didactica de la matematica -unificado
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UNIVERSIDAD TECNOLGICA INDOAMRICA
FACULTAD DE CIENCIA HUMANAS, DE LA EDUCACIN Y
DESARROLLO SOCIAL
Docente:
Lic. Margarita Prez, MSc.
QUITO- Enero 2014
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NDICE Introduccin..
Objetivo General
Objetivos Especficos
Recomendaciones para el estudio.
TALLER 1
Didctica de la Matemtica como disciplina cientfica.
- Didctica de la Matemtica por contenidos
- Didctica de la Matemtica e Investigacin
- Principales programas de investigacin..
Teora de las funciones semiticas (TFS) .
Teora de las situaciones didcticas y Guy Brousseau, 1986
Teora de los campos conceptuales y Grad Vergnaud.
Yves Chevallard: La Transposicin Didctica y la Teora Antropolgica de la
Didctica..
Rgine Douady: Juego de Marcos y la Dialctica Herramienta..
Michlle Artigue: Ingeniera Didctica
Van Hiele: Niveles de Razonamiento...
Articulacin de los principales programas de investigacin.
TALLER 2
La Tendencia Curricular asociada como Matemtica Moderna.
Estilos de Enseanza..
Estructuralismo
Mecanicismo
Empirismo
Realista
La resolucin de problemas.....
Qu es un problema?...............................................................................................................
El proceso de resolucin de un problema.
Inflexibilidad para considerar alternativas
Rigidez en la ejecucin de procedimientos...
Incapacidad de anticipar las consecuencias de una accin...
El efecto tnel
Familiarzate con el problema...
Bsqueda de estrategias
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Lleva adelante tu estrategia...
Revisa el proceso y saca consecuencias de l...
La resolucin de problemas como propuesta didctica ...
Ensear para resolver problemas..
Ensear sobre la resolucin de problemas
Ensear va la resolucin de problemas
Existe algn patrn que caracterice la prctica educativa?.
La propuesta didctica..
Disciplinas que han influido en la Didctica de la Matemtica
Una metodologa de investigacin: el paradigma agrcola...
Proceso vs Producto. Ciencia cognitiva.
Aportacin del conductismo y neoconductismo a la Didctica de la Matemtica
El asociacionismo de Thorndike
El aprendizaje acumulativo de Gagn...
La ciencia cognitiva..
La teora desarrollada por Jean Piaget..
Procesamiento de la informacin..
Valor prctico, instrumental y formal de las Matemticas...
TALLER 3
Conceptualizacin
Componentes Curriculares del rea de Matemtica.
Importancia del rea de Matemtica
Ejes Curriculares ..
Macrodestrezas..
Bloques Curriculares.....................
Perfil de Salida del rea de Matemtica...
Objetivos Educativos del rea de Matemtica.
Lectura Complementaria..
TALLER 4
Planificacin de Clase ..
Estructura del Plan de Clase..
Formato de Estructura de Plan de Clase
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Ejemplificacin de Planes de Clase...
Lectura Complementaria ...
Bibliografa
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DIDCTICA DE LA MATEMTICA
INTRODUCCIN
Para llegar al tema que da nombre a este mdulo, es necesario comenzar a distinguir la
Educacin Matemtica de la Didctica de la Matemtica. Se exteriorizan las principales
conceptualizaciones y caractersticas que definen la Didctica de la Matemtica como
un campo de investigacin cientfica y tecnolgica y el estado actual de desarrollo a
nivel nacional como internacional. Se abordan, de manera breve, los principales marcos
tericos o Programas de Investigacin de Didctica de la Matemtica de la actualidad y
la influencia de ellos en la mejora efectiva de la enseanza y aprendizaje de la
Matemtica. Las palabras claves que utilizaremos en el presente mdulo son:
Educacin matemtica;
Didctica de la Matemtica;
Programas de Investigacin en Didctica de la Matemtica;
Marcos tericos en Didctica de la Matemtica.
Con seguridad, las teoras y la investigacin son las mejores herramientas que tenemos
para la prctica y la toma de decisiones pedaggicas apropiadas
Comenzamos el estudio de este Proyecto Formativo realizando una clarificacin
terminolgica entre educacin matemtica y didctica de la Matemtica.
En muchos casos se utilizan las expresiones Didctica de la Matemtica y Educacin
Matemtica como sinnimas, mientras que en otros, como en los pases europeos, se
considera que la Didctica de la Matemtica es la disciplina cientfica interesada
principalmente, por el campo de la investigacin, ms puntualmente por las cuestiones
relativas a la enseanza y aprendizaje de la Matemtica.
En el mundo anglosajn se emplea la expresin Mathematics Education para referirse al
rea de conocimiento que en Francia, Alemania, Espaa, etc. se denomina Didctica de
la Matemtica.
La Educacin Matemtica es una construccin relativamente nueva y, en especial, su
estatus como disciplina cientfica y acadmica se encuentra en un proceso de definicin,
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construccin y consolidacin. Su incidencia en los procesos educativos la coloca en
relacin estrecha con mltiples dimensiones de la sociedad.
Sin duda, existen diferentes percepciones de lo que es la Educacin Matemtica.
Steiner, (1985, citado por Godino (2003)) ofrece varios ejemplos:
Entre los que piensan que la Educacin Matemtica existe como ciencia, encontramos
una variedad de definiciones diferentes, por ejemplo, el estudio de las relaciones entre
Matemtica, individuo y sociedad, la reconstruccin de la Matemtica actual a nivel
elemental, el desarrollo y evaluacin de cursos matemticos, el estudio del
conocimiento matemtico, sus tipos, representacin y crecimiento, el estudio del
aprendizaje matemtico de los nios, el estudio y desarrollo de las competencias de los
profesores, el estudio de la comunicacin e interaccin en las clases, etc.
En cuanto a la Didctica de la Matemtica es una ciencia, diferente de la Educacin
Matemtica. En efecto, la palabra didctica proviene del griego didaktik, de didsko,
ensear. Tiene numerosas acepciones. Es un vocablo enriquecido en la Europa
continental y empobrecido por el doblete enseanza-aprendizaje anglo norteamericano.
Como actividad general ha tenido un amplio desarrollo en las cuatro ltimas dcadas del
siglo pasado. Una de las tareas fundamentales es la de estructurar los distintos
componentes que caracterizan el proceso de enseanza y aprendizaje: el contenido, las
formas y mtodos de enseanza, los medios de enseanza, de modo tal de alcanzar el
encargo social, apoyndose para ello en las leyes y regularidades inherentes a dicho
proceso, a la dinmica del proceso. Desde esa mirada los didactas son organizadores,
desarrolladores de educacin, autores de libros de texto, profesores de toda clase,
incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal.
Adems de la didctica general es posible considerar la didctica de cualquier rea
(didctica especial) que significa, en palabras de Freudenthal (1991, p 45): la
organizacin de los procesos de enseanza y aprendizaje relevantes para tal materia.
Segn lo expresa Prez Ferra (2000:54), la didctica de cada rea/materia es interna o
intrnseca a ella porque si bien hay una metodologa y principios generales o comunes,
pertenecientes a la Didctica general y dependientes de una teora del aprendizaje,
tambin es cierto que cada rea/materia tiene modos especficos de enseanza y una
tradicin didctica propia de sus profesores.
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Para el caso puntual de la Didctica de la Matemtica compartimos otras miradas
diferentes. En principio es una disciplina del conocimiento relativamente reciente que se
ocupa del estudio de los fenmenos didcticos ligados al saber matemtico. Abordar la
problemtica, circunscripta bajo ese ttulo, supone una descripcin minuciosa de
propuestas, conceptos y miradas que se suceden en el tiempo, o una mirada en
profundidad de supuestos y teoras transferidos, con mayor o menor rigurosidad, al
mbito acadmico.
Subrayamos la complejidad del concepto Didctica de la Matemtica, puesto que
incluye una coleccin muy grande de actividades y est organizada por mltiples
dimensiones.
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OBJETIVO GENERAL
Contribuir en la formacin profesional de los docentes con la fundamentacin, procesos
metodolgicos, elaboracin y manejo de material para el aprendizaje de matemtica, en
el diseo a aplicacin de la planificacin de clases.
OBJETIVOS ESPECFICOS
1. Analizar definiciones bsicas sobre la Enseanza de Matemtica y la Didctica de la
Matemtica que orienten la labor educativa del docente.
2. Investigar las diversas tendencias de la Matemtica Moderna que oriente el
desempeo en el aula sobre la resolucin de problemas.
3. Transferir los conocimientos de Matemtica en la elaboracin de material didctico
de apoyo acorde a la labor que desempea el docente.
4. Capacitar al docente para su vida profesional en el trabajo en el aula con el manejo y
seguimiento adecuado de las planificaciones de clase.
RECOMENDACIONES PARA EL ESTUDIO
Profundice el contenido de los temas propuestos en cada uno de los talleres.
Resuelva las autoevaluaciones de cada taller.
Redacte ensayos analizando y sintetizando cada uno de los temas teniendo en
cuenta la ortografa.
Realice mapas mentales, organizadores grficos para resumir los contenidos de
cada taller
Aplique tcnicas de lectura para el estudio de su proyecto formativo.
Aplique organizadores grficos para resumir los contenidos de cada taller.
Aplique la lectura de estudio para el desarrollo de cada una de las tareas.
Utilice la argumentacin coherente y fluida en los foros.
Aplique los niveles de lectura en el anlisis de textos.
Leer la bibliografa bsica.
Participar en el Entorno Virtual de Aprendizaje de su asignatura.
Resuelva las evaluaciones de cada uno de los talleres.
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TALLER 1
DIDCTICA DE LA MATEMTICA COMO
DISCIPLINA CIENTFICA
Las matemticas son una gimnasia del espritu
y una preparacin para la filosofa.
Scrates (436 AC-338 AC)
Orador ateniense.
