Die Fadenkonstruktionen der Fliiehen zweiter Ordnung Von WOLFGANG BOHM in Braunschweig

(Eingegangen am 12.10.1954)

Wiihrend die Fadenkonstruktion der Ellipse schon den griechischen Mathe- matikern bekannt war, sind die entsprechenden Verhiiltnisse f i i r den Raum erst im vorigen Jahrhundert entdeckt worden. Die Fadenkonstruktion des Ellipsoids wird gewohnlich STAUDE zugeschrieben, der sich in mehreren Ver- offentlichungen [I] damit befa& hat, aber schon WELL [2] hat ihr Prinzip angegeben. STAUDE hat auch eine Verallgemeinerung bewiesen, die ein Analogon des bekannten Satzes von GRAVES fiir den ebenen Fall darstellt. Von SOMMER [3] ist STAUDES Resultat auf den vierdimensionalen Raum ausgedehnt worden, von BLASCHKE [a] endlich auf alle Raume mit STk!KELschem Lidenelement [5]. Die Beweise der erwiihnten Arbeiten sind analytisch, eine Verallgemeinerung der optisch-geometrischen Beweisfuhrung MAXWELLS durch FINSTERWALDER [6] ist recht verwickelt. Ich habe in meiner Dissertation1) die ursprungliche MAXWELL-STAuDEsche Theorie rein geometrisch fiir beliebig viele Dimen- sionen und auch fur nichteuklidische Riiume mittels vollstiindiger Induktion nach der Dimensionszahl behandelt. Als Beweismittel benutzte ich den Satz von IVORY [7] uber die Diagonalen eines von konfokalen Flachen einer Schar gebildeten ,, Quaders". Obwohl fur die Ebene dieses Verfahren sehr bekannt ist, 'habe ich doch nirgends eine Anwendung auch nur fur 3 Dimensionen gefunden, und ich will daher wenigstens diesen Fall hier mit Hilfe einiger Figuren erliiutern.

Wir betrachten zunachst den Fall des dreiachsigen Ellipsoids. P sei ein Punkt desselben. Die Figur 1 zeigt die vier moglichen Arten, P durch gespannte Faden, die uber einen der Fokalkegelschnitte laufen, mit den Scheiteln des zweiten zu verbinden. Die Lagen der vier in P zusammentreffenden Anfangs- stiicke dieser Fiiden sind - wie wir noch begrunden werden - bestimmt als die Durchschnitte der beiden Kegel, die mit P als Spitze durch die beiden Fokalkegelschnitte gehen. Die Kegel gehoren dem konfokalen System der Tangentialkegel aus P an die Flachen unserer Schar an, das die Tangential- ebenen an die Scharfliichen durch P als Doppelebenen enthalt ; daher liegen die Fadenstucke I und IIeinerseits, III und I V andererseits mit der Ellipsoid- normalen in je einer Ebene und bilden mit ihr gleiche Winkel; ein z. B. aus der Richtung I in P ankommender Lichtstrahl wird vom spiegelnd gedachten Ellipsoid in die Richtung von I I reflektiert. Als Schnitte der beiden Kegel

l) Technimhe Universit&t Berlin 1953; Referenten: Prof. Dr. E. REMBS und Pmf. Dr. E.MoHR.

162 Bbhm. Fadenkomtruktionen der Flibhen zweiter ordnung

treffen die Anfangsstucke der vier Fiiden in ihrer Verliingerung beide Fokal- kegelschnitte, sie sind Fokalstrahlen.

Die Endpunkte QI, Q2, Q3, Qr jedes der vier Anfangsstiicke liegen auf einem Fokalkegelschnitt und sind mit einem Scheitel des anderen Fokal- kegelschnitts durch das Fadenendstuck verbunden. Anfangs- und Endstiick sind also beide Fokalstrahlen und liegen daher beide auf dem Kegel, der Q,, als Spitze hat und durch den anderen Fokalkegelschnitt geht. Dieser Kegel ist bekanntlich - wie alle Tangentialkegel aus Q,, an die Flachen der Schar - Drehkegel und hat die Tangente des Fokalkegelschnitts in &+, als Achse. Daher bilden Anfanqs- und Endstiick des Fadens mit der Tangente in &, gleiche Winkel, womit sich die angegebene Lage des Fadens als Gleichgewichtslage

