Tema 13. Segundo CuatrimestreLa difraccin. Fsica General.TEMA 13. DIFRACCIN 1.- Introduccin.El principio de Huygens establece cmo se propaga un frente de ondas: cada punto del frente de ondas en un instante dado es un emisor secundario de ondculas cuya envolvente constituye el frente de ondas en un instante posterior. Podemos enunciarlo de otra manera: el frente de ondas en un instante dado es el resultado de la interferencia de las infinitas ondas esfricas emitidas por los infinitos puntos del frente de ondas en el instante anterior. As, para obtener el frente de ondas en un instante dado, se ha de tener en cuenta todas las ondculas emitidas en un instante anterior. De esta forma podemos inferir que cualquier mutilacin de un haz que se propagase libremente ha de conducir a una modificacin del mismo. Por ejemplo, imaginemos un haz plano infinito que se propaga en una direccin dada y que se encuentra con un obstculo opaco en el que se ha practicado una abertura. Es claro que tras la abertura el haz ya no puede ser un haz plano como el incidente, puesto que se han eliminado las ondculas provenientes de los puntos del frente de ondas que no ha dejado pasar la abertura. Pues bien, el haz resultante de esta mutilacin es un haz difractado. El caso ms extremo de difraccin se produce cuando todos los puntos de un frente de ondas salvo uno son eliminados, es decir, cuando la abertura difractante es infinitamente pequea. En este caso la abertura difractante se comporta como una fuente puntual. Es decir, aunque la abertura fuese iluminada originalmente por, por ejemplo, un haz plano, tras ella observaremos una onda esfrica. A la distribucin de intensidad que se observa tras la abertura difractante se la denomina patrn de difraccin y su aspecto depende de la distancia a la que se observe. 2.- Difraccin de Fresnel y de Fraunhofer. Resulta evidente que el patrn de difraccin ha de ser diferente dependiendo de a qu distancia de la abertura difractante se observe. En este sentido se distingue entre difraccin de Fresnel y difraccin de Fraunhofer. La difraccin de Fraunhofer es la que se observa a distancias muy grandes de la abertura difractante y es la que calcularemos, para algunas aberturas sencillas, en este tema. La difraccin de Fresnel es la que se observa a distancias finitas de la abertura y depende fuertemente de la distancia. Ejemplos de difraccin de Fresnel y Fraunhofer para una abertura1Tema 13. Segundo CuatrimestreLa difraccin. Fsica General.circular pueden observarse en las figuras 35.28 y 35.31. En la Figura35.27 se representa la distribucin de intensidad que se observa tras una rendija a diferentes distancias de la misma.Figura 35.27. Diagrama de difraccin correspondiente a una sola rendija pero a diversas distancias de la pantalla.Figura 35.28 a). Diagrama de difraccin de Fresnel de un disco opaco. En el centro de la sombra, las ondas difractadas llegan en fase y originan un punto brillante, denominado punto de Poisson b) Difraccin de Fresnel de una abertura circular. Comprese con el anterior.3.- Difraccin por rendija nica. En este apartado vamos a analizar el patrn de difraccin de Fraunhofer producido por algunas rendijas sencillas: la rendija unidimensional (de anchura finita en una direccin e infinita en la direccin2Tema 13. Segundo CuatrimestreLa difraccin. Fsica General.perpendicular), la rendija rectangular y, finalmente, la rendija circular. Comencemos por la rendija unidimensional.Figura 35.31 .Diagrama de difraccin de Fraunhoffer de una abertura circular3.1. Difraccin de Fraunhofer rendija unidimensional.producidaporunaCuando el ancho a de una rendija nica1 que se interpone en el camino de la onda es del orden de su longitud de onda , se produce una figura de difraccin de magnitud fcilmente observable. La figura (o patrn) de difraccin viene caracterizada por una variacin de la intensidad luminosa como la que se observa en la figura 35.10, obtenida sobre una pantalla alejada y que corresponde a una rendija unidimensional.Figura 35.10 a) Diagrama de difraccin de una sola rendija observado sobre una pantallalejana. b) Representacin de la intensidad en funcin del sen correspondiente al diagrama a).Antes de obtener analticamente la distribucin de intensidad correspondiente a este patrn de difraccin, haremos un anlisis cualitativo. Sea el ngulo subtendido desde el centro de la rendija por un punto P1 En el ejercicio de la interferencia por doble rendija se ha supuesto que su anchura era muy pequea en comparacin con la longitud de onda de la luz de modo que podan ser consideradas como fuentes lineales de frentes de onda cilndricas. 