die lyapunov-methode - fakultät · a lyapunov function and the stability or instability of...

Die Lyapunov-Methode

Seminar Analysis III (SoSe 2013)

Nino Ricchizzi

18. Juni 2013

Inhaltsverzeichnis

2 Annahmen und Voraussetzungen 52.1 Definition: Exponentielle Stabiliat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Lyapunov-Funktionen und die Stabilitatsfrage 63.1 Lyapunov-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Satz: Lyapunov-Stabiliat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 Instabilitatssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Der Stabilitatssatz von LaSalle 124.1 Einige Definitionen: Limespunkt; Limesmenge; Invariante Menge . . . . . . . . . 12

4.1.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 Definition: Atttraktor und Einzugsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2.1 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4 Stabilitatssatz von LaSalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Literaturverzeichnis 17

INHALTSVERZEICHNIS 3

Zusammenfassung

Deutsch

Die Ausarbeitung ist das Resultat eines Seminares in Analysis III und beschaftigt sich mit der

Lyapnuov-Methode zur Stabilitatsklarung von Losungen von Differentialgleichungen. Vorausge-

setzt werden grundlegende Kenntnisse uber die Stabilitat von Losungen einer Differentialglei-

chung, mitunter die Begriffe der Stabilitat und der asymptotischen Stabiliat

Im ersten Teil werden dazu grundlegende Voraussetzungen und Konventionen getroffen, welche im

Rest der Ausarbeitung gultig sind. Weiterhin wird die exponentielle Stabilitat als neuer Stabilitats-

begriff eingefuhrt

Im zweiten Teil der Ausarbeitung wird die Lyapunov-Funktion eingefuhrt und der Zusammenhang

zwischen einer Lyapnuov-Funktion und der Stabilitat bzw. Instabilitat von Losungen einer Diffe-

rentialgleichungen wird geklart, wobei in Folge dessen ein Beispiel angefuhrt wird.

Im dritten und letzten Teil werden noch weitere Definitionen eingefuhrt um letztendlich eine scharfe-

re Aussage uber die asymptotische Stabilitat zu treffen. Die Ausarbeitung schließt ab mit dem

Stabilitatssatz von LaSalle.

Englisch

This elaboration is a result of an Analysis III seminar and deals with the Lyapunov-method to

clarify the stability of solutions of differential equations.

A basic knowledge of the stability of solutions of a differential equation and the concepts of stability

and asymptotic stability is assumed.

There will be basic requirements and conventions taken in the first part, which are valid in the

rest of this elaboration. Furthermore, the exponential stability is introduced as a new concept of

stability.

In the second part of this paper the Lyapunov function will be introduced and the relation between

a Lyapunov function and the stability or instability of solutions of differential equations will be

clarified. As a consequence, an example is given.

In the third and final part other definitions will be given to establish a more precise statement about

the asymptotic stability. The elaboration closes with the stability theorem of LaSalle.

Motiviation

Die Lypanuov-Methode dient zur Stabilitatsklarung einer Losung einer Differentialgleichung ohne

die exakte Losung genauer zu kennen.

Eine weitere schone Eigenschaft ist, dass an die Lyapunov-Funktion gerichteten Bedigungen, der

Stabilitat einer Losung schnell zu prufen sind und konnen sogar als grobes Konzept im Schulun-

terricht bzw. in einem Mathe\Physik-Leistungskurs behandelt werden.

Hinweise

In den blau hinterlegten Kastchen werden zusatzliche Bemerkungen oder interessante Hinweise

geliefert, welche nicht direkt benotigt werden, jedoch dem Leser ein breiteres Spektrum in das

Thema liefert.

2 ANNAHMEN UND VORAUSSETZUNGEN 5

2 Annahmen und Voraussetzungen

Die hier betrachteten Differentialgleichungen sind reelle autonome Systeme der folgenden Art:

y′

= f (y) (1)

wobei D ⊂ Rn offen und f in D stetig mit 0 ∈ D und f (0) = 0.

