diferansiyel denklemler - yrd.doç.dr. ahmet altundağ ders notları

8/10/2019 Diferansiyel Denklemler - Yrd.do.Dr. Ahmet Altunda Ders Notlar

1/115

Nbljreasbyjh Njaihjohjr Njrs Adther

Rrn.Nd.Nr. Egojt Ehtuane

www.jjonjrsadtherb. fdo


2/115

3


3/115


4/115


5/115

Cho 5

CSAF OJS^JCJNJANLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

5.5 Nbljreasbyjh Njaihjohjrba Vaffieanrhoesêao 5.5 Ceoh cbr njbijab vj cuaua cbr ye ne nege di ceosz njbijaj `rj trjvbab bjrja cbr njaihjoj nbljreasbyjh njaihjo njabr.

êao 5.3 Ceoh njbija yeahzfe cbr ceosz njbijaj ceh bsj njaihjoj s-renea nbljreasbyjh njaihjo njabr.

êao 5.6 Ceoh njbijaba cbr ye ne nege di ceosz njbijaj `rj isob trjvhjrbab bjrja nbljreasbyjh njaihjoj isob trjvhb nbljreasbyjh njaihjo njabr.

raji 5.5n3ynx3

+ y ? sba x (5.5)

nynx

+ xnynx

3

+ sba y ? ; (5.3)

n6y

nt6 +

ny

nt + y ? 3 j t (5.6)

3ux3

+ 3uy3

+ 3uz 3

? ; (5.>)

3ux3

? ut

(5.:)

Cu rajitjib bhi njaihjo srenea nbljreasbyjh, sda bibsb nj isob trjvhb nbljrea-sbyjh njaihjonbr. (5.5) vj (5.3) njaihjohjrbanj x ceosz, y nj ceoh njbijanbr.(5.6) tj bsj t ceosz, y bsj ceoh njbijanbr. (5.>) tj x, y, z ceosz, u bsj ceoh vj (5.:) tj x, t ceosz, u ybaj ceoh njbijanbr.

:


6/115

< CHO 5. CSAF OJS JCJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

^eao 5.> Cbr nbljreasbyjh njaihjonj ja yisji trjvba ojrtjcjsbaj nbljreasbyjh

njaihjoba ojrtjcjsb njabr.raji 5.5 nj (5.5) njaihjob 3. ojrtjcj, ( 5.3) njaihjob 5. ojrtjcj, ( 5.6) njaihjob6. ojrtjcj vj nbjr bib njaihjo nj 3. ojrtjcj nbljreasbyjh njaihjohjrnbr.a. ojrtjcjnja ja `jajh srenea nbljreasbyjh njaihjo

L (x,y, nynx

, . . . , na ynxa

) ? ; (5.


7/115

5.6. CBSBAFB OJS JCJNJA NBLJSEAVBRJH NJAIHJOHJSBO ]O RA^JOHJS0

raji 5.3 l (x) ? j x + 3 j 3x ldaisbydau

n3ynx3 6

nynx

+ 3y ? ;

nbljreasbyjh njaihjobaba ei cbr zonr. @jrjitja, l (x) ldaisbydau teaoh vj trjtbhjcbhbr dhnuuanea

l (x) ? j x + >j 3x , l (x) ? j x + 7 j 3x

yezhecbhbr. Nbljreasbyjh njaihjonj, y yjrbaj l (x) vj y , y yjrbaj sresyhe l (x) vj l (x) idauhnuuane

j x + 7 j 3x6jx53j

3x + 3 j x + >j 3x ;znjhbb jhnj jnbhbr.

raji 5.6 x3 + y3> ? ; ceats x+ yy ? ; nbljreasbyjh njaihjobaba B ? (3, 3)erehane iepeh cbr zonr. \jrbhja ceat cta rjjh x B bba l 5(x) ? >x3 vj l 3(x) ? >x3 jihbanj bib rjjh ldaisbyda teaoher vj gjr bib ldai-sbyda ne njaihjoba B ereh zjrbanj ei zohjrbnbr.raji 5.>

y +

5

x y ? 3 (5.7)nbljreasbyjh njaihjobab najhbo. y ? l ; (x) ? x ldaisbydau nbljreasbyjh njaihjoba cbr zonr. Eyrfe l 5(x) ? x + 5x , l 3(x) ? x +

3x , l 6(x) ? x +

6x ,... ldaisbydaher

ne cbrjr zonr. @jajh dherei, gjr f seys bba

l f (x) ? x + fx

(5.2)

bhj teaoheaea l f (x) ldaisbydau sdasuz ldaisbyda ebhjsb teaoher vj ebhjaba gjr jhe-oea (5.7) njaihjobaba cbr zonr. (5.2) njaihjobanjib f secbtbaj ijyst secbt vjye pereojtrj vj (5.2) bhj teaoheaea ldaisbyda ebhjsbaj (5.7) njaihjobaba cbr -

zo vjye `jajh batj`rehb njabr.

5.6 Cbrbafb Ojrtjcjnja Nbljreasbyjh Njaihjohjrbozo Ratjohjrb

5.6.5 Njbijahjrbaj Eyrhecbhja Nbljreasbyhj NjaihjohjrCbrbafb ojrtjcjnja cbr nbljreasbyjh njaihjo `jajh dherei y ? l (x, y) trjv cbb-obanj vjye [ (x, y)nx + U(x, y)ny ? ; nbljreasbyjh cbbobanj blenj jnbhjcbhbr. Jjr


8/115

7 CHO 5. CSAF OJS JCJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

y ? l (x, y) nbljreasbyjh njaihjob l (x, y) ldaisbydau yeahzfe x vj y njbijahjrbab

bjrja ldaisbydahera erpo dherei, yeaby ? e(x)c(y), c(y) ? ; (5.5;)

vjye[ (x)nx + U(y)ny ? ; (5.55)

nbljreasbyjh cbbobanj yezhydrse, njaihjoj njbijahjrb eyrhecbhbr njabr. D gehnj(5.5;) njaihjob

nyc(y)

? e(x)nx

dhur vj `jajh zo nj cbr batj`resyda bhj, f batj`reh secbtb dhoei zjrj

nyc(y) ? e(x)nx + fdhur.AD^= Eeneib njbijahjrbaj eyrhecbhbr nbljreasbyjh njaihjohjrba ijyst dhereisjbhja > teajsb njrstj zhjfjitbr. zhojyja sdruhera > teajsb, njrsj ieythrjafbhjrj njv dherei vjrbhjfjitbr. njvhjr cbr sdareib njrsba ceane `jtbrbhojsbzdruahunur.

]HJFJI [SDCHJOHJS 5Eeneib njbijahjrj eyrhecbhbr nbljreasbyjh njaihjohjrba `jajh zohjrbab cuhu-auz.

5. 5 + x3 5 + y3 nxxyny ? ;3. yy + xy3 ? x6. 5 + x3 ny + 5 + y3 nx ? ;>. j 3x+ ynxj

x yny ? ;

: . y ? x5y3

+ xy3


9/115


56. xy3 + 3 y3 nx + xy3x ny ? ;

5>. 5 + x3 y + 3 xy ? x5: . 3yny + >x6 >y>nx ? ;5. xy3ny ? x6 + y6 nx: . (3 xyy) nx + xny ? ; + x>

xy6

55. jxy (yx) ny + y 5 + j

xy nx ? ;

53. x3y3y nx + xny ? ;


10/115

5; CHO 5. CSAF OJS JCJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

5.6.6 Gdodmja Njaihjoj anbr`jajcbhja Nbljreasbyjh Njai-hjohjr

x vj y njbijahjrbaj `rj secbt ietseyh

y ? ex + cy + fe x + c y + f

(5.53)

nbljreasbyjh njaihjob gdodmja dhoen gehnj cesbt cbr njbija nao bhj gd-odmja nbljreasbyjh njaihjo gehbaj banbr`jajcbhbr. Jjr

ex + cy + f ? ; , e x + c y + f ? ; (5.56)hbajjr njaihjohjrb bhj teaoheaea ndruher cbr (g, i ) aditesane ijsbbydrse ?ec

e c

? ; dhoehnr. ? ; dhoes nuruouane bsj ndruher cbr cbrbaj perehjh

dhur. aa cu bib dhes nuruouane lerih naohjr tetcbi jnbhojhbnbr. ? ;nuruouane drbmba aditesax ? W + g, y ? R + i (5.5>)

hbajjr nao iuhheaerei (g, i ) ijsbbo aditesae ieynrecbhbrbz. Cu nao bhj(5.53) nbljreasbyjh njaihjob

nR nW

? eW + cR e W + c R

(5.5:)

gdodmja nbljreasbyjh njaihjobaj nar. (5.5:) gdodmja njaihjobab nj R ? uW nao uyùhear vj njaihjo zhr. Jhnj jnbhja zoanj (5.5>) teaoheaea(x,y) njjrhjrb yjrhjrbaj yezherei ereaea zo cuhuaur.Jjr (5.56) ndruher perehjh, yeab ? ; bsj, d zeoea yuierne uyùheaea tjhjojuyùheaeoez. Cu nuruone z ? e x + c y+ f nao yepherei (5.53) nbljreasbyjhnjaihjob zhr.AD^= Eeneib nbljreasbyjh njaihjohjrba ijyst dherei sjbhja 3 teajsb njrstj -zhjfjitbr. zhojyja sdruhera 3 teajsb, njrsj ieyth rjafbhjrj njv dherei vj-rbhjfjitbr. njvhjr cbr sdareib njrsba ceane `jtbrbhojsb zdruahunur.

]HJFJI [SDCHJOHJS 6

5. (6xy + 5) nx + ( x6y + 3) ny ? ;

3. y ? x + y + >xy. y ? x + y + >x + y Hbajjr Nbljreasbyjh Njaihjohjrl (x)y + ` (x)y ? g(x), l (x) ? ;

cbbobanj y vj y ldaisbydaherae `rj hbajjr dhoeyea cbr njaihjoj hbajjr (ndruseh)nbljreasbyjh njaihjo njabr. Cuaua yjrbaj l (x) ldaisbydau bhj chjrji jhnj jnbhja

y + p(x)y ? q (x) (5.5


12/115


(5.5

5. xy 6y ? x>

3. y + y ? 5

5 + j 3x

6. xy y ? x6j x

3

>. xy 3y ? x sba 5x

: . y 3xy5 + x3

? erftea x

. y + y fdt x ? tea x


13/115


5.6.: Cjraduhhb Nbljrjasbyjh Njaihjoby + p(x)y ? q (x)ya (5.57)

cbbobanj hbajjr dhoeyea cbr njaihjo Cjraduhhb njaihjob dherei bsbohjanbrbhbr. Cunjaihjoba a ? ; bba hbajjr vj a ? 5 bba gdodmja njaihjohjrbab bjrbr. Cu sjcjchja ? ; , 5 verseyefez.Cesbt cbr njbija njbbob bhj Cjraduhhb njaihjob hbajjr njaihjoj natrhjcbhbr.Jjr (5.57) njaihjobababa gjr bib yea ya bhj charsj

y a y + p(x)y5 a ? q (x)

cuhuaur. Cu njaihjoj z ? y5 a , a

? ; , 5 nao uy`uhearse

z + (5a ) p(x)z ? (5 a )q (x) (5.52)

hbajjr nbljreasbyjh njaihjob jhnj jnbhbr. (5.52) njaihjob nj cbr afjib chonj hb-ajjr nbljreasbyjh njaihjohjr bba `stjrbhja zo yatjohjrbanja cbrb iuhheahereizo cuhuaur. Cuhuaea zonj, z bhj y eresaneib ceatnea leyneheaerei Cjr-aduhhb nbljreasbyjh njaihjobaba `jajh zo jhnj jnbhbr.AD^= Eeneib nbljreasbyjh njaihjohjrba ijyst dherei sjbhja 3 teajsb njrstj -zhjfjitbr. zhojyja sdruhera 3 teajsb, njrsj ieyth rjafbhjrj njv dherei vj-rbhjfjitbr. njvhjr cbr sdareib njrsba ceane `jtbrbhojsb zdruahunur.

]HJFJI [SDCHJOHJS :

5. x3 + 5 y + xy ? x6y6

3. xy + y ? y3 hax6. 3xyy ? x3 + y3

>. xyy + y3 ? x sbagx: . yxy

6 nx + xny ? ;xy ? 3 xj x

3 y

5.6.< Sbffetb Nbljreasbyjh NjaihjobVteanert Sbffetb njaihjob

y ? p(x)y3 + q (x)y + r(x) (5.3;)


14/115

5> CHO 5. CSAF OJS JCJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

cbbobanj hbajjr dhoeyea cbr njaihjonbr. Curene p, znj dherei slr dhoeyea cbr

ldaisbydanur. Cu njaihjoba y ? y5 `bcb zjh cbr zo cbhbabydrse njaihjoba `jajhzo cuhuaecbhbr. Cuaua bba, u yjab cbr ceoh njbija dhoei zjrj

y ? y5 + 5u

nao yepoei yjtjrhbnbr. y5 zjh zo dhnuuanea (5.3;) njaihjobab seher,yeab,

y5 ? p(x)y35 + q (x)y5 + r(x) (5.35)

dhur. D gehnj (5.3;) njaihjob

y ? y5 uu3

? p y35 + 3 y5

u + 5

u3+ q y5 + 5u3

+ r

dherei yezhr vj (5.35) `z aanj cuhuanuruhurse

u + (3 py5 + q )u + p ? ; (5.33)

hbajjr nbljreasbyjh njaihjob jhnj jnbhbr.AD^= Eeneib nbljreasbyjh njaihjohjrba ijyst dherei sjbhja 3 teajsb njrstj -zhjfjitbr. zhojyja sdruhera 3 teajsb, njrsj ieyth rjafbhjrj njv dherei vj-rbhjfjitbr. njvhjr cbr sdareib njrsba ceane `jtbrbhojsb zdruahunur.

]HJFJI [SDCHJOHJS . x3 + e y + 3 y36xye ? ; , y5 ? x: . y + j x y36y + j

x ? ; , y5 ? j x

)


15/115


jihbanjib cbr nzhjo jrb ebhjsbaba zo bsj (5.36) nbljreasbyjh njaihjobaj teo

nbljreasbyjh njaihjo njabr. bonb, vjrbhja cbr nbljreasbyjh njaihjoba teo dhup dhoe-n geiiane cbr irbtjr cjhbrhjyjhbo. Cuaua bba afj (5.3>) njaihjoba nbljreasbyjhbeharse

nu ? ux

nx + uy

ny (5.3:)

njaihjob jhnj jnbhbr. Cu nuruone, (5.36) vj (5.3:) njaihjohjrb cbrcbrbaj znjtbr.Cu znjhbitja

[ (x, y) ? ux

vj U(x, y) ? uy

(5.3


16/115

5< CHO 5. CSAF OJS JCJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

cuhuruz. Vdau dherei, cuhnuuouz g(y) ldaisbydauau (5.37) nj yjrbaj yezerseiu(x, y) ldasbydauau jhnj jnjrbz.AD^= Eeneib nbljreasbyjh njaihjohjrba ijyst dherei sjbhja 6 teajsb njrstj -zhjfjitbr. zhojyja sdruhera 6 teajsb, njrsj ieyth rjafbhjrj njv dherei vj-rbhjfjitbr. njvhjr cbr sdareib njrsba ceane `jtbrbhojsb zdruahunur.

