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Die Konstruktion der Minimalil~iche yon ENNEPER

Von

WOLFGAI~G BSttlYf

Die Minimalfl~che yon E~_~E~V.~ hat die bekannte, aufKrfimmungslinien u = const, v ---- const bezogene Darstellung [1]

(E) x = u ( 3 - - u 2 - l - 3 v 2 ) , y : - - v ( 3 - - v 2 - ] - 3 u 2 ) , z----3(u2--v2).

Die Kurven u/v ~- const bzw. u 2 -~ v 2 ---- const sind Biegungslinien der Meridiane bzw. Breitenkreise jener Rotationsfl~che ~5, die auf die Enneperfl~ehe abgewiekelt werden kann. Die Tangentialebenen l~ngs der Kurve u 2 ~ v 2 ~- 1 ---- 0 umhfillen eine Schar konfokaler Paraboloide. Daher besteht die Fokalkurve [2] der Enneperfl~che aus den beiden Fokalparabeln 1)

(P1) x ~ 4u , y---- 0, z---- 2u 2 - 1,

(P2) x = 0 , y = - - 4 v , z - - - -1 - -2v 2

dieser Schar, der u. a. auch das gleichseitige hyperbolische Paraboloid 1)

(P) x = 2 u , y- - - - - -2v, z- - - -u~--v 2 angeh6rt.

1. Ffir die Minimalfl~che yon ENNEI'ER hat Dil~BOUX die folgende Konstrukt ion angegeben [3]: Die Symmetrieebene a zweier Punkte P1 und P2 der Fokalparabeln ist Tangentialebene der Enneperfl~ehe. Der Beriihrungspunkt E wird auf ihr durch die beiden Normalebenen ttl bzw./t2 der Fokalparabeln in/)1 bzw. P2 ausgeschnitten. Diese Normalebenen sind die Ebenen der Kriimmungslinien durch E.

2. J o ~ i s konstruiert diese Minimalfl~chen so [4] : Er f~llt yon einem Punkt P des gleiehseitigen hyperbolischen Paraboloides das Lot auf die z-Achse und spiegelt es an der Tangentialebene des hyperbolischen Paraboloides in P. Das Spiegelbfld ist Tan- genre t einer der Kurven u/v = const der Enneperfl~ehe. Den Beriihrungspunkt E findet JonAs, indem er den Durchstol3punkt D yon t m i t z ---- 0 bes t immt und seinen Abstand yon P zweimal fiber P hinaus antr~gt.

3. Wit wollen diesen beiden Konstruktionen hinzuffigen: Spannt man yon zwei frei bewegliehen Punkten P1 und/)2 der Fokalparabeln zwei Fs nach einem Punkt E des Raumes, so dab infolge der Fadenspannung. die F~den an den Fokalparabeln

1) Die Parameter sind so gew~Mt, dab die im folgenden angegebenen Konstruktionen zur Dar- stellung (E) fiihren (vgl. [1] und [4]).

Vol. XII, 1961 Die Konstruktion der Minimalfl~che yon E~NEPs~ 239

Gleichgewichtslage einnehmen, so ist bei gleichlangen F/~den 11 ~ 12 der Punkt E auf der lVljnimalflgche yon E~ct~v.P~.l~ beweglich2). Insbesondere beschreibt fiir 11 = 12 = = const der Punkt E die Biegungslinie eines Breitenkreises yon r Die Symmetrie- ebene ~ beider l~gden ist Tangentialebene der Enneperflgche in E und die in ihr ge- legene Winkelhalbierende beider Fgden ist Tangente der Biegungslinie eines NIeridians VOI1 ~).

4. Wir wollen nun zeigen, dab alle drei Konstruktionen im wesentlichen ausein- ander hervorgehen. Zungchst folgt die dritte sofort aus der ersten: Da beide Fgden gleich lang sind, lieg~ E in der Symmetrieebene ~ yon P1 und P2, und da sie an den Fokalparabe]n infolge der Fadenspannung Gleichgewichtslage einnehmen, bflden sie dort mit den Tangenten der Fokalparabeln rechte Winkel, d .h . sie liegen in den beiden l~ormalebenen/~1 bzw. /~2. Berechnet man die Fadenls so erhglt man 11 ----- 12 = (u 2 q- v 2 q- 1) 3/2, fiir 11 = 12 = con~t also Biegungsllnien der Breitenkreise yon ~ .