Die Nulllosung x(t) ≡ 0 von (1) wird auch Ruhelage oder Gleichgewichtslage genannt. Die Ana-

logie zu der Ruhelage x(t) ≡ a mit f (a) = 0 wird hier nicht besprochen, ist jedoch mit kleinen

Abanderungen leicht ersichtlich:

Fur x(t) ≡ a und f (a) = 0 betrache das folgende DGL:

z(t) = y(t) − a wobei y(t) eine Losung ist

z′

= h(z) mit h(z) = f (a + z) und h(0) = f (a) = 0

Die Losung y(t) von (1), mit dem Anfangswert y(0) = η, wird als y(t; η) bezeichnet.

2.1 Definition: Exponentielle Stabiliat

Die Ruhelage heißt exponentiell stabil falls es positive Konstanten β, γ, c gibt, so dass fur Losungen

von (1) mit:

|y(0)| < β

folgt

|y(t)| < ce−γt fur t > 0

und die eine Losungen in [0,∞) existieren.

2.2 Korollar

Unter der Voraussetzung, dass f Lipschitz-stetig ist, so folgt aus der exponentiellen Stabilitat die

asymptotische Stabilitat der Ruhelage.

3 LYAPUNOV-FUNKTIONEN UND DIE STABILITATSFRAGE 6

Beweis:

Zu ε > 0 gibt es ein a ≥ 0 mit ce−aγ < ε. Fur |η| < β ist |y(t; η)| < εe−γ(t−a) in [a,∞).

Nun finden wir, durch die Eigenschaft der Lipschitz-Stetigkeit, ein positives δ < β wahlen, s.d. aus

|η| < δ folgt |y(t; η)| < ε in [0, a].

Somit existiert die Ungleichung in [0,∞]. �

3 Lyapunov-Funktionen und die Stabilitatsfrage

Fur eine reellwertige Funktion V ∈ C1(D) definieren wir:

V(x) : = (grad V(x), f (x)) = f1(x) · Vx1(x) + · · · + fn(x) · Vxn(x)

= limt→0

1t

[V(x + t f (x)) − V(x)]

Wir halten fest, dass V die Richtungsableitung von V in Richtung f ist. Aufgrund dieser Eigen-

schaft wird V auch als Ableitung von V langs Trajektorien bezeichnet.

3.1 Lyapunov-Funktion

Da fur eine Losung y(t) von (1) gilt:

∂

∂tV(y(t)) = V(y(t))

lassen sich Aussagen von V langs einer Trajektorie machen, da die Steigung von V abhangig der

Losungskurve ist.

Eine Lyapunov-Funktion V ∈ C1(D) wird durch die folgenden Eigenschaften definiert:

(i) Sie ist positiv definit: V(x) > 0 und nur fur x = 0 gilt V(0) = 0

(ii) V(x) ≤ 0 in D

Als nachstes werden wir sehen, unter welchen Bedingungen eine Losung stabil oder instabil ist.


3.2 Satz: Lyapunov-Stabiliat

Sei f ∈ C(D) und f (0) = 0 und es existiere eine Lyapunov-Funktion V zu f . Dann gilt:

(a) V ≤ 0 in D⇒ die Nulllosung von (1) ist stabil.

(b) V < 0 in D \ {0} ⇒ die Nulllosung von (1) ist asymptotisch stabil.

(c) V ≤ −αV und V(x) ≥ b|x|β in D (α, β, b > 0)⇒ die Nulllosunug ist exponentiell stabil.

Bevor wir diesen Satz beweisen, schauen wir uns eine Lyapunov-Funktion einer zweidiminesiona-

len Differentialgleichung, mit asypmtotischer Stabilitat an:

Abbildung 1: Lypaunov-Funktion eines zweidimensionalen autonomes Systems

Abbildung 2

Die Nivaulinien der Lyapunov-Funktion V umschließen die Trajektorie in der x1, x2-Ebene. Durch

diese geometrische Bedeutung, konnen wir den Beweis anschaulich fur ein zweidimensionales

System in einem dreidimensionalen Koordinatensystem, in abhangigkeit der Zeit, anschaulich

verdeutlichen und danach allgemein beweisen.


Beweis:

Um a) und b) einzusehen uberlegen wir uns wie sich V entlang einer Trajektorie verhalt. Falls V

eine Trajektorie umschließt kann die Losungskurve nur in einer hinreichend kleinen Umgebung

konvergieren, oder eine periodische Losung haben, da die Lyapunov-Funktion sich durch die Be-

dingung V < 0 und V(0) = 0,V(x) > 0 fur x , 0 weiter zuspitzt, bzw. gleichbleibt fur V = 0.