]HJFJI [SDCHJOHJS 0

5. erftea y3nx + 3xy5 + y>

ny ? ;

3. (y + yj xy ) nx + ( x + xj xy ) ny ? ;6. j ynx + ( xj y + 3 y) ny ? ;

>. 5

y fds

xy

nx xy3

fds xy

ny ? ;

: . yx

3y

3

x3 + y3 nx

xx3 + y3

ny ? ;


17/115


vjye[ y Ux + [ y Ux ? ; (5.63)

dherei yezhrse, (x, y) batj`resyda erpeaaa cuhuaoes prdchjob yuierneib isobnbljreasbyjh njaihjoba cbr zoaa cuhuaoesae banbr`jaob dhuaur. Cu isobnjaihjob zoji (cbr zjh zoa cuhoei yjrtjrhb dhur) vjrbhja srenea nbljrea-sbyjh njaihjob di nege `tr. Leiet ybaj nj njajoj bhj cu njaihjoba cez zjhzohjrbab cuhecbhbrbz.

atj`resyda erpea senjfj x ba cbr ldaisbydau, yeab ? (x)dhoes nuruou =Cu nuruone (5.63) njaihjobanja

(x) ? f j 5U ( [ y Ux )nx (5.66)

batj`resyda erpo bhj jhnj jnbhbr. Curene f secbtbab zjh dherei sjoji (`jajhhbijf?5) yjtjrhbnbr.ZRESB= ? (x) jihbanj cbr btj`resyda erpeaaa cuhuaecbhojsb bba 5U [ y Uxblenjsbaba senjfj x ceosz njbijabaj ceh dhoes `jrjihbnbr.raji 5.:

(xy5)nx + x3xy ny ? ; (5.6>)

nbljreasbyjh njaihjobab `z aaj eheho. (5.6>) njaihjobanj [ (x, y) ? xy

5vj U(x, y) ? x3 xy nbr.

[ y ? x vj Ux ? 3 x y dhup [ y ? Ux nbr. Reab (5.6>) njaihjob teo nbljreasbyjh njaihjo njbhnbr. bonb, (5.6>) njaihjobab teo

nbljreasbyjh njaihjo yepefei batj`resyda erpeaa cuheho. 5U[ y Ux ? 5x

dhnuuanea (5.66) ceatsa iuhheaecbhbrbz.

(x) ? f j (5x )nx ?

fx

dherei jhnj jnbhbr. f secbtb ijyst dhnuuanea f ? 5 bba (x) ? 5x ehecbhbrbz. zjthj,teo dhoeyea (5.6>) njaihobab 5x ldaisbydau bhj erptozne dhuea njaihjo teo nbljreasbyjh njaihjo dhur.

atj`resyda erpea senjfj y ba cbr ldaisbydau, yeab ? (y)dhoes nuruou =Cu nuruone (5.63) njaihjobanja

(y) ? j 5[ ( [ y Ux )ny (5.6:)

jhnj jnbhbr.ZRESB= ? (y) jihbanj cbr btj`resyda erpeaaa cuhuaecbhojsb bba 5[ [ y Uxblenjsbaba senjfj y ceosz njbijabaj ceh dhoes `jrjihbnbr.


18/115


raji 5.;)

cuhuaur. zjthj, teo nbljreasbyjh njaihjo dhoeyea (5.62) njaihjobab j 53 (x+ y)3 ldisb-ydauyhe erptoz teitbrnj jhnj jnjfjbobz njihjo teo nbljreasbyjh njaihjo dhur.

ZRESB= Cu rajitj sdruhefei ebier sdruhernea cbrbsb nj ldaisbydaua ? x + ycbbobanj aesh cjhbrhjanbbnbr. Rephoes `jrjija bhjo, ldaisbydauau (5.60) nb-ljreasbyjh njaihjonja cuhoeitr. Leiet, cu prdchjoba zo vjrbhja (5.62) nblj-reasbyjh njaihjobaba zoanja zdrnur. Ndheysyhe cyhj cbr prdchjo vjrbhnbbteitbrnj ldaisbydau ne prdchjohj cbrhbitj vjrbhbr.

O (x, y) vj A (x, y) ldaisbydaher cbrjr pdhbado dhoei zjrj, yO (x, y)nx+xA (x, y)ny ? ; cbbobanjib teo dhoeyea cbr nbrjleasbyjh njaihjo bbabtj`resyea erpea=

Cu jibhnj ldrohbzj jnbhja cbr nbljreasbyjh njaihjo bba ? xo ya , o, a ] cbb-obanj cbr batj`resyda erpea cuhuaecbhbr. bonb vjrbhja yatjob eenei rajihjbzeg jnjhbo.

raji 5.73xy3 + 6 y nx + x3y + 6x ny ? ; (5.>5)

njaihjob teo dhoeyea cbr nbljreasbyjh njaihjonbr. (5.>5) njaihjobab yO (x, y)nx +xA (x, y)ny ? ; , yhj ib O (x, y) ? 3 xy + 6 vj A (x, y) ? xy + 6, ldrouane yez-hecbhjfjbobznja cegsb `jja yatjob uy`uheyecbhbrbz. (5.>5) njaihjobab ? xo ya ,o, a ] ldaisbydauyhe erptozne

3xo +5 ya +3 + 6 xo ya +5 nx + xo +3 ya +5 + 6 xo +5 ya ny ? ; (5.>3)

jhnj jnjrbz. (5.>3) njaihjobanj

[ (x, y) ? 3 xo +5 ya +3 + 6 xo ya +5 vj U (x, y) ? xo +3 ya +5 + 6( a + 5) xo +5 ya

dhup cu njaihjoj bba teo nbljreasbyjh dhoe iduhu, yeab [ y ? Ux yezhrse

3(a + 3) xo +5 ya +5 + 6( a + 5) xo ya ? ( o + 3) xo +5 ya +5 + 6( o + 5) xo ya


20/115


21/115

5.>. ]OHJSBA \ESHBI \J ^JIHBB 35

5. (y + x)nx + ( yx)ny ? ; , ? (x3 + y3)

3. (x3y)nx + yny ? ; , ? (xy)6. ynx(x + x

3 + y3)ny ? ; , ? (x3 + y3)>. (x3y

3 + 5) xnxyny ? ; , ? (x3y

3)

: .5x

+ 3y

nx +5y

3x

ny ? ; , ? (xy)

. (y + xy3)nx + ( xx3y)ny ? ;

5.> zohjrba \erhi vj jihbb5.>.5 [bfern Erni Reiheoher Ratjobbonbyj iener `rnoz steanert yatjohjrhj zhjcbhja(batj`rj jnbhjcbhja) cb-rbafb ojrtjcj njaihjohjrba dhnuie isth dhnuuau `rni. @jajh dherei uy`uhe-oeherne ierhehea njaihjohjrba pji du cu sal nane iehoeitenr. Eafei,

l (x, y) ldaisbydau (x; , y; ) aditesaa cbr idouhuuane teaoh vj srjihb cbr ldai-sbyda dhoei zjrjy ? l (x, y), y(x; ) ? y; (5.>6)

bhj teaoheaea cbrbafb ojrtjcj cbr njaihjo bba cehea` njjr prdchjob, njaihjobzojnja zohjrbaj bhbiba dhnuie ajohb cbh`bhjr ierecbhbrbz. rajba zo-hjrba verh vj tjihbb `bcb. bonb cyhj ievreohere gezrhi dherei [bfern btjresydavjye ernei yeiheoher yatjobab vjrjhbo. Cu yatjoba i adites (5.>6) prdc-hjobab njai cbr

y(x) ? y; + xx ; l (t, y(t))nt (5.>>)


22/115


batj`reh njaihjobaj natrojitbr. Jjr y(x), (5.>6) prdchjobaba cbr zo bsj,y(x) srjihb vj l (x, y(x)) ldaisbydau x ba srjihb cbr ldaisbydau dhur. (5.>6) njibnbljreasbyjh njaihjob x,j `rj x; x,j iener batj`rj jnbhbr vj cehea` iduhu iuhhea-hrse (5.>>) batj`reh njaihjobaj verhr. Curene, st batj`resyda sar x njbijab bhjierih ahjoji bba batj`reh njbijab dherei t njbijab iuhheahotr. ^jrsbaj,jjr y(x) batj`reh njaihjoba srjihb cbr zo bsj, y(x; ) ? y; cehea` iduhusehear vj (5.>>) njaihjobaba x , `rj trjtbhjrji ( 5.>6) njib njaihjo jhnj jnbhbr.bonb (5.>>) batj`reh njaihjobab btjresyda bhjob bhj zoji bstbydruz. Cuaua bbaiece yeiheohe zoj ceheyerei, cuau eno eno `jhbtbrojyj eheho. Cehea-` zo dherei y(x) ? y; secbt zo dherei sjbhjcbhbr. Cu yeiheo batj`rehnjaihjoba se yeaae yjrhjtbrjrji yjab vj nege byb cbr y5(x) yeiheo cjihjyjcbhbrbz=

y5(x) ? y; + x

x ;l (t, y ; (t))nt

bibafb btjresydane y5(x) yeiheoa iuhheaerei ybaj nege byb cbr y3 zo rjtj-cbhbrbz=

y3(x) ? y; + xx ; l (t, y5(t))ntvj cu cbbonjib btjresydahe a. eno yeiheo

ya (x) ? y; + xx ; l (t, ya 5(t))nt (5.>:)dhefeitr. a bba hbobtj `jjrji {ya (x)} ldaisbyda nbzbsb `jrji zoj yeia-seyefetr. Cu nbzbyj [bfern yeihetroher nbzbsb, cu btjresydahu yatjoj nj [bfernbtjresyda yatjob njabr.

raji 5.2y ? 5 + y3, y(;) ? ; (5.>


23/115

5.>. ]OHJSBA \ESHBI \J ^JIHBB 36

dherei cuhuaur. af btjresydane y6 yeiheo

y6(x) ? y(;) + x

;5 + y3(t)3 nt ?

x

;5 + ( t +

t6

6 )3 nt ? x +

x6

6 +

3x:

5: +

x0

.3 [bfern jdrjobl (x, y) ldaisbydau xy-nzhjobaba (x; , y; ) aditesa bjrja cbr ch`jnj teaoh cbrldaisbyda ldaisbyda dhoei zjrj

y ? l (x, y), y(x; ) ? y; (5.>7)cehea` njjr tjdrbob bba gea`b iduhher ehtane zoa ver dhnuuau vj jjrcyhj cbr zo verse tjihbbab `ereatb jnja verhi vj tjihbi tjdrbob blenj jnjr.

^jdrjo 5.3 l (x, y) vj l y , ijaerher jisjahjrj perehjh iepeh cbr S nbitrt`jab zj-

rbanj x vj y njbijababa srjihb ldaisbydaher dhsuaher. Jjr (x; , y; ) S ch`jsbaba gjrgea`b cbr b adites bsj, (5.>7) cehea` njjr prdchjobaba |xx; | g ereh zjrbanj yeahzfe cbr y(x) zo dhefei cbbonj cbr g 1 ; seys vernr.Cu tjdrjoba ieat bba Y


24/115

3> CHO 5. CSAF OJS JCJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS


25/115

Cho 3

RIVJI NJSJFJNJA

NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS[ 5, [ 3, . . . , [ a ldisbydaher x vj y aba ldaisbydaher dhsua. Jjr cbr nbljreasbyjh njai-hjo y yj `rj a. njrjfjnja cbr pdhbado bsj njaihjoj a. njrjfjnjanbr njabr. Cyhjcbr nbljreasbyjh njaihjo

nynx

a

+ [ 5nynx

a 5

+ + [ a 5nynx

+ [ a ? ; (3.5)

cbbobanj blenj jnbhjcbhbr. (3.5) njaihjobaba(y U5(x, y))(y U3(x, y)) . . . (y Ua (x, y)) ? ; (3.3)

cbbobanj erpeahere eyrhecbhnbbab iecuh jnjhbo. Jjr,

q r (x,y,f r ) ? ;

y Ur (x, y) ? ; njaihjobaba cbr zo bsj, cu eya zeoeane (3.3) njaihjobabanj cbr zonr. ^jrsbaj,(x,y,f ) ? ;

ldaisbydau (3.5) njaihjobaba cbr zo bsj

y Ur (x, y) ? ; , r ? 5 , 3, . . . , a

njaihjohjrbanja cbrbab nj seher. u gehnj, (3.3) njaihjobaba `jajh zo

q 5(x,y,f )q 3(x,y,f ) . . . q a (x,y,f ) ? ;

jihbanjnbr.

3:


26/115

3< CHO 3. RIVJI NJSJFJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

raji 3.5xy 3 + y(5x

3)y xy3 ? ; (3.6)

nbljreasbyjh njaihjob y yj `rj 3. njrjfjnjanbr vj njaihjo

(y xy)(y + yx

) ? ;

jihbanj bljnj jnbhjcbhbr. Cuaua `jajh zo bsj

y ? xy vj y ? yx

5. njrjfj njaihjohjrba zohjrb dhea

yfjx3 / 3 ? ; vj y

fx

? ;

ceatheraa erpo dhur. Reab,

yfjx3 / 3 y

fx

? ; .

3.5 Fhebreut Nbljreasbyjh Njaihjoby ? xp + l ( p), p ? y (3.>)

tbpbanjib cbr njaihjoj Fhebreut nbljreasbyjh njaihjob njabr. Cbr pereojtrjhb

y ? fx + l (f) (3.:)

ndru ebhjsbab seheyea nbljreasbyjh njaihjob cuhoeye eheho. (3.:) njaihjobabx ,j `rj trjvb y ? p ? f dhur. (3.:) nj yjrbaj idaurse f ydi jnbhob dhur vj (3.>)Fhebreut nbljreasbyjh njaihjob cuhuaur. D gehnj (3.:) ndru ebhjsb (3.>) njaihjobaba`jajh zonr. (3.>) njaihjobaba (3.:) `jajh zoanja jhnj jnbhjojyja vj tjibhzo njabhja cbr ceie zo nege cuhecbhbrbz. Cu eoehe, (3.>) njaihjob x,j `rjtrjtbrsji

p ? p + ( x + l ( p)) npnx (x + l ( p))

npnx

? ; (3.


