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Alonso Ramírez Manzanares Métodos Numéricos 09.11
Diferenciación numéricaMAT-251
Dr. Alonso Ramírez ManzanaresCIMAT A.C.e-mail: [email protected]: http://www.cimat.mx/~alram/met_num/
Dr. Salvador BotelloCIMAT A.C.e-mail: [email protected]
Saturday, November 12, 16
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¿Cuándo es necesario aplicar diferenciación numérica?
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• En la solución de ecuaciones diferenciales
• En todo lo que resta del curso.
• Ejemplos: Derivadas parciales de funciones R2 -> R
¿Cuándo es necesario aplicar diferenciación numérica?
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• En la solución de ecuaciones diferenciales
• En todo lo que resta del curso.
• Ejemplos: Derivadas parciales de funciones R2 -> R
¿Cuándo es necesario aplicar diferenciación numérica?
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Teóricamente , tenemos que
• El cálculo de la derivada en un punto está dada por:
• sin embargo, en la práctica (numéricamente) tenemos problemas por error de redondeo.
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Aproximación numérica de la derivada
• Ahora, vamos a aproximar f’(x0), con x0 ∈ (a,b) y f ∈ C2[a,b], de tal forma que el intervalo define x1 = x0 + h para h ≠ 0, de tal manera que h es lo suficientemente pequeño para que x1 ∈ [a,b].
• Aproximamos utilizando el polinomio de Lagrange para f usando x0 y x1:
• para un número ξ en [a,b]. Aquí la idea es que obtengamos una cota del error.
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Aproximación numérica de la derivada
• Ahora, vamos a aproximar f’(x0), con x0 ∈ (a,b) y f ∈ C2[a,b], de tal forma que el intervalo define x1 = x0 + h para h ≠ 0, de tal manera que h es lo suficientemente pequeño para que x1 ∈ [a,b].
• Aproximamos utilizando el polinomio de Lagrange para f usando x0 y x1:
• para un número ξ en [a,b]. Aquí la idea es que obtengamos una cota del error.
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Aproximación numérica de la derivada
• Derivando
• obtenemos
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Aproximación numérica de la derivada
• Derivando
• obtenemos
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Aproximación numérica de la derivada
• Por lo tanto la aproximación PARA TODO x que obtenemos es (lo que habíamos supuesto, mhh):
• pero ahora tenemos una expresión para el error:
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Aproximación numérica de la derivada
• Por lo tanto la aproximación PARA TODO x que obtenemos es (lo que habíamos supuesto, mhh):
• pero ahora tenemos una expresión para el error:
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Aproximación numérica de la derivada
• Esta parte del error depende de h y la segunda derivada de f
• Esta parte del error depende de
• Lo cual NO ES MUY UTIL pues contiene un término desconocido
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Aproximación numérica de la derivada
• Esta parte del error depende de h y la segunda derivada de f
• Esta parte del error depende de
• Lo cual NO ES MUY UTIL pues contiene un término desconocido
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Aproximación numérica de la derivada
• Esta parte del error depende de h y la segunda derivada de f
• Esta parte del error depende de
• Lo cual NO ES MUY UTIL pues contiene un término desconocido
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Aproximación numérica de la derivada
• Pero cuando x = x0, (para estos puntos es lo que normalmente aproximamos) entonces este término desaparece y queda el error simplificado como:
• para un número ξ ∈[x0, x0 +h].
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Aproximación numérica de la derivada• Supóngase que |f’’(x)| está acotado por M en [x0,x0+h], entonces el error está
acotado por M|h| / 2.
• Esta aproximación es entonces la bien conocida “diferencia hacia adelante” (forward difference formula) para h >0, y “diferencia hacia atras” (backward difference formula) si h<0.
Aproximación de diferencias hacia adelante.
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Aproximación numérica de la derivada• Supóngase que |f’’(x)| está acotado por M en [x0,x0+h], entonces el error está
acotado por M|h| / 2.
• Esta aproximación es entonces la bien conocida “diferencia hacia adelante” (forward difference formula) para h >0, y “diferencia hacia atras” (backward difference formula) si h<0.
Aproximación de diferencias hacia adelante.
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Ejemplo:
• Sea f(x) = ln(x) y x0 = 1.8.