(a) Sei ε > 0 so klein, dass die abgeschlossene Kugel Bε ind D liegt. Wir wahlen ein positives

γ derat, dass V(x) ≥ γ fur |x| = ε gilt, und danach ein 0 < δ < ε so, dass V(x) < γ fur

|x| < δ. Nun betrachten wir eine Losung y von (1) mit |y(0)| < δ hinreichend klein. Die

Funktion φ(t) = V(y(t)) hat nach Voraussetzung an die Lyapunov-Funktion eine Ableitung

φ′

(t) ≤ 0, es ist also φ(t) ≤ φ(0) ≤ γ. Da V(x) auf der Sphare |x| = ε nur Werte ≥ γ annimmt,

bleibt |y(t)| < ε, solange die Losung existiert. Wir haben also nur mit den, an die Lyapunov-

Funktion gerichteten Eigenschaften, die Existenz der Losung, sowie die Stabilitat, im ganzen

Intervall J = [0,∞] gezeigt.

Wir haben somit gezeigt, dass bei einem hinreichend kleinem Startwert, unter den gegebenen

Bedingungen, die Trajektorie die Epsilon-Umgebung der Null niemals verlasst. Anschaulich

werden wir dies wieder an einem zweidimensionalen System, in Abhangigkeit der Zeit dar-

stellen.

Abbildung 3

(b) Unter der Annahme der Lyapunov-Funktion nimmt V(x) langs unserer Trajektorie standig

ab. Kann es bei irgendeinem Wert stehen bleiben? Sicher nicht. Denn sonst wurde V au-


ßerhalb einer Sphare gegen Null gehen, das kann aber wegen der positiven Definitheit nicht

gehen und V(x) strebt langs der Trajektorie gegen Null.

Um dies zu beweisen, nehmen wir an, dass V irgendwann gegen einen Wert β , 0 konver-

giert und leiten somit einen Widerspruch ein. Also:

Fur eine Losung y(t) mit φ(t) = V(y(t)), wie gerade betrachtet, existiere limt→∞ φ(t) = β < γ

und es ist β ≤ φ(t) < γ fur t > 0. Wenn nun β , 0 ist, so ist die Menge M = {x ∈ Bε : β ≤

V(x) ≤ γ} eine kompakte Teilmenge von Bε \ {0} und max{V(x) : x ∈ M} = −α < 0. Da die

Losung y in M verlauft, wurde sich φ′

(t) ≤ −α und damit ein Widerspruch ergeben.

Es ist also lim φ(t) = 0.

Der letzte Rest ist schnell einzusehen, da nun y(t)→ 0(t → ∞) folgt.

Wir betrachten das gleiche System wie in a) mit den Voraussetzungen in b). Man erkennt,

dass die Lyapunov-Funktion immer weiter eingeschnurt wird und die Trajektorie immer in

dieser verlauft und somit irgendwann konvergieren muss.

Abbildung 4

(c) In diesem Beweis benutzen wir ausschließlich die Bedingung die eine exponentiell stabile

Losung liefert. Nach Voraussetzung ist b|y(t)|β ≤ V(y(t)) = φ(t) und φ′

≤ −αφ, also muss

φ die Ungleichung φ(t) ≤ φ(0)e−αt erfullen. Hieraus folgt nun mit einfachen Umformungen,

dass |y(t)| ≤ ce−γt, wobei γ = αβ .


�

3.2.1 Beispiel

Leider gibt es keinen Algorithmus um eine Lyapunov-Funktion zu konstruieren und muss somit

durch Erfahrung oder Probieren gefunden werden.

Wir untersuchen nun eine DGL im Bezug auf eine Nichtlineare Schwingung ohne Reibung.

x′′

+ h(x) = 0︸︷︷︸Bewegungsgleichung einer punktformigen Masse unter Einwirkung einer Federkraft −h(x)

⇔ x′

= y, y′

= −h(x)

xh(x) > 0 fur x , 0, sowie h(0) = 0. Um das Problem der Stabilitat der Losung zu untersuchen,

betrachten wir die Energiefunktion als Lyapunov-Funktion.

