado no solo, e seu eixo
está posicionado perpendicularmente ao solo. Com
o reservatório vazio, abre-se uma torneira que de-
speja água no reservatório com uma vazão constante.
Após 10 minutos, o nível da água, medido a partir
do vértice, atinge14
da altura do reservatório. O
tempo que ainda falta para encher completamente o
reservatório é de:
a) 6 horas e 10 minutos.
b) 8 horas e 15 minutos.
c) 8 horas e 20 minutos.
d) 10 horas e 30 minutos.
e) 10 horas e 40 minutos.
14. (CESGRANRIO-79-adaptado) Uma cesta de
lixo (Figura I) tem por faces laterais trapézios isósce-
les (Figura II) e por fundo um quadrado de 19cm de
lado. A altura da cesta em cm é:
a) 30× 1925
b) 9√
11
c) 7√
19
d) 5√
13
e) 30
√1925
Cilindros, Cones e Esferas
Em 1173, o engenheiro Bonnano Pisano, iniciou a construção da famosa torre de Pisa para abrigar o sino da catedral de Pisa, no norte da Itália. Antes que seus três primeiros andares tivessem sido erguidos por completo, foi notado uma ligeira inclinação para o sul devido o afundamento e a irregularidade em um terreno de argila e areia.
Tentativas para compensar a inclinação deixando os próximos andares mais altos do lado que a estrutura tendia para baixo, mas o excesso de peso fez com que a torre afundasse ainda mais. Durante a metade do século XIV, muitas outras tentativas foram feitas para aprumar a torre. No século XX sua inclinação foi de 1,2 mm/ano.
Em 1990 ela foi fechada ao público devido os riscos, e iniciou novamente propostas para salvar a torre. A reforma foi concluída e reaberta ao público em 2001.
2
Que sólido geométrico melhor se aproxima à torre de pisa?
Sabendo que esse monumento possui 57m de altura, qual é o seu volume em função do raio?
A resposta está neste capítulo.
50
Objetivos
. Identificar corpos redondos em paisagens cotidianas.
. Construir diferentes sólidos geométricos.
. Calcular área e volumes de corpos redondos.
Cilindros
Em nosso cotidiano encontramos muitos objetos cilíndricos, que muitas vezes passam
despercebidos, por exemplo o rolo do papel higiênico.
Reflita
Considerando o
papel higiênico um
objeto cilíndrico,
quais objetos do
seu cotidiano você
identifica com a
mesma forma?
6.1 Cilindro Circular
Considere α e β dois planos paralelos e distintos e tomemos sobre eles dois círculos de
centro O e O′ respectivamente e mesmo raio r, considere a reta que passa por OO′.
Chamamos de cilindro ou cilindro circular, o conjunto de todos
os segmentos paralelos à reta que passa por OO′ que possuem
extremidades sob a circunferência de raio r e centros O e O′.
Observação
Sólidos geométri-
cos são os objetos
tridimensionais
definidos no
espaço.
A reta OO′ é chamada de eixo.
Cilindros 51
Os círculos de centro O e O′ chamamos de base.
A circunferência de centro O chamamos de diretriz.
A distância mínima entre os planos α e β chamados de altura.
Os segmentos que unem as circunferências e são paralelos ao eixo chamamos de gera-
trizes.
6.2 Cilindro Reto e Oblíquo
Quando a projeção ortogonal do centros das bases coincidem uma sobre a outra,
chama-se cilindro reto.
Quando a projeção ortogonal do centros das bases não coincidem uma sobre a outra,
chama-se cilindro oblíquo.
Observação
Projeção Ortogonal
de um objeto em um
plano é a sombra
quando os raios de
luz estão perpendic-
ulares ao plano.
Secção Meridiana de um cilindro reto é a intersecção entre a superfície e
um plano perpendicular aos planos que contém as bases e que contém o eixo.
Reflita
O que é perpendicu-
laridade?
Um cilindro reto também pode ser construído rotacionando 360◦ um retângulo em torno
de uma reta r que contém um de seus lados. O cilindro reto também pode ser nomeado como
cilindro de revolução.
52
6.3 Cilindro Equilátero
Um cilindro reto é cilindro equilátero quando
sua seção meridiana for igual a um quadrado.
Reflita
Dois egípcios
conversavam sobre
cilindros quando
resolveram dividir
dois cilindros em
metades iguais.
Colocaram as
partes cortadas
viradas para a areia
próxima ao rio Nilo,
e seguiram conver-
sando. Passado um
tempo, retiraram
as metades de
cilindros da areia
e notaram que
haviam se formado
quadriláteros. Sou-
beram de cara que
um deles é um retân-
gulo. Quais são
os outros possíveis
quadriláteros?
Justifique sua
resposta.
6.4 Área Lateral e Área Total do Cilindro
Abrindo o cilindro em um plano.
Cilindros 53
Área lateral é comprimento da circunferência (2πr) multiplicado pela altura.
Al = 2πrh
Área das bases é igual a soma da área das duas bases, sendo que a área de uma base é a
area de um cículo de raio r (πr2).
Ab = πr2 +πr2
Ab = 2πr2
Reflita
Como podemos cal-
cular a área lat-
eral de um cilindro
oblíquo?
Área total é igual à área lateral somada à área das bases.
At = Al +Ab
At = 2πr(h+ r)
Exemplo
Quantos centímetros quadrados de um material são usados, aproximadamente, para
construir 12 latas de um refrigerante? Sabendo que este possui 6 cm de diâmetro e 12
cm de altura. (Use: π ≈ 3,14)
Solução
Diâmetro = 6cm; r = 3cm; h = 12cm; π ≈ 3,14
Temos:
Al = 2πrh≈ 2 ·3,14 ·3.12 = 226,08cm3
Ab = 2πr2 ≈ 2 ·3,14 ·32 = 56,52cm2
At ≈ 226,08cm3 +56,52cm2 = 282,6cm2
Como são 12 latas de refrigerante, 12×282,6cm2 = 3391,2cm2 do material.
Há outra forma de resolver esse problema? Com π não sendo aproximado para 3,14,
resolva em função de π .
54
Exercícios
1. (Cefet-PR) Secciona-se um cilindro de revolução
de raio da base de 5cm por um plano paralelo ao seu
eixo, a uma distância de 4cm do mesmo. Se a área
da secção obtida é 12cm2, então a altura do cilindro
é igual a:
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
2. (Mundo Educação) Em uma fazenda estava
sendo realizada uma reforma e foi necessário pintar
um reservatório de água em formato cilíndrico, cuja
base é um círculo de raio igual a 15m e de altura
igual a 7m. Sabendo que o metro quadrado de tinta
custa R$10,00, qual será o valor gasto para pintar
esse reservatório?
3. Um cilindro equilátero de área lateral igual a
200πcm2. Qual é sua altura?