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Fig. I

zu erkennen gibt. Damit findet die zuniichst willkiirlich erscheinende WahI der Anfangslage ihre Begriindung. Die gleichen Winkel an den Fokalkegel- schnitten und die der Anfangsstiicke mit der Flachennormalen gestatten, die vier Teile z. B. der Fiiden I und II ale Teile eines Lichtstrahls aufzufassen, der vou einem Scheitel des einen Fokalkegelschnitts ausgeht und nach drei- maliger Reflexion in einen Scheitel des anderen Fokalkegelschnitts miindet. Diese Verhiiltnisse weren fiir MaXwJEm der AnlaS, sich mit der Angelegenheit zu befassen. Wir haben zu zeigen, daS bei Veriinderung von P auf dem Ellip- soid die Liingensumme der Fiiden (Lichtstrahlen) etwa I und 11 konstant ist, und aneloge Beziehungen fiir die anderen Scharfliichen zu suchen.

Wie schon bemerkt, wird der Satz von IVOB~ angewandt: Die vier Raurndiagonalen eines v m drei Paaren konfokaler Flachen gebil-

deten &mder.s sinrl gleich law.

Bbhm, Wadenkonstruktionsn der Flhhen zweiter Ordnung

Aber es wird noch ein weiterer Satz iiber diese Diagonalen benotigt: Wenn won den Raumdiagonalen einee Iworyechen Q d e r e eine Fokalstrahl

iet, 80 a i d auch die anderen Fokaletrahlen. Man kann diesen Satz mit einfacher Anwendung von Dreiecksungleichungen

und dem Satz von IVORY beweisen, er kann aber auch als Spezia,lfall des folgenden Satzes aufgefaBt werden :

Die Raumdiagonalen einee Iworyschen Quadere beruhren dieaelben Flachen der konfokalep Schar.

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Fig. 2

Fiir diese Fassung ergibt sich leicht die Herleitung aus einem projektiven Satz, der mir die Ausdehnung auf den nichteuklidischen Fall ermoglichte und der dafiir auch den Satz von IVORY als Sonderfall enthiilt:

Das Doppelwerhaltnis der Endpunkte einer Raumdiagonale mit ihren Schnitt- punkten auf irgendeiner feet gewahlten Scharfliiche hat fur alle Raudiagonalen einee Quadera deneelben Wert.

Man braucht nur in dem bekannten Wert a) des Doppelverhaltnisses das eine Eckenpaar gegen ein anderes zu vertauschen, urn die Richtigkeit des Satzes einzusehen. Er wird dann spedalisiert auf den Fall, daD die beiden Schnittpunkte mit der Scharflache in einen zusammenfallen, und endlich fiir den Fall, daS diese Scharfliiche ein Fokalgebbilde ist.

Wir wollen jetzt den Faden I untersuchen, und zwar zuniichst sein An- fangsstuck PQI in Figur2. Der IvoRYsche Quader mit PQ’ als Diagonale ist derart entartet, daS zwei seiner Seitenfliichen zu Ebenenstueken in der gleichen Ebene geworden sind. Die Figur zeigt ,zwei Stiicke von zweischaligen Hyperboloiden PSQ T und PISIQf TI, ein Stuck eines Ellipsoids P P I B I S ,

’) Vgl. etwa KLEIN, Vorlesungen iiber nichteuklidische Qeometrie, Berlin 1928, 8.167.

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ein solches eines entarteten Ellipsoids Qt& T T f , ein Stuck eines einschaligen Hyperboloids P T T' PI und ein solches eines entarteten einschaligen Hyper- boloids Q'QSS'. Die Stucke des entarteten Ellipsoids und des entarteten ein- schaligen Hyperboloids sind Teile des Inneren bzw. des AuBeren der Fokal- ellipse. Damit liegen auch zwei der Hauptdiagonalen, niimlich ST' und S T in der Ebene der Fokalellipse. Nach dem Satz von IVORY sind nun die Dia- gonalen PQ' und S TI gleich lang. Nach dem zweiten genannten Satz aber muB, weil PQ' Fokalstrahl ist, 6' T' neben der Fokalellipse auch die Fokalhyperbel treffen, mithin durch A gehen.