Todas las didcticas especficas son disciplinas, relativamente jvenes que, a pesar de
su historia, se han consolidado y afirmado en los planes de estudio y dirigidos a la
formacin de docentes. Ha habido, no obstante, que atravesar algunas crisis de identidad
antes de llegar a tal afirmacin. Se trata de campos de conocimiento en las Ciencias de
la Educacin.
Del estudio de las corrientes epistemolgicas se desprende que las teoras cientficas no
pueden ser realizaciones individuales ni hechos aislados; debe haber una comunidad de
personas entre las que exista un acuerdo, al menos implcito, sobre los problemas
significativos de investigacin y los procedimientos aceptables de plantearlos y
resolverlos. Es preciso compaginar la autonoma personal en la elaboracin de ideas y
conceptos nuevos con la necesidad de que estas ideas sean contrastadas y compartidas.
Las teoras son pues frutos o consecuencias de las lneas de investigacin sostenidas por
una comunidad ms o menos grande de especialistas en un campo determinado.
La Didctica de la Matemtica es una disciplina del conocimiento relativamente
reciente que se ocupa del estudio de los fenmenos didcticos ligados al saber
matemtico. Abordar la problemtica, circunscripta bajo ese ttulo, supone una
descripcin minuciosa de propuestas, conceptos y miradas que se suceden en el tiempo,
o una mirada en profundidad de supuestos y teoras transferidos, con mayor o menor
rigurosidad, al mbito acadmico.
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Construir la Didctica de la Matemtica como una disciplina cientfica es una de las
ms importantes tareas que se realizan en estos momentos en la comunidad matemtica
y educativa. Es un proceso reciente (menos de 50 aos) nutrido de circunstancias
diversas que ha incluido: la reforma de la Matemtica (bajo el comando de los
matemticos de las universidades en las dcadas 1950 y 1960), poderosos cambios en la
filosofa de la Matemtica (que enfatizan una direccin falibilista, no absolutista,
heurstica, socioemprica), desarrollo sostenido de comunidades profesionales de
educadores de la Matemtica (profesores, investigadores, administradores), y todo
dentro de un escenario histrico baado por una nueva etapa que ha hecho del
conocimiento su piedra de toque, y en particular del uso intenso de diversas
tecnologas), con variables vigorosas como la globalizacin e internacionalizacin de
casi todos los aspectos de la vida cotidiana.
Con especial intensidad se han desarrollado trabajos por grupos de investigadores en
diferentes partes del mundo para aportar nuevas ideas y modelos epistemolgicos sobre
la Matemtica y su didctica.
Para este apartado nos planteamos este interrogante: Qu entienden por Didctica de la
Matemtica distintos especialistas? Respondemos al interrogante consignando un
abanico de conceptualizaciones acerca de la Didctica de la Matemtica. Las mismas
sern mejor comprendidas en el marco de las teoras respectivas.
Para Steiner (1985) la complejidad de los problemas planteados en la Didctica de la
Matemtica produce dos reacciones extremas. En la primera estn los que afirman que
no puede llegar a ser un campo con fundamentacin cientfica y, por lo tanto, la
enseanza de la Matemtica es, esencialmente, un arte.
En la segunda postura encontramos aquellos que piensan que es posible la existencia de
la didctica como ciencia y reducen la complejidad de los problemas seleccionando slo
un aspecto parcial al que atribuyen un peso especial dentro del conjunto, dando lugar a
diferentes definiciones y visiones de la misma.
Considera que la Didctica de la Matemtica debe tender hacia lo que Piaget denomin
transdisciplinaridad, lo que situara a las investigaciones e innovaciones en didctica,
dentro de las interacciones entre las mltiples disciplinas, (Psicologa, Pedagoga,
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Sociologa entre otras, sin olvidar a la propia Matemtica como disciplina cientfica)
que permiten avanzar en el conocimiento de los problemas planteados.
Segn Michle Artigue (1998): En Francia, la Didctica de las Matemtica se ha
desarrollado como un rea de investigacin, al poner en primer plano la especificidad de
las relaciones entre la enseanza y el aprendizaje ligadas a la especificidad del
contenido a ensear: la Matemtica, y al imponerse la ambicin de comprender el
funcionamiento de estas relaciones entre la enseanza y el aprendizaje y de poner en
evidencia las leyes que las gobiernan, haciendo explcita, al mismo tiempo, la necesidad
de distanciar la voluntad de accin inmediata sobre el sistema educativo.
Por su parte Chevallard (1997) expresa: La Didctica de la Matemtica trata del
estudio de la Matemtica. Es la ciencia del estudio de la ayuda al estudio de la
Matemtica. Su objetivo es llegar a describir y caracterizar y los procesos de estudio o
procesos didcticos para proponer explicaciones y respuestas slidas a las dificultades
con que se encuentran todos aquellos (estudiantes, profesores, padres, profesionales,
etc.) que se ven llevados a estudiar matemtica o ayudar a otros a estudiar matemtica.
Por lo dicho, la enseanza aparece como un medio para el estudio y contina diciendo
(...) la didctica de la matemtica, sin negar la importancia de los factores psicolgicos
y motivacionales, ya no presupone que las explicaciones ltimas de los fenmenos
didcticos deban buscarse en dichos factores, que pasan as a ser considerados como
consecuencias de determinados fenmenos, y no como sus causas. (...).
Para Chevallard (1980) el verdadero objetivo de la didctica es la construccin de una
teora de los procesos didcticos que nos proporcione dominio prctico sobre los
fenmenos de la clase.
Juan Godino plantea estas cuestiones:
Se trata de un saber meramente prctico, una tecnologa fundada y dependiente de
otras ciencias, o, por el contrario, existen problemas cuyas caractersticas requieren un
nivel de anlisis terico y de unas metodologas propias de un verdadero saber
cientfico?
Menciona estas posiciones extremas:
La didctica como arte.
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Enfoque pluridisciplinar aplicado.
La didctica como disciplina cientfica autnoma.
Con referencia a la tercera posicin propone: Es la disciplina cientfica y el campo de
investigacin cuyo fin es identificar, caracterizar, y comprender los fenmenos y
procesos que condicionan la enseanza y el aprendizaje de las matemticas.
Para Godino y Batanero (1996): La Didctica de las Matemticas estudia los procesos
de enseanza / aprendizaje de los saberes matemticos- en los aspectos tericos
conceptuales y de resolucin de problemas tratando de caracterizar los factores que
condicionan dichos procesos. Se interesa por determinar el significado que los
estudiantes atribuyen a los trminos y smbolos matemticos, a los conceptos y
proposiciones, as como la construccin de estos significados como consecuencia de la
instruccin.
Brousseau enriquece la definicin de la Didctica de la Matemtica afirmando que es
La ciencia de las condiciones especficas de la difusin (impuesta) de los saberes
matemticos tiles a las personas y a las instituciones humanas. Con posterioridad
agrega: (...) es el estudio de la evolucin de las interacciones entre un saber, un sistema
educativo y los estudiantes, con objeto de optimizar los modos de apropiacin de este
saber por el sujeto.
Expresa: La Didctica de la Matemtica estudia las actividades didcticas, es decir las
actividades que tienen por objeto la enseanza, evidentemente en lo que ellas tienen de
especfico de la Matemtica
Rgine Doaudy (1984) plantea la nocin de dialctica herramienta objeto: proceso
cclico en el que se organizan los roles respectivos del docente y de los estudiantes,
donde los conceptos matemticos juegan alternativamente el rol de instrumento para
resolver un problema y de objeto que toma un lugar en la construccin de un saber
organizado.
Vicen Font Mall en su conferencia Epistemologa y Didctica de las Matemticas
expresa: Cmo ensear mejor las matemticas? es, sin lugar a dudas, la pregunta que
origina el rea de investigacin que, en muchos pases, se conoce como Didctica de las
Matemticas.
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Presenta el diagrama que consignamos a continuacin.
Contina diciendo: Para contestar a esta pregunta podemos focalizar nuestra atencin
sobre la mente del sujeto que ha de aprender, lo cual nos lleva a entender la
comprensin como proceso mental y a reflexiones psicolgicas que nos pueden
ayudar a saber lo que sucede en la mente del estudiantes y, como consecuencia, nos
pueden dar indicaciones sobre cundo y cmo ensear. Tambin podemos centrar la
atencin en las instituciones donde se produce el proceso de instruccin, lo cual nos
lleva a entender la comprensin como comprender las normas y a reflexiones de
tipo sociolgico y antropolgico que nos pueden informar de las normas sociales que
regulan los procesos de instruccin.
Y sigue as:
Por otra parte, en la formulacin de la pregunta se dice claramente que lo que hay que
ensear es matemticas. Por tanto, es natural que para contestar a esta pregunta
dirijamos nuestra atencin a las matemticas. Qu tipo de matemticas hay que
MATEMTICAS
Problemas,
Conceptos,
procedimientos
Sociologa / Antropologa
Instituciones
Cmo ensear
mejor las
matemticas?
Didctica de las
matemticas
SUJETOS
PSICOLOGA
QU?
DNDE?
A QUIEN?
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ensear? O Por qu hay que ensear matemticas? son preguntas cuya respuesta
depende de cmo se hayan contestado otras pregunta ms bsicas propias de la filosofa
de las matemticas como, por ejemplo: Qu son las matemticas? (...).
Grard Vergnaud
Este didacta tiene fuerte influencia vygotskyana. Segn Vergnaud los estudiantes, en
general, no son capaces de explicar, de expresaren lenguaje natural sus teoremas-en
accin aunque sean capaces de resolver ciertas tareas (situaciones). Considera que, en
general, cualquier persona muchas veces es incapaz de poner en palabras cosas que hace
muy bien, conocimientos que ya posee, que se acta con el auxilio de invariantes
operatorios sin expresarlos o sin ser capaces de expresarlos y que un anlisis cognitivo
de esas acciones, muchas veces revela la existencia de potentes teoremas y conceptos-
en-accin implcitos.
Ese conocimiento, sin embargo, no puede ser, apropiadamente, llamado conceptual pues
el conocimiento conceptual es necesariamente explcito.