4. Cesgranrio-2012-adaptado). Um cilindro circu-
lar reto possui altura igual ao raio de sua base. Se a
razão entre a circuferência da base, dado em metros,
e a sua área total, dada em metros quadrados, é igual
a18
metros, então a área lateral do cilindro, em m2 ,
é igual a:
(a) 128π
(b) 64π
(c) 48π
(d) 32π
(e) 16π
5. Um cilindro circular reto de altura 7cm tem área
das bases igual a 8πcm2. A área total desse cilindro,
em cm2, é:
(a) 30π
(b) 32π
(c) 34π
(d) 36π
6. (Petrobras – Cesgranrio 2012). Uma fita retangu-
lar de 2cm de largura foi colocada em torno de uma
pequena lata cilíndrica de 12cm de altura e 128πcm2
de area total, dando uma volta completa em torno
da lata, como ilustra o modelo abaixo.
A área da região da superfície da lata ocupada pela
fita é, em cm2 , igual a
(a) 8π
(b) 12π
(c) 16π
(d) 24π
(e) 32π
7. (MSCONCURSOS- 2016) Observe o objeto
cilíndrico que dona Ana deseja revestir, na figura
seguinte:
(a) 34πcm2
(b) 36πcm2
(c) 38πcm2
(d) 40πcm2
Cilindros 55
6.5 Volume do Cilindro
Se utilizarmos o princípio de Cavalieri fazendo uma relação entre um prisma e um
cilindro, ambos de mesma altura h, teremos:
V = Ab ·h
V = πr2h
Observação
Corpos redondos
são aqueles que
possuem curvas em
vez de alguma face,
e que se colocados
sobre um plano com
alguma inclinação
rolam.
Exemplo
Qual o volume aproximado, em litros, de 10 latas de óleo, sabendo que as latas
possuem um formato cilíndrico, com 8cm de diâmetro e 19cm de altura? (Use
π ≈ 3,14 e 1cm3 = 0,001l)
Solução
Diâmetro = 8cm; r = 4cm; h = 19cm; π ≈ 3,14
Temos que: v = πr2h≈ 3,14 ·42 ·19 = 954,56cm3
Como são 10 latas, então 10×954,56cm3 = 9545,6cm3
Sabemos que 1cm3 equivale a 0,001l. Temos que: V = 9545,6 ·0,00l = 9,55l
Portanto o volume das 10 latas de óleo é aproximadamente igual a 9,55l. Há outra
forma de resolver esse problema? Se π não fosse aproximado para 3,14, resolva em
função de π .
Exemplo
Retomando as questões do início do capítulo:
“Que sólido geométrico pode representar a Torre de Pisa?”
Solução:Podemos notar que um cilindro oblíquo representa bem a torre.
“Sabendo que o monumento possui 57 m de altura. Qual seu volume em
função do raio”
Solução: Sabemos que a torre tem 57 m de altura e que volume do cilindro
V = πr2h. Substituindo o valor de h, temos que o volume aproximado é V = 57πr2m3.
56
Exercícios
1. (A CASA DAS QUESTÕES-2015) Se um cilin-
dro equilátero mede 12 m de altura, então o seu
volume em m3 vale:
Sabendo que 1000litros de água ocupam um volume
de 1m3 e adotado π ≈ 3,14, determine a medida do
raio r do cilindro.
2. (A CASA DAS QUESTÕES-2015) O volume
de um cilindro circular reto é 160m3. Se o raio da
base desse sólido mede 4m, a altura mede:
a) 80dm
b) 90dm
c) 100dm
d) 110dm
e) 120dm
3. (Vunesp – SP) Um tanque subterrâneo, que tem
o formato de um cilindro circular reto na posição
vertical, está completamente cheio com 30m3 de
água e 42m3 de petróleo. Considerando que a altura
do tanque é de 12metros, calcule a altura da camada
de petróleo.
(a) 2π
(b) 7
(c)7π
3
(d) 8
(e)8π
3
4. (Cefet – SP) A figura indica o tambor cilín-
drico de um aquecedor solar com capacidade de
1570litros.
Sabendo que 1000litros de água ocupam um volume
de 1m34 e adotado π ≈ 3,14, determine a medida
do raio r do cilindro.
5. (FDRH-2008) Se um cilindro tem 1.024πcm3 de
volume e o diâmetro de sua base mede 16cm, então
pode-se afirmar que
I – a medida da altura desse cilindro é igual à me-
dida do diâmetro de sua base.
II – a medida da altura desse cilindro é igual ao
triplo da medida do raio de sua base.
III – o quociente entre a medida do raio da base
desse cilindro e a medida da sua altura é igual a 0,5.
Quais afirmações estão corretas?
(a) Apenas a I
(b) Apenas a II
(c) Apenas a III
(d) Apenas a I e a III
(e) A I, a II e a III
6. Um caldeirão cilíndrico tem 50 cm de
diâmetro e 20 cm de altura e está lotado em
sua capacidade máxima de água doce. Cláu-
dia vai encher potes cilíndricos com esse doce.
Se cada potinho tem 5 cm de altura e 4 cm
de diâmetro da base, quantos potinhos serão
necessários para colocar todo esse doce?
Cones 57
Cones
No cotidiano encontramos alguns objetos cônicos que podem passar despercebidos como,
por exemplo, uma casquinha de sorvete.
Reflita
Considerando
uma casquinha de
sorvete um objeto
cônico e em sua
casa, quais objetos
que possuem a
mesma forma?
Considere um plano α e neste tem-se um círculo de raio r e centro O, e V um ponto fora
de α .
Chamamos de cone circular, ou apenas cone, o conjunto de todo os segmentos com
uma das extremidades na circunferência de centro O e a outra no ponto V .
O círculo de raio r e centro O chama-se base.
O ponto V fora do plano α chama-se vértice.
Os segmentos utilizados para unir a circunferência ao vértice chamam-se geratrizes.
A menor distância entre o vértice V e o plano α chama-se altura.
A reunião de todas as geratrizes chama-se superfície lateral.
A área da superfície lateral chama-se área lateral.
A união entre a superfície lateral e da base chama-se superfície total.
A soma da área da base com a área superficial chama-se área total.
7.1 Retos e Oblíquos
Cone reto é aquele cuja projeção ortogonal do vértice sobre a base coincide com
o centro da mesma.
Cone oblíquo é aquele cuja projeção ortogonal do vértice sobre a base não coincide
com o centro da mesma.
58
Um cone reto também pode ser construído rotacionando em 360◦ um triângulo retângulo
em torno de uma reta r que contém um de seus catetos. O cone reto também pode ser
nomeado como cone de revolução.
7.2 Secção Meridiana
Secção Meridiana de um cone reto é a intersecção entre sua superfície total,
um plano perpendicular ao plano que contém a base e que passa pelo vértice.
Reflita
Que tipo de triân-
gulo é formado pela
secção meridiana?
7.3 Cones Equiláteros
Um cone reto é cone equilátero quando sua seção meridiana
for um triângulo equilátero.
Cones 59
Reflita
Dois babilônicos
conversavam sobre
cones quando
resolveram dividir
dois cones em
metades iguais.
Colocaram as
partes cortadas
viradas para a areia
próxima ao rio
Eufrates. Seguiram
com o diálogo
e, passado um
tempo, retiraram as
metades de cones
da areia e notaram
que formaram-
se triângulos.