27/115

3.5. FHEBSEZ^ NBLJSEAVBRJH NJAIHJOB 30

(3.) bhj (3.0) eresaneib x ydi jnbhbrsj

y ? pl ( p) + l ( p) (3.7)jhnj jnbhbr. (3.0) vj (3.7) njaihjohjrb cbrhbitj, p pereojtrj dhoei zjrj, ( 3.>)njaihjobaba pereojtrbi zonr. Cu bib njaihjo eresane p ydi jnbhbrsj,(x, y) ? ; cbbobanj f secbtbab bjrojyja cbr zo cuhuaur. Cu zoj nj(3.>) nbljreasbyjh njaihjobaba tjibh zo njabr.

raji 3.3

y ? xp + sba pnbljreasbyjh njaihjobaba `jajh vj tjibh zohjrbab cuhuauz.

Njaihjhob x,j `rj trjtbrsji

p (xfds p) ? ;

cuhuruz. p ? ; erpea y ? fx + sba f `jajh zo, (xfds p) ? ; erpea bsj

x ? fds p, y ? p fds p + sba p

vjye p aba ydi jnbhojsbyhj

y ? x erffds x + 5x3tjibh zo cuhuaur.

AD^= Eeneib nbljreasbyjh njaihjohjrba ijyst dherei sjbhja 3 teajsb njrstj -zhjfjitbr. zhojyja sdruhera 3 teajsb, njrsj ieyth rjafbhjrj njv dherei vj-rbhjfjitbr. njvhjr cbr sdareib njrsba ceane `jtbrbhojsb zdruahunur.

]HJFJI [SDCHJOHJS 55

Eeneib Fhebreut tbpbanjib nbljreasbyjh njaihjohjrba `jajh vj tjibh zohjrbabcuhuauz

5. y ? xp + ep( p3 + 5) 5/ 3

3. y ? xp + epe ha p6. y ? xp + pha p>. y ? xp + 5 p3 perffds p: . y ? xp + 5 + p3 pha p


28/115

37 CHO 3. RIVJI NJSJFJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

3.3 He`rea`j ( n Ehjocjrt) Nbljreasbyjh Njaihjoby ? x` ( p) + l ( p), p ? y (3.2)

tbpbanjib cbr njaihjoj He`rea`j nbljreasbyjh njaihjob njabr. Fhebreut nbljreasbyjhnjaihjob He`rea`j njaihjobaba zjh ` ( p) p nuruounur. Cuanea ndhey, curene` ( p) aba p nja lerih dhnuuau verseyydruz. (3.2) njaihjobab x ,j `rj trjtbrsji

p ? ` ( p) + Yx` ( p) + l ( p)_ p (x) (3.5;)

cuhuruz. p ( p) dhnuuanea `jajh batj`reh jrbhjrb erti ndruher dhoez. (3.5;) njai-hjob(` ( p) p)

nxnp + ` ( p)x ? l ( p) (3.55)

cbbobanj x,j `rj hbajjr cbr njaihjo dherei yezhecbhbr. (3.55) hbajjr nbljreasbyjhnjaihjob secbtba njbbob yatjobyhj zhrsj

x ? j ` ( p )` ( p ) p np f l ( p)j

` ( p )` ( p ) p np

` ( p) p np (3.53)

cuhuaur. D gehnj, (3.2) vj (3.53) eresane x ydi jnbhbrsj, y yeahzfe p vj f abacbr ldaisbydau dherei jhnj jnbhbr. Jjr, p cbr pereojtrj dherei nahrsj, (3.2)vj (3.53) njaihjohjrb `jajh zoa pereojtrbi njaihjohjrb dhur. Eafei cez zjhnuruoherne cu p pereojtrjsb ydi jnbhjrji x, y vj f yb bjrja cbr `jajh zo cuhoeiooia dhecbhbr. Nbjr yeanea, jjr ` ( p) p ? ; njaihjobaba ja ez cbr rjjh iiverse, rajba p ? p; bsj, d zeoea (3.5;) njaihjob p (x) ? ; bba sehear. Cunuruone ( 3.2) njaihjobaba

y ? x` ( p; ) + l ( p; )

cbbobanj secbt bjrojyja cbr zoa nege jhnj jnjrbz. Cu bsj tjibh vjye zjhzonr.

raji 3.6y ? xp3 + p6 (3.56)

njaihjobaba `jajh vj tjibh zoahjrbab cuheho. Njaihjob x,j `rj trjtbhbrsj,

p ? p3 + (3 xp + 6 p3) p (x) vjye p p3 ? (3 xp + 6 p3) p (x) (3.5>)

cbbobanj dhur. p p3 ? ; njaihjobaba iihjrb p; ? ; vj p; ? 5 nbr. p; ? ; vjye

p; ? 5 dhnuuane (3.5>) njaihjobanj p (x) ? ; dhur. u gehnj, p(x) ? f ? p;cuhuaur. p; ? ; ierhi `jhja tjibh zo y ? ; vj p; ? 5 iiaj ierhi `jhja


29/115

3.6. @JAJHHJ^BSOJ 32

tjibh zo y ? x + 5 cbbobanj dhur. bonb, p ? ; , 5 bba, (3.56) njaihjobaba `jajh zoa cuheho. (3.5>) njaihjob

nxnp

35 p

x ? 6 p5 p

cbbobanj x,j `rj hbajjrnbr. Cu njaihjoba zo nj

x ? 5

(5 p)3

63 p3 p

6 + f (3.5:)

dhur. Cuauahe, vjrbhja njaihjo eresane x ydi jnbhbrsj

y ? 5(5 p)

363 p6 p

> + fp + p6 (3.5


30/115

6; CHO 3. RIVJI NJSJFJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

njaihjob cuhuaur. Cu njaihjoba cbr secbtb bjrja `jajh zo u cbbonj blenj

jnbhjcbhbr=(x,p,f ) ? ; . (3.57)

Jjr (3.57) njaihjob x njbijabaj `rj x ? ( p, f) cbbobanj zhjcbhbydrse, cuceat (3.50) njaihjob bhj cbrhbitj `jajh zoa pereojtrbi njaihjohjrbab vjrbr. ppereojtrjsbaba ydi jnbhjcbhnbb nuruoherne `jajh zoa x, y vj f tranja, yeabiertjzyja blenjsb jhnj jnbhbr. Jjr, pl x vj l p aba yeahzfe x vj p yj ceh cbr drteierpea verse, cu nuruone njaihjoba cbr tjibh zoa ierecbhbrbz.Jjr L (x,y,p ) ? ; njaihjob x ,j `rj zhjcbhbydrse, yeab

x ? ` (y, p) (3.52)

bsj, cu ijz y njbijabaj `rj trjv eherei p (y) trjvbaj `rj cbrbafb njrjfjnjanxny

? 5 p

? `y

+ `p

npny

njaihjob cuhuaur. Cu njaihjoba zo

(y,p,f ) ? ; vjye y ? ( p, f) (3.3;)cbbobanj yezhecbhjfjbanja, ybaj (3.52) vj (3.3;) njaihjohjrb pereojtrbi dherei`jajh zo vjrbr.raji 3.>

y ? p + j x

p (3.35)

njaihjobaba `jajh vj tjibh zohjrbab cuheho.Njaihjo y yj `rj zho dhnuuanea gjr bib yeaa x, `rj trjtjhbo.

p ? p + j x

p p p3

j x

vjye ( p p) 5

j x

p3 ? ; (3.33)

cuhuruz. (3.33) njaihjob p ? p bba sephear. Curenea,

p ? p p ? fjx

(3.36)cuhuruz. (3.35) vj (3.36) njaihjohjrb eresane p ydi jnbhbrsj

y ? fj x + 5f

`jajh zo cuhuruz. (3.33) njaihjobaba secbt bjrojyja bibab erpea bsj p3 ? j xceatsa vjrbr ib, cuauahe (3.35) njaihjo eresane p ydi jnbhbrsj

y3 ? > j x

tjibh zo jhnj jnjrbz.


31/115


32/115


33/115

3.:. @JDOJ^SBI ZR@ZHEOEHES 66

3.: @jdojtrbi Zy`uheoeherL (x,y,y ) ? ; (3.66)

nbljreasbyjh njaihjobaba batj`reh jrbhjrbaba yeahzfe cbr pereojtrjyj ceh

l (x,y,f ) ? ; (3.6>)

cbbobanj jrb ebhjsb dhnuuau cbhbydruz. ^jrsbaj, (3.6>) njaihjobaba x,j `rj trj-tbhojsbyhj jhnj jnbhja (x,y,y , f ) ? ; bhj (3.6>) eresane f secbtb ydi jnbhbrsj (3.66)njaihjob jhnj jnbhbr. bonb, ybaj cu secbtj ceh bib jrb ebhjsb eheho=

l (x,y,f ) ? ; vj ` (x,y,i ) ? ; . (3.6:)

(3.6:) njaihjohjrbanja cbrbsbab febhjsb, nbjrb nj iebhjsb dherei bsbohjanbrjhbo.Jjr i -ebhjsbaba gjrgea`bcbr jrbsb f-ebhjsbaba gjr jrbsbab cjhbrhb cbr `jdojtrbi zjhhbj`rj ijsjrsj, gjr bib ebhjaba gjrgea`bcbr jrbsbaj nbjr yra`jaba yra`jsb njabr.Cbr jrb, jrb ebhjsbaba cta jrbhjrbab nbi e ehtane ijsjrsj, cu jrbyj d ebhjaba nbiyra`jsb, jjr 2; nja lerih cbr e ehtane ijsjrsj, jbi yra jsb njabr. jibh(5)njib `bcb (3.6:) jrb ebhjhjrb secbt cbr es bhj ijsbsba vj febhjsbaba gjrgea`bcbrjrbsbaba ijyst cbr (x, y) aditesane tjjtb x jisjabyhj es yepsa. bsj, i -ebhjsbabacu aditene x jisjab bhj yept e dhsua. Cu erther ehtane, eeneib ceatyyezecbhbrbz=

y ? tea ? tea( ) ? tea

tea

5 + tea tea .

febhjsbaba nbljreasbyjh njihjob L (x,y,y ) ? ; bsj

L (x,y, tea ) ? L (x,y, tea tea 5 + tea tea

) (3.6


34/115

6> CHO 3. RIVJI NJSJFJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

raji 3.: ehtane ijsja jbi yra`jhjrbab cu-huauz.\jrbhja jocjr ebhjsbaba (3.67) nbljreasbyjh njaihjob

y ? xy

(3.62)

nbr. (3.67) ebhjsbaba nbi yra`jhjrbab cuhoei bba y 5y nao yephrse

y ? yx (3.>;)

jhnj jnbhbr. (3.>;) nbljreasbyjh njaihjobaba zoanja y ? ix cuhuaur. zjthj,(3.67) jocjr ebhjsbaba nbi yra`jhjrb y ? ix ndru ebhjsbnbr.bonb nj (3.67) jocjr ebhjsbaba ? >: ehtaneib jbi yra`jhjrbab cuheho. Re-phoes `jrjija b, (3.>;) nbljreasbyjh njaihjobanj y y

tea>:

5+ y tea >: nao yep-oeitr. Cu nao yephnane

y 55 + y

? xy

vjye y ? yxy + x

5. njrjfjnja gdodmja nbljreasyjh njaijhjob jhnj jnbhbr. y ? ux naoanja

y ? u x + u ? u5u + 5

vj curenea u + 5u3 + 5

nu + nx

x ? ; u + 5u3 + 5 nu + nxx ? i

curenea ne

ha|u|+ erftea u + ha |x| ? x ha|y|+ erftea yx ? ijhnj jnbhbr.

AD^= Eeneib nbljreasbyjh njaihjohjrba ijyst dherei sjbhja 3 teajsb njrstj -zhjfjitbr. zhojyja sdruhera 3 teajsb, njrsj ieyth rjafbhjrj njv dherei vj-rbhjfjitbr. njvhjr cbr sdareib njrsba ceane `jtbrbhojsb zdruahunur.

]HJFJI [SDCHJOHJS 5:


35/115

3.:. @JDOJ^SBI ZR@ZHEOEHES 6:

Eeneib cbr pereojtrjhb jrb ebhjhjrbaba nbi yra`j njaihjohjrbab cuhuauz.

5. y3 ? fx3. y ? f sbax6. y ? f hax>. y ? f(x + 5) j x

: . (x3e3)3 + ( y3c

3)3 ? f

AD^= Eeneib nbljreasbyjh njaihjohjrba ijyst dherei sjbhja 3 teajsb njrstj -zhjfjitbr. zhojyja sdruhera 5 teajsb, njrsj ieyth rjafbhjrj njv dherei vj-

rbhjfjitbr. njvhjr cbr sdareib njrsba ceane `jtbrbhojsb zdruahunur.]HJFJI [SDCHJOHJS 5: ehtaneib jbi yra`j njaihjo-hjrbab cuhuauz.

5. xy ? f3. x3y

3 ? f6. x3 + y3 ? 3 fx>. y ? x hafx: . yx ? fx

3


36/115

6< CHO 3. RIVJI NJSJFJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS


37/115

Cho 6

RIVJI OJS^JCJNJANLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

6.5 ibafb Ojrtjcjnja Hbajjr Nbljreasbyjh Njaihjo-hjr

l vjrbhja ijyst ldaisbyda dhoei zrj bibafb ojrtjcjnja cbr nbljreasbyjh njaihjo

n3ynx3

? l x,y, nynx

(6.5)

cbbobanj blenj jnbhjcbhbr. Jjr (6.5) njaihjobanjib l ldaisbydauane y vj nynx hbajjrdhefei jibhnj blenj jnbhjcbhydrse, njaihjoj 3. ojrtjcjnja hbajjr nbljreasbyjh njai-hjo njabr. Jjr (6.5) njaihjob hbajjr bsj, [ (x) ? ; dhoei zjrj njaihjo `jajhdherei,

[ (x)y + U(x)y + S (x)y ? @(x) (6.3)cbbobanj yezhecbhbr. (6.3) njaihjob [ (x) bhj charsj

y + q (x)y + r(x)y ? ` (x) (6.6)

ldrouane blenj jnbhjcbhbr. (6.6) njaihjo bhj cbrhbitj

y(x; ) ? y; =? secbt, y (x; ) ? y; =? secbt, (6.>)

cehea` iduhher ne vjrbhbrsj cu prdchjoj cehea` njjr prdchjob njabr.

6.5.5 Vecbt Ietseyh ibafb Ojrtjcjnja Gdodmja Nbljreasb-yjh Njaihjohjr

Jjr (6.3) njaihjobanj [ (x), U(x) vj S (x) ldaisbydaher secbt vj @(x) ? ; bsjnjaihjoj secbt ietyeh bibafb ojrtjcjnja gdodmja nbljreasbyjh njaihjo njabr. Cyhj

60


38/115

67 CHO 6. RIVJI OJS JCJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

cbr nbljreasbyjh e, c, f rjjh secbthjr dhoei zjrj

ey + cy + fy ? ; (6.:)

cbbobanj blenj jnbhbr.bonb (6.:) nbljreasbyjh njaihjobaba `jajh zoa cuheho. Jvvjh e ? ; gehbab`zaaj eheho. Cu teitbrnj njaihjo,

cnynx

+ fy ? ;

jihbanj cbrbafb ojrtjcjnja njbijahjrj eyrhecbhja tbptj cbr njaihjo gehbab ehr.Curenea,

nyy

? fcnx ? rnx ha yi ? rx y ? ijrx

jhnj jnbhbr. Cu jibhnj jhnj jnbhja sdau cbzj, bibafb ojrtjcjnja nbljreasbyjh njai-hjoba zoanj y ? ij rx jihbanj dhecbhjfjbab tjhiba jnjr. bonb, y ? ij rx vjtrjvhjrbab (6.:) njaihjobanj yjrbaj idyerei y ? ij rx ba cu njaihjob seheoe ert-hera cuheho.

y ? ij rx , y ? irj rx , y ? ir 3j rx .