E(x, y) =12

y2 + H(x) mit H(x) =

∫ x

0h(s)ds

h(x) soll sich mehr oder weniger wie eine Gerade durch den Ursprung verhalten. Die kinetische

Energie der Masse ist 12 y2 und ihre potentielle Energie H(x)

Quelle: Abb16 J.LA Salle/ S. Lefschetz Die Stabilitatstheorie von Ljapunow Erste Auflage 1967 Mannheim

Die Niveaulinien V(x) = k2 mit der Darstellung:

y = ±√

2(k2 − H(x))

wobei H(x) die potentielle Energie darstellt H(x) = −12 kx2 und k eine Federkraftkonstante, sind

geschlossene Kurven die den Ursprung umlaufen. Somit ist die Losung stabil.

V(x, y) = E(x, y) =12

y2 + H(x)


Hiermit gilt E(x, y) > 0 fur (x, y) , (0, 0) und E(x, y) ≡ 0. Also ist die Nulllosung stabil.

3.3 Instabilitatssatz

Es sei V ∈ C1(D), V(0) = 0,V(xk) > 0 fur eine Folge (xk) aus D \ {0} mit xk → 0. Ist V > 0 fur

x , 0 oder V ≥ λV in D mit λ > 0, so ist die Nulllosung instabil.

Sie ist insbesondere instabil, wenn V(x) > 0 und V(x) > 0 fur x , 0 gilt.

Beweisidee:

Wir uberlegen uns wie im Beweis des Stabilitatssatzes, was mit einer Trajektorie geschieht und

sehen ein, dass eine Losung, jede noch so kleine Kugel, in endlicher Zeit verlassen muss.

Sei y eine Losung von (1) mit y(0) = xk, also φ(0) = α > 0, wobei wieder φ(t) = V(y(t)) gesetzt

wird.

Wir betrachten den ersten Fall und wahlen ε > 0 derart, dass V < α in Bε ist.

Da φ′

≥ 0, also α = φ(0) ≤ φ(t) ist, haben wir |y(t)| > ε.

Nun sei Br eine abgeschlossene, in D liegende Kugel (r > ε). Fur ε ≤ |x| ≤ r ist V(x) ≥ β > 0, also

φ′

≥ β und φ(t) ≥ α + βt, solange y(t) ∈ Br ist. Da die Funktion V in Br beschrankt ist, muss die

Losung y(t) die Kugel Br in endlicher Zeit verlassen.

Der zweite Teil des InstabilitŁtssatzes ist leicht einzusehen da φ′

(t) ≥ λφ(t) gilt, woraus φ(t) ≥ αeλt

folgt. Also ist auch hier |y(t)| > r fur große t.

Nun konnte die Frage aufkommen wieso wir anfangs eine Folge xk gewahlt haben. Da xk → 0 gibt

es demnach Losungen mit beliebig kleinen Anfangwerten, welche die Kugel Br verlassen.

4 DER STABILITATSSATZ VON LASALLE 12

4 Der Stabilitatssatz von LaSalle

In diesem Abschnitt werden wir einen weiteren Stabiliatssatz kennen lernen und die Bedingungen

an die Stabiliat bzw Instabilitat verscharfen. Am Ende des Kapitel ein Beispiel sehen, welches nach

Satz 2.2 stabil ist, aber eigentlich sogar asymptotisch stabil ist.

4.1 Einige Definitionen: Limespunkt; Limesmenge; Invariante Menge

· Die Losungen von (1) existieren in einem maximalen Intervall J = (t−, t+) mit −∞ ≤ t− <

0 < t+ ≤ ∞.

· γ := y(J) erzeugt eine Trajektorie.

· y+ = y([0, t+)) heißt positive Halbtrajektorie (analog y− negative Halbtrajektorie).

· Falls t+ = ∞ und es existiert eine Folge (tk) → ∞ mit lim y(tk) = a, so wird a ∈ Rn positiver

Limespunkt oder ω−Limespunkt genannt.

· Die Menge aller Limespunkte wird als L+ bezeichnet (analog mit L−).

· Eine Menge M ⊂ D heißt positiv/negativ invariant bzgl. (1), wenn aus η ∈ M folgt γ+(η) ⊂ M

bzw. γ−(η) ⊂ M folgt. Falls γ(η) ⊂ M so wird M einfach invariant genannt.