Didctica de la matemtica por contenidos
En este apartado se realiza breves consideraciones acerca de la Didctica de la
Matemtica diferenciada por contenidos.
Para reflexionar:
Una cosa son los contenidos matemticos (conocimientos didcticos sobre
contenidos matemticos),
Otra cosa, son los contenidos didcticos (contenidos didcticos sobre
contenidos didcticos)
A qu nos referimos con la expresin Didctica de la Estadstica?
La Didctica de la Matemtica y la bsqueda de nuevas tcnicas de innovacin
relacionadas con la enseanza de la Estadstica.
Cmo interpreta la expresin Didctica de la Matemtica con especializacin
en Estadstica?
Encontramos en la red: Una estrategia didctica para la enseanza del lgebra
lineal con el uso del sistema de clculo algebraico DERIVE Se refiere a la
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Didctica del lgebra o a una mirada (desde la Didctica de la Matemtica) a
un contenido especfico del lgebra.
Es seguro que tratar desde la Didctica de la Matemtica los contenidos de lgebra, no
es lo mismo que abordar los contenidos de Estadstica, aunque existan cuestiones
semejantes y se tengan iguales marcos tericos.
Por otra parte, los constructos de esas teoras son usadas tanto para el aula como para
realizar investigaciones.
Una de las caractersticas de las investigaciones de los niveles medios y superior que se
realizan en muchos pases es que el nfasis se desplaza hacia la divisin de los
contenidos de acuerdo con las disciplinas tradicionales, al mismo tiempo que se
abandonan los aspectos sociolgicos, psicolgicos y de interaccin en el aula
propiamente dichos.
Esta tendencia se nota ms cuanto ms se avanza en los niveles escolares. En los
estudios correspondientes al nivel de secundaria se empiezan a definir las disciplinas,
pero todava estn presentes algunos aspectos ms generales del desarrollo individual:
Cultura y comunicacin en el aula
Resolucin de problemas
Habilidades matemticas
Desarrollo curricular
Estudios diagnsticos
Evaluacin de material didctico
En los estudios correspondientes al nivel superior, el trabajo est totalmente
determinado por el contenido matemtico definido de acuerdo con la divisin
disciplinaria clsica.
En lo que se refiere a las disciplinas, los desarrollos ms importantes estn
concentrados, por una parte, en el lgebra (principalmente para los niveles medios) y,
por la otra, en el Clculo (en los niveles medio superior y superior), en la Estadstica, la
Probabilidad y en la Geometra, lo que no es del todo extrao ya que estas temticas son
las que mayor peso tienen en el curriculum de estos niveles escolares.
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Los trabajos varan en el tiempo, en lo que se refiere a los aspectos que atraen la
atencin de los investigadores: hacia el inicio de la dcada de los ochenta se ve un gran
inters en el anlisis del curriculum, el diseo y el desarrollo curricular y el anlisis de
textos en esas disciplinas.
Didctica de la matemtica e investigacin
Didctica de la Matemtica es la disciplina cientfica interesada principalmente, por el
campo de la investigacin, ms puntualmente por las cuestiones relativas a la enseanza
y aprendizaje de la Matemtica.
En la Didctica de la Matemtica el enfoque sistmico es claramente necesario, pues,
adems del sistema de enseanza de la Matemtica en su conjunto, y de los propios
sistemas conceptuales hay que considerar los sistemas didcticos materializados en una
clase, cuyos subsistemas principales son; el profesor, los estudiantes y el saber
matemtico.
Cada polo de la terna es un subsistema
Cuando se estudian los sistemas didcticos se consideran hechos y fenmenos
epistmicos (relacionados con el saber matemtico), cognitivos (propios de los sujetos
que participan en un determinado proceso de estudio) e instruccionales (relativos al
proceso de enseanza y a las restricciones supra-institucionales.
Segn Juan Godino: La investigacin en Didctica de la Matemtica, al igual que en
otros campos (medicina, agricultura, administracin,...), requiere tanto de desarrollos
tericos como prcticos, esto es, tanto el estudio de los fundamentos del desarrollo
cognitivo y las diferencias individuales para el aprendizaje de la Matemtica, como de
PROFESOR
SABER
ESTUDIANTE
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los problemas de toma de decisiones en el aula, la escuela y los programas de formacin
de profesores (Begle y Giba, 1980).
Se trata de un continuo que va desde la investigacin pura, no directamente aplicable a
la investigacin y desarrollo de tipo tecnolgico hasta la elaboracin de materiales para
la instruccin, despus de su correspondiente ensayo y evaluacin en entornos tanto de
laboratorio, como en clases normales.
Vicen Font Moll expresa: La Didctica de la Matemtica, entendida como disciplina
didctica, en estos momentos tiene una posicin consolidada en la institucin
universitaria de muchos pases. Otros indicadores de consolidacin institucional son las
tesis doctorales defendidas sobre problemas de enseanza y aprendizaje de las
matemticas; los proyectos de investigacin financiados con fondos pblicos y las
diferentes comunidades y asociaciones de investigadores en Didctica de la Matemtica.
Por otra parte, existe un divorcio muy fuerte entre la investigacin cientfica que se est
desarrollando en el mbito acadmico y su aplicacin prctica a la mejora de la
enseanza de la Matemtica. Esta consolidacin convive, con una gran confusin en las
agendas de investigacin y en los marcos tericos y metodolgicos disponibles,
situacin propia de una disciplina emergente
En cuanto a los mtodos de investigacin podemos decir que se ha pasado del
predominio de un enfoque psicoestadstico en la dcada de los 70 y parte de los 80, a los
mtodos cualitativos. Hoy en da los escenarios naturalistas y los estudios de casos
gozan de clara preferencia sobre aquellos en los que se controlan y manipulan
circunstancias y variables. En cuanto a los marcos tericos, si bien el enfoque
psicolgico no ha perdido su importancia se estn desarrollando tambin
investigaciones dentro de otros enfoques como el interpretativo, etnogrfico,
antropolgico, sociocultural, etc.
La necesidad de construir teoras es evidente, ya que constituyen una gua para el
planteamiento de problemas de investigacin y para interpretar los resultados de las
mismas. Un marco terico permite sistematizar los conocimientos dentro de una
disciplina, lo que constituye un primer paso para conseguir una visin clara de la unidad
que pueda existir en nuestras percepciones.
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La teorizacin es un requisito para que un rea de conocimiento alcance la categora de
cientfica y pueda desempear su papel explicativo y predictivo de fenmenos; puede
decirse que la investigacin cientfica significativa est siempre guiada por una teora,
aunque a veces lo sea de modo implcito.
Lester (2010, p. 70) distingue entre tres tipos de marcos de investigacin:
1. Marcos tericos. Un marco terico gua las actividades de investigacin por su dependencia de una teora formal; esto es, una teora que ha sido desarrollada
usando una explicacin coherente y establecida de ciertos tipos de fenmenos y
relaciones la teora de Piaget del desarrollo intelectual y la teora del constructivismo socio-histrico de Vygotsky son dos teoras relevantes usadas
en el estudio del aprendizaje de los estudiantes.
2. Marcos prcticos. Estos marcos guan la investigacin usando lo que funciona en la experiencia de hacer algo por las personas directamente implicadas en ello.
Este tipo de marco no est informado por la teora formal sino por el
conocimiento prctico acumulado de los prcticos y administradores, los
descubrimientos de las investigaciones previas, y con frecuencia los puntos de
vista ofrecidos por la opinin pblica. Las cuestiones de investigacin se derivan
de este conocimiento base y los resultados de la investigacin se usan para
apoyar, extender, o revisar la prctica.
3. Marcos conceptuales. Se trata de modelos tericos locales que argumentan o justifican que los conceptos elegidos para la investigacin, y las relaciones entre
ellos sern apropiados y tiles para un problema de investigacin dado.
Como los marcos tericos, los marcos conceptuales se basan en la investigacin previa,
pero los marcos conceptuales se construyen a partir de una matriz de fuentes ms o
menos usuales y diversas. El marco usado puede basarse en diferentes teoras y diversos
aspectos del conocimiento prctico, dependiendo de lo que el investigador pueda
argumentar acerca de lo que ser relevante e importante para el problema de
investigacin.
Burkhardt (1988) distingue entre las teoras que denomina fenomenolgicas y teoras
fundamentales.
Las teoras fenomenolgicas son las que surgen directamente de los datos,
constituyendo un modelo descriptivo de una porcin particular de fenmenos. Se
caracterizan por el rango limitado de objetos a los que se aplican, pero son detalladas y
especficas en sus descripciones y predicciones, resultando con frecuencia de utilidad en
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el diseo del currculo y en la comprensin de los fenmenos que ocurren, por su
proximidad a la realidad.
Una teora de tipo fundamental es una estructura conceptual de variables y relaciones
entre ellas que comprende los aspectos esenciales de un conjunto de fenmenos. Tiene
un carcter descriptivo y predictivo y es completa dentro de un dominio bien
delimitado. Se trata, por tanto, de modelos analticos que pretenden explicar un rango
amplio de fenmenos en trminos de unos pocos conceptos bsicos. Esta definicin se
ajusta a ciertos casos tpicos de los campos de la fsica y la biologa, como la mecnica
de Newton, la teora gentica de Mendel, etc.
Principales programas de investigacin
Segn Vicen Font Mall, los diferentes Programas de Investigacin en Didctica de la
Matemtica se posicionan, de manera explcita, o implcita, sobre aspectos ontolgicos
y epistemolgicos para fundamentar sus constructos tericos.
Los constructos de cada teora sirven como marco terico para realizar investigaciones
en Didctica de la Matemtica, pero tambin deben servir para orientar la mejora de la
enseanza de esta disciplina escolar (en cualquier nivel de la escolaridad) y, muy en
especial, deben ser tiles en la formacin inicial y permanente del profesorado.