Cu blenjhjrb (6.:) njaihjobanj yjrhjrbaj idyersei

eir 3j rx + irj rx + fij rx ? ;

er 3 + cr + f ij rx ? ;

jhnj jnbhbr. i ijyst cbr secbt dhnuuanea neboe slr dheoez vj gjr x njjrb bbaj rx ? ; dhnuuanea cu ceataa seheaecbhojsb bba

er 3 + cr + f ? ; (6.


39/115

6.5. IBAFB OJS JCJNJA HBAJJS NBLJSEAVBRJH NJAIHJOHJS 62

B. Iereitjrbstbi njaihjobaba bib rjjh iiaa dhoes gehb= ? c3>ef 1 ; dhoes nuruouane iereitjrbstbi njaihjoba iihjrb r 5 vj r 3 bsj

y5 ? i 5j r 5 x vj y3 ? i 3j r 3 x

ceather (6.:) nbljreasbyjh njaihjobaba cbrjr zo dherei njaihjob seherher.Eafei cbrjr teaj ijyst secbt bjrnbihjrbanja `jajh zo dheoezher. y5 vj y3 aba(6.:) njaihjobab seheoe erta yezersei

ey5 + cy5 + fy5 ? ;ey3 + cy3 + fy3 ? ;

vj cu bib ceaty terel terele tdphersei

e(y5 + y3 ) + c(y5 + y3) + f(y5 + y3) ? ;

jhnj jnbhbr. Cu bsj cbzj

y ? y5 + y3 ? i 5j r 5 x + i 3j r 3 x (6.0)

blenjsbaba nj (6.:) nbljreasbyjh njaihjobaba cbr zo dhnuuau `stjrbr. Nbjrtereltea cu zo, i 5 vj i 3 `bcb bib ijyst secbt bjrnbbanja `jajh zonr.

raji 6.5y 6y + 3 ? ;

nbljreasbyjh njaihjobab zjhbo.Iereitjrbstbi njaihjo,

r 36r + 3 ? ;

dhup iihjrb r 5 ? 5 , r3 ? 3

dherei njaihjoba `jajh zo

y ? i 5jx

+ i 3j3x

nbr.


40/115

>; CHO 6. RIVJI OJS JCJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

BB. Iereitjrbstbi njaihjoba bib ieth cbr ii dhoes gehb=c3>ef ? ; dhoes gehbanj iereitjrbstbi njaihjobaba bib ieth ii r ? c3e dhup(6.:) nbljreasbyjh njaihjoba zo y ? ij rx nbr. Eafei cu ceat cbr tji ijystsecbt bjrnbbanja `jajh zo dheoez. @jajh zo cuhoei bba nege afj cbrbafbojrtjcjnja hbajjr nbljreasbyjh njaihjoba zoanj iuhheanoz secbtba njb-bob iureha cureye uy`uheyeho. Cuaua bba nj y ? ij rx ba nbljreasbyjh njaihjoba`jajh zo dhecbhojsb bba i ? i (x) dhefei jibhnj cbr i (x) ldaisbydau cuheho.

y ? i (x)j rx

y ? i j rx + irj rx ? ( i + ir )j rx

y ? i j rx + 3 i rj rx + ir 3j rx ? ( i + 3 i r + ir 3)j rx

dhup y vj trjvhjrbab (6.:) nbljreasbyjh njaihjobanj yjrbaj idyerei seheoe ertajhnj jtoji bstjrsji

e(i + 3 i r + ir 3)j rx + c(i + ir )j rx + fij rx ? ;

vjyeei + (3 er + c)i + ( er 3 + cr + f)i ? ; (6.7)

jhnj jnbhbr. r, iereitjrsbi njaihjoba bib ieth ii dhnuu `zaaj eharse

er3

+ cr + f ? ; vj 3 er + c ? ;dhnuu eahehr. D gehnj (6.7) njaihjobanja

ei ? ; i ? ; i ? i 5 i ? i 5x + i 3, i 5, i 3 ? secbtcuhuaur. Cuae `rj (6.:) nbljreasbyjh njaihjobaba iereitjrbstbi njaihjob blt iethii dhoes nuruouane `jajh zo

y ? ij rx ? ( i 5x + i 3)j rx , i 5, i 3 ? secbt (6.2)

dhur.

raji 6.3 y >y + >y ? ; nbljreasbyjh njaihjobaba `jajh zoa cuhuauz.Ierjitjrsbtbi njaihjo r3 >r + > dhup iihjrb r5 ? r3 ? 3 bib iethnr. D gehnj njaihjoba `jajh zo y ? ( i 5x + i 3)j 3x


41/115

6.5. IBAFB OJS JCJNJA HBAJJS NBLJSEAVBRJH NJAIHJOHJS >5

BBB. Iereitjrbstbi njaihjoba bib iiaa idophjis dhoes gehb= ? c3>ef 8 ; dhoes nuruouane iereitjrbstbi njaihjoba iihjrb jhjabi idop-hjis cbr ii dhup

r 5 ? c3e

+ 53e ? + b

r3 ? c3e

53e ? b

nbr. Cuae `rj (6.:) nbljreasbyjh njaihjobaba `jajh zo

y ? i 5jr 5 x

+ i 3jr 3 x

y ? i 5j( + b)x + i 3j (

b)x

y ? jx i 5j bx + i 3j

bx

y ? jx Yi 5(fds x + bsbax ) + i 3(fds x bsbax )_

y ? jx Y(i 5 + i 3)fds x + b(i 5i 3)sbax _ (6.5;)

cuhuaur. Jjr n5 =? i 5 + i 3 vj n3 =? b(i 5i 3) eharse (6.5;) njaihjob

y ? j x Yn5 fds x + n3 sbax _ (6.55)

gehbab ehr. (6.55) njaihjob (6.:) nbljreasbyjh njaihjobaba iereitjrbstbi njaihjobaidophjis ii dhoes gehbanjib `jajh zonr. Cezja (6.55) njaihjob nege iseldrone ne blenj jnbhbr. Cu ldrou jhnj jtoji bba n5 ? n fds vj n3 ? n sba eharse(6.55) njaihjob

y ? nj x fds(x ) (6.53)

cuhuaur. , Lbzbisjh vjye ogjanbshbitjib prdchjohjrnj lez leri dherei abtjhjanbrb-hbr. rajba sv bjrbanj sehao yepea cbr yeye ceh cbr perefa dhuturnuunbljreasbyjh njaihjoba zo (6.53) njaihjobnbr. Curene n `jahbb vj lez leriatjosbh jnjr.

raji 6.6 y 3y + 3y ? ; nbljreasbyjh njaihjobaba `jajh zoa cuheho.\jrbhja nbljreasbyjh njaihjoba iereitjrbstbi njaihjob

r 33r + 3 ? ;

dhup iihjrb r ? 5 b nbr. Nbljreasbyjh njaihjoba `jajh zo

y ? j x (n5 fds x + n3 sbax) vjye y ? nj x fds(x )

cuhuaur.


42/115


43/115


cbbobanj vjrbhbr. Jjr cu Prdasibea B erehaa ja ez cbr njjrbanj slrnea lerih

bsj {y5, y3, . . . , ya } ldaisbydaher iojsb B zjrbanj hbajjr ceosz, eisb gehnj yeab B erehaaa gjr jhjoea bba Prdasibea njjrb slr bsj {y5, y3, . . . , ya } ldaisbydaheriojsb B zjrbanj hbajjr ceoh dhur.raji 6.: y : y + )

cbbobanj blenj jnbhja secbt ietseyh hbajjr vj se yeah vjye gdodmja dhoeyeanbljreasbyjh njahjoba zoa cuhefez.

^jdrjo 6.5 (6.5>) jihbanjib cbr nbljreasbyjh njaihjoba `jajh zo, y5 gdodmja isoa vj y3 gdodmja dhoeyea njaihjoba cbr zjh zo dhoei zjrj

y ? y5 + y3

cbbobanjnbr.

Cuae `rj, gdodmja dhoeyea (6.5>) nbljreasbyjh njaihjobaba zjh zohjrbaba cu-huaoes bba `jajh cbr iureh, njaihjoba 3. ydh nea zhojsb sresane jhj ehefez.Eafei, l (x) ba cez cjhbrhb jibhhjrb bba, ndrunea ndruye cbr zjh zo cuhoeiooianr. bonb cu jibhhjrba ja ajohbhjrbab `znja `jbrjhbo.


44/115


45/115

6.5. IBAFB OJS JCJNJA HBAJJS NBLJSEAVBRJH NJAIHJOHJS >:

jhnj jnbhbr ib curenea ne j 3 ? 5 , j 5 ? 53 vj j ; ? :> cuhuaur. u gehnj zjh zo

y3 ? x3 + 53

x + :>

dhur. \jrbhja nbljreasbyjh njaihjoba `jajh zo bsj

y ? y5 + y3 ? i 5j x + i 3j 3x + x3 + 53

x + :>

cbbobanj cuhuaur.

raji 6.0 y + 3 y ? 3 x + > nbljreasbyjh njaihjobaba `jajh zoa cuheho.Njaihjoba gdodmja iso y + 3 y ? ; nbr. Cu njaihjoba iereitjrbstbi njaihjob nj r 3 + 3 r ? ; vj cu njaihjoba iihjrb r 5 ? ; vj r 3 ? 3 nbr. Cu iihjrj ierhi `jhja zohjr i 5 vj i 3j 3x nbr. Gdodmja isoa zo

y5 ? i 5 + i 3j 3x

dhur. Gdodmja isoa zoanj i 5 jihbanj slraf njrjfjnja pdhbado dhnuua-nea zjh zo

y3 ? x(j 5x + j ; ) ? j 5x3 + j ; x

dhefei jibhnj ereaoehnr. ^rjvhjr y3 ? 3 j 5x + j ; vj y3 ? 3 j 5 dhup cu blenjhjrb vjrbhja nbljreasbyjh njaihjonj yjrhjrbaj yeznozne

3j 5 + 3 j 5x + j ; ? 3 x + >

jhnj jnjrbz. [dhbadohera znjhbbanja j 5 ? 5 vj j ; ? 3 cuhuruz. D gehnj zjh zo

y3 ? x3 + 3 x

cuhuauruz. Vdau dherei, vjrbhja nbljreasbyjh njaihjoba `jajh zoa

y ? y5 + y3 ? i 5 + i 3j 3x + x3 + 3 x

jihbanj cuhuruz.

l (x) ldaisbydauaua nj x cbbobanj stjh cbr ldaisbyda dhoes gehb=ey + cy + fy ? nj x (6.5


46/115

>< CHO 6. RIVJI OJS JCJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

3. Jjr iereitjrbstbi njaihjoba gjrgea`b cbr ii ye jbt yeab iereitjrbstbi

njaihjobaba cesbt ii bsj, d zeoea zjh zoy3 ? Ixj x

jihbanj erear.

6. Jjr iereitjrbstbi njaihjoba blt ieth cbr ii bsj, d zeoea zjh zo

y ? Ix 3j x

jihbanj erear.

raji 6.7 y +>y +7 y ? 3 j 3x

nbljreasbyjh njaihjobaba `jajh zoa cuheho.Gdodmja iso y + >y + 7y ? ; dhup iereitjrbstbi njaihjob r3 + >r + 7 ? ;cbbobanjnbr. Iereitjrbstbi njaihjoba iihjrb bsj r5 ? 3 + 3b vj r3 ? 33b nbr.Ndheysyhe gdodmja isoa zo

y5 ? j 3x (i 5 fds 3x + i 3 sba 3x)

cbbobanj cuhuaur. bonb vjrbhja njaihjo bba zjh zo cuheho. ? 3 dhupiereitjrbstbi njaihjoba iihjrbaj jbt dhoenanea y3 ? I j 3x cbbobanj zjh -zo ereyeho. y3 ? 3Ij 3x vj y3 ? > Ij 3x dhup cu blenjhjr vjrbhja njaihjonj yjrhjrbaj idaurse

>Ij 3x

7Ij 3x

+ 7 Ij 3x

? 3 j 3x

jhnj jnbhbr. Curenea ne I ? 53 dhup zjh zo y3 ? 53 j

3x jihbanj dhur. \jrbhja nbljreasbyjh njaihjoba `jajh zo nj

y ? j 3x (i 5 fds 3x + i 3 sba 3x) + 53

j 3x

cbbobanj cuhuruz.

raji 6.2 y : y + Ixj 3x dhupcu blenjhjr vjrbhja njaihjonj yjrhjrbaj yezhrse

>Ij 3x + >Ixj 3x: Ij3x5; Ixj

3x +


47/115


ldrouane dhur vj curenea ne I ? 0 cuhuaur. zjh zo y3 ? 0xj 3x jihbanj jhnj jnbhbr. \jrbhja nbljreasbyjh njaihjoba `jajh zo bsj

y ? i 5j 3x + i 3j 6x0xj3x

ldrouane cuhuaur.

raji 6.5; y +> y +>y ? 3 j 3x nbljreasbyjh njaihjobaba `jajh zoa cuheho.Gdodmja isoa iereitjrbstbi njaihjob r 3 +>r +> ? ; nbr vj iihjrb blt ieth dherei r ? 3 cbbobanjnbr. Gdodmja isoa zo

y ? ( i 5x + i 3)j 3x

jihbanjnbr. ? 3 iereitjrbstbi njaihjoba blt ieth ii dhnuuanea zjh zo y3 ? Ix 3j

3x

ldrouane erear. y3 ? 3 Ixj 3x3Ix3j 3x vj y3 ? 3 Ij 3x7Ixj

3x +>Ix 3j 3xdhup vjrbhja nbljreasbyjh njaihjonj yjrhjrbaj idaurse

3Ij 3x7Ixj 3x + >Ix 3j 3x + 7 Ixj 3x7Ix

3j 3x + >Ix 3j 3x ? 3 j 3x

curenea ne I ? 5 cuhuaur. u gehnj zjh zo

y3 ? x3j 3x

cbbobanj jhnj jnbhbr. \jrbhja njaihjoba `jajh zo bsj

y ? ( i 5x + i 3)j 3x + x3j 3x

l (x) ldaisbydauaua O sba px + A fds px jihbanj dhoes gehb=ey + cy + fy ? O sba px + A fds px (6.50)

cbbobanjib cbr nbljreasbyjh njaihjobaba zjh zo=

5. Jjr c

? ; dhoes nuruouane (6.50) njaihjobaba zjh zo

y3 ? E sba px + C fds px

ldrouane erear.