• Donde el error de la aproximación por diferencia hacia adelante se comporta
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Ejemplo:
• Sea f(x) = ln(x) y x0 = 1.8.
• Donde el error de la aproximación por diferencia hacia adelante se comporta
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Ejemplo:
• Sea f(x) = ln(x) y x0 = 1.8.
• Donde el error de la aproximación por diferencia hacia adelante se comporta
Caso donde el error es más grande ya que:
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Ejemplo:
• Sea f(x) = ln(x) y x0 = 1.8.
• Donde el error de la aproximación por diferencia hacia adelante se comporta
Caso donde el error es más grande ya que:
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Ejemplo:
• Aproximaciones obtenidas para diferentes valores de h (valor exacto )
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Aproximación de derivadas en el caso general• Para n+1 números distintos en un intervalo [x0,xn], y usando polinomios de
Lagrange
• donde suponemos que f ∈ Cn+1 [x0,xn] y el valor ξ(x) está dentro de [x0,xn].
• La derivada de esta expresión nos lleva a
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Aproximación de derivadas en el caso general• Para n+1 números distintos en un intervalo [x0,xn], y usando polinomios de
Lagrange
• donde suponemos que f ∈ Cn+1 [x0,xn] y el valor ξ(x) está dentro de [x0,xn].
• La derivada de esta expresión nos lleva a
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Aproximación de derivadas en el caso general
• En esta expresión usamos el mismo razonamiento que en el caso anterior, tomando en cuenta la aproximación para los xk.
• Quedando en particular:
•
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Aproximación de derivadas en el caso general
• En esta expresión usamos el mismo razonamiento que en el caso anterior, tomando en cuenta la aproximación para los xk.
• Quedando en particular:
•
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Aproximación de derivadas en el caso general
• En esta expresión usamos el mismo razonamiento que en el caso anterior, tomando en cuenta la aproximación para los xk.
• Quedando en particular:
•
en el caso de 2 puntos quedaba x0 - x1 = -h
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Aproximación de derivadas en el caso general
• Esta aproximación de derivadas se conoce como la aproximación de n+1 puntos. En teoría, entre más puntos agreguemos es más exacta, pero en la práctica resulta problemático usar muchos puntos por el error de redondeo y las múltiples evaluaciones de la función.
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L
01(x) =
2x� x0 � x2
(x1 � x0)(x1 � x2)
L
02(x) =
2x� x0 � x1
(x2 � x0)(x2 � x1)
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• Calculemos
Aproximación de derivada de 3 puntos
L0(x) =(x� x1)(x� x2)
(x0 � x1)(x0 � x2)! L
00(x) =
2x� x1 � x2
(x0 � x1)(x0 � x2)
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Aproximación de derivada de 3 puntos
• Por lo tanto, usando
• Tenemos para una xj
• y cuando los nodos son equidistantes (x0, x1 = x0+h, x2 = x0 +2h)
• para un ξ ∈[x0, x0 + 2h] (queda un -2h y un -h).
*
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Aproximación de derivada de 3 puntos
• Por lo tanto, usando
• Tenemos para una xj
• y cuando los nodos son equidistantes (x0, x1 = x0+h, x2 = x0 +2h)
• para un ξ ∈[x0, x0 + 2h] (queda un -2h y un -h).
f
0(xj) = f(x0)L00(xj) + f(x1)L0
1(xj) + f(x2)L02(xj)
*
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Aproximación de derivada de 3 puntos
• Por lo tanto, usando
• Tenemos para una xj
• y cuando los nodos son equidistantes (x0, x1 = x0+h, x2 = x0 +2h)
• para un ξ ∈[x0, x0 + 2h] (queda un -2h y un -h).
+16f
(3)(⇠j)2Y
k=0,k 6=j
(xj � xk)
f
0(xj) = f(x0)L00(xj) + f(x1)L0
1(xj) + f(x2)L02(xj)
*
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Aproximación de derivada de 3 puntos
• Por lo tanto, usando
• Tenemos para una xj
• y cuando los nodos son equidistantes (x0, x1 = x0+h, x2 = x0 +2h)
• para un ξ ∈[x0, x0 + 2h] (queda un -2h y un -h).
