dimensionnement d'une liaison pivot - savoir

Ecole Normale Superieure de Cachan •M2 Formation d’Enseignants du Superieur

Bureaux d’Etudes

Dimensionnement

Support : Liaison pivot

Figure 1 – Gamme de pelles mecaniques

D’apres dossier agreg 2009 de M.Nierenberger

Dimensionnement d’une liaison pivot 1 Bureaux d’Etudes

Presentation

On se propose de faire l’etude de la tenue mecanique de la liaison pivot entre la fleche et le balancier d’unepelle mecanique Figure 2. L’axe de cette liaison est fortement sollicitee pendant les phases de travail de la pelle.Ayant ete soumis a un traitement thermique, il presente un etat de contraintes residuelles. Le travail propose ici estle dimensionnement de cet arbre a la fois en statique et en fatigue en utilisant differents outils de modelisation decomplexite croissante.

L’objectif de ce bureau d’etudes est de faire une synthese sur le dimensionnement par la resistance des materiauxet la methode des elements finis, en statique et en fatigue.

Figure 2 – Pelles Mecaniques

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Figure 3 – Liaison pivot fleche-balancier

1 Cahier des charges et etude preliminaire

Le cahier des charges que devait satisfaire ce reducteur etait le suivant :

– Puissance du moteur est de 320 kW ;– Force de penetration : 260kN ;– Force de cavage : 335 kN– Duree de vie souhaitee de la pelle : 20000 h ;– Duree de vie souhaitee des equipements : 12500 h ;– Materiau de l’axe : acier haute resistance pour traitement thermique : 34 Cr Ni Mo 6

– Resistance a la Rupture : Rm = 900 a 1100 MPa– Limite elastique : Re =780 MPa

Bureaux d’Etudes 2 Dimensionnement d’une liaison pivot

– Limite d’endurance : σ f =360 MPa– Module d’Young : E = 212 a 216 GPa– Coefficient de Poisson : ν = 0.28

– Traitement thermique de l’axe : trempe par induction sur une profondeur de 3mm environ :– Temperature de trempe : 850-900◦C– Refroidissement : huile– Durete superficielle : 58HRC (env. 655HV)

– Traitement de surface : chromage superficiel (resistance a l’oxydation et aux frottements)– Epaisseur : 30µm– Durete superficielle : 900HV

Question 1 • L’effort applique par le verin sur la fleche est de 1500kN. A l’aide du document de la figure 4 estimer laresultante des efforts appliques sur la liaison etudie.

Question 1 • Elements de solution

On estime :Ffleche→balancier = 1.2×Fverin→balancier = 1800kN

Fsol→godet = 0.2×Fverin→balancier = 300kN

2 Premier dimensionnement de l’arbre

Question 2 • Proposer un modele de type de resistance des materiaux pour la determination des efforts au sein del’arbre. On fera l’hypothese forte que les liaisons dans les paliers sont des rotules.


On propose le modele ci-dessous avec :

F =12

Ffleche→balancier = 900kN


Le dimensions sont OA = L = 297.5mm, OB = αL = 160mm et D = 120mm. Pour le materiau, on utlise E = 212GPa.On obtient donc une section S = 1.13104mm2 et une inertie en flexion I = 1.021013mm4.

Question 3 • Construire les diagrammes des efforts generalises dans la poutre. Determiner la section la plus chargee.


Equilibre :YA = F ; MO =−(1−α)LF

Dans la partie OB, on a :

N = 0 ; T = 0 ; M f =−M0 = (1−α)LF

Dans la partie BA, on a :N = 0 ; T = F ; M f = (L− x)F

La section la plus chargee est en B ou

T = F = 9kN ; M f = (1−α)F = 1.2375105N.m

Question 4 • Proposer des repartitions de contraintes normale et tangentielle dans cette section.


On propose :– une repartition uniforme de la contrainte tangentielle :

τ =TS

= 80MPa

– une repartition lineaire de la contrainte normale avec des valeurs extremales en surface :

σn(max) =±M f

ID2

=±729MPa

Question 5 • Appliquer le critere de Von Mises au point le plus charge de la section.