Cabe agregar que las principales teoras de la Didctica de la Matemtica provienen de
la denominada Escuela Francesa. A partir de una serie de constructos tericos
introducidos en los ltimos aos (como el de situacin didctica, contrato didctico,
transposicin de saberes, ingeniera didctica, juego de marcos, dialctica herramienta
objeto, obstculo didctico, etc.), est en vas de constituir un ncleo duro de conceptos
tericos que sirva de soporte a un programa de investigacin en el sentido de Lakatos.
Su capacidad de plantear nuevos problemas de investigacin y de enfocar los ya
clsicos desde una nueva perspectiva, se pone de manifiesto a travs de la produccin
cientfica de un conjunto de investigadores.
Los conceptos introducidos por la Escuela Francesa se utilizan cada vez con mayor
frecuencia como organizadores de las explicaciones producidas por otros grupos de
investigacin en todo el mundo.
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En lo que sigue se propone una breve reflexin acerca del estado actual y perspectivas
futuras de la Didctica de la Matemtica como disciplina cientfica. Consignamos tres
afirmaciones para tener en cuenta:
1. La Didctica de la Matemtica ha logrado en la actualidad una posicin
consolidada desde el punto de vista institucional a nivel internacional, aunque no
homognea en las diversas regiones y pases.
2. Existe una gran diversidad en las agendas de investigacin y confusin en los
marcos tericos y metodolgicos disponibles, situacin propia de una disciplina
emergente.
3. Existe un divorcio fuerte entre la investigacin cientfica que se est
desarrollando en el mbito acadmico y su aplicacin prctica a la mejora de la
enseanza de las Matemtica.
Teora de las funciones semiticas (TFS)
Se trata de una teora que se sita en un nivel ms local; apunta a modelar situaciones de
enseanza de modo de permitir una elaboracin y una gestin controlada y se
fundamentan en un enfoque eminentemente constructivista, partiendo del principio que
los conocimientos se construyen por adaptacin a un medio que aparece como
problemtico para el sujeto.
Juan D. Godino y sus colaboradores, en distintos trabajos: Godino y Batanero (1994,
1998), Godino (2002), Godino, Contreras y Font; Godino, Batanero y Roa, han
planteado un modelo terico que pretende articular las facetas semitica,
epistemolgica, antropolgica y psicolgica implicadas en la enseanza y aprendizaje
de la Matemtica, actualmente denominado enfoque ontosemitico de la cognicin e
instruccin matemtica o enfoque ontosemitico. En algunas publicaciones se la
designa como Teora de las funciones semiticas (TFS).
En el comienzo trabajan una teora del significado de los objetos matemticos, descrita
por Godino y Batanero (1994), que reconoce un papel fundamental a las situaciones-
problema y a las acciones de las personas e instituciones en la construccin del
conocimiento matemtico.
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En dicha teorizacin proponen una re conceptualizacin de algunos constructos bsicos,
como la nocin de objeto matemtico, significado y comprensin, as como el estudio
de sus relaciones mutuas. Asimismo, distinguen para dichos constructos dos
dimensiones interdependientes: personales e institucionales.
Actualmente amplan el conjunto de nociones tericas que configuran un enfoque
ontosemitico de la cognicin e instruccin matemtica, por el papel central que
asignan al lenguaje, a los procesos de comunicacin e interpretacin y a la variedad de
objetos intervinientes" (Godino, Font, Contreras, Wilhelmi, 2005).
En lo que sigue de este sub apartado se hace una resea de algunas de las ideas de la
Escuela Francesa de Didctica de la Matemtica que ha acuado un nuevo enfoque en la
Didctica de la Matemtica. Pero, qu es esta Escuela?
Dentro de la comunidad de investigadores que, desde diversas disciplinas, se interesan
por los problemas relacionados con la educacin matemtica, se ha ido destacando en
los ltimos aos, principalmente en Francia, un grupo -donde sobresalen los nombres de
Brousseau, Chevallard, Vergnaud que se esfuerza en realizar una reflexin terica sobre
el objeto y los mtodos de investigacin especficos en Didctica de la Matemtica.
El ao 1993 representa un hito en esa comunidad de investigadores en razn de un
coloquio celebrado en Pars en junio de ese ao bajo el ttulo Veinte aos de Didctica
de las Matemticas en Francia: homenaje a Guy Brousseau y Grard Vergnaud.
Segn Artigue (1998) " en Francia, la Didctica de la Matemtica se ha desarrollado
como un rea de investigacin al poner en primer plano la especificidad de las
relaciones entre la enseanza y el aprendizaje ligadas a la especificidad del contenido a
ensear: la Matemtica, y al imponerse la ambicin de comprender el funcionamiento
de estas relaciones entre la enseanza y el aprendizaje y de poner en evidencia las leyes
que las gobiernan, haciendo explcita, al mismo tiempo, la necesidad de distanciar la
voluntad de accin inmediata sobre el sistema educativo".
Si se compara la didctica que se ha desarrollado en Francia con aquella que se ha
desarrollado en numerosos pases, la didctica francesa aparece como ms unitaria y
ms teorizada (Kilpatrick, 1994, Grouws, 1992).
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Para otros autores, la denominada Escuela Francesa de Didctica de la Matemtica,
naci en el ao 1970 como consecuencia de las preocupaciones de un grupo de
investigadores -en su mayora matemticos de habla francesa-, por descubrir e
interpretar los fenmenos y procesos ligados a la adquisicin y a la transmisin del
conocimiento matemtico.
En ese ao se crearon de los primeros IREM: Institutos para la Investigacin de la
Enseanza de las Matemticas, conjuntamente con la publicacin de los primeros
artculos de Brousseau.
En esta escuela se destacan dos convicciones epistemolgicas:
1. Por un lado, la de que la identificacin e interpretacin de fenmenos y procesos
objeto de inters supone el desarrollo de un cuerpo terico, y no puede reducirse
a observaciones realizadas a partir de experiencias aisladas ni a cuestiones de
opinin;
2. Por otro lado, la conviccin de que ese cuerpo terico debe ser especfico del
saber matemtico, y no puede provenir de la simple aplicacin de una teora ya
desarrollada en otros dominios (como la psicologa o la pedagoga).
Los docentes e investigadores de los equipos IREM desarrollaron metodologas de
investigacin propias de la tradicin francesa, como la ingeniera didctica encontrada
particularmente en los trabajos de Brousseau, Artigue, Douady, Perrin y Robinet, la
Teora de Situaciones Didcticas y de obstculos de Brousseau, la Teora de la
Transposicin didctica de Chevallard, adems de aproximaciones histrica y didctica
de la Matemtica que propician un carcter ms humano de esta ciencia y enfatiza la
evolucin de algunas nociones.
Ese conjunto de investigadores son los que contribuyen a una concepcin, llamada por
sus autores concepcin fundamental de la didctica, que presenta caracteres
diferenciales respecto de otros enfoques. En efecto, se trata de una concepcin global de
la enseanza, estrechamente ligada a la Matemtica y a teoras especficas de
aprendizaje, y bsqueda de paradigmas propios de investigacin, en una postura
integradora entre los mtodos cuantitativos y cualitativos. Tambin cabe destacar el
inters por establecer un marco terico original, desarrollando sus propios conceptos y
mtodos y considerando las situaciones de enseanza y aprendizaje globalmente. Los
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modelos desarrollados comprenden las dimensiones epistemolgicas, sociales y
cognitivas y tratan de tener en cuenta la complejidad de las interacciones entre el saber,
los estudiantes y el profesor, dentro del contexto particular de la clase. Si se compara la
didctica que se ha desarrollado en Francia con aquella que se ha desarrollado en
numerosos pases, la didctica francesa aparece como ms unitaria y ms teorizada
(Kilpatrick, 1994, Grouws, 1992).
Hay un llamado al carcter especfico en la Didctica de la Matemtica; se subraya
entonces lo que es su punto de partida: la Matemtica. La nueva etapa o visin aporta
nociones, trminos, y mtodos novedosos en la Didctica de la Matemtica, todos
interpretados como una reconstruccin terica de las fronteras de esta nueva disciplina.
Colocar la Matemtica como un componente ms genera una distorsin grave, por un
lado coloca a los especialistas de las otras disciplinas no matemticas en imposibilidad
de intervenir sobre los temas que no saben (los contenidos matemticos) y atrincherarse
en sus formaciones. Brousseau es muy preciso al respecto: Las vas de investigacin
que se favorecen naturalmente son pues las que reposan sobre la hiptesis de una vaga
complementariedad en el seno de equipos pluridisciplinares, y que se expresan en un
lenguaje comn a todo el mundo; quedan excluidas, casi con toda certeza, las
investigaciones sobre lo que es especfico del conocimiento que se pretende, en
beneficio de asuntos ms generales. (Brousseau, 1991).
Por otro lado: empuja a los matemticos a encerrarse exactamente en los contenidos.
Los enseantes y los especialistas de la disciplina en cuestin (aqu los matemticos
que ensean en las facultades de educacin, a los que, en algunos casos, se les ha
llegado a llamar fundamentalistas) se ven conducidos entonces a minimizar el papel
de toda teora, a poner en primer plano el contenido puro o la experiencia profesional.
(Brousseau, 1991). La formacin de los profesores es entonces un embutido: La
formacin de los profesores se concibe como yuxtaposicin de enfoques y de teoras
independientes, cuya integracin y utilizacin se deja a cargo de los propios profesores.
En ausencia de una responsabilidad terica y tcnica sobre la enseanza misma, cada
investigacin en didctica fundada sobre una de las disciplinas conexas no tratar en
el mejor de los casos ms que uno de los aspectos de la cuestin y desembocar en
advertencias, observaciones, anlisis cientficos lanzados al foro, sealando a los
enseantes. Estos reproches, de nula utilidad para los profesores, estn destinados en
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realidad, muy a menudo, al pblico, y ste los transforma en exigencias impacientes, en
picotas ideolgicas y finalmente en crticas obsesivas de la enseanza. (Brousseau,
1991)
Los profesores en general (en formacin o en actividad) se alejan de quienes producen
Matemtica; y a la vez los matemticos se alejan de los temas de la enseanza. A cul
perspectiva conduce esto?