3Tema 13. Segundo CuatrimestreLa difraccin. Fsica General.situado sobre una pantalla de observacin situada muy lejos de la rendija (figura 35.11).Figura 35.11. Una rendija extensa se representa por un gran nmero de focos puntuales de la misma amplitud (Principio de Huyghens). En el punto central de la pantalla, todas las ondas emitidas por los focos de la rendija se hallan en fase, por lo que ser un punto brillante. En el primer mnimo del diagrama de intensidad de una rendija, las ondas representadas en la figura, procedentes de los dos puntos superior y central se hallan desfasadas en rad por lo que originan interferencia destructiva, como el resto de pares de focos desplazados en a/2.Cuando la rendija es infinitamente estrecha, la intensidad que se recibe en la pantalla es independiente de 6 (es decir, es uniforme sobre la pantalla) ya que la abertura se comporta como un emisor puntual. Por el contrario, cuando la anchura de la rendija es finita, la intensidad de luz que se reciba en una pantalla no ser independiente del ngulo 6 sino que disminuye a medida que aumenta el ngulo. Supongamos que la rendija es iluminada por un haz plano y monocromtico. Este regenera ondas esfricas en cada punto de la rendija. Es claro que el frente de ondas hacia adelante ser plano y monocromtico, y se hallar en fase con el incidente, por lo que el punto central de la pantalla de observacin ser brillante. As pues, la mayor parte de la intensidad luminosa se concentra en un amplio mximo central de difraccin. Por otra parte existen bandas de mximos secundarios de intensidad decreciente a cada lado del mximo central. Entre dos mximos consecutivos existen los mnimos de intensidad correspondientes a puntos en los que la superposicin de las ondculas emitidas por todos los puntos de la rendija interfieren destructivamente. Podemos calcular fcilmente para qu ngulos 6 se produce esta interferencia destructiva. Para que haya interferencia destructiva de todas las ondas secundarias, es necesario que cada pareja de puntos alejados a/2 sobre la rendija interfieran destructivamente. La diferencia de caminos para que la interferencia sea destructiva es la que corresponde a un desfase de n rad, que corresponde a una diferencia de recorrido X/2. As: = sin 6 -^sin 6 = 2 2 a4Tema 13. Segundo CuatrimestreLa difraccin. Fsica General.De esta ecuacin deducimos que: Para una longitud de onda determinada X, la anchura del mximo central disminuye inversamente con la anchura de la rendija. Cuando a es muy pequea, no aparecen puntos de intensidad nula en el diagrama y la rendija acta como un foco de luz puntual radiando energa luminosa por igual en todas direcciones. Obsrvese que la diferencia de caminos recorridos por el frente de ondas del extremo superior de la rendija y el inferior, al llegar a un mnimo, verifican la condicin de estar en fase, dado que: A, = a sin 6 La explicacin de que ocurra el mnimo estriba en que las parejas de puntos cuya distancia es a/2 llegan al mnimo en oposicin de fase produciendo interferencia destructiva entre ellas. Todos los mnimos que aparecen en la figura 35.10 pueden caracterizarse por un nmero entero de orden m, tal que se verifica la relacin: a sin 6 = mA, ; con m =1,2,3 ... La figura 35.12 nos permite relacionar los parmetros geomtricos de la difraccin por una rendijaFigura 35.12. Parmetros geomtricos a considerar en la difraccin, donde y es la distancia entre el mximo y el primer mnimo de difraccin..Se deduce, dado