3. Jjr c ? ; vj iereitjrbstbi njaihjoba iihjrb pb jihbanj bsj d zeoea (6.50)njaihjobaba zjh zoy3 ? Ex sba px + Cx fds px

ldrouane erear.


48/115

>7 CHO 6. RIVJI OJS JCJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

raji 6.55 y + y3y ? > sba 3x nbljreasbyjh njaihjobab zjhbo.

Iereitjrbstbi njaihjo r 3 + r3 ? ; vj iihjrb r5 ? 3, r3 ? 5 dhup gdojmja isoa zo

y5 ? i 5j 3x + i 3j x

jihbanj cuhuaur. \jrbhja njaihjonj c ? 5 ? ; dhnuuanea zjh zo y3 ? E sba3x + C fds 3x

ldrouane erear. ^rjvhjr bsj y3 ? 3 E fds3x 3C sba 3x, y3 ? >E sba3x >C fds 3x dhur. Cu blenjhjr vjrbhja nbljreasbyjh njaihjonj yjrbaj idaurse

>E sba3x

>C fds 3x + 3E fds3x

3C sba 3x

3E sba3x

3C fds 3x ? > sba 3x

vj znj dherei

(


49/115


curenea ne E ? 5 / 3 vj C ? 5 cuhuaur. Cuahernea ne zjh zo y3 ?

53

x sbaxx fds x

jhnj jnbhbr. \jrbhja njaihjoba `jajh zo bsj

y ? i 5 sbax + i 3 fds x + 53

x sbaxx fds x

cbbobanj cuhuruz.

l (x) ldaisbydauaua ` (x)j x dhoes gehb=ey + cy + fy ? ` (x)j x (6.57)

nbljreasbyjh njaihjobaba y3 zjh zo

y3(x) ? z (x)j x

njbija nao yepherei cuhuaur.

raji 6.56y + y3y ? j

3x fds3x (6.52)nbljreasbyjh njaihjobaba `jajh zoa cuheho.(6.52) njaihjobaba gdodmja isoaa iereitjrbstbi njaihjob r3 + r3 ? ; nbr. Cu njaihjoba iihjrb bsj r5 ? 3 vj r3 ? 5 dhur. u gehnj gdodmja isoa zo

y5 ? i 5j 3x + i 3j x

cbbobanj jhnj jnjrbz.(6.52) njaihbobaba se yea l (x) ? ` (x)j x cbbobanj dhnuuanea zjh zo bba

y3(x) ? z (x)j 3x

njbija njbbobab uy`uheyecbhbrbz. y3 ? z j 3x + 3 zj 3x vj y3 ? z j 3x + >z j 3x + >zj 3x

cuhuruz. Cu blenjhjr vjrbhja njaihjonj yjrhjrbaj idyersei z j 3x + >z j 3x + >zj 3x + z j 3x + 3 zj 3x3zj

3x ? j 3x fds3x

cuhuruz. Cu blenjyb nzjahjrsji vj jbthbba gjr bib yea j 3x bhj chjrsji

z + : z + >z ? fds3 x (6.3;)

njaihjob jhnj jnjrbz. Cu njaihjoba cbr zjh zoa

z ? E sba3x + C fds 3x


50/115

:; CHO 6. RIVJI OJS JCJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

ldrouane cuhecbhbrbz. z ? 3 E fds3x 3C sba 3x vj z ? >E sba3x >C fds 3xcbbobanj yezerz. Cu blenjhjr (6.3;) njaihjobanj yjrbaj yezersei,

>E sba3x>C fds 3x + 5; E fds3x5; C sba 3x + >E sba3x + >C fds 3x ? fds3 x

jhnj jnjrbz vj cu njaihjo nzjahjrsji

5; C sba 3x + 5; E fds3x ? fds 3 x

curenea ne E ? 55; vj C ? ; jhnj jnjrbz. (6.3;) njaihjobaba zjh cbr zo z ? 55; sba 3x cuhuaur. D gehnj (6.52) njaihjoba zjh zo

y3(x) ? 5

5;j 3x sba3x

cuhuruz. (6.52) njaihjobaba `jajh zo bsj

y ? i 5j 3x + i 3j x +

55;

j 3x sba3x

cbbobanj jhnj jnjrbz.

l (x) ldaisbydauaua cbr ie ldaisbydaua tdpheo jihbanj dhoesgehb=Cu teitbrnj zjh zo, l (x) b dhuturea ldaisbydahera gjrcbrbaj ierhi `jhja zjhzohjrba tdpheoae jbttbr. rajba,

ey + cy + fy ? l 5(x) + l 3(x) + l 6(x) (6.35)

jihbanjib cbr nbljreasbyjh njaihjoba zjh zo l 5(x), l 3(x), l 6(x) ldaisbydaher-aa gjrcbrbaj ierhi `jhja y35, y33, y36 zjh zohjrbaba tdpheoae, yeab

y3 ? y35 + y33 + y36

j jbttbr.

raji 6.5>y 6y + 3 y ? > x + 7 + 3 j

x (6.33)njaihjobaba `jajh zoa cuheho.(6.33) njaihjobanjib gdodmja isoa iereitjrbstbi njaihjob r3 6r + 3 ? ; . u gehnj gdodmja isoa zo

y5 ? i 5j x + i 3j 3x

cbbobanj cuhuruz. Jvvjh >x + 7 j ierhi `jhja zjh zo cuheho.

y35 ? Ex + C


51/115

6.5. IBAFB OJS JCJNJA HBAJJS NBLJSEAVBRJH NJAIHJOHJS :5

ldrouane cbr zjh zo cuheho. y35 ? E vj y35 ? ; cuhuaur.

6E + 3Ex + 3C ? > x + 7

jhnj jnjrbz. Curenea ne E ? 3 vj C ? 5 dhup y35 zjh zo

y35 ? 3 x + 5

cuhuruz. bonb nj 3j x ierhi `jhja y33 zjh zo cuheho.

y33 ? I j x

y33 ? Ij x

vj y33 ? I j x

. Cu blenjhjr njaihjonj yjrbaj idyerse Ij x + 6 Ij x + 3 Ij x ? 3 j x (6.36)

jhnj jnjrbz. Curenea ne I ? 56 dhur ib y33 ? 5

6 j x cbbobanj cuhuruz. u gehnj

(6.33) nbljreasbyjh njaihjobaba `jajh zo

y ? y5 + y35 + y33 ? i 5j x + i 3j 3x + 3 x + 5 + 56

j x

cbbobanj cuhuruz.

3. RDH Vecbtba njbbob iureh (He`rea`j iureh)=

Jjr l (x) yuierne cegsb `jja cbbohjrnja gjrgea`b cbrbsbaj uyouydrse d teitbrnjbonj jhj ehfeoz He`rea`j iureha uyùheoehyz. Eshane cu iureh l (x) ldai-sbydauaua cta gehhjrb bba uyùheaecbhbr. Eafei bhjohjrba iseh esanea jjrl (x) yuierne cjhbrtbhja cbbohjrj uyoes nuruouane cu cbbohjrj uyùa ojtdn-herhe zo yephecbhbr.He`rea`j ieatheotr ib, gdodmja njaihjoba `jajh zo cbhbabydr bsj, zjh zobatj`reh bhjohjrb bhj jhnj jnbhbr.

ey + cy + fy ? l (x) (6.3>)

njahjobaba zoa cuheho. (6.3>) njaihjobaba gdodmja iso dhea

ey + cy + fy ? ;

njaihjobaba `jajh zoy ? i 5y5 + i 3y3


52/115

:3 CHO 6. RIVJI OJS JCJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

dhsua. He`rea`j, i 5 vj i 3 secbthjrbab x ceosz njbijabaj ceoh njbijahjr yeabi 5 ? i 5(x) vj i 3 ? i 3(x) dhnuuau verseyotr. Cu verseyonea gerjijthj (6.3>)njaihjobaba `jajh zo

y ? i 5(x)y5 + i 3(x)y3 (6.3:)

cbbonja dhnuuau ieatheotr. (6.3:) njaihjobab x `rj trjtbrsji

y ? i 5(x)y5 + i 3(x)y3 + i 5(x)y5 + i 3(x)y3 (6.3


53/115

6.3. A. OJS JCJNJA HBAJJS \J VECB^ IE^VERBHB NBLJSEAVBRJH NJAIHJOHJS :6

cbbobanj cuhuruz. He`rea`j ojtdnuau uy`uhersei

i 5(x)sbax + i 3(x)fds x ? ;i 5(x)fds xi 3(x)sbax ? tea x

njaihjo sbstjobab jhnj jnjrbz. Freojr yatjobanja

i 5(x) ?

; fds xtea x sbaxsbax fds xfds x sbax

vj i 3(x) ?

sbax ;fds x tea x

sbax fds xfds x sbax

cuhuruz vj curenea ne i 5(x) ? sba x vj i 3(x) ? sbax tea x jhnj jnjrbz. Cu njai-hjohjr zhrsj i 5(x) ? sbaxnx ? fds x + f5i 3(x) ? sba3 xfds x nx ? fds xnx 5fds x nx ? sba xha| tea x + sjf x|+ f3cuhuruz. \jrbhja nbljreasbyjh njaihjoba `jajh zo nj

y ? i 5(x)sbax + i 3(x)fds x? (

fds x + f5)sbax + (sba x

ha

|tea x + sjf x

|+ f3)fds x

? f5 sbax + f3 fds xfds x ha| tea x + sjf x|cbbobanj cuhuruz.

6.3 a. Ojrtjcjnja Hbajjr vj Vecbt Ietseyh Nblj-reasbyjh Njaihjohjr

a. ojrtjcjnja hbajjr vj secbt ietseyh nbljreasbyjh njaihjo

eana ynxa + ea

5na 5ynxa 5 + ... + e5

nynx + e; y ? l (x) (6.6;)

cbbobanjnbr. l ? ; bsj (6.6;) njaihjobaj gdodmja dhoeyea, l (x) ? ; bsj njaihjojgdodmja nbljreasbyjh njaihjo njabr.

6.3.5 a. ojrtjcjnja hbajjr vj secbt ietseyh gdodmja nblj-reasbyjh njaihjohjrba zo

eana ynxa

+ ea 5na 5ynxa 5

+ ... + e5nynx

+ e; y ? ; (6.65)


54/115

:> CHO 6. RIVJI OJS JCJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

njaihjobaba zohjrb nj, bibafb ojrtjcjnj dhnuu `bcb, f cbr secbt dhoei zjrj

y ? fj rx

jihbanjnbr. bonb cu ceataa njaihjob seheoes bba r aba aj dhoes `jrjitbbabbafjhbyjhbo.

y ? fj rx y ? frj rx , ..., y(a 5) ? fr a 5j rx , y(a ) ? fr a j rx

ceathera (6.65) njaihjobanj yjrbanj idyersei

(ea r a + ea 5r a 5 + ... + e5r + e; )fj rx ;

jhnj jnbhbr. Cu znjhbba seheaoes bba

ea r a + ea 5r a 5 + ... + e5r + e; ? ; (6.63)

dhoes `jrjibr. D gehnj r cu njaihjoba cbr ii dhoehnr. ibafb ojrtjcjnj dhnuu`bcb, (6.63) njaihjobaj ( 6.65) gdodmja njaihjobaba iereitjrbstbinjaihjob njabr.Cyhj cbr fjcbrsjh njaihjoba, a teaj ii dhefeae `rj, njaihjoba nj a teajzo yezhecbhbr. Hbajjr dherei ceosz a zo y5, y3,...,ya bsj (6.65) gdodmjanjaihjobaba `jajh zo

y ? f5y5 + f3y3 + ... + fa ya

cbbobanj dhur. Curene f5, f3,...,fa ijyst secbthjrnbr.

raji 6.5< y y >y + >y ? ; nbljreasbyjh njaihjobaba `jajh zoa cu-heho.Njaihjoba iereitjrbstbi njaihjob

r 6r3>r + > ? ( r5)(r3)(r + 3) ? ;

vj iihjrb r5 ? 5 , r3 ? 3 vj r6 ? 3 dhup njaihjoba `jajh zo y ? f5j x + f3j 3x + f6j

3x

cuhuruz.

raji 6.50 y 3y >y + 7 y ? ; nbljreasbyjh njaihjobaba `jajh zoa cuheho.Njaihjoba iereitjrbstbi njaihjob

r 63r3>r + 7 ? ( r3)

3(r + 3) ? ;

vj iihjrb r5 ? 3 , r3 ? 3 (bib ieth) vj r6 ? 3 dhup `jajh zo y ? ( f5 + f3x)j 3x + f6j

3x

cuhuruz.


55/115


56/115

:< CHO 6. RIVJI OJS JCJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

3. l (x) ? nj x jihbanj dhoes gehb=

Cu nuruone y3 zjh zoy3 ? fj x

jihbanjnbr. Eafei, (r )o iereitjrbstbi njaihjoba cbr erpea yeab r ?

iereitjrbstbi njaihjoba o ieth cbr ii bsj, zjh zo

y ? fx o j x

jihbanjnbr. f cjhbrhjaojsb `jrjija secbttbr.

6. l (x) ? O sba px + A fds px jihbanj dhoes gehb=Cu nuruone y3 zjh zo

y3 ? f5 sba px + f3 fds px

jihbanjnbr. Eafei, (r 3 + p3)o iereitjrbstbi njaihjoba cbr erpea bsj zjhzo

y3 ? xo (f5 sba px + f3 fds px)

jihbanjnbr. f5 vj f3 cjhbrhjaojsb `jrjija secbthjrnbr.

>. l (x) ? ` (x)j x jihbanj dhoes gehb=

Cu nuruone y3 ? zj x natrojsb yephr vj njaihjoba gjr bib terel j xchajrji, z b cbhbaojyja iecuh jnja cbr secbt ietseyh hbajjr nbljreasbyjhjverhr.