La Didctica de la Matemtica debe considerarse parte de la Matemtica: La inclusin
de la Didctica de la Matemtica en la Matemtica se justifica por los conocimientos
esperados de la conexin de las estructuras correspondientes (Brousseau, 1991).
Para Brousseau sta es la nica opcin para preservar la nueva disciplina y no
subordinarse a las otras ciencias humanas (Educacin, Historia, Sociologa etc.). Su
posicin es tajante: La eficacia, la calidad y la coherencia de la enseanza ganaran con
ello, pero, sobre todo, se trata de reafirmar los lazos que se corre el riesgo de que no se
anuden naturalmente y que son indispensables: es poco probable que los didactas
puedan mantenerse por ms tiempo a resguardo de las interpelaciones de las ciencias
humanas o del medio que pretenden tratar; por el contrario, nada concreto atrae
verdaderamente a la comunidad matemtica a tratar seriamente y con respeto sus
problemas epistemolgicos, sociolgicos y morales mediante la didctica. Hace falta, al
menos por ahora, que los didactas estn en la comunidad matemtica porque a ella es a
la que deben hablar y sobre ella debern actuar finalmente. Que los matemticos los
controlen, de acuerdo, pero que no puedan desembarazarse de la responsabilidad de su
accin, sea cual fuere la suerte que les reserven! (Brousseau, 1991)
Por supuesto, se busca tambin que los matemticos asuman la didctica como una tarea
intrnseca a sus quehaceres. No solo debido a que para hacer didctica hay que poseer
dominio de la Matemtica, sino especialmente porque la transposicin didctica es parte
de su prctica: Reorganizar su pensamiento para comunicarlo, o para ensearlo, elegir
lo que va a convencer, lo que va a ser til, etc., constituye una parte importante de la
actividad de los productores de matemticas; pero reorganizar las matemticas para
ensearlas y para favorecer nuevas investigaciones es una competencia esencial de la
propia Investigacin. Es un acto de matemtico que es un efecto, controlado o no,
tambin del trabajo del enseante. No es posible a los matemticos controlar esta
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transposicin didctica sobre la base de una transparencia ilusoria. La complejidad de
los fenmenos les obliga a ejercer esta fase esencial de su actividad colectiva con la
ayuda de los medios nuevos y apropiados que propone la didctica. Por todas estas
razones, la Didctica de la Matemtica forma parte de la Matemtica, incluso si la
organizacin actual de los conocimientos, profundamente estructuralista, no le puede
reservar un sector en el sentido clsico. (Brousseau, 1991)
Es decir: no solo se asume que todo fenmeno didctico posee un componente
matemtico esencial (lo que haca necesario convertir las prcticas matemticas
escolares en objeto primario de investigacin), sino que todo fenmeno matemtico
tiene un componente didctico esencial.
Hay otros conceptos relevantes como los de obstculo didctico y campo conceptual
que tenemos que mencionar en esta breve resea. En relacin con el primero: Un
obstculo es una concepcin que ha sido en principio eficiente para resolver algn tipo
de problemas, pero que falla cuando se aplica a otro. Debido a su xito previo se resiste
a ser modificado o a ser rechazado: viene a ser una barrera para un aprendizaje
posterior. Se revela por medio de los errores especficos que son constantes y
resistentes. Para superar tales obstculos se precisan situaciones didcticas diseadas
para hacer a los estudiantes conscientes de la necesidad de cambiar sus concepciones y
para ayudarles en conseguirlo. (Godino, 2003)
Los campos conceptuales emergen debido a que las situaciones didcticas no se pueden
analizar solamente con un concepto. Entonces, un campo conceptual refiere a varios
conceptos, mtodos y formas de representacin. Por ejemplo, las estructuras
multiplicativas, las aditivas, etc.
Todo este tipo de consideraciones tericas han llevado a una definicin mucho ms
general de la Didctica de la Matemtica: ciencia de las condiciones especficas de la
difusin (impuestas) de los saberes matemticos o tiles a las personas y a las
instituciones humanas (Brousseau, 1994).
De esta manera, se ampla la aplicacin del campo de la Didctica de la Matemtica
ms all del sistema escolar.
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Presentamos una sntesis de los principales Programas de Investigacin de la Escuela
Francesa.
Teora de las Situaciones Didcticas y Guy Brousseau, 1986.
Se trata de una teora que se sita en un nivel ms local; apunta a modelar situaciones de
enseanza de modo de permitir una elaboracin y una gestin controlada y se
fundamentan en un enfoque eminentemente constructivista, partiendo del principio que
los conocimientos se construyen por adaptacin a un medio que aparece como
problemtico para el sujeto.
Teora de los Campos Conceptuales y Grad Vergnaud.
Se preocupa del ecosistema en el que viven los distintos saberes y las relaciones que
aparecen ligando estos saberes a otros, por ejemplo: el campo de las funciones lineales
en IR comprende inseparablemente a los problemas de la multiplicacin.
Yves Chevallard: La Transposicin Didctica y la Teora Antropolgica de la
Didctica
La primera teora apunta al anlisis de los procesos que conducen desde los productos
legitimados por la institucin matemtica sabia a los objetos de enseanza que viven
cotidianamente en las clases. La segunda, es una apertura del campo de accin y de
preocupacin de la didctica, de tal forma que se tenga en cuenta todos esos factores
que se encuentran por fuera de las situaciones didcticas y que influyen en el proceso de
enseanza y aprendizaje.
Rgine Douady: Juego de Marcos y la Dialctica Herramienta.
La dialctica herramienta - objeto y el juego de esquemas (marcos) permiten proponer
una metodologa de trabajo dentro del aula en la que los estudiantes simulan la
investigacin y construyen y consolidan su conocimiento. Los conceptos matemticos
pueden tener carcter de herramienta o de objeto para el estudiante. La dialctica
herramienta-objeto provoca el desarrollo de una Matemtica con significado.
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Michlle Artigue: Ingeniera Didctica
La operacionalizacin de la Teora de Situaciones se constituye en la llamada ingeniera
didctica, ingeniera por cuanto se ocupa tanto de la investigacin acerca del sistema de
enseanza como de la produccin de objetos de enseanza.
Las siguientes propuestas no estn entre los Programas anteriores de la Escuela
Francesa.
Raymond Duval: Teora de los Registros de Expresin o Registros Semiticos
Para describir un objeto matemtico es necesario recurrir a los registros de expresin,
que constituyen sistemas de signos que permiten expresar nociones, ideas, etc. y que
pueden ser de diversa ndole: diagramas, grficos, registros figrales, expresiones
algebraicas, etc. R. Duval ha estudiado, desde las ciencias cognitivas, cules son los
fenmenos que se producen al hacer cambios desde un registro a otro.
Van Hiele: Niveles de razonamiento.
Otra teora relevante para la investigacin didctica es la de los niveles de razonamiento
de Van Hiele, con trabajos especficos en Geometra. La teora de Van Hiele tiene su
origen en las disertaciones doctorales de Dina Van Hiele-Geldof y su esposo, Pierre
Van Hiele, en la Universidad de Utrecht, Holanda, en 1957.
Pierre Van Hiele (1957-1984) propuso cinco fases de enseanza que pueden guiar al
maestro o profesor en el diseo y facilitacin de experiencias de aprendizajes
apropiadas para que el estudiante progrese en matemtica. Las fases son las siguientes:
informacin (el estudiante trabaja con el material que el maestro o el profesor le
presenta para familiarizarse con la estructura del material, guiado por preguntas que le
proporciona el maestro o el profesor), explicitacin (el estudiante aprende a expresar lo
que ha aprendido sobre el material en un lenguaje correcto); orientacin libre (el
estudiante aplica ahora su nuevo lenguaje en nuevas investigaciones sobre el material,
esto se hace posible realizando tareas que puede completar de diversas maneras), e
integracin (el estudiante adquiere una visin general del material que ha aprendido).
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La principal razn de fracaso del currculo tradicional de geometra fue atribuida por los
esposos Van Hiele al hecho de que el currculo se presentaba a un nivel ms alto que el
de los estudiantes. La teora de Van Hiele distingue cinco niveles.
Articulacin de los principales programas de investigacin
Segn Godino (1991): La teorizacin es un requisito a fin de que un rea del
conocimiento consiga la categora de cientfica y pueda desarrollar su papel explicativo
y predictivo de los fenmenos.
Hemos tratado de hacer una resea con algunos de los desarrollos tericos de la
didctica de la matemtica, particularmente de las grandes corrientes o lneas de
investigacin actuales; este desarrollo es muy rico dado el carcter relativamente
reciente de esta rea de conocimiento. El mismo puede definirse como el de un campo
de investigacin emergente en el que se identifican un cmulo de teoras.
Juan Godino, (Universidad de Granada), Vicen Font Mall, (Universidad de Barcelona),
ngel Contreras (Universidad de Jan), Miguel Wilhelmi (Universidad Pblica de
Granada), consideran que el carcter relativamente reciente del rea de conocimiento de
Didctica de la Matemtica explica que no exista an un paradigma de investigacin
consolidado y dominante.
Distintos autores como Sierpinska y Lerman (1996); Gascn (1998) y Font (2002)
realizaron trabajos con propuestas de organizacin de las producciones de los distintos
Programas de Investigacin en Didctica de la Matemtica, y en ellos podemos conocer
el nmero y calidad creciente de las investigaciones en el rea, lo que nos permitira
decir que la didctica de la matemtica se est consolidando como disciplina y como
campo autnomo de conocimiento.
Nos pareci interesante finalizar con la metfora de la tela de araa debida a Mostern
(1987): Somos como araas, y las teoras como las redes o las telas de las araas, con
las cuales buscamos captar y capturar el mundo. No es necesario confundir estas redes o
telas de araa con el mundo real, pero, sin ellas, estaremos ms alejados de poderlo
captar y, por ltimo, disfrutarlo!