que el ngulo 6 es pequeo: A,= a sin 6 ; y ; tg6= >y = L aVamos a obtener ahora de forma rigurosa los resultados que acabamos de enunciar. Consideremos una rendija unidimensional de anchura a y supongamos que la distancia L a la que se encuentra la pantalla de observacin es lo bastante grande como para poder suponer que los5Tema 13. Segundo CuatrimestreLa difraccin. Fsica General.frentes de onda que, provenientes de la rendija, llegan a un punto P genrico de la pantalla puedan ser consideradas como ondas planas (difraccin de Fraunhofer, esto es, de campo lejano). En este caso el campo en el punto P, de coordenadas (yP,L), que es la suma de las ondas reemitidas por todos los puntos de la rendija, se puede escribir de la formaE(Y ,L ) = dyE ( y,0 ) = dy E0cos (cotkD ) a aP-i a/2-, a/2a/2a/2siendo D la distancia al punto P desde un punto de la rendija de coordenadas (y,0). Teniendo en cuenta la aproximacin de campo lejano, podemos escribir esta distancia de la formaconD = J(ypy) +L ~L1 /?L + \yp-2yyp+y 2L)'1 1+^A-YpYLV YYPA = L4-22LYPNtese que se ha despreciado y2 por ser mucho ms pequeo que el resto de cantidades en la aproximacin de campo lejano (D>>a). As puesE ( yp/L ) = j dy eos Ea-a/2 a/2B4kyYisi nka=E cos k B 0yP 2L ypsiendo A = cot-k(L+y2/2L)-cot-kL.a 2Finalmente, la intensidad detectada esl(p,L ) =C8X^dtE2 ( yp/L ) 1 iesto esv 'yCsi nYPka2LYpka 2L2= I0sincz:naYP6Tema 13. Segundo CuatrimestreLa difraccin. Fsica General.conXCFl( P7L ) = 5-fdt E^cos^COt-kL ) . o La funcin seno cociente (sinc2x) se anula cuando nypa/Xh = n, es decir, para los puntos que verifican yP=\L/a tal y como se vi con anterioridad. Ntese que si a^0 (o bien L^o), la iluminacin ser uniforme ya que los ceros de la funcin seno cociente ocurren para yP ->. As pues, la figura de difraccin es tanto ms ancha cuanto mayor es el cociente L/a. Otra forma, que ya vimos antes, de caracterizar la anchura del patrn de difraccin, es dando el ngulo que subtiende el primer mnimo de difraccin desde el centro de la rendija, que es (ver figura 35.12) sin6 = yp/L y como y =A,L/a sm6 = . a 3.2.- Difraccin de Fraunhofer producida por una rendija rectangular. La generalizacin del resultado anterior al caso de una rendija rectangular es bastante sencilla. Consideremos que la rendija tiene dimensiones a en la direccin x, y b en la direccin y. Entonces, en la aproximacin de campo lejano, el campo en un punto P de coordenadas (xP, yP) viene dado porE(Y ,L ) =Pi a/2 b/2dx dy E0cos (cotkD )ab -a/2 -b/2donde/T 2 . / \2 . / \2D = ^L +(xp xj +(yp y)Haciendo las aproximaciones desarrolladas en el apartado anterior, se llega fcilmente a que la intensidad en el punto P viene dada por I(P/Lj = I0smc xp Bine7Tb3.3.- Difraccin de Fraunhofer producida por una apertura circular. El caso de la apertura circular es bastante ms difcil de tratar que el de la rendija rectangular as que no lo llevaremos a cabo y daremos nicamente el resultado.7Tema 13. Segundo CuatrimestreLa difraccin. Fsica General.El patrn de difraccin de Fraunhofer se denomina figura de Airy (Figura 35.31) y, en este caso, el ngulo subtendido desde el centro de la abertura por el primer mnimo del patrn viene dado porAla que es mayor que elsin6=l.22correspondiente a una rendija rectangular. 3.4.- Poder de resolucin de los instrumentos pticos. Un aspecto muy importante de la difraccin desde el punto de vista de las aplicaciones, es que limita el poder de resolucin de los instrumentos pticos. En efecto, en cualquier instrumento ptico (telescopio, microscopio, etc), las lentes tienen un tamao finito y por tanto la luz que las atraviesa es una fraccin de la luz incidente. Es decir, las monturas de las lentes en los instrumentos pticos mutilan el haz de entrada y actan como aberturas difractantes. Esto hace que la imagen que un instrumento ptico forma, por ejemplo, de un objeto puntual, no sea un punto, sino un patrn de Airy. Es evidente entonces que si dos objetos puntuales se encuentran muy prximos entre s, las correspondientes figuras de Airy que forma el instrumento ptico se