:. l (x) cbr ie ldaisbydaua tdpheo jihbanj bsj zjh zo, cu ldaisbydaheragjrcbrbaj ierhi `jhja zjh zohjrba tdpheoae jbttbr.

raji 6.3;

y(>)

+ 3 y + y ? 3 x3

+ + 3 r 3 + 5 ? ( r 3 + 5) 3 ? ;

vj iihjrb rb (bib ieth) dhup gdodmja isoa zo

y5 ? ( f5 + f3x)sbax + ( f6 + f>x)fds x


57/115


jhnj jnbhbr. Gdodmja dhoeyea iso bba zjh zo

y3 ? ex3 + cx + f

jihbanj dhup e, c, f yb cjhbrhjoji zjrj, y3 aba x j `rj trjvhjrb

y3 ? 3 ex, y3 ? 3 e, y3 ? ; , y(>)3 ? ;

cuhuruz. y3 aba njaihjob seheoe erta yezersei

ex 3 + cx + >e + f 3x3 + x)fds x + 3x33

jihbanj jhnj jnjrbz.

raji 6.35 y 3y : y +


58/115

:7 CHO 6. RIVJI OJS JCJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

6.3.6 Dpjretr OjtdnuRisji ojrtjcjnja secbt ietseyh vj gdodmja dhoeyea nbljreasbyjh njaihjohjrbazjh zohjrbab yeab gdodmja dhoeyea isoa zoa dpjretr ojtdnuyhe -zoa cuheho. N =? nnx jihbanj cbr N trjv dpjretdr teaoheyeho. ^eao`jrjbafj N trjv dpjretr bsj cu dpjretra tjrsb N 5 batj`reh dpjretrnr. `rjjh vjye idophjis njjrhb vj ja ez cbr ijz srjihb trjvj segbp cbr ldaisbyda dhoeizjrj NN 5` (x) ? ` (x) dhoesae iera N 5N` (x) ? ` (x) + f nbr. Cu ojtgdnbhj yisji ojrtjcjnja gdodmja dhoeyea nbljreasbyjh njaihjohjrba zjh zohjrbaberenoznea N 5N` (x) ? ` (x) + f blenjsbanj jhnj jnbhja batj`resyda secbtb f ybslr iecuh jnbydruz. Cbr ceie njbhj N vj N 5 dpjretrhjrbaba idobtetbl (njboj)zjhhbbaj segbp dhnuuau verseyydruz. (6.66) njaihjobab

ea N a + ea 5N a 5 + ... + e5N + e; y ? l (x) (6.6>)cbbobanj blenj jnjcbhbrbz. L (N) =? ea N a + ea 5N a 5 + ... + e5N + e ; cbbobanj cbrL (N) dpjretr teaoheyeho. u gehnj (6.6>) nbljreasbyjh njaihjobaba cbr y3 zjhzoa

y3 ? 5

ea N a + ea 5N a 5 + ... + e5N + e;l (x)

? 5L (N)

l (x) (6.6:)

cbbobanj dhur. l (x) ldaisbydauaua cez nuruoher bba (6.6:) njaihjobabnja cuhe-cbhbrbz.

l (x) ldaisbydauaua pdhbado dhoes nuruouraji 6.33 raji (6.. . .

dhnuu `zaaj eharse vj W ? N 3 6N3 sjjrsji

y3 ? 5

35

N 36N3

+N 36N

3

3

N 36N

3

6

+ . . . (3x3: x + 6)

? x3 + 53

x + :>


59/115


cbbobanj cuhuruz. u gehnj jhj ehnoz nbljreasbyjh njaihjoba `jajh zoa

y ? y5 + y3 ? i 5j x + i 3j 3x + x3 + 53x + :

>cbbobanj jhnj jnjrbz.

l(x) ldaisbydauaua nj x dhoes nuruou5. Jjr iereitjrbstbi njaihjoba cbr ii njbhsj y3 zoa

y3 ? 5L (N)

j x ? j x 5L ( )

3. Jjr iereitjrbstbi njaihjoba cbr ii bsj

y3 ? 5L (N)j x ? j x 5

L (N + )5

cbbobanj erear.

raji 6.36 y + y3y ? j3x nbljreasbyjh njaihjobaba `jajh zoa cuheho.

Jhj ehnoz njaihjoba iereitjrbstbi njaihjob r3 + r3 ? ; dhup iihjr r5 ? 5 vj r3 ? 3 cuhuruz. Gdodmja isoa zo y5 ? f5j x + f3j

3x

? 3 vj iereitjrbstbi njaihjoba iihjrbaj jbt dhoenanea 5. ceaty iuhheae-cbhbrbz. Jhj ehaea njaihjonja L (N) ? N3 + N 3 dhnuu `zaaj ehanane

y3 ? 5L (N)

j 3x ? j 3x 5L (3)

? j 3x 5

33 + 33 ?

5>

j 3x

cuhuruz. Njaihjoba `jajh zo bsj

y ? y5 + y3 ? f5j x + f3j 3x +

5>

j 3x

cbbobanj cuhuruz.raji 6.3> y + y3y ? j

x nbljreasbyjh njaihjobaba `jajh zoa cuheho.

\jrbhja njaihjoba iereitjrbstbi njaihjobaba iihjrb r5 ? 5 , r3 ? 3 vj gdodmja isoaa zo y5 ? f5j x + f3j 3x cbbobanjnbr. ? 5 vj cu njjr iereitjrbstbi iihjrnja cbrbaj jbt dhnuu `zaaj eharse

y3 ? 5L (N)

j x ? 5

(N5)(N + 3)j x ?

5N5

j x

6 ?

j x

65N

5 ? x6

j x

cbbobanj cuhuruz. u gehnj njaihjoba `jajh zoa

y ? y5 + y3 ? f5j x + f3j 3x +

x6

j x

cbbobanj cuhuruz.


60/115

; sba3x ?

53;

(fds3x + 6 sba 3x)


61/115

6.3. A. OJS JCJNJA HBAJJS \J VECB^ IE^VERBHB NBLJSEAVBRJH NJAIHJOHJS


62/115


63/115

6.>. NJBIJA IE VERBHB HBAJJS NBLJSEAVBRJH NJAIHJOHJS Njbija Ietseyh Hbajjr Nbljreasbyjh Njai-hjohjr

ea (x)na ynxa + ea 5(x)

na 5ynxa 5 + ... + e5(x)

nynx + e; (x)y ? l (x)

njaihjobaj a. ojrtjcjnja njbija ietseyh hbajjr nbljreasbyjh njaihjo njabr. Jjrl (x) ? ; bsj njaihjoj gdodmja, l (x) ? ; bsj njaihjoj gdodmja dhoeyea njbbijaietseyh hbajjr nbljreasbyjh njaihjo njabr. y5, y3,...,ya gdodmja isoa a teaj hbajjrceosz zohjrb bsj

y ? f5y5 + f3y3 + ... + fa ya

njaihjob gdodmja njaihjoba `jajh zoa `jajh zonr. Cu zo jhnjjtoji bba `jajh cbr iureh yditur. Eafei, cez zjh gehhjrj uyecbhjfji zjh iurehhervernr.

6.>.5 Juhjr-Feufgy nbljreasbyjh njaihjobe ; , e5,...,e a secbthjr dhoei zjrj

ea xana ynxa

+ ea 5xa 5 na

5ynxa 5

+ ... + e5xnynx

+ e; y ? l (x)

cbbobanjib cbr hbajjr njaihjoj Juhjr-Feufgy nbljreasbyjh njaihjob njabr. Cu njai-hjonj x ? j t nao yephrse, njaihjo secbt ietseyh hbajjr njaihjoj nar.Cu naoa aesh yephefea cbr raji bhj bzeg jnjhbo.


64/115

CHO 6. RIVJI OJS JCJNJA NLJSEAVRJH NJAIHJOHJS

raji 6.32x

3y xy + y ? x haxJuhjr-Feufgy nbljreasbyjh njaihjobab zjhbo.

x ? j t vjye hax ? t nao ehtaneib nynx vj n3 ynx 3 blenjhjrbab ehefe ldrou cuheho.

nynx

? ny

ntntnx

? 5x

nynt

n3ynx3

? nnx

nynx

? nnx

5x

nynt

? 5x3

nynt

+ 5x

nnx

nynt

?

5

x3

ny

nt +

5

x

nt

nx

n

nt

ny

nt ?

5

x3

ny

nt +

5

x3

ny

nt3

cu blenjhjr vjrbhja nbljreasbyjh njaihjonj yjrhjrbaj idyersei,

n3ynt3 3

nynt

+ y ? tj t

jihbanj secbt ietyeh hbajjr gdodmja dhoeyea cbr nbljreasbyjh njaihjobaj banbr`ja-ob nbljreasbyjh njaihjo cuhuruz. anbr`jaob njaihjoba gdodmja isoaa ierei-tjrbstbi njaihjob r33r + 5 ? ( r5)

3 dhup cu njaihjob blt ieth cbr r ? 5 ii vernr. u gehnj gdodmja isoa `jajh zo

y5 ? f5j t + f3tj t

cbbobanj cuhuruz. ? 5 dhnuuau `zaanj tutuhnuuane gdodmja dhoeyea iso bba zjh zo

y3 ? t3(Et + C)j t ? ( Et 6 + Ct 3)j t

ldrouane E vj C secbthjrbab cjhbrhjyjhbo. y3 ? (6 Et 3 + 3Ct )j t + ( Et 6 + Ct3)j ty3 ? (< Et + 3C)j t + 3(6 Et 3 + 3Ct )j t + ( Et 6 + Ct3)j t dhup y3 aba banbr`jaob njaihjob seheoe iduhu uy`uhersei

(


65/115

6.>. NJBIJA IE VERBHB HBAJJS NBLJSEAVBRJH NJAIHJOHJS


66/115


67/115

Cho >

NLJSEAVRJH NJAIHJOHJSAVJSHJSHJ ]OHJS

>.5 Enb, jibh, Nzà jibh vj Nzà Dhoeyea^jibh Adite êaoher

[ (x)y + U(x)y + S (x)y ? ; (>.5)vjye

y + U(x)

[ (x)y +

S (x)

[ (x)y ? ; (>.3)

cbbobanjib cbr nbljreasbyjh njaihjo bba enb adite (drnbaery pdbat), tjibh adite(sbaùher pdbat), vj nzà tjibh adite (rjùher sbaùher pdbat) ievreoher vjrbhjfji-tbr. (>.5) njaihjobanjib [ (x), U(x) vj S (x) ldaisbydaheraa pdhbado vjye eaehbtbildaisbyda dhoeherae ceh dherei enb adite, tjibh adite vj nzà tjibh adite te-aoher njbojitjnbr. Cu ajnjahj (>.5) cbbobanj vjrbhja cbr nbljreasbyjh njaihjonjafjhbihj [ (x), U(x) vj S (x) ldaisbydaheraa pdhbado ou ydise eaehbtbi ldaisbydaou dhnuiher tjspbt jnbhojhbnbr.

êao >.5 (>.5) nbljreasbyjh njaihjobanj [ (x), U(x) vj S (x) ldaisbydaher pdhb-

ado vj drtei chjahjrb dhoesa. Jjr cbr x ; adits [ (x; ) ? ; bsj x ; aditesae (>.5)nbljreasbyjh njaihjobaba cbr enb aditesnr njabr.êao >.3 (>.5) nbljreasbyjh njaihjobanj [ (x), U(x) vj S (x) ldaisbydaher pdhb-ado vj drtei chjahjrb dhoesa. Jjr cbr x ; adits [ (x; ) ? ; bsj x ; aditesae (>.5)nbljreasbyjh njaihjobaba cbr tjibh aditesnr njabr.

êao >.6 (>.5) nbljreasbyjh njaihjobanj [ (x), U(x) vj S (x) ldaisbydaher pd-hbado vj x x; cbbobanj cbr drtei chjab verse x; aditesae (>.5) nbljreasbyjh njaihjobaba cbr tjibh aditesnr njabr.


68/115

. NLJSEAVRJH NJAIHJOHJSA VJSHJSHJ ]OHJS

raji >.5 x3y + xy + ( x3e3)y ? ; , e ? ; nbljreasbyjh njaihjobaba tjibh vj

enb aditehera cjhbrhjyjhbo.[ (x) ? x3 ? ; x ? ; adites vjrbhja nbljreasbyjh njaihjoba cbr tjibh aditesnr.x ? ; adites naneib ctua aditeher vjrbhja nbljreasbyjh njaihjoba enb aditehe-rnr.

raji >.3 (x35)y + xy + y ? ; nbljreasbyjh njaihjobaba enb vj tjibh aditehera cjhbrhjyjhbo.

[ (x) ? x35 ? ; x ? 5 jhj ehaea nbljreasbyjh njaihjoba tjibh aditehernr.x ?

5 naneib aditeher vjrbhja nbljreasbyjh njaihjoba enb aditehernr.

êao >.> [ (x), U(x) vj S (x) ldaisbydaher cbrjr pdhbado dhsuaher vj x; adites (>.5) nbljreasbyjh njaihjobaba cbr tjibh adites dhsua. Jjr x; tjibh adites bba

hbox x ;

(xx; )U(x)[ (x)

vj hbox x ;

(xx; )3 U(x)

[ (x) (>.6)

hbobthjrb ojvfut bsj, x; aditesae (>.5) nbljreasbyjh njaihjobaba cbr nzà tjibh aditesnr njabr. Jjr cbr x; tjibh adites (>.5) nbljreasbyjh njaihjobaba nzà tjibh adites njbhsj, x; aditesae (>.5) nbljreasbyjh njaihjobaba nzà dhoeyea tjibh adites (brrjùher sbaùher pdbat) njabr.

raji >.6 (>x3)y +3 xy6y ? ; nbljreasbyjh njaihjobaba tjibh aditehera cu-heho. Cuhnuuouz tjibh aditehera nzà tjibh aditeher dhup dhoena bafjhbyjhbo.

[ (x) ? > x3 ? ; x; 3 aditeher jhj ehaea nbljreasbyjh njaihjoba tjibh aditehernr. x; ? 3 aditesaa bba hbox 3

(x3) 3x

>x3 ? 5 vj hbox 3(x3)3

6>x

3 ? ;

hbobthjrb ojvfut dhnuuanea x; ? 3 tjibh adites jhj ehaea nbljreasbyjh njaihjoba cbr nzà tjibh aditesnr. x; ? 3 aditesaa bba

hbox 3

(x + 3) 3x

>x3 ? 5 vj hbox 3(x + 3) 3

6>x

3 ? ;

hbobthjrb ojvfut dhnuuanea x; ? 3 tjibh adites jhj ehaea nbljreasbyjh njaihjoba cbr nzà tjibh aditesnr.raji >.> x3(x5)y + (6 x6)y + (3 x3)y ? ; nbljreasbyjh njaihjobaba tjibh aditehera cuheho. Cuhnuuouz tjibh aditeher nzà tjibh adite vjye nzà dh-oeyea tjibh adite cbbobanj saffieanreho.


69/115

>.5. ENB, ^JIBH, N]@A ^JIBH \J N]@A DHOEREA ^JIBH ADI E ÊABOHESB.> rajbanj enoz nbljresbyjh njaihjonj x5 drtei erpeanr. Jjrcu njaihjob x5 bhj chsjynbi

x3y + 6 y + 3 y ? ;

cbbobanj cbr njaihjo jnjrnbi. Eafei, cu gehnj x; ? 5 tjibh aditesa `zern jtobdhurnui.

bonb, [ (x), U(x) vj S (x) ldaisbydaher cbrjr eaehbtbi ldaisbyda dhoe nuruoheraneyuierne vjrnbbobz teao vj ievreoher `jabhjtoji zdruaneyz.

êao >.: Jjr p(x) =?