On obtient :σV M =

√σ2 +3τ2 = 742MPa

ce qui est inferieur a la limite elastique Re = 780MPa.

3 Etude par elements finis

Pour prendre en compte les concentrations de contraintes, on choisit de faire determiner l’etat de contrainte enutilisant un modele elements finis. Le chargement utilise prend en compte des moments parasites qui ne sont pasdetailles ici.

Question 6 • Le modele 3D utilise est propose sur la figure 6. Donner les caracteristiques principales de ce modele.


– prise en compte de la deformations chapes– elements 3D : tetraedres– raffinement sur les zones de contact

Question 7 • La repartition de la contrainte equivalente de Von Mises obtenue a l’aide de ce modele est proposee surla figure 7. Quelques conclusions peut-on tirer de ces resultats ?


– Max = 1400MPa > Re

– dans la section max = 1200MPa– Mais concentration de contraintes :

– la concentration peut etre due a une approximation de la geometrie locale au contact arbre palier.– en realite : plastification locale et contrainte max bien moins importante.

– Hors de la concentration, on retrouve des maxis proches des ceux trouves par la RdM (environ 800MPa)– difficile de conclure

4 Prise en compte des Contraintes residuelles de trempe

L’arbre etudie a subi une trempe avec un chauffage en surface par induction. L’augmentation de la durete super-ficielle est obtenue par une transformation martensitique dans la zone superficielle (epaisseur e = 3mm). La marten-site occupant un volume plus important que le materiau initial, le variation de volume due a la trempe genere descontraintes residuelles dans l’arbre.

Question 8 • Proposer un modele de repartition des contraintes normales residuelles. On releve que la contraintenormale residuelle observee en surface de l’arbre est de −600MPas.


On propose un modele avec contrainte normale de compression uniforme σn(ext) =−600MPa en surface sur uneprofondeur de e = 3mm. Pour respecter l’equilibre global, la contrainte a coeur σn(int), supposee constante, est telleque

σn(ext)π

4(D2− (D−2e)2)+σn(int)

π

4((D−2d)2) = 0


soit σn(int) = 65MPa

Question 9 • En deduire la repartition des contraintes normales totales dans la section.


Question 10 • Proposer un modele de repartition des contraintes circonferentielles residuelles. On releve que lacontrainte circonferentielle residuelle observee en surface de l’arbre est de −600MPas.


Compte-tenu des resultats de la question precedente, les contraintes circonferentielles internes seront plus faiblesa coeur qu’en surface. Le maximum restera sur la peau.

Question 11 • Appliquer le critere de Von Mises au point le plus charge de la section.


Au point le plus charge, on observe l’etat de contrainte suivant :

σ =

−1329 80 080 −600 0

0 0 0


Les contraintes principales sont :

σ1 =−1338MPa ; σ2 =−591MPa ; σ3 = 0MPa

La contrainte equivalente de Von Mises est donc :

1√2

√(σ1−σ2)2 +(σ1−σ3)2 +(σ2−σ3)2 = 1161MPa > Re

Il y a donc clairement risque de plastification et de rupture a cause de la presence des contraintes residuelles.

5 Dimensionnement en fatigue

On souhaite faire un dimensionnement en fatigue de cet arbre. La figure 8 presente une courbe classique tenue enfatigue. Pour l’acier 34 Cr Ni Mo 6 considere, la limite d’endurance est σD = 360MPa.

Question 12 • On considere que le chargement applique a l’arbre provoque un etat de contrainte alterne entre l’etatdetermine a la question 4 et l’etat libre. A l’aide du critere de Sines, determiner si l’arbre fonctionne dans son domained’endurance illimitee.