+16f
(3)(⇠j)2Y
k=0,k 6=j
(xj � xk)
f
0(xj) = f(x0)L00(xj) + f(x1)L0
1(xj) + f(x2)L02(xj)
*
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Aproximación de derivada de 3 puntos
• Por lo tanto, usando
• Tenemos para una xj
• y cuando los nodos son equidistantes (x0, x1 = x0+h, x2 = x0 +2h)
• para un ξ ∈[x0, x0 + 2h] (queda un -2h y un -h).
+16f
(3)(⇠j)2Y
k=0,k 6=j
(xj � xk)
f
0(xj) = f(x0)L00(xj) + f(x1)L0
1(xj) + f(x2)L02(xj)
*
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Aproximación de derivada de 3 puntos• Si hacemos los mismos cálculos, pero ahora tomando el polinomio de
Lagrange que pasa por los puntos x0-h, x0, x0+h, obtenemos:
• para un ξ ∈[x0-h x0+h].
• Pero nótese que este error es la mitad en magnitud que el anterior, y que la función se evalúa en solo 2 puntos (aún así, ambas se llaman fórmulas de aproximación de 3 puntos).
• El anterior se debería de utilizar cuando se está en las fronteras del intervalo, con -h en la frontera derecha y con +h en la frontera izquierda.
• La expresión de arriba se debería de utilizar en todos los demás casos
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Aproximación de derivada de 3 puntos• Si hacemos los mismos cálculos, pero ahora tomando el polinomio de
Lagrange que pasa por los puntos x0-h, x0, x0+h, obtenemos:
• para un ξ ∈[x0-h x0+h].
• Pero nótese que este error es la mitad en magnitud que el anterior, y que la función se evalúa en solo 2 puntos (aún así, ambas se llaman fórmulas de aproximación de 3 puntos).
• El anterior se debería de utilizar cuando se está en las fronteras del intervalo, con -h en la frontera derecha y con +h en la frontera izquierda.
• La expresión de arriba se debería de utilizar en todos los demás casos
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Aproximación de derivada de 3 puntos
• La última es una aproximación centrada, e intuitivamente funciona mejor porque toma información de adelante y atrás, y no solo de una dirección.
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Aproximación de derivada de 5 puntos
• Análogamente, si derivamos las expresiones usando el polinomio de Lagrange que pasa por 5 puntos desde x0-2h hasta x0+2h obtenemos
• O bien para el intervalo x0 hasta x0+4h
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Aproximación de derivada de 5 puntos
• Análogamente, si derivamos las expresiones usando el polinomio de Lagrange que pasa por 5 puntos desde x0-2h hasta x0+2h obtenemos
• O bien para el intervalo x0 hasta x0+4h
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Aproximación de derivada de 5 puntos
• Análogamente, si derivamos las expresiones usando el polinomio de Lagrange que pasa por 5 puntos desde x0-2h hasta x0+2h obtenemos
• O bien para el intervalo x0 hasta x0+4h
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Ejemplo comparativo:• Tenemos la tabla de evaluaciones de la función f(x) = xex
• Queremos aproximar f’(2.0) (sabemos que es (x+1)ex, lo resulta en 22.167168)
• Los errores son:
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Ejemplo comparativo:• Tenemos la tabla de evaluaciones de la función f(x) = xex
• Queremos aproximar f’(2.0) (sabemos que es (x+1)ex, lo resulta en 22.167168)
• Los errores son:
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Ejemplo comparativo:• Tenemos la tabla de evaluaciones de la función f(x) = xex
• Queremos aproximar f’(2.0) (sabemos que es (x+1)ex, lo resulta en 22.167168)
• Los errores son:
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Ejemplo comparativo:• Tenemos la tabla de evaluaciones de la función f(x) = xex
• Queremos aproximar f’(2.0) (sabemos que es (x+1)ex, lo resulta en 22.167168)
• Los errores son:
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Ejemplo comparativo:• Tenemos la tabla de evaluaciones de la función f(x) = xex
• Queremos aproximar f’(2.0) (sabemos que es (x+1)ex, lo resulta en 22.167168)
• Los errores son:
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Ejemplo comparativo:• Tenemos la tabla de evaluaciones de la función f(x) = xex
• Queremos aproximar f’(2.0) (sabemos que es (x+1)ex, lo resulta en 22.167168)