U(x)[ (x)

vj q (x) =? S (x)[ (x)

ldaisbydaher cbr x ; aditesane eaehbtbi bsj, yeab p(x) vj q (x) ldaisbydaher x ; adi-tesane

p(x) ?

a ?;

ea (xx; ) vj q (x) ?

a ?;

ca (xx; ) ea , ca ? secbt

cbbobanj êyhdr sjrbsbaj ehecbhbr vj cu ldaisbydahere ierhi `jhja sjrbhjr x; a ei cbr idouhuuane cu ldaisbydahere yeiasydrse, x; aditesae (>.5) nbljreasb-yjh njaihjobaba cbr enb aditesnr njabr. Eisb gehnj, cu aditeye (>.5) nbljreasbyjh njaihjobaba cbr tjibh aditesnr njabr.

êao >.< x; adites (>.5) njaihjobaba cbr tjibh adites dhsua. [ (x), U(x) vj S (x) ldaisbydaher x; aditesane eaehbtbi dhoei zjrj, jjr

(xx; )U(x)[ (x)

vj (xx; )3 S (x)[ (x)

(>.>)


70/115

0; CHO >. NLJSEAVRJH NJAIHJOHJSA VJSHJSHJ ]OHJS

gjr bib ldaisbyda ne x ; aditesane eaehbtbi bsj x; aditesae (>.5) njaihjobaba nz-

à tjibh aditesnr njabr. Jjr (>.5) nbljreasbyjh njaihjobaba cbr tjibh adites nz-à tjibh adite njbhsj , d zeoea cu aditeye nzà dhoeyea tjibh adite njabr.

raji >.:(x

3

)3y + fds xy + sba xy ? ;

nbljreasbyjh njaihjobaba tjibh aditehera cuheho vj cuhnuuouz tjibh aditehera nzà tjibh adite dhup dhoena bafjhbyjhbo.

Jhj ehnoz nblereasbyjh njaihjonj [ (x) ? ( x3 )

3, U(x) ? fds x vj S (x) ? sba xnbr vj cu ldaisbydaher eaehbtbi ldaisbydahernr. [ (x) ? ( x

3 )

3 ? ; ceatsanea tjibh adite vjye aditeher cuhuaur. u jhj ehaea nbljreasbyjh njaihjoba tjibh adites x; ? 3 nbr. bonb cu aditeaa nzà tjibh adite dhup dhoena bafjhbyjhbo. fds x ldaisbydauaua x; ? 3 êyhdr eho `zaaj eharse

(xx; )U(x)[ (x)

? ( x 3

) fds x(x

3 )3

? fds xx

3

? 5 + (x

3 )

3

6! (x

3 )

>

:! + ...

cbbobanj dhup (xx; )U(x)[ (x) ldaisbydau x; adistesane eaehbtbitbr.

(x

x; )3S (x)

[ (x) ? ( x

3)3

sbax

(x

3 )

3 ? sba x

dhnuuanea (xx; )3 S (x)

[ (x) ldaisbydau x; ? 3 aditsane eaehbtbitbr. u gehnj x; ?

3

adites jhj ehnoz nbljreasbyjh njaihjoba nzà tjibh aditesnr.

>.3 Enb Adite Fbverane Vjrb zohjrb^jdrjo >.5 Jjr x ? x; adites

[ (x)y + U(x)y + S (x)y ? ; ,

nbljreasbyjh njaihjobaba cbr enb adites bsj cu njaihjoba x ? x; adites fbverane

y ?

a ?;

ea (xx; )a

dhefei jibhnj cbr iuvvjt sjrbsb vjye êyhdr sjrbsb zo vernr.

raji >..3. ENB ADIÊ FB\ESBANE VJSB ]OHJSB 05

nbljreasbyjh njaihjobaba x; ? ; aditesaneib iuvvjt sjrbsb zoa cuheho.

\jrbhja nbljreasbyjh njaihjonj [ (x; ) ? [ (;) ? 5 ? ; dhup x; ? ; adites vjrbhja nbljreasbyjh njaihjoba cbr enb aditesnr. D gehnj, vjrbhja nbljreasbyjh njaihjoba x; ? ; aditesane

y ?

a ?;

ea xa (>.:)

cbbobanj cbr iuvvjt sjrbsb zo vernr. y aba cbrbafb vj bibafb trjvhjrb

y ?

a ?5

ae a xa 5, y ?

a ?3

a (a

5)ea xa 3

jihbanj jhnj jnjrbz. Cu blenjhjrb jhj ehnoz njaihjonj yjrhjrbaj idyersei

a ?3

a (a5)ea xa 3 +

a ?5

ae a xa + 3

a ?;

ea xa ? ; (>...0)

cuhuruz. (>.0) njaihjob

3e3 + 3 e ; +

a ?5

(a + 3)( a + 5) ea +3 xa +

a ?5

ae a xa +

a ?5

3ea xa ? ; (>.7)

cbbobanj yezecbhbrbz. (>.7) njaihjobab nj

3e3 + 3e ; +

a ?5Y(a + 3)( a + 5) ea +3 + ae a + 3ea _xa ? ; (>.2)

cbbobanj yezecbhbrbz. [dhbadohera znjhbb `zaaj ehrsei

3e3 + 3e ; ? ; vj ( a + 3)( a + 5) ea +3 + ae a + 3ea ? ; , a 5vjye

e3 ? e ; vj ea +3 ? 5

a + 5ea , a 5 (>.5;)


72/115

03 CHO >. NLJSEAVRJH NJAIHJOHJSA VJSHJSHJ ]OHJS

jihbanj rjireas ldroha cuhuruz. ea njjrhjrbab cu ldroh vestesyhe cuhuruz.

blt banbshb tjrbohjr,e3 ? e ;e> ?

e36

? 56

e ;

e< ? e>:

? 56.:

e ;

e7 ? e

? 53.>

e5

e0 ? e :...:)njaihbonj yjrbaj idaurse

y ? e; 5x3 +

x>

6 x x0

3.>.< + ...

vjye

y ? e ; 5 +

a ?5

(5)a 5

5.6.: ...(3a5)x3a + e5 x +

a ?5

(5)a 5

3.>..


73/115


74/115

0> CHO >. NLJSEAVRJH NJAIHJOHJSA VJSHJSHJ ]OHJS

vj ea aba tjihb tjrbohjrb

e : ? ;3.:

e6 ? ;

e0 ? 33.0

e : ? ;

e : ? e0 ? e2 ? ... ? e3a +5 ? ... ? ;

jhnj jnjrbz. u gehnj jhj enoz nbljreasbyjh njaihjobaba `jajh zo

y ?

a ?;

ea xa

? e; 5x3 57x

> + 52.3 Jjr x ? x; adites

[ (x)y + U(x)y + S (x)y ? ; (>.5>)nbljreasbyjh njaihjobaba cbr nzà tjibh adites bsj, cu aditeaa uyùa cbr fbve-rane nbljreasbyjh njaihjoba

y ?

a ?;

ea (xx; )a + r

jihbanj cbr iuvvjt sjrbsb zo vernr.

x; ? ; dhoes nuruouane x ? x; adites, nbljreasbyjh njaihjoba nzà tjibhadites bsj x

x; ? t nao yepherei, nzà tjibh adite drmbaj teaecbhbr. Cuajnjahj, nbljreasbyjh njaihjoba x; ? ; nzà tjibh adites fbverane sjrb zocuhoei yjtjrhbnbr. (>.5>) nbljreasbyjh njaihjobab slrnea lerih [ (x) bhj chp negesdare x3 bhj erphr vj nzjahjahjrsji

x3y + x xU(x)[ (x)

y + x3S (x)[ (x)

y ? ; (>.5:)

p(x) =? U(x)[ (x) vj q (x) =? S (x)[ (x) jihbanj teaohersei (>.5:) nbljreasbyjh njaihjobab

x3y + x (xp(x)) y + x3q (x) y ? ; (>.5


75/115

>.6. N]@A ^JIBH ADI^E FB\ESBANE VJSB ]OHJSB (LSDCJABZV OJ^DNZ0:

cbbobanj yezecbhbrbz. x; ? ; adites, (>.5.3tjdrjojanj blenj jnbhja zo

y ?

a ?;ea x

a + r

(>.5.50)cuhuruz. Cu njaihjonj o ? ; vj a ? ; bba xr hb tjrbohjrba ietseys drtei pereatjzjeharse vj pdhbadoher znjhbb `zaaj eharse xr hb tjrboba ietseys slre jbtdhur. Curenea,

e ; (r (r5) + p; r + q ; ) ? ;

vj e ; ? ; dhnuuaneaL (r ) ? r (r5) + p; r + q ; ? ; (>.57)

njaihjob jhnj jnjrbz. (>.57) njaihjobaj ( >.5.5.57) banbs njaihjobanjib p; vj q ; secbthjrb

p; ? hbox ;

xp(x) vj q ; ? hbox ;

x3q (x)

hbobthjrbanja cuhuruz. (>.50) njaihjob a 5 vj o 5 bbanj ehp x ba xr +5 ,xr +3 ,...,xr + a ,... tjrbohjrbaba tdpheo jihbanj yezhrse,

L (r + a) ? ( r + a)(r + a5) + p; (r + a) + q ; ? ;

dhoei zjrj, ( >.50) njaihjobab

e ; L (r )xr +

a ?5

L (r + a)ea +a 5

i ?;

e i ((r + i ) pa i + q a i ) xr + a ? ; (>.52)


76/115


77/115

>.6. N]@A ^JIBH ADI^E FB\ESBANE VJSB ]OHJSB (LSDCJABZV OJ^DNZ00

6. r5r3 ? A A yeab r5r 3 leri pdzbtbl teo sey dhoes nuruou9

y3(x) ? iy 5(x) ha|x|+ xr 3

a ?5

nnr

Y(rr 3)ea (r )_ r ? r 3xa

i ? hbor r 3 (rr 3)eA (r ) cbbobanj bibafb hbajjr ceosz zo cuhuaur.

raji >.73x3y + xy + ( x35)y ? ; (>.3;)

nbljreasbyjh njaihjobab x; ? ; adites fbveraneib zoa cuheho.

(>.3;) nbljreasbyjh njaihjobanj [ (x) ? 3 x3, U(x) ? x vj S (x) ? x3 5 nbr.[ (x) ? 3 x3 ? ; njaihjobaba ii x; ? ; dhnuuanea x; ? ; adites (>.3;)njaihjobaba cbr tjibh aditesnr.

hbox ;

xU(x)[ (x)

? hbox ;

x x3x3

? 53

hbox ;

x3S (x)[ (x)

? hbox ;

x3x35

x3 ? 5

dhnuuanea x; ? ; adites (>.3;) nbljreasbyjh njaihjobaba nz`a tjibh aditesnr.

D gehnj (>.3;) njaihjobaba x; ? ; aditesane

y ?

a ?;

ea xa + r (>.35)

cbbobanj Lrdcjabus zo vernr. (>.35) blenjsbab x j `rj cbrbafb vj bibafb trjv-hjrb

y ?

a ?;

ea (a + r)xa + r 5, y ?

a ?;

(a + r)(a + r5)ea xa + r 3

cbbobanj cuhuruz. Cu blenjhjr (>.3;) njaihjobanj yjrbaj idyersei,

a ?;

3(a + r )(a + r5)ea xa + r +

a ?;

ea (a + r )xa + r 5 +

a ?;

ea xa + r +3

a ?;

ea xa + r ? ;

(>.33)jhnj jnjrbz. (>.33) njaihjobanjib 6. sjrbyj a a3 nao yephrse

a ?;

3(a + r )(a + r5)ea xa + r +

a ?;

ea (a + r )xa + r 5 +

a ?3

ea 3xa + r

a ?;

ea xa + r ? ;

(>.36)


78/115


jhnj jnjrbz. (>.36) njaihjobab

(3r +5)( r5)e ; xr + r (3r +6) e5xr +5 +

a ?3

Y(3a + 3r + 5)( a + r5)ea + ea 3_xa + r ? ;

cbbobanj yezecbhbrbz. Curenea ne

(3r + 5)( r5)e ; ? ; , e; ? ; r(3r + 6) e5 ? ; (3a + 3r + 5)( a + r5)ea + ea 3 ? ; , a 3

cuhuruz. Cbrbafb njaihjonja ( banbs njaihjob ) r5 ? 5 vj r3 ? 53 jhnj jnjrbz.ibafb njaihjonj e5 ? ; cuhuruz. af njaihjonja rjireas ldronr. bonb r5 ? 5 ierhi `jhja zo cuheho. r5 ? 5 bba rjireas ldroh

ea ? ea 3

a (3a + 6), a 3

jhnj jnjrbz. Curenea ne

e3 ? 55>

e ;

e6 ? 530

e5 ? ; e5 ? e6 ? ... ? e3a +5 ? ... ? ;e> ?

5>>

e3 ? ( 5>>

)( 55>

e ; ) ? 5

x3 + 5 + ...

cbbobanj jhnj jnjrbz. e; ? 5 bba y5 zo

y5 ? x 5 55>

x3 + 5 + ...

jhnj jnjrbz. bonb y3 zoa jhnj jnjhbo. afjhbihj r5r 3 ? 63 /

A dhnuuanea r3 ? 53 iiaj ierhi `jhja vj y5 zoaj hbajjr ceosz cbr y3 zo vernr.r3 ? 53 bba rjireas ceats

ea ? 5

a (3a6)ea 3, a 3

cbbobanj dhur.


79/115


e3 ?

5

3e ;

e6 ? 52

e5 ? ; , e5 ? e6 ? ... ? e3a +5 ? ... ? ;

e> ? 53;

e3 ? ( 53;

)(53

e ; ) ? 5>;

e ;...

jhnj jnjrbz. u gehnj y3 zo

y3 ?

a ?;

ea xa + r 3 ?

a ?;

ea xa 5/ 3

? x 5/ 3 e ; + e5x + e3x3 + e6x6 + ...

? e; x 5/ 3 5

53

x3 + 53;

x> + ...

cbbobanj jhnj jnjrbz. e ; ? 5 bba y3 zo

y3 ? x 5/ 3 5

53

x3 + 53;

x> + ...

jhnj jnjrbz. (>.3;) nbljreasbyjh njaihjobaba `jajh zo nj

y ? f5y5 + f3y3

? f5x 5 55>

x3 + 5 + ... + f3x 5/ 3 5

53

x3 + 53;

x> + ...


raji >.2x3y + 6 xy + (53x)y ? ; (>.3>)

nbljreasbyjh njaihjobab x; ? ; adites fbveraneib `jajh zoa cuheho.(>.3>) nbljreasbyjh njaihjobanj [ (x) ? x3, U(x) ? 6 x vj S (x) ? 53x nbr. [ (x) ?x3 ? ; njaihjobaba ii x; ? ; dhnuuanea x; ? ; adites (>.3>) njaihjobaba cbr tjibh aditesnr.

hbox ;

xU(x)[ (x)

? hbox ;

x6xx3

? 6

hbox ;

x3S (x)[ (x)

? hbox ;

x353x

x3 ? 5


80/115

7; CHO >. NLJSEAVRJH NJAIHJOHJSA VJSHJSHJ ]OHJS

dhnuuanea x; ? ; adites (>.3>) nbljreasbyjh njaihjobaba nz`a tjibh aditesnr.