Souberam imedi-
atamente que um
deles é isósceles,
quais são os outros
possíveis triângu-
los? Justifique sua
resposta.
7.4 Área
Mentes Brilhantes
Nicolau Copérnico (1473-1543) resgatou os estudos e hipóteses heliocêntricas de
Aristano e construiu toda a teoria dos planetas orbitarem em torno do Sol, partindo da
proporcionalidade de arcos e semelhança de triângulos.
Abrindo o cone em um plano:
Área da superfície de um cone será um setor circular, de acordo com a figura.
Para o cálculo da área lateral podemos utilizar uma regra de três simples.
Se o comprimento do setor circular de raio g fosse 2πg (circunferência de um círculo de
raio g), sua área seria πg2 (área de um círculo de raio g).
Pesquisa
O que é um setor cir-
cular?
2πg — πg2
2πr — Al
Al =2πrπg2
2πg
Logo a área lateral é:
Al = πrg
Área da base:
60
Ab = πr2
Área total é igual à área lateral somada à área da base.
At = Al +Ab
At = πrg+πr2
At = πr(g+ r)
Exemplo
Pedro é proprietário de uma fazenda, ele utiliza um funil cuja circunferência mede
aproximadamente 60cm e possui 10cm de altura. Ele precisa de um funil maior, então
decidiu ele mesmo construir, sabe-se que que o maior possui o dobro da circunferência
e com altura 80% maior do que o antigo. Quanto de material será gasto por Pedro?
(Use π ≈ 3)
Solução
C1 = 60cm; h = 10cm;π ≈ 3
Novo funil: C2 = 2 ·60 = 120m; h = 1,8 ·10 = 18cm
Para encontramos o raio: 2πr =C2
Substituindo: C2 ≈ 2 ·3r = 120
Logo r ≈ 20cm
Utilizando Pitágoras: g2 = 182 +202
Logo g≈ 27
Sabemos que aréa lateral é πrg.
Então Al ≈ 3 ·20 ·27 = 1620cm2
Portanto Pedro precisará de aproximadamente 1620cm2 de material.
Há outra forma de resolver esse problema? Se π não fosse aproximado para 3, resolva
em função de π .
Cones 61
Exercícios
1. Determine a área total e o volume de um cone
reto de raio da base medindo 3cm e altura medindo
4cm.
2. (Ufv 2004) Um chapéu, no formato de um cone
circular reto, é feito de uma folha circular de raio
30cm, recortando-se um setor circular de ângulo
θ =2π
3radianos e juntando os lados. A área da
base do chapéu, em cm2, é:
(a) 140π
(b) 110π
(c) 130π
(d) 100π
(e) 120π
3. (Uel) Um cone circular reto tem altura de 8cm e
raio da base medindo 6cm. Qual é, em centímetros
quadrados, sua área lateral?
(a) 20π
(b) 30π
(c) 40π
(d) 50π
(e) 60π
4. Um cone de trânsito, é um cone reto, a geratriz é
igual a duas vezes o diâmetro da base. Determine
a quantidade de plástico em função de r utilizado
para fabricar 10cones.
5. Determine a medida da geratriz de um cone cir-
cular reto que apresenta uma área total de 3768cm2
e raio da base medindo 15cm.
6. Quantos centímetros quadrados de cartolina
serão necessários para fazer o chapéu de palhaço cu-
jas medidas são altura igual a 20cm e circunferência
igual 10πcm?
62
7.5 VolumePesquisa
Quem foi Aristano?
Utilizando o princípio de Cavalieri, podemos estabelecer uma comparação entre uma
pirâmide e um cone, ambos de mesma altura h. Deste modo, obteremos que o volume do
cone é:
V = 13 Abh
Onde Ab é a área da base.
Substituindo o valor de Ab, obtém:
V =13
πr2h
Exemplo
Um casal foi na sorveteria com seus dois filhos, eles tomaram sorvete em casquinhas
cônicas. Os filhos fizeram o pedido na casquinha menor, cujo raio é 3cm e 10cm de
altura, o casal fez o pedido na casquinha maior, cuja capacidade é58
maior que a
pequena. (Use π ≈ 3,14). Qual é a capacidade, aproximada, da casquinha maior?
Solução
r = 3cm; h = 10cm; π ≈ 3,14
Sabemos que V =43
πr2h
Volume da casquinha pequena: Vp ≈43·3,14 ·32 ·10 = 94,2cm3
Volume da casquinha grande: Vg =Vp +58
Vp = (1+58)Vp =
138
Vp
Logo: Vg ≈138·94,2 = 153,08cm3
Portanto a capacidade da casquinha maior é aproximadamente 153,08cm3.
Há outra forma de resolver esse problema? Se π não fosse aproximado para 3,14?
resolva em função de π .
Cones 63
Exercícios
1. Calcule o volume de um cone circular reto cujo
raio da base mede 4m e geratriz 6m.
2. (PUC-MG) Um monte de areia tem a forma de
um cone circular reto, com volume 4V = 4πm3. Se
o raio da base é igual a dois terços da altura desse
cone, pode-se afirmar que a medida da altura do
monte de areia, em metros, é:
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
3. (Fatec) A altura de um cone circular reto mede
o triplo da medida do raio da base. Se o compri-
mento da circunferência dessa base é 8πcm, então o
volume do cone, em centímetros cúbicos, é:
(a) 64π
(b) 48π
(c) 32π
(d) 16π
(e) 8π
4. Observe a ampulheta cujas medidas estão indi-
cadas na figura. Qual é o volume de areia necessária
para encher completamente um cone dessa ampul-
heta?
5. (Cefet-PR) O raio da base de um cone circular
reto mede 3m e o perímetro de sua seção meridiana
mede 16m. O volume desse cone mede:
(a) 8πm3
(b) 10πm3
(c) 14πm3
(d) 12πm3
(e) 36πm3
6. Um coador tem a forma da figura dada. Seu topo
circular tem 13cm diâmetro e a altura da vasilha é
23cm. Qual é a capacidade máxima que essa vasilha
pode conter em litros?
64
7.6 Troncos
Se um plano paralelo à base intersecta um cone, a uma determinada
altura, terá construído um novo sólido, chamado de tronco de cone.
Comparando o tronco de cone com um cone, nota-se que o tronco possui duas bases
circulares, tal que uma seja maior do que a outra. Dessa forma os cálculos envolvendo áreas
de superfície e volume envolverá a medida de ambas as bases.
A geratriz, também está presente na composição do tronco de cone, assim como a altura,
todavia elas não devem ser confundidas porque são elementos distintos, como já visto.
Área da superfície do tronco de cone é dada por:
As = πg(R+ r)
Reflita
Com os conheci-
mentos adquiridos,
explique a fórmula
para área superficial
do tronco de um
cone.