• Los errores son:
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Ejemplo comparativo:• Tenemos la tabla de evaluaciones de la función f(x) = xex
• Queremos aproximar f’(2.0) (sabemos que es (x+1)ex, lo resulta en 22.167168)
• Los errores son:
Aproximaciones de 3 puntos
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Ejemplo comparativo:• Tenemos la tabla de evaluaciones de la función f(x) = xex
• Queremos aproximar f’(2.0) (sabemos que es (x+1)ex, lo resulta en 22.167168)
• Los errores son:
Aproximaciones de 3 puntos
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Ejemplo comparativo:• Tenemos la tabla de evaluaciones de la función f(x) = xex
• Queremos aproximar f’(2.0) (sabemos que es (x+1)ex, lo resulta en 22.167168)
• Los errores son:
Aproximaciones de 3 puntos
Aproximación de 5 puntos
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Ejemplo comparativo:• Tenemos la tabla de evaluaciones de la función f(x) = xex
• Queremos aproximar f’(2.0) (sabemos que es (x+1)ex, lo resulta en 22.167168)
• Los errores son:
Aproximaciones de 3 puntos
Aproximación de 5 puntos
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Ejemplo comparativo:• Tenemos la tabla de evaluaciones de la función f(x) = xex
• Queremos aproximar f’(2.0) (sabemos que es (x+1)ex, lo resulta en 22.167168)
• Los errores son:
Aproximaciones de 3 puntos
Aproximación de 5 puntos
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Ejemplo comparativo:• Tenemos la tabla de evaluaciones de la función f(x) = xex
• Queremos aproximar f’(2.0) (sabemos que es (x+1)ex, lo resulta en 22.167168)
• Los errores son:
Aproximaciones de 3 puntos
Aproximación de 5 puntos
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Otro Factor: Error de redondeo
• Veamos que tan determinante es el error de redondeo, en la ecuación de 3 puntos centrada
• Cuando calculamos las expresiones tenemos errores numéricos relacionados de la siguiente manera:
• Con el siguiente error de aproximación total (error de redondeo + truncamiento):
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Otro Factor: Error de redondeo
• Veamos que tan determinante es el error de redondeo, en la ecuación de 3 puntos centrada
• Cuando calculamos las expresiones tenemos errores numéricos relacionados de la siguiente manera:
• Con el siguiente error de aproximación total (error de redondeo + truncamiento):
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Otro Factor: Error de redondeo
• Veamos que tan determinante es el error de redondeo, en la ecuación de 3 puntos centrada
• Cuando calculamos las expresiones tenemos errores numéricos relacionados de la siguiente manera:
• Con el siguiente error de aproximación total (error de redondeo + truncamiento):
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Otro Factor: Error de redondeo
• Veamos que tan determinante es el error de redondeo, en la ecuación de 3 puntos centrada
• Cuando calculamos las expresiones tenemos errores numéricos relacionados de la siguiente manera:
• Con el siguiente error de aproximación total (error de redondeo + truncamiento):
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Error de redondeo
• Suponiendo que los errores de redondeo están acotados por un número ε y la 3ª derivada de f(x) por un valor M, tenemos que:
• Entonces, como casi siempre en la vida, tenemos un compromiso en h: queremos reducir el error de truncamiento pero no aumentar el error de redondeo.
• En la práctica, si usamos un h demasiado pequeño el error de redondeo domina (recordar que pasa cuando el error de redondeo es dividido por un número pequeño).
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Ejemplo de error de redondeo
• Dada la tabla
• Aproximar f’(0.9) (el valor de la derivada es cos(0.9)=0.62161 ) usando la siguiente fórmula para diferentes valores de h (cifras de 5 dígitos, continua...)
•
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Ejemplo de error de redondeo
• Dada la tabla
• Aproximar f’(0.9) (el valor de la derivada es cos(0.9)=0.62161 ) usando la siguiente fórmula para diferentes valores de h (cifras de 5 dígitos, continua...)
