differenciÁlszÁmÍtÁs alkalmazÁsa

TARTALOM

Differenciálszámítás alkalmazása

Függvények mentének vizsgálata

Példák

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA

TARTALOM



Példák

A gyakorlati életben előforduló mennyiségi változások, fizikai mozgások, szélsőérték-problémák stb… tanulmányozásának folyamata

A differenciálszámítás alkalmazása

• a vizsgált folyamatban szereplő változók között keresünk függvénykapcsolatot → a jelenséghez „matematikai modellt” rendelünk

• a függvény tulajdonságainak vizsgálata (menete, görbülete, szélsőértéke stb…)

fontos szerepe van a deriváltnak

TARTALOM



Példák

Függvények menetének vizsgálata

A függvény menetének és a derivált előjelének kapcsolata

2)( xxf 1. Vizsgáljuk meg az függvényt:

x є ] 0 ; [ esetén

iránytangens pozitív → derivált előjele pozitív

- a függvény szigorúan monoton növekvő - bármely pontban az érintő irányszöge pozitív →

x є ]- ; 0 [ esetén

iránytangens negatív → derivált előjele negatív

- a függvény szigorúan monoton csökkenő

- bármely pontban az érintő irányszöge negatív →

A megfigyelés általánosítható:

kzs

TARTALOM



Példák


Tétel:

Ha az ]a;b[ intervallumban differenciálható f(x) függvény az intervallumban

akkor a derivált az intervallum minden pontjában

monoton nő monoton csökken,

nemnegatív nempozitív

0)(' xf 0)(' xf

a függvény szigorú monotonitásából is csak az következik, hogy a derivált nemnegatív illetve nempozitív

Megjegyzés:

pl.: 2'3 3)()( xxfxxf

0x pontban 0)0(' f a többi helyen 0)(' xf

TARTALOM



Példák

Függvények menetének vizsgálata2. A függvényvizsgálatkor általában a derivált előjeléből

következtetünk a függvény menetére:

Tétel:

Ha f ‘(x) az ]a;b[ intervallumban nemnegatív (nempozitív), akkor az f(x) függvény monoton növekvő (monoton csökkenő).

0)(' xf

Ha f ‘(x) az ]a;b[ intervallumban pozitív (negatív), akkor az f(x) függvény szigorúan monoton növekvő (szigorúan monoton csökkenő).

0)(' xf

f(x) szigorúan monoton nő

f(x) monoton csökken

f(x) szigorúan monoton csökken

0)(' xf f(x) monoton nő

0)(' xf

TARTALOM



Példák


A függvény szélsőértékének és a deriváltnak kapcsolata

1. Egy differenciálható f(x) függvény lokális szélsőérték helyén a görbéhez tartozó érintő párhuzamos az x tengellyel

az érintő iránytangense nulla

0)(' xf

Megfordítva nem mindig teljesül, a derivált zérushelyén a függvénynek nincs mindig szélsőértéke

TARTALOM



Példák


Az ilyen tulajdonságú grafikonpontot inflexiós pontnak, a grafikont az érintési pontban átmetsző érintőt inflexiós érintőnek nevezzük.

3)( xxf

- a görbéhez húzott érintő az x tengely

2' 3)( xxf

- az érintő az érintési pontban a görbét átmetszi

00 x 0)0(' fpontban

- az pontban a függvénynek nincs szélsőértéke, mert az minden más pontban, tehát a függvény mindenütt szigorúan monoton növekvő

00 x

1. Példa:

0)(' xf

- az pont környezetében a derivált nem vált előjelet

00 x

TARTALOM



Példák


2)( xxf

- a görbéhez húzott érintő az x tengely

xxf 2)('

- Ha , akkor az a függvény szigorúan monoton csökkenő

00 x 0)0(' fpontban

2. Példa:

- az pont környezetében a derivált előjelet vált → a függvénynek lokális szélsőértéke van

00 x

0x 0)(' xf

- Ha , akkor az a függvény szigorúan monoton növekvő

0x 0)(' xf

Általánosan:

TARTALOM



Példák


Tétel:

Az ]a;b[ intervallumban differenciálható f(x) függvénynek az intervallum x0 pontjában csak akkor lehet lokális szélsőértéke, ha f ‘(x0 )= 0. Ez a szélsőérték létezésének szükséges feltétele.

A derivált előjelváltásának módjából a szélsőérték jellegére is következtethetünk.