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TALLER 2
LA TENDENCIA CURRICULAR CONOCIDA
COMO MATEMTICA MODERNA
La matemtica es la ciencia del orden y la medida,
de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fciles.
Ren Descartes (1596-1650)
Filsofo y matemtico francs
A finales de los aos cincuenta y comienzo de la dcada de los sesenta, se produce un
cambio curricular importante en la enseanza de las matemticas escolares, conocida
como la nueva matemtica o matemtica moderna.
Las bases filosficas de este movimiento se establecieron durante el seminario de
Royamount, celebrado en 1959. En el transcurso del mismo, el famoso matemtico
francs Jean Diudonn lanz el grito de "abajo Euclides" y propuso ofrecer a los
estudiantes una enseanza basada en el carcter deductivo de la matemtica y que
partiera de unos axiomas bsicos en contraposicin a la enseanza falsamente
axiomtica de la geometra imperante en aquellos momentos. En ese mismo seminario
la intervencin de otro matemtico francs, G. Choquet va en el mismo sentido: ...
disponemos de un excelente ejemplo, el conjunto de los nmeros enteros, donde
estudiar los principales conceptos del lgebra, como son la relacin de orden, la
estructura de grupo, la de anillo ...". Estas dos intervenciones se pueden considerar
como paradigmticas del movimiento que se inicia, pues la primera dibuja el enfoque
que ha de caracterizar la enseanza de la matemtica y la otra cul es el contenido ms
apropiado. La idea en principio pareca bastante lgica y coherente. Por un lado se
pretenda transmitir a los estudiantes el carcter lgico-deductivo de la matemtica y al
mismo tiempo unificar los contenidos por medio de la teora de conjuntos, las
estructuras algebraicas y los conceptos de relacin y funcin de la matemtica superior.
A finales de los sesenta y principios de los setenta parece claro que la nueva matemtica
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ha sido un fracaso. Surgen entonces algunas voces en contra del enfoque adoptado,
como es el caso de R. Thom (Modern Mathematics: does it exist? (1973): " Ellos, los
bourbakistas, abandonaron un campo ideal para el aprendizaje de la investigacin: La
geometra eucldea, mina inagotable de ejercicios y la sustituyeron por las
generalidades de los conjuntos y la lgica, materiales tan pobres, vacos y frustrantes
para la enseanza como los que ms. El nfasis puesto por los estructuralistas en la
axiomtica no es slo una aberracin pedaggica sino tambin matemtica."
El fracaso del movimiento conocido como la matemtica moderna, pues no se aprenden
los conceptos ni las estructuras superiores y adems los estudiantes siguen sin dominar
las rutinas bsicas del clculo, produce nuevos movimientos renovadores. Entre estos
movimientos, en lo que sigue, nos referiremos a los conocidos como retorno a lo
bsico, la resolucin de problemas y la matemtica como actividad humana.
El retorno a lo bsico (Back to Basic), supuso para las matemticas escolares retomar la
prctica de los algoritmos y procedimientos bsicos de clculo. Despus de un tiempo,
se hizo evidente que tal retorno a lo bsico no era la solucin razonable a la enseanza
de las matemticas. Los estudiantes, en el mejor de los casos, aprendan de memoria los
procedimientos sin comprenderlos. A finales de los setenta empez a cuestionarse el
eslogan "retorno a lo bsico". Qu es lo bsico? Ya que no pareca posible ensear
matemticas modernas, habra que ensear matemticas bsicas? Esta ltima pregunta
nos lleva a otra de forma natural, qu son matemticas bsicas? La geometra
elemental?, la aritmtica?. Haba demasiadas opiniones sobre qu es "lo bsico". Esta
pregunta impregn el III Congreso Internacional de Educacin Matemtica (ICME),
celebrado en Berkeley en el verano de 1980. Podra ser la resolucin de problemas el
foco de atencin y respuesta a esa pregunta? Casi como una bienvenida a todos los
profesores que asisten al ICME el National Council of Teachers of Mathematics
(NCTM) edita su famosa Agenda in Action para toda la dcada de los ochenta. As la
resolucin de problemas, the problem solving approach, se pretende que sea algo ms
que otro eslogan y se convierta en toda una tarea a desarrollar, a interpretar y a llevar a
cabo.
En el congreso de Berkeley hay un invitado de honor especial, H. Freudenthal, que
interviene en una ponencia bajo el ttulo "Major Problems of Mathematics Education"
(Grandes problemas de la educacin matemtica). As comenz H.Freudenthal su
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intervencin: " Perdonadme, no fui yo quin eligi este tema, aunque cuando se me
propuso, experimente un gran reto. Un reto, de verdad, pero para ser sinceros no como
para emular a D. Hilbert, quin anunci sus famosos 23 problemas de matemticas en
el congreso internacional de matemticas celebrado en Pars en 1900, que tanto
influyeron el desarrollo y curso de las investigaciones matemticas a lo largo de este
siglo... Para a continuacin rechazar el camino seguido por Hilbert y considerar como
su centro de inters los problemas que surgen en la educacin matemtica como una
actividad social y no slo como campo de investigacin educativa. Creo que es
importante y clarificadora esta toma de postura de Freudenthal, pues a continuacin
entra de lleno en el problema que considera, no ms importante, pero s ms urgente: Lo
que es un problema es cmo formularlo correctamente y sin errores . ..Why can Johnny
not do arithmetic? , parodiando el ttulo de un famoso libro de M.Kline que aqu fue
traducido como El Fracaso de la Matemtica Moderna, para preguntarse si suena sexista
tal cuestin y si no sonar ms sexista an si la formula como Why can Mary not do
arithmetic?, pues esta ltima formulacin sugerira que las nias son mucho peores que
los nios en aritmtica. Por ltimo Freudenthal reformula la pregunta de forma ms
concreta Why can Jennifer not do arithmetic?, Jennnifer no es un ser abstracto, es una
alumna que a los ocho aos tena graves fallos en aritmtica y que haban desaparecido
a la edad de once aos, despus de una atencin particularizada. En contra del
planteamiento general que encierra la pregunta Why can Johnny not do arithmetic?
Freudenthal opta por un enfoque particular, as, la pregunta Why can Jennifer not do
arithmetic? tiende a plantear un problema particular, individual, que permita abordar el
problema personal que Jennifer tiene con la aritmtica y sobre todo a profundizar en qu
aspectos del aprendizaje de Jennifer la han conducido al fracaso. Tanto Polya (que no
pudo asistir, pero que envi una nota de excusa en la que planteaba qu puede hacer el
profesor para mejorar la mente de sus estudiantes) como Freudenthal sitan en centro de
atencin sobre el aprendizaje, el primero solicitando de los profesores un compromiso
con el aprendizaje de sus estudiantes hacia la adquisicin y mejora de las capacidades
intelectuales; el segundo en concretar, particularizar los problemas derivados de la
enseanza y en investigar los aprendizajes individuales para dar posibles soluciones a
los aparentes fracasos, y obtener ejemplos paradigmticos de diagnosis y prescripcin
de los mismos. Freudenthal hace una llamada a la conciencia de todos los profesores e
investigadores para que estos ejemplos se registren y se transmitan, de tal forma que
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unos puedan aprender de los otros y se gestione de forma efectiva el conocimiento en
educacin matemtica.
Estilos de enseanza
La matemtica como actividad posee una caracterstica fundamental: La
Matematizacin. Matematizar es organizar y estructurar la informacin que aparece en
un problema, identificar los aspectos matemticos relevantes, descubrir regularidades,
relaciones y estructuras.
Treffer en su tesis (1978) distingue dos formas de matematizacin, la matematizacin
horizontal y la matematizacin vertical.
La matematizacin horizontal, no lleva del mundo real al mundo de los smbolos y
posibilita tratar matemticamente un conjunto de problemas.
En esta actividad son caractersticos los siguientes procesos:
IDENTIFICAR las matemticas en contextos generales
ESQUEMATIZAR
FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias maneras
DESCUBRIR relaciones y regularidades
RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemas
TRANSFERIR un problema real a uno matemtico
TRANSFERIR un problema real a un modelo matemtico conocido.
La MATEMATIZACIN VERTICAL, consiste en el tratamiento especficamente
matemtico de las situaciones, y en tal actividad son caractersticos los siguientes
procesos:
REPRESENTAR una relacin mediante una frmula
UTILIZAR diferentes modelos
REFINAR y AJUSTAR modelos
COMBINAR e INTEGRAR modelos
PROBAR regularidades
FORMULAR un concepto matemtico nuevo
GENERALIZAR
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Estos dos componentes de la matematizacin pueden ayudarnos a caracterizar los
diferentes estilos o enfoques en la enseanza de la matemtica.
Estructuralismo
Para el estructuralismo, la matemtica es una ciencia lgico deductiva y ese carcter es
el que debe informar la enseanza de la misma.
El estilo estructuralista hunde sus races histricas en la enseanza de la geometra
eucldea y en la concepcin de la matemtica como logro cognitivo caracterizado por
ser un sistema deductivo cerrado y fuertemente organizado. Es por lo que, a los ojos de
los estructuralistas, a los estudiantes se les debe ensear la matemtica como un sistema
bien estructurado, siendo adems la estructura del sistema la gua del proceso de
aprendizaje. Ese fue y sigue siendo el principio fundamental de la reforma conocida con
el nombre de Matemtica Moderna y cuyas consecuencias llegan hasta nuestros das. El
estilo estructuralista carece del componente horizontal pero cultiva en sobremanera la
componente vertical.
Mecanicismo
El estilo mecanicista se caracteriza por la consideracin de la matemtica como un
conjunto de reglas. A los estudiantes se les ensea las reglas y las deben aplicar a
problemas que son similares a los ejemplos previos. Raramente se parte de problemas
reales o cercanos al alumno, ms an, se presta poca atencin a las aplicaciones como
gnesis de los conceptos y procedimientos, y mucha a la memorizacin y
automatizacin de algoritmos de uso restringido. El estilo mecanicista se caracteriza por
una carencia casi absoluta de los dos tipos de matematizacin.