Sines :σs =

1√2

√(σa1−σa2)2 +(σa1−σa3)2 +(σa2−σa3)2 +βσH < σD

ou les σai sont les amplitudes des contraintes principales alternees et

σH =13(σm1 +σm2 +σm3)

ou les σmi sont les moyennes y compris les contraintes residuelles.En utilisant les resultats de la question 5, le premier terme vaut 742MPa et

σm1 =−729/2−600MPa ; σm2 =−600MPa ; σm3 = 0MPa

Soit en prenant β = 0.3 :σH =−520MPa

et donc :σs = 585MPa > σD

6 Prise en compte simplifiee de la deformation de chappe

Afin d’ameliorer le modele on se propose de prendre le compte la deformation possible des chapes lorsque laliaison est chargee. Pour cela, une etude par element finis dont le modele est presente sur la figure 9 a permis dedeterminer une raideur equivalente des chapes.

Question 13 • Proposer un modele de type de resistance des materiaux pour la determination des efforts au sein del’arbre. On se limite a un modele plan. On prendra k = 1107N.m/m pour la raideur des paliers.



On propose le modele ci-dessous avec :

F =12

Ffleche→balancier = 900kN

Le dimensions sont OA = L = 297.5mm, OB = αL = 160mm et D = 120mm. Pour le materiau, on utilise E = 212GPa.On obtient donc une section S = 1.13104mm2 et une inertie en flexion I = 1.021013mm4.

Question 14 • Construire les diagrammes des efforts generalises dans la poutre. Determiner la section la plus chargee.


Equilibre :YA = F ; MO =−MA− (1−α)LF

on garde MA comme inconnue hyperstatique.Dans la partie OB, on a :

N = 0 ; T = 0 ; M f =−M0 = MA +(1−α)LF

Dans la partie BA, on a :

N = 0 ; T = F ; M f = MA +(L− x)F

Energie de deformation :

Ed =12

Z L

0

M2f

EIdx+

12

M2A

kCastigliano :

∂Ed

∂MA= 0 =

ZαL

0

MA +(1−α)LFEI

dxZ L

αL

MA +(L− x)FEI

dx+MA

ksoit :

MAkL+EI

kEI+

FL2

2EI(1−α

2) = 0 ⇒ MA =−FL1−α2

2kL

kL+EIOn obtient donc la solution dans la partie OB :

N = 0 ; T = 0 ; M f = FL((1−α)− 1−α2

2kL

kL+EI)

Dans la partie BA, on a :

N = 0 ; T = F ; M f = FL((1− xL

)− 1−α2

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kL+EI)


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Deformees avec (bleu) ou sans (noir) ressort

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Diagramme du moment flechissant avec (bleu) ou sans (noir) ressort

La section la plus chargee est en B ou

T = F = 9kN ; M f = (1−α)F = 6.86104N.m

Question 15 • Reprendre les calculs precedents avec l’etat de contrainte obtenu a l’aide ce nouveau modele.


Sans contraintes residuelle, on obtient :

σV M =√

σ2 +3τ2 = 427MPa

ce qui est tres inferieur a la limite elastique Re = 780MPa.Au point le plus charge, on observe l’etat de contrainte suivant :

σ =

−1004 80 080 −600 0

0 0 0

Les contraintes principales sont :

σ1 =−1019MPa ; σ2 =−585MPa ; σ3 = 0MPa

La contrainte equivalente de Von Mises est donc :

12

√(σ1−σ2)2 +(σ1−σ3)2 +(σ2−σ3)2 = 875MPa > Re

Il y a donc toujours risque de plastification a cause de la presence des contraintes residuelles.


7 Solutions d’amelioration

Question 16 • Proposer des solutions pour limiter les risques de rupture de l’arbre.


– changement de materiau :– arbre creux– refroidissement plus lent– trempe a coeur– . . .


Figure 4 – Determination des effort sur la liaison etudiee


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Figure 5 – Geometrie de la liaison existante

Dimension L l D b s pValeur (mm) 470,6 468 120 120 125 134

Tableau 1 – Donnees geometriques de la liaison existante


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Figure 6 – Maillage elements finis utilise


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Figure 7 – Contrainte de Von Mises calculee par elements finis


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Figure 8 – Courbre de Wohler pour le materiaux considere

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Figure 9 – Determination par elements finis des raideurs equivalentes des chappes


dimensionnement d'une liaison pivot - savoir

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