4.1.1 Satz

Ist K eine kompakte Teilmenge von D und y(t) eine Losung von (1) mit y+ ⊂ K, so ist t+ = ∞ und

die Limesmenge L+ ⊂ K nicht leer, kompakt, zusammenhangend und (beidseitig) invariant und es

gilt:

limt→∞

dist (y(t), L+) = 0

Insbesondere existiert jede Losung y(t; η) mit η ∈ L+ in R.


Beweis:

Der Beweis dieses Satzes behandelt keine, fur diese Ausarbeitung bedeutsamen Ideen und wird

deshalb nur als Skizze abgehandelt.

Wir uberlegen uns, dass eine Losung y(t) in einer kompakten Menge nach dem Satz von

Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge y(tk) besitzt.

Dies zeigt uns, dass L+ eine nicht leere Teilmenge von K ist.

Im nachsten Schritt muss gezeigt werden, dass L+ abgeschlossen ist. Dazu betrachten wir

einen Haufungspunkt b und zeigen, dass fur hinreichend große t fur den Abstand einer

Losung y(t) zu b gilt: |y(t) − b| < ε, wobei ε > 0 beliebig.

Der nachste Teil des Satzes sagt aus, dass L+ zusammenhangend ist. Um diesen Teil zu be-

weisen nimmt man an, dass L+ nicht zusammenhangend ist. Den Widerspruch leitet man ein

indem man L+ in zwei nicht zusammenhangende Teilmenge aufteilt und einen Haufungs-

punkt konstruiert, welcher in keinem der kompakten Teilmengen liegt und somit auch nicht

in L+, was ein Widerspruch ist.

Vor der Limesbeziehung fehlt nun nur noch die Invarianz, welche aus dem Satz 13.X vgl. 5.2

und 30.V c) direkt folgt.

Die Limesbeziehung wir auch mit einem Widerspruch gezeigt. Falls die Limesbeziehung

nicht gilt, muss es eine Folge (tk) mit tk → ∞ geben mit y(tk) < L+ε , wobei L+

ε eine ε-

Umgeung von L+ ist. Also hatte man einen Haufungspunkt welcher außerhalb von L+ liegt

was jedoch nach unseren vorherigen Uberlegungen nicht moglich ist. Somit folgt die Be-

hauptung


4.2 Definition: Atttraktor und Einzugsbereich

Sei f (0) = 0 und die Losung x(t) ≡ 0 asymptotisch stabil. Dann ist die Menge aller η ∈ D mit

y(t; η)→ 0 fur t → ∞ eine Nullumgebung. Diese Menge wird Einzugsbereicht E(0) von 0 genannt.

Also sei M ⊂ D eine positiv invariante Menge. Dann ist E(M) die Menge aller Punkte η ∈ D mit

dist(y(t; η),M)→ 0 fur t → ∞.

Falls E(M) eine Umgebung von M, so wird M Attraktor genannt. Eine einpunktige Menge M = a

mit f (a) = 0 ist also ein Attraktor, wenn die Losung x(t) ≡ a asymptotisch stabil ist.

4.2.1 Lemma

Es sei G ⊂ D offen, V ∈ C1(G) und V ≤ 0 in G, wobei V keine Lyapunov-Funktion sein muss. Fur

ein α aus der Wertemenge V(G) sei die Menge Gα = {x ∈ G : V(x) ≤ α} kompakt. Dann gilt:

(a) Jede Losung y(t; η) mit η ∈ Gα existiert fur alle t > 0.

(b) Gα ist positiv invariant.

(c) Fur η ∈ Gα ist L+(η) ⊂ Gα nicht leer mit V = 0 auf L+(η)

Beweis:

Aus η ∈ Gα folgt, dass V(y(0)) = φ(0) ≤ α. Solange y(t) in G verlauft, ist φ′

≤ 0, also φ(t) ≤ α, also

y(t) ∈ Gα. Wir uberlegen uns, dass Gα vom Rand von G einen positiven Abstand hat, und somit die

Losung fur alle t > 0 exisitert (man denke an die Bedingung, dass V ≤ 0 und an die Beweisideen

des Stabilitatsstatzes) und in Gα bleibt.

Draus folgt nun (a) und (b).

Fur den letzten Teil (c) betrachten wir nochmals Satz 4.1.1, woraus folgt, dass L+ := L+(η) nicht

leer und in Gα enthalten ist.

Nun werden wir einen Widerspruchsbeweis fuhren und nehmen an, dass fur ein α ∈ L+ gelte

V(α) < 0.