El ataque ms demoledor a este planteamiento de enseanza proviene de H.Freudenthal
(1991): " De acuerdo con la filosofa mecanicista el hombre es como una
computadora, de tal forma que su actuacin puede ser programada por medio de la
prctica. En el nivel ms bajo, es la prctica en las operaciones aritmticas y
algebraicas (incluso geomtricas) y la solucin de problemas que se distinguen por
pautas fcilmente reconocibles y procesables. Es en este, el ms bajo nivel dentro de la
jerarqua de los ms potentes ordenadores, donde se sita al hombre".
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Freudenthal termina su alegato con la siguiente pregunta dirigida a sus propagadores:
Por qu ensear a los estudiantes a ejecutar tareas al nivel en el que los ordenadores
son mucho ms rpidos, econmicos y seguros?
Empirismo
Toma como punto de partida la realidad cercana al alumno, lo concreto. La enseanza
es bsicamente utilitaria, los estudiantes adquieren experiencias y contenidos tiles,
pero carece de profundizacin y sistematizacin en el aprendizaje. El empirismo est
enraizado profundamente en la educacin utilitaria inglesa.
Realista
El estilo realista parte as mismo de la realidad, requiere de matematizacin horizontal,
pero al contrario que en le empiricista se profundiza y se sistematiza en los
aprendizajes, poniendo la atencin en el desarrollo de modelos, esquemas, smbolos,
etc. El principio didctico es la reconstruccin o invencin de la matemtica por el
alumno, as , las construcciones de los estudiantes son fundamentales. Es una enseanza
orientada bsicamente a los procesos. Este estilo surgi en los Pases Bajos partiendo de
las ideas de Freudenthal y ha sido desarrollado por los actuales miembros del
Freudenthal Institut de la Universidad de Utrecht ( www.fi.uu.nl ).
Los estilos empiricista y realista desarrollan bastante la componente horizontal pero
slo el ltimo presta atencin a la componente vertical, que es casi inexistente en el
primero.
La resolucin de problemas
La heurstica o ars inveniendi tena por objeto el estudio de las reglas y de los mtodos
de descubrimiento y de la invencin. La heurstica moderna, inaugurada por Polya con
la publicacin de su obra How to solve it (Polya, 1945), trata de comprender el mtodo
que conduce a la solucin de problemas, en particular las operaciones tpicamente tiles
en este proceso.
Qu es un problema?
Polya no defini lo que entenda por problema cuando escribi su libro en 1945. Sin
embargo, en su libro Mathematical Discovery (Polya, 1961), se vio obligado a
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proporcionar una definicin. Pero no para empezar su disertacin, sino en el captulo 5,
y despus de una amplia exposicin prctica sobre algunos procesos que intervienen en
la resolucin de problemas: Tener un problema significa buscar de forma consciente
una accin apropiada para lograr un objetivo claramente concebido pero no
alcanzable de forma inmediata.
Otra definicin, parecida a la de Polya es la de Krulik y Rudnik: Un problema es una
situacin, cuantitativa o de otra clase, a la que se enfrenta un individuo o un grupo, que
requiere solucin, y para la cul no se vislumbra un medio o camino aparente y obvio
que conduzca a la misma (Krulik y Rudnik, 1980).
De ambas definiciones se infiere que un problema debe satisfacer los tres requisitos
siguientes:
1) Aceptacin. El individuo o grupo, debe aceptar el problema, debe existir un compromiso formal, que puede ser debido a motivaciones tanto externas como
internas.
2) Bloqueo. Los intentos inciales no dan fruto, las tcnicas habituales de abordar el problema no funcionan.
3) Exploracin. El compromiso personal o del grupo fuerzan la exploracin de nuevos mtodos para atacar el problema.
Tambin ha existido cierta polmica sobre la diferencia que hay entre un ejercicio o un
autntico problema.
Lo que para algunos es un problema, por falta de conocimientos especficos sobre el
dominio de mtodos o algoritmos de solucin, para los que s los tienen es un ejercicio.
Esta cuestin aunque ha sido planteada en varias ocasiones, no parece un buen camino
para profundizar sobre la resolucin de problemas.
R. Borasi (1986), en uno de los primeros intentos en clarificar la nocin de problema
originada por su inters en mejorar la enseanza de la resolucin de problemas, utiliza
los siguientes elementos estructurales para una tipologa de problemas:
El contexto del problema, la situacin en la cul se enmarca el problema mismo.
La formulacin del problema, definicin explcita de la tarea a realizar.
El conjunto de soluciones que pueden considerarse como aceptables para el
problema.
El mtodo de aproximacin que podra usarse para alcanzar la solucin.
Tales elementos estructurales pueden dar origen a la siguiente clasificacin:
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Tipo Contexto Formulacin Soluciones Mtodo
Ejercicio Inexistente nica y
explcita
nica y exacta Combinacin de
algoritmos conocidos
Problema con
texto
Explcito en el
texto
nica y
explcita
nica y exacta Combinacin de
algoritmos conocidos
Puzzle Explcito en el
texto
nica y
explcita
nica y exacta Elaboracin de un
nuevo algoritmo
Acto de ingenio.
Prueba de una
conjetura
En el texto y
slo de forma
parcial
nica y
explcita
Por lo general
nica, pero no
necesariamente
Exploracin del
contexto, reformulacin,
elaboracin de nuevos
algoritmos.
Problemas de la
vida real
Slo de forma
parcial en el
texto
Parcialmente
dada.
Algunas
alternativas
posibles.
Muchas
posibles, de
forma
aproximada.
Exploracin del
contexto, reformulacin,
creacin de un modelo
Situacin
problemtica
Slo parcial en
el texto
Implcita, se
sugieren varias,
problemtica
Varias. Puede
darse una
explcita
Exploracin del
contexto, reformulacin,
plantear el problema.
Situacin Slo parcial en
el texto
Inexistente, ni
siquiera
implcita
Creacin del
problema
Formulacin del
problema.
El proceso de resolucin de un problema
Para George Polya (1945), la resolucin de un problema consiste, a grandes rasgos, en
cuatro fases bien definidas:
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1. Comprender el problema.
Cul es la incgnita? Cules son los datos?
2. Concebir un plan.
Se ha encontrado con un problema semejante?
Conoce un problema relacionado con este?
Podra enunciar el problema de otra forma?
Ha empleado todos los datos?
3. Ejecutar el plan.
Son correctos los pasos dados?
4. Examinar la solucin obtenida.
Puede verificar el resultado?
Puede verificar el razonamiento?
Las fases anteriores caracterizan claramente al resolutor ideal, competente. Cada fase se
acompaa de una serie de preguntas, al puro estilo socrtico, cuya intencin clara es
actuar como gua para la accin. Los trabajos de Polya, se pueden considerar por lo
tanto, como un intento de describir la manera de actuar de un resolutor ideal.
Una pregunta, Por qu es tan difcil entonces, para la mayora de los humanos, la
resolucin de problemas en matemticas?
Los trabajos de Schoenfeld (1985), son por otro lado, la bsqueda inagotable de
explicaciones para la conducta de los resolutores reales de problemas. Propone un
marco con cuatro componentes que sirva para el anlisis de la complejidad del
comportamiento en la resolucin de problemas.
1. Recursos cognitivos: conjunto de hechos y procedimientos a disposicin del
resolutor.
2. Heursticas: reglas para progresar en situaciones dificultosas.
3. Control: Aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles.
4. Sistema de creencias: Nuestra perspectiva con respecto a la naturaleza de la
matemtica y como trabajar en ella.
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Cada uno de tales componentes explica las carencias, y por lo tanto, el poco xito en la
resolucin de problemas de los resolutores reales. As, cuando a pesar de conocer las
heursticas no se sabe cul utilizar o cmo utilizarla se seala la ausencia de un buen
control o gestor de los recursos disponibles. Pero las heursticas y un buen control no
son suficientes, pues puede que el resolutor no conozca un hecho, algoritmo o
procedimiento especfico del dominio matemtico del problema en cuestin. En este
caso se seala la carencia de recursos cognitivos como explicacin al intento fallido en
la resolucin.
Por otro lado, puede que todo lo anterior est presente en la mente del resolutor, pero
sus creencias de lo que es resolver problemas en matemticas o de la propia concepcin
sobre la matemtica haga que no progrese en la resolucin. La explicacin, para este
fallo, la contempla Schoenfeld en el cuarto elemento del marco terico, las creencias.
Por ltimo estn las heursticas. La mayor parte de las veces se carece de ellas. Se
dispone de conocimientos especficos del tema o dominio matemtico del problema,
incluso de un buen control pero falla el conocimiento de reglas para superar las
dificultades en la tarea de resolucin.
Las heursticas son las operaciones mentales tpicamente tiles en la resolucin de
problemas, son como reglas o modos de comportamiento que favorecen el xito en el
proceso de resolucin, sugerencias generales que ayudan al individuo o grupo a
comprender mejor el problema y a hacer progresos hacia su solucin.
Existe una amplia, posiblemente incompleta, lista de heursticas. Entre las ms
importantes cabra citar:
Buscar un problema relacionado.
Resolver un problema similar ms sencillo.
Dividir el problema en partes.
Considerar un caso particular.
Hacer una tabla.
Buscar regularidades.
Empezar el problema desde atrs.
Variar las condiciones del problema.
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Sin embargo, como bien ha sealado Puig (1996), en la lista anterior aparecen
demasiadas cosas juntas, que son, por otro lado, diferentes si las sometemos a un
detenido anlisis.
Buscar un problema relacionado es una sugerencia heurstica pues se seala una
direccin de trabajo, y sobre todo se recurre a la memoria del resolutor, y no a un
procedimiento concreto para buscar tal problema.