Volume do tronco de cone é dado por:
V =πh3(r2 + rR+R2)
Cones 65
Exemplo
João analisou que um corpo descartável possui a forma de um tronco de cone, cuja
as medidas tiradas por João foi: base menor mede 2cm e base maior mede 50% a
mais, a altura é cinco vezes maior do que a base menor. Qual a quantidade de plástico
utilizado para a fabricação de um copo? Qual o seu volume máximo? (Use π ≈ 3,14)
Solução
r = 2cm; R = 2 ·1,5 = 3cm; h = 10cm
Por Pitágoras, temos que g2 = (R− r)2 +h2
Substituindo, temos que g2 = 102 +12
Logo, g =√
101cm
Sabemos que Al = πg(R+ r)
Subistituindo, temo que Al ≈ 3,14 ·√
101(3+1)≈ 126,23cm2
A área da base menor é πr2 ≈ 3,14 ·22 = 12,56cm2
A quantidade de plático em um copo é área da base menor somado a área lateral,
então: 12,56cm2 +126,23cm2 = 138,79cm2
Portanto será utilizado aproximadamente 138,79cm2 de plástico para um copo.
Para cálculo do volume, sabemos que V =πh3(r2 + rR+R2)
Substituindo V ≈ 3,14 ·103
(22 +2 ·3+32)≈ 198,67cm3
Portanto o volume do copo é aproximadamente 198,67cm3.
Há outra forma de resolver esse problema? Se π não fosse aproximado para 3,14,
resolva em função de π .
66
Cones 67
Exercícios
1. (Ufg) A figura a seguir representa um tronco
de cone, cujas bases são círculos de raios de 5cm e
10cm, respectivamente, e altura 12cm.
Considerando-se esse sólido,
( ) a área da base maior é o dobro da área da base
menor.
( ) o volume é menor que 2000cm3.
( ) o comprimento da geratriz AB′ é 13cm.
( ) a medida da área da superfície lateral é 195πcm2
2. Um depósito de combustível tem a forma de um
tronco de cone. Suas dimensões são: raios igual
a 5m e 8m e altura é igual a 4m, determine a área
superficial desse depósito.
3. (OBMEP) Um cone circular reto e seccionado
por um plano paralelo a sua base à 23 de seu vértice.
Se chamarmos V o volume do cone, então o volume
do tronco de cone resultante vale:
(a) 8V27 (b) 2V
3 (c) 4V9 (d) 19V
27
4. (OBMEP) Uma forma de bolo, de 10cm de al-
tura, e formada por dois troncos de cone, conforme
a figura. Determine a quantidade máxima de massa
líquida de bolo que pode ser colocada na forma, se
esta massa deve ocupar apenas 80% de sua capaci-
dade, pois deve existir uma margem para que o bolo
cresça.
Calcule o tronco do cone cujo raio da base maior
mede 25cm, o raio da base menor mede 10cm e a
altura é de 15cm.
5. (PM RJ – IBFC 2012). Um cone reto é sec-
cionado por dois planos paralelos a sua base e que
dividem sua altura em três partes iguais. Os três
sólidos obtidos são: um cone de volume V1, um
tronco de cone de volume V2 e um tronco de cone de
volume V3, com V1 <V2 <V3. Se V 1 = K, podemos
concluir que:
(a) V2 = 3KeV3 = 9K
(b) V2 = 8KeV3 = 27K
(c) V2 = 6KeV3 = 27K
(d) V2 = 7KeV3 = 19K
6. Uma peça de acrílico tem a forma da figura dada.
Suas medidas são: 20cm de altura, 8cm de raio nas
extremidades e 4cm de raio no centro. Qual é a área
superficial e o volume de acrílico usado para fazer
essa peça?
68
Esferas
Em nosso cotidiano deparamos com muitos objetos esféricos, dentre muitos temos, por
exemplo, uma bola de bilhar.
Reflita
Considerando a
bola de bilhar um
objeto esférico, em
sua casa, quais obje-
tos que possuem a
mesma forma?
Considere um plano α e neste contém um ponto O. o conjunto de todos os pontos no
plano α que estão a uma distância r do ponto O, é o que se chama de circunferência com
raio r e centro O.
Agora considere todos os pontos do plano α que estão a uma distância menor ou igual a
r do ponto O, é o que se chama de círculo com raio r e centro O.
Considere agora, um ponto O que está situado no espaço. O conjunto de todos os pontos
que estão a uma distância r do ponto O, é o que se chama de superfície esférica com raio r
e centro O.
Por fim,
Esferas 69
Considere todos os pontos ainda no espaço que estão a uma distância menor
ou igual a r do ponto O, é o que se chama de esfera com raio r e centro O.
8.1 Esfera de Revolução
Tem-se metade de um círculo de raio r, nesta metade temos um único diâmetro com
comprimento de 2r, rotacionando 360o o semicírculo em torno de uma reta s que contém o
diâmetro construirá uma esfera. E ainda, a intersecção da reta s com a superfície esférica são
dois pontos que chamamos de polos.
Reflita
Dois chineses
conversavam sobre
esferas, quando
resolveram di-
vidir uma esfera
com vários cortes
longitudinais.
Colocaram as
partes cortadas
viradas para a areia
próxima ao rio
Amarelo. Seguiram
com o diálogo e,
passado um tempo,
souberam dizer
que todos os cortes
feitos eram círculos
visto de cima, mas
não conseguiram
identificar as difer-
enças entre eles.
Identifique essas
diferenças e re-
sponda: há alguma
razão entre elas?
Quantos desses
círculos passam
pelo centro?
8.2 Volume
Mentes Brilhantes
Arquimedes (287 a.C.-212a.C.) escreveu sobre a Esfera e o Cilindro em dois volumes.
Onde ele demonstra a área e o volume de uma esfera, ainda há muitas proposições e
tava sobre vários problemas.
Novamente, voltando ao princípio de Cavalieri, fazendo uma analogia entre uma esfera de
raio r e um cilindro equilátero também de raio r.Desse cilindro retira-se dois cones com raio
r e centro no ponto médio da altura do cilindro.
70
Mostrando que as seções obtidas na esfera e no sólido que restou com a retirada dos cones
têm a mesma área, pelo Principio de Cavalieri, poderemos obter o volume da esfera através
do cálculo do volume do sólido formado.
Temos então:
Ves f era =Vcilindro−2Vcone
Ves f era = πr22r− 23
πr2r
Ves f era =43
πr3
Exemplo
Em uma pesquisa feita em uma fábrica de bolas de basquete, uma das perguntas
era qual o volume máximo aproximado em litros, desconsiderando a elasticidade do
material? Sabendo que o diâmetro é 0,6m. (Use π ≈ 3,1 e 1cm3 = 0,001l)
Solução
Diâmetro = 60cm; r = 30cm; π ≈ 3,1
Sabemos que o volume é dado por V =43
πr3, substituindo, temos, Ve ≈43
3,1 ·303 =
111600cm3.
Como 1cm3 = 0,001l, temos que 111600.0,001l = 111,6l
Portanto o volume máximo da bola é aproximadamente 111,6l.
Há outra forma de resolver esse problema? E π não fosse aproximado para 3,1 resolva
em função de π .