Falls dies gilt ist V(x) ≤ −β < 0 in B := {x : |x − α| ≤ 2ε}. Jetzt betrachte eine Folge (tk) mit


tk → ∞ fur k → ∞ und |y(tk) − α| < ε sowie eine Konstante c > 0 derart, dass |y(t) − α| < 2ε fur

t ∈ Jk = (tk − c, tk + c). In jedem Intervall Jk ist somit φ′

≤ −β und da φ monoton fallend ist, folgt

φ(t)→ −∞ fur t → ∞. Dies ist jedoch ein Widerspruch, also muss V(α) = 0 �

4.3 Satz

Es sei G ⊂ D offen. Die Funktion V ∈ C1(G) habe die Eigenschaft, dass fur jedes α ∈ V(G) die

Menge Gα = {x ∈ G : V(x) ≤ α} kompakt ist, und es gelte V ≤ 0 in G.

An dieser Stelle ist zu betonen, dass V keine Lyapunov-Funktion sein muss.

M sei die großte invariante Teilmenge der Menge N := {x ∈ G : V(x) = 0}. Dann ist M , ∅ und G

gehort zum Einzugsbereich von M, d.h. fur η ∈ G strebt dist(y(t; η),M) gegen 0 fur t → ∞.

Beweis: Der Beweis erfolgt mit den, im Lemmata, genutzten Beweisideen. η ∈ G gehort zu Gα mit

α = V(η) Nach 4.2.1 (c) ist L+ = L+(η) ⊂ N und somit nach 4.1.1 ist L+ invariant.

Somit ist L+ ⊂ M und 0 ≤ dist(y(t; η),M) ≤ dist(y(t; η), L+)→ 0 fur t → ∞

4.4 Stabilitatssatz von LaSalle

Die Funktion f mit f (0) = 0 sei in D lokal Lipschitz-stetig und V ∈ C1(D) sei eine Lyapunov-

Funktion f . Ist M = {0} die großte invariante Untermenge von N = {x ∈ D : V(x) = 0}, so ist die

Ruhelage asymptotisch stabil .

Beweis:

Es sei−

Br ⊂ D und V(x) > γ > 0 fur |x| = r(r > 0). Dann ist die Menge G = {x ∈ Br : V(x) < γ}

eine Nullumgebung mit−

G ⊂ Br, welche die Voraussetzungen von 4.3 erfullen. Also folgt die Be-

hauptung.


4.4.1 Beispiel

Nun betrachten wir eine nichtlineare Schwingung mit Reibung mit einem linearen Reibungsglied

εu′

(ε > 0) sowie h(x) = 0

u′′

+ εu′

+ h(u) = 0⇔ x′

= y, y′

= −h(x) − εy

Nun benutzen wir wie im Beispiel 2.2.1 die Energiefunktion und erhalten

E = −εy2

Also nimmt die Energie, wie zu erwarten ab. Die Ruhelage ist unter den Voraussetzungen von Satz

2.2 stabil. Nach 3.4 gilt jetzt sogar, dass die Losung asymptotisch stabil ist, obwohl die Ungleichung

V < 0 fur y = 0 verletzt ist.

Da liegt daran, dass die geschlossene Trajektorie nur in Null existiert und somit ist die Bedingung

an die geforderte invariante Menge, wie im Satz von LaSalle gefordert erfullt.

Als kleine Anmerkung:

Oftmals lassen sich Lyapunov-Funktionen finden, wenn man in der DGL. die ein physikalisches

System modelliert, nach Energien sucht.

5 LITERATURVERZEICHNIS 17

5 Literaturverzeichnis

1 W. Walter. Gewohnliche Differentialgleichungen. Springer-Lehrbuch. Springer-Verlag GmbH,

2000.

2 Joseph P LaSalle .Die Stabilitatstheorie von Ljapunow (die direkte Methode mit Anwendun-

gen Mannheim, Bibliogr. Inst., 1967)

3 Abbildung 1: http://www.math24.net/images/lyapunov-function2.jpg

4 Abbildung 2: http://www.math24.net/images/lyapunov-function1.jpg

5 Abbildung 3: http://www.math24.net/images/lyapunov-stability.jpg

6 Abbildung 4: http://www.math24.net/images/asymptotic-stability.jpg

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