•
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Ejemplo de error de redondeo
• Minimizar
• En este caso podemos calcular una cota para M en [.8 y 1] y cos(0.8) para encontrar
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Ejemplo de error de redondeo
• Minimizar
• En este caso podemos calcular una cota para M en [.8 y 1] y cos(0.8) para encontrar
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Ejemplo de error de redondeo
• Minimizar
• En este caso podemos calcular una cota para M en [.8 y 1] y cos(0.8) para encontrar
mínimo cerca de
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Ejemplo de error de redondeo
• Minimizar
• En este caso podemos calcular una cota para M en [.8 y 1] y cos(0.8) para encontrar
mínimo cerca de
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Ejemplo de error de redondeo
• Minimizar
• En este caso podemos calcular una cota para M en [.8 y 1] y cos(0.8) para encontrar
mínimo cerca de
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Ejemplo de error de redondeo
• Minimizar
• En este caso podemos calcular una cota para M en [.8 y 1] y cos(0.8) para encontrar
mínimo cerca de
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Ejemplo de error de redondeo
• Minimizar
• En este caso podemos calcular una cota para M en [.8 y 1] y cos(0.8) para encontrar
mínimo cerca de
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Ejemplo de error de redondeo
• Minimizar
• En este caso podemos calcular una cota para M en [.8 y 1] y cos(0.8) para encontrar
mínimo cerca de
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Conclusiones
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Conclusiones
• ¡¡La diferenciación numérica es inestable numéricamente!!
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Conclusiones
• ¡¡La diferenciación numérica es inestable numéricamente!!
• Y debe de ser evitada en lo posible.
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Conclusiones
• ¡¡La diferenciación numérica es inestable numéricamente!!
• Y debe de ser evitada en lo posible.
• No podemos evitarla :(
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Aproximación de derivadas de orden superior
• La aproximación de segundo orden de la derivada centrada en el intervalo [x0-h , x0+h] está dada por:
• para un número ξ entre [x0-h , x0+h]
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Alonso Ramírez Manzanares Métodos Numéricos 09.11
Aproximación de derivadas de orden superior
• La aproximación de segundo orden de la derivada centrada en el intervalo [x0-h , x0+h] está dada por:
• para un número ξ entre [x0-h , x0+h]
f
0(x) =f(x + h/2)� f(x� h/2)
h
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Aproximación de derivadas de orden superior
• La aproximación de segundo orden de la derivada centrada en el intervalo [x0-h , x0+h] está dada por:
• para un número ξ entre [x0-h , x0+h]
f
0(x) =f(x + h/2)� f(x� h/2)
h
f
00(x) =f
0(x + h/2)� f
0(x� h/2)h
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Aproximación de derivadas de orden superior
• La aproximación de segundo orden de la derivada centrada en el intervalo [x0-h , x0+h] está dada por:
• para un número ξ entre [x0-h , x0+h]
f
0(x) =f(x + h/2)� f(x� h/2)
h
f
00(x) =f
0(x + h/2)� f
0(x� h/2)h
f
00(x) =f(x+h/2+h/2)�f(x+h/2�h/2)
h
� f(x�h/2+h/2)�f(x�h/2�h/2)h
h
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Aproximación de derivadas de orden superior
• De igual manera se puede aproximar la derivada de segundo orden hacia adelante como
• En general las derivadas centrales quedan como
f
00(x0) =f(x0 + 2h)� 2f(x0 + h) + f(x0)
h
2
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Aproximación de derivadas de orden superior
• De igual manera se puede aproximar la derivada de segundo orden hacia adelante como
• En general las derivadas centrales quedan como
f
00(x0) =f(x0 + 2h)� 2f(x0 + h) + f(x0)
h
2
f
(n)h (x0) =
1h
n
nX
i=0
(�1)i
✓n
i
◆f(x0 + (n/2� i)h)
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Aproximación de derivadas de orden superior
• De igual manera se puede aproximar la derivada de segundo orden hacia adelante como
• En general las derivadas centrales quedan como
f
00(x0) =f(x0 + 2h)� 2f(x0 + h) + f(x0)
h
2
f
(n)h (x0) =
1h
n
nX
i=0
(�1)i
✓n
i
◆f(x0 + (n/2� i)h)
Caso particular:
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Aproximación de derivadas de orden superior
• De igual manera se puede aproximar la derivada de segundo orden hacia adelante como
• En general las derivadas centrales quedan como
f
00(x0) =f(x0 + 2h)� 2f(x0 + h) + f(x0)
h
2
f
(n)h (x0) =
1h
n
nX
i=0
(�1)i
✓n
i
◆f(x0 + (n/2� i)h)
Caso particular:
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Derivadas de alto orden
• En general, lo que uno hace para aproximar derivadas de alto orden es
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