Esferas 71
Exercícios
1. (Ufrj) Sendo S uma esfera de raio r, o valor pelo
qual deveríamos multiplicar r, a fim de obtermos
uma nova esfera S′, cujo volume seja o dobro do
volume de S, é:
(a)√
32
(b) 2√
32
(c) 2
(d) 3
(e)√
3
2. Duas bolas de chumbo, uma de 4cm e outra de
8cm de raio, fundem-se e formam outra bola. Cal-
cule o raio
dessa nova bola.
3. Determine a área de uma esfera, sendo que o seu
volume é 3053cm3 o seu volume.
4. Uma mini fábrica de bombons deseja produzir
2000 unidades no formato de uma esfera de raio
1,5cm.
Determine o volume de cada bombom e a quanti-
dade de chocolate necessária
para produzir
esse número de
bombons.
5. O que ocorre com o volume de uma esfera
quando duplicamos a medida de seu diâmetro? E
quando triplicamos a medida do seu raio?
6. O raio da Terra é aproximadamente oito vezes o
diâmetro da Lua. Sendo que o Vl o volume da Lua e
Vt o da Terra, podemos concluir que:(a) Vt = 2Vl
(b) Vt = 4Vl
(c) Vt = 16Vl
(d) Vt = 64Vl
(e) Vt = 48Vl
72
8.3 Área
Área da superfíciePesquisa
Quem foi Johannes
Kepler? Pode-se imaginar como se a superfície esférica estivesse “recoberta” por uma malha
constituída um número n muito grande (tendendo ao infinito) de polígonos.
Imaginando ainda que todos esses polígonos estejam “ligados” ao centro da esfera, ela ficará
subdividida em uma quantidade proxima ao infinita de pirâmides.
Ainda pode-se considerar que a área de cada um desses pequenos polígonos seja A, que a
soma de todos eles seja igual à área da superfície esférica (S) e que a soma dos volumes
desses pirâmides seja igual ao volume da esfera. A altura de cada um dessas pequenas
pirâmides será aproximadamente igual ao raio R, da esfera.
esfera.png esfera.png
A1R3
+A2R
3+
A3R3
+ ...+AnR
3=
4πR3
3(A1 +A2 +A3 + ...+An)R
3=
43
πR3
SeR3
=4πR3
3⇒ Se = 4πR2
Então a área da superfície é dada por:
Se = 4πr2
Esferas 73
Exemplo
Em uma fábrica de bolas de basquete, produz bolas com 30cm de raio, sabe se que sua
produção é de 20 bolas/h. Quanto de material será gasto em m2, aproximadamente,
em um período de 8 horas? (Use π ≈ 3,14)
Solução
r = 30cm; π ≈ 3,14
Sabemos que a área lateral de uma esfera é 4πr2, substituindo, temos que 4 ·3,14 ·
202 = 11304cm2.
São fabricadas 8 ·20 = 160 bolas.
Logo, aproximadamente 160 ·11304 = 1808640cm2 de material
Sabemos que 1cm2 = 0,0001m2, então 1808640 ·0,0001≈ 180,9m2
Portanto o material gasto para fabricar 20 bolas é de aproximadamente 180,9m2
Há outra forma de resolver esse problema? Se π não fosse aproximado para 3,14,
resolva em função de π .
74
Exercícios
1. Qual é a área de uma esfera cujo raio mede
40cm? Considere π = 3,14.
2. Qual o raio do sol sabendo que suaárea de superfície é
aproximadamente
4,08.1018km2?
(Use π ≈ 3)
3. (Unitau) Aumentando em 10% o raio de uma
esfera a sua superfície aumentará:
(a) 21%.
(b) 11%.
(c) 31%.
(d) 24%.
(e) 30%.
4. Sabendo que o raio da Terra 6371km, cal-
cule a área do “Globo” terrestre, em km2.
5. O tatu bola pesa em média 1,2kg, quanto em
perigo ele se enrola, aproximando de uma esfera,
sua circunferência (que passa pela origem) mede
144cm, qual é a
área aproximada da
casaca do tatu? (use
π ≈ 3)
Esferas 75
8.4 Fuso e Cunha Esférica
Parcelas da superfície esféricas que contêm os polos, chamam-se fusos esféricos.
A área do fuso esférico pode ser obtida utilizando uma regra de três simples, para isso
basta apenas compará-la com a superfície esférica.
Ae — 360o
A f — α
A f =αAe
360o
A f =α4πr2
2π
A f = α2r2
Parcelas da esfera que contêm os polos, chamam-se cunhas esféricas.
O volume da cunha esférica também pode ser obtido utilizando regra de três simples, basta
apenas compará-la com o volume da esfera.
Reflita
Com os conheci-
mentos adquiridos,
encontre uma fór-
mula para volume
do fuso esférico.
76
Exemplo
Um agricultor de melancias teve uma boa colheita, em media, as melancias colhidas
foram grandes e redondas, por acidente, uma das melancias se quebrou ao meio, o
agricultor por curiosidade, mediu o diâmetro e chegou a 40cm. Ele cortou um pedaço
em for de cunha, de tal forma que seja1
12da melancia inteira. Qual é o volume do
pedaço e qual a área da casca da melancia? (Use π ≈ 3,14).
Solução
Diâmetro = 40cm; r = 20cm; π ≈ 3,14
Sabemos que o volume da melancia inteira é43
πr3, substituindo, temos que43·3,14 ·
203 ≈ 33493,3cm3.
No problema ele diz que o pedaço é1
12do volume total. Logo
112
33493,3 ≈
2791,1cm3
Portanto o volume do pedaço é 2791,1cm3.
Se uma esfera é meio círculo rotacionado em 360◦ e queremos d 112 , então: α =
360◦
12= 30◦ =
π
6.
Sabendo que o fuso é dado por α2r2, substituindo, temos:π
6·2 ·202 ≈ 418,7cm2.
Portanto a área do pedaço da casca é aproximadamente 418,7cm2.
Há outra forma de resolver esse problema? Se π não fosse aproximado para 3,14,
resolva em função de π .
REVISÃO E RESUMO 77
Exercícios
1. (USP) A área de um fuso esférico cujo ângulo
medeπ
3rad, em uma esfera de 12cm de raio, é:
(a) 96πcm2
(b) 69πcm2
(c) 72πcm2
(d) 64πcm2
(e) n.d.a.
2. Uma tangerina tem a forma esférica com 10cm
de diâmetro e é dividida em como que se aproxima
de 30 ◦. Assim sendo, qual é, aproximadamente,
quanto mede membrana que envolve um gomo?
Qual o volume desse gomo? Adote: π ≈ 3,14.
3. De uma esfera de raio 8cm retira-se uma cunha
de 60 ◦. Pretende-se colorir a superfície dessa cunha.
Calcule o volume de tinta necessário, em litros,
sabendo que se gasta 1cm3 por cm2 da superfície.
Considere π ≈ 3.
4. O diâmetro do olho de um alienígena mede 10cm.
Qual é a área do campo de visão do alienígena se o
ângulo do fuso é 30 ◦?
5. Qual é o ângulo de um fuso, na qual sua área
é 737cm2 aproximadamente, e sua circunferência é
50,3cm.