Ha emellett az x0 pont környezetében a derivált még előjelet is vált, akkor az f(x) függvénynek az x0 pont környezetében lokális szélsőértéke van.

x x < x0 x = x0 x > x0

f ’(x) + 0 -

f(x) lokális maximum

TARTALOM



Példák


vagy

x x < x0 x = x0 x > x0

f ’(x) - 0 +

f(x)lokális

minimum

TARTALOM



Példák


Tétel:

Ha az f(x) függvény az ]a;b[ intervallum x0 pontjában kétszer differenciálható, és f ‘’(x0 )= 0, valamint a második derivált előjelet vált, akkor az f(x) függvénynek az x0 helyen inflexiós pontja van.

A függvény deriváltjának és az inflexiós pont létezésének kapcsolata

Bebizonyíthatók a következő tételek:

Tétel:

Ha az f(x) függvény az ]a;b[ intervallum x0 pontjában háromszor differenciálható, és , akkor az f(x) függvénynek az x0

helyen inflexiós pontja van.

0)( 0''' xf

TARTALOM



Példák


Tétel:

Ha az f(x) függvény az ]a;b[ intervallumban kétszer differenciálható, és f ‘’(x ) > 0, akkor az f(x) függvény konvex, ha f ‘’(x ) < 0, akkor az f(x) függvény konkáv.

TARTALOM



Példák


A függvényvizsgálat célszerű lépései:

• értelmezési tartomány meghatározása

• zérushelyek kiszámítása

• a derivált meghatározása

• a derivált zérushelyeinek kiszámítása

• a táblázat elkészítése

• megvizsgáljuk, hogy páros-e, páratlan-e, periodikus-e stb…

• a függvény grafikonjának felvázolása

TARTALOM



Példák

Példák függvényvizsgálatra

33)( 2' xxf

xxxf 3)( 3 1. Példa:RxD f :

Zérushely: 033 xx

0)3( 2 xx 3;3;0 321 xxx

Deriváltfüggvény:

033)( 2' xxf11 21 xx0)1)(1(3 xx

Inflexiós pont xxf 6)('' 0)0('' f

6)(''' xf 0)0(''' f0 x

inflexiós pont

TARTALOM



Példák


Páratlan függvény:

a függvény grafikonja szimmetrikus az origóra

)(3)()( 3 xxxf xx 33 )3( 3 xx )(xf

Az függvény vázlatos képe:xxxf 3)( 3

TARTALOM



Példák


xxxf 2,13,0)( 2'

23 6,01,0)( xxxf 2. Példa:RxD f :

Zérushely:

0)6(1,0 2 xx


02,13,0)( 2' xxxf

40 21 xx0)4(3,0 xx

06,01,0 23 xx

Szélsőértékhelyek:

6;0 21 xx

Inflexiós pont: 2 x2,16,0)('' xxf 0)2('' f6,0)(''' xf 0)2(''' f inflexiós pont

TARTALOM



Példák


Az függvény vázlatos képe:23 6,01,0)( xxxf

TARTALOM



Példák


xxf cos1)('

xxxf sin)( 3. Példa:RxD f :

Zérushely:


0cos1)(' xxf

Zkkx 211cos x

0sin xx 0 x

Inflexiós pont: Zkkx xxf sin)('' 0)('' kfxxf cos)(''' 0)(''' kf inflexiós pont

TARTALOM



Példák


Az függvény vázlatos képe:xxxf sin)(

TARTALOM



Példák


xxxxf 8124)( 23'

044 234 xxx

4. Példa:RxD f :

Zérushely:


210 321 xxx

0)23(4 2 xxx


2;0 21 xx

234 44)( xxxxf

0)44( 22 xxx

08124)( 23' xxxxf

0)2)(1(4 xxx

TARTALOM



Példák


Az függvény vázlatos képe:234 44)( xxxxf

TARTALOM



Példák


3

1)( 2' xxf

3)(

3 xxxf

5. Példa:

RxD f :Zérushely:


3

3

3

321 xx


11;0 321 xxx0

3)(

3

xx

xf

012 xx

03

1)( 2' xxf

TARTALOM



Példák


Az

függvény vázlatos képe:

Inflexiós pont: xxf 2)(''

2)(''' xf inflexiós pont

0)0('' f

0)0(''' f0 x

3)(

3 xxxf

TARTALOM



Példák


2

2'

1

12)(

x

xxxxf

1)(

2

x

xxf6. Példa:

1\: RxD f

Zérushely:


20 21 xx


01 x01

)(2

x

xxf 02 x

2

2

1

2

x

xx

0

1

2)(

2

2'

x

xxxf 022 xx

TARTALOM



Példák


Az függvény vázlatos képe:1

)(2

x

xxf

differenciÁlszÁmÍtÁs alkalmazÁsa

Documents