Sodann betrachten wir in der Ebene der Fokalellipse das System konfo- kalbr Kegelschnitte, das man durch den Schnitt unserer konfokalen Fliichen mit der Ebene der Fokalellipse erhiilt. Die Fokalellipse ist ein Kegelschnitt dieses Systems, die anderen Ellipsen erhiilt man im Schnitt mit den Ellipsoiden und einschaligen Hyperboloiden, die Hyperbeln im Schnitt mit den zweischa- ligen Hyperboloiden der Schar. E ist ein Hauptscheitel unseres Ellipsoids, F ein Hauptscheitel des einschaligen Hyperboloids und H Hauptscheitel des zweischaligen Hyperboloids, die P als Schnittpunkt haben. A und A' sind die Scheitel der Fokalhyperbel, also die Brennpunkte unseres Kegelschnitt- systems. Indem wir nun den IvoRYschen Satz der Ebene auf die entarteten IvoRYschen Vierecke S E A H und T'FAG anwenden, erhalten wir die Glei- chungen

Bohm, Fadenkonstruktionen der Flichen zweiter Orbung

PQ' = ST' = S A - T ' A = EH - FG.

Damit haben wir das Anfangsstuck des Fadens 1 als Differenz zweier Strecken auf der Hauptachse dargestellt. Fiir das Endstuck Q'A ergibt sich analog aus dem entarteten IvoRYschen Viereck Q f BAG die Gleichung

Q'A = B G . Durch Zusammenfassen beider Gleichungen finden wir die Gesamtliinge des Fadens I

PQ' +.'A = EH + B G - F G = E H + B F .

Nur R, der Scheitel der Fokalellipse, und die Hauptscheitel E , F und H der drei durch P gehenden Scharfliichen spielen also in der Summe

E H + BF eine Rolle, das durch Qr gehende zweischalige Hyperboloid kommt darin nicht mehr vor.

Ganz iihnlich laBt sich der Faden I I durch Strecken, die in der Hauptachse liegen, ausdrucken, wenn man das lconfokale System in der Ebene der Fokal- hyperbel benutzt , dessen Ellipsen man im Schnitt mit den Ellipsoiden erhiilt, wiihrend die Hyperbeln Schnitte mit den beiden Arten der Hyperboloide sind. Wir betrachten zuniichst wieder das Anfangsstuck des Fadens 11, PR' in Figur 3. Es ist Diagonale des entarteten Quaders, den die Figur darstellt. Dieser Quader wird begrenzt durch folgende Seitenfliichen : Zwei Stucke von Ellipsoiden P V R U und P' Vt R'U', ein Stuck eines einschaligen Hyper- boloids P P' V' V und ein solches eines entarteten einschaligen Hyperboloids R' R U U1 sowie ein Stuck eines zweischaligen Hyperboloids P P' U f U und ein

Biihm, Fedenkonstruktionen der FlLchen zweiter Ordnung €55

solches eines entarteten zweischaligen Hyperboloids R' R V V'. Die Stucke der entarteten ein- und zweischaligen Hyperboloide sind Teile des hd3eren bzw. Inneren der Fokalhyperbel und liegen in deren Ebene. Mithin liegen auch die Hauptdiagonalen UVl und UlV in dieser Ebene, und nach dem Satz von IVORY sind die Diagonalen P R' und U V' gleich lang. Aber P R' ist Fokal- strahl und daher nach dem zweiten Satz auch Cr V'. Neben der Fokalhyperbel muB U V' also auch die Fokalellipse treffen, d. h. durch B' gehen. B', der Scheitel der Fokalellipse, ist aber zugleich Brennpunkt unseres konfokalen Kegelschnittsptems. Wir konnen daher den IvoaYschen Satz der Ebene auf die entarteten IvoRYschen Vierecke U H B'E' und VtFt BID enwenden und erhalten

PR' = UV' = UB' - V'B' = HE' - F'D.