6. Calcule a área da casca e o volume de uma fa-
tia de goiaba cujo raio é 10cm e α = 80 ◦ (imagem
meramente ilustrativa)
REVISÃO E RESUMO
Cilindro Circular: chamamos de cilindro ou cilindro circular,
o conjunto de todos os segmentos paralelos a reta que passa
por OO′ que possuem extremidades sob a circunferência de
raio r e centros O e O′.
Cilindro Reto e Oblíquo: Quando a projeção ortogonal do
centros das bases coincidem uma sobre a outra, chama-se
cilindro reto.Quando a projeção ortogonal do centros das
bases não coincidem uma sobre a outra, chama-se cilindro
oblíquo.
Secção Meridiana de um cilindro reto é a intersecção entre a
superfície e um plano perpendicular aos planos que contém
as bases e que contém o eixo.
Um cilindro reto é cilindro equilátero quando sua seção
meridiana for igual a um quadrado.
Área Lateral do Cilindro é dada por:
78
Al = 2πrh
Área Total do Cilindro é dada por:
At = Al +Ab
At = 2πr(h+ r)
Volume do Cilindro é dado por:
At = πr2h
Cone Circular: chamamos de cone circular, ou apenas cone,
o conjunto de todo os segmentos com uma das extremidades
na circunferência de centro O e a outra no ponto V .
Cone Reto e Oblíquo: Cone reto é aquele cuja projeção or-
togonal do vértice sobre a base coincidem como centro da
mesma. Cone oblíquo é aquele cuja projeção ortogonal do
vértice sobre a base não está centro da mesma.
Secção Meridiana de um cone reto é a intersecção entre sua
superfície total, um plano perpendicular ao plano que contém
a base e que passa pelo vértice.
Um cone reto é cone equilátero quando sua seção meridiana
for um triângulo equilátero.
Área Lateral do Cone é dada por:
Al = πrg
Área Total do Cone é dada por
At = Al +Ab
At = πr(g+ r)
Volume do Cone é dado por:
V =13
πr2h
Tronco de Cone: Se um plano paralelo a base intersecta um
cone, a uma determinada altura, terá construído um novo
sólido, chamado de tronco de cone.
Área da superfície do tronco de cone é dada por:
As = πg(R+ r)
Volume do tronco de cone é dado por:
V =πh3(r2 + rR+R2)
Esfera: considere todos os pontos ainda no espaço que estão
a uma distância menor ou igual a r do ponto O, é o que se
chama de esfera com raio r e centro O.
Área da superfície esférica é dada por:
Se = 4πr2
Volume da esfera é dado por:
Ve =Vci−2Vco
Ve =43
πr3
Parcelas da superfície esféricas que contém os polos, chama-
se fusos esféricos.
Parcelas da esfera que contém os polos, chama-se cunha
esférica.
REVISÃO E RESUMO 79
Exercícios Complementares
1. (MACKENZIE-2000) Aumentando-se de 50%
o raio da base do cilindro I, obteve-se o cilindro II,
cuja área lateral é igual à área total do primeiro. Se
o volume do cilindro I é 16π então a altura h dos
cilindros I e II é:
a) 10
b) 8
c) 6
d) 4
e) 2
2. (MACKENZIE-2002) Um cilindro reto C1 tem
altura igual ao diâmetro da base e um cilindro
C2, também reto, tem altura igual a oito vezes o
diâmetro da base. Se a razão entre os volumes de
C1 e de C2 é 127 , então a razão entre os respectivos
raios é:
a) 19
b) 227
c) 127
d) 13
e) 23
3. (IBMEC-RJ-2002) Uma tora de madeira, com a
forma de um cilindro reto, de base circular e altura
h, é cortada, de modo a se obter um prisma de base
quadrada, conforme indica a figura. Para efeito de
cálculo,
considere: π ≈ 3. Assim, a razão entre o volume do
prisma e o volume da tora será igual a:
a) 12
b)√
22
c)√
23
d) 2√
23
e) 23
4. (UNESP-JULHO-2007) Considere um prisma
reto de altura h cujas bases são triângulo equiláteros
de lado a e altura h. Conforme a figura. Nele,
inscreve-se um cilindro.
a) Obtenha em função de a.
b) Calcula a razão da área lateral do prisma pela
área lateral do cilindro.
80
5. (FGV-RJ-2003) Um copo cilindro de 6cm de
diâmetro e 10cm de altura está cheio d’água, em
cima da pia da cozinha. Inclinando lentamente o
copo até que a sua base faça 45 ◦ com o plano da
pia (supostamente horizontal), alguma quantidade
de água derrama. A quantidade de água que per-
maneceu dentro do copo é igual a:
a) 65% da inicial.
b) 70% da inicial.
c) 75% da inicial.
d) 80% da inicial.
e) 86% da inicial.
6. (FUVEST-2007) Um castelo está cercado por
uma vala cujas bordas são dois círculos concêntri-
cos de raios 41m e 45m. A profundidade da vala é
constante e igual a 3m.
O proprietário decidiu enchê-la com água e, para
este fim, contratou caminhões-pipa, cujos reser-
vatórios são cilindros circulares retos com raio da
base de 1,5m e altura igual a 8m. Determine o
número mínimo de caminhões-pipa necessário para
encher completamente a vala.
7. (UFSCAR-2003) A figura representa um gal-
heteiro para a colocação de azeite e vinagre em
compartimentos diferentes, sendo um cone no inte-
rior de um cilindro. Considerando h como a altura
máxima de líquido que o galheteiro comporta e a
razão entre a capacidade total de azeite e vinagre
igual a 5, o valor de h é:
a) 7cm
b) 8cm
c) 10cm
d) 12cm
e) 15cm
8. (FUVEST-94) Deseja-se construir um cone cir-
cular reto com 4cm de raio da base e 3cm de altura.
Para isto, recorda-se em cartolina, um setor circular
para a superfície lateral e um círculo para a base. A
medida do ângulo central do setor é:
a) 144 ◦
b) 192 ◦
c) 240 ◦
d) 288 ◦
e) 336 ◦
REVISÃO E RESUMO 81
9. (FUVEST-90) Um pedaço de cartolina possui a
forma de um semicírculo de raio 20cm. Com essa
cartolina um menino constrói um chapéu cônico e o
coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual é
a distância do bico do chapéu à mesa?
a) 10√
3cm
b) 3√
10cm
c) 20√
2cm
d) 20cm
e) 10cm
10. (ITA-2002) Seja S a área total da superfície de
um cone circular reto de altura h, e seja m a razão
entre as áreas lateral e da base desse cone. Obtenha
uma expressão que forneça h em função apenas de
S e m.
11. (MACKENZIE-2004) Uma xícara de chá tem a
forma de um tronco de cone reto, conforme a figura.
Supondo π ≈ 3, o volume máximo de líquido que
ela pode conter é:
a) 168cm3
b) 172cm3
c) 166cm3
d) 176cm3
e) 164cm3
12. (PUC-SP-2002) A tira seguinte mostra o Ce-
bolinha tentando levantar um haltere, que é um hal-
tere, que é um aparelho feito de ferro, composto
de duas esferas acopladas a um bastão cilíndrico.