superpongan entre s dando lugar a una mancha de difraccin en la que no puede saberse si el objeto era un punto o dos o ms (vase, por ejemplo, la figura35.33)Figura 35.33. Diagramas de difraccin correspondientes a una abertura circular y a dos fuentes puntules incoherentes cuando a) a es mucho mayor que 1.22 /D y b) cuando a corresponde al lmite de resolucin, ac=1.22 /D.Podemos, a partir de lo anterior, establecer un criterio sobre cul es el poder de resolucin de un instrumento ptico. Consideremos dos puntos objeto, prximos entre s, que subtienden un ngulo respecto a una abertura difractante circular (que puede ser el diafragma de apertura del instrumento ptico). Ahora observamos en un plano alejado de la abertura la figura de difraccin resultante. Es evidente que sta consistir en dos8Tema 13. Segundo CuatrimestreLa difraccin. Fsica General.figuras de Airy cuyos centros subtienden un ngulo a respecto a la abertura difractante (Fig. 35.32)Figura 35.32. Dos focos distantes que subtienden un ngulo a. Si a es mucho mayor que 1.22 X/D, siendo X la longitud de onda de la luz y D el dimetro de la abertura, los diagramas de difraccin apenas se solapan y los focos se ven fcilmente como dos focos separados. Si a no es mucho mayor que 1.22 X/D, el solapamiento de los diagramas de difraccin hace que sea difcil distinguir dos fuentes de una.Si la abertura es grande, como suele ser el caso, el ngulo subtendido por el primer mnimo de difraccin ser pequeo, con lo que podemos aproximar la ecuacin sin6 = tya por 6-Va. Tenemos entonces dos figuras de Airy, (cuyo primer mnimo subtiende un ngulo 9) que subtienden un ngulo a. Consideraremos que ambos puntos son separables cuando a>6, es decir a>ac =tya. A esto se le conoce como criterio de resolucin de Rayleigh. As, si dos puntos objeto subtienden un ngulo menor que occ, en el plano imagen no podremos discernir de cuntos puntos se trata. 4- Red de difraccin. Un objeto difractante de enorme inters por sus mltiples aplicaciones, en particular en el campo de la espectrometra, es la red de difraccin. Una red de difraccin es un conjunto de N rendijas igualmente espaciadas y grabadas sobre una superfcie plana. Existen redes de difraccin baratas con 10000 rayas por cm. En primera aproximacin, podemos considerar que cada una de las rendijas que forman la red de difraccin es infinitamente estrecha. En este lmite, para calcular el patrn de difraccin lo que hemos de hacer es calcular el patrn de interferencia correspondiente a N rendijas, es decir, se puede generalizar el experimento de interferencia de la doble rendija ya visto, aumentando el nmero de rendijas. Las redes de difraccin son importantes porque: Aumentan la intensidad de la luz transmitida, comparado con la doble rendija, dado que ahora son muchas las rendijas que intervienen.9Tema 13. Segundo CuatrimestreLa difraccin. Fsica General. Los mximos de intensidad son ahora mucho ms agudos que en el caso de dos rendijas, lo que permite determinar mejor la longitud de onda X de la luz.Figura 35.34. Esquema de una red difraccin. Para un ngulo 6, diferencia de caminos entre rayos rendijas adiacentes es d sin 6de la deExisten redes de difraccin para luz transmitida y para luz reflejada. Fraunhofer invent las primeras redes de difraccin, usando alambres finos paralelos y Rowland invent una mquina capaz de grabar redes de difraccin con millares de lneas por cm. Sea una red de difraccin formada por N rendijas iguales, separadas una distancia d. Cada una de las rendijas emite ondas esfricas en fase, si la luz incidente es una onda plana monocromtica. Para 6 = 0 la luz que procede de cada rendija se halla en fase, puesto que no hay diferencia de caminos. Si una rendija de la red emite luz de amplitud A0 e intensidad l0, el principio de superposicin nos permite escribir: La amplitud de la onda en el mximo es NA0 La intensidad de la onda en el mximo es (NA0 f = N2l0 Para un ngulo de emisin 6, tal que:d sin 6 = mA, ; con m =1,2,3 ...la diferencia de caminos entre dos rendijas sucesivas ser un mltiplo entero m de longitudes de onda X, por lo que la luz llegar en fase a lapantalla alejada proporcionando los sucesivos mximos de interferencia. El entero m especifica el orden de los mximos principales. 