Fig. 3

Fur das Endstiick R' B' des Fadens I I findet man aus dem entarteten IVORY- schen Viereck R' A'B'D, daB

ist, und daher folgt fur die Gesamtlange des Fadens II R' B' = A' D

PR' + RIB' = HE' f AID - F'D = HE' + A'F'.

El, E" und H sind Hauptscheitel des Ellipsoids, des einschaligen und des zwei- schaligen Hyperboloids, durch P , A' Scheitel der Fokalhyperbel, also kommt das Ellipsoid durch R' in unserer Formel nicht mehr vor. Wir ersetzen noch AIFI durch die auf der Hauptachse symmetrisch gelegene Strecke F A und konnen dann unser Ergebnis f i i r die Fadenstucke I und I I so zusammenfassen

L, = EH + B F , L, =HE' + F A .

Wir geben noch die Lilngen von III und IV an, die etwa ebenso zu bestimmen waren. Es ist

L, = HE' + B F , L, = EH + F A .

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Dann ergibt sich insgesamt

B6hm, Fadenkonstruktionen der Fliichen zweiter Ordnung

L 1 + L z = E E ' + B A ,

und hier tritt nur noch die groDe Achse des Ellipsoids sowie der feste Abstand B A der Scheitel bider Fokalkegelschnitte auf. Die Summe ist also von der Lage des Punktes P auf dem Ellipsoid unabhangig. Ebenso ist fur das Ellipsoid auch

L, + L, = EE' -+ B A , aber das stellt kein neues Ergebnis dar.

Fur das einschalige Hyperboloid gilt

L, - L4 = L, - Lz = BF - F A , und hier ist neben A und B auch F, der Scheitel des einschaligen Hyperboloide, feat.

Endlich ist fiir das zweischalige Hyperboloid

L, - L, = L4 -La = EH - H E ' = H H ' , das ist gleich der Hauptachse der Flache.

Liter a tur [l] 0. STAUDE, Fokaleigenschaftan der Flilchen 2. Ordnung, Leipzig 1886 und: ttber

die algebraisohen Qrundlagen der Fokaleigenschaften der Fliichen zweiter Ordnung, Math. Ann. 50, 398-428 (1898); allgemeiner in: ober die Konstruktion dea Ellip- soides mittels eines geschlosaenen Fadena, Leipzig. Ber. 1882, S. 6, vgl. auch Math. Ann.20, 147 (1882) und Math. Ann. 27, 264 (1886).

[2] J. C. MAXWELL, On the Cyklide, Quart. J. London, 9, 111-126 (1868), insbesondere s. 122.

[3] J. SOMMER, Fokaleigenschaften quadratkcher Mannigfeltigkeiten im vierd.imen- eionalen Reurn. Math. Ann. 53, 113-160 (1900).

[4] W. BLASCHKIE, Eine Verallgemeinerung der Theorie der konfokalen F,, Math. Z. 27, 663-668 (1928); vgl. auch Analytiache Ueometrie, 2. Aufl. Basel-Stuttgart 1964. S. 108-128, insbesondere 120-128.

[6] P. ST~CKEL, ttber die Bewegung einea Punktes in einer n-fachen Mannigfaltigkeit, Math. Ann. 42, 637-663 (1893), insbesondere S. 649.

[6] S. FINBTIRWALDER, Fadenkonstruktionen des Ellipaoides, Math. Ann. 26, 646-666 (1886).

[7] J. IVORY, On the attraction of homogeneous ellipaoida. Philos. Trana. Roy. SOC. London 2, 346-372 (1809), S. 366. - Vgl. auch M. CEASLES, Solution nouvelle du problbme de l'attraction d'un ellipaofde h6teroghe Bur un point edr ieur . J. Math. pur. appl. 5, 466-488 (1840), S. 486-486 (Anhang). - Dae duale Qegenatiick bei W. FIEDLER. Zur amlytischen Behandlung der Oberflllchen zweiter Ordnung.. . . Z. Math. Phya. 7, 286-313 (1862), S. 310.