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5. Um auch die zweite Konstrukt ion aus der ersten anschaulich herzuleiten, kann

man so vorgehen: Man erkennt zungchst, die Mitte P der Strecke P1 P2 lieg~ auf dem hyperbolischen Paraboloid (P) und die Tangentialebene T in P ist parallel zu den Tangenten der Fokalparabeln in P1 und P2. Damit stehen die I~ormalebenen #1 und #2 und ihre Schnittgerade n senkrecht auf ~. Nach den bekannten Fokaleigenschaften der Flgchen zweiter Ordnung [6] ist das Spiegelbild ]* der Verbindung [ yon P1P2 an T parallel z. Damit ist das Spiegelbfld a* yon ~ an ~ die Ebene senkrecht z durch P, das Spiegelbfld E* yon E an T ist der Schnitt yon n mit ~*, und die Ebene parallel z durch ] i s t auch parallel n. Daraus fo l~ : die Ebenen e des Biisehels durch ] schneiden auf z und n ghnliche Punktreihen aus.

2) Man vergleiche dazu neben den bekannten Fadenkonstruktionen der ~lt~chen zweiter Ord- nung auch die der Du-~rssehen Zykliden aus ihren 1%kalkegelschnitten [5].

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Betrachte t man die beiden Ebenen el bzw. e2 durch ] und die :Normalen n l bzw. ~2 der Fokalparabeln in P1 bzw. P2, so ist e twa mit Hilfe des Satzes fiber die gleiehlangen Subnormalen einer Parabel leicht zu zeigen, dal3 die yon einer Ebene e durch ] au f z und n ausgeschnit tenen Punk te auf verschiedenen Seiten yon ~* und im gleichen Ab- s tand yon ~* liegen. Wenden wit das auf die Ebenen des Biischels du tch E* und durch E an, so folgt: Die Ebene dureh ] und E* trifft z im Schnit t mi t ~*, d. h. ihr Sehnit t t* mi t a* trifft z. Es ist gezeig~, t* ist das Lo t yon P auf z. Dami t geht das Spiegelbild 8" der Ebene 8 beider F~den du tch z und 8 selbst durch den Schnit t T yon z mi t w. 8 sehneidet n in E und der Abs tand yon E und a* ist gleich dem Abs tand yon a* und T, und der ist gleich dem zweifachen Abs tand yon ~* und z = 0. Das e r ~ b t fiir E die Kons t ruk t ion yon JOZ~AS.

6. Eine andere Erzeugamg der Minimalfl~che yon E~N]~PV, R ha t K. STRUBV.CKV, R gegeben [7], er geht dabei yon den Fl~chen aus, deren Asymptotenl inien linearen Komplexen angehSren und bewirkt die Erzeugalng unter Zu~unde legung einer quasi- elliptischen Metrik.

Literaturverzeiehnis

[1] L. BL~NCHI-LuKAT, Vorlesungen fiber Differentialgeometrie. Leipzig 1910, p. 375. [2] G. D~tl~BO~X, Sur due classe remarquable . . . . Paris 1873, p. 9. [3] G. DARBO~X, Surfaces, vol. 1. Paris 1914, p. 374. [4] H. JONAS, Zur Theorie der W-Kon~uenzen mit ebener Mittelfi~ehe. Math. lk'achr. 9, 1--21

(1953), insbes, p. 20. [5] J. C= BL~XWELL, On the Cyldides. Quart. J. Math. 9, 111--126 (1868). [6] O. STAUDS, Fokaleigenschaften. Leipzig 1886. [7] K. ST~VBECXV.~, Vortrag im Mathematisehen KoUoquium der Freien Universit~t Berlin am

8. 2. 1961 und Eine Erzeugung der Minimalfl~ehe yon Enneper. _4_un. Mat. pura appl., IV. Ser., 54, (1961) (ira Druek).

Eingegangen am 10. 5. 1961

Ansehrift des kutors: Wolfgang B6hm Lehrstuhl and Ymstitut fdr Geometrie Technische Universit~t Berlin Berlin-Charlottenburg 2 Hardenbergstr. 34, EB-103