4.1 Conservacin de la energa y la intensidad. El principio de superposicin nos ha permitido escribir que el valor mximo de la intensidad toma el valor:10Tema 13. Segundo CuatrimestreLa difraccin. Fsica General.maxOresultado que concuerda con el obtenido en el caso de la interferencia por doble rendija (lmx =4I0), en que pusimos de manifiesto la conservacin de la energa. Si ahora la intensidad crece de forma tan marcada como el factor N2 indica, el espacio en el que se desarrolla el mximo interferencial ha de ser mucho menor. Supongamos que los mximos principales tienen una anchura A6. Definimos la anchura A6 como la extensin angular en que la intensidad es mayor o igual que lmx/2. La conservacin de la energa nos permite escribir: lmxA6-Nl0 =^A6 = ^^ =mxlo que significa que la agudeza de visibilidad del mximo aumenta sustancialmente. En conclusin: Al aumentar el nmero de rendijas de difraccin, la altura de los mximos principales aumenta como N2, y en consecuencia: Disminuye la anchura de los mximos, es decir, los mximos principales se vuelven ms agudos, en funcin de l/N. 5.- Difraccin de rayos X. Ley de Bragg. Las redes de difraccin funcionan porque las aberturas (u obstculos) operan como dispersores situados regularmente en el espacio, de manera que generan interferencias constructivas. Los tomos de un slido cristalino funcionan admirablemente bien como red de difraccin, dado que constituyen un conjunto de obstculos espaciados regularmente, aunque en tres dimensiones. La condicin de que la longitud de onda de la radiacin sea del orden del espaciado de la red (de tomos en este caso), la cumplen los rayos X descubiertos por Roentgen en 1895. Hoy sabemos que los rayos X son radiacin electromagntica susceptible de penetrar en los objetos por su pequea longitud de onda de 0.1 nm. En 1912 Max Von Laue tuvo la idea de dispersar los rayos X por slidos con la finalidad de encontrar una herramienta que le permitiera: Medir con exactitud la longitud de onda de los rayos X. Tener una herramienta para la exploracin de los slidos cristalinos.11Tema 13. Segundo CuatrimestreLa difraccin. Fsica General.Como los centros de dispersin en el slido (sus tomos) son puntuales y en tres dimensiones la figura de difraccin de un slido cristalino est constituida por un conjunto de manchas y no por lneas. (ver figura 39.24).Figura 39.24 a. Esquema del experimento de Von Laue de la difraccin de rayos X, b) Los puntos observados por Von Laue en uno de los patrones de difraccin de rayos X. El punto grueso corresponde a la radiacin X no difractada.Este resultado se puede comprender si imaginamos el conjunto de puntos dispersores como el anlogo de una doble red de difraccin cruzada y superpuesta.2 Bragg explic de forma sencilla la relacin existente entre la estructura cristalina y la posicin de las manchas: en todo cristal se pueden trazar muchos conjuntos de planos paralelos, denominados planos de Bragg, que tienen la propiedad de pasar por los tomos con distancias caractersticas de separacin entre ellos, denominadas espaciamientos de Bragg.(figura 39.23).Figura 39.25. En todo slido cristalino se pueden definir muchos planos de Bragg, paralelos entre s.Ver P. Fishbane pg 1150. 12Tema 13. Segundo CuatrimestreLa difraccin. Fsica General.La ventaja de este mtodo radica en que podemos imaginar que cada familia de planos paralelos es una red de difraccin tipo rendija para los rayos X. La figura 39.24 muestra dos rayos dispersados por dos planos paralelos dentro del cristalFigura 39.27. Esquema de la difraccin de rayos X por dos planos de Bragg adiacentes, definidos en el slido.Como se observa en la figura, la condicin de interferencia constructiva para los frentes de onda dispersos por los tomos es que: 2d sin6 = nA,; siendo n = l,2,3,... Ley de Bragg Lectura recomendada: Holografa. P. Tipler pg 1173. P. Fishbane pg 1153.13