Considerar un caso s se refiere a un procedimiento en concreto que permite, a partir
del problema dado, formular un problema relacionado con l. Puig (1996) denomina a
este tipo de procedimientos, independientes del contenido y que permiten transformar el
problema dado en otro, con el nombre de herramientas heursticas. (Tal observacin
parte de una nota marginal de Polya (Polya, 1962, vol 2. p.84))
Por ltimo, hacer una tabla se podra considerar como una destreza al no poseer el
carcter de transformar el problema ni al recurso de la memoria como en el caso de las
sugerencias heursticas.
La caracterstica ms importante del proceso de resolucin de un problema es que, por
lo general, no es un proceso paso-a-paso sino ms bien un proceso titubeante.
En el proceso de resolucin, Schoenfeld ha sealado que tan importante como las
heursticas es el control de tal proceso, a travs de decisiones ejecutivas. Tales
decisiones son acerca de qu hacer en un problema. La caracterstica ms importante
que define a las decisiones ejecutivas y a las acciones de control, es que tienen
consecuencias globales para la evolucin del proceso de resolucin de un problema.
Las decisiones ejecutivas determinan la eficiencia de los conocimientos y recursos de
todo tipo puestos en servicio para la resolucin del problema.
Son decisiones ejecutivas:
Hacer un plan.
Seleccionar objetivos centrales y sub objetivos.
Buscar los recursos conceptuales y heursticos que parecen adecuados para el problema.
Evaluar el proceso de resolucin a medida que evoluciona.
Revisar o abandonar planes cuando su evaluacin indica que hay que hacerlo.
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Las anteriores son decisiones ejecutivas tal y como se usa ese trmino en Inteligencia
Artificial, son equivalentes a las decisiones de gestin en el campo de los negocios, o
decisiones de tctica y estrategia en el campo militar. El trmino metacognicin se ha
usado en la literatura psicolgica en la discusin de fenmenos relacionados con el que
aqu tratamos.
Son por tanto, decisiones acerca de qu caminos tomar, pero tambin acerca de qu
caminos no tomar.
Cuanto ms precisas sean las respuestas a las preguntas:
Qu estoy haciendo?
Por qu lo hago?
Para qu lo hago?
Cmo lo usar despus?
Mejor ser el control global que se tenga sobre el problema y sobre las decisiones que
conducen a su solucin.
La ausencia de decisiones ejecutivas y de control suele tener efectos desastrosos en el
proceso de resolucin de un problema. La mayor parte de las veces en que se fracasa en
la resolucin de un problema es debido a que, la persona que afronta el problema, no
dispone de un plan de solucin.
Pero hay otras actitudes que imposibilitan la toma de buenas decisiones durante la fase
de resolucin. Entre ellas cabe destacar:
Inflexibilidad para considerar alternativas.
Cuando una y otra vez fallan los procedimientos empleados no hay ms salida que
cambiar de perspectiva para salir del bloqueo.
Rigidez en la ejecucin de procedimientos.
Ms de una vez intentaremos encajar un procedimiento conocido en una situacin en la
que no es aplicable. Nuestra obstinacin es debida al simple hecho de que nos parece
apropiado a primera vista, o porque la situacin, aunque distinta, se parece a aquella en
que el procedimiento fue eficaz.
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Incapacidad de anticipar las consecuencias de una accin.
Al respecto cabe hacerse siempre la siguiente pregunta antes de ejecutar una accin
pensada: Cuando haya ejecutado lo que pienso qu consecuencias tendr para la
resolucin del problema?
El efecto "tnel".
Se produce cuando la ejecucin de una tarea es tan absorbente que no hay energas
disponibles para la evaluacin de lo que se esta realizando. Suele darse ms fcilmente
cuanto ms embebido se est en la ejecucin de una accin.
Miguel de Guzmn partiendo de las ideas de Polya, Mason et al. (Mason, Burton y
Stacey, 1988) y de los trabajos de Schoenfeld ha elaborado un modelo para la ocupacin
con problemas, donde se incluyen tanto las decisiones ejecutivas y de control como las
heursticas. La finalidad de tal modelo es que la persona examine y remodele sus
propios mtodos de pensamiento de forma sistemtica a fin de eliminar obstculos y de
llegar a establecer hbitos mentales eficaces, en otras palabras, lo que Polya denomin
como pensamiento productivo.
Familiarzate con el problema
Trata de entender a fondo la situacin
Con paz, con tranquilidad a tu ritmo
Juega con la situacin, enmrcala, trata de determinar el aire del problema, pirdele el miedo
Bsqueda de estrategias
Empieza por lo fcil
Experimenta
Hazte un esquema, una figura, un diagrama
Escoge un lenguaje adecuado, una notacin apropiada
Busca un problema semejante
Induccin
Supongamos el problema resuelto
Supongamos que no
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Lleva adelante tu estrategia
Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te han ocurrido en la fase anterior
Acta con flexibilidad. No te arrugues fcilmente. No te emperres en una idea. Si las
cosas se complican demasiado hay otra va.
Sali? Seguro? Mira a fondo tu solucin.
Revisa el proceso y saca consecuencias de l
Examina a fondo el camino que has seguido. Cmo has llegado a la solucin? O bien,
por qu no llegaste?
Trata de entender no slo que la cosa funciona, sino por qu funciona.
Mira si encuentras un camino ms simple
Mira hasta dnde llega el mtodo
Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro
La resolucin de problemas como propuesta didctica
El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) propuso para la dcada de los
pasados ochenta la resolucin de problemas como eslogan educativo de la matemtica
escolar: En la enseanza de las matemticas escolares se debe poner el enfoque en la
resolucin de problemas.
Qu significa poner el enfoque en la resolucin de problemas?
Cabe al menos tres interpretaciones:
Ensear para resolver problemas
Proponer a los estudiantes ms problemas.
Emplear aplicaciones de los problemas a la vida diaria y a las ciencias.
No proponer slo ejercicios sino tambin problemas genuinos que promuevan la
bsqueda, la investigacin por los estudiantes.
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Ejemplos de esta ltima interpretacin se pueden hallar en Callejo (1994), Mason et al.
(1988) y Guzmn (1991), Bagazgoitia et al. (1997).
Ensear sobre la resolucin de problemas
Enseanza de la heurstica. El objetivo es que los estudiantes lleguen a aprender y a
utilizar estrategias para la resolucin de problemas.
Dentro de esta tendencia hay ejemplos en los mismos trabajos citados anteriormente.
Sin embargo, parece ser que las destrezas heursticas son las ms apropiadas para tal
fin.
Ensear va la resolucin de problemas
Ensear la matemtica a travs de problemas.
En un seminario celebrado en La Laguna en 1982 e impartido por el profesor Gaulin
(M. Fernndez 1982), al ser preguntados por objetivos de la resolucin de problemas,
los profesores asistentes enumeran los siguientes:
Desarrollo de la capacidad de razonamiento
Aplicacin de la teora previamente expuesta.
Resolucin de cuestiones que la vida diaria plantea.
La primera propuesta, aunque durante mucho tiempo fue un argumento aceptado
generalmente sobre las virtudes de la educacin matemtica, con el paso del tiempo se
ha convertido en un mito. Las dos ltimas caen dentro de la primera interpretacin
anterior. En el mismo artculo, el autor M. Fernndez que actu como informador del
seminario, concluye con la siguiente redaccin: Al final, parecindome que el profesor
buscaba algo ms, me aventur a indicar lo que creo suele olvidarse: la propuesta de
problemas con el fin de elaborar una teora, esto es, para explorar y aprender nuevos
conceptos. En efecto, coment, pese a ser eminentemente formativa, no es frecuente que
se tenga en cuenta por el profesorado.
Esta es claramente la interpretacin tercera de las enumeradas ms arriba. Sin embargo,
el comentario del Profesor Gaulin deja las cosas de nuevo en su sitio. Por qu no se
tiene en cuenta por el profesorado?
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Existe algn patrn que caracterice la prctica educativa?
A falta de estudios serios en nuestro pas, me he visto obligado a consultar la literatura
cientfica internacional que existe al respecto.
En las lecciones grabadas en vdeo durante el TIMSS, para el 78% de los temas tratados
en 8 (USA), los procedimientos y las ideas slo fueron mostradas no explicadas ni
desarrolladas. El 96% del tiempo empleado por los estudiantes trabajando en las aulas
se dedic a practicar procedimientos que se les haba mostrado como hacerlo (Stigler y
Hiebert, 1997).
Lo ms caracterstico es el nfasis en ensear procedimientos, en especial
procedimientos de clculo. Se presta poca atencin a ayudar a los estudiantes a
desarrollar ideas conceptuales, o incluso a conectar los procedimientos que estn
aprendiendo con los conceptos que muestran por qu aquellos funcionan.
El curriculum de matemticas en USA suministra pocas oportunidades a los estudiantes
de resolver problemas retadores y de participar en el razonamiento, la comunicacin, la
conjetura, la justificacin y la demostracin (Hiebert, 1999).
Podemos concluir con Dossey (Dossey et al. 1988) que la instruccin matemtica en las
aulas de secundaria puede caracterizarse con ligeras variaciones, como la actividad que
consiste en la explicacin del contenido por el profesor, trabajo individual de los
estudiantes sobre las tareas propuestas y correccin de las mismas, dirigidas al gran
grupo, en la pizarra. La mayora de las veces, y debido a la dificultad del contenido o al
tiempo disponible, la explicacin se dirige hacia un nivel medio de la clase, cuando no
al ms alto, y hacia el aprendizaje directo de determinados algoritmos o definiciones.
Los informes preliminares del TIMSS sugieren incluso un enfoque mucho ms
formalista para nuestro pas (Beaton et al. 1996, pgina 155). El resultado de tal prctica
es, por lo general, una prevalencia de aprendizajes rutinarios, carentes de significado, y
la construccin de esquemas conceptuales dbiles por los estudiantes, que se
manifiestan en una pobre actuacin, sobre contenidos supuestamente aprendidos,
despus de un cierto tiempo.
Los maestros y los profesores ensean de la misma forma en que fueron enseados en la
escuela.