D gehnj (>.3>) njaihjobaba x; ? ; aditesane

y ?

a ?;

ea xa + r (>.3:)

cbbobanj Lrdcjabus zo vernr. (>.3:) blenjsbab x j `rj cbrbafb vj bibafb trjv-hjrb

y ?

a ?;

ea (a + r)xa + r 5, y ?

a ?;

(a + r)(a + r5)ea xa + r 3

cbbobanj cuhuruz. Cu blenjhjr (>.3>) njaihjobanj yjrbaj idyersei,

a ?;

(a + r )(a + r5)ea xa + r +

a ?;

6ea (a + r )xa + r +

a ?;

ea xa + r

a ?;

3ea xa + r +5 ? ;

(>.3.3. sjrbyj a a5 nao yephrse

a ?;

(a + r )(a + r

5)ea xa + r +

a ?;

6ea (a + r )xa + r +

a ?;

ea xa + r

a ?5

3ea 5xa + r ? ;

(>.30)jhnj jnjrbz. (>.30) njaihjobab

(r + 5) 3e ; xr +

a ?5

((a + r)3 + 3( a + r) + 5) ea3ea 5 xa + r ? ;


(r + 5)3e ; ? ; , e; ? ;

((a + r)3 + 3( a + r) + 5) ea 3ea 5 ? ; , a 5

jhnj jnjrbz. Cbrbafb njaihjonja ( banbs njaihjob ) r 5 ? r3 ? 5 jhnj jnjrbz. bonb r5 ? 5 iiaj ierhi `jhja zo cuheho. r5 ? 5 bba rjireas ceats

ea ? 3ea 5

a 3 , a 5


81/115


82/115


raji >.5;x

3y + x(x3)y + 3 y ? ; (>.32)nbljreasbyjh njaihjobaba x; ? ; adites fbverane `jajh zoa cuheho.

[ (x) ? x3 ? ; njaihjobaba ii x ; ? ; adites dhnuuanea (>.32) njaihjobaba cbr tjibh aditesnr.

hbox ;

xx(x3)

x3 ? 3 vj hbox ; x3

3x3

? 3

dhnuuanea x; ? ; adites (>.32) njaihjobaba nz`a tjibh aditesnr. u gehnj (>.32) nbljreasbyjh njaihjobaba x; ? ; adites fbverane

y ?

a ?;ea xa + r (>.6;)

cbbobanj Lrdcjabus zo vernr. (>.6;) blenjsbab x j `rj cbrbafb vj bibafb trjv-hjrb

y ?

a ?;

ea (a + r)xa + r 5, y ?

a ?;

(a + r)(a + r5)ea xa + r 3

cbbobanj cuhuruz. Cu blenjhjr (>.32) njaihjobanj yjrbaj idyersei,

a ?;

(a + r )(a + r5)ea xa + r +

a ?;

ea (a + r )xa + r +53

a ?;

ea (a + r )xa + r +

a ?;

3ea xa + r ? ;

(>.65)jhnj jnjrbz. (>.65) njaihjobanjib 3. sjrbyj a a5 nao yephrse

a ?;

(a + r )(a + r5)ea xa + r +

a ?5

ea 5(a + r5)xa + r3

a ?;

ea (a + r )xa + r +

a ?;

3ea xa + r ? ;

(>.63)jhnj jnjrbz. (>.63) njaihjobab

(r5)(r3)e ; xr +

a ?5

Y(a + r3)(a + r5)ea + ( a + r5)ea 5_xa + r ? ;


(r3)(r5)e ; ? ; , e; ? ; (a + r3)(a + r5)ea + ( a + r5)ea 5 ? ; , a 3

jhnj jnjrbz.Cbrbafb njaihjonja ( banbs njaihjob ) r5 ? 3 vj r3 ? 5 jhnj jnjrbz.bonb r5 ? 3 iiaj ierhi `jhja zo cuheho. r5 ? 3 bba rjireas ceats

ea ? ea 5

a , a 5


83/115


jhnj jnjrbz. Curenea ne

e5 ? e ;e3 ?

53

e5 ? (53

)(e ; ) ? 53!

e ;

e6 ? 56

e3 ? (56

) 53!

e ; ? 56!

e ;...

ea ? (5)a 5

a !e ;

jhnj jnjrbz. u gehnj Lrdcjabus sjrb zo

y5 ?

a ?;

ea xa + r 5 ?

a ?;

ea xa +3 ? x3

a ?;

ea xa

? e; x3

a ?;

(5)a

a ! xa ? x3j x , e; ? 5

cuhuruz. bonj nj r3 ? 5 j ierhi `jhja zo cuheho. A ? r5 r 3 ? 5 Adhnuuanea r3 ? 5 njjrbab rjireas ceatsae idynuuouzne y5 ldaisbydauanea hbajjr ceosz bibafb zo jhnj jnjojybz!

y3(x) ? iy 5(x) ha|x|+ xr 3

a ?5nnr Y(rr 3)ea (r )_ r ? r 3

xa

? iy 5(x) ha|x|+ xr 3

a ?5

ca (r 3)xa

i ? hbor r 3 (rr 3)eA (r ) cbbobanj bibafb hbajjr ceosz zo cuheho.

i ? hbor r 3

(rr 3)eA (r ) ? hbor 5(r5)e5(r ) ? hbor 5(r5) e ;r5

? e ;jhnj jnjrbz. bonb c

a ietseyhera cuheho.

c5 ? nnr

Y(rr 3)e5(r )_ r ? r 3?

nnr

Y(r5) e ;r5

_r ?5

? ;

c3 ? nnr

Y(rr 3)e3(r )_ r ? r 3?

nnr

Y(r5) e;

(r5)r_

r ?5?

e;r 3 r ?5

? e ;c6 ?

nnr

Y(rr 3)e6(r )_ r ? r 3?

nnr

Y(r5) e ;

(r5)r (r + 5)_

r ?5?

e; (3r + 5)r 3(r + 5) 3 r ?5

? 6>

e ;

...


84/115

7> CHO >. NLJSEAVRJH NJAIHJOHJSA VJSHJSHJ ]OHJS

cbbobanj cuhuruz. u gehnj e; ? 5 bba y3 zo

y3 ? y5(x) ha|x|+ x x3 + 6>

x6 + . . .

jhnj jnjrbz. (>.32) njaihjobaba `jajh zo

y ? f5y5 + f3y3



85/115

Cho :

HE[HEFJ NAO

:.5 Nbrjit (Ldrwern) Hephefj Nao^eao :.5 l (t), `jrjh cbr t njbijababa ldaisbydau dhsua vj t 1 ; bba teaohea-sa. @jrjh cbr s njbijababa ldaisbydau dhea cbr L (s) ldaisbydauau najhbo vj cu ldaisbyda

L (s) =? H{l (t)} ? ; j st l (t)nt (:.5)njaihob bhj teaoheasa vj s aba cta njjrhjrb bba (:.5) njaihjobanjib batj`reh ojvfut dhsua. H{l (t)} vjye L (s) naoaj l (t) ldaisbydauaua Hephefj na-o njabr.

raji :.5 l (t) ? e, e =? secbt ldisbydauaua Hephefj naoa cuheho.

L (s) ? H{l (t)} ? e ; j st nt? e hbo

S S

;j st nt ? e hbo

S 5s

j stS

;? e

s, s 1 ; .

raji :.3l (t) ? ta , a A , t ;

ldaisbydauaua Hephefj naoa cuheho.

7:


86/115


87/115

:.5. NBSJI^ (LDSPESN) HE[HEFJ NAO 70

^echd :.5= Cez Ldaisbydahera Hephefj Naohjrbl (t) =? H5{L (s)} L (s) =? H{l (t)}

e , e =? secbt es , s 1 ;ta , a A a!s a +5 , s 1 ;j et , e =? secbt 5se

, s 1 ;sbaet , e =? secbt es3 + e3 , s 1 |e|fds et , e =? secbt s

s3

+ e3 , s 1

|e

|sbaget , e =? secbt es3e3 , s 1 |e|fdsg et , e =? secbt ss3e3 , s 1 |e|

:.5.5 Nbrjit Hephefj Naoaa jojh zjhhbihjrb

Hbajjrhbi zjhhbb

l 5(t) vj l 3(t) ldaisbydaheraa Hephefj nao sresyhe L 5(s) vj L 3(s) dh-sua. f5 vj f3 secbthjr dhoei zjrj

H{f5l 5(t) + f3l 3(t)} ? f5L 5(s) + f3L 3(s)zjhhbbaj segbptbr.

raji :.> l (t) ? 6 fds 3 6t ldaisbydauaua Hephefj naoa cuheho.

L (s) ? H{6fds3 6t} ? H{63

(5 + 3fds


88/115

77 CHO :. HE[HEFJ NAO

raji :.: l (t) ? j 3t fds6t ldaisbydauaua Hephefj naoa cuheho.

L (s) ? H{j 3t fds6t} ? s3

(s3)3 + 2


ibafb tjhjoj zjhhbb

t ? e aditesane sreoe srjisbzhbb dhea cbrbo ceseoei ldaisbydau

ue(t) ? u(t

e) ? 5, t

e

; , t 8 e

bhj teoohear. Jjr L (s) ? H{l (t)} bsj

H{l (te)u(te)} ? j es L (s), e ;

cbbobanj dhur.

ta l (t) jihbanjib ldaisbydahera Hephefj nao

L (s) ?

H{l (t)

} bsj ta l (t), a

A cbbobanjib cbr ldaisbydaua Hephefj na-

o

H{ta l (t)} ? (5)ana L (s)

nsa

ldrohanja cuhuaur.

raji :.< t sbaet ldaisbydauaua Hephefj naoa cuheho.

H{t sbaet} ? nns

es3 + e3

? 3ess3 + e3

cbbobanj cuhuruz.

l ( t )t jihbanjib ldaisbydauaua Hephefj nao

L (s) ? H{l (t)} bsj l (t )t , cbbobanjib cbr ldaisbydaua Hephefj nao

H{l (t)

t } ? s L (u)nuldrohanja cuhuaur.


89/115

:.5. NBSJI^ (LDSPESN) HE[HEFJ NAO 72

raji :.0

H{sbaett } ?

s

eu3 + e3

nu ? erftea ue

s?

3 erftea se


^rjvhjrba Naohjrb

Jjr L (s) ? H{l (t)} bsj l (t) cbbobanjib cbr ldaisbydaua Hephefj nao

H{l (t)} ? sL (s)l (;)ldrohanja cuhuaur. Ja `jajh gehnj cbr l (t) ldaisbydauaua a. ojrtjcjnjaHephefj nao

H l (a )(t) ? na l (t)

nta ? sa L (s)s

a 5l (;) sa 3l (;) ...l

(a 5) (;)

ldrouane dhur.

:.5.3 Bopuhs vjye Nbref Njhte Ldaisbydaubonb yehazfe stzbisjh prdchjohjrnj eaheoh dhecbhjfji cbr ldaisbyda rjtoji bstb-ydruz. Cu eoehe,

(tt ; ) ? 53 , |tt ; |; , |tt ; | 1

bhj teaohea cbr ldaisbyda dhsua. Cu ldaisbydaua cta rjjh jisja zjrbanjib batj`-rehb

(tt ; )nt ? 53 nt ? 5cbbobanjnbr. Cbrbo bopuhs (Nbref Njhte) ldaisbydau aba ; bba hbobtb

(t

t ; ) ? hbo ;

(t

t ; ) ? , t ? t ;; , t ? t ;dherei teaohear. Eyrfe, Nbref njhte ldaiydauaua cta rjjh jisja zjrbanjib

batj`rehb

(tt ; )nt ? 5cbbobanjnbr. Nbref njhte ldaisbydauaua jhjoj zjhhbb nbyj cbhbaja cbr zjhhbj se-gbptbr. Cu zjhhbi yhj blenj jnbhbr=

(tt ; )l (t)nt ? l (t ; ).


90/115

2; CHO :. HE[HEFJ NAO

(tt ; ) ldaisbydauaua Hephefj nao

H{ (tt ; )} ? j t ; s

cbbobanj dhur.

:.3 jrs (Bavjrsj) Hephefj NaoJjr L (s) ? H{l (t)} bsj l (t) ldaisbydauae L (s) `rat ldaisbydauaua tjrs Hep-hefj nao en vjrbhbr vj

l (t) ?

H 5

{L (s)

}cbbobanj blenj jnbhbr. ^jrs Hephefj nao nj hbajjr cbr bhjonbr, yeab l (t) ?H 5{L (s)} vj ` (t) ? H 5{@(s)} bsj

H 5{L (s) + @(s)} ? H

5{L (s)}+ H 5{@(s)} ? l (t) + ` (t)

cbbobanjnbr. Hephefj dpjretdr

HH 5 ? H

5H Bcbbobanj cbr znjhbj segbptbr. Curene B cbrbo dpjretrnr.

:.3.5 jrs Hephefj Naoaa zjhhbihjrb

hji Njbbo zjhhbb

H 5{L (s)} ? l (t) bsj H

5{L (es )} ? 5e

l (te

) nbr.

Cbrbafb tjhjoj zjhhbb

H 5{L (se)} ? j et H

5{L (s)} ? j et l (t).

raji :.7

H 5 5

s6 ? j 6tH

5 5s

? j 6t

raji :.2

H 5 5

s3 + 3 s + 3 ? H

5 5(s + 5) 3 + 5

? j tH 5 5

s3 + 5 ? j t sbat


91/115

:.3. ^JSV (BA\JSVJ) HE[HEFJ NAO 25

ibafb tjhjoj zjhhbb

H 5{j

es L (s)} ? l (te)u(te) ? l (te), t e; , t 8 e

raji :.5;

H 5{j

s ss3 + 5 } ? fds( t)u(t) ?

fds t, t ; , t 8

^rjvba ^jrs Hephefj Nao

H 5{L (a )(s)} ? (5)a ta H

5{L (s)} ? (5)a ta l (t).

raji :.55 H 5 {ha(s3)} ?4L (s) ? ha( s3) L (s) ?

5s3

tH 5 {ha(s3)} ? H

5 5s

3

H 5 {ha(s3)} ? 5t j

3t

Isob Ijsbrhjr Ratjob

raji :.53

H 5

s63s3s + 3

?4

s6

3s3

s + 3 ?

(s + 5)( s5)(s3)

E

s + 5 +

C

s5 +

F

s3znjhbbanja E ? :6 , C ? : vj F ? 376 cuhuruz.

s63s3s + 3

? :

65

s + 5 : 5

s5 +

376

5s3

H 5

s63s3s + 3

? :

6H 5 5

s + 5 : H

5 5s5

+ 376 H

5 5s3

? :

6j t: j

t + 376

j 3t


92/115

23 CHO :. HE[HEFJ NAO

raji :.56

H 5 s

3+ >

(s + 3) 3(s3 + 5) ?4

s3 + >(s + 3) 3(s3 + 5)

Es + 3

+ C

(s + 3) 3 +

Fs +

diferansiyel denklemler - yrd.doç.dr. ahmet altundağ ders notları

Documents