Suponha que cada esfera tenha 10,5cm de diâmetro
e que o bastão tem 50cm de comprimento e diâmetro
da base medindo 1,4cm. Se a densidade do ferro é
7,8g/cm3, quantos quilogramas, aproximadamente,
o Cebolinha tentava levantar? (Use: π =227
)
a) 18
b) 16
c) 15
d) 12
e) 10
82
13. (UNESP-JULHO-2003) Em um tanque cilín-
drico com raio de base R e altura H contendo água,
é mergulhada uma esfera de aço de raio r, fazendo
com que o nível da água suba 16 R, conforme mostra
a figura.
a) Calcule o raio r da esfera em termos de R.
b) Assuma que a altura 4H do cilindro é 4R e que
antes de a esfera ser mergulhada, a água ocu-
pava 34 da altura do cilindro. Calcule quantas
esferas de aço idênticas à citada podem ser
colocadas dentro do cilindro, para que a água
atinja o topo do cilindro sem transbordar.
14. (PUC-PR-2004) Um cone circular reto de vol-
ume A, um cilindro circular reto de volume M, e
uma esfera de volume C têm todos o mesmo raio,
e a altura comum do cone e do cilindro é igual ao
diâmetro da esfera. Para estes sólidos, qual das
seguintes relações é válida?
a) A−M+C = 0
b) A+M =C
c) 2A = M+C
d) A2˘M2 +C2 = 0
e) 2A+2M = 3C
15. (FUVEST-2009) Um fabricante de cristais pro-
duz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas
tem o bojo no formato de uma semi-esfera de raio r ;
a outra, no formato de um cone reto de base circular
de raio 2r e alturah; e a última, no formato de um
cilindro reto de base circular de raio x e altura h.
Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando com-
pletamente cheias, comportam a mesma quantidade
de vinho, é correto afirmar que a razão xh é igual a:
a)√
36
b)√
33
c) 2√
33
d)√
3
e) 4√
33
16. (MACKENZIE-2001) Na figura, a esfera foi in-
troduzida no cone e verificou-se que VM = 4, sendo
que M ponto de tangência. Se o cone reto tem altura
12 e raio da base 9, o volume da esfera é:
a) 12π
b) 48π
c) 32π
d) 36π
e) 64π
REVISÃO E RESUMO 83
17. (UNICAMP-2001) A base de uma pirâmide é
um triângulo equilátero de lado L = 6cm e aresta
laterais das faces A = 4cm.
a) Calcule a altura da pirâmide.
b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide?
18. (VUNESP) Uma quitanda vende fatias de melan-
cia embaladas em plástico transparente. Uma melan-
cia com forma esférica de raio de medida Rcm foi
cortada em 12 fatias iguais, onde cada fatia tem a
forma de uma cunha esférica, como representado na
figura.
Sabendo que a área de uma superfície esférica de
raio Rcm é 4πR2cm2, determine, em função de π e
de R:
a) a área da casca de cada fatia de melancia (fuso
esférico;)
b) quantos centímetros quadrados de plástico foram
necessários para embalar cada fatia (sem nen-
huma perda e sem sobrepor camadas de plás-
tico), qual é a área da superfície total de cada
fatia?
19. (CESGRANRIO-RJ) Um tanque cônico, de eixo
vertical e vértice para baixo, tem água até metade
da sua altura. Se a capacidade do tanque é de
1200litros, então a quantidade de água nele exis-
tente é de:
a) 600litros
b) 450litros
c) 300litros
d) 200litros
e) 150litros
20. (FAAP-SP) Um copo de chope é um (oco) cuja
altura é o dobro do diâmetro. Se uma pessoa bebe
de um copo cheio até que o nível de bebida fique
exatamente na metade da altura do copo, a fração
do volume total que deixou de ser consumida é:
a) 34
b) 12
c) 23
d) 38
e) 18
84
Ligação Interdisciplinar
A geometria espacial, não está apenas nas mentes de matemáticos malucos que colocam suas ideias em livros para
ocupar os alunos. Ela é concreta e palpável, está em nosso dia a dia e podemos vê-la a todo instante, mas fingimos que
ela não existe. Foi possível trabalhar vários exemplos nas quais ela está em nosso dia a dia durante todo o capítulo.Para ligar a geometria espacial com as demais disci-
plinas, pode ser feito uma maquete, nesta será repre-
sentado por exemplo: escola, casa, bairro, cidade, ou
qualquer outro lugar. Vamos tomar o ambiente escolar
como exemplo.Em uma maquete que represente o ambiente escolar, podemos trabalhar várias disciplinas. Tento relações diretas ou
indiretas, mas todas as disciplinas podem estar trabalhando juntas.
Na matemática, o uso dos sólidos e das suas particularidades; na biologia, o estudo do ecossistema; na geografia,
o estudo do espaço, relevo; na física, o equilíbrio, a energia; na arte, a construção da maquete, o uso das cores; na
química, estados físicos da matéria; inglês/português, a nomeação dos ambientes; história, como surgiu este ambiente
neste lugar; educação física, as táticas de jogos na quadra ou em outros ambientes.
Pode ser trabalho também outros diversos conteúdos, dependendo dos objetivos esperados do trabalho, apenas use
a imaginação e #ligueparaasdemaisdisciplinas.
REVISÃO E RESUMO 85
Fechamento de módulo
Agora que você já aprendeu sobre os sólidos geométricos, é hora de fazer um experimento para colocar esses
conhecimentos em prática. Neste experimento faremos aproximações para descobrir quantos metros quadrados um ser
humano tem de pele. Para isso, você escolherá sólidos geométricos que se assemelham às partes do corpo e então,
depois de calcular a área da superfície destas figuras, obterá um valor estimado para a área da sua pele.
A Folha do Aluno que está anexada na página seguinte guiará o experimento. Forme um trio com seus colegas,
cada um usando a sua Folha. Vocês precisarão de uma fita métrica e uma calculadora. Preencha cada lacuna de acordo
com as seguinte instruções:
• Faça uma estimativa do quanto você tem de pele e registre seu palpite na sua Folha. Anote também sua massa e
altura.
• Escolha um modelo entre os integrantes do trio e defina qual sólido aproximará cada parte de seu corpo. Registre
as decisões na sua Folha.
• Use a fita métrica para medir o que for necessário para calcular as áreas da superfície dos sólidos escolhidos na
aproximação. Registre as medidas na sua Folha
• Agora use a Fórmula de Mosteller para descobrir qual é a estimativa que um médico daria para o quanto o
modelo do trio tem de pele e compare com o valor calculado.
86
Quanto você tem
de pele? Folha do aluno
Geom
etria e medidas
Folha do aluno
Comentários iniciais
A pele é o maior órgão do corpo hum
ano. Ela acumula
várias funções como proteção, regulação da tem
pe-ratura, arm
azenamento de energia e sensibilidade.
Mas qual será o tam
anho deste órgão que tem tantas
funções importantes?
Procedimento
Etapa 1 Sólidos que formam
o corpo
1.1
Preencha a tabela 1 deixando em branco a últim
a coluna. Retornarem
os a ela no Fechamento deste
experimento.
Como m
edir a área da pele?
Etapa 2 Área da pele
2.1 Escolha um
mem
bro do grupo para ser o modelo;
2.2
Decida qual sólido geométrico representará cada parte
do corpo do modelo e preencha a tabela 2;
Aluno modelo:
M
assa: Altura:
Mosteller:
Palpite:
Agora, meça o m
odelo do grupo e calcule a área da superfície de cada sólido escolhido por vocês.
Quais m
edidas são necessárias para obter a área da superfície de cada sólido?
A dosagem
de alguns remédios pode variar de acordo
com a área da pele de cada paciente. Para calcular esse
valor, os médicos utilizam
a seguinte fórmula:
A=
√h·m
60h
m,
onde A
=
√h·m
60h
m é a altura em
centímetros e
A=
√h·m
60h
m é a m
assa em
quilogramas. Calcule a área da pele de todos do seu
grupo usando este método e anote na tabela 1.
O
valor estimado por vocês para o aluno m
odelo foi próxim
o do valor obtido através da fórmula? Q
ual foi a diferença em
porcentagem?
Nome
Palpite (m
²)M
assa (kg)
Altura (cm
)Área pela fórm
ula de M
osteller
Sólido geom
étricoFórm
ula para a área da superfície
Valor obtido de área
Área da pele
Partes do corpoForm
a geométrica
semelhante
tabela 1tabela 2 Tabela para ser reproduzida no caderno
tabela 3 Tabela para ser reproduzida no caderno
Pense e responda
Pense e responda
REVISÃO E RESUMO 87
Referências dos conteúdos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA : COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA : MANUAL DO PROFESSOR,
VOLUME 2. Edição de Fabio Martins de Leonardo. 3. ed. São Paulo, SP: Moderna, 2016.
DANTE, L. R. Coleção Matemática, 3a série: 1. ed. São Paulo: Ática, 2006.
DOLCE, O; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, Volume 10: 5. ed. São Paulo: Atual.
GABEIRA, V. M. Prismas Módulo 21 – Frente 4. Disponível em <http://slideplayer.com.br/slide/8644296/>. Acesso em
outubro de 2017.
IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática - Volume Único: 4. ed. Sâo Paulo, SP: Atual, 2007.
IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática - Volume Único: 5 ed. Sâo Paulo, SP: Atual, 2011.
JAKUBOVIC, J; TROTTA, F; IMENES, L. M. P; CAVALCANTI, J. C. C; HALLER, V; CAMPOS, F.N.S; Matemática
Aplicada
M3 - Matemática Multimídia. Fechamento de módulo Quanto Você Tem de Pele? Disponível em:
http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1032. Acessado em novembro de 2017.
REDAÇÃO TERRA. Afinal por que a Torre de Pisa é torta? Disponível em:
http://noticias.terra.com.br/educacao/vocesabia/interna/0„OI2112500-EI8401,00.html. Acessado em novembro de 2017.
SOUSA, Rainer Gonçalves. "Torre de Pisa"; Brasil Escola. Disponível em
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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Insituto de física. Bonaventura Francesco Cavalieri (1598 - 1647). Disponível em
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favo-com-alveolos-de-zangao-sobre-a-producao-de-mel-numa-colonia-de-abelhas-do-mel/. Acessado em outubro de
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ALGO SOBRE. Cone obliquo. Disponível em: https://www.algosobre.com.br/images/stories/matematica/cone_03.gif.
Acessado em outubro de 2017
BP BLOGSPOT. Chapéu de palhaço Disponível em:
http://4.bp.blogspot.com/-77iOhAy0GiY/UtRzcjjqfBI/AAAAAAAAJzA/vDQByhSY6pE/s1600/PALHA%C3%87O.png.
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em outubro de 2017
CDN5.COLORIR. Desenho da Terra. Disponível em:
http://cdn5.colorir.com/desenhos/color/201110/52a804ca2f8fd8d5d9e0e9bd820df519.png. Acessado em outubro de 2017
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA : COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA : MANUAL DO PROFESSOR,
VOLUME 2. Classificação de pirâmides. Edição de Fabio Martins de Leonardo. 3. ed. São Paulo, SP: Moderna, 2016.
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA : COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA : MANUAL DO PROFESSOR,
VOLUME 2. Definição de prisma. Edição de Fabio Martins de Leonardo. 3. ed. São Paulo, SP: Moderna, 2016.
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA : COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA : MANUAL DO PROFESSOR,
88
VOLUME 2. Observação sobre Relação de Euler. Edição de Fabio Martins de Leonardo. 3. ed. São Paulo, SP: Moderna,
2016.
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA : COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA : MANUAL DO PROFESSOR,
VOLUME 2. Poliedros convexos e não convexos. Edição de Fabio Martins de Leonardo. 3. ed. São Paulo, SP: Moderna,
2016.
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA : COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA : MANUAL DO PROFESSOR,
VOLUME 2. Princípio de Cavalieri: pilha de folhas. Edição de Fabio Martins de Leonardo. 3. ed. São Paulo, SP: Moderna,
2016.
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA : COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA : MANUAL DO PROFESSOR,
VOLUME 2. Princípio de Cavalieri: seções transversais. Edição de Fabio Martins de Leonardo. 3. ed. São Paulo, SP:
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CONEXÕES COM A MATEMÁTICA : COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA : MANUAL DO PROFESSOR,
VOLUME 2. Tabela sobre Relação de Euler. Edição de Fabio Martins de Leonardo. 3. ed. São Paulo, SP: Moderna, 2016.
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DOLCE, O; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, Volume 10: 5. ed. Classificações do paralelepípedo.
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DOLCE, O; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, Volume 10: 5. ed. Classificações do prisma. São Paulo:
Atual.
DOLCE, O; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, Volume 10: 5. ed. Cubo. São Paulo: Atual.
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IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática - Volume Único: 5 ed. Apótema da pirâmide. Sâo Paulo,
REVISÃO E RESUMO 89
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IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática - Volume Único: 5 ed. Elementos da pirâmide. Sâo
Paulo, SP: Atual, 2011.
IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática - Volume Único: 5 ed. Elementos do prisma. Sâo Paulo,
SP: Atual, 2011.
IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática - Volume Único: 5 ed. Exercícios poliedros convexos.
Sâo Paulo, SP: Atual, 2011.
IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática - Volume Único: 5 ed. Pirâmides semelhantes. Sâo
Paulo, SP: Atual, 2011.
IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática - Volume Único: 5 ed. Sólidos semelhantes. Sâo Paulo,
SP: Atual, 2011.
IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática - Volume Único: 5 ed. Tetraedro regular. Sâo Paulo, SP:
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https://i2.wp.com/img.fciencias.com/uploads/2014/07/Matem%C3%A1tica-Wallpaper-.jpg?resize=800%2C445. Acessado
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REVISÃO E RESUMO 91
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